Demostracion De Aplicaciones De Ondas

1.

ONDAS ELÁSTICAS EN UNA VARILLA

Cuando se produce una perturbación en un extremo de una varilla sólida la perturbación se propaga a lo largo de la varilla y finalmente llega al otro extremo. Decimos que a lo largo de la varilla una onda elástica se ha propagado con una velocidad determinada por las propiedades físicas de la varilla. Si consideramos una varilla (fig.1) de sección transversal A, sujeta en su extremo izquierdo y estiramos el otro, de modo que la varilla sufra un alargamiento. Denotando el desplazamiento de la sección A a una distancia x del extremo O con ξ, tenemos que ξ es la función de x. Consideremos otra sección, A0 , separada de A por una distancia dx y situada en la parte no perturbada. Cuando se alarga la varilla, la sección A se ve desplazada una distancia ξ y la A0 es desplazada una distancia ξ + dξ. Entonces la separación entre A y A0 en el estado deformado es dx + dξ. La deformación de la varilla en esa región es, por tanto, dξ. La fuerza neta sobre una sección AA0 de la varilla es F 0 − F = dF . Si ρes la densidad del material de la varilla, la masa de la sección es dm = ρdV = ρAdx, donde Adx es el volumen de la sección. La aceleración de esta masa es

d2 ξ . dx2

Por tanto, aplicando la relación dinámica

F uerza = masa ? aceleracin, podemos escribir la ecuación del movimiento de la sección como 2

d ξ dF = (ρAdx) dx 2 o

dF dx

2

= ρA ddt2ξ .

En este problema tenemos dos campos; uno es el desplazamiento ξ de cada sección, donde ξ es la función de la posición y del tiempo, y el otro es la fuerza F en cada sección, también como dξ y función de la posición y del tiempo. Estos dos campos están relacionados por: F = Y A dx dF dx

2

= ρA ddt2ξ , que describen las condiciones físicas del problema. Ahora la derivada de F =

dξ con respecto a x, tenemos: Y A dx

dF dx

2

d ξ = Y A dx 2. 2

d ξ Sustituyendo este valor en dF dx = ρA dt2 y cancelando a A, obtenemos:  1/2 e v = Yρ , y esta tiene la misma forma de la ecuación de ondas. ddxU2 =

Figura 1: Ondas elásticas en una varilla

1

d2 ξ dx2

=

1 d2 U v 2 dt2

ρ d2 ξ Y dt2

donde

2.

ONDAS DE PRESIÓN EN UN GAS

Consideremos una columna de gas dentro de un tubo (Fig. 2). Sean p y ρ la presión y densidad del gas. En condiciones de equilibrio, p y ρ son los mismos en todo el volumen del gas; esto es, son son independientes de x. Si se perturba la presión del gas, se pone en movimiento un elemento de volumen A dx, debido a que las presiones a ambos lados de py p0 son distintas, dando lugar a una fuerza resultante. En consecuencia, la sección A se desplaza una distancia ξ y la A0 una distancia ξ + dξ, de modo que el grosor del elemento de volumen después de la deformación es dx + dξ. Debido al cambio de volumen relativamente grande, debido a la gran comprensibilidad del gas, hay también un cambio de densidad. Para describir dicho cambio, es  conveniente definir la magnitud k = ρ

dp dρ

conocida como módulo volumétrico de elasticidad,   que da el cambio de presión (dp) por unidad de cambio de densidad dρ ρ . Se expresa en

N m−2 . El gas que está a la izquierda del elemento de volumen limitado por las secciones A y A0 empujan a la derecha con fuerza pA y el gas que está a la derecha empuja con una fuerza p0 A0 hacia la izquierda. Por tanto, cuando A = A0 la fuerza resultante sobre el elemento de volumen es (p − p0 ) A. El movimiento del elemento de volumen da lugar a una onda que se propaga en el gas. Si las fluctuaciones en la presión no son muy grandes,q el desplazamiento ξ satisface la ecuación de onda con una velocidad de propagación de v = kρ (F), donde ρ es la densidad media o de equilibrio, y el desplazamiento debido a la perturbacion en la presión del gas se propaga como una onda longitudinal. La presión obedece la misma ecuación de onda, de manera que las variaciones de presión producidas por la onda se propaga con la velocidad dada en la ecuación (F). Por este motivo se llaman a las ondas elásticas dentro de un gas ondas de presión. El sonido es simplemente una onda de presión en el aire. Similarmente, la densidad del gas obedece una ecuación de la misma forma, con ξ sustituida por la variación en la densidad del gas. Por tanto cuando nos referimos a un gas podemos hablar de una onda de desplazamiento, de presión y de densidad. Para el caso de una onda de presión armónica, tenemos p − po = Po sen(kx − ωt), donde po es la presión media y Po la amplitud de la onda. En un gas el desplazamiento es un campo vectorial y la onda asociada con el movimiento del desplazamiento corresponde a una onda vectorial longitudinal paralela a la dirección de propagación. Sin embargo, ni la presión ni la presión, ni la densidad son vectores y el movimiento ondulatorio correspondiente a estas cantidades es una onda escalar.

2

Figura 2: a)Gas en equilibrio b)Perturbacion en un gas

Referencias [1] Alonso Marcelo, Finn Edward. Física. Volumen 1. Pearson Addison-wesley

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