Exercicios Prob 5

MAE126 - Noc¸o˜es de Estat´ıstica II Turma Prof. Popov 5 de junho de 2006 Corre¸ca ˜o da Lista 6 1. Da popula¸ca ˜o X ∼ N (30, 89) retirou-se uma amostra casual simples de n = 9 elementos. Da popula¸ca ˜o Y ∼ N (45, 123) retirou-se uma amostra casual simples de m = 8 elementos, independente da primeira. Sejam S12 e S22 as variˆ ancias amostrais. (a) Encontre o valor de a tal que P (S12 /S22 < a) = 0, 95 Comecemos notando que: U=

(n − 1)S12 8S12 = ∼ χ2(8) 89 89

V =

(m − 1)S22 7S12 = ∼ χ2(7) 123 123

Ainda: U n−1 V m−1

=

U 8 V 7

=

S12 89 S22 123

=

123 S12 ∼ F (8, 7) 89 S22

Queremos a tal que:

P (S12 /S22

< a)

 123 123 S12 < a = 0, 95 ⇒ P 89 S22 89   123 a = 0, 95 ⇒ = P F(8,7) < 89 123 ⇒ a = 3, 73 89 ⇒ a = 2, 69 

(b) Encontre o valor de b tal que P (S12 /S22 > b) = 0, 95 Por racioc´ıonio an´ alogo:

P (S12 /S22 > b)

=

1

P



S22 /S12 <

1 b



 89 S22 89 1 < 123 S12 123 b   89 1 = P F(7,8) < = 0, 95 123 b 89 1 ⇒ = 3, 5 123 b ⇒ b = 0, 21 ⇒ P



2. Considere duas amostras de popula¸co ˜es Normais: A: 2.3, 5.2, 4.1, 2.4, 5.6, 4.2, 1.1, 1.7, 2, 5.3, 4.2, 3.7, 4.1, 5.3, 6.2 B: 3.5, 4.6, 2.9, 4.1, 5.3, 2.1, 6.7, 6, 3.3, 3.1, 3, 2.5, 5.1, 4.7 (a) teste a hip´ otese da igualdade das variˆ ancias das duas popula¸co ˜es (use o n´ıvel de significˆ ancia de 0,07). Queremos testar H0 : σ12 = σ22 = σ 2 versus Ha : σ12 6= σ22 . S2

Vamos considerar a estat´ıstica W = S12 que, sob H0 , segue F(14,13) . 2 Queremos uma regi˜ ao cr´ıtica do tipo: P (W ∈ RC) = P (W < f1 ou W > f2 ) = 0, 07 Calculando o extremo superior: P (W > f2 ) = 0, 035 ⇒ f2 = 2, 820 Calculando o extremo inferior: P (W < f1 ) = 0, 035 ⇒ f1 = 0, 362 Assim a regi˜ ao cr´ıtica ´e dada por: RC = {wobs < 0, 0362 ou wobs > 2, 820} 2,508 = 1, 324 ∈ / RC, n˜ ao rejeitamos a hip´ otese nula de Como wobs = 1,893 que as variˆ ancias s˜ ao iguais.

(b) usando o resultado do item (a), verifique se h´ a diferen¸ca entre as m´edias das duas popula¸co ˜es, ao n´ıvel de significˆ ancia de 10%. Queremos testar H0 : µA = µB contra Ha : µA 6= µB . Como conclu´ımos pela igualdade das variˆ ancias, faremos um teste t n˜ ao pareado (amostras independentes) com variˆ ancias iguais e desconhecidas. Comecemos notando que: Sp =

r

14(2, 508) + 13(1, 893) = 1, 487 15 + 14 − 2

Usaremos a estat´ıstica T , que segue sob H0 , segue t(27) : 2

T =

A−B q 1 + Sp 15

1 14

=

3, 827 − 4, 064 = −0, 428 1, 487(0, 372)

Notemos que a regi˜ ao cr´ıtica ser´ a dada por: RC = {tobs , |tobs | > 1, 703} Como tobs = −0, 428 ∈ / RC, n˜ ao rejeitamos a hip´ otese nula, concluindo que as m´edias s˜ ao iguais. 3. Queremos verificar se h´ a diferen¸cas entre dois medicamentos, A e B, com rela¸ca ˜o ao tempo de rea¸ca ˜o ao medicamento. Para isso, foram colhidas as seguintes amostras: A: 123, 231, 189, 164, 201, 181, 133, 145, 156, 171, 144, 149, 151, 179 B: 188, 192, 139, 202, 215, 165, 178, 194, 195, 174, 184, 158, 186, 177, 204 Qual seria a conclus˜ ao ao n´ıvel de significˆ ancia de 5% (use o teste de Wilcoxon ou o teste de Mann-Whitney)? Vamos utilizar o teste de Mann-Whitney. Notemos que n = 14, m = 15 e N = 29. Calculemos os postos para obter as outras quantidades que precisamos para fazer o teste: valor 123 133 139 144 145 149 151 156 158 164 165 171 174 177 178

grupo A A B A A A A A B A B A B B B

posto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

valor 179 181 184 186 188 189 192 194 195 201 202 204 215 231

grupo A A B B B A B B B A B B B A

posto 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Calculando WS = S1 + S2 + . . . + S15 = 272. Assim: 1 1 US = WS − m(m + 1) = 272 − 15(16) = 152 2 2 Ainda:

3

E(US ) =

nm = 105, 2

V ar(US ) =

nm(N + 1) = 525 12

A regi˜ ao cr´ıtica ser´ a dada na forma: RC{us , us < uc1 ou us > uc2 } Temos assim:

P (US > uc2 )

  uc2 − 105 US − 105 > 0, 025 ⇒ P 22, 91 22, 91   uc2 − 105 = P Z> = 0, 025 22, 91 uc2 − 105 ⇒ = 1, 96 22, 91 ⇒ uc2 = 105 + 44, 90 = 149, 90 e uc1 = 105 − 44, 90 = 60, 1 =

Logo a regi˜ ao cr´ıtica ser´ a dada por: RC{us , us < 60, 1 ou us > 149, 90} Como us = 152 ∈ RC, rejeitamos a hip´ otese nula de igualdade entre as medidas de centralidade.

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