Ejemplos Resueltos: Sistemas De Ecuaciones Lineales

Álgebra Superior

Sistemas de ecuaciones. Matrices y determinantes

Ejemplos resueltos. Sistemas lineales 1) Dada las siguiente matriz homogénea, exprese su solución, única o general, en su caso.

a b c d 6  0 0  0 0 

e

f

0 0 0 0 −1  1 0 0 0 − 4 0 2 0 0 − 3  0 0 1 0 − 2 0 0 0 1 − 1 

Primero se tiene que expresar el sistema en la forma de escalón reducido. Multiplicando toda la matriz por un escalar conveniente, en este caso 1/6, se obtiene:

a b c d 1  0 0  0 0 

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 − 1/ 6  1   0 −4  0 que es equivalent e a 0 − 3 / 2      → 0   0 −2  0   1 −1  0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

e

f

0 − 1/ 6   0 − 24 / 6  0 −9/6   0 − 12 / 6   1 − 6/6 

La variable f se convierte en un parámetro, dado que el sistema de ecuaciones tiene soluciones infinitas. Llamaremos a dicho parámetro, r. Despejando las variables (a, b, c, d, e), que ahora están en función de r. 1 r 6 24 b= r 6 9 c= r 6 12 d= r 6 6 e= r 6 6 f = r 6 a=

Finalmente, podemos expresar la solución general del sistema.

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a 1     b  24  c r 9  x =   =   r ∈ℜ  d  6  12      e 6 f 6     2) Despeje θ del sistema

senθ 4 senθ

− 4 cos θ − 4 cos θ

=4 =4

Este problema se puede resolver por muchos métodos. Un método muy eficiente es utilizando matrices aumentadas: En una matriz aumentada se expresa el sistema,

 senθ   4 senθ

− 4 cos θ − 4 cos θ

4  4 

Aplicando el método de Gauss,

 senθ   4 senθ  senθ   0

− 4 cos θ − 4 cos θ − 4 cos θ cos θ

4  − 4 R1+ R 2→ R 2  senθ    → 4   0 4  4 R 2+ R1→ R1  senθ     → − 1  0

− 4 cos θ 12 cos θ 0 cos θ

4  ( R 2) / 12→ R 2     → − 12 

0  − 1

Ahora se puede despejar fácilmente θ

senθ = 0 ⇒ θ = arcsen(0) cos θ = −1 ⇒ θ = arccos(−1) El único valor que satisface estas igualdades es θ = π. Para comprobar que este resultado sea correcto, se sustituye el valor de θ en ambas ecuaciones originales:

senπ 4 senπ

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− 4 cos π − 4 cos π

=4 − 4(−1) = 4 4 = 4 ⇒ ⇒ =4 − 4(−1) = 4 4 = 4

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O, utilizando el método de “igualación”: De ambas ecuaciones se despeja el término senθ, y se obtiene

senθ = 4 + 4 cos θ 1 senθ = ( 4)(1 + cos θ ) ⇒ senθ = 1 + cos θ 4 Igualando ambos “senθ”.

4 + 4 cos θ = 1 + cos θ Simplificando términos se llega a la siguiente expresión.

cos θ = −1 ⇒ θ = arccos(−1) ⇒ θ = π Se puede ver que se llega al mismo resultado que utilizando una matriz aumentada.

¡Y ya estuvo!

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