Lokalne Extremy Funkcii

Lokálne extrémy funkcií ostré lok. max.

Definícia 5.1 Hovoríme, že funkcia f má v bode x0 ∈ I 0 lokálne maximum, resp. lokálne minimum, ak existuje prstencové okolie O 0 ( x0 ) bodu x0 také,

ostré lok.max.

x ∈ O 0 ( x0 ) platí že pre všetky f ( x) ≤ f ( x0 ) , resp. f ( x) ≥ f ( x0 ) . Ak platia iba ostré nerovnosti má funkcia v bode x0 ostré lokálne maximum, resp. minimum.

ostré lok.min

lok.min. Veta 5.3 Nech funkcia f má v bode x0 lokálny extrém a nech existuje f ′( x0 ) , potom f ′( x0 ) = 0 .

Bod x ∈ I 0 nazývame stacionárnym bodom funkcie f , ak existuje f ′( x0 ) a platí f ′( x0 ) = 0 . Spojitá funkcia môže mať lokálny extrém aj v bode, v ktorom neexistuje derivácia f ′ . Poznámka Ak f ′ pri "prechode cez bod x0 " nemení znamienko, tak funkcia f nemá v bode x0 lokálny extrém. Ak f ′ mení znamienko z + na - má funkcia v bode x0 lokálne maximum. Ak f ′ mení znamienko z - na + má funkcia v bode x0 lokálne minimum. Ak funkcia f má lokálne extrémy len v bodoch x1 , x 2 , K , x n ∈ I = a, b , tak •

globálne min f ( x) = min{f ( x1 ), f ( x 2 ),K , f ( x n ), f (a ), f (b)},

•

globálne max f ( x) = min{f ( x1 ), f ( x 2 ),K, f ( x n ), f (a ), f (b)}.

x∈I

x∈I