Exercicios Prob 9

MAE0211 - Probabilidade I Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa 12 de mar¸co de 2003 Lista 31 4. Para condenar um acusado s˜ ao necess´ arios ao menos 9 votos de um j´ uri composto por 12 jurados. Suponha que a probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja inocente ´e 0.2 e a probabilidade de que um jurado vote que um inocente seja culpado ´e 0.1. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos acusados s˜ ao culpados, encontre a probabilidade de que o j´ uri tome a decis˜ ao correta. Que porcentagem de culpados s˜ ao condenados? Sejam os eventos: C A I P K

: : : : :

o o o o o

acusado ´e condenado. acusado ´e inocentado. acusado ´e inocente. acusado ´e culpado. j´ uri toma a decis˜ ao correta.

Podemos utilizar a regra da probablidade total, condicionando K pelos eventos I e P . P (K) = P (K|I)P (I) + P (K|P )P (P ) Do enunciado sabemos que P (I) = 0.35 e P (P ) = 0.65. Basta calcularmos as duas probabilidades condicionais. Sejam as vari´ aveis aleat´ orias: X Y

: :

jurados que votam que o acusado ´e culpado quando ele ´e culpado. jurados que votam que o acusado ´e inocente quando ele ´e inocente.

Do enunciado temos que X ∼ Bin(12, 0.8) e Y ∼ Bin(12, 0.9). Como sabemos que ao menos 9 votos do j´ uri s˜ ao necess´ arios para condenar um acusado, temos que:

P (K|P ) = P (X ≥ 9) =

12 X

P (X = i) = 0.79

i=9

Ainda interpretando o enunciado, temos que se ao menos 9 votos s˜ ao necess´ arios para condenar um acusado, ent˜ ao ao menos 4 votos s˜ ao necess´ arios para inocentar um acusado. Da´ı temos: 1 Powered

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1

P (K|I) = P (Y ≥ 4) =

12 X

P (Y = i) = 0.99

i=4

Voltando tudo na equa¸ca ˜o inicial: P (K) = 0.99 · 0.35 + 0.79 · 0.65 = 0.86. Logo a probabilidade do j´ uri tomar a decis˜ ao correta ´e de 0.86. Para o segundo item vamos novamente utilizar a regra da probabilidade total, condicionando C pelos dois eventos I e P . P (C) = P (C|I)P (I) + P (C|P )P (P ) Do enunciado temos P (I) e P (P ). Do item anterior j´ a temos P (C|P ) (isso nada mais ´e do que P (K|P ) = 0.79). Basta calcularmos P (C|I). Seja a vari´ avel aleat´ oria: W

:

n´ umero de jurados que condenam um inocente

Onde W ∼ Bin(12, 0.1). Sabemos que para ser condenado precisamos de ao menos 9 votos, ent˜ ao: P (C|I) = P (W ≥ 9) =

12 X

P (W = i) = 1.65 · 10−7

i=9

Temos ent˜ ao que: P (C) = 1.65 · 10−7 · 0.35 + 0.79 · 0.65 = 0.51. Logo 51% dos acusados s˜ ao condenados. 6. O n´ umero de vezes que um indiv´ıduo tem gripe em determinado ano ´e uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson com λ = 5. Suponha que um novo medicamento reduz o parˆ ametro λ = 3 para 75% da popula¸ca ˜o. Para os 25% restantes a droga n˜ ao tem um efeito apreci´ avel. Se um indiv´ıduo toma o medicamento durante um e ano e tem duas gripes, qual a probabilidade de que o medicamento ´e ben´efico para ele (ela)? Sejam os eventos: G2 M Mc

: : :

o indiv´ıduo tem duas gripes no ano. o medicamento ´e ben´efico para ele. o medicamento n˜ ao ´e ben´efico para ele.

E sejam as vari´ aveis aleat´ orias: N T

∼ P oi(5) ∼ P oi(3)

Queremos saber P (M |G2 ), abrindo isso: 2

P (M |G2 ) =

P (M ∩ G2 ) P (G2 |M )P (M ) = P (G2 ) P (G2 )

Do enunciado temos P (M ) = 0.75 e P (G2 |M ) = P (T = 2). Restanos encontrar P (G2 ). Para isto, usemos a regra de probabilidade total, condicionando G2 pelos eventos M e M c : P (G2 ) = P (G2 |M )P (M ) + P (G2 |M c )P (M c ) Substituindo com os valores que temos do enunciado: P (T = 2) · 0.75 + P (N = 2) · 0.25 =

e−5 52 e−3 32 · 0.75 + · 0.25 = 0.18908. 2! 2!

Voltando esse valor na primeira igualdade: P (M |G2 ) =

e−3 32 2!

· 0.75 = 0.8886. 0.18908

A probabilidade do medicamento ser ben´efico para ele ´e portanto 0.8886. 8. Uma fam´ılia tem n crian¸cas com probabilidade αpn , n ≥ 1, onde α ≤

1−p p .

a. Qual a propor¸ca ˜o de fam´ılias que n˜ ao tem crian¸ca? Definimos a var´ıavel aleat´ oria N : N : n´ umero de crian¸cas na fam´ılia. Onde P (N = n) = αpn (com n ≥ 1). O que queremos calcular ´e: P (N = 0) = 1 −

∞ X

P (N = i) = 1 −

∞ X

αpn

n=0

i=1

Notemos que se −1 < p < 1 temos uma PG infinita, cuja soma ´e p . Logo a propor¸ca ˜o pedida ´e de: dada por 1−p 1−

p 1−p

b. Se, independente de cada outra, cada crian¸ca tem mesma chance de ser menino ou menina, qual a propor¸ca ˜o de fam´ılias contendo k meninos? Em primeiro lugar definimos o evento: A : a fam´ılia tem k meninos. Notemos que um jeito de levar a informa¸ca ˜o que temos sobre N para condicionar A ´e fazer uma parti¸ca ˜o do espa¸co amostral entre os poss´ıveis valores de N . Temos portanto: P (A) = P (A ∩ Ω) = P (A ∩ N ∈ {0, 1, 2, ...}) 3

Abrindo isso por Bayes: P (A) =

∞ X

P (A|N = n)P (N = n) =

n=0

∞ X

P (A|N = n)P (N = n)

n=k

A u ´ltima passagem se justifica pois a probabilidade condicional de A dado N = n, com n < k ´e sempre 0, j´ a que ´e imposs´ıvel ter k meninos se a fam´ılia s´ o tem n (n < k) filhos. Sabemos que P (N = n) = αpn . Resta-nos ent˜ ao achar P (A|N = n). Basta expandirmos P (X = k) para X uma binomial com parˆ ametros p = 21 e n, temos ent˜ ao: P (A) =

∞ X

n=k

  n 1 αp . k 2k n

9. Suponha que o n´ umero de eventos que ocorrem em determinado intervalo de tempo [0, t] ´e uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson com parˆ ametro λt. Se cada evento ´e contado com probabilidade p, independentemente de todo outro evento, mostre que o n´ umero de eventos que s˜ ao contados em [0, t] ´e uma var´ıavel aleat´ oria de Poisson com parˆ ametro λpt. Sejam as var´ıaveis aleat´ orias: N M

: :

n´ umero de eventos em [0, t] n´ umero de eventos contados.

Sabemos do enunciado que: P (N = k) =

e−λt (λt)k k!

Queremos achar uma express˜ ao para P (M = k), que esperamos, seja uma Poisson com parˆ ametro λpt. A u ´nica informa¸ca ˜o que temos para trabalhar ´e a fun¸ca ˜o de distribui¸ca ˜o de probabilidade de N . Devemos usar isso ent˜ ao para achar uma express˜ ao para M . A u ´nica sa´ıda ´e usar a regra da probabilidade total, notando que se variarmos N em todos os valores que ela pode assumir, teremos todo o espa¸co amostral. Dessa forma: P (M = k) =

∞ X

P (M = k, N = j)

j=0

Usando a regra da probabilidade total: P (M = k) =

∞ X

P (M = k|N = j)P (N = j)

j=0

P (N = j) j´ a temos do enunciado. Resta acharmos P (M = k|N = j). Essa probabilidade condicional ´e dada por uma binomial com parˆ ametros n = j e p. Temos ent˜ ao: 4

P (M = k) =

∞   X j

k

j=0

pk (1 − p)j−k

e−λt (λt)j j!

A probabilidade condicional acima entretanto ´e 0 se k < j, portanto podemos fazer a somat´ oria ir de k at´e infinito:

P (M = k) = =

∞   X j

j=k ∞ X j=0

=

k

∞ eλt (λtp)k X ((1 − p)λt)j−k k! (j − k)!

e (λtp) k! λt

=

e−λt (λt)j j!

j! pk (1 − p)j−k e−λt (λt)j · k!(j − k)! j!

λt

=

pk (1 − p)j−k

j=k ∞ k X i=0

((1 − p)λt)i i!

k

e (λtp) (1−p)λt e−λtp (λtp)k e = k! k!

O que mostra que M segue uma distribui¸ca ˜o de Poisson com parˆ ametro λpt. 10. Prove que: n−1 X i=0

e−λt (λt)i = i!

Z

∞ t

λn xn−1 e−λx dx (n − 1)!

Suponhamos λ > 0, tentemos expandir a parte direita da equa¸ca ˜o: Z Z ∞ n n−1 −λx ∞ λn λ x e xn−1 e−λx dx dx = (n − 1)! (n − 1)! t t Em primeiro lugar achemos essa primitiva, utilizando a regra do produto: Z Z Z xn−1 e−λx dx = udv = uv − vdu Onde:

u = xn−1 −λx v = −e λ

du = (n − 1)xn−2 dx dv = e−λx dx

Segue: Z

xn−1 e−λx dx =

(n + 1) −xn−1 e−λx + λ λ

Z

e−λx xn−2 dx.

Vamos achar agora uma express˜ ao para a integral impr´ opria, levando em conta que: 1 xn−1 −xn−1 e−λx = − lim −λx lim x→∞ λ λ x→∞ e 5

Aplicando L’Hospital v´ arias vezes, confirmamos o fato de que a fun¸ca ˜o exponencial cresce muito mais rapidamente que qualquer polinˆ omio, o que nos garante que o limite acima ´e 0. Voltando isso na integral inicial: Z ∞ Z tn−1 e−λt (n − 1) ∞ −λx n−2 xn−1 e−λx dx = e x dx + λ λ t t Notemos agora que podemos desenvolver de forma an´ aloga a integral impr´ opria que resta, utilizando da indu¸ca ˜o finita. Temos: Z ∞ Z tn−2 e−λt (n − 2) ∞ −λx n−3 −λx n−2 e x dx = e x dx + λ λ t t Z ∞ Z tn−3 e−λt (n − 3) ∞ −λx n−4 e−λx xn−3 dx = e x dx + λ λ t t At´e que, na n − 1-´esima vez que aplicarmos isso, teremos: Z ∞ e−λt e−λx x0 dx = λ t Utilizando essas conclus˜ oes, e aplicando a distributiva recursivamente temos: Z ∞ (n − 1)tn−2 e−λt (n − 1)!e−λt tn−1 e−λt + + ... + xn−1 e−λx dx = λ λ2 λn t n

λ que colocamos para fora no come¸co da deMultiplicando isso por (n−1)! monstra¸ca ˜o temos: Z ∞ n n−1 −λx λ x e e−λt (λt)n−1 e−λt (λt)n−2 e−λt (λt)0 dx = + +···+ (n − 1)! (n − 1)! (n − 2)! (0)! t n−1 X e−λt (λt)i . = i! i=0

Concluindo a demonstra¸ca ˜o.

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