Evidencia Tc.docx

NOMBRE: LUIS ALBERTO CONTRERAS LOPEZ GRUPO 21 TECNICAS CUANTITATIVAS 11 EVIDENCIA

EVIDENCIA 2

PROBLEMAS CAPITULO 6 6.21 Sean los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c,d} Para cada uno de los siguientes incisos    

Indicar si la relación dada también es una función Determianr Dom (R) y Cod (R) En caso de ser una función verificar si es inyectiva ,subrayectiva y/o biyectiva En caso de ser una función invertible cual f-1? A= {1, 2, 3, 4} B= {a, b, c, d} Para cada uno de los siguientes incisos determinar: • DomR y CodR. • En caso de ser función saber si es: Inyectiva, Suprayectiva y/0 Biyectiva. • En caso de ser una función invertible sacar f-1 a)

R= {(1,a) , (2,a), (3,a)} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a} No es función, ya que la relación b no tiene todos los datos

b)

R = {(1,a) , (2,b), (2,c), (3,d)} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a, b, c, d} No es función ya que la relación a se repite, y no debe repetirse.

c)

R = {(1,c) , (2,b), (3,c), (3,a} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a, b, c} No es función, ya que la relación a se repite y no cuenta con todos los elementos de la relación. d)

R= {(2,c), (2,b), (2,c),(2,d)} Dom R = {2} Cod R= {b, c, d} No es una función, ya que aparte de que se repite la relación a, tampoco está completa

6.22 Sean A= {1,2,3} y B={a,b,c,d} en relación con cada uno de los incicos  Indicar si la relación también es una función Si es un función porque contiene todos los elementos A  Determianr dom ( R) y cod ( R) DOM ( R ) y COD ( R )  En caso de ser función determinar si es inyectiva o supreyactiva y/o o biyectiva Es suprayectiva  En caso de ser una función invertible cual es f?1f-1 A= {1, 2, 3} B= {a, b, c, d} Para cada uno de los siguientes incisos determinar: • DomR y CodR. • En caso de ser función saber si es: Inyectiva, Suprayectiva y/0 Biyectiva. • En caso de ser una función invertible sacar f-1 e)

R= {(1,a) , (2,a), (3,a)} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a} Si es una Función, debido a que se cumplen sus reglas donde se incluyen todos los elementos de “A” y solo una aparecen una vez cada uno. Es una función Suprayectiva porque se repiten un mismo elemento de “B”. f)

R = {(1,a) , (2,b), (2,c), (3,d)} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a, b, c, d} No es función ya que la relación “A” se repite, y no debe repetirse.

g)

R = {(1,c) , (2,b), (3,c), (3,a} Dom R = {1, 2, 3} Cod R= {a, b, c} No es función, ya que la relación “A” se repite y no cuenta con todos los elementos de la relación. h)

R= {(2,c), (2,b), (2,c),(2,d)} Dom R = {2} Cod R= {b, c, d} No es una función, ya que aparte de que se repite la relación “A”, tampoco está completa.

6.23 Sean A=B =R; f(x)= -4x3 -2; g(y) = 3y2 – 1; h (z) = 5z+3 a) Demostrar que en cada caso realmente se trata de una función y para esto utilizar la grafia correspondiente b) Establecer si son funciones invertibles y si es asi obtener la inversa c) Deterianr el valor de la composición d) F o h o g o g (2) y g o f o h o f (-x) f(x)=-4x3-2 f(x)=-4x3-2 a) SI ES UNA FUNCION b) SI ES UNA FUNCION INVERTIBLE f(x)=-4x3-2 y= -4x3-2 y+2=-4x3 y+2/-4=x3 x=3vy+2/-4 F-1(x)= 3vx+2/-4

g(y)=3y2-1 a)SI ES UNA FUNCION b)No es una función invertible ya que no es inyectiva ni suprayectiva h(z)=5z+3 a)Si es una función b)SI ES UNA FUNCION INVERTIBLE H-1(z)=(z-3)/5 d) Determinar el valor de la composición f h g g (2) y g f h f (-x).

f (h ( g (g (2)=3(2)2-1=11 f (h(g(11)=3(11)2-1=3(121)-1=362 f(h(362)=5(362)+3=1813 f(1813)= -4(1813)3-2= -23837099190 g ( f (h (f (-x)= -4(-x)3-2 = 4x3-2 g(f(h(4x3-2)= 5(4x3-2)+3= 20x3-7 g(f(20x3-7)= -4(20x3-7)3-2 g(-4(20x3-7)3-2)= 3[-4(20x3-7)3-2)]2-1

6.24 Demostrar que se trata de una fucnion utilizando un bosquejo de su grafica Establecer si se trata de una función invertible y en casod e ser asi obtener la inversa 6.25 Sean A=B =C=D= R: A B, g: B  C, y h: C D definidas por F(a) = 3 a + a 3 , g(b) = b 5 . h(c) =c+1 a) b) c) d)

G o f ( 2) F o g (x-1) G o f o h (x) F o g o h (-x)

= g(f(2)) = g (3(2)+23) = g(14= 14 5 = 537824 =f(g(x-1)5) = 3(x-1)5 +(x-1)15 =g(f(x+1)) = g (3(x+1)+(x+1)3) = (3(x+1) + (x+1)3)5 = f(g(h(-x))) = f(g(1-x)) = f((1-x)5) = 3(1-x)5+(1-x)15

6.26 Sean A=B =C=D= R: f; A B, g: B  C, y h: C D definidas por F(a) = -a 3 , g(b) = b 2 -1 . h(c) = 3c + 1 a. b. c. d.

f o g o f(-1) f o g o g(1-x) g o g o f o h(-x) f o f o g o h(2x)

f o g o f(-1) f(a) = -a3 f(-1) = -(-1)3 f(-1) = 1 g(b) = b2-1 g(1) = (1)2-1 g(1) = 0 f(a) = -a3 f(0) = -(0)3 f(0) = 0 f o g o g(1-x) g(b) = b2-1 g(1-x) = (1-X)2 -1 f(1-x) = x2-2x g(b) = b2-1 g(x2-2x) = ( x2-2x )2-1 g( x2-2x) = x4-4x3+4x2-1 f( x4-4x3+4x2-1) = -(a)3 f(a) = -( x4-4x3+4x2-1)3 g o g o f o h(-x) h(c) = 3c+1

f(a) = -a3

h(-x) = 3(-x)+1 h(-x) = -3x+1 f(a) = -a3 f(-3x+1) = -(-3x+1)3 g(b) = b2-1 g(-(-3x+1)3) = {-(-3x+1)3}2-1 g(b) = b2-1 g({-(-3x+1)3}2-1)= [{-(-3x+1)3}2-1]2-1 f o f o g o h(2x) h(c) = 3c+1 h(2x) = 3(2x)+1 h(2x) = 6x+1 g(b) = b2-1 g(6x+1) = (6x+1)2-1 g(6x+1) = 36x2+12x f(a) = -a3 f(a) = -(36x2+12x)3 f(a) = -a3 f(-(36x2+12x)3)= -{-(36x2+12x)3}3

PROBLEMAS CAPITULO 7 7.1 Sea el siguiente grafo f q 3●

g

4●

ñ

p

n

1●

●8

e

a

h d

2●

●10 o

m ●5

c

●9 k

b

i 6●

j

7●

l

A=B { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} R=B{(3,3) , (3,8) , (3,1) ,(1,3) ,(1,2) ,(1,6) ,(1,5) ,(2,6) ,(6,5) ,(6,7) ,(5,8) ,(7,9) ,(7,10) ,(4,8) ,(4,10) ,(10,10), (8,9) ,(9,10) F g e q a c d b i j h k l n ñ p m o        

Es un grafo simple No , porque tene lazos (3,3) , (10,10) y tiene lados paralelos Ya que lo grafos siemples no deben de tener lazoz ni lados paralelos Es grafo kn No , porque faltan vértices que estén relacionados Es grafo kn.,m No , porque no están compuestos por dos conjuntos de vértices , solo están por si mismos El grafo es conexo Si , porque existe un trayecto en todos los vértices para ir de un vértice a otro Es grafo plano , en dado caso de ser grafo plano se cumpla la ecuación de Euler a=L-V+2 Tiene camio de Euler No tiene camino de Euler Tiene sircuito Euler No tiene circuito , ya que todos los elementos tienen valencia de par Tiene ciertos Hamilton No tiene circuito de hamilton

Encontrar A=B { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} R=B{(3,3) , (3,8) , (3,1) ,(1,3) ,(1,2) ,(1,6) ,(1,5) ,(2,6) ,(6,5) ,(6,7) ,(5,8) ,(7,9) ,(7,10) ,(4,8) ,(4,10) ,(10,10), (8,9) ,(9,10) F g e q a c d b i j h k l n ñ p m o El conjunto de vértices Conjunto de aristas Conjunto de lazos Conjunto de lados paralelos V= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

L= a , b , c , d ,e , f, g, ,h ,i , j , k l , m , n ñ , o p , q P={e,q} A={f,p} V1=5 V6=4 V2=2 V7=3 V3=4 V8=4 V4=2 V9=3 V5=3 V10=4 Encontrar la matrzi de adyacncia y la matriz de incidencia

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

3

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

5

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

6

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

8

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ʃ

A

b

c

d

e

f

g

h

i

J

k

l

m

n

ñ

o

p

q

Ʃ

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2

5 2 4 2 3 4 3 4 3 4



Cual es la valencia de cada uno de los vértices Decir si los siguientes recoridos son caminos simples , circuitos , circuito simple



(1,5,8,9,7,6,1,3) Camino simple de longitud= 7 (5,8,410,10,7,6,5) Camino de circuito (1,3,3,1) Camino circuito (4,10,9,7,6,5,1,3,8,4) Camino circuito simple de longitud=9 (2,6,5,8,9,10 Camino , camino simple de longitud= 5

   

7.2 Sea el siguiente grafo

1

2

2

●

●

1

3

3●

6 ●4

5 4

8

7 5

●

●7 9

●

10

6

a) es grafo simple  simple si porque no tiene lazos ni lados paralelos  conexo si porque existe un trayecto a otro entre los vértices  encontrar las matrices de adyacencia y de incidencia del grafo G A=B= {1, 2, 3, 4, 5, 6,7,} R= (1,2) , (1,3) , (1,4) ,(1,5) , (2,4) , (3,4) , (4,5) , (4,7) ,(5,6) , (6,7)} 2 1 3 4 6 5 7 8 10 9

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0

3 1 0 0 0 0 0 0

4 1 1 1 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7

Ʃ

5 1 0 0 1 0 0 0

6 0 0 0 0 1 0 0

V1=4 V2=2 V3=2 V4=5 V5=3 V6=2 V7=2

7 0 0 0 1 0 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ʃ

1 0 1 0 0 0 0 2

1 1 0 0 0 0 0 2

1 0 0 1 0 0 0 2

1 0 0 0 1 0 0 2

0 0 1 1 0 0 0 2

0 1 0 1 0 0 0 2

0 0 0 1 1 0 0 2

0 0 0 1 0 0 1 2

0 0 0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 1 1 0 2

4 2 2 5 3 2 2

b) tiene camino de Euler , si es asi de cual es si tiene camino de Euler porque puede recorer todos los vértices pasando una vez si , 3 , 1,2,4,7,6,5, c) tiene circuito de Euler si es asi de cual es no tiene circuito de Euler porque no es par al momento de pasar por los vértices para que recore por todos los vértices una vez d) tiene circuito de Hamilton si es asi de cual es si 3 , 1,2,4,7,6,5, e) es un grafo kn si porque no tine lazos ni lados paralelos f) es un grafo kn.m g)

No , porque no están compuestos por dos conjuntos de vértices , solo están por si mismos

h) encontrar el complemento del grafo G 8 ●

● 10 13● ●12 ●14 ● 11

●9

i) que valencia debe tener uno l vértices del grafo para que se considere que un grafo kn y cual es el numero total de vértices que deberá tener v= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

7.3 En cada uno de los siguiente incisos encontrar el complemento del grafo en cso de ser un grafo simple caso contrario explicar porque no es grafo simple a) 1●

6

11

●

●

● 7

●5 ● 2

● 12 9●

3●

●4

●8

●10

Al complementar el grafo no tiene lazos ni lador paralelos es simple

a

n

●

b)

●

b

●

●h

c

●

●

● g

l ●

●i

●k

f

● D

●

j ● e

● m

Al complementar el grafo no tiene lazoz pero si tiene lados paralelos Porque pasa por el mismo lugar dos veces haciendo la complementacion

c) 1

2

●

● ● 3

12 ●

●7

● 5

8 ●

● 11

●6 ● 10 ● 9● 4 Es simple , porque no tiene lazos ni lados paralelos

d)

j ●a

● c

● d ● e

b ● ● f

● g

● n● l●

●m ●i

● k

h ●

Tiene lazo en el grafo principal pero ya haceidno la complementación es grafo simple pero haceidno la complemenatcion entre los dos tiene lazo por lo tanto no es simple

7.4

En cada uno de los incisos encontrar el complemento de el grafo , en caso de ser un grafo simple en caso contrario explicar porque no es grafo simple a) 1

● ●

● 5

6●

●4

11 ● 8 ● 12

●7 ●

●10

2

●3

●9

No es simple Porque ya complementándolo tiene lados paralelos b) ● d ●k h●

a● ● e

●l i ●

b● ● f

●m

c● g j ● ● Es simple , no tiene lazos ni lados paralelos

●n

c) 1 ● 3 ●

9● 2 ●

●11 13 16● ●

4● ●8

●10

6● 5● ●

●15 ● 12

7 Es simple Porque no tiene lazos y no tiene lados paralelos

14●

7.5 Determina si el grafo de cada uno de los incisos es  bipartido  bipartido completo (kn,m)  compelto de una vértices (kn)  ninguno de las anteriore

en caso de ser bipartido compelto ¿Cuáles son los elementos de los conjutnos? , en caso de ser copelto de n vértices ¡cuales son los elementos de conjutno? , y cual es el valor de n a)

●4 ● 1

●

●

2

●5 ●7

3

● 6

●8

Si es bipartido los conjuntos son A: = {1,3 , 5 , 8}; B = {2,4,6,7} No es bipartido completo Kn,m ya qe no toos los elementos del conjunto A están relacioandos con todos los elementos del conjunto B No es un grafo completo de n vértices Kn porque para ello cada vértice del grafo debería estar relacionado con todos los elementos

b) b●

●a ●c

●e

● g

● d

●f

Si es bipartido los conjuntos son; A={a,b,d,f,g}; B = {c,e} Si es un grafo bipartdio compelto kn,m en este casi es k5,2 ya que todos los elementos del conjunto A están relacionados en todos los elementos de el conjunto B y entre vértices de uno mismo conjunto no hy relaciones alguna No es grafo completo de v vértices Kn porque para ello cada vértice del grafo debería estar relacionado con todos los demás

c) h ●

e ●

a ●

c●

● d

b ● ● f ● g

Si es bipartido los conjunto son A={a,c ,f g, h} B={b,d,e} No están bipartido completo kn,m ya que en todos los elementos del conjunto a están relacionados están relaciondos con el conjunto B Noe s un grafo completo de n vértices kn porque para ello cada vértice del grafo debería estar relacionado con todos los demás

d) 2 ● ● 1 3 ●

●

●5

4 ● 6

No es un grao bipartido porque n están integrados por dos conjuntos de vértices A y B en donde los elementos del conjunto A están relacionados con lso demás del conjunt B pero entre vértices de el mismo conjunto no hay relación alguna Tampoco es bipartido compelto Kn,m Si es un grafo completo de n vértices kn , en este caso es K6, porque cada uno de los vértices esta relacionado con los vértices restantes y la valencia de cada nodo es (n-1)