El Porque De Alguna De Sus Aplicaciones

LA INTEGRAL DEFINIDA Y EL PORQUE DE ALGUNA DE SUS APLICACIONES b

∫ f ( x)dx

1.- Ya hemos visto que la Integral Definida

es una SUMA DE INFINITOS

a

∞

PRODUCTOS que se abrevia :

∑ f (t )∆x i

i =1

i

2.- CALCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS El área de una Región limitada por las rectas de ecuaciones

x=a ,

x = b , la curva de b

ecuación y = f (x) y el eje X se obtiene mediante el cálculo de la integral A = ∫a f (x )dx . 3

34 14 80 ) −( ) = representa el área de la 4 4 4 1 Región comprendida entre las rectas de ecuaciones x = 1 , x = 3 , la curva de ecuación y = f (x ) y el eje X. 3 Así, por ejemplo, la integral definida ∫ x dx = (

Recordemos que

b

∞

a

i =1

∫ f ( x)dx =∑ f (t

i

) ∆xi . Ahora bien si cada f (t i ) ⋅ ∆xi corresponde

4.- REGLA DE BARROW O TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Esta regla es uno de los primeros intentos de calcular el valor de una integral definida b

∫ f ( x)dx

en forma indirecta, es decir, mediante la obtención de un valor equivalente.

a

El teorema nos dice que si y = f (x ) está definida y es continua en el intervalo [a, b] , entonces existe un valor c ∈a, b  tal que: b

∫ f ( x)dx = f (c)( b − a) a

Lo anterior significó una ventaja enorme para lograr la obtención, al menos en forma aproximada, del valor de la Integral Definida. 3

∫x

Ejemplo: Según la regla de Barrow, la integral

3

dx = c 3 (3 −1) con c ∈[1,3]

1

3

Si elegimos, arbitrariamente, c = 2 entonces

∫x

3

dx ≈ 2 3 (3 −1) = 16

1

n

5.-

CALCULO DE LA INTEGRAL mediante el cálculo del límite ∑ f (t i )∆xi ,

cuando n tiende a

i =1

∞

n

Para la obtención de este cálculo se requiere expresar

∑ f (t )∆x i

i =1

i

en función de n, para lo

cual es necesario subdividir el intervalo [a, b] en n partes. Si la subdivisión se realiza en n parte iguales, cada una de estas partes [ xi −1 , xi ] es un intervalo de orden i para i=1,2,3,4 ,,,n, con una longitud igual a es ∆xi = xi − xi −1 = constante. De tal modo que

n

n

i =1

i =1

∑ f (t i )∆xi = ∑ f (t i )

b −a n

b −a longitud [ a, b] siempre = n n

=

b −a n

n

∑ f (t ) . Sólo nos falta i =1

i

n

expresar en función de n la sumatoria

∑ f (t ) lo cual depende en gran medida i =1

i

función y = f (x) y del intervalo [a, b ] en la cual esta función está definida.

de la

2

Para terminar la idea sigamos entonces con el siguiente ejemplo: Calcular la integral

∫ xdx 0

En este caso es necesario subdividir el intervalo [0,2] en n partes iguales , de modo que longitud [ 0,2] 2 ∆xi = xi − xi −1 = = . n n Luego los extremos de n subintervalos son x0 = 0 , x1 = xi = i ⋅

2 2 , x2 = 2 ⋅ , n n

2 2 , ...... x n = n ⋅ = 2 . n n

Respecto a t i , este es un valor que pertenece al subintervalo [ xi −1 , xi ] . Pero como n tiende a ∞ entonces es posible considerar t i = xi . De esta forma: t1 =

2 , n

t2 =

4 , n

.........

ti = i

2 , n

....... .. t n = n ⋅

2 =2 n

.

2 2 n 2 4 n 4 n(n + 1) 4n 2 + 4n = i = i = ∑ ∑ ∑ n 2 ⋅ 2 = 2n 2 n n i =1 n n 2 i =1 i =1 i =1 Finalmente, podemos afirmar que 4 4 n 2 (4 + 2 ) 4+ 2 2 4 n 2 + 4n 4 n n ∫0 xdx = lim n→∞ 2n 2 = limn→∞ 2n 2 = lim n→∞ 2 = 2 = 2 . n

Luego:

n

f (t i )∆xi = ∑ f (t i )

6.- CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA , mediante el Teorema Fundamental del Cálculo (Teorema de Newton). El Teorema dice que si f es una función continua en el intervalo [a, b] , entonces b

∫ f ( x)dx = g (b) − g (a)

, donde

a

PRIMITIVA de y = f (x) .

dg ( x) = f ( x) . Es decir la función y = g (x ) es una dx