Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones diferenciales exactas (EDE) Se definirá EDE con los siguientes pasos: Sea F(y,t). Entonces,

1. Su diferencial total es

2. Si se iguala a cero

dF ( y, t ) =

∂F ∂F dy + dt ∂y ∂t

∂F ∂F dy + dt = 0 y esto es una ecuación diferencial exacta porque su ∂y ∂t

primer miembro es la diferencial de la función F(y,t). 3. En general, una ecuación diferencial Mdy + Ndt = 0 es exacta si y solo si existe F(y,t) tal que

M =

∂F ∂F , N= . ∂y ∂t

4. Asimismo, por el teorema de Young que dice

es exacta si se cumple que

∂2F ∂2F = , entonces, una ecuación diferencial ∂t∂y ∂y∂t

∂M ∂N = . Este es el criterio para comprobar la exactitud de una ∂t ∂y

ecuación diferencial. 5. Siendo exacta dF(y,t) = 0 significa que la solución general es F(y,t) = C. Resolver una EDE consiste en buscara una primitiva F(y,t) e igualarla a una constante arbitraria.

Método de solución Se plantearán aquí los pasos para hallar la solución de una EDE.

1. Sea M =

∂F . Esto significa que F contendrá la integral de m respecto a y, entonces, ∂y

F ( y , t ) = ∫ Mdy + Ψ (t ) 2. Al ser M una diferencial parcial, se ha de integrar solo respecta a y, por lo que t se trata como una constante. 3. Para hallar Ψ(t) se usa N =

∂F ∂t

Ejemplo: 2ytdy + y2dt = 0. Aquí: M = 2yt,

N = y2. Entonces:

2 1. F ( y , t ) = ∫ 2 ytdy + Ψ (t ) = y t + Ψ (t ) . En la función Ψ(t) se incluye la constante de integración.

2.

∂F = y 2 + Ψ ' (t ) ∂t

3. Como N =

∂F , esto significa que N = y2. Se igualan entonces (2) y (3) y queda y 2 = y 2 + Ψ ' (t ) ∂t

y Ψ’(t) = 0 4. Se integra Ψ’(t) y queda Ψ (t ) = ∫ Ψ ' (t )dt = ∫ 0dt = k 5. El resultado de F(y,t) será y2t + k 6. La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queda y2t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces

y (t ) = Ct

−

1 2

, C es arbitraria.

Otro ejemplo Dada la siguiente ecuación diferencial: (3x2 + 6xy2) dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 Pasos: 1.

Identificar las funciones M y N

Mdx + Ndy = 0 (forma general de una EDE) M = 3x2 + 6xy2; 2.

N = 6x2y + 4y3

Verificar que es exacta

∂M ∂N = ∂y ∂x

(

)

(

)

∂ 3 x 2 + 6 xy 2 = 12 xy ∂y

son iguales, esto significa que es una EDE

∂ 6x2 y + 4 y3 = 12 xy ∂x 3.

U(x,y) = C

Es la expresión a la que se quiere llegar 4.

Identificar M y N las derivadas parciales respectivas

M= 5. U=

∂U ; ∂x

∂U ∂y

Se plantea U y se busca su función ∂U

∫ ∂x dx + Ψ ( y ) = ∫ Mdx + Ψ ( y )

Entonces queda U = 6.

N=

∫ (3x

2

)

+ 6 xy 2 dx + Ψ ( y ) = x 3 + 3x 2 y 2 + Ψ ( y )

Se halla la derivada parcial de U con respecto a y

[

]

∂U ∂ x 3 + 3x 2 y 2 + Ψ ( y ) = = 6 x2 + Ψ' ( y ) ∂y ∂y Se iguala la función N con la función hallada en el paso 6, para encontrar el valor de Ψ’(y)

7. N=

∂U ∂y

8.

6x2y + 4y3 = 6x2 + Ψ’(y)

lo cual da Ψ’(y) = 4y3

Se integra Ψ’(y)

Ψ ( y ) = ∫ Ψ ' ( y )dy = ∫ 4 y 3dy = y 4 + k 9.

Se utiliza el paso 3 para hallar la solución

Dado que U(x, y) = C, y para este problema U = x3 + 3x2y2 + y4 + k, se igualan las dos expresiones. Así, x3 + 3x2y2 + y4 + k = C1. Se despeja k y se escribe C = C1 – k, por lo que la solución será x3 + 3x2y2 + y4 = C, una solución implícita.

Ejercicios 1. (t + 2y)dy + (y + 3t2)dt = 0 2. 2yt3dy + 3y2t2dt = 0 3. 3y2tdy + (y3 + 2t)dt = 0 4. t(1 + 2y)dy + y(1 + y)dt = 0 dy 2 y 4t + 3t 2 + =0 5. dt 4 y 3t 2