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11/11/2015

Espacio vectorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Espacio vectorial De Wikipedia, la enciclopedia libre Este  artículo  está  orientado  a  proporcionar  un  tratamiento  riguroso  y  abstracto  del  concepto  de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector En  álgebra  abstracta,  un  espacio  vectorial  es  una  estructura algebraica  creada  a  partir  de  un  conjunto  no  vacío,  una  operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una  operación  externa  (llamada  producto  por  un  escalar,  definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Índice 1 Historia

Representación artística de un espacio vectorial.

2 Notación 3 Definición de espacio vectorial 3.1 Observaciones 3.2 Propiedades 3.3 Primer ejemplo con demostración al detalle 4 Ejemplos de espacios vectoriales 4.1 Los cuerpos 4.2 Sucesiones sobre un cuerpo 4.3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo 4.3.1 Los polinomios 4.3.2 Funciones trigonométricas 4.4 Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas 5 Definición de subespacio vectorial 5.1 Consecuencias

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5.1 Consecuencias 6 Resultados internos 6.1 Combinación lineal 6.1.1 Proposición 1 6.2 Independencia lineal 6.2.1 Proposición 2 6.3 Base de un espacio vectorial 6.4 Base formalmente 6.4.1 Teorema de la base de generadores 6.4.2 Teorema Steinitz 6.5 Observación 6.6 Dimensión 6.6.1 Notación 6.7 Intersección de subespacios vectoriales 6.8 Suma de subespacios vectoriales 6.9 Teorema Fórmula de Grassmann 6.10 Suma directa de subespacios vectoriales 6.11 Cociente de espacios vectoriales 7 Construcciones básicas 7.1 Suma directa de espacios vectoriales 8 Espacios vectoriales con estructura adicional 8.1 Espacios normados 8.2 Espacio métrico 8.3 Espacios vectoriales topológicos 8.4 Espacios de Banach 8.5 Espacios prehilbertianos

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8.5 Espacios prehilbertianos 8.6 Espacios de Hilbert 9 Morfismos entre espacios vectoriales 9.1 Aplicaciones lineales 10 Véase también 11 Referencias 11.1 Notas 11.2 Referencias históricas 11.3 Bibliografía 12 Enlaces externos

Historia Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano  o  el  espacio  tridimensional.  Alrededor  de  1636,  los  matemáticos  franceses  Descartes  y  Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos  variables  a  la  determinación  de  una  curva  plana.nota  1  Para  lograr  una  solución  geométrica  sin  usar coordenadas, Bernhard Bolzano  introdujo  en  1804  ciertas  operaciones  sobre  puntos,  líneas  y  planos,  que son predecesores de los vectores.nota 2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas  de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3 La  primera  formulación  moderna  y  axiomática  se  debe  a  Giuseppe  Peano,  a  finales  del  siglo  XIX.  Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios  de  funciones.  Los  problemas  de  Análisis  funcional  requerían  resolver  problemas  sobre  la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. El  origen  de  la  definición  de  los  vectores  es  la  definición  de  Giusto  Bellavitis  de  bipoint,  que  es  un segmento  orientado,  uno  de  cuyos  extremos  es  el  origen  y  el  otro  un  objetivo.  Los  vectores  se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la  creación de los cuaterniones  por  este  último  (Hamilton  fue  además  el  que  inventó  el  nombre  de  vector).nota  4  Son elementos  de  R2  y  R4;  el  tratamiento  mediante  combinaciones  lineales  se  remonta  a  Laguerre  en  1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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En  1857,  Cayley  introdujo  la  notación  matricial,  que  permite  una  armonización  y  simplificación  de  las aplicaciones  lineales.  Casi  al  mismo  tiempo,  Grassmann  estudió  el  cálculo  baricéntrico  iniciado  por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.nota 5 En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann  de  1844  supera  el  marco  de  los  espacios  vectoriales,  ya  que  teniendo  en  cuenta  la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.nota 6 Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach  en  su  tesis  doctoral  de  1920nota 7  y  por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p­integrables y los espacios de Hilbert. También  en  este  tiempo,  los  primeros  estudios  sobre  espacios  vectoriales  de  infinitas  dimensiones  se realizaron. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan  en  métodos  como  las  series de Fourier,  que  se  utiliza  en  las  rutinas  modernas  de  compresión  de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios  vectoriales  proporcionan  una  forma  abstracta  libre  de  coordenadas  de  tratar  con  objetos geométricos  y  físicos,  tales  como  tensores,  que  a  su  vez  permiten  estudiar  las  propiedades  locales  de variedades mediante técnicas de linealización.

Notación Dado un espacio vectorial   sobre un cuerpo 

, se distinguen.

Los elementos de   como:  se llaman vectores. Caligrafías de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de 

 como:  se llaman escalares.

Definición de espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo   (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto   no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

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operación interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro  , es decir  

 

4) tenga elemento opuesto, es decir   y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que: 5) tenga la propiedad asociativa:   6) 

 

 sea elemento neutro del producto:  

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:  

 

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:   https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Véase también: Espacio euclídeo Véase también: Vector Véase también: Representación gráfica de vectores

Observaciones La  denominación  de  las  dos  operaciones  no  condiciona  la  definición  de  espacio  vectorial  por  lo  que  es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética. Para demostrar que un conjunto   es un espacio vectorial: Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo   y 

 y   admiten una redefinición del tipo   cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

Si supiésemos que   es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4. Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de   tendríamos probados los apartados 5 y 6. Si no se dice lo contrario: .

Propiedades Unicidad del vector neutro de la propiedad 3 supongamos que el neutro no es único, es decir, sean  neutros, entonces:  

 y 

 dos vectores

 

 

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4 supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean   y  vectores opuestos de  , entonces, como el neutro es único:  

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 dos

 

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Unicidad del elemento   en el cuerpo  supongamos que 1 no es único, es decir, sean 

 y 

 

 dos unidades, entonces:

 

 

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo  supongamos que el inverso 

 de a, no es único, es decir, sean 

 y 

 dos

opuestos de  , entonces, como el neutro es único:  

 

 

Producto de un escalar por el vector neutro  

 

 

Producto del escalar 0 por un vector  

 

Si 

 

 

 

 

  Si  Si 

 es cierto.  entonces:  

 

 

 

 

 

 

Notación . Observación

Si  Si 

   

Primer ejemplo con demostración al detalle Se quiere probar que 

 es un espacio vectorial sobre 

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Si 

 juega el papel de   y   el de 

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:

Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus  coordenadas,  añadiendo  el  subíndice  x  o  y  para  denominar  su  componente  en  el  eje  x  o  y respectivamente En   se define la operación suma:

donde:

y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida. La operación interna suma tiene las propiedades: 1) La propiedad conmutativa, es decir:

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2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro  :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida. 5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) 

 sea elemento neutro en el producto:

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Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales Los cuerpos Todo  cuerpo  es  un  espacio  vectorial  sobre  él  mismo,  usando  como  producto  por  escalar  el  producto  del cuerpo.  es un espacio vectorial de dimensión uno sobre  .

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Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.  es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre  .  es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre  .

Sucesiones sobre un cuerpo  El  espacio  vectorial  más  conocido  notado  como  ,  donde  n>0  es  un  entero,  tiene  como  elementos  n­ tuplas, es decir, sucesiones finitas de   de longitud n con las operaciones: (u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn). a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun). Las sucesiones infinitas de 

 son espacios vectoriales con las operaciones:

(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...). a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...). El espacio de las matrices 

, 

, sobre 

, con las operaciones:

También  son  espacios  vectoriales  cualquier  agrupación  de  elementos  de    en  las  cuales  se  defina  las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices  , así por ejemplo tenemos las cajas   sobre   que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo El  conjunto    de  las  aplicaciones  ,    un  cuerpo  y  espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:

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  un  conjunto,  también  forman

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Los polinomios El  espacio  vectorial  K[x]  formado  por  funciones  polinómicas, veámoslo: Expresión  coeficientes 

general:  ,donde  los .

, considérese 

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=­x2.

   

  donde 

,   y 

,     .

Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de cero. Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones: Expresión general:      ,

 

  .

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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o 

equivalentemente 

 

simplificado 

como 

Un  sistema  de  ecuaciones  lineales  homogéneas(  ecuaciones  lineales  en  las que    es  siempre  una  solución,  es  decir,  ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dos operaciones: Si 

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

 

Si 

 

.

También  que  las  ecuaciones  en  sí,  filas  de  la  matriz    notadas  como  una  matriz  ,  es  decir,  , son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones: Si  Si 

   

.

Definición de subespacio vectorial Sea   un espacio vectorial sobre 

, y 

 no vacío,   es un subespacio vectorial de   si:

Consecuencias  hereda las operaciones de   como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de  , y como consecuencia tenemos que   es un espacio vectorial sobre  . Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden  generar  subespacios  vectoriales,  para  ello  seria  útil  introducir  nuevos  conceptos  que  facilitarán  el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.

Resultados internos https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Para  detallar  el  comportamiento  interno  de  todos  los  espacios  vectoriales  de  modo  general  es  necesario exponer  una  serie  de  herramientas  cronológicamente  vinculadas  entre  ellas,  con  las  cuales  es  posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.

Combinación lineal Dado  un  espacio  vectorial  ,  diremos  que  un  vector  u  es combinación  lineal  de  los  vectores  de    si  existen  escalares   tales que

Cada vector u es combinación lineal de forma única

Notaremos  como    el  conjunto  resultante  de  todas  las combinaciones lineales de los vectores de  . Proposición 1

Dado   un espacio vectorial y   un conjunto de vectores, el conjunto  vectorial más pequeño contenido en   y que contiene a  .

 es el subespacio

Demostración Nota. En este caso se dice que   es un sistema de generadores que genera a  .

Independencia lineal Diremos que un conjunto   de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de  , es decir: Si 

.

Diremos que un conjunto   de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente. Proposición 2  son linealmente dependientes  Demostración

Base de un espacio vectorial

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Las bases  revelan  la  estructura  de  los  espacios  vectoriales  de  una  manera  concisa.  Una  base  es  el  menor conjunto  (finito  o  infinito)  B  =  {vi}i  ∈  I  de  vectores  que  generan  todo  el  espacio.  Esto  significa  que cualquier vector v  puede  ser  expresado  como  una  suma  (llamada  combinación lineal)  de  elementos  de  la base a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin, donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal  por  el  concepto  de  independencia  lineal.  Un  conjunto  de  vectores  se  dice  que  es  linealmente independiente  si  ninguno  de  sus  elementos  puede  ser  expresado  como  una  combinación  lineal  de  los restantes. Equivalentemente, una ecuación a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0 sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este  tipo  de  representación  es  única.  Los  espacios  vectoriales  a  veces  se  introducen  desde  este  punto  de vista.

Base formalmente Dado  un  sistema  de  generadores,  diremos  que  es  una  base  si  son linealmente independientes. Proposición 

3. 

Dado 

un  espacio  vectorial    es  una  base     

Proposición 

.

4. 

Dado  un  espacio  vectorial    linealmente  independiente  y      son linealmente independiente.

v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse

Teorema de la base de generadores Todo sistema de generadores tiene una base. Teorema Steinitz Toda  base  de  un  espacio  vectorial  puede  ser  cambiada  parcialmente  por  vectores  linealmente independientes. Corolario. Si un espacio vectorial  vectores.

 tiene una base de   vectores 

 cualquier otra base posee 

Observación https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo­Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.

Dimensión Dado un espacio vectorial sobre 

:

Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base. Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita. Notación Dado un espacio vectorial   y un subespacio 

, tenemos que:

Si   tiene dimensión   lo indicaremos como  Si   tiene dimensión 

.

 como subespacio de   lo indicaremos como 

.

Intersección de subespacios vectoriales Dado dos subespacios vectoriales  lo notaremos como:

, la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y .

Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos. La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales Dado dos subespacios vectoriales  notaremos como:

, la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la .

Si F y G son subespacios vectoriales de E, su suma F+G es el subespacio vectorial de E más pequeño que contiene a F y a G. Observación.  Para  la  suma  sucesiva  de  espacios  vectoriales  se  procede,  inductivamente,  de  dos  en dos.

Teorema Fórmula de Grassmann https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Dado dos subespacios vectoriales 

 de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente: .

Suma directa de subespacios vectoriales Dados dos subespacios vectoriales  y lo notaremos como:

, diremos que 

 es una suma directa si 

. Cuando   y   están en suma directa, cada vector de  vector de   y otro vector de  .

 se expresa de forma única como suma de un

Cociente de espacios vectoriales Dado un espacio vectorial   y un subespacio vectorial  Dados 

.

 diremos que están relacionados modulo   si 

.

La relación anterior es una relación de equivalencia. Se nota por   modulo  .

 

 a la clase de 

Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior: Se nota por  El espacio 

 a dicho espacio cociente.

 es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Construcciones básicas Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios  vectoriales  a  partir  de  otros.  Además  de  las  definiciones  concretas  que  figuran  a  continuación, también  se  caracterizan  por  propiedades  universales,  que  determina  un  objeto  X  especificando  las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

Suma directa de espacios vectoriales Dado  dos  espacios  vectoriales  vectorial  operaciones:

  sobre  un  mismo  cuerpo  ,  llamaremos  suma  directa  al  espacio ,  veamos  que  están  bien  definidas  las  dos ,

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Espacios vectoriales con estructura adicional Desde  el  punto  de  vista  del  álgebra  lineal,  los  espacios  vectoriales  se  comprenden  completamente  en  la medida  en  que  cualquier  espacio  vectorial  se  caracteriza,  salvo  isomorfismos,  por  su  dimensión.  Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada  per  se  para  hacer  frente  a  series  infinitas,  ya  que  la  suma  solo  permite  un  número  finito  de términos para sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios normados Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.

Espacio métrico Un espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia. Proposición 5. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por: Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

Espacios vectoriales topológicos Dada una topología   sobre un espacio vectorial   donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:  es una topología vectorial sobre  ,  es un espacio vectorial topológico. Proposición 6.. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado. Proposición 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

Espacios de Banach Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.

Espacios prehilbertianos Un espacio prehilbertiano es un par  escalar.

, donde   es un espacio vectorial y 

 es un producto a

Espacios de Hilbert Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar. https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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Morfismos entre espacios vectoriales Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.

Aplicaciones lineales Dado dos espacios vectoriales   y  es lineal si:

, sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación  ,

.

Véase también Combinación lineal Sistema generador Independencia lineal Base (álgebra) Base Ortogonal Base Ortonormal Coordenadas cartesianas Producto escalar Producto vectorial Producto mixto Producto tensorial  Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.  Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacio vectorial.

Referencias Notas 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7. 

Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91. Bolzano, 1804. Möbius, 1827. Hamilton, 1853. Grassmann, 1844. Peano, 1888, ch. IX. Banach, 1922.

Referencias históricas Banach,  Stefan  (1922).  Sur  les  opérations  dans  les  ensembles  abstraits  et  leur  application  aux équations  intégrales  (On  operations  in  abstract  sets  and  their  application  to  integral  equations) https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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(http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf)  (en  francés)  3.  Fundamenta  Mathematicae. ISSN 0016­2736 (https://www.worldcat.org/issn/0016­2736). Bolzano,  Bernard  (1804).  Betrachtungen  über  einige  Gegenstände  der  Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338) (en alemán). Bourbaki,  Nicolas  (1969).  Éléments  d'histoire  des  mathématiques  (Elements  of  history  of mathematics) (en francés). Paris: Hermann. Grassmann,  Hermann  (1844).  Die  Lineale  Ausdehnungslehre  ­  Ein  neuer  Zweig  der  Mathematik (http://books.google.com/books? id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mat hematik) (en alemán). Hamilton, William Rowan (1853). Lectures on Quaternions  (http://historical.library.cornell.edu/cgi­ bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9) (en inglés). Royal Irish Academy. Möbius,  August  Ferdinand  (1827).  Der  Barycentrische  Calcul  :  ein  neues  Hülfsmittel  zur analytischen  Behandlung  der  Geometrie  (Barycentric  calculus:  a  new  utility  for  an  analytic treatment  of  geometry)  (http://mathdoc.emath.fr/cgi­bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0)  (en alemán). «The  axiomatization  of  linear  algebra:  1875–1940»,  Historia  Mathematica  22  (3):  262–303,  1995, ISSN 0315­0860 (http://worldcat.org/issn/0315­0860)

Peano,  Giuseppe  (1888).  Calcolo  Geometrico  secondo  l'Ausdehnungslehre  di  H.  Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (en italiano). Turin.

Bibliografía Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials». Àlgebra lineal i geometría (en catalán). Publ. UAB. Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. Queysanne, M., Álgebra Básica, Vicens­Vives. 1973. Rudin,  w.,  Análisis  Funcional  (Definición  axiomática  de  espacios  vectoriales  topológicos introductivamente), Reverté.

Enlaces externos Juega con vectores (http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html) Weisstein,  Eric  W.  «Espacio  vectorial»  (http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html).  En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. A  lecture  (http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18­06­linear­algebra­spring­2010/video­ lectures/lecture­9­independence­basis­and­dimension/) about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT) A graphical simulator  (http://code.google.com/p/esla/)  for  the  concepts  of  span,  linear  dependency, base and dimension Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espacio_vectorial&oldid=86514682» Categorías:  Álgebra lineal Vectores Esta página fue modificada por última vez el 6 nov 2015 a las 01:18. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial#Propiedades

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