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EJERCICIOS DE PERT/CPM 1.- Los tiempos estimados para determinar el proyecto de construcción de la planta de energía son mostrados en el cuadro siguiente en meses: ACTIVIDAD 1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8

TIEMPO 12 8 4 3 12 18 5 4 9 6

a) Dibuje el diagrama de redes 3

1

2

4

5

8

7

6

b) Determine el camino critico Para dicho calculo, primeramente, calculamos determinamos la ruta con la duración más larga:

todas

RUTAS ACTIVIDAD TIEMPO DURACION A 1-2 12 44 2-4 4 4-5 18 5-7 4 7-8 6 B 1-2 12 42 2-3 8 3-5 12 5-7 4 7-8 6

las rutas

y

C

D

1-2 2-4 4-6 6-7 7-8 1-2 2-6 6-7 7-8

12 4 5 9 6 12 3 9 6

36

30

Según el cálculo realizado el camino crítico será la ruta “A” por tener la duración más larga, 44 días. c) Calcule los tiempos de inicio (ES) y los tiempos tardíos de inicio (LS) de las actividades Hallamos los tiempos ES (tiempo próximo de iniciación) y EF (tiempo próximo de terminación) comenzando del evento más próximo que es el 1. Para la actividad 1-2: EF12 = ES12 + D12 EF12 = 0 + 12 EF12 = 12 Para la actividad 2-3: EF23 = ES23 + D23 EF23 = 12 + 8 EF23 = 20 Para la actividad 2-4: EF24 = ES24 + D24 EF24 = 12 + 4 EF24 = 16 Para la actividad 2-6: EF26 = ES26 + D26 EF26 = 12 + 3 EF26 = 15

Para la actividad 3-5: EF35 = ES35 + D35 EF35 = 20 + 12 EF35 = 32

Para la actividad 4-5: EF45 = ES45 + D45 EF45 = 16 + 18 EF45 = 34 Para la actividad 4-6: EF46 = ES46 + D46 EF46 = 16 + 5 EF46 = 21 Para la actividad 5-7: EF57 = ES57 + D57 EF57 = 34 + 4 EF57 = 38 Para la actividad 6-7: EF67 = ES67 + D67 EF67 = 21 + 9 EF67 = 30 Para la actividad 7-8: EF78 = ES78 + D78 EF78 = 38 + 6 EF78 = 44

A continuación, presentamos el cuadro resumen ACTIVIDAD 1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8

ESij 0 12 12 12 20 16 16 34 21 38

DURACION EFij 12 8 4 3 12 18 5 4 9 6

12 20 16 15 32 34 21 38 30 44

Hallamos los tiempos LS (tiempo más lejano de iniciación) y LF (tiempo más lejano de terminación) comenzando con el evento final que es el 8.

Para la actividad 7-8: LS78 = LF78 - D78 LS78 = 44 - 6 LS78 = 38

Para la actividad 5-7: LS57 = LF57 – D57 LS57 = 38 - 4 LS57 = 34 Para la actividad 3-5: LS35 = LF35 – D35 LS35 = 34 - 12 LS35 = 22 Para la actividad 4-5: LS45 = LF45 – D45 LS45 = 34 - 18 LS45 = 16 Para la actividad 6-7: LS67 = LF67 – D67 LS67 = 38 - 9 LS67 = 29 Para la actividad 4-6: LS46 = LF46 – D46 LS46 = 29 - 5 LS46 = 24 Para la actividad 2-3: LS23 = LF23 – D23 LS23 = 22 - 8 LS23 = 14 Para la actividad 2-4: LS24 = LF24 – D24 LS24 = 16 - 4 LS24 = 12 Para la actividad 2-6: LS26 = LF26 – D26 LS26 = 29 - 3 LS26 = 26

Para la actividad 1-2: LS12 = LF12 – D12 LS12 = 12 - 12 LS12 = 0

A continuación, presentamos el cuadro resumen: ACTIVIDAD 7-8 5-7 3-5 4-5 6-7 4-6 2-3 2-4 2-6 1-2

LFij 44 38 34 34 38 29 22 16 29 12

DURACION 6 4 12 18 9 5 8 4 3 12

LSij 38 34 22 16 29 24 14 12 26 0

Realizamos el grafico del diagrama de redes con los tiempos próximos de iniciación y terminación (negros) y los tiempos más lejanos de iniciación y terminación (rojos)

3

[16, 18, 34] (16, 0, 34) (0, 0, 12) 1 [0, 12, 12]

5

4

2

(34, 0, 38)

[16, 5, 21]

(12, 0, 16)

(24, 8, 29)

] 6

8

7 [34, 4, 38]

[12, 4, 16]

(38, 0, 44) [38, 6, 44]

d) Determine las holguras de tiempo Para la actividad 7-8: F78 = LF78 - EF78 F78 = 44 - 44 F78 = 0 Para la actividad 5-7: F57 = LF57 – EF57 F57 = 38 - 38 F57 = 0 Para la actividad 3-5: F35 = LF35 – EF35 F35 = 34 - 32 F35 = 2 Para la actividad 4-5: F45 = LF45 – EF45 F45 = 34 - 34 F45 = 0 Para la actividad 6-7: F67 = LF67 – EF67 F67 = 38 - 30 F67 = 8 Para la actividad 4-6: F46 = LF46 – EF46 F46 = 29 - 21 F46 = 8 Para la actividad 2-3: F23 = LF23 – EF23 F23 = 22 - 20 F23 = 2 Para la actividad 2-4: F24 = LF24 – EF24 F24 = 16 - 16 F24 = 0 Para la actividad 2-6: F26 = LF26 – EF26 F26 = 29 - 15 F26 = 14

Para la actividad 1-2: F12 = LF12 – EF12 F12 = 12 - 12 F12 = 0 Hacemos el cuadro correspondiente de las holguras obtenidas: ACTIVIDAD LFij EFij 7-8 44 5-7 38 3-5 34 4-5 34 6-7 38 4-6 29 2-3 22 2-4 16 2-6 29 1-2 12

Fij 44 38 32 34 30 21 20 16 15 12

0 0 2 0 8 8 2 0 14 0

2.-Los planeadores de proyecto han empleado el juicio de varios reconocidos ingenieros, capataces y proveedores y han desarrollado las estimaciones de tiempo mostrados en la tabla siguiente, para el proyecto de construcción de la planta. ACTIVIDAD Descripción Diseñar la planta Seleccionar el lugar Seleccionar a los proveedores Seleccionar al personal Preparar el lugar Fabricar el generador Preparar el material Instalar el generador Adiestrar a los operadores Licencia de planta

TIEMPOS ESTIMADOS Numero a m b 1-2 10 12 16 2-3 2 8 36 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8

1 2 8 15 3 2 6 4

4 3 12 18 5 4 9 6

5 4 20 30 8 8 12 14

a) Determine el camino critico Para hallar el camino crítico determinamos las duraciones calculando el tiempo esperado (te) para cada actividad:

𝑡𝑒 =

𝑡𝑜 + 4𝑡𝑚 + 𝑡𝑝 6

ACTIVIDAD

TIEMPOS ESTIMADOS a b Descripción Numero (to) m (tm) (tp) 1-2 Diseñar la planta 10 12 16 2-3 Seleccionar el lugar 2 8 36 Seleccionar a los proveedores 2-4 1 4 5 2-6 Seleccionar al personal 2 3 4 3-5 Preparar el lugar 8 12 20 4-5 Fabricar el generador 15 18 30 4-6 Preparar el material 3 5 8 5-7 Instalar el generador 2 4 8 6-7 Adiestrar a los operadores 6 9 12 7-8 Licencia de planta 4 6 14

te 12.33 11.67 3.67 3.00 12.67 19.50 5.17 4.33 9.00 7.00

Hacemos el diagrama de redes y obtenemos todas las rutas posibles: 3

1

2

4

5

7

8

6

De todas las 4 rutas obtenidas, hallamos la duración de las rutas en base al “te”

RUTAS ACTIVIDAD A 1-2 2-4 4-5 5-7 7-8 B 1-2 2-3 3-5 5-7 7-8 C 1-2

te DURACION 12.33 46.83 3.67 19.50 4.33 7.00 12.33 48 11.67 12.67 4.33 7.00 12.30 37.14

D

2-4 4-6 6-7 7-8 1-2 2-6 6-7 7-8

3.67 5.17 9.00 7.00 12.30 3.00 9.00 7.00

31.3

Por consiguiente, el camino crítico será la ruta “B” por tener la duración más larga, 48 Meses. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto sea terminado dentro del cuarto año? Obtenemos la Varianza de cada actividad en base a la fórmula:

σ2 =

(𝑡𝑝 − 𝑡𝑜)2 36

TIEMPOS ESTIMADOS (to) (tm) ACTIVIDAD 1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8

10 2 1 2 8 15 3 2 6 4

(tp)

12 8 4 3 12 18 5 4 9 6

16 36 5 4 20 30 8 8 12 14

Varianza σ2 1.00 32.11 0.44 0.11 4.00 6.25 0.69 1.00 1.00 2.78

Obtenemos la Varianza del proyecto, obteniendo la varianza de la ruta crítica: ACTIVIDAD Varianza 1-2 1.00 2-3 32.11 3-5 4.00 5-7 1.00 7-8 2.78 2 σ 40.89

Por consiguiente, la desviación estándar para la terminación del proyecto es:

σ = (σ2) ½ = (40.89) ½ = 6.39 = 6.4 meses

Entonces si se desea saber la probabilidad de que el proyecto sea terminado dentro del 4to año (48 meses): X=48 CLAVE µ σ

48 meses 6.4 meses 𝑍=

𝑍=

𝑋−µ σ

48 − 48 6.4

𝑍=0

Con la ayuda de una tabla de distribución normal estándar podemos decir que la probabilidad de que el proyecto acabe dentro de los 48 meses es de 0.50 es decir del 50% c) ¿Cuál es la probabilidad de que tome más de 55 meses? X=55 CLAVE µ σ

48 meses 6.4 meses 𝑍=

𝑍=

𝑋−µ σ

55 − 48 6.4

𝑍 = 1.09

P [Z > Zo] = 0.5 - P [0 ≤ Z ≤ Zo]

P [Z > Zo] = 0.5 - P [0 ≤ Z ≤ 1.09] P [Z > Zo] = 0.5 – 0.3621 P [Z > Zo] = 0.1379

Con la ayuda de una tabla de distribución normal estándar podemos decir que la probabilidad de que el proyecto tome más de 55 meses es de 0.1379 es decir del 13.79% 3) Se considera un proyecto formado por 11 actividades. La tabla siguiente recoge dichas actividades, su duración en días y las relaciones de precedencia entre las mismas ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K

DURACION 2 2 6 2 1 2 4 2 2 2 3

PRECEDENTES INMEDIATAS

A A B B DE DE FH CIC FH

A) Elaborar una red PERT CPM que represente a dicho proyecto

B) Sabiendo que las actividades criticas del proyecto calcular la duración prevista del proyecto, los camionos críticos y las duraciones de las actividades DURACTION PREVISTA DEL PROYECTO 1-3-5-6-8= 9 DIAS CAMINOS CRITICOS 1-2-4 1-2-5-7 1-3-5-8 DURACION DE LAS ACTIVIDADES 1-2-4= 8DIAS 1-3-6-88=7 DIAS 1-3-5-7=7DIAS 1-2-5-7=8 DIAS C) CALCULAR EL MARGEN DE LAS ACTIVIDADES NO CRITICAS 1-3-6-4= 3DIAS DE MARGEN 1-3-5-7=2DIA DE MARGEN 1-3-6-8=2DIA DE MARGEN 1-3-5-6-4=2 DIAS DE MARGEN 4) Supóngase que se quiere construir una casa, la mayoría de los contratistas consideran 40 o mas actividades, pero en el ejemplo utilizaremos 5 actividades, que en la tabla se muestran, asi como las actividades predecesoras y los tiempos.

ACTIVIDAD

DESCRIPCION

PREDECESOR

DURACION (SEMANAS)

A

Cimientos, Paredes

Ninguno

4

B

Plomeria, Electricidad

A

2

C

Techos

A

3

D

Pintura exterior

A

1

E

Pintura interior

B,C

5

a) Dibuje la red PERT/CPM

3

1

[A] Cimientos, Paredes

[C] Techos

2

4 [3]

[4]

[E] Pintura Interior

6

[5]

5

b) ¿Cuál es la ruta crítica? Del grafico obtenemos todas las rutas posibles para obtener la que tenga mayor duración: RUTAS 1RA

2DA

3RA

ACTIVIDAD 1-2 2-3 3-4 4-6 1-2 2-4 4-6 1-2 2-5 5-4 4-6

TIEMPO

DURACION 4 2 0 5 4 3 5 4 1 0 5

11

12

10

Vemos que la ruta crítica es la 2da por ser la más larga (12 semanas)

c) Calcule los tiempos de inicio y terminación, halle la holgura. Hallamos los tiempos ES (tiempo próximo de iniciación) y EF (tiempo próximo de terminación) comenzando del evento más próximo que es el 1. Para la actividad 1-2: EF12 = ES12 + D12 EF12 = 0 + 4 EF12 = 4 Para la actividad 2-3: EF23 = ES23 + D23 EF23 = 4 + 2 EF23 = 6 Para la actividad 2-4: EF24 = ES24 + D24 EF24 = 4 + 3 EF24 = 7 Para la actividad 2-5: EF25 = ES25 + D25 EF25 = 4 + 1 EF25 = 5

Para la actividad 4-6: EF46 = ES46 + D46 EF46 = 7 + 5 EF46 = 12 Presentamos el cuadro Resumen: ACTIVIDAD ESij 1-2 2-3 2-4 2-5 4-6

0 4 4 4 7

DURACION EFij 4 2 3 1 5

4 6 7 5 12

Hallamos los tiempos LS (tiempo más lejano de iniciación) y LF (tiempo más lejano de terminación) comenzando con el evento final que es el 6.

Para la actividad 4-6: LS46 = LF46 – D46 LS46 = 12 - 5 LS46 = 7 Para la actividad 2-5: LS25= LF25 – D25 LS25 = 7 - 1 LS25 = 6 Para la actividad 2-4: LS24= LF25 – D25 LS24 = 7 - 3 LS24 = 4 Para la actividad 2-3: LS23= LF25 – D25 LS23 = 7 - 2 LS23 = 5 Para la actividad 1-2: LS23= LF25 – D25 LS23 = 4 - 4 LS23 = 0

A continuación presentamos el cuadro resumen: ACTIVIDAD LFij 4-6 2-5 2-4 2-3 1-2

Hallamos las holguras: Para la actividad 1-2: F12 = LF12 – EF12 F12 = 4 - 4 F12 = 0 Para la actividad 2-3: F23 = LF23 – EF23 F23 = 7 - 6

12 7 7 7 4

DURACION LSij 5 1 3 2 4

7 6 4 5 0

F23 = 1 Para la actividad 2-4: F24 = LF24 – EF24 F24 = 7 - 7 F24 = 0 Para la actividad 2-5: F25 = LF25 – EF25 F25 = 7 - 5 F25 = 2 Para la actividad 4-6: F46 = LF46 – EF46 F46 = 12-12 F46 = 0 Presentamos el cuadro resumen: ACTIVIDAD LFij 1-2 2-3 2-4 2-5 4-6

EFij 4 7 7 7 12

Fij 4 6 7 5 12

0 1 0 2 0

Realizamos el grafico del diagrama de redes con los tiempos próximos de iniciación y terminación y los tiempos más lejanos de iniciación y terminación.

3

[4, 3, 7]

[O, 4, 4] 2

1 (0, 0, 4)

[7, 5, 12] 6

4 (4, 0,7)

5

(7, 0, 12)

5 ) En el mismo ejercicio de la construcción de la casa calcular los tres tiempos para PERT y determinar el tiempo medio y la varianza para calcular la probabilidad de culminar la obra, que a continuación se presenta los datos de la tabla siguiente TIEMPOS DE PERT PARA EL PROYECTO DE LA CASA ACTIVIDAD 1-2 2-3 2-4 2-5 3-4(FICTICIA) 4-5 a)

OPTIMISTA 2 1 2 1 0 3

MAS PROBABLE 3 1 3 1 0 4

PESIMISTA 10 7 4 1 0 111

OPTIMISTA=7 DIAS 3

1

[A] Cimientos, Paredes

[C] Techos

2

4

[E] Pintura Interior

[2]

[3]

[C] Techos

[E] Pintura Interior

[2]

6

5 MAS PROBABLE =9 DIAS

3 [A] Cimientos, Paredes 1

2

4 [3]

[3]

5

[3]

6

PESIMISTA=25 DIAS

3

1

[A] Cimientos, Paredes

[C] Techos

2

4 [4]

[10]

[E] Pintura Interior

6

[11]

5 VARIANZA =41 DIAS

6) Con los tiempos PERT se ha estimado que el tiempo medio de terminación para el proyecto es 50 semanas con una desviación estándar de 5. a. Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 50 semanas?, En 55 semanas?, En 60 semanas? b. Cuál es la probabilidad de que el proyecto se lleve más de 58 semanas? c. Si se quiere tener un 99% de confianza en terminar el proyecto, que estimación se debe dar para estimar el proyecto? Desarrollo: a. 1. 𝑧 =

𝑥−𝜇 𝜎

=

50−50 5

=0

𝑃(𝑥=50) = 𝑃(𝑧=0) = 0.50, Por lo tanto habrá una probabilidad del 50% de probabilidad.

2. 𝑧 =

𝑥−𝜇 𝜎

=

55−50 5

=1

𝑃(𝑥=55) = 𝑃(𝑧=1) = 0.8413, Por lo tanto habrá una probabilidad del 84.13% de probabilidad. 3. 𝑧 =

𝑥−𝜇 𝜎

=

60−50 5

=2

𝑃(𝑥=60) = 𝑃(𝑧=2) = 0.9772, Por lo tanto habrá una probabilidad del 97.72% de probabilidad. b. 𝑧=

𝑥 − 𝜇 58 − 50 = = 1.60 𝜎 5

𝑃(𝑥≥58) = 𝑃(𝑧≥1.60) = 0.9452, Por lo tanto habrá una probabilidad del 94.52% de probabilidad. c. 99% ≥ 𝑧 = 1.28 = (

×𝜇 ) 𝜎

X = 1.28*5 + 50 = 56.40 semanas para estimar el proyecto.

7) En la tabla siguiente se muestra para un proyecto el tiempo y costo de cada actividad sobre una base normal y sobre la base de urgencia, también se muestran los incrementos del costo de cada actividad calculados mediante la ecuación, grafique el diagrama de red de flechas y haga las reducciones de tiempo según los costos de urgencia para 10 semanas.

PROGRAMA DETALLADO

0 – 1 – 2 - 4 – 5 = 13 DIAS 0 – 1 – 2 - 3 - 4 – 5 = 14 DIAS (RUTA CRITICA) 0 – 1 – 3 - 4 – 5 = 13 DIAS DIAGRAMA DE FLECHAS

2 8

8

1 0

1

1

5

7 3

4

4

5