Ecuaciones

ECUACIONES E INECUACIONES 1.- Escribe las expresiones algebraicas que representan los siguientes enunciados: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s)

Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. Número de céntimos para cambiar x euros. Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos. Número de cromos que me quedan después de perder 12. Un número menos 3. La mitad de un número. Restar la mitad de un número al 2. Doble de un número menos 5. Cuadrado de un número más 7. La tercera parte de un número más su quinta parte. Dos quinto de un número. El triple de un número más 1. La edad de Pedro hace cuatro años. La edad de Juan dentro de 15 años. Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora? Dos números se diferencian en 5 unidades. El cociente de dos números es igual a tres veces su suma. El producto de dos números dividido por su suma es 5. La diferencia de los cubos de dos números.

2.- En una frutería, 1 Kg de peras cuesta el doble que un Kg de manzanas; 1 Kg de ciruelas la mitad de 1 Kg de manzanas; 1 Kg de naranjas cuesta lo mismo que 1 Kg de peras mas 1 Kg de ciruelas. Llama “p” al precio del kilogramo de manzanas y expresa con “p” el precio por Kg de las peras, las ciruelas y las naranjas. 3.- Calcula, en cada una de las siguientes expresiones algebraicas, el valor numérico para n =1, n = 2 y n = -1. a) b) c) d)

2n + 5 n · (n + 3) n2 – 1 n2 + n

4.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para x = 2 e y = 5: 3x2 + 2y – 1 (x + 2) · (y3 – 3) 4x + (x – y)2 6x – 2y 5x – 5y + 8 3x2 –5y + 2 2y3 – 7x + y 2x2 – x · y x i) x2 · y3 + y a) b) c) d) e) f) g) h)

5.- Completa la tabla: Expresión x3 + 2xy - 6 x2 + y2 – 6y x3 – y3 + 3x2y x4 – y4 + 2x2

Grado

Valor numérico x = 3 ; y =2.

Valor numérico x = 2 e y =3.

6.- Haz las operaciones: a) b) c) d)

3x + 6x – 11x 2 · (x – y) + x – y 5x2 – 2x2 – 7x + 3x 4x2 – x2 – x – 5x

7.- Factoriza las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f)

15x – 25 2x2 – 6x (x – 5) (x – 3) + (x –7) (x –3) (x – 1)2 + 7 (x –1) (x -1) (x – 6) – (x -1)2 36x2 – 84x + 49

8.- Indica las expresiones algebraicas que son iguales: a) b) c) d) e) f)

(a – 1)2 (a + 1)2 a2 + 2a+ 1 (a + 1) · (a – 1) a2 – 2a + 1 a2 - 1

9.- Desarrolla los siguientes cuadrados: a) b) c) d) e) f)

(x + 2)2 (3x – 2)2 (x – 2y)2 (y – 3)2 (x + 3y)2 (3 – x)2

10.- Dada la ecuación x2 – 3x = 6 + 2x, responde a las siguientes cuestiones: a) b) c) d) e) f) g) h)

¿Cuáles son el 1er y el 2º miembro? ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuál es el grado? ¿Cuál es el término independiente? Escribe dos de sus términos. ¿Coeficiente del término de grado 1? ¿Es 5 una solución? ¿Y 2?

11.- Comprueba si los valores indicados son soluciones de las ecuaciones correspondientes: a) x = -1 de 5x + 5 – 2 = 3x + 5 x + 2 1− x − =1 b) x = -2 de 3 3 x − 2 2x − 6 − =4 c) x = 6 de 2 3 2 − 3x 1 − x 2 − = d) x = 0 de 2 3 3 2 e) x = -1 y x =4 de x –3x – 4 = 0 f) x = 2 de 3x + 3 = 5x – 1 12.- Sin resolver la siguiente ecuación:

x −6 x +1 + = 2 , averigua cuál de los números 9, 10, 5 12

11 y 12 es solución de ella. 13.- Escribe tres ecuaciones que tengan como solución el número 7. 14.- Encuentra tres ecuaciones diferentes que tengan como solución x =

1 . 3

15.- Escribe una ecuación que tenga 3 términos en el primer miembro, 2 términos en el segundo miembro y cuya solución sea 3. 16.- ¿Son equivalentes las siguientes ecuaciones? x – 3 = 0 ;

x −1 =1 2

17.- De las siguientes ecuaciones hay dos que son equivalentes. ¿Cuáles son? a) b) c) d) e) f)

3x – 5 = x + 2 6x + 3 = 2x 4x + 7 = 3 – x 5x – 6 = 2x + 3 10x + 35 = 20 – 10x 23x + 2x = 15x – 41

18.- Escribe tres ecuaciones equivalentes a cada una de las siguientes: a) b) c) d)

8–x=4 2x – 5 = x + 10 6x – 3 = 3 · (x + 6) 3x – 5 = 2 · (2x – 6) + 4

19.- Explica porqué las ecuaciones 2x = 4 y x2 = 4, no son equivalentes.

20.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

11x – 5 = -5x + 11 –x + 5 = 35 – 4x 3x – 1 = 2x – 24 x + 6 = 5x + 7 –2x – 3 = -7x + 22 6x – 15 = - x +13 – 5x 19 – 3x = 6 + x – 12 7x – 5 = 13x – 19 2(x – 3) – 4(2x – 5) = - 4 2x + 5(8 –3x) = -5x – 4 (-x – 6) – 6(2x –5) = 4x 3 – 5(x – 6) = -5(-6 + 2x) –3x 2x – 6 = -5 [-2x – 3(4x –8)] – 6x 2 n) 4[2x – 3(-2x +5)] – 6 = 3 o) 2 (x –1) – 6x = 3x – 4(-3x – 8) 21.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)

x x x − =32 3 4 x x x + + = 10 4 5 3 3x 4x + = 2x – 5 2 3 x x x = -7 3 5 6 2−x 5 ·( x − 4) 3 − 2x 4· -3· =2· -4 5 2 4 − x − 3 6 ·(2 − 4 x) 2 ·(4 x − 2) 6x =− 2 3 5 x−2 6x − 5 4= 2x – 7 · 7 6 2(3x − 4) 2 x − 7 2 − 5x − 5x = 3 4 5 2x 4x + =2+x 5 3 3x – 4x – 5 = − 2 2 − 3x –3 – 4x = 3 − x −5 − x− 2 − − =5 3 6 x +3 5 − x − x −5 − -8+ = +3 2 4 3 − 3x 5 x 3 x + 2 − + =6 4 6 12

o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y)

3 2 2 (-2x – 3) + (x + 3) = 9 + (-5x + 4) 5 3 5 2 x + 4 2x + 5 4 + 3 x − = +5 2 3 6 x +1 2x + 3 − –2x − = -12 3 2 x −2 − x+2 − = 3x + 21 4 3 − 3x + 2 x − = - 2 + 5x 6 3 x 3x − 4 3 + 4x x + 1 + − = 2 6 3 2 2(3x + 4) 5( − x + 3) − 6( −2 − 3x ) + = 3 2 4 − 2 + 3x 4 − 4x = 30 − 20 5 x + 2 x +3 x + 4 5 + + = 7 2 3 4 2x − 1  5  − 3 = - x 2 -  4x − 3   2 3 − 4x  2x − 5  − 3x −  2x − - 5x =  5 3  4 

22.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

4x2 + 8x +3 = 0 2x2 – 5x –3 = 0 3x2 + 4x + 1 = 0 x2 – x – 2 = 0 x2 – x + 2 = 0 x2 + 6x +8 = 0 (5x - 1)2 = 16 (4 –3x)2 = 64 4x2 + 11x – 3 = 0 x2 – 2x – 8 = 0 2x2 – 7x – 4 = 0 2x2 – 3x +1 = 0

23.- Resolver las ecuaciones: 3x2 4 = 4 27 2 2x 1 13x b) + = 5 10 30 c) (3x + 2) · (3x – 2) = 77 2 25 5  d)  2 x +  = 9x2 + 4 2  a)

x  e) 24x2 – 7x = 3x ·  5 x −  2  2 3x f) 43x + + 10x = 8x2 7  x2  x g) (x – 31) = 2 10 −  3  3  2 h) (x – 9) – 49 = 0 5x + 6 i) x(x – 1) = 2x – 3 + 2 2 x x 1 3x j) + = + 2 6 5 5 24.- Si al número de mi piso le sumas 6, obtienes el doble del número del piso que está debajo del mío. ¿En qué piso vivo? 25.- Dos cajas de peras y una de manzanas pesan 37 kg. Si una caja de manzanas pesa 4 kg más que una de peras, ¿cuántos kg pesa cada una de las cajas? 26.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 35 centímetros. Si los lados iguales miden cada uno el doble del lado desigual, ¿cuánto mide cada lado? 27.- El perímetro de un rectángulo es de 288 centímetros. Si la base mide el doble que la altura,¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? 28.- Pedro tiene 12 años y Ana tiene 18. ¿Cuántos años han de pasar para que las edades de ambos sumen 46 años? 29.- Averigua cuántos kilómetros tiene un camino si después de haber recorrido la tercera parte faltan 25 kilómetros para llegar a la mitad del camino. 30.- Un padre tiene 45 años y su hijo 20. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea el doble de la edad del hijo? 31.- En dos depósitos hay la misma cantidad de agua. Si pasáramos 60 litros del primero al segundo habría el doble en uno que en otro. ¿Cuántos litros contiene cada depósito? 32.- La suma de las edades de tres hijos es igual a la edad de su madre. Si la madre tiene 48 años, y cada uno de los hijos tiene 2 años más que el anterior, ¿cuáles son sus edades? 33.- Pedro tiene una colección de cromos. Le da a su amigo la tercera parte y él se queda con 50 cromos. ¿Cuántos cromos tenía Pedro al principio? ¿Cuántos le dio a su amigo? 34.- A un cine fueron 450 personas. El número de hombres era el doble que el de mujeres, y el

número de niños el doble que el de hombres y de mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños fueron al cine? 35.- En un corral hay conejos y gallinas. Si en total hacen 35 cabezas y 94 patas, ¿cuántos animales hay de cada clase? 36.- Un coche sale de Salamanca a Sevilla , a las 7 de la mañana, con una velocidad de 75km/h. A la misma hora, sale otro de Sevilla a Salamanca por la misma carretera en una furgoneta a 60km/h. Si de Salamanca a Sevilla hay 540km, ¿a qué hora se cruzan? ¿A qué distancia de las ciudades? 37.- Ana sale a las 10 de la mañana de Lugo a Madrid a una velocidad de 90km/h. A 110 km de Lugo, Juan coge un autobús con la misma dirección que lleva Ana y una velocidad de

70km/h.¿A qué hora se encuentran el coche de Ana y el autobús de Juan?¿Qué espacio ha recorrido cada uno? 38.- A las 9 de la mañana sale un coche de Granada con una velocidad de 80km/h. Dos horas más tarde sale un coche en el mismo sentido con una velocidad de 120km/h. ¿A qué distancia de Granada le alcanza? 39.- Dos ciudades, A y B, distan entre sí 180 km. A la misma hora sale un camión de cada una en el mismo sentido: el que sale de B lleva una velocidad de 60 km/h, y el que sale de A, de 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán? ¿Qué espacio habrá recorrido cada uno? 40.- Dos coches salen de Valencia por la misma carretera y en el mismo sentido, pero uno media hora más tarde que el otro. El que sale primero lleva una velocidad de 85 km/h, y el segundo de 110 km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿ A qué distancia de Valencia? 41.- Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380. 42.- La suma de un número y de su cuadrado es 42. Hállalo. 43.- Halla dos números cuya suma es 78 y su producto 1296. 44.- Halla dos números positivos cuya diferencia es 7 y su suma de cuadrados 3809. 45.-Una habitación rectangular tiene 24 m2 de superficie y 2 metros de longitud más que de anchura. Halla las dimensiones. 46.- Uno de los lados de un rectángulo mide 6 cm más que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones si su área es 91 cm2? 47.- Dentro de siete años la edad de un niño será el cuadrado de la edad que tenía hace cinco años. ¿Qué edad tiene hoy? 48.- Un terreno rectangular tiene 84 m2 de superficie. La base ,mide 5 m más que la altura. Calcula sus dimensiones. 49.- Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 4 y su producto 117. 50.- El producto de dos números naturales consecutivos es 3660. ¿Qué números son? 51.- En la ecuación x2 + bx + 15 = 0 , una solución es 5. ¿Cuánto vale b? ¿Cuál es la otra solución?. 52.- En la ecuación x2 - 5x + c = 0, una solución es tres. ¿Cuánto vale c? ¿Cuál es la otra solución?. 53.- Determina m en la ecuación x2 - mx + 4 = 0, de modo que las dos raíces de la ecuación sean iguales. 54.- Determina c en la ecuación 2x2 - 8x + c = 0, de modo que las dos raíces de la ecuación sean iguales. 55.- Calcula los ángulos de un pentágono, sabiendo que son proporcionales a los 5 primeros múltiplos de 3. 56.- Aumentando un lado de un cuadrado en 4 m y los lados contiguos en 6 m se obtiene un rectángulo de doble área que el cuadrado. Halla el lado del cuadrado.

57.- Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en cm. tres números pares consecutivos. Halla dichos números. 58.- Problema del bambú (texto indio del siglo IX). Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A qué altura se ha roto?. 59.- Si los lados de un rectángulo se alargan 2 cm cada uno, el perímetro vale 24 cm. Sabiendo además que la diferencia de los lados es 2 cm, ¿cuánto miden los lados del rectángulo? 60.- Calcula las raíces de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) e) f) g)

6x3 + 7x2 – 9x +2 = 0 x3 + 2x2 + 2x +1 = 0 x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 6x3 + 7x2 – 9x + 2 = 0 x4 – 10x2 + 9 = 0 x4 – 6x3 –11x2 +96x – 80 = 0 x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4 = 0

61.- Resuelve las siguientes ecuaciones radicales: a) 3x − 2 – 4 = 0 b) 7 − 3x – x = 7 c) x + 4 = 3 – x −1 d) 2 x + 4 = 5 x + 4 e) 2x − 1 + x + 4 = 6 f) 4 x + 1 – 3x − 2 = 1