Estatica De La Particula Conceptos Basicos

Estatica De La Particula Conceptos Basicos Como dice scarlett… De donde sale el 9.81?. Bueno, como vimos hoy en física con bonachon, el 9.81 sale de la gravedad y no de otras partes como pensaba la Srita Scarlett.. :) Primero que nada tenemos que tener en claro que es lo que estudia y de que rama de la física es la Estatica de la partícula: Parte de la mecánica que analiza condiciciones de equilibrio de un cuerpo, partícula o sistema de partículas, se basa en las leyes de la fuerza y del movimiento de Newton, que las conocemos como “Leyes de Newton”. Tecnologico de Zacatepec Cantidades Básicas: Las cuatro cantidades siguientes se utilizan en el equilibrio: Longitud: La longitud es necesaria para ubicar un punto en el espacio y de esta forma describir el tamaño de un sistema físico. Una vez que se define una unidad estándar de longitud, puede definirse cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de esa unidad de longitud. Tiempo: El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la Estática son independientes del tiempo, esta cantidad definitivamente juega un papel importante en el estudio de la Dinámica. Masa: La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia que presenta la materia al cambio de velocidad. Fuerza: En general, la fuerza es considerada como un “jalón” o “tirón” ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe un contacto directo entre los cuerpos, por ejemplo, una persona empujando sobre una pared. Puede presentarse también

a lo largo de una distancia determinada cuando los cuerpos se separan físicamente. Como ejemplos de este último caso están incluidas las fuerzas eléctricas, magnéticas y gravitacionales. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por su magnitud, dirección y punto de aplicación. Idealizaciones: Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio con la finalidad de simplificar la aplicación de la teoría. Se definirá algunas de las idealizaciones más importantes. Partícula: Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia su movimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una partícula, los principios de la Mecánica se simplifican de manera importante, debido a que la geometría del cuerpo no se tomará en cuenta en el análisis del problema Cuerpo Rígido: Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto formado por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. Como resultado, las propiedades del material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre éste. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo rígido es apropiada para efectos de análisis. Fuerza Concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga la cual se supone que actúa en algún punto de un cuerpo. Podemos representar este efecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el área sobre la cual se aplica la carga sea relativamente pequeña comparada con el tamaño del cuerpo. Tecnológico de Tapachula Fuerza: Magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. Suele ser común hablar de la fuerza aplicada sobre un objeto, sin tener en cuenta al otro objeto con el que está interactuando; en este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo, dirección, o sentido de su velocidad), o bien de deformarlo.

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Resultante Coplanares

De

Fuerzas

7. MOMENTO ESTÁTICO DE SUPERFICIES. Definición. Cálculo para diferentes figuras. 8. MOMENTO DE INERCIA DE LAS ÁREAS PLANAS. Concepto. Definición. Unidades. Determinación analítica y gráfica para diferentes figuras. Método de Cullman y Teorema de Mohr de los ejes paralelos. Momento polar de inercia. Radio de giro. Ejes principales de inercia. Cambio de dirección de los ejes. Producto de inercia. Círculo de Mohr. Círculo de Land. 9. ESTRUCTURAS RETICULARES PLANAS. Definición y generación. Condiciones de isostacidad. Diferentes formas de estructuras reticulares planas: cerchas, cabriadas, jácenas, pórticos y arcos. Cargas: viento, nieve, peso propio. Hipótesis y procedimientos de cálculo: gráficos y analíticos. Cremona, Ritter, Cullman. 10. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS. Momento flector (M). Esfuerzo de corte (Q). Esfuerzo normal (N). Determinación gráfica y analítica de las acciones internas en los sitemas planos. Trazado de los diagramas de M- Q-N, para diferentes estados e cargas y condiciones de apoyo. Relaciones analíticas entre M-Q-N. Secciones peligrosas. Determinación de Mmax. y Qmax. Ejemplo practico: Dos caballos tiran de una carreta

La resultante de las dos fuerzas paralelas es otra fuerza paralela a las componentes y del mismo sentido; su intensidad es la forma de ellos. Ejemplo con vectores F1 = 2N F2=1N El punto de aplicación de la fuerza resultante esta en la recta que une los dos puntos de aplicación de sus componentes. La distancia de la resultante, esta en razón inversa de las intensidades de cada uno de los componentes, por lo tanto, en este ejemplo, la fuerza resultante está a una distancia igual a 1 de la componente de 2kg y a una distancia de un componente 1kg. Fuerzas paralelas de sentido contrario y distinta intensidad Ejemplo practico La resultante es paralela a su fuerza componente, con sentido a la mayor. La intensidad es igual a la intensidad de los componentes y su punto de aplicación no se encuentra entre ellas, sino en la prolongación de la linea que une los puntos de aplicación y en el lado de la fuerza cuya intensidad es mayor a una distancia determinada, como en el caso anterior, es decir, inversamente proporcionales a la distancia respectiva al punto de aplicación de la resultante de manera que la fuerza resultante se encuentra a una distancia 2 de la F1 1 y a una distancia triple de la F2.

Componentes Rectangulares De Una Fuerza En El Plano

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Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, son todos los vectores coplanares que se encuentran delimitados por las coordenadas “X” e “Y”. Al ser coplanares estos se encuentran en un plano bidimensional, los que se encuentran en un plano tridimensional ya son considerados como “componentes rectangulares en el espacio”. Miguel Angel Sánchez Solís (Tecnologico de Zacatepec)

RESULTANTE DE FUERZAS COPLANARES FUERZA: es la interacción de un objeto sobre otro a la fuerza se le representa por un vector. VECTOR: representa magnitud, sentido y dirección. Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bi o tridimensionales) Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación. Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, magnitud y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es . Expresado con fórmulas, dado un vector de coordenadas (x, y, z) ( ) su magnitud es . Su dirección está dada por la recta que contiene a dicho vector, y su sentido puede ser “hacia un lado” o “hacia el otro”. Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas, la resultante tendrá un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas, pero su punto de aplicación debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las componentes. F = fuerza F = ll F ll = magnitud Θx= ángulo en x Θy = ángulo en y Θz = ángulo en z En una linea de acción solo actúa sentido y magnitud En un plano en el que se requiere sentido, dirección y magnitud llevan asociados un ángulo. La resultante de dos o más fuerzas paralelas tiene un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas. Cuando dos fuerzas paralelas de la misma magnitud pero de sentido contrario actúan sobre un cuerpo, se produce el llamado par de

fuerzas en el que el resultante es igual a cero y su punto de aplicación está en el centro de la línea que une a los puntos de aplicación de las fuerzas componentes Para la suma o resta de vectores existen diferentes métodos entre ellos están:

METODO DEL TRIANGULO Para la suma de vectores: • Dibujar uno de los vectores • Al final del vector dibujar el otro • Trazar un vector que une la partícula con el final del segundo vector dibujado. A este vector se le llama resultante METODO DEL PARALELOGRAMO • Dibujar las fuerzas o vectores • Trazar paralelas a las líneas de acción de cada una de las fuerzas del vector contrario • Se une la intersección de las líneas trazadas con la partícula con un vector que representa a la resultante. MÉTODO DEL POLÍGONO Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector.

Componentes Rectangulares De Una Fuerza En El Espacio

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El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representa

con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A (recuerda que A y representa el mismo vector) con punto inicial en O. Los vectores reciben el nombre de componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las direcciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada eje. A estos vectores unitarios se les designa por donde: Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la siguiente manera. Donde son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las proyecciones del vector sobre los ejes x, y y z. De esta manera el vector queda expresado así La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces. La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras: a) por medio de los cosenos de los ángulos directores Son los ángulos que el vector forma con cada eje. = ángulo entre el vector y el eje x = ángulo entre el vector y el eje y = ángulo entre el vector y el eje z Los cosenos son respectivamente Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así. b) por medio de los ángulos y de las coordenadas esféricas

Definimos dos ángulos; como el ángulo que hace el vector con el eje Z y como el ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo. Estos ángulos están dados de la siguiente forma: A las variables se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.

Condiciones De Equilibrio

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Condición de Equilibrio o equilibrio translacional. La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera es igual a cero. Aplicando la segunda ley de Newton en un cuerpo cualquiera en reposo todas las fuerzas aplicadas se eliminan de tal manera que da como resultado cero en la ecuación lo cual significa que la aceleración es también igual a cero lo cual hace que de cero en el producto con la masa. (Tomamos en cuenta que este comentario es en base del conocimiento del usuario de las leyes de Newton como su generalización y sus correspondientes fórmulas) 2° Condición de Equilibrio. La suma algebraica de las torcas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que los contiene es igual a cero. Momento de fuerza o torca: El momento de una fuerza o torca produce una rotación de un cuerpo alrededor de un punto fijo físicamente llamado eje. El momento de una fuerza con respécto a un punto cualquiera, (centro de momento o eje de rotación) es el producto de la fuerza por la distancia prependicular del centro de momento a la fuerza (brazo de momento)

Los signos de este pueden ser positivo cuando el movimiento es anti-horario con respecto a su eje, y negativos cuando es horario con respecto a su eje. CONDICIONES DE EQUILIBRIO Esta condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por sí sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma línea de acción, sí producen equilibrio. El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de suspensión; inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase por el límite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de gravedad pase siempre por ella. PRIMERA CONDICIÓN: EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN Cuando se estudio la primera ley de Newton, llegamos a la conclusión de que si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza externa, este permanece en reposo en un movimiento rectilíneo uniforme. Pero sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas y seguir en reposo en un movimiento rectilíneo uniforme. Hay que tener en cuenta, que tanto para la situación de reposo, como para la de movimiento rectilíneo uniforme la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a cero. ECUACIONES Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son F1, F2, …Fn, el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si : Fr = F1 + F2 + …..Fn = 0 Si se utiliza un sistema de coordenaas cartesianas en cuyo origen colocamos el cuerpo y sobre los ejes proyectamos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, tendremos: Fx = 0 y Fy =0 SEGUNDA CONDICION: EQUILIBRIO DE ROTACIÓN

Si a un cuerpo que puede girar alrededor de un eje, se la aplican varias fuerzas y no producen variación en su movimiento de rotación, se dice que el cuerpo puede estar en reposo o tener movimiento uniforme de rotación. También se puede decir que un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si la suma algebraica de los momentos o torques de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera debe ser igual a cero. Esto es T= 0 Un cuerpo de 15 kg cuelga en reposo arrollado en torno a un cilindro de 12 cm de diámetro. Calcular el torque respecto al eje del cilindro. La barra homogénea puede rotar alrededor de O. Sobre la barra se aplican las fuerzas F1 = 5 d , F2 = 8 d y F3= 12 d, si se sabe que OA = 10 cm, OB = 4 cm y OC = 2 cm.. Entonces: • Calcula el torque de cada una de las fuerzas con relación a O. • Calcula el valor del torque resultante que actúa sobre el cuerpo. • ¿Cuál es el sentido de rotación que el cuerpo tiende a adquirir ? • ¿ Cuál debe ser el valor y el sentido de la fuerza paralela a F1 y F2 que se debe aplicar en C para que la barra quede en equilibrio ? Si una barra soporta un cuerpo de 5 kg. Calcular el torque creado por este cuerpo respecto a un eje que pasa por: • el extremo superior • el punto medio en la barra un automóvil de 2000 kg tiene ruedas de 80cm de diámetro. Se acelera partiendo de reposo hasta adquirir una velocidad de 12m/s en 4 seg. Calcular: • La fuerza aceleradora necesaria • El torque que aplica a cada una de las ruedas motrices para suministrar esta fuerza. Un cuerpo de 20 kg se suspende mediante tres cuerdas. Calcular las fuerzas de tensión ejercida por cada cuerda.

un antebrazo un cuerpo de 4 kg. Si se encuentra en equilibrio, calcular la fuerza ejercida por el músculo bíceps. Considera que la masa del antebrazo es de 2kg y actúa sobre el punto P (sugerencia: aplica torques con respecto a la articulación del codo Una escalera de 3m de longitud y 8 kg de masa está recargada sobre una pared sin rozamiento. Determina el mínimo coeficiente de fricción (Us) entre el piso y la escalera, para que la escalera no resbale. Encontrar la masa del cuerpo homogéneo si el dinamómetro marca 35 N (g =10m/s) En los extremos de una palanca de primer genero de 10kg, cuelga dos masas de 3kg y 9kg. ¿Dónde se encuentra el punto de apoyo si la palanca mide 40 cm y se encuentra equilibrada? Una palanca de tercer género mide 50 cm y tiene una masa de 250 g; si a 30 cm del punto de apoyo se coloca una masa de 300g. ¿qué resistencia se podrá equilibrar?

Primera Ley De Newton

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La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dice que si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

Equilibrio De La Particula En El Plano Y En El Espacio

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Introducción Muchas veces nos confundimos entre lo que es Estática y lo que es Dinámica, por eso antes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario diferenciar entre dichas ramas de la Mecánica. La Estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en reposo como en movimiento con velocidad constante; mientras que la Dinámica estudia los cuerpos acelerados, aunque se puede establecer el equilibrio dinámico mediante la introducción de las fuerzas de inercia. Para detallar y explicar la parte teórica tomaremos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los cuales se aplican principios físicos, como: Equilibrio en el vuelo de un esquiador Por qué vuela el avión ¿Por qué no se cae la Torre Pisa? Fuerzas y principios físicos en la caída de un gato Equilibrio en el vuelo de un Búmeran Equilibrio en el baile Equilibrio de una plataforma sostenida por una columna Curiosidades de la física.

Finalmente quedará demostrado que la Física no es solamente abstracta, sino que es también práctica y ocurre en la vida diaria, y el estudio del equilibrio es un paso previo para el estudio de la Dinámica y otras ramas de la Física. Conceptos Fundamentales de la Mecánica Antes de iniciar el estudio del “Equilibrio de Cuerpos”, es importante comprender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades Básicas: Las cuatro cantidades siguientes se utilizan en el equilibrio: Longitud: La longitud es necesaria para ubicar un punto en el espacio y de esta forma describir el tamaño de un sistema físico. Una vez que se define una unidad estándar de longitud, puede definirse cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de esa unidad de longitud. Tiempo: El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la Estática son independientes del tiempo, esta cantidad definitivamente juega un papel importante en el estudio de la Dinámica. Masa: La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia que presenta la materia al cambio de velocidad. Fuerza: En general, la fuerza es considerada como un “jalón” o “tirón” ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe un contacto directo entre los cuerpos, por ejemplo, una persona empujando sobre una pared. Puede presentarse también a lo largo de una distancia determinada cuando los cuerpos se separan físicamente. Como ejemplos de este último caso están incluidas las fuerzas eléctricas, magnéticas y gravitacionales. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por su magnitud, dirección y punto de aplicación. Idealizaciones: Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio con la finalidad de simplificar la aplicación de la teoría. Se definirá algunas de las idealizaciones más importantes. Partícula: Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia su movimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una partícula, los principios de la Mecánica se simplifican de manera importante, debido a que la geometría del cuerpo no se tomará en cuenta en el análisis del problema. Cuerpo Rígido: Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto formado por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. Como resultado, las propiedades del material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se

tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre éste. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo rígido es apropiada para efectos de análisis. Fuerza Concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga la cual se supone que actúa en algún punto de un cuerpo. Podemos representar este efecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el área sobre la cual se aplica la carga sea relativamente pequeña comparada con el tamaño del cuerpo. Leyes del Movimiento de Newton: El tema de la mecánica del cuerpo rígido se encuentra basado en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se sustenta en la observación experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula, medido desde un marco de referencia no acelerado no acelerado, y pueden definirse brevemente de la forma siguiente: Primera Ley: Una partícula que se encuentra originalmente en reposo, o moviéndose en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre y cuando una fuerza desbalanceada no actúe sobre ésta. Segunda Ley: Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que posee la misma dirección que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la misma. Si F se aplica a una partícula de masa m, esta ley puede expresarse matemáticamente como F = ma Tercera Ley: Las fuerzas de acción y repulsión entre dos partículas son iguales en intensidad, opuestas en sentido y colineales. Estabilidad y Equilibrio Un cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleración de traslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas u la suma de todos los momentos que actúan sobre él son cero. Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados: (1) el objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en equilibrio estable; (2) el objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio inestable; o bien (3) el objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente. Daremos los ejemplos siguientes: Una pelota colgada libremente de un hilo está en equilibrio estable porque si se desplaza hacia un lado, rápidamente regresará a su posición inicial. Por otro lado, un lápiz parado sobre su punta está en equilibrio inestable; si su centro de gravedad está directamente arriba de su punta la fuerza y el momento netos sobre él serán cero, pero si se desplaza aunque sea un poco, digamos por alguna corriente de aire o una vibración, habrá un momento sobre él y continuaré cayendo en dirección del desplazamiento original. Por último, un ejemplo de cuerpo en equilibrio indiferente es una

esfera que descansa sobre una mesa horizontal; si se desplaza ligeramente hacia un lado permanecerá en su posición nueva. En la mayor parte de los casos como en el diseño de estructuras y en trabajos con el cuerpo humano, nos interesa mantener equilibrio estable o balance, como decimos a veces. En general un objeto cuyo centro de gravedad esté debajo de su punto de apoyo, como por ejemplo una pelota sujeta de un hilo, estará en equilibrio estable. Si el centro de gravedad está arriba de la base o soporte, tenemos un caso más complicado. Por ejemplo, el bloque que se para sobre su extremo, si se inclina ligeramente regresará a su estado original, pero si se inclina demasiado, caerá. El punto crítico se alcanza cuando el centro de gravedad ya no cae sobre la base de soporte. En general, un cuerpo cuyo centro de gravedad está arriba de su base de soporte estará en equilibrio estable si una línea vertical que pase por su centro de gravedad pasa dentro de su base de soporte. Esto se debe a que la fuerza hacia arriba sobre el objeto, la cual equilibra a la gravedad, sólo se puede ejercer dentro del área de contacto, y entonces, si la fuerza de gravedad actúa más allá de esa área, habrá un momento neto que volteará el objeto. Entonces la estabilidad puede ser relativa. Un ladrillo que yace sobre su cara más amplia es más estable que si yace sobre su extremo, porque se necesitará más esfuerzo para hacerlo voltear. En el caso extremo del lápiz, la base es prácticamente un punto y la menor perturbación lo hará caer. En general, mientras más grande sea la base y más abajo esté el centro de gravedad, será más estable el objeto. En este sentido, los seres humanos son mucho menos estables que los mamíferos cuadrúpedos, los cuales no sólo tienen mayor base de soporte por sus cuatro patas, sino que tienen un centro de gravedad más bajo. La especie humana tuvo que desarrollar características especiales, como ciertos músculos muy poderosos, para poder manejar el problema de mantenerse parados y al mismo tiempo estable. A causa de su posición vertical, los seres humanos sufren de numerosos achaques, como el dolor de la parte baja de la espalda debido a las grandes fuerzas que intervienen. Cuando camina y efectúa otros tipos de movimientos, una persona desplaza continuamente su cuerpo, de modo que su centro de gravedad esté sobre los pies, aunque en el adulto normal ello no requiera de concentración de pensamiento. Un movimiento tan sencillo, como el inclinarse, necesita del movimiento de la cadera hacia atrás para que el centro de gravedad permanezca sobre los pies, y este cambio de posición se lleva a cabo sin reparar en él. Para verlo párese usted con sus piernas y espalda apoyadas en una pared y trate de tocar los dedos de sus pies. Las personas que cargan pesos grandes ajustan en forma automática su postura para que el centro de gravedad de la masa total caiga sobre sus pies. Principios de Equilibrio

Condiciones Generales de Equilibrio La suma algebraica de las componentes (rectangulares) de todas las fuerzas según cualquier línea es igual a cero. La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto cualquier línea (cualquier punto para fuerzas coplanares) es igual a cero. Se aplicarán en seguida estas condiciones generales de equilibrio en las varias clases de sistemas de fuerzas, a fin de deducir las condiciones suficientes para obtener resultante nula en cada caso. Fuerzas Colineales Hay solo una condición de equilibrio que puede expresarse (1) ∑F = 0 o (2) ∑M8 = 0. La (1) establece que la suma algebraica de las fuerzas es cero, y la (2) que la suma algebraica de los momentos respecto cualquier punto (no en la línea de acción) es cero. La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas queda cerrado. Fuerzas Coplanares Concurrentes Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse en tres formas: (1) ∑Fx = ∑Fy = 0 (2) ∑Fx = ∑Ma = 0 (1)∑Ma = ∑Mb = 0 La forma (1) expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero; la (2) que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado); la (3) se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida. En cualquiera de los casos anteriores la resultante es cero por lo siguiente: 1º Si existe resultante del sistema, es una sola fuerza: y si por tanto ∑Fx = 0 y ∑Fy = 0, también R = 0.

2º Si ∑Fx = 0, si hay resultante debe ser perpendicular al eje X, y si ∑Ma = 0, entonces el momento de R respecto al punto es cero, lo que exige que R = 0. 3º Si hay resultante, debe pasar por el punto de intersección, pero si ∑Ma = 0, entonces R pasa por él también, y si ∑Mb = 0, R debe ser cero, no estando b sobre c. La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas quede cerrado, pues entonces no hay resultante. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio. (1) ∑F = ∑M = 0 ó (2) ∑Ma = ∑Mb = 0 Se enuncian similarmente al caso anterior. Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay resultante será una fuerza o un par. Si (1) ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no hay resultante. (2) Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; y si también ∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que implica que la fuerza es cero. Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funicular deben cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condición segunda no existirá el par. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas. Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio: (1) ∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0 (2) ∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0 (3) ∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0 Y se ha explicado, lo que significan las expresiones anteriores. Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales. Estas tres condiciones bastan para

dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante será una fuerza o un par. Si en (1), ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M = 0, no es un par y no habrá resultante. En (2), si ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si ∑Ma = 0, no es un par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además, ∑Mb = 0, el momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero. En (3), si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero. Fuerzas No Coplanares Concurrentes Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Se expresan: ∑Fx = Fy = ∑Fz = 0 es decir, la suma algebraica de las componentes según tres ejes rectangulares x, y, z, es cero, pues si existe resultante será igual a: Fuerzas No Coplanares Paralelas Hay tres condiciones independientes que se expresan en dos formas: (1) ∑F = ∑M1 = ∑M2= 0 y (2) ∑M1 = ∑M2 = ∑M3 = 0 La forma (1) expresa que la suma algebraica de las fuerzas, y la de los momentos respecto dos ejes perpendiculares a las fuerzas pero no paralelas entre sí, es igual a cero; y la (2), que la suma algebraica de los momentos respecto tres ejes no concurrentes, no paralelos y perpendiculares a las fuerzas, es cero. En efecto, en (1), si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, si además ∑M1 = 0, la resultante es un par cuyo plano es paralelo al primer eje de momento y a las fuerzas; y si ∑M2=0, ese plano será también paralelo al segundo eje; pero estas condiciones de paralelismo no pueden realizarse sino cuando las fuerzas del par son colineales, en cuyo caso se balancean, y no hay resultante. En (2), si ∑M1=∑M2 = 0, la resultante será una fuerza que pasa por la intersección de los ejes 1 y 2; si además ∑M3 = 0, esa fuerza será cero, y no existirá resultante. Fuerzas No Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas Hay seis condiciones algebraicas independientes de equilibrio: ∑Fx = ∑Fy = ∑Fz = ∑Mx = ∑My = ∑Mz = 0

Es decir, la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas según tres líneas, y la de los momentos con respecto a tres ejes no coplanares es cero. Por lo general, es conveniente tomar las tres líneas y los ejes perpendiculares entre sí. En efecto, si hay resultante, será una línea o un par, si las componentes según las líneas son cero, la fuerza será cero, y si los momentos son cero, el par no existe y no hay resultante. Condiciones Especiales de Equilibrio Ciertas condiciones especiales de equilibrio dependientes del número de fuerzas en el sistema, son de gran uso. Son las siguientes: Una fuerza simple no puede estar en equilibrio. Si dos fuerzas están en equilibrio son necesariamente colineales, iguales y opuestas. Si tres fuerzas están en equilibrio, deben ser coplanares y concurrentes o paralelas. En efecto, si las fuerzas con F´, F´´, F´´´, desde que F´ y F´´ balancea a F´´´, tendrán una resultante colineal con ésta, y en tal caso están en el mismo plano que F´´´. Si F´y F´´ son concurrentes su resultante es concurrente con ellas y también F´´´; si son paralelas, entonces R, y por tanto F´´´, es paralela a ellas. Cuando las tres fuerzas son concurrentes, cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo de los otros dos (Teorema de Laml). Por lo tanto: donde a, b, c, son los ángulos aludidos. Estas ecuaciones de deducen aplicando el principio de los senos al triángulo de las fuerzas. Cuando las tres fuerzas son paralelas, las dos exteriores tienen la misma dirección, y la central es opuesta los momentos de dos de cualquiera de esas fuerzas respecto un punto sobre la tercera, son iguales en magnitud y opuestas en signo. Si cuatro fuerzas coplanares están en equilibrio, la resultante de dos de ellas balancea las otras dos. Por tanto: a) si las dos primeras son concurrentes y las otras también, la resultante pasa por los dos puntos de concurrencia; b) si dos son concurrentes y las otras paralelas, la resultante de las primeras actúa por el punto de concurrencia y es paralela a las otras; c) si las cuatro fuerzas son paralelas, la resultante también les es paralela. Los principios (a) y (b) se usan en el análisis gráfico de los sistemas de cuatro fuerzas. Fuerzas Externas e Internas

La palabra “cuerpo”se usa en Mecánica en forma amplia para denominar cualquier porción definida de materia, simple o rígida, como una piedra, tablón, etc., o compleja como un puente, máquina, etc., o fluida como el agua en un depósito, etc. De tal modo, cualquier parte de uno de esos elementos puede llamarse “cuerpo”, si esa parte tiene especial interés para tomarse por separado. Conviene distinguir entre fuerzas externas e internas con referencia a un cuerpo determinado. Es externa a un cuerpo si ejerce sobre él por otro cuerpo; es interna si se ejerce en parte del cuerpo por otra parte del mismo cuerpo. Con referencia a un cuerpo, todas las fuerzas externas tomadas en conjunto se llaman el sistema externo, y las interiores en conjunto el sistema interno. Cuando un cuerpo está inmóvil, todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre el, constituyen un sistema de equilibrio. El sistema interno está constituido por fuerzas que mutuamente se balancean y por tanto, el sistema externo también se halla balanceado. Puede, en consecuencia, decirse que el sistema externo de las fuerzas que actúan en un cuerpo inmóvil está en equilibrio. Diagrama de Cuerpo Libre Los párrafos siguientes se refieren a aplicaciones de las condiciones de equilibrio. Estas condiciones deben aplicarse, por cierto, a un sistema equilibrado, y su uso exige la consideración previa de un sistema que comprende las fuerzas por estudiar. Esto se hace considerando el cuerpo inmóvil dado por sí solo, con las fuerzas que actúan sobre él. Se centra así el diagrama del cuerpo libre, que es un dibujo mostrando: 1) el cuerpo solo, asilado de otros cuerpos, y 2) todas las fuerzas externas que se ejercen sobre dicho cuerpo. En ese diagrama no aparecerán las fuerzas ejercidas por el cuerpo, sino las que se ejercen sobre él, y tampoco incluirá fuerzas interiores. Se ha dicho que las fuerzas externas son en general las debidas a la atracción de la Tierra, o las ocasionadas por contacto. Esas fuerzas son por tanto usualmente la de gravitación, más el número de contacto entre el cuerpo dado y otros cuerpos. Se dan enseguida ejemplos sobre la representación del diagrama del cuerpo libre. Torque de una Fuerza Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar la palabra torque y no momento, porque esta última se emplea para referirnos

al momento lineal, momento angular o momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa una misma palabra. Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre la regla fija en O, como se muestra en la figura (a).Una fuerza F1 aplicada en el punto a produce una rotación en sentido antihorario, F2 en b produce una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a, F3 en b pero en dirección de la línea de acción que pasa por O no produce rotación, F4 inclinada en b produce rotación horaria con menor rapidez de rotación que F2; F5 y F6 aplicadas perpendicularmente a la regla no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que definimos como el torque de la fuerza. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Se define el torque T de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O, por el que puede pasar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F.

T=rxF El torque es una magnitud vectorial, si q es el ángulo entre r y F, su valor numérico por definición del producto vectorial, es: Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagrama vectorial se muestra en la figura que sigue; su sentido está dado por la regla del producto vectorial o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano derecha los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F a través del ángulo q , la dirección del pulgar derecho estirado es la dirección del torque y en general de cualquier producto vectorial. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Por convención se considera el torque positivo o negativo si la rotación que produce la fuerza es en sentido antihorario u horario respectivamente.

El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto de un origen O. Si la fuerza F pasa por O, r = 0 y el torque es cero. Si q = 0 o 180º, es decir, F está sobre la línea de acción de r, F senq = 0 y el torque es cero. F senq es la componente de F perpendicular a r, sólo esta componente realiza torque, y se le puede llamar F┴. En la siguiente figura se ve que r┴ = r senq es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a r┴ se le llama brazo de palanca de F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como: T = r (F senq ) = F (r senq ) = rF┴ = r┴F Rotación positiva Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Equilibrio de los Cuerpos Definición matemática: El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las acciones de gravedad sobre las moléculas del cuerpo. El punto G de aplicación de la resultante g se llama baricentro del cuerpo dado. Ejemplo: Supongamos un cuerpo constituido por 10 moléculas iguales. Sus fuerzas gravíticas particulares son 1, 2, 3,…, 9, 10. La fuerza gravítica general es g, resultante del sistema 1, 2, 3,…, 9, 10. Equilibrio.- El equilibrio es el estado de reposo de un cuerpo. Un cuerpo está en equilibrio cuando en su centro de gravedad está aplicada una fuerza igual y opuesta a su peso. Un cuerpo puede estar en equilibrio de dos modos: 1°, si está suspendido 2°, si descansa en una base. Condición de equilibrio de un cuerpo suspendido, móvil alrededor de un punto fijo.- Para que un cuerpo móvil alrededor de un punto fijo esté en equilibrio, es menester que la vertical que pasa por el centro de gravedad pase también por el punto de suspensión. Con esta condición, el equilibrio puede ser: estable, inestable o indiferente. El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está debajo del punto de suspensión.

Ejemplo: El péndulo, la plomada, una campana colgada. El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión. Ejemplo: Un bastón sobre su punta. El equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio en cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión. Ejemplo: Una rueda en su eje. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Equilibrio Estable Equilibrio inestable Equilibrio Indiferente Cuando el cuerpo se aleja de su posición de equilibrio, el peso P puede descomponerse en dos fuerzas rectangulares; una anulada por la resistencia de uno de los ejes, y la otra imprime al cuerpo un movimiento de rotación, que lo lleva a la posición de equilibrio estable o lo aleja de ella. Condición de equilibrio de un cuerpo que descansa sobre un plano.- Para que un cuerpo que descansa sobre un plano esté en equilibrio es preciso que la vertical del centro de gravedad pase por el interior de la base de sustentación. Se llama base de sustentación la superficie de apoyo del cuerpo o también el polígono que se forma al unir los diversos puntos de apoyo, cuando son varios (una silla, por ejemplo). Un cuerpo colocado en un plano horizontal, puede presentar, como el caso precedente, tres clases de equilibrio: 1° El equilibrio será estable, si el centro de gravedad está más bajo que cualquiera otra posición. Ejemplo: Una pirámide que descansa sobre su base. 2° El equilibrio será inestable, si el centro de gravedad se halla más alto que cualquiera otra posición. Ejemplo: una pirámide regular cuyo vértice descansa sobre su plano. 3° Se hallará en Equilibrio indiferente, si su centro de gravedad no sube ni baja las posiciones que pueda tomar. Ejemplo: una esfera perfecta y homogénea.

Inercia y Momento de Inercia Principio de Inercia Todos sabemos que cuando un ómnibus frena, los pasajeros son impulsados hacia delante, como si sus cuerpos trataran de seguir; a veces, en algunos choques, hasta hay personas que son despedidas fuera de los vehículos. Este es uno de los ejemplos que demuestra que “los cuerpos que los cuerpos que están en movimiento tienden a seguir en movimiento”. Esta propiedad de la materia se llama inercia. Pero hay otros aspectos de la inercia. Cuando un ómnibus arranca, por ejemplo, los pasajeros son impelidos hacia atrás, como si trataran de quedar en el reposo en el que se hallaban. Podríamos decir entonces que “los cuerpos que están en reposo tienden a seguir en reposo”. Pero hay más todavía. Si el conductor de un automóvil acelera o aminora la marcha, esas modificaciones repercuten inmediatamente en el cuerpo de los pasajeros, quienes se inclinan hacia atrás o hacia adelante respectivamente, de esto se deduce que “los cuerpos en movimiento tienden a mantener su velocidad”; pero como la velocidad es un vector, esto significa que “se mantiene no sólo la medida, sino también la dirección y el sentido de la velocidad”. Esto se puede ver cuando un vehículo entra en una curva, entonces los pasajeros son empujados hacia fuera, pues sus cuerpos tienden a seguir en la dirección que traían; incluso el auto mismo se inclina, y si se toma la curva a excesiva velocidad, se produce el vuelco, lo que muestra la tendencia del auto a seguir en línea recta. Podríamos resumir todo lo anterior en dos conclusiones: Todos los en reposo tienden a seguir en reposo. Todos los cuerpos en movimiento tienden a seguir moviéndose, pero con movimiento rectilíneo y uniforme. Principio de Inercia Fue descubierto por Leonardo de Vinci, quien lo mantuvo en secreto; más tarde fue estudiado por Galileo y finalmente Newton le dio la forma con que hoy lo conocemos: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan varias que se anulan entre sí, entonces el cuerpo está en reposo o bien en movimiento rectilíneo y uniforme”. Momento de Inercia

El torque es el análogo rotacional de la fuerza en el movimiento lineal, y un torque neto produce un movimiento rotacional. Para analizar esta relación, consideremos una fuerza constante que actúa sobre una partícula de masa m. La magnitud del torque sobre la partícula es: t = rF = rma = mr2a en donde a = ra es la aceleración tangencial. Para un sistema de partículas fijas (un cuerpo rígido) en rotación alrededor de un eje fijo, esta ecuación se puede aplicar tanto a cada partícula como a los resultados sobre todo el cuerpo, con el fin de encontrar el torque total. Todas las partículas de un cuerpo en rotación tienen la misma aceleración angular. t = t1 + t2 +… +tn t = m1r12a + m2r22a +… +mnrn2a t = (m1r12 + m2r22 +… +mnrn2)a Pero para un cuerpo rígido, las masas y las distancias del eje de rotación son constantes. Por consiguiente, la cantidad entre paréntesis es constante y se llama momento de inercia. La magnitud del torque es, entonces: t = Ia Esta es la forma rotacional de la segunda ley de Newton. Hay que recordar que las fuerzas y los torques netos son necesarios para producir movimientos, aunque no se indique explícitamente. En conclusión diremos que el momento de inercia I es una medida de la inercia rotacional o la tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento rotacional. Aunque se dice que I debe ser constante para un cuerpo rígido, y que es el análogo rotacional de la inercia, corresponde a un eje determinado y puede tener valores diferentes para ejes diferentes. El momento de inercia depende también de la distribución de la masa referente al eje de rotación. Conceptos Fundamentales para el Equilibrio de Cuerpos Centro de Gravedad

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto d aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando éste es el caso, siempre habrá un torque de restauración. No obstante, cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauración pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace rotar fuera de su posición de equilibrio. Los cuerpos rígidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relación es evidente en el diseño de los automóviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. También la posición del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades físicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de sus manos, con más facilidad que los varones, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo; en general, Los varones tienen centros de gravedad más altos (hombros más anchos) que las mujeres (pelvis grande), de modo que es más fácil que el centro de gravedad de un varón quede fuera de su base de apoyo cuando se flexiona hacia el frente. Movimiento del Centro de Gravedad

El movimiento que ejecuta cualquiera de los puntos de un sistema material puede ser muy complicado, pues resulta de componer el debido a la fuerza exterior aplicada al mismo con el que producen las fuerzas interiores que dimanan de los puntos restantes del sistema. Sin embargo, puede demostrarse que siempre, cualesquiera que sean las fuerzas interiores, el centro de gravedad del sistema se mueve como si en él estuviera concentrada toda la masa y sobre y sobre él actuasen todas las fuerzas exteriores. Centro de Masa Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría. En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un sistema. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Si el objeto está en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera una partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizado directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada allí. La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa F = MACM en donde F es la fuerza externa neta, M es la masa total del sistema o la suma de las masas de las partículas del sistema, y ACM es la aceleración del centro de masa. La ecuación dice que el centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del

sistema estuviera concentrada allí, y recibiera la acción de la resultante de todas las fuerzas externas. Asimismo, si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas es cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se conserva (permanece constante) dado que F = MD VCM / D t como para una partícula. Esto significa que el centro de masa se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque se pueda visualizar con más facilidad el centro de masa de un objeto sólido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier sistema de partículas u objetos, aunque esté en estado gaseoso. Para un sistema de n partículas dispuestas en una dimensión, a lo largo del eje x, la posición del centro de masa está dado por: Esto es, XCM es la coordenada de x del centro de masa de un sistema de partículas. En una notación corta: En donde S i indica la suma de los productos mixi para i partículas (i=1,2,3,…,n). Si S imixi = 0, entonces XCM = 0, y el centro de masa del sistema unidimensional está localizado en el origen. Otras coordenadas del centro de masas para el sistema de partículas se definen en forma similar. Para una distribución bidimensional de masas, las coordenadas del centro de masa son: (XCM, YCM). Fuerza Centrípeta Es la resultante de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo hacia el centro de la trayectoria curva y es la que produce el movimiento circular. La magnitud mv2/r no es una fuerza sino que representa el producto de la masa m por la magnitud de la aceleración centrípeta v2/r. Esta aceleración está dirigida hacia el centro, lo que indica que la resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo que gira uniformemente a lo largo de una circunferencia está dirigida hacia el centro. Así pues, existen la aceleración centrípeta (o aceleración normal) y las fuerzas cuya suma vectorial le comunica al cuerpo esta aceleración centrípeta. Fuerzas de Coriolis y Fuerzas Inerciales En un marco de referencia que gire a velocidad angular constante w en relación con un marco de referencia inercial, existe una pseodofuerza llamada fuerza de Coriolis. Esta

parece actuar en un cuerpo, en un marco de referencia en rotación, sólo si el cuerpo se mueve en relación con ese marco de referencia, y trata de desviar al cuerpo hacia un lado; también es un efecto de que el marco de referencia sea no inercial, y por lo tanto se llama fuerza inercial. Impulso y Cantidad de Movimiento Se llama impulso I aplicado por una fuerza F durante un lapso D t, al producto de la fuerza por el lapso en que estuvo aplicada. I = FD t Se llama cantidad de movimiento p de una masa m, al producto de su masa por su velocidad. p = mv Si un cuerpo experimenta un cambio en su velocidad D v, entonces su cantidad de movimiento experimenta un cambio D p. D p = mD v Con estas definiciones podemos expresar los resultados anteriores diciendo que “el impulso aplicado por una fuerza es igual a la variación de la cantidad de movimiento que entonces experimenta el cuerpo”. Por acción y reacción: F21 = -F12 m1a1 = -m2a2 Si la interacción dura D t y durante ese tiempo las fuerzas han sido constantes, entonces: F 21 D? t = -F 12 D? t m1a1D t = -m2a2D t m1D v1 = -m2D v2 Para cada masa se puede decir que:

FD t = mD v I=Dp Ejemplos de Aplicación Vuelo y Sustentación de un Esquiador Desde que se lanza hasta que se detiene, un saltador de esquís saca partido unas veces de la gravedad y otras de la fuerza centrífuga o del rozamiento del aire. El salto de trampolín empieza con una fase de impulso durante la cual se reduce la resistencia del aire con la “postura del huevo”. Aplastado por la fuerza centrífuga en la porción curva del trampolín, el saltador contrae los músculos. En el segmento recto final, sólo tiene un cuarto de segundo para enderezarse y proyectarse hacia arriba. En el vuelo, su postura optimiza la sustentación y rebaja la resistencia del aire. Durante el planeo, el saltador adopta la postura que le permite volar lo más lejos posible. En el aire, saca partido de fuerzas que en el trampolín no hacían más que frenarlo. Le interesa minimizar la resistencia del aire (disminuir la superficie proyectada hacia delante), que tiende a rebajar su velocidad de vuelo, y aumentar la sustentación (aumentar la superficie proyectada hacia abajo), la fuerza que explica porqué los aviones se mantienen en el aire. Por ello, casi se acuesta sobre los esquís con los brazos pegados al cuerpo, a la vez que mantiene un ángulo constante de 20 grados entre los esquís y la velocidad. Esta postura viene dictada por la experiencia, pero las simulaciones por ordenador y los ensayos en túnel aerodinámico confirman su eficacia. Asombra más que el esquiador mejore la sustentación disponiendo los esquís en V. Esta postura inventada a fines de los años ochenta por el sueco Jan Bokloev, les pareció en un principio chocante a los puristas, habituados a los esquís paralelos. La mejora en los resultados fue tan evidente que, desde 1992, la alta competición sólo conoce especialistas en la postura de Bokloev. Cuando un esquiador logra la postura óptima, la sustentación llega a los 300 néwtones (30 kilogramos) durante el vuelo. ¡Y se duda de que un efecto de tal amplitud influya en las marcas! Sin embargo, para que la competición mantenga su interés, es esencial que la fuerza de sustentación proceda de las aptitudes del esquiador y no de la forma o de la naturaleza de su equipo. Por ello, las normas internacionales del salto con esquís limitan estrictamente las medidas, los materiales y la confección de los trajes de los esquiadores. Para evitar que el esquiador se transforme en un ala volante, su indumentaria debe ceñirse al cuerpo; no debe

superar en más de ocho centímetros el tórax. El tejido no puede favorecer la sustentación. No debe estar ni plastificado ni revestido de caucho; ha de dejar que penetre el aire. Por Qué Vuela un Avión Fuerzas y momentos que actúan sobre la Aeronave. Un avión es un cuerpo tridimensional que se mueve en el espacio alrededor de sus 3 ejes que son: Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Eje Longitudinal = X Es una línea imaginaria que va desde el morro hasta la cola de un avión; La rotación en torno al eje longitudinal se denomina “balanceo” y se controla con los alerones. Eje Vertical = Z Es una línea vertical imaginaria que atraviesa el centro del avión. La rotación en torno al eje vertical se denomina “guiñada” y se controla mediante el timón de dirección. Eje Lateral ó Transversal = Y Es una línea imaginaria desde la punta de un ala hasta la otra. El movimiento en torno al eje lateral se denomina “cabeceo” y se controla con el timón de profundidad. Fuerzas que actúan sobre la aeronave:

Las fuerzas en oposición se equilibran mutuamente en el vuelo estable, que incluye el vuelo en línea recta y nivelado así como el ascenso o el descenso estables a una velocidad constante. Se puede asumir que las cuatro fuerzas actúan en un punto único denominado centro de gravedad (CG). Peso (W) Una de las cuatro fuerzas básicas que actúan sobre un avión en vuelo. La sustentación es la fuerza opuesta al peso (más exactamente, la suma de todas las fuerzas hacia abajo) que actúa siempre en dirección al centro de la Tierra, esto es que la redondez de la tierra y el peso de un cuerpo se considera vertical.

En la mayoría de los cálculos, los ingenieros aeronáuticos parten del supuesto de que todo el peso del avión se concentra en un punto denominado centro de gravedad. En la práctica, se puede entender que el peso actúa sobre una línea situada entre el centro de gravedad del avión y el centro de la tierra. En principio, se puede pensar que el peso sólo cambia a medida que se consume el combustible. De hecho, a medida que un avión maniobra, experimenta variaciones en el factor de carga o fuerzas G, que cambia la carga que soportan las alas. Por ejemplo, un avión que realiza un viraje de nivel con un ladeo de 60 grados experimenta un factor de carga de 2. Si este avión pesa 2.000 lb (907 Kg) en estado de reposo en tierra, su peso efectivo se convierte en 4.000 lb (1.814 Kg) durante el viraje. Para conservar el equilibrio entre la sustentación y el peso en las maniobras, debe ajustar el ángulo de ataque. Durante un viraje lateral cerrado, por ejemplo, debe levantar el morro ligeramente (aumentar el ángulo de ataque) para generar mayor sustentación y así equilibrar el aumento de peso. Levantamiento ó Sustentación (L) La sustentación es la fuerza que hace volar a un aeroplano. La mayor parte de la sustentación de un aeroplano procede de sus alas. La sustentación que crea un ala se controla mediante el ajuste de la velocidad aerodinámica y el ángulo de ataque (ADA), es decir, el ángulo en que el ala se encuentra con el viento de frente. En general, a medida que aumenta la velocidad aerodinámica o el ángulo de ataque de un avión, se incrementa la sustentación generada por las alas. A medida que aumenta la velocidad del avión, debe reducir el ángulo de ataque (bajar el morro ligeramente) para mantener una altitud constante. A medida que disminuye la velocidad, debe aumentar el ángulo de ataque (subir el morro ligeramente) para generar mayor sustentación y mantener la altitud. Recuerde que, incluso en un ascenso o descenso, la sustentación se iguala al peso. El índice de ascenso o descenso de un avión está relacionado principalmente con el empuje generado por sus motores, no por la sustentación generada por las alas Formula para calcular el Levantamiento: Levantamiento = Viento Relativo x Resultante Total Aerodinámica

Resistencia o Resistencia al Avance (D) Los aviones se ven afectados por dos tipos de resistencia que son: Parásita e Inducida. Resistencia Parásita: La resistencia parásita es la fricción entre el aire y la estructura de un avión como son: tren de aterrizaje, superficie, antenas y demás apéndices. Es una resistencia al movimiento en el aire, compuesta por la resistencia de forma (debido al tren de aterrizaje, las antenas de radio, la forma de las alas, etc.), por el rozamiento (o fricción) superficial y la interferencia de la corriente de aire entre los componentes del avión como por ejemplo, la unión de las alas con el fuselaje o del fuselaje con la cola. La resistencia parásita aumenta de manera proporcional al cuadrado de la velocidad del avión. Si se dobla la velocidad, se cuadruplica la resistencia parásita Resistencia Inducida: La resistencia inducida es una consecuencia de la sustentación, que se genera por el desplazamiento del aire desde el área de alta presión situada bajo un ala, hacia el área de baja presión situada sobre ella. Cuando el aire de alta presión debajo del ala o rotor se arremolina en torno al extremo del área de baja presión situada encima de estos elementos se crean vórtices, que tienen por efecto absorber la energía del avión. Esta energía perdida es la resistencia inducida y se incrementa a medida que disminuye la velocidad aerodinámica. Este efecto es más pronunciado en velocidades aerodinámicas bajas, donde es necesario un ángulo de ataque alto para generar sustentación suficiente y equilibrar el peso. La resistencia inducida varía de forma inversamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Si reduce la velocidad aerodinámica a la mitad, la resistencia inducida aumenta cuatro veces.

Tracción o Empuje (T) El empuje que proporciona el motor de un avión lo impulsa a través del aire. El empuje se opone a la resistencia; en un vuelo estable ambas fuerzas son iguales. Si se aumenta el empuje y se conserva la altitud, el primero supera de forma momentánea la resistencia y el avión acelera. Sin embargo, la resistencia también aumenta y pronto se equilibra con el empuje, el avión deja de acelerar y continúa el vuelo estable con una velocidad aerodinámica superior pero constante. El empuje también es el factor más importante a la hora de determinar la posibilidad de ascenso del avión. De hecho, la velocidad de ascenso (o ascensional) máxima de un avión no está relacionada con la fuerza de sustentación que generan las alas, sino con la potencia disponible después de la necesaria para mantener el vuelo nivelado. Formula para calcular la tracción: Tracción = Masa de Aire x Aceleración ¿Por qué no se cae la Torre Pisa? La torre inclinada de Pisa está en equilibrio estable, porque ha sido construida con materiales muy pesados hasta la ¼ parte y luego más y más livianos yendo hacia arriba. De esta manera se ha bajado considerablemente el centro de gravedad de la torre, y la vertical que arranca de dicho centro cae todavía muy dentro de la base de sustentación delimitada por los cimientos. Fuerzas y Principios Físicos en la Caída de un Gato Desde tiempo inmemorial el hombre ha observado la habilidad gatuna, pero sólo en 1894 comenzó a considerarla como un “problema científico”. La Academia de Ciencias de Paris convocó un concurso público para explicar físicamente cómo consigue el gato aterrizar siempre de cuatro patas al caer de una gran altura. Si se agarra un gato por sus cuatro patas, panza arriba, y se le deja caer, girará en menos de medio segundo alrededor de su propio eje y amortiguará el golpe contra el suelo con las patas estiradas. Da la sensación de que, tras ese giro de 180 grados, no cambiará de postura hasta poner las patas en el suelo.

El animal ha de actuar con rapidez. Al cabo de medio segundo, la velocidad de su centro de gravedad alcanza los 18 Km/h. Mientras que la velocidad de caída sólo crece proporcionalmente con el tiempo; la energía cinética del gato lo hace mucho más de prisa y, con esta, aumenta el peligro de que se lesione en un aterrizaje desgraciado. A los expertos en mecánica les parecía que el giro se debía al empuje impartido al animal al soltarlo, que así conseguiría un momento angular en uno u otro sentido. El gato, durante su caída, sólo podría girar parte del cuerpo moviendo simultáneamente otra parte en sentido contrario, de suerte que se compensasen los dos momentos angulares. El momento angular total siempre se conserva; si al principio era cero, no podía aparecer de la nada momento alguno. Además para poner simultáneamente las patas traseras y delanteras sobre el suelo, debería girar su cuerpo una vuelta entera, lo que, según lo observado, no era el caso. Tras algunos experimentos se rechazó esta hipótesis del empuje, así como la hipótesis de que consigue el giro a lo largo de su eje remando vigorosamente la cola. En el año 1894, Ettienne Jules Marey presentó dos secuencias de imágenes, desde distinta perspectiva de la caída de un gato. A partir de esa figura, Marey supuso que el gato giraba en dos tiempos. En el primero, extendía sus patas traseras perpendicularmente al eje del cuerpo (con lo que aumentaba el momento de inercia de la mitad trasera del cuerpo para el giro axial), mientras que simultáneamente plegaba sus patas delanteras hacia el eje (y reducía el momento de inercia axial de la mitad delantera del cuerpo). Si el gato giraba en un sentido su mitad delantera, su mitad trasera rotaba en sentido opuesto, pero más despacio, en relación inversa a los momentos de inercia. En un segundo tiempo el felino estiraba las patas delanteras transversalmente y recogía las patas traseras a lo largo, para que la parte trasera girara con mayor ángulo. El resultado final era que las dos mitades habían girado en idéntico sentido aproximadamente la misma diferencia de ángulo. Equilibrio en el Vuelo de un Búmeran Toda teoría física que se proponga para explicar el vuelo del búmeran ha de ofrecer respuestas s tres cuestiones claves: ¿Por qué vuelve el búmeran y cuál es el diámetro de la trayectoria de vuelta? ¿Qué proceso frena su vuelo hasta detenerlo? y ¿Por qué siempre acaba en posición horizontal? Vayamos con la primera. Un búmeran es tanto un planeador como un giróscopo. Sus brazos son alas que experimentan una fuerza en su movimiento hacia delante y giro en el aire. La

componente perpendicular al viento marcha se llama fuerza ascensional, aún cuando no esté dirigida hacia arriba. La fuerza ascensional empuja un búmeran lanzado por diestros a una curva hacia la izquierda. Simultáneamente actúa un momento de giro que quiere volcar el búmeran alrededor del eje de su dirección de vuelo; el ala que gira hacia delante experimenta un viento de marcha y una fuerza ascensional correspondientemente mayor que la que va hacia atrás. A la manera de un giroscopio, elude ese momento de rotación con un giro (precesión) de su plano de vuelo. El búmeran retorna como consecuencia del movimiento en su trayectoria y en su precesión giroscópica. La experiencia enseña que la anchura del vuelo apenas depende de la velocidad de lanzamiento; sí en cambio la velocidad de vuelo y la velocidad angular, con la que el juguete gira durante su vuelo. Respondamos la segunda cuestión. Planeadores y aviones de papel realizan también un trabajo para vencer la resistencia del aire. Pero unos y otros pueden en su vuelo de descenso convertir la energía potencial de la gravedad en energía cinética y, por lo tanto, planear el declive hasta que terminen en el suelo. En cambio el búmeran pierde parte de su energía cinética en forma de trabajo para vencer la resistencia del aire. Por lo tanto, su vuelo acaba tras un tiempo limitado. Equilibrio en el Baile Fuerzas que intervienen: Línea Media: Es el eje de rotación en el cual se equilibran las fuerzas. Fuerza de Gravedad: Se ubica en el centro de gravedad, que representa el peso del resto del cuerpo. Fuerza de Contracción: se ubica en la articulación de la pierna (cóndilo del fémur) con la pelvis, la cual no es vertical. Fuerza Muscular: Lo realizan los abductores de la cadera; hacen que la cadera se tense. Peso de la Pierna: Se encuentra en el centro de gravedad de la pierna. Para que el bailarín gire en su propio eje se necesita que tome un impulso provocado por él mismo, lo que lo hará moverse con cierta velocidad angular.

Equilibrio de una Plataforma Sostenida por una Columna Como el peso de la zapata y la presión del suelo son colineales, el primero no contribuye al cortante vertical o al momento flexionate. Conviene visualizar la zapata como sometida a una fuerza hacia arriba transmitida por el suelo y a una reacción hacia abajo suministrada por la columna; esto es, desde luego, una inversión de la verdadera forma de la aplicación de la carga. La zapata funciona entonces como una viga en voladizo. Aquí se aplica el momento de equilibrio en un punto extremo de la zapata, en la cual intervienen la fuerza que aplica la columna a la zapata y la reacción del suelo por acción del peso de ésta. Curiosidades de la Física ¿Por qué los carreteros para desatascar las ruedas de un carro atan sus caballerías a la parte alta de la rueda? Para aumentar el valor del par de fuerzas aplicado a la rueda, tomando como brazo el diámetro en vez del radio. ¿Por qué para cerrar o abrir una puerta corrediza que esté algo agarrotada debe tirarse de la parte superior de la misma y no de la manivela? El agarrotamiento tienen lugar en las ruedas que se deslizan en los carriles que llevan en la parte superior. Si se tira de la manivela, la fuerza aplicada referida al punto de agarrotamiento origina un par que hace girar la puerta un poco hacia arriba, clavándola sobre las guías y dificultando aún más su deslizamiento. Si, por el contrario, se tira de la parte superior, el brazo del par es tan pequeño que prácticamente la fuerza sólo actúa como tal y no como momento, haciendo deslizar la puerta con relativa facilidad. ¿Qué clase de equilibrio presenta una moneda apoyada sobre su canto? Respecto al movimiento de traslación normal a su peso, equilibrio indiferente, ya que por tratarse de un cilindro apoyado sobre su generatriz quedará en equilibrio al cesar aquél; pero debido a su pequeño espesor, su equilibrio es inestable respecto al giro de eje horizontal por el punto de contacto con la mesa; por último, con respecto a avanzar rodando presenta también equilibrio indiferente, ya que quedará en equilibrio por tratarse de un cilindro.

¿Por qué al levantarnos de una silla inclinamos el cuerpo hacia adelante? Para conseguir que la vertical del centro de gravedad pase por los pies, lo que no ocurre cuando estamos sentados. Un reloj de arena pesa 1 Kg cuando la arena está en el depósito inferior, lo invertimos y lo volvemos a colocar sobre la balanza. ¿Cuánto pesará mientras se derrama la arena? El reloj sigue pesando 1 Kg a pesar de que hay una fracción de la arena en caída libre. El hecho de que el sistema esté provoca al caer la arena una reacción sobre el aire que actúa contra el piso del reloj. ¿Por qué no se caen los motoristas que corren por las paredes casi verticales de esas populares pistas de la muerte en las ferias? Porque su peso se compone con la fuerza centrífuga, dando una resultante tanto más inclinada cuanto mayor es la velocidad de la moto, es decir, cuanto mayor es la fuerza centrífuga. Para evitar el vuelco, la moto ha de inclinarse hasta tomar la dirección de la resultante, perpendicular a la pared. ¿Por qué razón para mantener el equilibrio marchando en bicicleta hay que torcer el manillar hacia el mismo lado que se cae? Porque de este modo se provoca un cambio de dirección de marcha, causa de una fuerza centrífuga, que tiende a colocar de nuevo a la bicicleta en posición vertical. Si el viraje ha sido excesivo, se sobrepasa dicha vertical y entonces se está obligado a mover el manillar en sentido contrario. Esto explica por qué el ciclista novel hace eses constantemente, mientras que cuando se domina la bicicleta se dan los virajes justos para conseguir marchar en línea recta y sin inclinarse. ¿Por qué cuando se sacude una alfombra con un palo el polvo sale despedido, mientras la alfombra apenas se mueve? Porque según el teorema del impulso (producido por el palo) corresponde la misma cantidad de movimiento para la alfombra que para el polvo, pero por la ligereza de éste le corresponde una mayor velocidad, separándose así de la alfombra. En un platillo hay un balde con agua. En el otro una pesa. La balanza está equilibrada. Ahora Ud. mete un dedo en el agua, sin tocar el balde. La balanza, ¿seguirá en equilibrio? El platillo del balde bajará. El agua ejerce una fuerza sobre su dedo igual a la densidad del agua multiplicada por el volumen de la parte sumergida del dedo y por la aceleración de la gravedad. Por la tercera ley de Newton, el dedo debe ejercer una fuerza igual y opuesta sobre el agua. Esta fuerza se transmite a la base del balde y de allí al platillo de la balanza, haciéndolo descender. Conclusiones

Después de haber estudiado y analizado diferentes ejemplos reales de equilibrio, podemos llegar a la conclusión de que en todo cuerpo y en todo momento y a cada momento están interactuando diferentes tipos de fuerza, las cuales ayudan a los cuerpos a realizar determinados movimientos o, a mantenerse en estado de equilibrio, ya sea estático o dinámico.