Elettrotecnica

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2003/2004

Elettrotecnica

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Docente: Prof. Pastore

ELETTROTECNICA – I parte

1 di Giorgio DAVANZO

ELETTROSTATICA: E’ lo studio degli effetti che hanno delle cariche elettriche in quiete nell’ambiente circostante. Costante di permittività del vuoto (o costante dielettrica): εo = 8,854⋅ 10−12 Legge di Coulomb: F = kQ1Q2/R2 con k=1/4πεo . Vettorialmente ho F=aR kQ1Q2/R2 dove aR = vettore unitario associato alla congiungente delle due cariche = R/|R|. Se F2 è la forza esercitata da Q1 su Q2 allora questa sarà attrattiva o repulsiva a seconda che le cariche siano di segno discorde o concorde; inoltre la forza di Coulomb è additiva per più cariche. Unità di carica: si misura in Coulomb [C], definiti come la quantità di carica che attraversa in un corrente una qualsiasi sezione di un filo nel quale circoli la corrente di 1 Ampere. e = carica elettrone = −1,602⋅ 10−19 C Campo elettrico: ogni carica Q1 crea un campo elettrico E1 che viene analizzato tramite una seconda carica Q2, detta carica esplorativa: E1 = F12 / Q2 . Vettorialmente: E1 = F12 / Q2 = a12⋅ kQ1/R2 è concorde alla forza. Il campo di N cariche puntiformi è E = Σn=1..NEn Vediamo ora alcuni campi: • dipolo elettrico: il dopolo è formato da due cariche di segno opposto, q e –q, distanti d. Calcolo il campo di un punto posto sull’asse di simmetria e distante R dall’asse del bipolo: la sua direzione è perpendicolare all’asse di simmetria, rivolto verso la carica negativa ed E=k⋅ p/R3 dove p = momento del bipolo = d⋅ q Il campo decresce col cubo della distanza perché allontanandosi le cariche tendono a confondersi come una sola carica nulla. • linea di carica: è una linea infinita carica elettricamente con una densità di carica ρL (C/m), che avrà sicuramente un campo radiale (se la lunghezza è infinita). Inserisco il punto P in un sistema di coordinate cilindriche in cui il filo è l’asse z ed r la distanza punto-filo. Ora considero un tratto infinitesimale di filo dz, che contribuirà al campo con la carica ρLdzil vettore campo è normale al filo, ed E = ρL / (2πεor) • piano: sfrutto l’integrale precedente ricoprendo il piano con linee di carica E = ρs / 2εo dove ρs è la densità superficiale di carica. NB: E non dipende dalla distanza • doppio piano: due piani paralleli a distanza d, il secondo piano ha carica uguale e opposta ρs e –ρs . Il campo fuori dalle due lamine è nullo, all’interno E = ρs/εo . Linee di flusso: rappresentano il campo elettrico e sono così disegnate: • sono tangenti al campo elettrico in ogni punto • il numero di linee che attraversano una superficie di un’area unitaria è proporzionale all’intensità di E Esperimenti di Faraday: due sfere concentriche di metallo che non si toccano, di cui l’interna con carica Q e l’esterna scarica. Mette per poco tempo a terra la sfera esterna, e dopo la sfera ha una carica –Q. Secondo F. avveniva uno spostamento di cariche attraverso l’isolante detto flusso elettrico = Ψ = Q Densità di flusso elettrico: a è il raggio della sfera interna, b della esterna. Sulla sfera interna Ψ è distribuito sulla superficie 4πa2 la densità di flusso di spostamento (o d. di spostamento) è D = Q/(4πa2) per la sfera interna, Q/(4πb2) per l’altra. Vettorialmente, allla distanza a
Differenza di potenziale: è il lavoro fatto per spostare una carica unitaria positiva dal punto B al punto A. Voglio spostare di dL una carica immersa in un campo elettrico E devo esercitare una forza opposta alla

2 ELETTROTECNICA – I parte forza esercitata dal campo sulla particella  F = – QE ⋅ aL= componente della forza applicata sulla direzione aL di dLdW = – QE ⋅ dLW = – Q ∫[A..B] E ⋅ dL. Se il campo è uniforme si ottiene W= –QE⋅ ∫[A..B]dL= – QE⋅ LAB  non dipende dal percorso (si dimostra che ciò vale anche per campi non uniformi).Vediamo qualche es: • differenza di potenziale tra due punti A e B distanti ra e rb dalla carica Q: E=ar⋅ kQ/r2 e dL=dr ar VAB= – ∫[A..B] E ⋅ dL = kQ(1/ra – 1/rb) • differenza di potenziale tra due punti a distanza ρ=a e ρ=b da una linea di carica: VAB=2kρLln b/a Potenziale di una carica uniforme: stabiliamo un punto a potenziale 0 in ∞ ottengo un V assoluto, non definito dalla differenza: V = kq/r + C1 (C1 può essere scelto per mettere a 0 V a qualsiasi distanza da Q) Superficie equipotenziale: superficie composta da tutti i punti aventi lo stesso potenzialenon si compie lavoro spostando un punto lungo tale superficie. Per la carica puntiforme si tratta di sfere concentriche. Proprietà della differenza di potenziale: • additività: se ho N cariche, V (r) = – ∫[∞..r] E⋅ dL = ∑n=1..N kQn / [r – rn] per l’additività di E •  E ⋅ dL = 0  è conservativo .

CONDUTTORI, DIELETTRICI e CAPACITÀ: Corrente elettrica: I = dQ/dt = ∫S J ⋅ dS dove S è la superficie di un filo in cui scorre un flusso di cariche, J il vettore densità di corrente. Cioè I=quanta carica passa attraverso una sezione S nell’unità di tempo. Si misura in Ampere [A]. Principio di conservazione delle cariche: le cariche possono essere separate in base al segno, ma non distrutte Equazione di continuità: prendiamo una superficie con tante cariche q da cui esce una corrente I = –ΔQi/t  le cariche dentro la superficie diminuiscono S J ⋅ dS = –dQi/dt Conduttori metallici: non hanno intervallo energetico tra la banda di conduzione e la banda di valenza. Sotto l’azione di un campo elettrico, gli elettroni si muovono liberamente ad una velocità di deriva vd  J=vdρv= σE dove σ è la conduttività (Siemens/metro), che è una funzione del metallo e della temperatura. Resistività: ρ = 1 / σ Legge di Ohm: prendiamo un conduttore cilindrico omogeneo in cui il campo e la densità di corrente sono uniformi; I = ∫S J ⋅ dS = JS. Vab= –E ⋅ Lba = E⋅ Lab = EL = L⋅ J/σ = L⋅ I/Sσ = I⋅ ρL/S  V = RI con R=ρL/S Effetto Joule: W=F⋅ L = QEL = QVab; Potenza=P=dW/dt=VabdQ/dt=Vab⋅ I ma Vab=RIP=RI2=V2ab / R dove Vab è la differenza di potenziale agli estremi del cilindro: si dissipa energia sotto forma di calore. Potenza: su una resistenza in cui scorre V con intensità I, P = VI Materiali dielettrici: hanno un grande intervallo tra la banda di conduzione e quella di valenza  immagazzinano bene l’energia sotto forma di dipoli, che hanno carica complessiva Q b detta carica vincolata. Con la legge di Gauss applicata su una superficie chiusa interna al dielettrico, a carica totale è QT=S εoE ⋅ dS con QT=Qb+Q. Introduciamo un nuovo vettore P detto polarizzazione tale che Qb= –SP⋅ dS  Q=S(εoE+P)⋅ dS Ora possiamo definire il vettore spostamento elettrico in termini più generali: D=εoE+P  Q=SD⋅ dS dove Q è la carica libera inclusa nel dielettrico. Relazione tra P ed E: non è sempre lineare, ma se lo è P= χeεoE con χe suscettibilità elettrica (dimensionale). Allora D = εoE + χeεoE = (χe + 1) εoE = εrεoE = εE dove εr è la permittività relativa ed ε permittività assoluta Materiali semiconduttori: piccolo intervallo energetico tra le due bande  possono condurre se sollecitati da un campo elettrico intenso Capacità: prendiamo due piastre infinite parallele, tra cui vi è un di elettro, con densità di carica ρ s e –ρs a distanza d. allora ΔV = –∫dE⋅ dz ma E=ρs/ε  ΔV = dρs/ε. Si dice capacità C=Q/ΔV (non dipende dalla forma delle piastre). Es.: per piastre ho due cerchi di raggio R e superficie S (se 2R>>d il campo magnetico è simile a quello di due piastre infinite): Q/ΔV=ερsS/(ρsd) = ε S/d Osservazione: se derivo nel tempo la definizione di capacità ho dQ/dt=CdV/dt  I = C dV/dt Energia accumulata: si accumula sotto forma di campo elettrico; supponiamo che all’inizio il condensatore fosse scarico e Vo sia la differenza di potenziale finale. W = ∫[0..t]Pdt = ∫[0..t]VIdt ma I = CdV / dt  W=∫[0..t]CVdtdV/dt= ∫[0..Vo]VdV = ½CVo2 Vediamo alcune capacità:

3 cavo coassiale: lungo L, conduttore interno di raggio a ed uno esterno di raggio b, permittività ε. Q=ρsL c = Q/ΔV = [2πεoL] / [ln(b/a)] due sfere concentriche: raggio b>a, permittività ε. Con Gauss si ottiene Er=kQ/r2 C = 4πε/(1/a–1/b) sfera: C=4πεa

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MAGNETOSTATICA: Legge di Biot-Savart: sia H il vettore intensità di campo magnetico. Osserviamo una porzione di filo dL: il campo magnetico di un punto P distante R (avente versore aR) da dL è dHP= (I dL x R) / 4πR3 = (IdLxaR)/4πR2 La legge è anche detta Legge di Ampere per l’elemento di corrente e non è verificabile sperimentalmente. H si misura in [A/m]. I è corrente continua densità di carica costante  SJ⋅ dS = 0. Versione integrale della legge di Biot-Savart: Assumiamo come sorgente il percorso chiusola corrente totale è nulla  H = S(IdLxaR)/4πR2 . Ad esempio per un filo infinito si può pensare ad un ritorno del filo infinitamente lontanousare la formula integrale. Legge circuitale di Ampere: LH⋅ dL=I e si definisce positiva la corrente che scorre nella direzione di avanzamento si una vite avvitata nel senso del percorso della linea chiusa. NB: la corrente I non varianon dipende dalla forma della superficie chiusa. Esempi notevoli: • campo magnetico di un filo: prendo un percorso circolare di raggio ρ normale al filo; con la legge di Biot-Savart capisco che esiste solo la componente Hφ del campo H⋅ dL=∫[0..2π]Hφρdφ=Hφρ∫[0..2π]dφ=I  Hφ = I / 2πρ • cavo coassiale: raggi a e b, lungo d. Prendiamo un percorso chiuso: se a<ρ
FORZE MAGNETICHE e MATERIALI: Sperimentalmente si nota che una particella di carica Q, in movimento alla velocità v in un campo magnetico B risente della forza F=QvxB. Il vettore accelerazione creato dal campo magnetico è perpendicolare alla velocità  non ne cambia il modulose il campo magnetico è costante l’Ec della particella non cambia Equazione della forza di Lorentz: è la forza combinata di un campo elettrico e uno magnetico, F=q(E + vxB) Effetto Hall: i lievi spostamenti degli elettroni in un filo causano una V normale a filo e campo magnetico. Per un conduttore rettilineo lungo L cale F=I LxB e F = BILsinθ con θ l’angolo tra L e B. Per i circuiti chiusi F = –IB x dL = (se B è costante) = –IB dL = –IB x 0 = 0 Momento del dipolo magnetico di una spira piana: m = IS dove S è un vettore normale alla spira di lunghezza pari all’area della spira stessa. In un circuito chiuso il campo genera una forza nulla: non è nulla però la forza che agisce sulle componenti del circuito, che origina una coppia: T = IS x B = m x B cioè la coppia agisce in modo da allineare la spira con il campo magnetico esterno (lo stesso per un dipolo: T = p x E) Materiali magnetici: il comportamento magnetico è dovuto sia al campo degli elettroni attorno ai nuclei che al campo dovuto alla rotazione degli elettroni su se stessi (spin). Abbiamo: • Materiali diamagnetici: Il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è leggermente inferiore al campo applicato. es: idrogeno, elio, oro, silicio • Materiali paramagnetici: il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è leggermente superiore al campo applicato. es: potassio, ossigeno, terre rare

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Materiali ferromagnetici: il campo B risultante dall’applicazione di un campo esterno è molto superiore al campo applicato. es: ferro, nickel, cobalto. Isteresi: fenomeno dei materiali ferromagnetici: il valore del campo B interno è funzione delle precedenti variazioni del campo magnetico esterno. Vettore di magnetizzazione: M cioè il momento di dipolo magnetico per unità di volume Magnetizzazione: B = μo (H + M). Considerando le correnti vincolate ad un materiale sottoposto ad un campo magnetico, M è tale che M⋅ dL = Ib. Per materiali isotropici lineari si ha M=χmH B=μo(H+χmH)= μoμrH=μH dove μr=1+χm=permeabilità relativa e μ = permeabilità (diamagnetici μr<1, paramagnetici μr>1 e nei ferromagnetici cambia con il variare del campo).

CIRCUITI MAGNETICI: Potenziale magnetico scalare: VmAB = ∫[A..B]H⋅ dL e dipende dal percorsonon è conservativo. Questo perché H⋅ dL=Itot=NI≠ 0(nell’equivalente elettrico era nullo) dove la It è ottenuta pensando ad un conduttore percorso da I avvolto in N spire lungo il percorso su cui si integra. Legge di Hopkinson: Vm=RΦ con R riluttanza misurata in [a.spire/Wb] (la legge è analoga alla legge di Ohm) Calcolo della riluttanza: di solito, nei conduttori isotropici e lineari elettrici di area S e lunghezza d R = d/μS Forza magnetomotrice: la sorgente di un flusso magnetico è una corrente passante in un circuito magnetico. Nei materiali ferromagnetici, Vm = Vm,di elettro + Vm,materiale cioè si deve considerare la curva di magnetizzazione del materiale impiegato. Energia potenziale in un campo magnetico: WH = ½∫volB⋅ Hdv = (B=μH) = ½∫volμH2dv = ½∫voldvB2/μ Flusso concatenato: in N spire, la corrente produce il flusso Φ. Il flusso concatenato è il flusso NΦ totale che attraversa tutte le spire della bobina. Induttanza: L = NΦ / I. Nel solenoide: L=μon2sd nel cavo coassiale: L=(μod/2π)ln b/a Mutua induttanza: avviene, ad esempio, quando due solenoidi sono abbastanza vicini da interagire tra loro. Siano 1 e 2 i due circuiti: allora M12 = N2Φ12 / I1 e M21 = N1Φ21 / I2 dove Φ12 è il flusso prodotto dalla bobina 1 che si concatena con la bobina 2. Si dimostra, per motivi energetici, che M12=M21

LEGGI DI FARADAY: Un campo elettrico variabile produce un campo magnetico e viceversa. Inoltre un campo magnetico costante in moto relativo con una spira fissa produce un campo elettrico. Forza elettromotrice (tensione): fem = E⋅ dL e dipende dal percorso. Legge di Faraday: vale su un percorso chiuso; fem = –dΦ/dt dove Φ è il flusso totale. Percorso di N spire: fem = – NdΦ/dt dove Φ è il flusso che passa attraverso ogni spira. E⋅ dL = –d/dt∫SBdS il segno degli integrali si ricava con la mano destra: le dita indicano il percorso della linea chiusa, il pollice la direzione di dS. Se il percorso e la superficie di integrazione sono stazionari, allora E⋅ dL= – ∫S (B/t)dS. Il segno meno c’è perchè il flusso prodotto va a smorzare la variazione che l’ha creato. Corrente di spostamento: Un circuito con un condensatore alimentato a corrente continua è come un circuito aperto. Quando la corrente è alternata, i condensatori sono percorsi da corrente nonostante nessuna carica possa passare oltre il di elettro. Si introduce allora la corrente di spostamento, che ha come intensità Jd = D/t. Allora modifichiamo la legge circuitale di ampere: LH⋅ dL=I+Id = I+∫SdS⋅ D/t.

EQUAZIONI DI MAXWELL: •  Ds ⋅ dS = ∫volρvdv (dal teorema di Gauss) • S B⋅ dS = 0 (legge di Gauss per il campo magnetico) • E⋅ dL= – ∫S (B/t)dS (dalle leggi di Faraday) • LH⋅ dL= I+∫SdS⋅ D/t (sulle correnti di spostamento) nei mezzi lineari: D=εE e B=μH

TEORIA DEI CIRCUITI: Energia immagazzinata da un condensatore: il circuito è formato da un generatore di tensione costante, un interruttore, una resistenza da 1Ω e un condensatore in serie. Wc=∫[0..t]P(τ)dτ=∫[0..t]V(τ)i(τ)dτ ed i=CdV/dt

5 Wc=∫[0..t]V(τ)dτCdV(τ)/dτ Wc=∫[o..Vf]V(τ)CdV(τ)=½CV =½QVf è l’energia finale quando il condensatore è alla tensione Vf Energia immagazzinata dall’induttanza: un’induttanza su cui scorre la corrente i ha v=Ldi/dt WL=∫[0..t]P(τ)dτ=∫[0..t]V(τ)i(τ)dτ=L∫[0..if]idi=½Lif2=½Φif =½Φ2/L (ricordo: Φ=Li) Leggi di Kirchhoff: 1. la somma algebrica delle correnti incidenti in un nodo è nulla 2. la somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è nulla Conduttanze: G=1/R misurata in MHO Resistenze in serie: sono percorse dalla stessa corrente(per Ohm) V1=R1i V2=R2i e (per Khirchhoff) V=V1+V2=(R1+R2)iReq = V/i = R1+R2 = G1G2/(G1+G2) Resistenze in parallelo: hanno in comune la tensione  i1=G1V e i2=G2V ; i=i1+i2 = (G1+G2)V Geq=G1+G2 = 1/R1 + 1/R2 Req=1/Geq = R1R2/(R1+R2) Condensatori in serie: C1=q/V1 e C2=q/V2 C = Q/Vtot=Q/(v1+v2)=1/(V1/q+V2/q)1/C = 1/C1 + 1/C2 Condensatori in parallelo: q1+q2=q, V1=V2 c=q/V = (q1+q2)/V = q1/V + q2/V  C = C1 + C2 Partitore di corrente: ho due resistenze R1 e R2 in serie con ai capi V, voglio ricavare V1 e V2: V1=V⋅ R1/ (R1+R2)=V⋅ G2/(G1+G2). Con tre resistenze in serie: V1=V⋅ R1/(R1+R2+R3) e così via Partitore di tensione: ho due resistenze R1 e R2 in parallelo con all’ingresso i. i1=i⋅ G1/(G1+G2)=i⋅ R2/(R1+R2). Con tre resistenze ho i1=i⋅ G1/(G1+G2+G3) e così via Rendimento di tensione: 0≤ η=Perogata/Passorbita≤ 1 serve per i generatori reali (cioè con all’interno una resistenza) Rendimento di corrente: analogo alla tensione. Caratteristica: in una rete a scala è l’inieme dei punti sul grafico V-I , ed è una retta per i bipoli lineari. Veq è la tensione a morsetti staccati (intersezione asse ascisse-retta). La pendenza Δi/Δv=Geq Bipoli lineari equivalenti: se hanno la stessa caratteristica Teorema di Thevenin: qualunque bipolo lineare può essere sostituito da un generatore reale di tensione equivalente in modo che una rete esterna non si accorga del cambiamento. Ottengo un generatore di tensione in serie con una resitenza. Operativamente: per calcolare la Req azzero i generatori interni (per quelli di tensione faccio un cortocircuito, quelli di corrente apro il circuito); La Veq è quella misurata ai morsetti. Teorema di Norton: come thevenin, solo che la resistenza è in parallelo. E’ possibile passare da un equivalente di Norton a quello di Thevenin: entrambi hanno la stessa resistenza (in serie con thevenin, parallelo con norton) e si applica Veq=ReqIeq Teorema di Millman: ho una rete così formata: tutti gli elementi sono in parallelo e sono resistenze (R1…RK), generatori di tensione (VS1…VSN) e di corrente (IS1…ISM). Gli unici elementi in serie sono altre resistenze (R1… RN) messe in serie con i generatori di tensione (una per generatore). Allora Vp=tensione in un punto di collegamento tra due elementi in serie= (∑I + ∑VSn/Rn) / (∑1/Rn + ∑1/Rk) Teorema di sovrapposizione degli effetti: ogni corrente in ogni parte di un circuito può essere espressa come la combinazione lineare di tutte le correnti create dai vari generatori. Operativamente: pongo a 0 tutti i generatori tranne uno e calcolo il suo contributo; ripeto così per tutti i generatori e sommo i contributi trovati. Analisi ai nodi: calcolo che differenza di potenziale arriva ad ogni nodo e faccio un sistema. Metodo della falsa posizione: sia Vs la tensione erogata da un generatore di corrente e Is quella erogata da un generatore di tensione. Per la sovrapposizione degli effetti, la tensione in un punto del circuito è V u = αVs+βIs devo quindi trovare α e β: per farlo assegno un valore qualunque ad V s ed Is, calcolando che V e I dovrei avere nei generatoricalcolo αe β Transitori del primo ordine: • condensatori: ho un generatore che crea la tensione Vs in serie con un condensatore ed una resistenza Rs messa tra loro. Vc(t) = (Vc(0)−Vs)e−t/τc + Vs dove τc = costante di tempo = RsC • induttanze: ho un generatore che crea la corrente Is in parallelo con una induttanza ed una resistenza Rs iL(t) = (iL(0)-Is) e−t/τL + Is con τL = GsL

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ELETTROTECNICA – II parte

di Giorgio DAVANZO

CORRENTE ALTERNATA: Corrente domestica: è una corrente sinusoidale (così è più facile trasformarla con i trasformatori)con T=20ms, f=1/T=50Hz, ω=2πf=314rad/s Corrente alternata in circuiti lineari: prendiamo due resistenze R1 e R2 in serie con un generatore di tensione Vs(t)=Vscos(ωt+φ) T=2π/ω. φ è la fase. i(t)=Vs(t)/(R1+R2) = Vscos(ωt+φ)/(R1+R2). Partitore: V2(t)= Vs(t)R2/ (R1+R2)=R2Vscos(ωt+φ)/(R1+R2)nei circuiti lineari tutti i Vi(t) hanno la stessa ω. Per semplicità studiamo i circuiti a regime, cioè quando i transitori sono tutti esauriti. Fasori: V(t)=VMcos(ωt+φ). Consideriamo in un riferimento cartesiano un vettore V, detto fasore, di lunghezza VM che ruoti attorno all’origine con velocità angolare ω in senso antiorario: la sua proiezione sull’asse delle y sarà appunto V(t). Definizioni: prendiamo fasori, a e b; si dice che • b è in ritardo rispetto ad a se φb<φa , altrimenti si dice che b è in anticipo rispetto ad a • se Δφ = 0° i vettori sono in fase, se Δφ = 90° sono in quadratura, se Δφ = 180° sono in opposizione Associazione con i numeri complessi: l’asse dei reali è l’asse delle x, quello immaginario le y. Ricordo Eulero: ejx=cosx+jsinx, cioè cosx=Re(ejx). Allora V(t)=Re(VMej(ωt+φ))=Re(VMejφ⋅ ejωt)=Re(V⋅ ejωt). In altre parole, la V(t) è la proiezione sull’asse reale del vettore Vejωt. (per Eulero, |ejωt|=1 e quindi moltiplicare ejφ per ejωt non cambia la fase ma il modulo). In ogni circuito le variabili che cambiano sono solo V M e φ, non ω che è costante: in tal modo associando a ogni V(t) solo il fasore V elimino il tempo. V=VMejφ Combinazioni lineari di fasori: X1(t)=X1Mcos(ωt+φ1) e X2(t)=X2Mcos(ωt+φ2); allora X1=X1Mejφ e X2=X2Mejφ X= λ1X1 + λ2X2 =λ1X1Mejφ + λ2 X2Mejφ . x(t)=Re{Xejωt}=Re{[λ1X1Mejφ + λ2X2Mejφ ]ejωt}= Re{λ1X1Mej(ωt+φ )} + Re{λ2X2Mej(ωt+φ )} = λ1X1Mcos(ωt+φ1)+λ2X2Mcos(ωt+φ2) = λ1x1(t) + λ2x2(t) Derivazione: V’ = dVMej(ωt+φ) / dt = jω VMej(ωt+φ) = jω V Integrazione: ∫Vdt = ∫VMej(ωt+φ)dt = (1/jω)VMej(ωt+φ) = V / jω = -jV/ω Prodotto: x⋅ y = ½AxAycos(φx−φy) − ½AxAycos(2ωt+φx+φy) si ottiene una sinusoide ma con velocità doppiava rappresentata in un altro piano di Gauss Quoziente: x/y = (Ax/Ay)cos(φx−φy) − (Ax/Ay)sin(φx−φy)ctg(ωt+φy) non è più una sinusoide, ma ha la stessa frequenza. Equilibrio in circuiti a regime variabile: variando la tensione il circuito risente delle variazione del c.magn.: • Induttanza: in assenza di materiali ferromagnetici, la variazione di di corrente genera ai capi dell’induttanza una forza elettromotrice VL = -L di/dt • Capacità: il condensatore si carica e si scarica continuamente, se q è la carica all’istante t sulle armature del condensatore, Vc = q/C = (1/C) ∫ i⋅ dt • Resistenza: VR = R⋅ i • in generale: applicando una tensione V ad un circuito RLC la somma delle tensioni impresse deve essere uguale in ogni istante alla somma delle cadute di tensione, cioè V - Ldi/dt = (1/C) ∫ i⋅ dt + Ri Impedenza: V - jωLI = -j(1/ωC)I + RI  V={R + j[ωL-(1/ωC)]}I Z è il coefficiente per cui risulta moltiplicata la corrente: Z = R + j[ωL-(1/ωC)]. Allora V=Z⋅ I ; Z si misura in Ohm ed ha fase φ=arctg(X/R) Reattanza: X = Im(Z) = ωL - 1/ωC ; X si misura in Ohm Triangolo dell’impedenza: è un triangolo rettangolo con ipotenusa Z, cateti X e R con l’angolo φ opposto a X Reattanza induttiva: XL = ωL Reattanza capacitiva: XC = 1/ωC Operativamente: φ è l’angolo tra Ve I; allora V è pari a I ruotato di –φ e moltiplicandone la lunghezza per il modulo dell’impendenza. Analogamente, I è pari a V ruotato di φ e dividendone la lunghezza per il modulo dell’impendenza. Valore Efficace: per una forma d’onda generica, Ve=√[1/(t2-t1)]∫t1..t2[Vs(t)]2dt . Per la forma d’onda sinusoidale si ha Ve=VM/√2. Allora Ie=Ve/R=(Vm/√2)/R = IM /√2. Nella rete domestica, 220V è il valore efficace delle tensione Ammettenza: Y = 1/Z  I = YV Conduttanza e suscettanza: Y = 1/Z = 1/(R+jX) = (R-jX)/(R2+X2) = R/Z2 – jX/Z2 ; la conduttanza è G = R/X2 e la suscettanza è B = X / Z2 . Allora Y = G-jB Triangolo dell’amettenza: rettangolo, con Y ipotenusa, G e B cateti, φ angolo al vertice di B 1

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ELETTROTECNICA – II parte CIRCUITI ELEMENTARI:

Resistenza pura: V=Z⋅ I, Z=R  V=RI. R è uno scalareI è in fase con V; R⋅ IMsinωt = VMsinωt IM=VM/ R i valori efficaci sono I = V/R Induttanza pura: Z = jωL con φ = arctg X/R = +π/2; I = V/jXL = -jV/XL  IM = VM/XL I = V/XL = V/(ωL); a regime, I è in ritardo di π/2 rispetto a V Capacità pura: Z = -j/(ωC) , φ = -π/2; I=jωC⋅ V I = V/Xc = VωC; a regime, I è in anticipo di π/2 rispetto a V Circuito seriale a costanti concentrate: si concentrano le RLC in tre punti del circuito, collegati tra loro con conduttori ideali privi di resistenza, flussi concatenati e accoppiamenti capacitivi.VR=RI,VL=jωLI,Vc=−jI/(ωC) Le tre cadute di tensione saranno sfasate tra loro, e in ogni istante la tensione applicata alla serie sarà V=VR+Vc+VL . Si vede che VR e I sono in fase, VL è in anticipo di π/2 su I, VR in ritardo di π/2 su I . Lo schema è: VL è perpendicolare a I e parte dall’inizio; VR è normale a VL partendo dalla sua fine; VC è normale a VL partendo dalla sua fine; V parte dall’inizio di I e termina alla fine di VC • Nel caso in cui XL>XC il circuito è ohmico-induttivo e la corrente è in ritardo sulla tensione • Nel caso in cui XL<XC il circuito è ohmico-capacitivo e la corrente è in anticipo sulla tensione • Se XL=XC il circuito è ohmico e la corrente è in fase con la tensione

COLLEGAMENTI IN SERIE E PARALLELO: Condensatori in parallelo: I = I1 + I2 = jωC1V + jωC2V = jω(C1+C2)V  Ceq = C1 + C2 Condensatori in serie: V = V1 + V2 = I/(jωC1) + I/(jωC2) 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2  Ceq = C1C2/(C1+C2). Per la tensione: V1 = [1/(jωC2)]/[1/(jωC1) + 1/(jωC2)] = V⋅ C2/(C1+C2) non c’entra ω Induttanze in serie: V = V1 + V2 = jωL1I + jωL2I = jω(L1+L2)I  Leq = L1 + L2 Induttanze in parallelo: I = I1 + I2 = V/(jωL1) + V/(jωL2)  Leq = L1L2/(L1+L2). I1 = jωL2/(jωL1+jωL2) = I⋅ L2/ (L1+L2)  non c’entra ω Impendenze in serie: V = V1 + V2 = Z1I + Z2I  Zeq = Z1 + Z2 = (R1+R2) + j(X1+X2) Impendenze in parallelo: I = I1 + I2 = Y1V + Y2V = (Y1+Y2)V  Yeq=Y1+Y2=(G1+G2) + j(B1+B2) Generatori in parallelo: due generatori, ognuno con induttanza diversa, sono in parallelo: la formula di Millman dice Veq = (Y1V1 + Y2V2)/(Y1+Y2) Nella maglia circola la corrente Ie= (V1 –V2)/(Z1+Z2). I = I1 + I2 e I1 = +Ie + I⋅ Z2/(Z1+Z2) mentre I2 = -Ie + I⋅ Z1/(Z1+Z2)

CIRCUITI RISONANTI: Circuiti risonanti in serie: si prenda una R, L, C in serie; La corrente che vi circola è I = V/Z con φ=arctg X/R nel caso in cui ωL = 1/ωC cioè ω2LC = 1 il circuito è in risonanza. Allora l’impedenza è pari alla resistenza, la corrente è in fase con la tensione (φ=0) e la corrente vale I = V/R. Allora se la resistenza è piccola la corrente può essere molto elevata  VL e VC possono essere maggiori di V e originare un fenomeno di sovratensione. Si dice frequenza di risonanza f = ωo/(2π) = 1/(2π√(LC)) Circuiti risonanti in parallelo: R,L,C in parallelo; è in risonanza se BL=BC. Allora l’ammettanza del circuito è Y = GL + GC , la tensione è in fase con la corrente e la tensione vale Vab = I / (GL+GC). La frequenza di risonanza è f = [1/(2π√(LC))]⋅ √[(RL2C – L) / (RC2C – L)] Risonatore reale in serie: ho un R, L, C e un generatore Vs . VR = RVS/(R+jωL+1/(jωC)). Con valori unitari di VS:

VR/VS=R/(R+jωL+1/(jωC)) 1

1 + ( j / R ) L / C (ϖ LC − 1 /(ω LC ))

=

1 1 1 = = = 1 + jϖL / R + 1 /( jϖCR ) 1 + ( j / R )(ϖL − 1 /(ωC)) 1 + ( j / R ) L / C C / L (ϖL − 1 /(ωC))

ponendo ωo = 1/√(LC) e Q = 1/R√(LC). Se ω varia VR/Vs è una funzione; |VR/Vs|

ha per grafico una campana centrata in ωo e di ampiezza massima 1,
3 Risonatore reale in parallelo: ho un R, L, C e un generatore Is; ωo = 1/√(LC) e Q = R / (ωoL) si ha IR/Is = 1/ (1+jQ(ω/ωo-ωo/ω)). Osservazioni: • nel risonatore ideale in serie, se R0, VR=VS  si ha un cortocircuito (se ω=ωo) • nel risonatore ideale in parallelo, se R0 il generatore ideale e la resistenza spariscono

ELETTROTECNICA – II parte

POTENZA: Potenza attiva: P(t) = V(t)I(t) = VMcos(ωt+φ)IMcos(ωt+φ)=(VMIM/2)⋅ [cos (φV-φI)+cos(2ωt+φV+φI)]. La potenza attiva è la potenza media: P = [1/(t2-t1)]∫t1..t2P(t)dt con t2-t1>>T/2; la parte sinusoidale dell’integrale si annulla perché è centrato sull’asse delle ascisse P=(VMIM/2)cos(φV-φI) [W]. • resistenze: φV = φI P= VMIM/2 = VeIe • condensatore: lo sfasamento è π/2 (V è in ritardo su I)  φV-φI = -π/2  φV+φI = 2φI-π/2 φV=φI-π/2 facendo la media, si ha P=0 • induttore: lo sfasamento è –π/2 (V è in anticipo su I)  φV-φI = π/2  φV+φI = 2φI+π/2  φV=φI+π/2 come nel condensatore ha media 0 Fattore di potenza: φ = φV - φI Potenza reattiva: prendiamo la potenza complessa Pc = VI* = |V||I|ej(φ -φ )= |V||I|cosφ + j|V||I|sinφ; La potenza reattiva è Q=Imm(Pc) = |V||I|sinφ (la parte reale è la potenza attiva). Si misura in [VAR] • resistenze: sinφ=0 Q=0 • condensatore: φ=-π/2 Q=-|V||I|; Ie=ωCVeQ=-ωCVe2=-ωCVM/2 • induttore: Q = ωLIe2 Potenza apparente: Pa = |Pc| =VeIe ∈ R, non indica la potenza realmente dissipata dal bipolo perché manca l’informazione sullo sfasamento. Triangolo delle potenze: Pa è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti Pa e Q, con φ angolo al vertice di Q Teorema di Bucherot: in un circuito comunque complesso, in regime sinusoidale isofrequenziale, la potenza attiva totale è pari alla somma delle singole potenze attive e la potenza reattiva è pari alla somma algebrica delle singole potenze reattive, assegnando segno positivo a quella di natura induttiva e negativo a quella di natura capacitiva. Rifasamento: se il carico di una linea di trasmissione è molto induttivo (cioè cosφ molto piccolo) a parità di potenza attiva il carico scambia con il generatore una grande potenza reattiva impegnando la linea di trasmissione e il generatore. Si cerca di ridurre la Q senza intaccare la Pa: la linea presenta già una induttanza e una resistenza in serie, e vi si inserisce un condensatore parallelo ad essi: così la corrente di linea è IL = I + IC. Se il condensatore ha capacità tale da assorbire una corrente pari alla componente reattiva della corrente di carico, la corrente di linea sarà pari alla componente attiva della corrente. Si tratta di calcolare il C necessario: prima del rifasamento si ha Pa=VaIcosφa e Qa=VaIsinφa=Patgφa. Dopo il rifasamento, per il teorema di Bucherot, le potenze saranno Pt=Pa+Pc= VaIcosφa +0 = Pa e Qt=Qa+Qc= Patgφa-VaICsinφC=Patgφa-ωCVa2. Secondo il triangolo delle potenze, tgφt=Qt/Pt = (Patgφa-ωCVa2)/Pa C=Pa(tgφa-tgφt)/(ωVa2) Rendimento delle linee di trasmissione: siano Vp creato dal generatore, RL e XL proprio della linea, Zu e Va il carico. La potenza in partenza sarà Pp=VpILcosφP ; le perdite di potenza in linea PL=RLIL2 ; la potenza all’arrivo Pa=VaILcosφa . Per Bucherot, la potenza totale fornita dal generatore sarà PP=Pa+PL=Pa+RLIL2. Si definisce rendimento di linea η=Pa/Pp=Pa/(Pa+RLIL2). Sapendo η, si può quindi calcolare la resistenza della linea. Bipoli in serie con accoppiamento induttivo: sia una serie fatta da R1-L1-L2-R2, tra le induttanze c’è la mutua induttanza M. C è un punto tra L1 e L2: Vac=R1I+jωL1I+jωMI e Vcb=R2I+jωL2I+jωMI allora Vab=Vac+Vcb= [(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)]I. Quindi Re=R1+R2 Le=L1+L2+2M Bipoli in parallelo con accoppiamento induttivo: stesso circuito di prima ma in parallelo. Applicandoci la tensione Vab la corrente assorbita si divide nei due rami. Z1=R1+jωL1 Le tensioni calcolate sui due rami con il metodo precedente sono uguali: Vab= R1I+jωL1I+jωMI = R2I+jωL2I+jωMI. Vab=Z1I1+ZMI2= Z2I2+ZMI1 Ze=Vab/I = (Z1Z2-ZM2)/(Z1+Z2-2ZM) Quadripoli con accoppiamento induttivo: due circuiti RLC. Ze=Z1-ZM2/(Z1+Z2) v

I

ELETTROTECNICA – III parte

1 di Giorgio DAVANZO

MUTUE INDUTTANZE: Bipoli in serie con accoppiamento induttivo: sia una serie fatta da AR1-L1-L2-R2B, tra le induttanze c’è la mutua induttanza M>0, Vab è la tensione applicata agli estremi e I la corrente in circolo. ZAC=R1+jωL1 e ZBC=R2+jωL2. C è un punto tra L1 e L2. La corrente passando in L2 indurrà, come conseguenza dell’accoppiamento mutuo M, una f.e.m. nell’induttanza L1: allora Vac=R1I+jωL1I+jωMI e, analogamente, Vcb=R2I+jωL2I+jωMI. Allora Vab=Vac+Vcb= [(R1+R2)+jω(L1+L2+2M)]I. Quindi Re=R1+R2 e Le=L1+L2+2M. Se M<0, l’induttanza equivalente sarebbe stata Le=L1+L2-2M Bipoli in parallelo con accoppiamento induttivo: stesso circuito di prima ma in parallelo: R1 in serie a L1 messi in parallelo con R2 in serie a L2. Applicandoci la tensione Vab la corrente assorbita si divide nei due rami. Z1=R1+jωL1 e Z2=R2+jωL2; definiamo ZM=jωM. Le tensioni calcolate sui due rami con il metodo precedente sono uguali: Vab= R1I+jωL1I+jωMI = R2I+jωL2I+jωMI. Vab=Z1I1+ZMI2= Z2I2+ZMI1 Ze=Vab/I = (Z1Z2ZM2)/(Z1+Z2-2ZM) Quadripoli con accoppiamento induttivo: due circuiti RLC seriali, uno con V1 e l’altro con V2. Trascorso il periodo transitorio dopo l’applicazione delle tensioni, le correnti sono in regime sinusoidale V1=R1I1+jωL1I1−jI1/(ωC1)+jωMI2 e V2 analogo. Indicando con Z1 e Z2 le reattanze equivalenti e con ZM=jωM, si ha V1=Z1I1+ZMI2 e V2=Z2I2+ZMI1. Ze=V1/I1 Ze=Z1-ZM2/(Z1+Z2)

TRASFORMATORI: Descrizione del trasformatore: vi sono due spire avvolte su un nucleo laminato di materiale ferro-magnetico dette primario e secondario. Sul primario vi è una tensione sinusoidale V1=VA1-VB1, mentre il secondario alimenta un carico ZC con la tensione V2=VA2-VB1. Dividiamo le linee di flusso magnetico in tre classi: 1. linee di flusso che si richiudono interamente sul ferro, disposte prevalentemente sulla linea mediana del circuito magnetico 2. linee di flusso che si richiudono in aria concatenandosi solo con il primario 3. linee di flusso che si richiudono in aria concatenandosi solo con il secondario Queste linee originano dei flussi: • Flusso principale: Φ è formato dalle linee di tipo 1; è costante in ogni sezione S della trasformatore, e si concatena con le N1 spire del primario e le N2 del secondario • Flusso di autoinduzione di dispersione primario: Φd1 , originato dalle linee di tipo 2; supponendo che Φ operi in regime di linearitàproporzionali alle correnti  Φd1=Ld1i1 con Ld1 coefficiente di autoind.di dispersione primario. • Flusso di autoinduzione di dispersione secondario: Φd2 , originato dalle linee di tipo 3; Φd2=Ld2i2 con Ld2 coefficiente di autoind. di dispersione secondario Visto che Φd è localizzato in aria, che ha una elevata riluttanza, si possono trascurare le cadute di tensione magnetica del ferro riducendo gli effetti di una eventuale saturazione del camposi possono usare le relazioni linearii flussi complessivamente concatenati con primario e secondario sono Φc1=N1Φ+Φd1=N1Φ+Ld1i1 e Φc2=N2Φ+Φd2=N2Φ+Ld2i2 Equazioni interne: se il materiale del nucleo si comporta linearmenteusiamo la legge di HopkinsonN1i1+N2i2 = RΦ con R riluttanza del tubo di flusso Φ≈nucleo trasformatore. R=l / μS , μ permeabilità magnetica calcolata considerando la pendenza della retta che congiunge l’origine degli assi al punto di lavoro sulla curva di isteresi determinato dalla tensione di alimentazione del primario. Usando Faraday si possono ricavare le cadute sugli avvolgimenti dovute al flusso completo e ai concatenati: ViΦ=dΦc1/dt= N1dΦ/ dt+Ld1di1/dt e V2Φ=dΦc2/dt= N2dΦ/dt+Ld2di2/dt. Le equazioni interne sono V1-V1Φ=R1i1 e -V2-V2Φ=R2i2 con R1 e R2 resistenze degli avvolgimenti. Se il carico zc è lineare, allora lo è anche il sistema trasformatore-carico, e se l’alimentazione è sinusoidale a frequenza ω, si possono usare i fasori scrivendo un insieme di equazioni: 1) V1 – jωN1Φ – jωLd1I1 = R1I1 2) - jωN2Φ – jωLd2I2 = R2I2 + V2 3) N1I1 + N2I2 = RΦ definiamo la Xd1=ωLd1 reattanza primaria e Xd2=ωLd2 reattanza secondaria. Allora le equazioni interne sono: 1) V1 = (R1+jXd1)I1 + jωN1Φ 2) 0 = (R2+jXd2)I2 + jωN2Φ + V2 3) N1I1 + N2I2 = RΦ Equazioni esterne: le equazioni interne sono 3 equazioni in 5 variabili complesse V1,V2,I1,I2,Φ cioè 10 variabili reali (9 se fissiamo arbitrariamente una fase). Ma le 3 equazioni complesse corrispondono a 6

2 ELETTROTECNICA – III parte equazioni realiper avere una sol.univoca servono altre 3 equazioni, cioè quelle di collegamento con l’esterno: 1) V1 = V1s 2-3) V2=zcI2 NB: la 1) usa solo il modulo, perché la sua fase è stata presa come riferimento. Sistema completo approssimato: un buon trasformatore ha delle reattanze di dispersione e resistenze interne molto ridotte, perciò le equazioni si approssimano con 1) V1≈jωN1Φ 2) –V2 = jωN2Φ V1/V2=N1/N2 con N1/ N2 rapporto spire o di trasformazione. Sempre approssimando e trascurando RΦ, di solito ridotto, si ha I1/ I2=N2/N1. Usando i valori efficaci si ottiene potenza apparente=Pa1=V1I1=V2I2=Pa2. Il nuovo sistema è: 1) V1 ≈ jωN1Φ 2) –V2 = jωN2Φ 3) N1I1+N2I2 = 0 4) V1 = V1s 5) V2 = zcI2

TRIFASE: E’ un sistema per portare a distanza potenza, in Italia è a f=50Hz. Ci sono tre fili, ognuno con un generatore (E1,E2,E3), uniti nel centro stella del generatore. Terna diretta o destrorsa: prendiamo E1 come riferimento di fase, E2 è ruotato di 120° in senso orario, E3 di 120° in senso antiorarioE1=220V E2=E1exp(-j2/3π) E3=E1exp(j2/3π) E1,E2,E3 sono dette tensioni stellate o di fase. Vengono scelti questi valori di sfasamento perché così E1+E2+E3=0. Terna indiretta o sinistrorsa: come l’altra, ma si scambiano le due fasi: E2=E1exp(j2/3π) E3=E1exp(-j2/3π) Verifica del verso: cambiando il tipo di terna un motore collegato ad essa gira nel senso oppostosi usa un motorino che gira: vedo da che parte ruota e so se ho attaccato bene i fili. Tensioni concatenate o di linea: sono le tensioni tra due fasi, si ricavano geometricamente: V12=E1exp(jπ/6)√3 V23=E2exp(jπ/6)√3 V31=E3exp(jπ/6)√3 per la terna destrorsa; per la terna sinistrorsa si ruota di –jπ/6 Carico equilibrato: cerchiamo il potenziale Voo’: sono 3 rami paralleliuso Millman: Voo’=(E1/Z1+E2/Z2+E3/Z3)/(1/Z1+1/Z2+1/Z3). Se V1 è il potenziale sul carico Z1, nella maglia OO’1 ho E1=Voo’+V1  V1=E1-Voo’I1=V1/Z1=(E1-Voo’)/Z1 analogo per I2 e I3. Essendo il carico equilibrato (Z1=Z2=Z3Voo’=0) ottengo una terna nuovamente equilatera sfasata di φ rispetto alle tensioni Ex: I1=E1/Z Vantaggi: se devo alimentare tre carichi alla stessa tensione mi servono 6 cavi (3 per il ritorno). Con la trifase elimino i ritornirisparmio! Carico squilibrato: I1=V1/Z1 = (E1 -Voo’)/Z1non ho più una terna di tensioni sui carichi e correnti equilatere. Trasformazione stella-triangolo: siano Z1, Z2 e Z3 i carichi in stella e Z12, Z31 e Z23 i carichi in triangolo. triangolostella: Z1=Z12Z31/Zs Z2=Z12Z23/Zs Z3=Z23Z31/Zs con Zs=Z12+Z23+Z31. stellatriangolo: Z12=Z1Z2/ZP Z23=Z2Z3/ZP Z31=Z3Z1/ZP con ZP = 1/(1/Z1+1/Z2+1/Z3). Caso particolare: tutti i carichi sono uguali ZT=3ZS Correnti di linea nel Triangolo: per kirchoff, I1=I21+I31=V12/Z12+V13/Z13=V12/Z12-V31/Z13 (idem per I2 e I3) Introduzione del Neutro: in laboratorio mi arriva la 3fase, come attacco qualcosa a 220? metto un carico Z tra 1 e 2 in modo che, passando al triangolo, questo sia in parallelo a Z 12. La stella iniziale è equilibrata (quindi stabile), l’altra no(un motore 3fase non andrebbe più): converto stellatriangolo, aggiungo la Z e riconverto a stella. Soluzione: metto un cavo che collega O e O’, detto neutro: ora posso inserire la Z mettendola tra una fase e il neutro, che blocca la differenza di potenzialeil centro del carico non si sposta. In un carico equilibrato (senza la Z) nel neutro non scorre corrente: Cavo di terra: è un cavo di sicurezza, vi passa corrente solo se c’è un guasto Massa: è il ritorno del circuito Potenza: la potenza complessa è Pc = V1I1*+V2I2*+V3I3* (se c’è il neutro Vi=Ei). P=Re{Pc} e Q=Im{Pc}. Caso particolare: carico equilibratoP=3EeIecosφ = (√3)VeIecosφ e Q=(√3)VeIesinφ Potenza istantanea su un carico equilibrato: su una linea P(t)=VeIecos(φv-φI)+VeIecos(2ωt+φV+φI). Posto φ=φV-φI si ha P(t)=P[1+cos(2ωt+2φV)]+Qsin(2ωt+2φV). La potenza totale istantanea è PT(t)=P1(t)+P2(t)+P3(t)= 3Pla potenza totale istantanea è costante: mentre nei circuiti monofasi il flusso di energia da ciascun generatore al carico avviene ad un livello di potenza variabile nel tempo, nel sistema trifase simmetrico ed equilibrato le componenti fluttuanti delle potenze monofasi si compensano eliminandosi reciprocamenteil carico assorbe potenza in modo costante. Teorema di equivalenza: prendiamo un insieme di carichi Z1,Z2,Z3: ha Pc= V1I1*+V2I2*+V3I3*. Cambiamo ora le impedenze: Z1’, Z2’, Z3’: Pc’= V1’I1*+V2’I2*+V3’I3*=(Vo’o’’+V1’)I1*+(Vo’o’’+V2’)I2*+(Vo’o’’+V3’)I3*=

3 Vo’o’’(I1*+I2*+I3*)+Pc = Pc (perché I1*+I2*+I3*=0). Allora qualunque carico soddisfi i vincoli assorbe la stessa potenza. Strumenti di misura: • Voltmetro: ha una grande impedenza, si mette in parallelo • Amperometro: ha una impedenza nulla (se ideale), si mette in serie • wattmetro: misura la potenza attiva, si mette in serie e in parallelo. Se il sistema è squilibrato servono tre wattmetri. Per ricavare la Q si usa il triangolo delle potenze: Pa*=EIe Q*=√(Pa*2-PW2)Q=3Q* e cosφ=P/Pa. Se il centro stella non è disponibile lo si crea con il wattmetro Inserzione Aron: sposta il centro stella su una fasepossiamo misurare lo stesso la potenza attiva (T.di equivalenza) con soli due wattmetri; per i carichi equilibrati si può ricavare anche P e Q, per quelli squilibrati solo P. La corrente di linea risulta sempre sfasata di (φ+π/6) rispetto alle relative tensioni di linea. I wattmetri allora indicano P’=V12I1cos(φ+π/6)=VeIecos(φ+π/6) e P’’=VeIecos(φ-π/6). P’+P’’=VeIe[cos(φ+π/6)+cos(φ-π/6)]= VeIe√3cosφ = P = potenza attiva. P’’-P’=VeIesinφ=Q/√3Q=(P’’-P’)√3. Per carichi squilibrati: per il t.di equivalenza posso spostare il centro stella in un punto qualunque: lo metto per esempio in E2. Allora V2=0, V3=-V23 e V1=V12 ma questa è la stessa cosa che si fa con l’inserzione Aron mettendo il centro stella su una faseposso ancora misurare la potenza attiva. Confronto trifase-monofase: siano R le resistenze di ogni linea del trifase e anche del monofase. Per il trifase: Pu=3|V||I|cosφ e PL=3|I2|R Per il monofase: Pu=|V||I|cosφ e PL=2|I2|R Pu/PL|trifase=2Pu/PL|monofase Teorema di Aron: La potenza attiva di un qualunque sistema trifase a tre fili è sempre uguale alla somma dei prodotti scalari delle correnti di linea per le corrispondenti tensioni stellate qualsiasi sia il centro stella fissato. Rifasamento del carico trifase: prendiamo un carico ohmico-induttivo alimentato ad una tensione Va, che assorbe una potenza attiva Pa con un cosφa molto basso. Allora IL=Pa/(√3⋅ Vacosφa). Le perdite in linea sono tanto più elevate tanto più basso è il cosφa del caricolo si deve elevare all’arrivo a parità di potenza attiva assorbita mettendo una batteria di condensatori tale che, assorbendo una potenza attiva nulla ed una potenza reattiva di segno opposto a quella ohmico-induttiva, porti il cosφa ad un valore cosφL maggiore. Riassumendo si deve avere PL=Pa e QL=Qa-Qc=Patgφa-QcQc=Pa(tgφa-tgφL). Se i condensatori sono connessi a stella, Qc=3ωCλVf2=3ωCλ(VL/√3)2=ωCλVL2Cλ=[Pa(tgφa-tgφL)] / [ωVL2]. Se i condensatori sono connessi a triangolo, C=[Pa(tgφa-tgφL)] / [3ωVL2]

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