Expo Mapas De Karnaugh

CÓDIGO GREY • El código binario reflejado o código Gray, nombrado así en honor del investigador Frank Gray, es un sistema de numeración binario en el que dos números consecutivos difieren solamente en uno de sus dígitos. Secuencia

Binario

Gray

Secuencia

Binario

Gray

0

0000

0000

8

1000

1100

1

0001

0001

9

1001

1101

2

0010

0011

10

1010

1111

3

0011

0010

11

1011

1110

4

0100

0110

12

1100

1010

5

0101

0111

13

1101

1011

6

0110

0101

14

1110

1001

7

0111

0100

15

1111

1000

FORMAS CANÓNICAS

1. Mintérminos SoP(1s), suma de productos, representación m (𝛴).

x

y

f

m (SoP)

M (PoS)

ഥ) • (Sí x=0, entonces su variable en SoP será 𝒙

0

0

0

𝑥ҧ 𝑦ത

𝑥+𝑦

0

1

1

𝑥𝑦 ҧ

𝑥 + 𝑦ത

1

0

0

𝑥𝑦ത

𝑥ҧ + 𝑦

1

1

1

𝑥𝑦

𝑥ҧ + 𝑦ത

2. Maxtérminos PoS(0s), productos de sumas, representación M (𝛱). • (Sí x=0 , entonces su variable en PoS será x)

FORMAS CANÓNICAS • Mintérminos SoP(1s) m

x

y

z

f

m0

0

0

0

0

m1

0

0

1

1

m2

0

1

0

0

m3

0

1

1

1

m4

1

0

0

0

m5

1

0

1

1

m6

1

1

0

0

m7

1

1

1

1

𝑓 = 𝑥ҧ 𝑦𝑧 ത + 𝑥𝑦𝑧 ҧ + 𝑥𝑦𝑧 ത + 𝑥𝑦𝑧 𝑓 = ෍ (m1, m3, m5, m7) 𝑥𝑦𝑧

FORMAS CANÓNICAS • Realice la función Mintérminos SoP(1s), de la siguiente tabla de verdad m

x

y

z

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

𝑓 = ___________________________________ 𝑓 = ෍ (___________________________) ________

FORMAS CANÓNICAS • Maxtérminos PoS(0s) M

x

y

z

f

M0

0

0

0

0

M1

0

0

1

1

M2

0

1

0

0

M3

0

1

1

0

M4

1

0

0

1

M5

1

0

1

0

M6

1

1

0

0

M7

1

1

1

1

ഥ+𝒛 𝒙+𝒚 ഥ + 𝒛ത ഥ ഥ + 𝒛ത ) 𝒇 = 𝒙+𝒚+𝒛 𝒙+𝒚 𝒙 + 𝒚 + 𝒛ത (ഥ 𝒙+𝒚

𝒇 = ෑ( M 0 , M 2 , M 3 , M 5 , M 6 ) 𝒙𝒚𝒛

FORMAS CANÓNICAS • Realice la función Maxtérminos PoS(0s), de la siguiente tabla de verdad. M

x

y

z

f

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

𝒇 = _________________________________________________________________

0

1

1

1

𝒇 = ෑ (_____________________________)

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

_______

FORMAS CANÓNICAS Expresiones estándar a partir de la tabla de verdad ● Ejercicio: A partir de la tabla de verdad, determine la expresión suma de productos y la expresión producto de sumas estándar equivalente. Entradas

Salida

A B C

X

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Mintérminos, SoP (1s):_____________________________

Maxtérminos, PoS (0s):_____________________________

MAPAS DE KARNAUGH Consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N=filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N=cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes.

VENTAJAS DE MAPAS DE KARNAUGH • El mapa-k nos permite convertir la tabla de verdad de una ecuación booleana en una forma SoP minimizada, suma de productos o Mintérminos (1s).

VENTAJAS DE MAPAS DE KARNAUGH

• Reglas básicas y sencillas para la simplificación.

• La facilidad del método permite que sea más rápido y más eficiente que otras técnicas de simplificación en el Álgebra de Boole.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 1. Las agrupaciones o el término a considerar únicamente será del número “1”.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 2. Las agrupaciones únicamente se deben hacer en horizontal y vertical.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 3. Las agrupaciones a considerar deben contener 2n elementos. Es decir, cada agrupación que contiene cada grupo tendrá 1, 2, 4, 8, …, 2n cantidad de número de uno o unos.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 4. Para una mejor simplificación se debe considerar el grupo más grande posible.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 5. Se debe considerar todo número “1”.

REGLAS MAPAS DE KARNAUGH • 6. La formación de grupos también se pueden producir con las celdas extremas de la tabla.

• 7. Debemos considerar el menor número de agrupaciones o grupos posibles obedeciendo las reglas anteriores.

MAPAS DE KARNAUGH 2V • El mapa de Karnaugh o mapa-k es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas, permitiendo de manera gráfica reconocer patrones y así reduce la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas. • 𝑵: (𝑨, 𝑩)= 2 variables. • 2N = 22 = 4 celdas

B

0

1

0

1

0

1

1

0

A

ഥ 𝒇: = 𝑩

MAPAS DE KARNAUGH 2V • N=2 • 2N = 22 = 4

B

m

A

B

F

m0

0

0

0

m1

0

1

1

M2

1

0

1

m3

1

1

1

A

0

AB

1

0 1

1

1 𝒇= 𝑩 + 𝑨

1

00

01

11

10

1

1

1

EJERCICIO MAPA-K 2V • Realice la función con Mintérminos SoP(1s) y simplificación por el método Mapa-K de la siguiente tabla de verdad. m A B F •𝒇= m0 0 0 1 • N= m1 0 1 0 • 2N = M2 1 0 0 m3

1

1

1

EJERCICIO MAPA-K 2V • Realice la función con Mintérminos SoP(1s) y simplificación por el método Mapa-K de la siguiente tabla de verdad. m A B F •𝒇= m0 0 0 1 • N= m1 0 1 1 • 2N = M2 1 0 0 m3

1

1

1

EJERCICIO MAPA-K 2V • Realice Tabla de Verdad, Simplificación por el método Mapa-K y circuito de la siguiente función Mintérminos SoP(1s) ഥ+𝒂 ഥ ഥ𝒃 • 𝒇 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 • N= • 2N =

EJEMPLO MAPAS DE KARNAUGH 3V • En el mapa de Karnaugh se han puesto “1” en las casillas que corresponden a los valores de F = “1” en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. m

A

B

C

F

m0

0

0

0

0

m1

0

0

1

0

A

m2

0

1

0

1

0

m3

0

1

1

1

m4

1

0

0

1

m5

1

0

1

1

m6

1

1

0

1•

m7

1

1

1

1

BC

00

01

11

10

1

1

• Para el primer grupo (rojo): la simplificación es B (los “1”s de la tercera y cuarta columna corresponden a B sin negar)

• Para el segundo grupo (azul): la simplificación es A (los “1”s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar). 𝐄𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐑𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐬 𝐅 = 𝑩 + 𝑨 ó 𝐅 = 𝑨 + 𝑩 1

1

1

1

1

• Para proceder con la simplificación, se crean grupos de “1”s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los “1”s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más “1”s tenga el grupo, mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de “1”s en cada grupo.

EJEMPLO MAPAS DE KARNAUGH 3V De la presente tabla de verdad obtenemos la siguiente función booleana de la primera forma canónica: ഥ+𝑨 ഥ𝑩 ഥ𝑪 ഥ𝑩 ഥ𝑪 + 𝑨 ഥ 𝑩𝑪 + 𝑨𝑩 ഥ𝑪 𝐅 =𝑨

A

B

C

F

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

BC

A 0

1

00

1

01 0

4

1 1

11 1

5

1

ഥ𝑩 ഥ • Grupo azul: 𝑨 ഥ𝑪 • Grupo marrón: 𝑨 ഥ𝑪 • Grupo verde: 𝑩

10 3

2

7

6

La función simplificada es: ഥ𝑩 ഥ +𝑨 ഥ𝑪 + 𝑩 ഥ𝑪 𝐅 =𝑨

EJEMPLO MAPAS DE KARNAUGH 3V • Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, ഥ , si B = “1” se pone B, B, C) cuando F es igual a “1”. Si “A” en la tabla de verdad es “0” se pone 𝑨 ഥ, etc. Si C = “0” se pone 𝑪 m

A

B

C

F

m0

0

0

0

0

m1

0

0

1

0

m2

0

1

0

1

m3

0

1

1

1

m4

1

0

0

1

m5

1

0

1

1

m6

1

1

0

1

m7

1

1

1

1

BC

A ഥ 𝐁𝐂ത 𝐀 ഥ 𝐁𝐂 𝐀 ഥ ഥ𝑪 𝐀𝐁 ഥ𝐂 𝐀𝐁 𝐀𝐁𝐂ഥ 𝐀𝐁𝐂

00

01

11

10

0

0

1

3

2

1

4

5

7

6

ഥ + 𝐀𝐁 ഥ 𝐁𝐂ത + 𝐀 ഥ 𝐁𝐂 + 𝐀𝐁 ഥ𝑪 ഥ 𝐂 + 𝐀𝐁𝐂ഥ + 𝐀𝐁𝐂 𝐅 = 𝐀

EJEMPLO MAPAS DE KARNAUGH 3V •

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el Mapa de Karnaugh. Este tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C)). La primera fila corresponde a A = 0 La segunda fila corresponde a A = 1 La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0).

•

La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1) La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1) La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0) m

A

B

C

F

m0

0

0

0

0

m1

0

0

1

0

m2

0

1

0

1

m3

0

1

1

1

m4

1

0

0

1

m5

1

0

1

1

m6

1

1

0

1

m7

1

1

1

1

ഥ+ 𝐀𝐁 ഥ 𝐁 𝐂ത + 𝐀 ഥ𝐁𝐂 + 𝐀𝐁 ഥ𝑪 ഥ 𝐂 + 𝐀 𝐁 𝐂ഥ + 𝐀 𝐁 𝐂 𝐅 = 𝐀

BC A

00

0 1

01 0

1

4

1

11

10

1

1

3

1

2

5

1

7

1

6

EJEMPLO MAPAS DE KARNAUGH 3V • Realice la agrupación, simplificación y circuito del siguiente Mapa-K. BC A

00

0 1

01 0

1

4

1

11

10

1

1

3

1

2

5

1

7

1

6

𝐅 = ________________________________

MAPAS DE KARNAUGH 3V • Ejercicio: realice la simplificación por el método Mapas-K de la siguiente función de Mintérminos. ഥ 𝑩𝑪 + 𝑨𝑩 ഥ𝑪 ഥ + 𝑨𝑩𝑪 ഥ + 𝑨𝑩𝑪 • 𝒙=𝑨 • 𝑵: ______________________________ • 2N =

Entradas A B C

X

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

BC

Salida

A

00

01

11

10

0

0

1

3

2

1

4

5

7

6

𝐅 = ________________________________

RONDA DE PREGUNTAS

By: GRUPO No. 5

GRACIAS POR SU ATENCIÓN