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´ Algebra Lineal y Geometr´ıa

4 de Septiembre de 2012 NOMBRE:

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Ejercicio 1 (10 pts.) Consideremos el siguiente subespacio vectorial de R5 : L1 = h(1, 1, 0, −1, 2), (1, 0, −1, 0, 0), (1, 2, 1, 0, 0), (2, 1, −1, 1, −2)i Se pide resolver las siguientes cuestiones justificando la respuesta: (a) Hallar la dimensi´on de L1 y dar una base. (b) Hallar un sistema de ecuaciones impl´ıcitas para L1 + L2 donde L2 = h(1, 0, 0, 0, 0)i. Razonar sin c´alculos adicionales si dicha suma es directa. (c) Obtener un espacio vectorial L3 tal que L2 ⊆ L3 y L1 ⊕ L3 = R5 . Ejercicio 2 (10 pts.) (a) Determinar razonadamente qu´e debe verificar el par´ametro a ∈ R para que la matriz   1 a a A =  −1 1 −1  1 0 2 sea diagonalizable sobre R. (b) Para a = 0, hallar la correspondiente matriz diagonal D y matriz de cambio de base P tal que D = P −1 AP . (c) Para a = 0, calcular An para cualquier n´umero natural n. Ejercicio 3 (10 pts.) Hallar una base ortonormal del subespacio de C4 generado por los vectores v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 0, 0) v3 = (1, 0, 0, i). Ejercicio 4 (10 pts.) Estudiar los puntos fijos y subvariedades invariantes de la siguiente afinidad en R3 : √ √ √ √ 2 2 2 2 f (x, y, z) = (−2 + x− y, x+ y, 3 − z) 2 2 2 2 ¿Es un movimiento? En caso afirmativo, clasificarlo y dar sus elementos. Ejercicio 5 (20 pts.) Clasificar y dar las ecuaciones reducidas de las cu´adricas de la familia: x2 + y 2 + 2z 2 + 2axy − 8z − a = 0 seg´un los valores de a ∈ R.

´ ´ Algebra Lineal y Geometr´ıa. Curso 2011/12. Departamento de Algebra / Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa.