(ebook) - Fisica Teorica

Lezioni di Fisica Teorica

A. Bottino

e

C. Giunti

Anno Accademico 2001-2002

Indice I Meccanica Quantistica Relativistica

I.1

1 Equazione di Dirac

I.3

1.1

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.3

1.2

L'equazione di Dirac

I.5

1.2.1

I.8

1.3

1.2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . µ Proprietà delle matrici γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Prodotti di matrici γ : matrici Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3

Teorema fondamentale sulle rappresentazioni delle matrici

. . . . .

I.10

1.2.4

Equazione di Dirac in versione hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . .

I.11

1.2.5

Rappresentazione di Dirac delle matrici

. . . . . . . . . . . . . . .

I.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.12 I.14

1.3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di velocità nella direzione x

1.3.3

Matrice coniugata hermitiana di

Covarianza dell'equazione di Dirac 1.3.1

1.4

1.5

Rotazione attorno all'asse

γ

γ

k

x

SΛ

I.9

I.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.17

Trasformazioni discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.18

1.4.1

Inversione spaziale (parita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.18

1.4.2

Inversione temporale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.19

Forme bilineari con spinori di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.20

1.5.1

Proprietà di trasformazione dello spinore aggiunto . . . . . . . . . . .

I.20

1.5.2

Trasformazioni di forme bilineari per trasformazioni di Lorentz proprie e inversioni spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Soluzioni libere dell'equazione di Dirac

I.21

I.23

2.1

Soluzioni libere nel sistema di riposo della particella . . . . . . . . . . . . . .

I.23

2.2

Soluzioni libere in un sistema di riferimento generico

. . . . . . . . . . . . .

I.25

2.3

Limite non-relativistico (vc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.29

2.4

Normalizzazione delle soluzioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.29

2.5

Pacchetti d'onda

I.31

2.6

Proiettori su stati ad energia positiva e su stati ad energia negativa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Operatori momenti angolari in teoria di Dirac

I.32

I.35

3.1

Operatore di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.35

3.2

Conservazione del momento angolare totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.37

iii

4 Interazione elettronecampo elettromagnetico 4.1

I.39

Qualche richiamo sul campo elettromagnetico

. . . . . . . . . . . . . . . . .

I.39

4.2

Interazione elettronecampo elettromagnetico

. . . . . . . . . . . . . . . . .

I.40

4.3

Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.41

4.4

Hamiltoniana di interazione elettronecampo elettromagnetico . . . . . . . .

I.42

4.5

Interazione elettromagnetica nel limite non-relativistico . . . . . . . . . . . .

I.43

4.6

Approssimazione non-relativistica in un campo elettrostatico . . . . . . . . .

I.45

5 Elettrone in un campo a simmetria sferica

I.49

5.1

Costanti del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.49

5.2

Riduzione a spinori a due componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.51

5.3

Separazione delle variabili

I.52

5.4

Soluzione delle equazioni radiali per un atomo idrogenoide

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Coniugazione di carica

I.55

I.63

6.1

Mare di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.63

6.2

Coniugazione di carica

I.65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Funzioni di Green

I.69

7.1

Funzione di Green per l'equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.69

7.2

Funzione di Green per l'equazione di Klein-Gordon

I.72

. . . . . . . . . . . . . .

A Unità naturali

I.75

B Quadri-vettori  metrica

I.77

C Tracce di prodotti di matrici γ

I.79

D Rappresentazioni delle matrici γ

I.81

D.1

Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.81

D.1.1

Rappresentazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.81

D.1.2

Rappresentazione di Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.82

D.1.3

Rappresentazione chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.83

E Trasformazioni di forme bilineari per inversione temporale

I.85

2 F Dimostrazione della proprietà ~L (~σ · ~p) ϕ = `χ (`χ + 1) (~σ · ~p) ϕ

I.87

II Elementi di Elettrodinamica Quantistica

II.1

1 Quantizzazione del campo elettromagnetico

II.3

1.1

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3

1.2

Scelte di gauge particolari

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3

1.3

Sviluppo in serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.5

1.4

Quantizzazione del campo di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.7

iv

1.5

Spazio di Fock e operatori connessi

1.6

Massa e spin dei fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Cenni sul metodo (canonico) di quantizzazione dei campi

II.8 II.10

II.13

2.1

Formulazione lagrangiana-hamiltoniana per campi classici . . . . . . . . . . .

II.13

2.2

Quantizzazione dei campi

II.17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Campi di Dirac

II.23

3.1

Operatori fermionici di creazione e di annichilazione . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Lagrangiana di Dirac ed equazioni di campo

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.24

3.3

Campi di Dirac quantizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.25

3.4

Anticommutatori dei campi

3.5

Dimensioni degli operatori di campo

ψ, ψ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Interazione campo di Dirac  campo elettromagnetico 4.1 4.2

Anticommutatori degli operatori di campo

ψ

. . . . . . . . . . . . . . . (±) e ψ . . . . . . . . . . . . .

II.29

II.31 II.34

II.35

5 Teoria perturbativa della matrice S 5.1

II.27

II.31

Operatore lagrangiano ed operatore hamiltoniano

(±)

II.23

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.35

5.2

Rappresentazione di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.37

5.4

Prodotto normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.39

5.5

HI

5.6

S

e suo sviluppo perturbativo

espresso come prodotto normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prodotto cronologico di Wick

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.36

II.41 II.42

5.7

Contrazione di campi fermionici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.43

5.8

Teorema di Wick

II.45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Campo elettromagnetico in formulazione covariante Aµ

II.47

6.1

Sviluppo di Fourier di

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.47

6.2

Commutatori di

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.48

6.3

Propagatore del fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.49

Aµ

7 Processi al second'ordine perturbativo 7.1

Termini del second'ordine

II.51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.52

7.2

Scattering Compton

7.3

Altri processi del second'ordine

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Processi ad ordini perturbativi superiori al secondo 8.1

Scattering Møller

e− e−

II.73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Elementi di Interazione Debole Processi deboli

II.73

III.1

1 Generalità sull'interazione debole 1.1

II.64

III.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

III.3

1.2

Violazione di leggi di conservazione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.6

III.11

2 Spinori chirali 2.1

Autofunzioni dell'operatore chiralità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Proprietà di elicità per

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.13

2.3

Equazioni di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.14

2.4

Neutrini e antineutrini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.15

2.5

Operazioni

sulle equazioni di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.16

C, P , T

m=0

III.11

2.6

Covarianti bilineari con spinori chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.19

2.7

Spinori di Majorana

III.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Processi deboli con correnti cariche W

III.21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.24

3.3

Lagrangiana di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.27

3.4

Correnti deboli (cariche) adroniche

III.30

3.1

Ampiezze con scambio di

3.2

Il bosone intermedio

W

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Processi deboli con correnti neutre

III.33

4.1

Limite di bassa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.34

4.2

Struttura delle correnti deboli neutre

III.34

A Classicazione delle particelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.37

vi

Parte I

Meccanica Quantistica Relativistica

A. Bottino

e

I.1

C. Giunti

Capitolo 1 Equazione di Dirac 1.1

Introduzione

Nella meccanica quantistica non-relativistica l'equazione di Schrödinger per una particella libera

i~

∂ψ ~2 ~ 2 ∇ψ =− ∂t 2m

(1.1)

può essere ottenuta dalla relazione classica non-relativistica tra energia

E

ed impulso ~ p

~p2 E= 2m mediante sostituzione delle grandezze classiche

(1.2)

E

e

~p

con i corrispondenti operatori

dierenziali, ossia

∂ E −→ Eˆ = i~ , ∂t ˆ ~ . ~p −→ ~p = −i~ ∇

(1.3a) (1.3b)

Associata all'equazione di Schrödinger vi è l'equazione di continuità

∂ρ ~ + ∇ ·~ = 0 , ∂t dove

ρ

(1.4)

(densità di probabilità) e ~ (densità di corrente di probabilità) sono date da

ρ(t, ~x) = |ψ(t, ~x)|2 , ~(t, ~x) = −

(1.5)

i ~ h ∗ ~  ~ ∗ i ψ ∇ψ − ∇ψ ψ . 2m

(1.6)

L'equazione di continuità (1.4) ha un ruolo cruciale nell'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica. Dato un volume si ha

∂ ∂t

Z

V

ρ dV =

Z

V

∂ρ dV = − ∂t

V

nello spazio, utilizzando il teorema di Gauss,

Z

V

I.3

~ ·~ dV = − ∇

Z

S

~ · ~nS dS ,

(1.7)

dove

S

è la supercie che racchiude il volume

V

e

~nS

è il versore normale alla supercie

S.

Quindi la variazione di probabilità nel volume V è uguale al usso del vettore ~ attraverso la supercie

S.

Per un volume innito

probabilità, ossia

R

S

~ · ~nS dS = 0;

∂ ∂t

Z

ne segue la conservazione globale della

ρ dV = 0 ,

(1.8)

dove l'integrale è esteso a tutto lo spazio. In analogia a quanto fatto nel caso non-relativistico, un'equazione quantistica relativistica può essere ottenuta dalla relazione classica relativistica tra energia e impulso

E 2 = ~p2 c2 + m2 c4

(1.9)

mediante la sostituzione (1.3). In unità naturali (~

= c = 1)

e con notazioni covarianti

1

si ha che l'espressione (1.9),

ossia

pµ pµ = m2 ,

(1.10)

pµ −→ pˆµ = i ∂ µ

(1.11)

mediante sostituzione

viene trasformata nella relazione operatoriale

−∂ µ ∂µ = m2 .

(1.12)

µ indica il quadri-vettore energia-impulso p = (E,~ p) e ∂µ ≡ ∂/∂xµ . µ 2 2 Data la proprietà di invarianza dell'operatore ∂ ∂µ + m ≡  + m per trasformazioni di In queste espressioni

pµ

Lorentz, ne segue che l'equazione


 + m2 ψ = 0

equazione di Klein-Gordon

(1.13)

è appropriata per la descrizione di particelle scalari (ossia, di spin nullo). Notiamo che l'equazione di Klein-Gordon ammette soluzioni nella forma di onde piane. Infatti, sostituendo nella (1.13) la soluzione µ

ψp (x) = e−ip·x ≡ e−ipµ x ,

(1.14)

si ritrova la relazione (1.10), ossia la (1.9). L'equazione agli autovalori per l'operatore energia è

i

q ∂ ψp (x) = p0 ψp (x) = ± ~p2 + m2 ψp (x) . ∂t

(1.15)

Siamo quindi in presenza di stati ad energia positiva e di stati ad energia negativa. Questi ultimi stati non possono essere eliminati dalla teoria, ma ne costituiscono parte integrante. 1 Vedi

Appendici A e B. I.4

Nello schema della meccanica quantistica, interazioni con campi esterni possono indurre transizioni della particella (elettrone) tra tutti i livelli energetici. Sottraendo dall'equazione di Klein-Gordon (1.13), moltiplicata per coniugata, moltiplicata per

ψ,

ψ∗,

la sua complessa

si ottiene l'equazione di continuità scritta in forma covariante

∂µ j µ = 0 ,

(1.16)

con la quadri-corrente

jµ =

i [ψ ∗ (∂ µ ψ) − (∂ µ ψ ∗ ) ψ] . 2m

(1.17)

j 0 della quadri-corrente     ∗  i ∂ψ ∂ψ 0 j = ψ∗ − ψ 2m ∂t ∂t

Osserviamo che la componente temporale

(1.18)

non è una quantità denita positiva e non può quindi essere interpretata come densità di probabilità.

Questo problema dell'equazione di Klein-Gordon si presenta solo nell'ambito

della meccanica quantistica (teoria ad una particella).

La struttura (1.17) della quadri2

corrente è invece perfettamente interpretabile nell'ambito della teoria dei campi . Notiamo ancora che la struttura particolare della

ρ nella teoria di Klein-Gordon è

attribuibile al fatto

che l'equazione in questione è del second'ordine nella derivata temporale (nell'equazione di Schrödinger la derivata temporale è invece del prim'ordine).

1.2

L'equazione di Dirac

Poniamoci ora il problema di determinare la struttura matematica di un'equazione quantistica relativistica adeguata alla descrizione di una particella di spin 1/2.

Vogliamo che,

associata all'equazione d'onda, vi sia un'equazione di continuità con densità di probabilità denita positiva.

Come abbiamo visto precedentemente, questa richiesta implica che

l'equazione d'onda sia del prim'ordine nella derivata temporale. Vediamo di elencare tutte le proprietà a cui deve soddisfare l'equazione che cerchiamo (equazione di Dirac): 1. Per avere una corretta equazione di continuità, l'equazione dev'essere del prim'ordine nella derivata temporale; 2. per covarianza relativistica, l'equazione dev'essere del prim'ordine anche nelle derivate spaziali; 3. per il principio di sovrapposizione, l'equazione dev'essere lineare ed omogenea; 4. la funzione d'onda deve descrivere anche gradi di libertà di spin e deve quindi essere a più componenti:

ψ` (x),

con

` = 1, 2, . . . , N

(nella teoria non relativistica di Pauli le

componenti sono 2); 2 Vedi,

ad esempio, Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber. I.5

5. l'equazione d'onda dev'essere compatibile con l'equazione di Klein-Gordon; 6. dall'equazione si deve poter dedurre un'equazione di continuità con densità di probabilità N X ψ`∗ ψ` . data da ρ =

`=1

Per usare espressioni al più possibile compatte, conviene utilizzare per la funzione d'onda una notazione matriciale



 ψ(x) = 

ψ1 (x) . ..

ψN (x)



 .

(1.19)

Questo spinore generalizza lo spinore a 2 componenti di Pauli. Conseguentemente, la densità † di probabilità si scrive ρ = ψ ψ . Un'equazione che soddisfa ai primi quattro punti è la seguente

iγ µ ∂µ ψ − mψ = 0 Data la natura matriciale della

equazione di Dirac .

ψ , i coecienti γ µ

(1.20)

che compaiono nella (1.20) vanno intesi

come matrici di costanti. Quindi una scrittura esplicita dell'equazione (1.20) è

i

N X n=1

(γ µ )`n (∂µ ψn ) − m ψ` = 0

(` = 1, . . . , N) ,

(1.21)

da cui si vede come l'equazione di Dirac è in realtà equivalente a un sistema di equazioni dierenziali accoppiate nelle componenti

ψ` .

Per scrivere l'equazione (1.20) abbiamo fatto uso delle condizioni 1-4. Determiniamo ora γ µ , che discendono dalle condizioni 5-6.

alcune proprietà generali delle matrici

Richiediamo innanzi tutto che dall'equazione di Dirac discenda quella di Klein-Gordon. Per far ciò, moltiplichiamo a sinistra l'equazione di Dirac (1.20) per l'operatore

iγ µ ∂µ + m 11 .

(1.22)

Si ottiene

0 = (iγ µ ∂µ + m) (iγ ν ∂ν − m) ψ   1 µ ν ν µ 2 (γ γ + γ γ ) ∂µ ∂ν + m ψ . = − 2

(1.23)

Anchè questa equazione coincida con l'equazione di Klein-Gordon (1.13) è necessario che le matrici

γ

soddisno alle relazioni

γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2 g µν 11 . I.6

(1.24)

Queste condizioni implicano che le quattro matrici

γµ

anticommutano tra di loro ed inoltre

che i loro quadrati sono dati da

γ0


2

γk

= 11 ,


2

= −11

(k = 1, 2, 3) .

Dalla precedente derivazione discende anche che il coeciente

m

(1.25)

nell'operatore di Dirac

dev'essere identicato con la massa della particella. Notiamo che l'equazione di Dirac realizza una

linearizzazione

dell'equazione di Klein-Gordon.

Passiamo ora all'esame dell'equazione di continuità. Per ricavarla conviene considerare innanzi tutto l'equazione hermitiana coniugata dell'equazione di Dirac (1.20):

−i∂µ ψ † γ µ† − mψ † = 0 , e quindi sottrarre dalla (1.20) moltiplicata a sinistra per 0† per γ ψ . Otteniamo così

(1.26)

ψ†γ 0

la (1.26) moltiplicata a destra

h i h i
† † i ψ † γ 0 γ µ (∂µ ψ) + ∂µ ψ † γ µ† γ 0 ψ − m ψ † γ 0 ψ − ψ † γ 0 ψ = 0 .

(1.27)

Per ottenere una struttura appropriata a un'equazione di continuità è necessario che l'ultimo 0 termine nella (1.27) si annulli, ossia che la matrice γ sia hermitiana:

†

γ0 = γ0 .

(1.28)

Il primo termine nella (1.27) può essere identicato con una divergenza solo se le matrici 0 µ sono tali che il prodotto γ γ sia una matrice hermitiana:

†

γ 0 γ µ = γ µ† γ 0 = γ 0 γ µ


†

.

γ

(1.29)

In questo caso si ottiene l'equazione di continuità (1.16) con la corrente

jµ

data da

j µ = ψ† γ 0γ µψ .

(1.30)

Osserviamo che la componente temporale della corrente è data da

j 0 = ψ† ψ ,

(1.31)

(γ 0 )2 = 11

precedentemente dimostrata. µ ottiene che le hermitiane delle matrici γ sono date da in virtù della proprietà

Dalle (1.28) e (1.29) si

γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 , da cui discende in particolare che le

γk

(1.32)

sono anti-hermitiane:

†

La quadri-corrente

jµ

γ k = −γ k .

(1.33)

verrà nel seguito riscritta come

jµ = ψ γµ ψ , dove è stato introdotto lo all'equazione

spinore aggiunto ψ ≡ ψ† γ 0 .

(1.34) Questo spinore aggiunto


i ∂µ ψ γ µ + m ψ = 0 ,

come si può dimostrare moltiplicando la (1.26) a destra per 0 2 proprietà (γ ) = 11. I.7

ψ

soddisfa

(1.35)

γ0

ed utilizzando la (1.32) e la

1.2.1 Proprietà delle matrici γ µ Dalle proprietà precedentemente viste per le matrici 1. Le matrici

γ

γµ

altre seguono.

hanno traccia nulla Tr[γ

µ

] = 0.

(1.36)

Infatti, per esempio, utilizzando la proprietà (1.24), per la traccia delle traccia dei prodotti di 3 matrici γ0 e γk)

γ

γk

si ha (nella

prima permutiamo circolarmente e poi commutiamo

tra di loro Tr

 k         γ = Tr γ 0 γ 0 γ k = Tr γ 0 γ k γ 0 = −Tr γ 0 γ 0 γ k = −Tr γ k

Per le tracce di prodotti di matrici 2. La dimensione

N

delle matrici

γ

γ

⇒

si veda l'Appendice C.

Tr

 k γ = 0.

è pari. Infatti, consideriamo per esempio la relazione

γ 0 γ k = −γ k γ 0 = (−11) γ k γ 0 .

(1.37)

Prendendone il determinante si ottiene

0 k Detγ Detγ Essendo Detγ

0

6= 0

e Detγ

k

6= 0 (γ 0

e

= (−1)N Detγ k Detγ 0 .

γk

1 = (−1)N 3. La dimensione minima delle matrici

γ

ammettono gli inversi), si trova

=⇒ è

(1.38)

N

N = 4.

pari .

Infatti, nel caso

(1.39)

N =2

esistono solo tre

matrici mutuamente anticommutanti, le matrici di Pauli. 4. Poichè la matrice

γ 0 è hermitiana e le matrici γ k

sono anti-hermitiane, le matrici

γ possono

essere diagonalizzate (non tutte simultaneamente, ma una alla volta, perchè anticommu0 tano). Dalle relazioni (1.25) si ricava che gli autovalori della matrice γ sono ±1 e gli k autovalori delle matrici γ sono ±i. Deniamo una matrice

γ5

tale che

3

γ 5 ≡ −i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (si utilizzerà anche la notazione

γ5

con l'intesa che

γ5 = γ 5 ).

(1.40) Dalle proprietà delle matrici

γ

si ottiene che

3 Notare

 5 µ γ ,γ = 0
2 γ 5 = 11
† γ5 = γ5

(1.41a) (1.41b) (1.41c)

che la nostra denizione di γ 5 dierisce di un segno rispetto a quella di alcuni autori (ad esempio Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber. I.8

1.2.2 Prodotti di matrici γ : matrici Γa Deniamo le 16 matrici

Γa (a = 1, 2, . . . , 16)

Γ1 Γ2 − Γ5

11

Γ6 − Γ11

σ µν ≡

γ

Γ12 − Γ15 Γ16 Le matrici

Γ

ottenute da prodotti di matrici

γ: (1.42a)

µ

(1.42b)

i µ ν [γ , γ ] 2

(prodotti di 2 matrici

γµ γ5 γ5

γ)

(1.42c)

γ) matrici γ )

(prodotti di 3 matrici

(1.42d)

(prodotto di 4

(1.42e)

godono delle seguenti proprietà:

1. Qualsiasi prodotto di matrici

±1

proporzionalità uguale a 2. Per ogni coppia

Γa , Γb

con

o

γ è ±i.

a6=b

proporzionale ad una delle

esiste una matrice

Γa Γb = α Γc Infatti, poichè

Γa 6= Γb ,

il prodotto

dispari. Poichè un numero dispari di c (1.25), si ha Γ 6= 11. 3. Il quadrato di ciascuna matrice

Γa

è

Γc 6= 11

Γa ,

con un fattore di

tale che

α = ±1, ±i .

con

(1.43)

Γa Γb contiene almeno una matrice γ µ in numero γ µ non può essere semplicato usando le proprietà

±11: (Γa )2 = ±11

4. Per ogni

Γa 6= 11

esiste almeno una

Γb

(1.44)

tale che

Γa Γb = −Γb Γa . 5. Le matrici

Γa

con

a>1

(1.45)

hanno traccia nulla: Tr[Γ

a

Γb

Infatti, utilizzando la matrice

]=0

per

a > 1.

che anticommuta con la matrice

(1.46)

Γa ,

si ha (prima

commutiamo e poi permutiamo circolarmente)

h h
i
i  b a b a b 2 b 2 a = ∓Tr Γ Γ Γ = ∓Tr Γ Γ = −Tr[Γa ] . Tr[Γ ] = ±Tr Γ Γ a

(1.47)

6. Dalle proprietà (1.43) e (1.46) segue che Tr



 Γa Γb = 0 I.9

per

a6=b .

(1.48)

7. Le matrici

Γ

sono linearmente indipendenti, ossia una relazione

X

c a Γa = 0

(1.49)

a

implica

ca = 0 (a = 1, . . . , 16).

c1 = 0 .

Analogamente, prendendo la traccia di

X

Γb

Infatti, se prendiamo la traccia della (1.49) troviamo

c a Γa

a

!

= 0,

e utilizzando le (1.44) e (1.48) si trova

per

b = 2, . . . , 16 ,

cb = 0 (b = 2, . . . , 16).

8. Per la proprietà precedente la dimensione minima delle matrici 4 matrici

2×2

(1.50)

Γ

è

4×4

(esistono solo

indipendenti: la matrice identità e le tre matrici di Pauli, mutuamente

4×4

anticommutanti); la rappresentazione

è quindi irriducibile.

9. Dalle proprietà precedenti segue che qualsiasi matrice scritta come una combinazione lineare delle matrici

X=

X

xa Γa ,

con

xa =

a

10. L'algebra generata dalle matrici

γ

X

di dimensione

Γ:

4×4

1 a Tr[X Γ ] . Tr[(Γa )2 ]

può essere

(1.51)

prende il nome di algebra di Cliord.

1.2.3 Teorema fondamentale sulle rappresentazioni delle matrici γ Data una rappresentazione

4 × 4 delle matrici γ , ogni altra rappresentazione γ 0   Γa 0 · · · 0  0 Γa · · · 0    a Γ0 −→  .. .. ..  , ..  . . . .  0 0 · · · Γa

o è riducibile,

(1.52)

o è equivalente, ossia è legata alla precedente tramite la relazione di similitudine

µ

γ 0 = S γ µ S −1 .

(1.53)

Il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici di Dirac aerma 0 appunto che, dati due insiemi γ , γ di matrici 4 × 4 che soddisfano alle relazioni di anticommutazione (1.24), esiste una matrice non-singolare

S

tale che la relazione (1.53) è

4

soddisfatta . Ciò è consistente con il fatto che la trasformazione (1.53) preserva le relazioni di anticommutazione (1.24):

4 Si

 0µ 0ν γ ,γ = S {γ µ , γ ν } S −1 = 2 g µν 11 .

veda, per esempio, W. Grenier, Relativistic

Quantum Mechanics,

I.10

pag.104.

(1.54)

Se si richiede che nelle due rappresentazioni valgano anche le relazioni

γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ

γ 0 0 γ 0µ† γ 0 0 = γ 0µ ,

e

(1.55)

4 di trasformazione può essere scelta come matrice unitaria . Questa proa prietà garantisce l'invarianza delle forme bilineari ψΓ ψ per le trasformazioni di equivalenza allora la matrice

S

(1.53):

ψ 0 Γ0a ψ 0 = ψ Γa ψ , con

ψ0 = S ψ

e

(1.56)

Γ0a = S Γa S −1 .

1.2.4 Equazione di Dirac in versione hamiltoniana L'equazione di Dirac può essere scritta nella forma hamiltoniana

∂ψ = Hψ ∂t

(1.57)

~ +βm . H = −i α ~ ·∇

(1.58)

αk = γ 0 γ k

(1.59)

i 5

dove

Le matrici

αk

sono date da

β

è semplicemente una notazione alternativa per la matrice k proprietà delle matrici γ si vede che le matrici β e α sono hermitiane

e la matrice

β† = β ,

αk


†

= αk ,

per cui l'hamiltoniana di Dirac (1.58) è hermitiana. Le matrici

γ 0 (β = γ 0 ).

Dalle

(1.60)

β e αk soddisfano alle seguenti

proprietà:

5 Ricordiamo

αi αj + αj αi = 2 δ ij 11 ,

(1.61a)

αi β + β αi = 0 , β 2 = 11 .

(1.61b)

che ∇k ≡ ∂k ≡

I.11

∂ . ∂xk

(1.61c)

1.2.5 Rappresentazione di Dirac delle matrici γ Si chiama rappresentazione di Dirac quella rappresentazione delle matrici diagonale. La forma delle altre matrici

γ

γ

in cui

γ0

è

segue dalle proprietà generali di anticommutazione.

Si ha quindi

0

γ =

β= Le matrici



11



σk

0 0 −11

11

0 0 −11





,

,

k

γ =



k



α =

0 σk −σ k 0 0 σk σk 0





5

,

γ =



0 −11 −11 0



,

(1.62a)

.

(1.62b)

sono le matrici di Pauli

1

σ =



 0 1 , 1 0

2

σ =



0 −i i 0



3

,

σ =



1 0 0 −1



.

(1.63)

Questa rappresentazione è utile per discutere il limite non-relativistico dell'equazione di Dirac. Per altre rappresentazioni si veda l'Appendice D.

1.3

Covarianza dell'equazione di Dirac

Consideriamo due sistemi di coordinate inerziali

x

e

x0 = Λx,

nei quali l'equazione di Dirac

si scrive, rispettivamente,

(i γ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0 , (i γ µ ∂ 0 µ − m) ψ 0 (x0 ) = 0 .

(1.64a) (1.64b)

Le coordinate e i gradienti nei due sistemi di riferimento sono connessi da una trasformazione di Lorentz

Λ

(vedi l'Appendice B):

µ

ν

x0 = Λµν xν , 0

∂µ= Assumendo che le funzioni d'onda

Λµν

xµ = Λν µ x0 ,

∂ν ,

∂µ = Λ

ν

µ

(1.65a)

0

∂ν.

(1.65b)

ψ(x) e ψ 0 (x0 ) siano connesse da una trasformazione lineare6 ψ 0 (x0 ) = SΛ ψ(x) ,

(1.66)

l'equazione (1.64b) può essere scritta come


iγ µ Λµν ∂ν − m SΛ ψ(x) = 0 .

Per ricondurre questa equazione alla (1.64a), la moltiplichiamo a sinistra per

6 Questa


i SΛ−1 γ µ SΛ Λµν ∂ν − m ψ(x) = 0 .

(1.67)

SΛ−1 : (1.68)

proprietà si applica a trasformazioni di Lorentz proprie e all'inversione spaziale; non si applica invece all'inversione temporale (vedi la Sezione 1.4.2). I.12

Si ha quindi invarianza se

SΛ−1 γ µ SΛ Λµν = γ ν . Moltiplicando per

Λρν

(1.69)

e tenendo conto che

Λρν Λµν = gµρ ,

(1.70)

si ottiene

SΛ−1 γ µ SΛ = Λµν γ ν .

(1.71)

Data una trasformazione di Lorentz Λ, esiste una matrice SΛ che soddisfa la (1.71). 0µ Infatti, le matrici γ = Λµν γ ν soddisfano alle stesse relazioni di anticommutazione delle µ matrici γ :

µ

ν

ν

µ

γ 0 γ 0 + γ 0 γ 0 = Λµρ γ ρ Λν σ γ σ + Λν σ γ σ Λµρ γ ρ = Λµρ Λν σ (γ ρ γ σ + γ σ γ ρ )

(1.72)

= 2 g ρσ Λµρ Λν σ 11 = 2 g µν 11 . µ e le matrici Perciò esiste una relazione di equivalenza (1.71) che connette le matrici γ 0µ µ ν γ = Λ νγ . Per trovare l'espressione di SΛ per trasformazioni di Lorentz proprie (trasformazioni con-

boosts )),

nesse con la trasformazione identica: rotazioni spaziali e trasformazioni di velocità ( consideriamo una trasformazione innitesima,

Λµν = gνµ + ω µν ,

|ω µν |  1 .

con

(1.73)

Dalla proprietà (1.70) si ha

ω µν = −ων µ .

(1.74)

SΛ = 11 + a ω µν Oµν ,

(1.75)

Poniamo

dove

Oµν

Oµν

deve avere la struttura di una matrice

e il coeciente

a,

4 × 4.

Per determinare la forma esplicita di

sostituiamo la (1.75) e la sua inversa,

SΛ−1 = 11 − a ω µν Oµν , nella (1.71), con la

Λµν

(1.76)

data dalla (1.73):










11 − a ω αβ Oαβ γ µ 11 + a ω αβ Oαβ = gνµ + ω µν γ ν . Al prim'ordine in

ω µν

si ottiene

γ µ + a ω αβ [γ µ , Oαβ ] = γ µ + ω µν γ ν . I.13

(1.77)

(1.78)

Dobbiamo quindi avere

a ω αβ [γ µ , Oαβ ] = ω µν γ ν . Questa relazione è soddisfatta da Oαβ = µ commutatore [γ , σαβ ] tenendo conto che

γ α γ β = g αβ 11 − iσ αβ e che

[A, BC] = {A, B} C − B {A, C};

(1.79)

a = −i/4.

σαβ

e

⇒


σ αβ = i γ α γ β − g αβ 11 ,

per cui

Per dimostrarlo, calcoliamo il

[γ µ , σαβ ] = i [γ µ , γαγβ − gαβ 11] = i [γ µ , γα γβ ] = i {γ µ , γα} γβ − i γα {γ µ , γβ }
= 2 i gαµ γβ − gβµ γα ,

(1.80)

(1.81)

e si ha

i − ω αβ [γ µ , σαβ ] = ω µν γ ν . 4

(1.82)

Abbiamo quindi trovato che per trasformazioni di Lorentz proprie innitesime la matrice di trasformazione spinoriale è

SΛ = 11 −

i µν ω σµν . 4

(1.83)

Per trasformazioni di Lorentz proprie nite si ha i

SΛ = e− 4 ω

µν

σµν

.

(1.84)

Esaminiamo ora separatamente le rotazioni spaziali e le trasformazioni di velocità.

1.3.1 Rotazione attorno all'asse xk Consideriamo prima una rotazione innitesima di un angolo di rotazione è

θ attorno all'asse x1 .

   1 0 0 0 0 0 0   1 0 0   = 0 1 0 0 + O(θ2 ) 0 cos θ sin θ  0 0 1 θ 0 0 −θ 1 0 − sin θ cos θ   0 0 0 0  0 0 0 0 2 µ µ 2  = gνµ + θ  0 0 0 1 + O(θ ) = gν + θ (r1 ) ν + O(θ ) , 0 0 −1 0

 1  0 (R1 )µν (θ) =  0 0

dove

(r1 )

µ

ν

d(R1 )µν (θ) = dθ θ=0 I.14

 0 0 = 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1

 0 0  1 0

La matrice

(1.85)

(1.86)

1 è il generatore delle rotazioni innitesime attorno all'asse x . Poichè le uniche componenti µ 2 3 non nulle di (r1 ) ν sono (r1 ) 3 = +1 e (r1 ) 2 = −1, ossia (r1 )23 = −1 e (r1 )32 = +1, si ha

(r1 )µν σ µν = −σ 23 + σ 32 = −2 σ 23 , ossia ha

ωµν σ µν = −2θσ 23 .

Perciò, per una rotazione nita di un angolo

i

(1.87)

θ

attorno all'asse

23

SR1 (θ) = e 2 θ σ . Introduciamo le matrici 123 con  = +1)7

Σk

σ 23 = Σ1

si

(1.88)

ijk denite da ( è un tensore completamente antisimmetrico

σ ij = ijk Σk Ne segue che

x1

Σk =

⇐⇒

1 kij ij  σ 2

(1.89)

e la (1.88) può essere scritta come i

1

SR1 (θ) = e 2 θ Σ . Per una rotazione nita di un angolo i

θ

attorno ad un generico asse

k

SRk (θ) = e 2 θ Σ = 11 cos

(1.90)

xk

si ha

θ θ + i Σk sin . 2 2

(1.91)

Lo sviluppo dell'esponenziale si ottiene nel seguente modo:

e

i 2

θ Σk

=

∞ X

n=0 ∞ X

= 11

i 2

θ Σk n!

(−1)n

n=0

= 11 cos


n


2n
2n+1 ∞ i X θ Σk θ Σk 2 = + (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0

2n+1 2n ∞ 1 1 X θ n 2 θ k 2 (−1) + iΣ (2n)! (2n + 1)! n=0 ∞ X

i 2

(1.92)

θ θ + i Σk sin , 2 2

poichè


2n


2n+1 = 11 , Σk = Σk , i2n = (−1)n , ∞ ∞ 2n X X x2n+1 n x cos x = (−1) , sin x = (−1)n . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 Σk

(1.93) (1.94)

Notare che

SRk (θ + 2π) = −SRk (θ) , e quindi

SRk

7 Notare

è una funzione a due valori delle rotazioni.

che le matrici Σk possono anche essere scritte come Σk = −γ 0 γ k γ 5 I.15

(1.95)

1.3.2 Trasformazione di velocità nella direzione xk Consideriamo prima un boost con velocità

 0  x0    01 x  x0 2    x0 3

= cosh ϕ x0 − sinh ϕ x1 , = − sinh ϕ x0 + cosh ϕ x1 , = x2 , = x3 ,

v

nella direzione



con

Per un boost innitesimo nella direzione



cosh ϕ − sinh ϕ  − sinh ϕ cosh ϕ (Λ1 )µν (ϕ) =   0 0 0 0  0 −1 0  −1 0 0 = gνµ + ϕ  0 0 0 0 0 0

x1

x1 ,

per il quale si ha

cosh ϕ = γ ≡ 1 − v 2 sinh ϕ = γ v .


−1/2

,

(1.96)

si ha

   1 −ϕ 0 0 0 0   0 0  = −ϕ 1 0 0 + O(ϕ2 ) 0 1 0 1 0  0 0 0 0 1 0 1  0 0  + O(ϕ2 ) = g µ + ϕ (λ1 )µ + O(ϕ2 ) , ν ν 0 0

(1.97)

dove

(λ1 )µν

  0 −1 0 0 −1 0 0 0 d(Λ1 )µν (ϕ)  = = 0 0 0 0 dϕ ϕ=0 0 0 0 0

(1.98)

1 è il generatore dei boosts innitesimi lungo l'asse x . Poichè le uniche componenti non nulle µ 0 1 di (λ1 ) ν sono (λ1 ) 1 = −1 e (λ1 ) 0 = −1, ossia (λ1 )01 = −1 e (λ1 )10 = +1, si ha

(λ1 )µν σ µν = −σ 01 + σ 10 = −2 σ 01 , ossia

ωµν σ µν = −2ϕσ 01 .

Perciò, per un boost nito lungo l'asse i

(1.99)

x1

si ha

01

SΛ1 (ϕ) = e 2 ϕ σ .

(1.100)

Tenendo conto che

σ 0k ≡

i  0 k γ , γ = i γ 0 γ k = i αk , 2

per un boost nito lungo un generico asse 1

xk

(1.101)

si ha

k

SΛk (ϕ) = e− 2 ϕ α = 11 cosh I.16

ϕ 2

− αk sinh

ϕ 2

.

(1.102)

1.3.3 Matrice coniugata hermitiana di SΛ Consideriamo la matrice coniugata hermitiana di propria: i

SΛ† = e 4 ω Poichè

γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ ,

da cui discende che

µν

SΛ

† σµν

per una trasformazione di Lorentz

.

(1.103)

si ha

 i i  † γ 0 σµν γ 0 = − γ 0 γν † , γµ † γ 0 = − [γν , γµ ] = σµν , 2 2 i

γ 0 SΛ† γ 0 = e 4 ω

µν

σµν

(1.104)

,

(1.105)

ossia

γ 0 SΛ† γ 0 = SΛ−1 .

(1.106)

Esaminiamo separatamente le rotazioni spaziali e i boosts:

1. Per una rotazione spaziale di un angolo

θ

attorno all'asse i

xk

si ha

k

SRk (θ) = e 2 θ Σ . Poichè

Σk

è hermitiano, si ottiene i

SR† k (θ) = e− 2 θ Σ Quindi

(1.107)

SRk (θ)

k†

i

k

= e− 2 θ Σ = SR−1k (θ)

è unitaria. Dalla (1.108) e dalla proprietà

2. Per un boost lungo l'asse

xk

(1.108)

Σk γ 0 = γ 0 Σk

segue la (1.106).

si ha 1

k

SΛk (ϕ) = e− 2 ϕ α . Poichè

αk

è hermitiano, si ottiene 1

k†

SΛ† k (ϕ) = e− 2 ϕ α Quindi (1.106).

(1.109)

SΛk (ϕ)

è hermitiano.

1

k

= e− 2 ϕ α = SΛk (ϕ)

Dalla (1.110) e dalla proprietà

I.17

(1.110)

αk γ 0 = −γ 0 αk

segue la

1.4

Trasformazioni discrete

1.4.1 Inversione spaziale (parita) Per inversione spaziale

P

x− → x0 = (x0 , −~x)

si ha

P

ψ(x) − → ψ 0 (x0 ) = SP ψ(x)

(1.111)

  0 ∂ ~ + i ~γ · ∇ − m ψ(x) = 0 iγ ∂t

(1.112)

  0 ∂ ~ − i ~γ · ∇ − m SP ψ(x) = 0 . iγ ∂t

(1.113)

e l'equazione di Dirac

si trasforma in

Moltiplicando a sinistra per

SP−1 ,

si ottiene

  ∂ −1 −1 0 ~ − m ψ(x) = 0 . − i SP ~γ SP · ∇ i SP γ SP ∂t

(1.114)

Quindi, per riottenere l'equazione di Dirac (1.112) si deve avere

SP−1 γ 0 SP = γ 0 SP−1 ~γ SP = −~γ dove

ηP



=⇒

SP = ηP γ 0 ,

(1.115)

è una costante moltiplicativa. La condizione di invarianza della densità di probabilità

   † ψ † (t, ~x) ψ(t, ~x) = ψ 0 (t, −~x) ψ 0 (t, −~x) = ηP∗ ψ † (t, ~x) γ 0 ηP γ 0 ψ(t, ~x) = |ηP |2 ψ † (t, ~x) ψ(t, ~x)

(1.116)

|ηP |2 = 1, ossia ηP = eiφ con φ reale. Il fattore di fase ηP dipende dalla natura della particella di spin 1/2 che si sta considerando ed è chiamato parità intrinseca. Il valore di ηP non è misurabile in assoluto, ma le parità relative dei fermioni possono essere misurate sperimentalmente. Convenzionalmente si sceglie ηP = +1 per l'elettrone. Notiamo esplicitamente che SP è una matrice unitaria, come richiesto dalla condizione di invarianza impone la condizione

della densità di probabilità.

Le condizioni (1.115) possono anche essere ottenute dalla formula (1.71), tenendo conto che per inversione spaziale

  1 0 0 0 0 −1 0 0  Λ=P = 0 0 −1 0  . 0 0 0 −1 I.18

(1.117)

1.4.2 Inversione temporale Per inversione temporale

T

x − → x0 = (−x0 , ~x)

la legge di trasformazione della funzione 8

d'onda deve contenere l'operazione di coniugazione complessa .

Per tenere conto an-

che dell'inversione dello spin, scriviamo la legge di trasformazione dello spinore nel modo 9

seguente :

dove

B

T e ψ(x) − → ψ 0 (x0 ) = Be ψ(x) ,

è una matrice unitaria, anchè la densità di probabilità

inversione temporale. Determiniamo temporale. Dall'equazione di Dirac

B

(1.118)

ψ† ψ

sia invariante per

in modo che la teoria sia invariante per inversione

  0 ∂ ~ + i ~γ · ∇ − m ψ(x) = 0 iγ ∂t

(1.119)

per inversione temporale si ottiene

  e 0 ∂ ~ + i ~γ · ∇ − m Be ψ(x) −i γ = 0. ∂t

(1.120)

Trasponendo la (1.120) si ha

−i Moltiplicando a destra per

−i

∂ψ e0 ~ ψ · B ~γe − m ψ B = 0 . Bγ + i∇ ∂t

B−1

(1.121)

si ottiene

  ∂ψ  e0 −1  ~ ψ · B ~γe B−1 − m ψ = 0 . Bγ B + i∇ ∂t

Imponendo che questa equazione sia uguale all'equazione di Dirac per

i

∂ψ 0 ~ ψ · ~γ + m ψ = 0 , γ + i∇ ∂t

(1.122)

ψ (1.123)

si ottengono le condizioni

( Tenendo conto che

8 Vedi Landau 9 Notare che la

B γe0 B−1 = γ 0 , B ~e γ B−1 = −~γ .



−1 γ0 γ5 γ0 γ0 γ5 = −γ 0 ,

−1 γ 0 γ 5 ~γ γ 0 γ 5 = ~γ ,

(1.124)

(1.125) (1.126)

& Lifshitz, Meccanica Quantistica. matrice B non può essere determinata mediante la formula (1.71) perchè la (1.118) dierisce dall' espressione (1.66). I.19

se deniamo una matrice

C

tale che

C γfµ C −1 = −γ µ ,

(1.127)

B = ηT γ 0 γ 5 C ,

(1.128)

si ottiene che le equazioni (1.124) sono soddisfatte dalla matrice

dove

ηT

è un fattore di fase arbitrario. Come si vedrà successivamente, la matrice

nella legge di trasformazione degli spinori per coniugazione di carica.

1.5

C interviene

Forme bilineari con spinori di Dirac

Vogliamo ora studiare le proprietà di trasformazione di forme bilineari del tipo

ψ(x) Γa ψ(x) ,

con

Γa = 11 , γ µ , σ µν , γ µ γ 5 , γ 5 ,

(1.129)

per trasformazioni di Lorentz. Dobbiamo preliminarmente ricavare le proprietà di trasformazione dello spinore aggiunto

ψ

a partire dalle formule di trasformazione dello spinore

ψ.

1.5.1 Proprietà di trasformazione dello spinore aggiunto Trasformazioni di Lorentz proprie ed inversione spaziale Dalla formula

ψ 0 (x0 ) = SΛ ψ(x)

(1.130)

ψ 0 (x0 ) ≡ ψ 0 (x0 ) γ 0 = ψ † (x) SΛ† γ 0 = ψ(x) γ 0 SΛ† γ 0 .

(1.131)

si ha

†

Utilizzando la relazione

γ 0 SΛ† γ 0 = SΛ−1 ,

(1.132)

ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 ,

(1.133)

si ottiene

Inversione temporale Il trasformato di

ψ

ψ 0 (x0 )

è

†   † e † 0 e 0 e e γe0 Be† γ 0 . e e = B ψ(x) γ = B γ ψ (x) γ 0 = ψ(x)

Dalle proprietà della matrice

B

si può dedurre che

γe0 Be† γ 0 = Be−1 ,

e Be−1 . ψ 0 (x0 ) = ψ(x) I.20

(1.134)

e quindi (1.135)

1.5.2 Trasformazioni di forme bilineari per trasformazioni di Lorentz proprie e inversioni spaziali Consideriamo le trasformazioni di Lorentz proprie e le inversioni spaziali.

Tenendo conto

delle (1.66), (1.71) e (1.133) si ha: 1.

Γa = 11. ψ 0 (x0 ) ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 SΛ ψ(x) = ψ(x) ψ(x) .

(1.136)

Quindi questo bilineare è uno scalare. 2.

Γa = γ µ . ψ 0 (x0 ) γ µ ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 γ µ SΛ ψ(x) = Λµν ψ(x) γ ν ψ(x) .

(1.137)

Quindi l'insieme di questi quattro bilineari costituisce un quadri-vettore polare. 3.

Γa = σ µν . ψ 0 (x0 ) σ µν ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 σ µν SΛ ψ(x) = Λµα Λν β ψ(x) σ αβ ψ(x) .

(1.138)

Segue che questi bilineari costituiscono un tensore di rango 2. 4.

Γa = γ µ γ 5 .
ψ 0 (x0 ) γ µ γ 5 ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 γ µ γ 5 SΛ ψ(x) = Λµν ψ(x) γ ν SΛ−1 γ 5 SΛ ψ(x) .

(1.139)

Per trasformazioni di Lorentz proprie i

e−4 ωµν σ SΛ5 = µν γ ,σ =0



µν

=⇒

SΛ−1 γ 5 SΛ = γ 5 .

(1.140)

SP−1 γ 5 SP = −γ 5 .

(1.141)

Per inversioni spaziali

Perciò

ψ(x)γ µ γ 5 ψ(x)

0 S P 0= γ5 γ ,γ = 0



=⇒

si trasforma come un vettore assiale. Infatti, per trasformazioni di

Lorentz proprie

ψ 0 (x0 ) γ µ γ 5 ψ 0 (x0 ) = Λµν ψ(x) γ ν γ 5 ψ(x) ,

(1.142)

mentre per inversioni spaziali

ψ 0 (x0 ) γ µ

5

0

0

γ ψ (x ) =

−Λµν

ν

5

ψ(x) γ γ ψ(x) =

I.21



− ψ(x) γ 0 γ 5 ψ(x) + ψ(x) γ k γ 5 ψ(x)

per per

µ = 0, µ = k. (1.143)

5.

Γa = γ 5 . ψ 0 (x0 ) γ 5 ψ 0 (x0 ) = ψ(x) SΛ−1 γ 5 SΛ ψ(x) .

(1.144)

Per trasformazioni di Lorentz proprie si ha

ψ 0 (x0 ) γ 5 ψ 0 (x0 ) = ψ(x) γ 5 ψ(x) ,

(1.145)

mentre per inversioni spaziali

ψ 0 (x0 ) γ 5 ψ 0 (x0 ) = −ψ(x) γ 5 ψ(x) . Ossia

ψγ 5 ψ

(1.146)

è uno pseudoscalare.

Per le proprietà di trasformazione delle forme bilineari per inversione temporale vedi Appendice E.

I.22

Capitolo 2 Soluzioni libere dell'equazione di Dirac 2.1

Soluzioni libere nel sistema di riposo della particella

Cerchiamo una soluzione dell'equazione di Dirac

(i γ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0 che sia anche autofunzione del quadri-impulso

pµ ,

(2.1)

con valore positivo dell'energia (p0

> 0).

Questa soluzione, che indichiamo con ψp (x), può essere scritta in forma fattorizzata, con µ −i p·x un fattore e ≡ e−i pµ x , che contiene la dipendenza spazio-temporale tipica di un'onda piana, e un fattore

u(~p)

che descrive le proprietà spinoriali della particella

ψp,+ (x) = e−i p·x u(~p) Determiniamo la

forma

esplicita

dello

spinore

con

p0 > 0 .

u(~p)

nella

rappresentazione

(2.2) di

Dirac.

Dall'equazione

∂µ ψp,+ (x) ≡

∂ ψp,+ (x) = −i pµ ψp,+ (x) , ∂xµ

(2.3)

si ottiene

(γ µ pµ − m) u(~p) = 0 , oppure, come anche si scrive,

(2.4)

1

(p/ − m) u(~p) = 0 .

(2.5)

u(~p) (p/ − m) = 0 .

(2.6)

Per lo spinore aggiunto si ha

1 Usiamo

v/ ≡ γ vµ . µ

la notazione "slash" per indicare la contrazione di un generico quadri-vettore vµ con γ µ , ossia

I.23

Se

m6=0, nel sistema di riposo della particella, dove pµ = (m, ~0), l'equazione (2.5) diventa
(2.7) γ 0 − 11 u(0) = 0 .

Scrivendo



u(0) = e tenendo conto dell'espressione della

γ0

 χ+ (0) ϕ+ (0)

(2.8)

nella rappresentazione di Dirac,

0

γ =



11

0 0 −11



,

(2.9)

si ottiene



0 0 0 11

 χ+ (0) = 0. ϕ+ (0)



(2.10)

Quest'equazione ha due soluzioni indipendenti:

(1) χ+ (0)

  1 = 0

(2) χ+ (0)

e

  0 = , 1

  0 ϕ+ (0) = , 0

con

(2.11)

ossia

  1  0  u(1) (0) =  0 0

e

  0  1  u(2) (0) =  0 . 0

È naturale interpretare le due soluzioni indipendenti

u(r) (0) (r = 1, 2)

(2.12)

nel sistema di

riposo della particella come gli stati corrispondenti alle due proiezioni di spin 1/2 della particella stessa. Ciò è in completa analogia con la descrizione alla Pauli. La conferma della correttezza di questa interpretazione deriverà dallo studio dell'operatore di spin in teoria di Dirac. Passiamo ora allo studio delle soluzioni libere dell'equazione di Dirac con energia negativa, ossia tali che

i

∂ ψp,− (x) = −|p0 | ψp,− (x) . ∂t

(2.13)

Scriviamole nel modo seguente:

ψp,− (x) = ei p·x v(~p)

con

p0 > 0 .

(2.14)

Per sostituzione nella (2.1) si ha

(p/ + m) v(~p) = 0 . I.24

(2.15)

L'analoga equazione per lo spinore aggiunto è

v(~p) (p/ + m) = 0 . Se

m6=0,

(2.16)

nel sistema di riposo della particella, l'equazione (2.15) diventa


γ 0 + 11 v(0) = 0 .

Scrivendo

v(0) =

(2.17)

 χ− (0) , ϕ− (0)



(2.18)

nella rappresentazione di Dirac si ottiene l'equazione



11 0

0 0

 χ− (0) = 0. ϕ− (0)



(2.19)

Quest'equazione ha due soluzioni indipendenti:

(1) ϕ− (0)

  1 = 0

(2) ϕ− (0)

e

  0 = , 1

  0 χ− (0) = , 0

con

(2.20)

ossia

  0  0  v (1) (0) =  1 0

  0  0  v (2) (0) =  0 . 1

e

(2.21)

Anche in questo caso l'esistenza di due soluzioni indipendenti è da mettersi in relazione con le due congurazioni di spin della particella. Si nota inoltre che gli stati

u

sono ortogonali agli stati

v.

Dalla derivazione precedente si

può concludere che la dimensione 4 alla base della struttura spinoriale alla Dirac è dovuta al fatto che lo spinore di Dirac descrive proprietà intrinseche di spin 1/2 e stati energetici di duplice segno.

2.2

Soluzioni libere in un sistema di riferimento generico

Determiniamo la forma degli spinori

u(~p)

e

v(~p)

in un sistema di riferimento generico,

deducendoli da quelli nel sistema di riposo precedentemente ricavati. Osserviamo innanzi tutto che vale la seguente identità:

(p/ + m) (p/ − m) = γ µ pµ γ ν pν − m2 = g µν pµ pν − m2 = p2 − m2 . Per una particella sica si ha

p2 = m2

(2.22)

e quindi dalla (2.22) si ottiene

(p/ + m) (p/ − m) = 0 I.25

(2.23)

Ciò consente di scrivere

  (p/ − m) (p/ + m) u(r) (0) = 0 ,

r = 1, 2 .

con

(2.24)

Quindi le soluzioni dell'equazione (2.5) possono essere messe nella forma

u(r) (~p) = C (p/ + m) u(r) (0) , dove

C

(2.25)

è una opportuna costante di normalizzazione. Nella rappresentazione di Dirac

u(r) (~p) = C (p/ + m) u(r) (0)         (r)  11 0 11 0 0 ~σ χ+ (0) =C · ~p + E− m 0 −11 0 11 −~σ 0 0    (r)  E + m −~σ · ~p χ+ (0) =C ~σ · ~p −E + m 0 ! (r) (E + m) χ+ (0) =C (r) ~σ · ~p χ+ (0)   (r) χ+ (0) = C (E + m)  ~σ · ~p (r)  . χ (0) E+m +

Determiniamo la costante

C

in modo che

u(r) (~p) u(s) (~p) = δrs .

(2.27)

Poichè

 † 2 (r) (s) 2 u (~p) u (~p) = |C| (E + m) χ(r) + (0)

(r)

†

−χ+ (0)

 = |C| (E + m) 1 −

~p2 (E + m)2 = |C|2 2 m (E + m) δrs , 2

(2.26)

2



~σ · ~p E +m

δrs



 (s) χ+ (0)  ~σ · ~p (s)  χ (0) E+m + 

(2.28)

la condizione di normalizzazione è soddisfatta se prendiamo

per cui

1 , C=p 2 m (E + m) u(r) (~p) = p

p/ + m 2 m (E + m)

u(r) (0) ,

p/ + m u(r) (~p) = u(r) (0) p . 2 m (E + m) I.26

(2.29)

(2.30a)

(2.30b)

Il legame stabilito dalle equazioni (2.30a) e (2.30b) tra gli spinori

u(r) (~p)

corrispondenti nel sistema di riposo non dipendono dalla rappresentazione

u(r) (~p) delle γ ,

e

e i loro come si

può vericare utilizzando le proprietà discusse al paragrafo 1.2.3. (r) p) sono dati da Nella rappresentazione di Dirac gli spinori u (~

u(r) (~p) ≡

(r) χ+ (~p) (r) ϕ+ (~p)

!

=

r

Esplicitamente si ha



 (r) χ (0) + E +m ~σ · ~p (r)  . 2m χ (0) E+m +

   1 E +m 0    , u(1) (~p) = 1  2 m  ~σ · ~p E+m 0     0 r E +m 1    . u(2) (~p) =  ~σ · ~p 0  2m E+m 1 

r

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Per le soluzioni a energia negativa si può seguire lo stesso procedimento. Si ha

v (r) (~p) = C (−p/ + m) v (r) (0) .

(2.34)

Nella rappresentazione di Dirac si ha

Quindi

v (r) (~p) = C (−p/ + m) u(r) (0)          0 11 0 0 ~σ 11 0 E+ · ~p + m =C − (r) 0 −11 −~σ 0 0 11 ϕ− (0)   ~σ · ~p (r) ϕ (0) = C (E + m)  E + m − . (r) ϕ− (0)

 † ~ σ · ~p 2 (r) (s) 2 v (~p) v (~p) = |C| (E + m) ϕ(r) − (0) E +m   ~p2 2 2 = |C| (E + m) − 1 δrs (E + m)2 = − |C|2 2 m (E + m) δrs .

(r)

†

−ϕ− (0)



(2.35)

 ~σ · ~p (s)  E + m ϕ− (0) (s) ϕ− (0) 

(2.36)

Se poniamo la condizione di normalizzazione

v (r) (~p) v (s) (~p) = −δrs , I.27

(2.37)

la costante

C

è data dalla (2.29) e si ottiene quindi

v (r) (~p) = p

−p/ + m v (r) (0) , 2 m (E + m)

v (r) (~p) = v (r) (0) p

Nella rappresentazione di Dirac gli spinori

v (r) (~p) ≡

(r) χ− (~p) (r) ϕ− (~p)

!

=

−p/ + m

2 m (E + m)

v (r) (~p)

r

Esplicitamente si ha

(2.38a)

.

(2.38b)

sono dati da



 ~σ · ~p (r) E+m ϕ (0) . E+m − (r) 2m ϕ− (0)

(2.39)

  ~ σ · ~ p 1 r   E + m  E +m 0  , v (1) (~p) =   1 2m 0    ~σ · ~p 0 r  E + m  E +m 1  . v (2) (~p) =  0 2m  1 

(2.40)

(2.41)

Valgono inoltre le seguenti relazioni di ortogonalità:

u(r) (~p) v (s) (~p) = 0 ,

(2.42a)

v (r) (~p) u(s) (~p) = 0 .

(2.42b)

Notiamo che le condizioni di normalizzazione per gli spinori sono state scritte in termini uu, come ha da essere. Osserviamo che prodotti del tipo u† u

di invarianti, per esempio

si trasformano invece come componenti temporali di quadri-vettori. l'equazione p /u

= mu †

Infatti, utilizzando

e la sua aggiunta, si ha

p/ γ 0 + γ 0 p/ (s) u (~p) 2m E g µ0 pµ (s) E u (~p) = u(r) (~p) u(s) (~p) = δrs . = u(r) (~p) m m m

u(r) (~p) u(s) (~p) = u(r) (~p) γ 0 u(s) (~p) = u(r) (~p)

(2.43)

† 3 Questa proprietà è in accordo con la richiesta che la probabilità ψp,+ (x) ψp,+ (x) d x mantenga, per trasformazione di Lorentz, il valore che la stessa ha nel sistema di riposo della particella. 3 0 Dal momento che, nella trasformazione, l'elemento di volume subisce la contrazione d x = p † 1 − v 2 /c2 d3 x, la densità di probabilità ρ = ψp,+ (x) ψp,+ (x) = u† (p) u(p) deve trasformarsi come

ρ0 = ρ/

p

1 − v 2 /c2 = ρ E/m,

ossia come ottenuto nella (2.43). I.28

2.3

Limite non-relativistico (vc)

Per le soluzioni ad energia positiva, nella rappresentazione di Dirac, si ha

(~σ · ~p)2 ~p2 E+m † χ+ (0) χ (0) = χ†+ (~p) χ+ (~p) + 2m (E + m)2 (E + m)2 ~p2 c2 † in unità ordinarie . p) χ+ (~p) = 2 χ+ (~ 2 (E + m c )

ϕ†+ (~p) ϕ+ (~p) =

(2.44)

Per il limite non-relativistico sono utili le relazioni

  2  v = m ~v 1 + O 2 ~p = q , c v2 1 − c2   2  v m c2 2 , = mc 1 + O 2 E=q 2 c 1− v m ~v

c2

(2.45)

(2.46)

  2  v 1+O 2 , c

2 2

~p c 1 v2 = 4 c2 (E + m c2 )2

(2.47)

dalle quali si ottiene

ϕ†+ (~p) ϕ+ (~p) '

1 v2 † χ (~p) χ+ (~p) . 4 c2 +

(2.48)

u(~p) vi è dominanza χ+ (~p) rispetto a quelli ϕ+ (~p); il fattore di soppressione degli spinori ϕ+ (~ p) rispetto a quelli χ+ (~p) è di ordine (v/c)2 . Di qui segue la usuale denominazione di "grandi componenti" per le χ+ (~ p) e di "piccole componenti" per le ϕ+ (~p). Per le soluzioni ad energia negativa i ruoli delle χ e ϕ sono scambiati: le componenti χ− vengono chiamate "piccole componenti" e quelle ϕ− vengono chiamate "grandi componenti". Quindi, nel limite non-relativistico, negli spinori ad energia positiva degli spinori a due componenti

Normalizzazione delle soluzioni libere

2.4

Occupiamoci ora della normalizzazione delle soluzioni libere ad energia positiva

(r)

ψp,+ (x),

che

riscriviamo come

(r)

ψp,+ (x) = N e−i p·x u(r) (~p) , dove

N

è

un

fattore

di

normalizzazione:

normalizzazione.

Z

V

(r) †

le

(s)

d3 x ψp,+ (x) ψp0 ,+ (x) = δrs δ~p,p~0

nel caso di normalizzazione in un volume

Z

Adotteremo

(2.49)

V

seguenti

condizioni

di

(2.50)

nito e

†

(r) (s) d3 x ψp,+ (x) ψp0 ,+ (x) = δrs δ 3 (~p − ~p0 )

I.29

(2.51)

nel caso di normalizzazione in un volume innito. Per il caso di un volume nito si ha

Z

3

d

V

(r) † (s) x ψp,+ (x) ψp0 ,+ (x)

2

= |N| u

(r) †

(s)

0

(~p) u (p ) δ~p,p~0

Z

V

d3 x = |N|2

E V δrs δ~p,p~0 , m

(2.52)

per cui

r

1 N=√ V Z

m . E

(2.53)

Per la normalizzazione in un volume innito si ha

3

d

(r) † (s) x ψp,+ (x) ψp0 ,+ (x)

2

= |N| u

(r) †

(s)

0

(~p) u (p )

Z

0

d3 x ei(p−p )·x = |N|2

E δrs (2 π)3 δ 3 (~p − p~0 ) , m (2.54)

per cui

N=

1 3/2

(2 π)

r

m . E

(2.55)

Analoghe normalizzazioni verranno adottate per le soluzioni libere ad energia negativa. Avremo quindi

(r) ψp,− (x)

1 =√ V

r

m i p·x (r) e v (~p) E

(2.56)

nel caso di normalizzazione in un volume nito e

(r) ψp,− (x)

=

1 (2 π)

3/2

r

m i p·x (r) e v (~p) E

(2.57)

nel caso di normalizzazione in un volume innito. (r) (r) Le funzioni ψp,+ (x) e ψp,− (x) sono ortogonali, ossia

Z

(r) †

(s)

d3 x ψp,+ (x) ψp0 ,− (x) = 0 .

(2.58)

Infatti, dalle (2.30b) e (2.38b) si ricava che

dove

peµ = (p0 , ~pe) = (p0 , −~p),

p/ + m † , u(r) (~pe) = u(r)† (0) p 2 m (E + m) −p/ + m † v (r) (~pe) = v (r)† (0) p , 2 m (E + m)

(2.59a)

(2.59b)

e quindi dalla proprietà (2.23) discendono le relazioni

† u(r) (~pe) v (s) (~p) = 0 , † v (r) (~pe) u(s)(~p) = 0 . I.30

(2.60a) (2.60b)

2.5

Pacchetti d'onda

Le soluzioni libere

(r)

ψp,+ (x)

e

(r)

ψp,− (x) costituiscono un insieme completo ortonormale e

quindi

la più generale soluzione può essere scritta come

ψ(x) =

XZ r

h i (r) (r) (r) ∗ (r) d3 p b~p ψp,+ (x) + d~p ψp,− (x)

Z 1 X = d3 p 3/2 (2π) r

r

i m h (r) (r) (r) ∗ (r) ip·x −ip·x . b u (~p) e + d~p v (~p) e E ~p

(2.61)

(r) (r) ∗ I coecienti b~p e d~p dello sviluppo sono in generale dei numeri complessi (le notazioni qui adottate seguono le convenzioni standard usualmente utilizzate). La formula (2.61) fa riferimento a stati normalizzati in un volume innito.

La

corrispondente espressione per una normalizzazione in un volume nito si ottiene sostituendo

1 (2π)3/2

Z

d3 p

−→

1 X √ . V ~p

(2.62)

Per le proprietà di ortonormalizzazione viste nel paragrafo precedente, si ha che la condizione di normalizzazione della

Z

ψ(x),

ossia

d3 x ψ † (x) ψ(x) = 1 ,

(2.63)

implica che

XZ r

h i (r) (r) d3 p |b~p |2 + |d~p |2 = 1 .

(2.64)

Uno studio dettagliato delle proprietà del pacchetto d'onda (2.61) ne mette in evidenza 2

due proprietà importanti :

1. la presenza simultanea degli stati ad energia positiva e di quelli ad energia negativa nello sviluppo (2.61) è indispensabile per realizzare, mediante la descrizione del pacchetto d'onda, una buona localizzazione della particella (dimensione lineare del volume di localizzazione



lunghezza d'onda Compton della particella);

2. l'evoluzione temporale del pacchetto d'onda mostra che l'interferenza tra stati ad energia positiva e stati ad energia negativa genera delle oscillazioni rapide che si sovrappongono

Zitterbewegung ).

al moto rettilineo uniforme di una particella libera ( 2 Per

la dimostrazione si veda, per esempio, J.J. Sakurai: Advanced Quantum Mechanics. I.31

2.6

Proiettori su stati ad energia positiva e su stati ad energia negativa

In numerose applicazioni che comportano un calcolo spinoriale è utile denire dei proiettori su stati ad energia positiva e su quelli ad energia negativa. Deniamo come proiettore su stati ad energia positiva la matrice

Λ+ (~p) ≡

X

u(r) (~p) u(r)(~p) ,

(2.65)

r=1,2

ossia, più esplicitamente,

X

(Λ+ (~p))αβ ≡ Il ruolo di

(r)

u(r) p) uβ (~p) . α (~

(2.66)

r=1,2

Λ+ (~p) come proiettore risulta dalle relazioni X X X (r) (s) (s) (Λ+ (~p))αβ uβ (~p) = u(r) (~ p) uβ (~p) uβ (~p) = u(s) p) α α (~ r=1,2

β

(2.67)

β

e

Λ+ (~p) v (s) (~p) = 0 . Λ+ (~p)

(2.68)

soddisfa anche la proprietà di idempotenza

(Λ+ (~p))2 = Λ+ (~p)

(2.69)

caratteristica degli operatori di proiezione. Infatti,

XX ρ

(r)

u(r) p) uρ (~p) α (~

r=1,2

X

(s)

u(s) p) uβ (~p) = ρ (~

s=1,2

X

u(r) p) α (~

r,s

=

X

X

|

(r)

(s)

uρ (~p) u(s) p) uβ (~p) ρ (~

ρ

{z

δrs (r)

u(r) p) uβ (~p) . α (~

}

(2.70)

r=1,2 Analogamente, deniamo come proiettore sugli stati ad energia negativa la matrice

Λ− (~p) ≡ −

X

v (r) (~p) v (r) (~p) ,

(2.71)

r=1,2

con le proprietà

X

(s)

(Λ− (~p))αβ vβ (~p) = vα(s) (~p) ,

(2.72)

β

Λ− (~p) u(s) (~p) = 0 , 2

(Λ− (~p)) = Λ− (~p) . I.32

(2.73) (2.74)

Un'espressione per

Λ+ (~p)

Λ+ (~p) =

utile nelle applicazioni può essere ottenuta dalla formula

X 1 u(r) (0) u(r)(0) (p/ + m) , (p/ + m) 2 m (E + m) r=1,2 {z } |

(2.75)

Λ+ (0)

ricavabile dalla denizione (2.65) e dalle formule (2.30).

Λ+ (0)

può essere determinato

tenendo presente che dalle equazioni (2.7) e (2.6) discende


γ 0 − 11 Λ+ (0) = 0 ,
Λ+ (0) γ 0 − 11 = 0 .

Dalle (2.76) e dalla proprietà

(2.76a) (2.76b)

(Λ+ (0))2 = Λ+ (0)

(2.77)

1 + γ0 . Λ+ (0) = 2

(2.78)

si trova che

1+γ 0 + B e dimostrare che dalle equazioni (2.76) 2 0. Quindi, dalle (2.75) e (2.78) si ha

Per la dimostrazione basta porre e (2.77) segue che

B=

Λ+ (~p) =

Λ+ (0) =

1 1 + γ0 (p/ + m) (p/ + m) . 2 m (E + m) 2

(2.79)

Tenendo conto delle relazioni


(p/ + m) γ 0 (p/ + m) = (p/ + m) γ 0 p0 − γ k pk + m γ 0
= (p/ + m) −p/ + m + 2 γ 0 p0 γ 0 = 2 E (p/ + m) , (p/ + m) (p/ + m) = (p/ + m) (p/ − m + 2 m) = 2 m (p/ + m) , 0 1+γ (p/ + m) (p/ + m) = (E + m) (p/ + m) , 2

(2.80)

(2.81) (2.82)

si ottiene

Λ+ (~p) = Per la

Λ+ (~p)

p/ + m . 2m

(2.83)

vale inoltre la relazione

(Λ+ (~p))† =

p/† + m p/ + m 0 = γ0 γ = γ 0 Λ+ (~p) γ 0 . 2m 2m I.33

(2.84)

Analogamente, per il proiettore

Λ− (~p)

si ottiene

Λ− (~p) = Il proiettore

Λ− (~p)

−p/ + m . 2m

(2.85)

soddisfa alla relazione

(Λ− (~p))† = γ 0 Λ− (~p) γ 0 .

(2.86)

Inoltre, si ha

Λ+ (~p) + Λ− (~p) = 11 , Λ+ (~p) Λ− (~p) = Λ− (~p) Λ+ (~p) = 0 .

I.34

(2.87) (2.88)

Capitolo 3 Operatori momenti angolari in teoria di Dirac Operatore di spin

3.1

Riprendiamo in considerazione la trasformazione dello spinore 3 innitesima di un angolo θ attorno all'asse x :

 0  x0    01 x 2  x0    x0 3

= x0 = x1 + θ x2 = −θ x1 + x2 = x3

=⇒

 0 δx    1 δx δx2    3 δx

ψ(x)

per una rotazione

=0 = θ x2 = −θ x1 =0

Combinando la legge di trasformazione per una rotazione innitesima di un angolo 3 all'asse x (vedi la (1.91))

0

0

ψ (x ) = con lo sviluppo della

ψ 0 (x0 )

(3.1)

θ

attorno

 i 3 11 + θ Σ ψ(x) 2



(3.2)

in serie di Taylor (al prim'ordine in

θ)

0 ∂ψ 0 (x) 2 ∂ψ (x) + δx ψ 0 (x0 ) = ψ 0 (x) + δx1 1 2 ∂x  ∂x  ∂ ∂ = ψ 0 (x) + θ x2 1 − x1 2 ψ(x) ∂x ∂x 0 3 = ψ (x) − i θ L ψ(x) ,

(3.3)

si ottiene

0

ψ (x) = dove

L3

 i 3 3 11 + θ Σ + i θ L ψ(x) , 2



è la terza componente del momento angolare orbitale

~ = ~r × ~p = −i~r × ∇ ~ L

(3.4)

(ricor-

diamo che stiamo utilizzando unità naturali). Identicando questa formula con l'espressione I.35

generale che fornisce la trasformazione della forma funzionale della

ψ(x)

per rotazioni


ψ 0 (x) = 1 + i θ J 3 ψ(x) ,

si ottiene

(3.5)

~ . ~J = L ~ +1Σ 2 L'operatore momento angolare orbitale l'operatore

~ Σ/2

L'operatore

~ L

(3.6)

trasforma la parte spaziale della

agisce sulle variabili di spin.

~ Σ/2

deve quindi essere interpretato come

spin 1/2 ed è una generalizzazione dell'operatore di Pauli

operatore di spin ~σ /2.

ψ,

mentre

per particelle di

In unità ordinarie

~. ~J = L ~ + 1 ~Σ 2

(3.7)

I Autovalori di Σ3 Nella rappresentazione di Dirac la matrice

~ Σ

è data da

  ~ σ 0 ~ = Σ 0 ~σ

(3.8)

e quindi, nel sistema di riposo della particella, abbiamo

Σ u (m, ~0) =

 3 σ 0

Σ v (m, ~0) =



3

3

Perciò

(r)

(r)

σ3 0

  (1)  χ+ (0)    (r)     ,  (r) 3 0 0 χ+ (0) σ χ+ (0)   = = (2) σ3  0 0   −χ+ (0) . 0    0       ,  (1) 0 0 ϕ (0) 0 −   = = (r) (r) 0 σ3  σ 3 ϕ− (0) ϕ− (0)   . (2) −ϕ− (0) Σ3 u(1) (m, ~0) = +u(1) (m, ~0) Σ3 u(2) (m, ~0) = −u(2) (m, ~0) (1)

Quindi le quattro funzioni ortonormali

(3.10b)

funzioni dell'operatore energia

±1/2

i∂/∂t

(1)

u(r) (m, ~0)

e dell'operatore

per la proiezione di spin). I.36

(3.10c) (3.10d)

v (r) (m, ~0),

e

3

Σ

(con

(3.9b)

(3.10a)

Σ v (m, ~0) = +v (m, ~0) Σ3 v (2) (m, ~0) = −v (2) (m, ~0) 3

(3.9a)

r = 1, 2, sono autoautovalori ±p0 per l'energia, con

I Commutatori dell'operatore di spin Dimostriamo che le componenti di

~ Σ

soddisfano le proprietà generali di commutazione

dei momenti angolari

 j  Σ , Σk = 2 i jk` Σ` ,

(3.11)

j6=k si ha  j      Σ , Σk = γ 0 γ j γ 5 , γ 0 γ k γ 5 = − γ j , γ k = −2 γ j γ k .

Per vericare la (3.11) si può procedere nel modo seguente: per

Moltiplicando la denizione (1.89) delle matrici

Σj = per

jk`

e sommando su

jk` Σj = per cui

j

Σj

i 1 jmn mn  σ = jmn γ m γ n , 2 2

si ottiene



i k ` i km `n i jk` jmn m n δ δ − δ kn δ `m γ m γ n = γ γ − γ` γk = i γk γ` ,   γ γ = 2 2 2 γ j γ k = −i jk` Σ`

e si ottiene la regola di commutazione (3.11).

3.2

Conservazione del momento angolare totale

Vogliamo ora determinare quali siano le leggi di conservazione dei momenti angolari in teoria di Dirac. Ricordiamo che in rappresentazione di Heisenberg un generico operatore

Ω(H)

soddisfa

all'equazione

Ω(H)

  ∂Ω(H) dΩ(H) = i H , Ω(H) + . dt ∂t

è deducibile dall'operatore indipendente dal tempo

(3.12)

Ω(S)

in rappresentazione di

Schrödinger mediante la relazione

Ω(H) (t) = ei H t Ω(S) e−i H t .

(3.13)

Come abbiamo visto nel Capitolo 1, in teoria di Dirac l'Hamiltoniana libera è

H=α ~ · ~p + β m .

(3.14)

~ I Momento angolare orbitale L L'evoluzione temporale di

Lj

è data da

      dLj = i H , Lj = i α ~ · ~p , Lj = i αk pk , Lj dt = jk` αk p` = (~ α ×~p)j , I.37

(3.15)

per cui

~ dL =α ~ ×~p . dt

(3.16)

Quindi, a dierenza di quanto avviene nella teoria di Schrödinger, per una particella di Dirac libera

~ L

non è una costante del moto.

~ I Momento angolare di spin Σ/2 L'evoluzione temporale di

dove si è tenuto conto

Σj

è data da

    dΣj =i α ~ · ~p + β m , Σj = i α ~ · ~p , Σj , dt h i ~ che β , Σ = 0. Per il calcolo del commutatore [~ α · ~p , Σj ]

~ = −~ Σ α γ 5 e le proprietà di anticommutazione (3.11):       i αk pk , Σj = i pk −Σk γ 5 , Σj = −i pk Σk , Σj γ 5 = 2 pk kj` Σ` γ 5

usare la proprietà

= − 2 kj` pk α` = −2 (~ α ×~p)j .

(3.17) è utile

(3.18)

Quindi si ha

~ dΣ = −2 α ~ ×~p dt e ne segue che neppure l'operatore

~ Σ

è una costante del moto.

~ · ~p, tenendo conto che [H , ~p] = 0, Se però consideriamo l'operatore Σ h i h i d ~  ~ ~ Σ · ~p = i H , Σ · ~p = i H , Σ · ~p . dt h i ~ = 2iα ~ ×~p e quindi Ma, per la dimostrazione precedente, H , Σ

Ossia l'operatore

d ~  Σ · ~p = 0 . dt

elicità

(3.19)

sˆ ≡

~ · ~p Σ |~p|

troviamo (3.20)

(3.21)

(3.22)

è una costante del moto.

I Momento angolare totale ~J Dalle equazioni (3.16) e (3.19) si ottiene inne

  d~J d ~ 1~ L+ Σ =0 , = dt dt 2 ossia il momento angolare totale

~J

è una costante del moto.

I.38

(3.23)

Capitolo 4 Interazione elettronecampo elettromagnetico 4.1

Qualche richiamo sul campo elettromagnetico

~ e il campo magnetico Il campo elettrico E µ potenziale A nel modo seguente

~ B

possono essere espressi mediante il quadri-

~ ~ = − ∂ A − ∇A ~ 0, E ∂t ~ =∇ ~ ×A ~. B Il tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico

(4.1a) (4.1b)

F µν

è denito come

F µν ≡ ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ,

(4.2)

e quindi

F µν

 0 −E 1 −E 2 −E 3 E 1 0 −B 3 B 2  . = E 2 B 3 0 −B 1  E 3 −B 2 B 1 0 

(4.3)

µ ~ e magIl quadri-potenziale A non è unicamente denito a partire dai campi elettrico E ~ (ossia da F µν ); esso è denito solo a meno del quadri-gradiente di una funzione netico B µν arbitraria. Infatti, F resta invariante per la trasformazione

Aµ (x) → Aµ (x) + ∂µ ϕ(x) . Questa trasformazione è chiamata

trasformazione di gauge I.39

(4.4)

su

Aµ (x).

Le equazioni di Maxwell si possono scrivere in forma quadri-vettoriale:

~ ·E ~ = ρ, ∇ ~ ~ ×B ~ − ∂ E = ~j , ∇ ∂t ~ ~ ∇· B = 0, ~ ~ ×E ~ + ∂B = 0 , ∇ ∂t

 

   

=⇒

∂µ F µν = j ν ,

(4.5a)

=⇒

∂ ρ F µν + ∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ = 0 .

(4.5b)

Nella scrittura di queste equazioni abbiamo fatto uso delle unità (razionalizzate) di Heavyside-Lorentz; in queste unità si ha

e2 e2 = α= 4π~c 4π

in unità naturali .

(4.6)

Notiamo due importanti proprietà: 1. La natura antisimmetrica di

F µν

implica che la quadri-corrente

jν

è conservata: infatti,

dalla (4.5a) si ottiene

∂ν j ν = ∂ν ∂µ F µν = 0 . 2. In virtù della denizione (4.2), soddisfatta.

F µν ≡ ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ,

Espressa mediante il quadri-potenziale

Aµ ,

l'equazione (4.5b) è identicamente

l'equazione (4.5a) diventa

Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν .

4.2

(4.7)

(4.8)

Interazione elettronecampo elettromagnetico

Classicamente, per passare dalla trattazione di un elettrone libero a quella di un elettrone in interazione con un campo elettromagnetico si applica la cosiddetta prescrizione di accoppiamento minimo, ossia

pµ → pµ − dove

e

e Aµ , c

(4.9)

è la carica elettrica dell'elettrone. La regola quantistica corrispondente è

pˆµ → pˆµ −

e Aµ , c

(4.10)

ossia (in unità naturali)

Per l'operatore di Dirac

∂µ → ∂µ + i e Aµ .

(4.11)

iγ µ ∂µ − m → iγ µ ∂µ − e γ µ Aµ − m

(4.12)

i∂/ − m

si ha

e quindi l'equazione di Dirac in presenza di un campo elettromagnetico esterno diventa

(i ∂/ − e A / − m) ψ(x) = 0 . I.40

(4.13)

4.3

Invarianza di gauge

Data una soluzione

ψ(x)

ψ(x)

dell'equazione di Dirac, anche una generica

ψ 0 (x),

ottenuta dalla

per una ridenizione della fase, ossia

ψ 0 (x) = eiα ψ(x) è soluzione della stessa equazione, se

α

(4.14)

è una costante. La trasformazione (4.14) viene detta

trasformazione di gauge globale della ψ(x).

Nell'ambito di una teoria Lagrangiana di campo

(che sarà studiata nella seconda parte) si dimostra che l'invarianza per trasformazione di gauge globale di j µ = ψγ µ ψ .

ψ

comporta, in base al teorema di Noether, la conservazione della corrente

Invece l'equazione di Dirac libera non è invariante per la

trasformazione di gauge locale

ψ(x) −→ ψ 0 (x) = eiα(x) ψ(x) .

(4.15)

Infatti, per questa trasformazione di gauge locale


∂µ ψ(x) −→ ∂µ eiα(x) ψ(x) = ieiα(x) ψ(x) ∂µ α(x) + eiα(x) ∂µ ψ(x) ,

(4.16)

e l'equazione di Dirac libera diventa

[iγ µ ∂µ − γ µ ∂µ α(x) − m] ψ(x) = 0 . Invece, l'equazione (4.13) con l'accoppiamento locali se il quadri-potenziale

Aµ

γ µ Aµ

(4.17)

è invariante per trasformazioni di gauge

si trasforma come nella (4.4), con

Aµ −→ A0µ = Aµ − In tal caso, la trasformazione di gauge su

ψ(x)

ϕ(x) = −α(x)/e:

1 ∂µ α(x) . e

e quella su

(4.18)

Aµ (x)

si compensano in modo da

garantire l'invarianza dell'equazione di Dirac (4.13). Notare che questa proprietà dipende in modo cruciale dalla prescrizione di accoppiamento minimo, che, come si è visto, consiste nel sostituire la derivata

covariante Dµ

∂µ

con la cosiddetta

derivata

Dµ = ∂µ + ieAµ .

(4.19)

ψ(x) −→ eiα(x) ψ(x) , 1 Aµ (x) −→ Aµ (x) − ∂µ α(x) , e

(4.20)

Dµ ψ(x) −→ eiα(x) Dµ ψ(x) .

(4.21)

Per trasformazioni di gauge

abbiamo che

La proprietà di invarianza di gauge gioca un ruolo importante non solo nell'ambito dell'elettrodinamica quantistica, ma (in versione generalizzata) nelle moderne teorie dell'interazione elettrodebole e della cromodinamica quantistica. I.41

4.4

Hamiltoniana di interazione elettronecampo elettromagnetico

In questo e nei paragra successivi passiamo ad esaminare in dettaglio alcuni dei termini caratteristici di accoppiamento dell'elettrone con il campo elettromagnetico. Se moltiplichiamo la (4.13)

a sinistra per

γ0,



 ~ − m ψ(x) = 0 iγ 0 ∂0 + iγ k ∂k − e γ 0 A0 + e ~γ · A

(4.22)



 ~ − β m ψ(x) = 0 . i∂0 − α ~ · ~p − e A0 + e α ~ ·A

(4.23)

∂ψ = (H0 + Hint ) ψ , ∂t

(4.24)

otteniamo

In forma hamiltoniana si ha quindi

i con

H0 = α ~ · ~p + β m ,

(4.25)

~. Hint = e A0 − e α ~ ·A

(4.26)

~. e A0 − e ~v · A velocità ~ v.

Ricordiamo che classicamente l'hamiltoniana di interazione è data da l'operatore

α ~

risulta essere il corrispettivo del vettore classico

Calcoliamo le derivate temporali di ~ re

~: ~π = ~p − e A

d~r = i [H , ~r] = i [~ α · ~p , ~r] = α ~, dt ~ d~π ∂A = i [H , ~π ] − e dt ∂t h i ~ ∂A ~ ~ =i α ~ · ~p + e A0 − e α ~ · A , ~p − e A − e ∂t n h i h io ~ ∂A ~ ~ = i −e α ~ · ~p , A + e [A0 , ~p] − e α ~ · A , ~p − e . ∂t

Quindi

(4.27)

(4.28)

Utilizzando la formula

~ , [f (~r) , ~p] = i ∇f

(4.29)

si ottiene

per cui

~ 0, [A0 , ~p] = i ∇A h i h i   ~ + α ~ , ~p = i α ~ ×A ~ , α ~ · ~p , A ~ ·A ~× ∇   ~ d~π ~ ~ ~ 0 − e ∂A = e α ~ + eE ~. = eα ~ × ∇ × A − e ∇A ~ ×B dt ∂t

Il secondo membro di questa equazione rappresenta la forza di Lorentz. I.42

(4.30)

(4.31)

4.5

Interazione elettromagnetica non-relativistico

nel

limite

Per stati stazionari l'equazione (4.24) diventa

h

e quindi, scrivendo

  i ~ + β m + e A0 ψ = E ψ α ~ · ~p − e A ψ(x) =



χ(x) ϕ(x)



(4.32)

,

(4.33)

nella rappresentazione di Dirac si ottiene

          
11 0 0 ~σ χ(x) χ(x) 11 0 0 ~ · ~p − e A = E − eA , −m ~σ 0 ϕ(x) ϕ(x) 0 11 0 −11

 ossia

  
~ ϕ(x) = E − e A0 − m χ(x) ,  ~σ · ~p − e A  
 ~σ · ~p − e A ~ χ(x) = E − e A0 + m ϕ(x) .

(4.34)

(4.35)

~ , si ottiene ~π ≡ ~p − e A   1 1 ~ ~σ · ~p − e A χ(x) ≡ ~σ · ~π χ(x) . ϕ(x) = 0 E − eA + m E − e A0 + m

Dalla seconda di queste equazioni, ponendo

Sostituendo nella prima si ottiene l'equazione per

~σ · ~π

χ(x):


1 ~σ · ~π χ(x) = E − e A0 − m χ(x) . 0 E −eA + m

Studiamo ora il caso di un elettrone in regime non-relativistico (v/c spaziale in cui valga la condizione

Poniamo

(4.36)

E ' m, la quale implica in 0 e A  m .

 1)

(4.37)

in una regione

particolare che

E (nr) ≡ E − m  m ,

(4.38)

(4.39)

ed approssimiamo la frazione dell'eq.(4.37) nel modo seguente

1 1 = 0 (nr) E −eA + m 2m+E − e A0   E (nr) − e A0 1 1− + ... . = 2m 2m I.43

(4.40)

All'ordine zero in

Valutiamo

(E (nr) − eA0 )/2m

(~σ · ~π )2

la (4.37) diventa


1 (~σ · ~π )2 χ(x) = E (nr) − e A0 χ(x) . 2m

tenendo conto che per le matrici di Pauli si ha

 j k σ , σ = 2 i jk` σ `  j k σ , σ = 2δ jk 11

Segue quindi che

(4.41)

=⇒

σ j σ k = δ jk 11 + i jk` σ ` .


(~σ · ~π )2 = σ j σ k π j π k = δ jk + i jk` σ ` π j π k   1 = ~π 2 + i jk` σ ` π j , π k . 2

Da

(4.42)

(4.43)

 j k  j      π , π = p − eAj , pk − eAk = − e Aj , pk − e pj , Ak   j ∂Ak ∂A − = − ie ∂xk ∂xj

(4.44)

otteniamo

  ∂Ak 1 jk` ` ∂Aj − (~σ · ~π ) = ~π + e  σ 2 ∂xk ∂xj   ~ ×A ~ = ~π 2 − e ~σ · ∇  2 ~ − e ~σ · B ~. = ~p − e A 2

2

(4.45)

L'equazione (4.41) diventa

 I termini

e A0

e

1 2m

 2 1  e 0 ~ ~ ~p − e A − ~σ · B + e A χ(x) = E (nr) χ(x) . 2m 2m

 2 ~ ~p − e A

(4.46)

sono quelli che vengono comunemente trovati in teoria quan-

tistica non-relativistica per l'elettrone in interazione con un campo elettromagnetico, quando nell'equazione di Schrödinger si eettua la sostituzione di accoppiamento minimo

pµ −→ pµ − e Aµ .

(4.47)

Il termine

e ~ ~σ · B − 2m

 e~ ~ − ~σ · B 2mc I.44



in unità ordinarie

(4.48)

descrive l'interazione della particella con il campo magnetico esterno tramite l'operatore di spin. Se riscriviamo il termine (4.48) come

~, −~µ · B

possiamo identicare l'operatore

~µ

(4.49)

momento magnetico

(

e e~ ~σ ≡ 2 ~µ ≡ 2mc 2mc



1 ~ ~σ 2



dell'elettrone) come

=g

e ~s , 2mc

(4.50)

con

1 ~ ~σ , 2 g = 2,

~s =

spin ,

(4.51)

rapporto giromagnetico .

(4.52)

L'unità di misura del momento magnetico è il

µB ≡ L'accoppiamento

~ −~µ · B

magnetone di Bohr µB

dato da

|e| ~ = 0.579 × 10−14 MeV gauss−1 . 2mc

che in teoria di Dirac è contenuto nella

Hint

(4.53)

di eq.(4.26), in teoria di

Schrödinger deve essere aggiunto tramite il formalismo di spin di Pauli. Il valore del rapporto giromagnetico

g = 2,

trovato nell'ambito della teoria di Dirac, è molto prossimo al valore

sperimentale. Correzioni al valore (QED); all'ordine

α

g=2

sono valutabili nella Elettrodinamica Quantistica

si ha

h αi . g =2 1+ 2π

(4.54)

Questi eetti (correzioni radiative) saranno discussi nella Parte Seconda. Con le approssimazioni (4.38), (4.39) l'equazione (4.36) diventa

ϕ(x) '

4.6

  ~ ~σ · ~p − e A 2m

χ(x) .

Approssimazione non-relativistica in un campo elettrostatico

Consideriamo l'equazione (4.37) con lo sviluppo (4.40) nel caso

 v

2

(4.55)

~ = 0: A

   E (nr) − e A0 1 0 ~σ · ~p + e A χ(x) = E (nr) χ(x) . ~σ · ~p 1 − 2m 2m

(4.56)

Notiamo che lo sviluppo (4.40) è da interpretarsi come sviluppo in serie nel parametro /c2 . Infatti, E (nr) − e A0 ' mv 2 /2, ossia

 2 E (nr) − e A0 v =O 2 . 2 mc c I.45

(4.57)

Se vogliamo studiare termini di accoppiamento sino all'ordine

(v 2 /c2 )2 ,

occorre che l'e-

quazione sia riscritta mediante uno spinore a due componenti che, includendo termini di 2 2 ordine v /c , sia normalizzato a uno. Osserviamo che per ipotesi la funzione d'onda rigorosamente normalizzata a uno è la si ottiene

1=

Z

3

  χ ψ= , ϕ

†

†




d x χ χ+ϕ ϕ '

ossia

Z

Z

3

†

d xχ

d3 x ψ † ψ = 1. 

Nell'ultimo passaggio è stata utilizzata la (4.55), che per

ϕ(x) '

~σ · ~p χ(x) 2m

=⇒

~p2 1+ 4 m2

~=0 A

ϕ(x) ∼



Da questa condizione

χ.

(4.58)

diventa

v χ(x) . c

(4.59)

Quindi, una funzione d'onda spinoriale a due componenti correttamente normalizzata a uno, 2 2 a meno di termini di ordine superiore a v /c non è la χ, ma la funzione spinoriale

X = Ωχ, Infatti

Z

d3 x X † X =

Z

Ω−1

~p2 . 8 m2

(4.60)

  2 2 ! 2  ~p v d3 x χ† 1 + χ=1+O . 2 4m c2

Moltiplicando la (4.56) a sinistra per



Ω=1+

con

Ω−1

e sostituendo

χ = Ω−1 X

(4.61)

si ottiene

   E (nr) − e A0 1 0 ~σ · ~p + e A Ω−1 X(x) = E (nr) Ω−2 X(x) . ~σ · ~p 1 − 2m 2m

(4.62)

Tenuto conto che

Ω−1 ' 1 −

~p2 , 8 m2

(4.63)

si ottiene

      ~p2 ~p2 1 E (nr) − e A0 0 1− 1− ~σ · ~p + e A ~σ · ~p 1 − X(x) 8 m2 2m 2m 8 m2   ~p2 (nr) X(x) , 1− =E 4 m2 " ! # 2 2  2  (nr) 0 ~p ~p E −eA (~σ · ~p) 1− 1− + e A0 − ~σ · ~p ~σ · ~p X(x) 2 2 8m 2m 8m 4 m2   ~p2 (nr) X(x) , 1− =E 4 m2   2   2 E (nr) − e A0 (~p2 )2 ~p ~p 0 0 + eA − − , e A − ~σ · ~p ~σ · ~p X(x) 2m 8 m3 8 m2 4 m2   ~p2 (nr) 1− =E X(x) . 4 m2 I.46

(4.64)

Se scriviamo



E (nr) ~p2

come

 (nr) 2 E , ~p /2,

otteniamo



(~p2 )2 1  2 ~p2 0 (nr) 0 (nr) 0 + eA − + ~p , E − e A − 2 ~σ · ~p E − e A ~σ · ~p X(x) 2m 8 m3 8 m2 = E (nr) X(x) .

(4.65)

{A2 , B} − 2 A B A = [A , [A , B]] per ottenere  2
   ~p , E (nr) − e A0 − 2 ~σ · ~p E (nr) − e A0 ~σ · ~p = ~σ · ~p , ~σ · ~p , E (nr) − e A0    = ~σ · ~p , ~σ · ~p , −e A0 .

Utilizziamo ora l'identità

(4.66)

Abbiamo inoltre

  ~, ~σ · ~p , −e A0 = − i e ~σ · E h i     ~ = σ j σ k pj , E k + σ j , σ k E k pj ~σ · ~p , ~σ · E
  = δ jk + i jk` σ ` pj , E k + 2 i jk` σ ` E k pj     ~ ~ ~ = ~p · E + i ~σ · ~p × E − 2 i ~σ · E ×~p   ~ ·E ~ − 2 i ~σ · E ~ ×~p . = − i∇

Il termine

  ~ ~σ · ~p × E

è stato omesso perchè identicamente nullo; infatti

~ = −i ∇ ~ ×E ~ = i∇ ~ × ∇A ~ 0 = 0. ~p × E

(4.67)

Sostituendo questi risultati nella (4.65) ricaviamo l'equazione



   2 (~p2 )2 e~ e ~ ~p2 0 ~ ×~p − ~ ·E ~ X(x) = E (nr) X(x) , + eA − − ~σ · E ∇ 3 2 2 2 2 2 2m 8m c 4m c 8m c

(4.68)

dove abbiamo ripristinato le unità ordinarie. I termini di questa equazione hanno il seguente signicato: 1.

2.

e A0

energia elettrostatica.

(~p2 )2 ~p2 − termine cinetico con correzione relativistica: 2 m 8 m3 c2  1/2 q ~p2 c2 2 2 2 2 2 4 ~p c + m c − m c = m c 1 + 2 4 − m c2 m c   (~p2 )2 ~p2 2 − m c2 − ' mc 1 + 2 m2 c2 8 m4 c4 ~p2 (~p2 )2 ' − . 2 m 8 m3 c2 I.47

(4.69)

3.

  e~ ~ − ~σ · E ×~p 4 m2 c2

termine di interazione spin-orbita (termine di Thomas). Questo

termine descrive l'interazione tra il campo magnetico generato dal moto dell'elettrone

~ =E ~ × ~p B mc

(4.70)

e il momento di dipolo magnetico dell'elettrone

~µ =

e~ ~σ , 2mc

(4.71)

con un fattore di riduzione 1/2 dovuto alla precessione dello spin (Thomas). Nel caso di un campo elettrico a simmetria sferica

0 ~ = − ~r dA , E r dr     2 1 dA0 1 1 dA0 ~ ~σ · (~r ×~p) = − ~ ~σ · (~r ×~p) ~σ · E ×~p = − r dr ~ r dr 2 2 1 dA0 ~ ~s · ` , = − ~ r dr e quindi

−

  e 1 dA0 ~ e~ ~ ×~p = ~ σ · E ~s · ` . 4 m2 c2 2 m2 c2 r dr

(4.72)

Questo è l'accoppiamento di spin-orbita, che è importante in sica atomica.

4.

−

e ~2 ~ ~ ∇·E 8 m2 c2

termine di Darwin. Questo termine è da mettersi in relazione con la

variazione dell'energia elettrostatica dovuta alle uttuazioni della posizione dell'elettrone su dimensioni lineari dell'ordine della lunghezza d'onda Compton (Zitterbewegung):

1 i j ∂ 2 A0 δx δx , 2 ∂xi ∂xj

0  1 ∂ 2 A0 i j  A (~r + δ~r) = A0 (~r) + δx δx , 2 ∂xi ∂xj  2 

i j 1

1 ~ (δr)2 δij ∼ δij , δx δx = 3 3 mc e ~2 ~ ~ e ~2 0 ∆A = − ∇·E. δ(eA0 ) ∼ 6 m2 c2 6 m2 c2 ~ 0+ A0 (~r + δ~r) = A0 (~r) + δ~r · ∇A

I.48

Capitolo 5 Elettrone in un campo a simmetria sferica 5.1

Costanti del moto

Consideriamo l'hamiltoniana

H=α ~ · ~p + β m + V (r) ,

(5.1)

relativa ad un elettrone in un generico campo a simmetria sferica. Discutiamo le costanti del moto. Dal momento che sia anche in questo caso, come nel moto libero,

~J = ~L + Σ/2 ~

~L

che

~ Σ

commutano con

V (r),

è una costante del moto.

Cerchiamo ora un'altra costante del moto. In una teoria non relativistica vi sarebbe la proiezione dello spin su

~J : ~σ · ~J .

Infatti,

~σ · ~J

può essere riscritto come

  1 ~2 ~2 3 2 ~ ~σ · J = J −L + ~ ; ~ 4

(5.2)

~σ · ~J . ~ · ~J (che βΣ

tutti e due i momenti angolari sono costanti del moto e quindi lo è anche

La general-

izzazione alla teoria di Dirac di

ha lo stesso

limite non-relativistico di

~ · ~J , Σ

~σ · ~J

dovrebbe essere

~ · ~J , Σ

oppure

ma commutatori più semplici). Si può dimostrare che

h i 1 ~ ~ H , β Σ · J = ~ [H , β] , 2

1

(5.3)

e quindi una costante del moto è

~ · ~J − 1 ~ β . K ≡βΣ 2 1 Vedi,

per esempio, Sakurai, pag. 122. I.49

(5.4)

K

può anche essere scritto come

Si ha inoltre che

~J

e

K

  1 ~ − 1 ~β ~ · ~L + ~ Σ K =βΣ 2 2 ~ 2 −1 ~ β ~ · ~L + 1 ~ β Σ =βΣ |{z} 2 2   3 ~ · ~L + ~ . =β Σ

(5.5)

commutano tra loro:

h i ~J , K = 0 .

(5.6)

Quindi per un elettrone in un campo centrale gli operatori

2 H, ~J , J 3 , K

ammettono un

insieme comune di autofunzioni che scriviamo come

 Hψ = E ψ,    ~2 J ψ = ~2 j (j + 1) ψ ,  J 3 ψ = ~ j3 ψ ,   K ψ = −~ κ ψ .

(5.7)

2 K 2 e ~J . Per derivarla cominciamo a calcolare K 2 :        2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ K =β Σ·L+~ β Σ·L+~ = Σ·L+~ Σ·L+~ .

Esiste una semplice relazione tra

Dalla relazione

     ~ · ~a Σ ~ · ~b = ~a · ~b + i Σ ~ · ~a × ~b Σ

discende

(5.8)

     ~ · ~L , ~ · ~L Σ ~ · ~L = ~L2 + i Σ ~ · ~L × ~L = ~L2 − ~ Σ Σ | {z } i ~~ L

e quindi

2

2

~ · ~L + 2 ~ Σ ~ · ~L + ~2 = ~L + ~ Σ ~ · ~L + ~2 . K 2 = ~L − ~ Σ

(5.9)

Inoltre si ha

2  2 1 ~ ~ · ~L + 3 ~2 . ~J = ~L + ~ Σ = ~L + ~ Σ 2 4 2

(5.10)

Quindi

2

K 2 = ~J + I.50

1 2 ~ . 4

(5.11)

Questa relazione operatoriale comporta la seguente relazione tra autovalori:

 2 1 1 2 2 , ~ κ = ~ j (j + 1) + ~ = ~ j + 4 2 2

2

2

per cui

  1 κ=± j+ . 2

5.2

(5.12)

Riduzione a spinori a due componenti

Nella rappresentazione di Dirac



K

può essere scritto come



~ · ~L + ~ = K=β Σ



11

0 0 −11 

 ~σ · ~L + ~ 0 = 0 −~σ · ~L − ~

Dall'equazione agli autovalori

Kψ = −~κψ ,

  ~σ · ~L + ~ 0 0 ~σ · ~L + ~

(5.13)

.

scrivendo

  χ ψ= , ϕ

(5.14)

si ha

     χ χ ~σ · ~L + ~ 0 , = −~ κ ~ ϕ ϕ 0 −~σ · L − ~     ~σ · ~L + ~ χ = −~ κ χ ,    ~σ · ~L + ~ ϕ = ~ κ ϕ , 

~σ · ~L χ = −~ (1 + κ) χ , ~σ · ~L ϕ = −~ (1 − κ) ϕ .

(5.15)

2 Osserviamo ora che χ e ϕ, essendo autofunzioni di ~ J e di ~σ · ~L, sono anche autofunzioni di ~L2 . Infatti, gli operatori ~J 2 e ~L2 , quando operano su χ e ϕ, sono legati dalla relazione

2  1 ~J = ~L + ~ ~σ = ~L2 + ~ ~σ · ~L + 3 ~2 , 2 4 2

ossia

~L2 = ~J 2 − ~ ~σ · ~L − 3 ~2 , 4 I.51

(5.16)

Da questa relazione e dalle (5.15) si ricava

    ~J 2 − ~ ~σ · ~L − 3 ~2 χ = ~2 j (j + 1) + ~2 (1 + κ) − 3 ~2 χ 4 4   1 = ~2 j (j + 1) + κ + χ 4 ≡ ~2 `χ (`χ + 1) χ ,

~L2 χ =

(5.17)

    ~J 2 − ~ ~σ · ~L − 3 ~2 ϕ = ~2 j (j + 1) + ~2 (1 − κ) − 3 ~2 ϕ 4 4   1 = ~2 j (j + 1) − κ + ϕ 4 ≡ ~2 `ϕ (`ϕ + 1) ϕ .

~L2 ϕ =

Quindi le funzioni d'onda spinoriali a due componenti ssi

j

e

κ,

χ

e

ϕ

sono autofunzioni di

`: `χ 6= `ϕ . Questo spiega perchè lo spinore 2 autofunzione di ~ L . Dalle (5.17), (5.18) si trova

hanno due diversi valori di

componenti

ψ

non può essere

(5.18)

~L2

a quattro

  `χ (`χ + 1) = j (j + 1) + κ + 14 , Utilizzando la (5.12) si ha



(5.19)

1 4

`ϕ (`ϕ + 1) = j (j + 1) − κ + .

  1 κ=+ j+ 2 

1 κ=− j+ 2



=⇒



`χ = j + 21 , `ϕ = j − 12 ,

(5.20)

=⇒



`χ = j − 21 , `ϕ = j + 12 ,

(5.21)

Da questo risultato si vede in particolare che, a

5.3

ma, a

κ

sso,

χ

e

ϕ

hanno parità opposta.

Separazione delle variabili

Dalle proprietà viste nel paragrafo precedente segue che, per risolvere l'equazione di Dirac per stati stazionari nel caso di un potenziale centrale,

  cα ~ · ~p + β m c2 + V (r) ψ(x) = E ψ(x) ,

(5.22)

conviene innanzi tutto farne una riduzione a spinori a due componenti, ossia scrivere

ψ(x) =



χ(x) ϕ(x)

I.52



,

(5.23)

per ottenere, con passaggi analoghi a quelli del paragrafo 4.5, in rappresentazione di Dirac

 È conveniente scrivere la

dove le funzioni

~ 2) S

Yjj`3


c ~σ · ~p ϕ(x) = E − V − m c2
χ(x) , c ~σ · ~p χ(x) = E − V + m c2 ϕ(x) .

χ(x)

e la

ϕ(x) mediante le seguenti ( j` χ = g(r) Yj3 χ , j` ϕ = i f (r) Yj3 ϕ ,

fattorizzazioni:

sono le funzioni ortonormali di angolo-spin (autofunzioni di

Yjj`3 =

X

m` ,ms

(5.24)

(5.25)

~J 2 , J 3 , ~L2 ,

h` m` s ms |j j3 i Y`,m` χs,ms .

(5.26)

Quando sostituiamo le (5.25) nelle (5.24) dobbiamo saper valutare il risultato dell'applicazione dell'operatore seguente:

~σ ·~p

~σ · ~p =

sugli spinori

χ

ϕ.

e

Riscriviamo allora quest'operatore nel modo

~σ ·~r (~σ ·~r) (~σ · ~p) , r2

∂ (~σ ·~r) (~σ · ~p) = ~r · ~p + i ~σ · (~r ×~p) = −i ~ r + i ~σ · ~L , ∂r   ~σ ·~r ∂ ~σ · ~p = 2 −i ~ r + i ~σ · ~L . r ∂r

(5.27)

Si ottiene quindi, per esempio,

    ∂ ~σ ·~r ∂ ~σ ·~r ~ −~ r + ~σ · L ϕ = i 2 −~ r − ~ (1 − κ) ϕ ~σ · ~p ϕ = i 2 r ∂r r ∂r   (1 − κ) ~σ ·~r j`ϕ df Yj3 + f . =~ r dr r

(5.28)

~σ ·~r (invariante per rotazione di 2 j`ϕ spazio, ma pseudoscalare per riessione spaziale) sulla funzione Yj (autofunzione di ~ J , J3 , 3 ~L2 con autovalori ~2 j(j + 1), ~j3 , ~2 `ϕ (`ϕ + 1)) dev'essere quello di generare un'autofunzione 2 2 2 j` Yjj`3 di ~J , J3 , ~L . Gli autovalori di quest'ultima per ~J e J3 sono gli stessi della Yj3 ϕ , mentre il valore di ` deve avere una parità opposta a quella di `ϕ , a causa del cambiamento di parità indotto dalla natura pseudoscalare di ~ σ ·~r. Deve quindi essere ` = `χ (per una dimostrazione Notiamo ora che il risultato dell'applicazione dell'operatore

analitica di questa proprietà, si veda l'Appendice F). Possiamo allora scrivere

~σ ·~r j`ϕ j` Yj3 = η1 Yj3 χ , r I.53

(5.29)

dove

η1

è un fattore di fase (dal momento che le funzioni

Analogamente, si deve avere

Yjj`3

sono normalizzate e


~ σ ·~r 2 r

~σ ·~r j`χ j` Yj3 = η2 Yj3 ϕ . r

= 1).

(5.30)

Per compatibilità tra le due equazioni (5.29) e (5.30), dev'essere η1 η2 = +1. Denendo j` j` Yj3 ϕ e Yj3 χ , che è arbitraria, possiamo scegliere η1 = η2 = −1. Abbiamo quindi

opportunamente la fase relativa tra le due funzioni

~σ ·~r j`ϕ j` Yj3 = −Yj3 χ . r

~σ ·~r j`χ j` Yj3 = −Yj3 ϕ , r

(5.31)

Sostituendo la prima di queste espressioni nella (5.28) otteniamo



~σ · ~p ϕ = −~



1−κ df + f dr r

~σ · ~p χ = i ~



 dg 1 + κ j` + g Yj3 ϕ . dr r

j`

Yj3 χ .

(5.32)

Analogamente si ha

(5.33)

Usando queste relazioni, le equazioni del moto (5.24) diventano

  
1 − κ df   + f = E − V − m c2 g ,  −~ c r   dr
dg 1 + κ   + g = E − V + m c2 f .  ~c dr r

(5.34)

Il problema è stato quindi ricondotto a quello del calcolo delle funzioni d'onda radiali

g(r), una volta che sia stata precisata la forma funzionale del potenziale V (r).

f (r)

e

Come si vede,

anche nel caso dell'equazione di Dirac, un potenziale centrale consente la separazione nella funzione d'onda tra dipendenza angolare (e di spin) e dipendenza radiale. Una importante dierenza con il caso dell'equazione di Schrödinger è che adesso abbiamo due equazioni dierenziali radiali accoppiate, anzichè una sola equazione. Normalmente conviene ridenire le due funzioni radiali come segue:

F (r) = r f (r) ,

G(r) = r g(r) ,

(5.35)

e quindi si ha

  
dF κ   − F = − E − V − m c2 G ,  ~c r   dr
κ dG   + G = E − V + m c2 F .  ~c dr r I.54

(5.36)

5.4

Soluzione delle equazioni radiali per un atomo idrogenoide

Utilizziamo ora il formalismo precedente per ricavare lo spettro energetico di un atomo idrogenoide. In questo caso il potenziale centrale è

V (r) = −

1 Z e2 . 4π r

(5.37)

Poniamo

m c2 + E , ~c

z1 =

z2 =

m c2 − E , ~c

(5.38)

Z e2 γ= ≡ Z α, 4π~c ed introduciamo la variabile adimensionale

ρ=

√

z1 z2 r .

(5.39)

2

Notiamo che

z1 z2 =

(m c2 ) − E 2 ≥ 0, (~ c)2

perchè consideriamo stati legati.

Le equazioni radiali (5.36) diventano

  r z κ γ dF 2   G, − F = −    dρ ρ z1 ρ Dalle equazioni (5.40), per

     

 r   z γ κ dG  1  + F. + G=  dρ ρ z2 ρ

ρ → ∞, si ha r z2 dF = G, dρ z1

=⇒

r   z1 dG   = F,  dρ z2

con soluzioni asintotiche (per

ρ → ∞)

m

e di

m0 .

  d2 G   = G,  dρ2 0

F (ρ) ∼ ρm e±ρ , per qualunque valore nito di

 2 dF    =F,   dρ2

G(ρ) ∼ ρm e±ρ ,

(5.40)

(5.41)

(5.42)

Per uno stato legato, occorre scegliere 0

F (ρ) ∼ ρm e−ρ ,

G(ρ) ∼ ρm e−ρ . I.55

(5.43)

Cerchiamo delle soluzioni nella forma

F (ρ) = ρs e−ρ

X

an ρn ,

G(ρ) = ρs e−ρ

n

X

bn ρn .

(5.44)

n

Sostituendo nelle equazioni (5.40) ed eguagliando i coecienti dei termini

ρs e−ρ ρn−1 ,

si

trovano le relazioni di ricorrenza

r

z2 bn−1 − γ bn , z1 r z1 an−1 + γ an . (s + n + κ) bn − bn−1 = z2 √ Moltiplicando la (5.45a) per z1 , la (5.45b) per z1 z2 e sottraendo membro a ottiene una relazione che coinvolge una sola coppia di coecienti (an e bn ): √ √ (z1 (s + n − κ) + z1 z2 γ) an − ( z1 z2 (s + n + κ) − z1 γ) bn = 0 . (s + n − κ) an − an−1 =

Per determinare

s

possiamo porre

n=0

(5.45a)

(5.45b)

membro, si

(5.46)

nelle (5.45), ossia

(s − κ) a0 = −γ b0 , (s + κ) b0 = γ a0 .

(5.47a) (5.47b)

da cui

s2 − κ2 = −γ 2

p s = ± κ2 − γ 2 .

=⇒

I due integrali

Z

Z

2

dρ |F (ρ)| ,

devono essere convergenti e quindi

s > −1/2.

(5.48)

dρ |G(ρ)|2

Questa condizione è incompatibile con il segno

negativo nella (5.48), tenendo conto che

κ2 − γ 2 ≥ 1 − (Z α)2 . Dobbiamo quindi scegliere

p s = + κ2 − γ 2 . (5.49) P P n n , a ρ Notiamo ora che le somme n n n bn ρ , se illimitate, forniscono, per grandi ρ, un 2ρ comportamento asintotico del tipo e . Infatti, per n → ∞, dalle equazioni (5.45) si ottiene r z2 n an − an−1 = (5.50a) bn−1 − γ bn , z1 r z1 an−1 + γ an , n bn − bn−1 = (5.50b) z2 I.56

e dalla (5.46)

bn = Dalle equazioni (5.50) si ricava, per

r

z1 an . z2

(5.50c)

n → ∞, an 2 = , an−1 n

(5.51)

e quindi

X n

an ρn ∼ e2ρ

(ρ → ∞) .

(5.52)

bn ρn ∼ e2ρ

(ρ → ∞) .

(5.53)

Analogamente, si ottiene anche

X n

P

n n n an ρ , n bn ρ fossero illimitate, i comportamenti asintotici delle funzioni s ρ s ρ a grandi ρ sarebbero F (ρ) ∼ ρ e , G(ρ) ∼ ρ e e quindi non accettabili per

Se le somme

F (ρ), G(ρ)

P

stati legati. Ne segue che le due somme (5.44) si devono troncare a una certa potenza di Supponiamo che il primo coeciente nullo della prima serie sia

an0 6= 0 , Scriviamo le equazioni (5.45) ponendo

− an0 =

r

ρ.

an0 +1 :

an0 +1 = 0 .

n = n0 + 1:

z2 bn0 − γ bn0 +1 , z1

(5.54a)

0

(s + n + 1 + κ) bn0 +1 − bn0 = Perchè queste equazioni siano compatibili, occorre che

r

z1 an0 . z2

bn0 +1 = 0

(5.54b)

e quindi le due serie si

troncano allo stesso ordine, con la relazione

r z2 bn0 . an0 = − z1 Sostituendo questa espressione nella (5.46), scritta per

2 Dalla denizione di

z1

e

z2

√

(5.55)

n = n0 ,

z1 z2 (s + n0 ) = (z1 − z2 ) γ .

ed eliminando

bn0 ,

si ha (5.56)

si ottiene

q 1 z1 z2 = (m c2 )2 − E , ~c 2E z1 − z2 = , ~c √

I.57

(5.57a) (5.57b)

notazione

n0

j

κ

`

n

0

1/2

−1

0

1

1S1/2

0

3/2

−2

1

2

2P3/2

0

5/2

−3

2

3

3D5/2

1

1/2

−1

0

2

2S1/2

1

1/2

+1

1

2

2P1/2

1

3/2

−2

1

3

3P3/2

1

3/2

+2

2

3

3D3/2

2

1/2

−1

0

3

3S1/2

2

1/2

+1

1

3

3P1/2

spettroscopica

)

)

)

degeneri

degeneri

degeneri

Tabella 5.1: Livelli di energia.

e quindi, sostituendo nella (5.56), si ha

 E 1+ 2

γ2 (s + n0 )2



= m c2

ossia

E=s I valori di

E

m c2 1+



n0 +

q

(j+ 21 )

2

degenerazione di ordine 2 dovuta ai due segni di

`χ : κ = + (j + 1/2)

=⇒

,

.

(Z α)2

dipendono solo dai numeri quantici

diversi valori di


2

−(Z α)2

(5.58)

2

n0 e |κ| = j + 1/2; si ha quindi κ = ± (j + 1/2), che comportano

una due

`χ = j + 1/2 , (5.59)

κ = − (j + 1/2) Notare che, se

n0 = 0

si ha solo

κ < 0;

=⇒

`χ = j − 1/2 .

infatti, dalla (5.47b) e dalla (5.55), per

n0 = 0

si

ha

Essendo

s > 0,

 (s + κ)r b0 = γ a0 ,  z2 a0 = − b0 ,  z1

deve essere

=⇒

κ < 0.

I.58

r z2 s+κ=− γ. z1

(5.60)

I livelli vengono abitualmente contraddistinti dalla notazione spettroscopica che fa uso dei numeri quantici

n, `χ , j ,

dove

n

(numero quantico principale) è denito come

  1 n = n + |κ| = n + j + . 2 0

0

(5.61)

I livelli di energia più bassa sono elencati nella Tabella 5.1 (con 2 Sviluppando la (5.58) in serie nel parametro α si trova

` = `χ ).





  
 1 (Z α)2 1 (Z α)4 1 3  6  E = m c 1 − − +O α −  . n2 } 2 n3 j + 1/2 4 n   |2 {z {z } | 2

Balmer

(5.62)

termine di struttura ne

Lo schema dei livelli energetici più bassi dell'atomo di idrogeno è illustrato in Fig.5.1. Lo 2 spettro completo è comunque connato nella banda energetica 0 ≤ E ≤ mc di Fig.5.2.

I Struttura ne Il termine di ordine

α4

struttura ne: a parità di

nell'espressione (5.62) rappresenta la cosiddetta separazione di

n,

sono più bassi nella scala energetica gli stati con

j

minore.

Questo termine rimuove in parte la degenerazione dello spettro non-relativistico per gli atomi idrogenoidi. L'entità della separazione tra stati con uguale

1 ∆E = m c 2 1 = m c2 2 2

n

e diverso

j,

per

Z = 1,

è data da

  α4 1 1 − n3 jmin + 1/2 jmax + 1/2 α4 jmax − jmin . 3 n (jmin + 1/2) (jmax + 1/2)

(5.63)

Per esempio







α4 ∆E(2P ) ≡ E 2P3/2 − E 2P1/2 = 5 m c2 2 = 8.87 × 10−11 m c2 = 4.53 × 10−5 eV , ν(2P ) =

∆E 1 ∆E = = 11 GHz . 2π ~ 2 π × 6.58 × 10−22 MeV sec

(5.64a)

(5.64b)

I Struttura iperne Nella trattazione degli atomi idrogenoidi precedentemente adottata, l'interazione tra il nucleo e l'elettrone è stata semplicemente descritta mediante il potenziale coulombiano 2 V = − Ze . È stata in particolare trascurata l'interazione magnetica tra il momento di 4πr dipolo magnetico del nucleo e quello dell'elettrone. Introduciamo ora questo termine di I.59

3D5/2 3P3/2 3D3/2 3S1/2 3P1/2

2P3/2 2S1/2

? 6 Lamb shift

6 ?

2P1/2

Struttura ne (11 GHz)

(1057 MHz)

Tripletto

1S1/2

6 ?

Struttura iperne (1420 MHz)

Singoletto

Figura 5.1: Livelli energetici più bassi dell'atomo di idrogeno.

I.60

E

6























2 −













+ mc

←

Livelli dell'atomo di idrogeno

0− − m c2 −A

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

Figura 5.2: Banda energetica dell'atomo di idrogeno.

accoppiamento nel caso dell'atomo di idrogeno. interazione è

Si può dimostrare che l'hamiltoniana di

2

2 H hf = − ~µe · ~µp |ψn (0)|2 , 3 dove

ψn (0)

è la funzione d'onda dell'elettrone nell'origine,

~µp

netico dell'elettrone (vedi la formula (4.50)) e

(5.65)

~µe

è il momento di dipolo mag-

è il momento di dipolo magnetico del

protone

~µp = (1 + ap ) mp

|e| ~ ~σp . 2 mp c

(5.66)

ap = 1.79 è il momento anomalo di dipolo magnetico del protone nucleari; un magnetone nucleare µN è dato da

è la massa del protone e

in unità di magnetoni

µN ≡ Per la funzione d'onda

ψn

|ψn (0)|2 =

|e| ~ = 3.15 × 10−18 MeV gauss−1 . 2 mp c

(5.67)

possiamo utilizzare l'espressione non-relativistica, e quindi

1 , π a30 n3

dove

a0 =

1 ~ α mc

è il raggio di Bohr.

(5.68)

Perciò otteniamo

H hf =

1 m 2 (1 + ap ) 3 m c2 α4 ~σe · ~σp . 3 n mp

Tenendo conto che

~σe · ~σp = 2 Per



1 −3

tripletto, singoletto,

la dimostrazione di questa formula vedi Sakurai, pag.130. I.61

(5.69)

(5.70)

si ha

hf ∆En=1 (trip-sing)

= =

ν=

m 8 (1 + ap ) m c2 α 4 3 mp 5.88 × 10−6 eV ,

(5.71a)

∆E GHz 1 ∆E = = 1.42 GHz . −16 2π ~ 2 π × 6.58 × 10 eV sec 109 sec−1

Notare il fattore di riduzione

m/mp

(5.71b)

(parzialmente compensato da coecienti numerici)

rispetto al termine di struttura ne.

I Lamb shift La degenerazione prevista dalla teoria di Dirac tra gli stati di uguale verica in natura. L'eetto di eliminazione della degenerazione, detto

n

e uguale

j

non si

Lamb shift, può essere

calcolato accuratamente nell'ambito della elettrodinamica quantistica (vedi Parte Seconda).

I.62

Capitolo 6 Coniugazione di carica 6.1

Mare di Dirac

Un atomo in uno stato eccitato transisce allo stato fondamentale emettendo radiazione. In 2 presenza del continuo di stati ad energia negativa con valori compresi tra −mc e −∞, un 2 elettrone nello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno con energia mc − Eleg potrebbe transire indenitamente a stati di energia inferiore. Perciò, nel 1930 Dirac formulò la seguente ipotesi:

tutti gli stati ad energia negativa sono occupati,

per cui la stabilità dell'atomo è

garantita dal principio di Pauli. Il sistema sico costituito dall'occupazione completa di tutti gli stati di particella singola ad energia negativa viene chiamato

mare di Dirac.

Nella scala

di energia nora adottata, il mare di Dirac ha un'energia innita negativa. Possiamo però interpretare il mare di Dirac come

stato di vuoto

e ridenire la scala di energia, associando

a questo stato di vuoto il valore di zero. Consideriamo ora lo stato sico che si ottiene sottraendo dal mare di Dirac un elettrone di energia

−E (E > 0),

ossia creando una lacuna nel mare di Dirac, e calcoliamone l'energia.

Nella consueta scala di energia si ha

E = Evuoto − (−E) = Evuoto + E , dove

Evuoto

è l'energia associata al mare di Dirac.

(6.1)

La ridenizione della scala di ener-

gia equivale ad associare allo stato del mare di Dirac con una lacuna il valore di energia (osservata)

Eoss = E − Evuoto = E .

(6.2)

Procedendo in modo analogo per la carica, si ha

Q = Qvuoto − e = Qvuoto + |e| , Qoss = Q − Qvuoto = |e| .

(6.3) (6.4)

Quindi lo stato (ad innite particelle) costituito dal mare di Dirac con una lacuna di elettrone nel livello energetico

−E

può essere interpretato come stato di particella (denominata

positrone ) in un livello energetico E

e con carica I.63

−e = |e|.

La massa del positrone dev'essere

E2

×

6







































+ m c2

− m c2

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A m

− E1

Figura 6.1: Transizione di un elettrone da uno stato di energia negativa ad uno stato di energia positiva

uguale a quella dell'elettrone. Il positrone viene anche chiamato oppure sua

coniugata di carica.

antiparticella

dell'elettrone

Particelle con le proprietà del positrone vennero scoperte

nei raggi cosmici da Carl Anderson nel 1932. La rimozione di un elettrone da uno stato di energia negativa uno stato di energia positiva

E = E2 + E1

(vedi Fig.6.1).

E2

−E1

del mare di Dirac ad

può avvenire per esempio ad opera di un fotone di energia

Secondo quanto visto precedentemente possiamo descrivere questo processo dicendo che il

fotone ha creato una coppia elettrone-positrone con energie (positive) ossia schematicamente

γ → e− + e+ .

E2 , E1

rispettivamente,

(6.5)

La conservazione dell'energia-momento impedisce che questo processo, con le tre particelle tutte sul loro shell di massa, si realizzi nello spazio libero.

La creazione di coppie (6.5)

può però avvenire per esempio nel campo coulombiano di un nucleo; in questo caso uno dei due leptoni viene creato come particella virtuale (ossia fuori dallo shell di massa) e diviene elettrone sico a seguito dell'interazione con il campo coulombiano. È possibile anche avere il processo inverso del processo (6.5), ossia il processo di annichilazione

e− + e+ → γ → . . . ,

(6.6)

e− + e+ → 2 γ .

(6.7)

o anche

Queste reazioni vengono per esempio prodotte ai collisionatori elettrone-positrone e saranno illustrate nella Parte Seconda. I.64

e+

e−

Figura 6.2: Creazione di una coppia virtuale

e+ e− .

I Polarizzazione del vuoto Secondo quanto visto precedentemente un fotone è soggetto a processi del tipo descrit+ − to in Fig.6.2, nei quali una coppia e e , creata in modo virtuale dal fotone, si annichila rigenerando il fotone stesso.

Ciò implica che l'interazione protone-elettrone (mediata da + − fotoni) nell'atomo di idrogeno risenta della presenza delle coppie virtuali e e dovute ai − processi di Fig.6.2. È come se l'interazione pe anzichè avvenire nel vuoto, avesse luogo in un mezzo polarizzabile: la carica positiva del protone respinge i positroni virtuali ed attira gli elettroni virtuali (vedi Fig.6.3). Si genera quindi un eetto di parziale schermatura della

nuda )

carica vera (

del protone da parte degli elettroni virtuali.

L'elettrone dell'atomo di

idrogeno risente di questo eetto di schermatura della carica nuda del protone in maggiore o in minore misura a seconda dell'orbita quantistica su cui si trova: la carica elettrica del nucleo "vista" dall'elettrone è più grande a piccole distanze (orbite interne), che non a grandi distanze (orbite esterne), e gli stati

S

si abbassano per questo eetto. La polarizzazione del

vuoto induce per esempio una separazione

2P1/2 .

E(2P1/2 )E(2S1/2 ) = 27 MHz

tra i livelli

2S1/2

e

Quest'eetto, calcolato da Uehling nel 1935, elimina quindi la degenerazione tipica

dello spettro dell'atomo di idrogeno in teoria di Dirac. Tuttavia, come si vedrà in elettrodinamica quantistica, altri eetti oltre a quello della polarizzazione del vuoto contribuiscono (in maniera più rilevante e con segno opposto) al Lamb shift.

6.2

Coniugazione di carica

Secondo la teoria di Dirac, elettroni e positroni (che hanno massa uguale e carica elettrica opposta) devono soddisfare allo stesso tipo di equazione del moto. Per l'elettrone vale l'equazione

(i ∂/ − e A / − m) ψ(x) = 0 .

(6.8)

Quindi per il positrone deve valere l'equazione

c (i ∂/ + e A / − m) ψ (x) = 0 . Per determinare la funzione

ψ c (x)

prendiamo l'equazione aggiunta della (6.8),

−i ∂µ ψγ µ − e ψ A / −mψ = 0, I.65

(6.9)

6

+m

−m  −m +m −m  −m



+

+m

-

+m ?

Figura 6.3: Polarizzazione del vuoto

e trasponiamo,

Se introduciamo una matrice

e − ee e − mψ e = 0. −i γeµ ∂µ ψ γ µ Aµ ψ C

tale che

Ce γ µ C −1 = −γ µ ,

otteniamo

(6.10)

e (i ∂/ + e A / − m) C ψ(x) = 0 .

(6.11)

Confrontando questa equazione con la (6.9) deduciamo che il positrone è descritto dalla funzione d'onda

dove

ηc

è un fattore di fase (|ηc |

e ψ c (x) = ηc C ψ(x) ,

= 1)

(6.12)

costante che dipende dalla natura della particella.

Nella rappresentazione di Dirac si ha



0 σ2 C = iγ γ = i −σ 2 0 2

0



1 0 0 −1





0 σ2 = −i σ2 0



.

(6.13)

Esempio: un elettrone in uno stato con energia negativa e spin in su è descritto (nel sistema di riposo) dalla funzione d'onda

  0  0  ψ(x) = e+imt  1 . 0 I.66

(6.14)

Poichè

si ha

    0 0      e = γe0 ψ ∗ = 1 0 0 e−imt = e−imt  0   ψ −1 , 0 −1 1 0 0      0 0 0 0 0 −i       0 0 0 i 0 −imt 1   ψ c = −iηc e−imt  0 . 0 −i 0 0  −1 = −ηc e 0 0 i 0 0 0

Quindi, in questo caso,

ψc

descrive una particella (di carica

in giù.

|e|)

(6.15)

con energia positiva e spin

I Parità relativa particellaantiparticella Particella e antiparticella hanno parità intrinseche opposte. Infatti, nel sistema di riposo, si ha

•

per energie positive

(r) ψ+ (x) con

(1)

χ •

−imt

=e

 (r)  χ , 0

(6.16)

  0 ; = 1

(6.17)





(6.18)

(r)

P

  1 , = 0

(2)

χ

per energie negative

(r) ψ− (x)

+imt

=e

0 χ(r)

.

Per riessioni spaziali

P

ψ− → ψ0 = γ 0ψ

=⇒

(

(r)

ψ+ (x) − → +ψ+ (x) , P (r) (r) ψ− (x) − → −ψ− (x) .

(6.19)

Per la corrispondenza discussa precedentemente tra lacune in stati di energie negative ed antiparticelle in stati di energie positive discende che elettrone e positrone hanno parità intrinseche opposte. Le proprietà viste in questo capitolo indicano che una teoria quantistica ad una sola particella non può essere una teoria consistente, come indicato per esempio dagli eetti virtuali di creazione e di annichilazione di particelle. Il formalismo adeguato per trattare in modo sistematico i processi sici dell'elettrodinamica è quello della teoria dei campi, con l'introduzione di campi quantizzati che creano e distruggono particelle e antiparticelle. Questi aspetti saranno discussi nella Parte Seconda.

I.67

I.68

Capitolo 7 Funzioni di Green Funzione di Green per l'equazione di Dirac

7.1

L'equazione di Dirac in presenza di un campo elettromagnetico

(i ∂/ − m) ψ(x) = e A(x) / ψ(x)

(7.1)

può essere risolta mediante un metodo generale basato sull'uso della funzione di Green. Ossia la soluzione dell'equazione (7.1) può essere scritta come

ψ(x) = ψ0 (x) + dove la

ψ0 (x)

Z

0 d4 x0 K(x − x0 ) e A(x / ) ψ(x0 ) ,

(7.2)

è soluzione dell'equazione di Dirac libera e la funzione di Green

avente la struttura di una matrice

4 × 4,

è denita dall'equazione

K(x − x0 ),

(i ∂/ − m) K(x − x0 ) = δ 4 (x − x0 ) . Questa proprietà può essere immediatamente vericata applicando l'operatore membri della (7.2).

(7.3)

i ∂/ − m ai due

La (7.2) è un'equazione integrale, che può essere risolta mediante metodo iterativo:

ψ(x) = ψ0 (x) +

Z

Z

  Z 0 4 00 0 00 00 00 d x K(x − x )eA(x / ) ψ0 (x ) + d x K(x − x )eA(x / ) [ψ0 (x ) + . . . ] 4 0

0

0

0 / )ψ0 (x0 ) = ψ0 (x) + d4 x0 K(x − x0 )eA(x Z 0 00 + d4 x0 d4 x00 K(x − x0 )eA(x / )K(x0 − x00 )eA(x / )ψ0 (x00 ) + . . . .

(7.4)

Quest'espressione costituisce una utile formula risolutiva sotto forma di serie, una volta che 0 la funzione di Green K(x − x ) sia stata calcolata. I.69

Im p0

6

-

−E

r  CF

-

 r - -Re p0

+E

Figura 7.1: Il cammino di integrazione

CF

di Feynman.

I Rappresentazione integrale di K(x − x0 ) Determiniamo ora

K(x−x0 ) sostituendo la sua trasformata di Fourier quadri-dimensionale Z 1 0 0 d4 p K(p) e−ip·(x−x ) K(x − x ) = (7.5) 4 (2π)

nell'Eq.(7.3). Il primo membro dell'Eq.(7.3) diventa

1 (i ∂/ − m) K(x − x ) = (2π)4 0

Z

0

d4 p (p/ − m) K(p) e−ip·(x−x ) .

Il secondo membro dell'Eq.(7.3) si può scrivere come

1 δ (x − x ) = (2π)4 4

0

Z

0

d4 p e−ip·(x−x ) .

(7.6)

Uguagliando i due membri, si ha

(p/ − m) K(p) = 11 ,

(7.7)

e quindi

K(p) = in quanto

(p/ + m) (p/ − m) = p2 − m2 .

La funzione

K(p)

(7.8)

Si ottiene perciò

1 K(x − x ) = (2π)4 0

p/ + m , p2 − m2

Z

d4 p

p/ + m −ip·(x−x0 ) . e p2 − m2

(7.9)

ha due punti di singolarità che sono dati da

p20 −~p2 − m2 = 0 . I.70

(7.10)

Nella variabile

p0

i due poli semplici sono localizzati nei punti

q p0 = ± ~p2 + m2 ≡ ±E .

(7.11)

che si trovano nell'intervallo di integrazione della (7.9). Diamo ora una prescrizione sul modo di evitare queste singolarità. Rendiamo complessa la variabile analitiche dell'integrale della (7.9) nel piano complesso della

p0 p0

ed esaminiamo le proprietà (vedi Fig.7.1). Prescrivere

il modo di evitare le singolarità della funzione K(p) equivale a denire univocamente la 0 funzione K(x − x ) mediante delle condizioni al contorno. Per aggirare le singolarità polari abbiamo complessivamente quattro possibilità, perchè

le deformazioni del cammino di integrazione nei due poli possono essere verso il basso o verso l'alto. Noi scegliamo la prescrizione di Feynman, secondo la quale la deformazione del cammino avviene secondo quanto indicato in Fig.7.1. Indichiamo con

CF

il cammino così

denito. L'integrazione sulla variabile

p0 viene eseguita nel piano complesso, chiudendo il cammino

di integrazione all'innito e applicando il teorema di Cauchy:

Z

f (z) dz = 2 π i

C

dove i punti

z = an

X n

sono i poli (semplici) di


lim (z − an ) f (z) ,

(7.12)

z→an

f (z)

e l'integrale sulla curva

C

viene percorso

in senso antiorario. La convergenza dell'integrale di Eq.(7.9) dipende dal fattore 0

0

0

e−ip0 (x0 −x0 ) = e−i (x0 −x0 ) Re(p0 ) e(x0 −x0 ) Im(p0 )

(7.13)

e quindi occorrerà (vedi Fig.7.2): (A) per

x0 > x00 ,

chiudere il cammino di integrazione inferiormente;

(B) per

x0 < x00 ,

chiudere il cammino di integrazione superiormente.

Applicando il teorema di Cauchy alla funzione di Green

1 KF (x − x ) = (2π)4 0

Z

d4 p

CF

KF

(alla Feynman)

p/ + m −ip·(x−x0 ) e , p2 − m2

(7.14)

si ottiene

  Z p/ + m 1 3 −ip·(x−x0 ) d p lim (p0 − E) e KF (x − x ) = − 2πiθ(x0 − p0 →E (2π)4 (p0 − E) (p0 + E)   Z 1 p/ + m 0 3 −ip·(x−x0 ) + 2πiθ(x0 − x0 ) d p lim (p0 + E) e p0 →−E (2π)4 (p0 + E) (p0 − E) Z o d3 p n −ip·(x−x0 ) 0 ip·(x−x0 ) 0 p / + m) e − θ(x − x ) ( p / − m) e . θ(x − x ) ( = −i 0 0 0 0 p0 =E (2π)3 2E 0

x00 )

(7.15)

È ovvio che la prescrizione di Feynman può essere riformulata dicendo che, mantenendo il cammino di integrazione sulla variabile

p0

lungo l'asse reale, le posizioni delle singolarità

I.71

Im p0

Im p0

6

(A)

6

x0 > x00 r 

−E

-

 r - -Re p0

-

+E

r 

−E



I

I  - -Re p0 r

+E

(B)

x0 < x00 Figura 7.2: Chiusura del cammino di integrazione di Feynman.

polari vengono traslate di una quantità immaginaria innitesima di segno appropriato, ossia:

−E → −E + i, +E → +E − i.

Quindi la (7.14) può anche essere riscritta come

1 KF (x − x ) = (2π)4 0

con



Z

d4 p

p2

p/ + m 0 e−ip·(x−x ) , 2 − m + i

(7.16)

innitesimo, poichè

(p0 + E − i ) (p0 − E + i ) = p2 − m2 + i  .

(7.17)

Vedremo in seguito che nel contesto dell'elettrodinamica quantistica il corrispettivo della funzione di Green è il propagatore dell'elettrone.

7.2

Funzione di Green per l'equazione di Klein-Gordon

Schematizziamo ora le proprietà della funzione di Green (alla Feynman) per una particella scalare. Consideriamo l'equazione di Klein-Gordon in presenza di una corrente


 + m2 ϕ(x) = j(x) .

j(x): (7.18)

La soluzione può essere scritta come

ϕ(x) = ϕ0 (x) + avendo denito la funzione di Green

Z

d4 x0 G(x − x0 ) j(x0 ) ,

G(x − x0 )

(7.19)

mediante l'equazione


 + m2 G(x − x0 ) = δ 4 (x − x0 ) . I.72

(7.20)

Ponendo

1 G(x − x ) = (2π)4 0

Z

0

d4 p G(p) e−ip·(x−x ) ,

(7.21)

si ha

2

+m




1 G(x − x ) = (2π)4 0

Z


0 d4 p −p2 + m2 G(p) e−ip·(x−x ) .

Sostituendo nella (7.20) quest'espressione e la rappresentazione integrale (7.6) della

δ 4 (x−x0 ),

si ottiene

G(p) = −

1 . p2 − m2

(7.22)

In analogia a quanto si è visto precedentemente, deniamo la funzione di Green (alla Feynman) per l'equazione di Klein-Gordon come

1 GF (x) = − (2π)4

Z

d4 p

p2

1 e−ip·x , − m2 + i 

da cui troviamo anche una interessante relazione tra

1 (i ∂/ + m) GF (x) = − (2π)4

Z

d4 p

p2

I.73

GF (x)

e

(7.23)

KF (x):

p/ + m e−ip·x = −KF (x) . 2 − m + i

(7.24)

I.74

Appendice A Unità naturali In unità ordinarie le costanti

~

e

c

hanno le dimensioni

[~] = [E · t] ,   [c] = ` · t−1 .

(A.1)

~=c=1.

(A.3)

(A.2)

Le unità naturali sono denite dalla condizione

Questa condizione implica quindi che, in unità naturali, valgano le seguenti relazioni dimensionali:

    [E] = t−1 = `−1 .

(A.4)

Inoltre, dalla relazione relativistica energia-impulso, scritta in unità naturali,

E 2 = ~p2 + m2

(A.5)

[E] = [|~p|] = [m] .

(A.6)

si ricava che

Per la conversione numerica tra le diverse grandezze in unità naturali è utile usare la formula

~ c = 197 Mev · fm ,

(A.7)

197 Mev · fm = 1 .

(A.8)

che, in unità naturali, si riduce a

I.75

I.76

Appendice B Quadri-vettori  metrica Consideriamo uno spazio vettoriale a 4 dimensioni.

Gli elementi di questo spazio vettoµ = riale si chiamano quadri-vettori. Il quadri-vettore v ha componenti controvarianti v 0 1 2 3 0 1 2 3 (v , v , v , v ), dove v è la componente temporale e v , v , v sono le componenti spaziali1, le quali si trasformano come le componenti di un tri-vettore euclideo ~ v = (v 1 , v 2 , v 3 ) per rotazioni spaziali. Le componenti covarianti

vµ = (v0 , v1 , v2 , v3 )

del quadri-vettore

v

sono

legate alle componenti controvarianti dalla relazione

vµ = gµν v µ , dove

g

(B.1)

e' il tensore metrico, con componenti covarianti

gµν



gµν 

date da

1 0 0 0  0 −1 0 0   =  0 0 −1 0  . 0 0 0 −1

Perciò, le componenti covarianti e controvarianti del quadri-vettore

(B.2)

v

sono legate dalle

relazioni

v0 = v 0 , Le componenti controvarianti

(g µν )

vk = −v k

(k = 1, 2, 3) .

del tensore metrico sono date dalla relazione

g µρ gρν = gνµ , con

1 Per

(B.3)

 1  0 gνµ ≡  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  . 0 1

(B.4)

(B.5)

gli indici quadri-dimensionali, che vanno da 0 a 3, usiamo lettere greche µ, ν , ρ, . . . , mentre gli indici tri-dimensionali, che vanno da 1 a 3, usiamo lettere romane k, i, j , . . . . Usiamo anche la notazione secondo la quale quando un indice è ripetuto in uno stesso termine è implicita la somma sui suoi valori. Ad esempio uµ vµ = u0 v0 + u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .

I.77

Perciò

g µν = gµν

 1 0 0 0  0 −1 0 0   =  0 0 −1 0  . 0 0 0 −1 

Il prodotto scalare tra due quadri-vettori

u, v

è dato da

u · v = uµ v µ = uµ vµ = gµν uµ v ν = g µν uµ vν = u0 v 0 − ~u · ~v . I quadri-vettori si dividono in tre gruppi, a seconda del segno della loro norma

v2 > 0 v2 = 0 v2 < 0 Una trasformazione di Lorentz v in un quadri-vettore v 0

(B.6)

(B.7)

v2 ≡ v · v,

quadri-vettori di tipo tempo

(B.8a)

quadri-vettori di tipo luce

(B.8b)

quadri-vettori di tipo spazio

(B.8c)

L(Λ)

agisce sui quadri-vettori trasformando un quadri-

vettore

µ

v 0 = Λµν v ν ,

(B.9)

in modo da mantenere invariante la norma dei quadri-vettori:

2

v0 = v2 Ciò implica che le matrici

Λµν

gµν Λµα Λν β v α v β = gαβ v α v β .

⇐⇒

(B.10)

devono soddisfare alla relazione

gµν Λµα Λν β = gαβ .

(B.11)

La trasformazione inversa della (B.9) è

µ

v ν = Λµν v 0 , come si verica immediatamente utilizzando la (B.11).

I.78

(B.12)

Appendice C Tracce di prodotti di matrici γ Proprietà fondamentali: 1. La traccia del prodotto di un numero dispari di matrici

dove

γ

è nulla. Infatti



2 Tr(γ µ1 . . . γ µn ) = Tr γ 5 γ µ1 . . . γ µn = Tr γ 5 γ µ1 . . . γ µn γ 5 
 2 = (−1)n Tr γ 5 γ µ1 . . . γ µn = (−1)n Tr(γ µ1 . . . γ µn ) ,

γ 5 è stato prima permutato circolarmente e poi commutato con le γ µk .

(C.1)

In particolare,

si ha

2. Se il numero

n di matrici γ

Tr(γ µ ) = 0 ,
Tr γ µ γ 5 = 0 .

(C.2) (C.3)

è pari, il numero di fattori può essere progressivamente scalato

di 2 utilizzando le proprietà di anticommutazione. Per esempio,

1 Tr(γ µ γ ν ) = Tr(γ µ γ ν + γ ν γ µ ) = g µν Tr(11) = 4 g µν . 2

(C.4)

Tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = g µν Tr(γ ρ γ σ ) − g µρ Tr(γ ν γ σ ) + g µσ Tr(γ ν γ ρ ) = 4 (g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ ) .

(C.5)

Analogamente,

La formula generale per ridurre la traccia di un prodotto di somma di tracce di prodotti di

n−2

matrici

γ

n

matrici

γ,

con

n

pari, alla

è data da

Tr(γ µ1 γ µ2 γ µ3 · · · γ µn ) = g µ1 µ2 Tr[γ µ3 γ µ4 · · · γ µn ] − g µ1 µ3 Tr[γ µ2 γ µ4 · · · γ µn ] + · · · · · · + g µ1 µn Tr[γ µ2 γ µ3 · · · γ µn−1 ] .

(C.6)

Notare alcuni casi particolari:


Tr γ 5 = 0 ,
Tr γ µ γ ν γ 5 = 0 . I.79

(C.7) (C.8)

Infatti

(γ µ )2 ± 11




Tr (γ µ )2 γ 5 = −Tr γ µ γ 5 γ µ = −Tr (γ µ )2 γ 5

Tr(γ 5 ) = −Tr(γ 5 ) = 0. La (C.8) può essere vericata usando 5 denizione (1.40) della matrice γ :

Tr γ µ γ ν γ 5 = − i Tr γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3
i
i = − Tr γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 − Tr γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ µ 2 2


= − i g µ3 Tr γ ν γ 0 γ 1 γ 2
+ i g µ2 Tr γ ν γ 0 γ 1 γ 3
− i g µ1 Tr γ ν γ 0 γ 2 γ 3 + i g µ0 Tr γ ν γ 1 γ 2 γ 3 − i g µν Tr γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =0.

e da

γ

µ

segue che

Il prodotto di matrici γν γρ γσ γ5:

dove

µνρσ

γ

di ordine più basso contenente la

γ5

la

con traccia non nulla è


Tr γ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5 = 4 i µνρσ ,

(C.9)

0123 = +1. Infatti, la le permutazioni dispari degli indici µ, ν , ρ, σ e si ha

è il tensore di rango 4 completamente antisimmetrico con

traccia (C.9) è antisimmetrica per tutte inoltre



Tr γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 5 = i Tr γ 5 γ 5 = 4 i = 4 i 0123 .

In base alle proprietà precedenti si ritrova che tutte le matrici 1 eccetto la matrice identità Γ ≡ 11. Per i prodotti di un numero

n

pari di matrici

γ

Γa

hanno traccia nulla,

vale la proprietà

Tr(γ µ1 γ µ2 · · · γ µn−1 γ µn ) = Tr(γ µn γ µn−1 · · · γ µ2 γ µ1 ) .

(C.10)

γ l'identità nella forma C −1 C = 11, dove C è µ −1 la matrice di coniugazione di carica tale che Cγ C = −e γ µ , poichè n è pari si ha
Tr(γ µ1 γ µ2 · · · γ µn−1 γ µn ) = Tr C γ µ1 C −1 C γ µ2 C −1 · · · C −1 C γ µn−1C −1 C γ µn C −1  = (−1)n Tr(e γ µ1 e γ µ2 · · · e γ µn−1 e γ µn ) = Tr [γ µn γ µn−1 · · · γ µ2 γ µ1 ]T Infatti, inserendo tra tutte le coppie di matrici

= Tr(γ µn γ µn−1 · · · γ µ2 γ µ1 ) .

I.80

Appendice D Rappresentazioni delle matrici γ D.1

Proprietà generali

Le matrici

γ

sono denite dalla relazione di anticommutazione

{γ µ , γ ν } = 2 g µν 11 ,

(D.1)

γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ .

(D.2)

e dalla condizione

Una scelta specica delle matrici che soddisfano alla (D.1) viene chiamata

delle matrici γ .

rappresentazione

γ µ e γ 0 µ di dimensione 4×4, esiste una matrice S non-singolare −1 matrice inversa S ) che connette le due rappresentazioni tramite la

Date due rappresentazioni (cioè tale che esiste la

relazione di equivalenza

µ

γ 0 = S γ µ S −1 . Inoltre,

S

(D.3)

è denita univocamente a meno di una costante moltiplicativa arbitraria. Questo

è il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici

γ.

In questa Appendice considereremo le tre rappresentazioni maggiormente utilizzate: la rappresentazione di Dirac, quella di Majorana e quella chirale.

D.1.1 Rappresentazione di Dirac Questa rappresentazione viene anche chiamata

rappresentazione standard

ed è utile per

discutere il limite non-relativistico dell'equazione di Dirac.

γD0

γD5

=



=





,

γDk

0 −11 −11 0



k αD

11

0 0 −11

,

I.81

=



=



0 σk −σ k 0 0 σk σk 0





,

,

(D.4)

(D.5)

CD =

i γD2

γD0

=



2 −i αD

0k σD

0 σk =i k σ 0

γD0



γD5

=



0 −11 11 0

0 σ2 = −i σ2 0 ij σD

,





γDk

,

ijk

=

γD5





,

(D.6)

σk 0 0 σk



,

(D.7)

  k −σ 0 . = 0 σk

(D.8)

D.1.2 Rappresentazione di Majorana Questa rappresentazione rende reale l'equazione di Dirac scambiando tra loro matrice complessa nella rappresentazione di Dirac) e

βD .

2 αD

(l'unica

Infatti l'equazione di Dirac in

forma hamiltoniana può essere scritta come



 ∂ ~ + iβ m ψ = 0 , +α ~ ·∇ ∂t

da cui si vede che l'equazione di Dirac è reale se le

2 Le trasformazioni αD equivalenza

→ βM

e

βD →

αk

(D.9)

sono reali e

β

è immaginaria.

2 αM sono realizzate dalla trasformazione di

µ −1 γM = SM γDµ SM

(D.10)

con



1 1 1 2 = √ γD0 + γD0 γD2 = √ SM = √ βD + αD 2 2 2



11

σ2

σ2 −11



.

(D.11)

Utilizzando la (D.11) si verica esplicitamente che

† −1 SM = SM = SM .

(D.12)

e che

−1 2 βM = SM βD SM = αD , 2 2 −1 αM = SM αD SM = βD .

I.82

(D.13) (D.14)

In conclusione, nella rappresentazione di Majorana si ha

0 γM

2 γM

1 αM

3 αM



,

1 γM

0 −σ 2 σ2 0

=



=





,

3 γM

=



0 −σ 1 −σ 1 0



,

2 αM

=



0 −σ 3 −σ 3 0



,

5 γM

CM =

0 σ2 σ2 0

0 −i γM



0 σ2 = −i 2 σ 0



=



iσ 3 0 0 iσ 3

=



−iσ 1 0 0 −iσ 1

=



=





11

0 0 −11



−σ 2 0 0 σ2

,

(D.15)



,

(D.16)

,



(D.17)

,

(D.18)

.

(D.19)

D.1.3 Rappresentazione chirale Questa rappresentazione è utile per studiare le proprietà di chiralità (γ

5

è diagonale) e per

risolvere l'equazione di Dirac per particelle di massa nulla (quali potrebbero essere i neutrini). 5 0 La rappresentazione chirale si ottiene dalla rappresentazione di Dirac in modo che γC = γD 0 5 e γC = −γD . La trasformazione di equivalenza dalla rappresentazione di Dirac a quella chirale è data

da

γCµ = SC γDµ SC−1 , con


1 1 SC = √ 11 + γD0 γD5 = √ 2 2

Notare che

SC† Le matrici

γk

= SeC =

SC−1

(D.20)



11 −11 11 11



 
1 1 11 11 0 5 . = √ 11 − γD γD = √ 2 2 −11 11

(D.21)

(D.22)

nella rappresentazione chirale sono uguali alle corrispondenti matrici nella

rappresentazione di Dirac:

γCk = SC γDk SC−1 = γDk .

(D.23)

La matrice di coniugazione di carica è data da

CC = SC CD SeC =

  2 iσ 0 . 0 −iσ 2

I.83

(D.24)

In conclusione, nella rappresentazione chirale si ha

γC0

γC5

=





=



0 0 −11

0 11 11 0 11





0 σk −σ k 0



,

γCk

=

,

(D.25)



,

k αC

  k −σ 0 , = 0 σk

(D.26)



ΣkC

σ2 0 CC = i 0 −σ 2

,

I.84

=



σk 0 0 σk



.

(D.27)

Appendice E Trasformazioni di forme bilineari per inversione temporale Per inversione temporale si ha

h iT e e e Be−1 Γa Be ψ(x) e Be−1 Γa Be ψ(x) ψ 0 (x0 ) Γa ψ 0 (x0 ) = ψ(x) = ψ(x) Per ottenere le matrici queste ricavabili:

(E.1)

ea B−1 ψ(x) . = ψ(x) B Γ

ea B−1 BΓ

basta tenere conto delle proprietà (1.124) e delle relazioni da

Be γ 5 B−1 = −γ 5 , 
−1 +γ 0 γ 5 5 µ µ −1 5 B γe γe B = B γe B γ = −γ k γ 5  +σ µν per µ = 0, ν6=0 Bσ eµν B−1 = −σ µν per µ6=0, ν6=0 .

(E.2) per per

µ=0, , µ=k.

(E.3)

µ6=0, ν = 0 ,

oppure

.

(E.4)

Si ha quindi 1.

Γa = 11. ψ 0 (x0 ) ψ 0 (x0 ) = ψ(x) B B−1 ψ(x) = ψ(x) ψ(x) .

2.

Γa = γ µ . 0

3.

(E.5)

µ

0

0

µ

ψ 0 (x ) γ ψ (x ) = ψ(x) B e γ B

−1

ψ(x) =



+ ψ(x) γ 0 ψ(x) − ψ(x) γ k ψ(x)

per per

µ=0, µ=k.

(E.6)

Γa = σ µν .

ψ 0 (x0 ) σ µν ψ 0 (x0 ) = ψ(x) B σ eµν B−1 ψ(x)  +ψ(x) σ µν ψ(x) = −ψ(x) σ µν ψ(x)

per per

I.85

µ = 0, ν6=0 µ6=0, ν6=0 .

oppure

µ6=0, ν = 0 ,

(E.7)

4.

Γa = γ µ γ 5 . ψ 0 (x0 ) γ µ

5.

Γa = γ 5 .

5

0

0

5

µ

γ ψ (x ) = ψ(x) B γe γe B

−1

ψ(x) =



+ψ(x) γ 0 γ 5 ψ(x) −ψ(x) γ k γ 5 ψ(x)

per per

ψ 0 (x0 ) γ 5 ψ 0 (x0 ) = ψ(x) B e γ 5 B−1 ψ(x) = −ψ(x) γ 5 ψ(x) .

I.86

µ=0, µ=k.

(E.8)

(E.9)

Appendice F Dimostrazione della proprietà
~L2 (~σ · ~p) ϕ = `χ `χ + 1 (~σ · ~p) ϕ

Consideriamo gli spinori a due componenti χ e ϕ deniti nell'eq.(5.23), i quali sono auto2 funzioni di ~ L con rispettivi autovalori ~2 `χ (`χ + 1) e ~2 `ϕ (`ϕ + 1) (si vedano le eq.(5.17), 2 σ · ~p ϕ è un autofunzione di ~L con autoval(5.18)). In questa appendice dimostriamo che ~ 2 2 ore ~ `χ (`χ + 1). Analogamente, si può dimostrare che ~ σ · ~p χ è un autofunzione di ~L con 2 autovalore ~ `ϕ (`ϕ + 1). 2 L sulla funzione ~σ · ~p ϕ è data da L'azione dell'operatore ~

h i ~L2 (~σ · ~p) ϕ = (~σ · ~p) ~L2 ϕ + ~L2 , ~σ · ~p ϕ h 2 i = ~2 `ϕ (`ϕ + 1) (~σ · ~p) ϕ + ~L , ~σ · ~p ϕ .

k k j Calcoliamo il commutatore nella (F.1) utilizzando l'identità [L L , p ] X 2[Lk , pj ]Lk e il commutatore [Lk , pj ] = km` [r m , pj ]p` = i~ kj` p` :

(F.1)

= [Lk , [Lk , pj ]] +

`

h 2 i X      ~L , ~σ · ~p = σ j Lk , Lk , pj + 2 Lk , pj Lk k,j

=

X k,j

 σ j −~2 kj` k`m pm + 2 i ~ kj` p` Lk

(F.2)

  = 2 ~2 ~σ · ~p + 2 ~ (~σ · ~p) ~σ · ~L .

L'ultima eguaglianza discende dalle proprietà

X

k`j k`m = 2 δ jm ,

(F.3)

k,`

i

X j

σ j jk` = δ k` − σ k σ ` , I.87

(F.4)

~p · ~L = 0. Poichè ϕ è

e da

un'autofunzione dell'operatore

l'eq.(5.15)), dalla (F.2) si ha

~σ · ~L

con autovalore

h 2 i ~L , ~σ · ~p ϕ = 2 ~2 κ (~σ · ~p) ϕ . Inne, utilizzando la relazione

`ϕ (`ϕ + 1) + 2κ = `χ (`χ + 1)

−~(1 − κ)

(si veda

(F.5)

(si veda l'eq.(5.19)), dalle (F.1)

e (F.5) si ottiene

~L2 (~σ · ~p) ϕ = `χ (`χ + 1) (~σ · ~p) ϕ .

I.88

(F.6)

Parte II

Elementi di Elettrodinamica Quantistica

A. Bottino

e

II.1

C. Giunti

Capitolo 1 Quantizzazione del campo elettromagnetico 1.1

Introduzione

Il carattere dualistico del campo elettromagnetico, come campo di radiazione e come insieme dei suoi quanti (fotoni), induce ad introdurre le quantizzazione del campo stesso. Dal momento che il campo elettromagnetico può essere pensato come un insieme di inniti oscillatori armonici, il metodo più diretto per il processo di quantizzazione consiste nel quantizzare questi oscillatori armonici secondo le regole usuali di quantizzazione della meccanica quantistica (quantizzazione canonica). In tal modo il campo elettromagnetico quantizzato risulta espresso in termini di operatori di creazione e di annichilazione di fotoni, riferiti ai singoli modi normali del campo. Questo formalismo si rivela di grande interesse, perchè permette di trattare in modo adeguato processi sici con assorbimento o emissione di fotoni. Nella sica delle particelle la descrizione adottata per il campo elettromagnetico e i suoi quanti viene estesa anche ad altri campi, con i loro corrispettivi quanti. Questo è il caso di elettroni-positroni che trovano la loro adeguata descrizione in un campo quantizzato

ψ(x),

in sostituzione della precedente funzione d'onda spinoriale di Dirac (di particella singola). In questo capitolo presentiamo la quantizzazione del campo elettromagnetico e nel capitolo 2 estendiamo il metodo di quantizzazione ad un generico campo bosonico. Nel capitolo 3 discutiamo la quantizzazione del campo di Dirac. La trattazione è necessariamente molto succinta ed intesa solo a fornire gli elementi indispensabili per la trattazione dell'elettrodinamica 1

quantistica (QED), svolta nel capitolo 4 e in quelli successivi .

1.2

Scelte di gauge particolari

Abbiamo visto al capitolo 4 della Parte prima che, dato un campo elettromagnetico descritto mediante il tensore 1 Per

Fµν , il corrispondente

quadri-potenziale

Aµ

è denito solo a meno di una

una trattazione estesa della teoria dei campi si veda, per esempio, V. de Alfaro, CLU Torino.

teoria dei campi,

II.3

Introduzione alla

trasformazione di gauge

Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ ϕ(x) .

(1.1)

Vi è quindi la possibilità di ridenire Aµ (x) tramite la (1.1) in modo che il nuovo quadri0 potenziale Aµ (x) soddis ad opportune condizioni semplicative per i problemi in esame. La ridenizione di Aµ (x) costituisce la scelta di un particolare . Esaminiamo due scelte di

gauge

gauge particolarmente interessanti.

I Gauge di Lorentz Il gauge di Lorentz è denito come il gauge in cui il quadri-potenziale

Aµ (x) soddisfa alla

condizione

∂µ Aµ = 0 .

(1.2)

Esiste sempre la possibilità di ridenire il campo Aµ , mediante una opportuna trasformazione 0 di gauge, in modo che il suo trasformato Aµ (x) = Aµ (x) + ∂µ ϕ(x) soddis alla condizione di µ 0 Lorentz ∂µ A (x) = 0. Infatti, basta scegliere una funzione ϕ(x) tale che

ϕ(x) = −∂µ Aµ (x) . A0 µ (x) non ϕ(x) = 0.

Il campo tali che

(1.3)

è univocamente denito: lo è solo a meno di trasformazioni di gauge

I Gauge di Coulomb È possibile scegliere un gauge (di Coulomb) tale che sia soddisfatta la

trasversalità

~ ·A ~ = 0. ∇ Nel caso libero (j

µ

= 0),

condizione di (1.4)

mediante una opportuna scelta di gauge, è possibile imporre

simultaneamente



~ · A(x) ~ ∇ = 0, A0 (x) = 0 .

(1.5)

~ ~ 0 (x) = A(x) ~ ~ A(x) →A − ∇ϕ(x) , 0 A0 (x) → A0 (x) = A0 (x) + ∂0 ϕ(x)

(1.6)

Infatti, nella trasformazione di gauge

 la funzione

ϕ(x)

può essere scelta in modo che



~ · A(x) ~ ∆ϕ(x) = ∇ ∂0 ϕ(x) = −A0 (x)

=⇒ =⇒ II.4

~ ·A ~ 0 (x) = 0 , ∇ 0 A0 (x) = 0 .

(1.7)

Le due equazioni sono compatibili, perchè

~ ·A ~ 0 (x) ∇

non dipende dal tempo, come si può

vedere considerando l'equazione del moto (vedi l'eq.(4.8) della Parte prima, pag.I.40)

jµ = 0

con

per

Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) = j µ

(1.8)

  ~ ·A ~0 = 0 . A00 − ∂0 ∂0 A00 + ∇

(1.9)

µ = 0:

Tenendo conto che

A00 = 0,

si ottiene

Notiamo che se si impone

  ~ ·A ~ 0 = 0, ∂0 ∇

A0 = 0,

per cui

~ ·A ~0 ∇

non dipende dal tempo.

la condizione di Lorentz è equivalente alla condizione

di Coulomb. Esaminiamo alcune proprietà del campo elettromagnetico nel gauge di Coulomb (1.4). µ Nel caso libero (j = 0) con A0 = 0, si ha

~ =∇ ~ ×A ~, B ~ ~ = − ∂A , E ∂t e l'equazione di campo del potenziale vettore

~ A

(1.10a) (1.10b)

si riduce a

~ = 0. A

(1.11)

In questo capitolo il campo elettromagnetico viene analizzato nel caso libero e nel gauge di Coulomb con

1.3

Sviluppo in serie di Fourier

Sviluppiamo lato

L

A0 = 0.

~ A

e volume

in serie di Fourier al tempo

V,

tenendo conto che

~ A

t = 0,

con una normalizzazione in un cubo di

deve essere reale:

X X  ~ ~ ~ ~x) = √1 c~k,α (0)~ε(α) (~k) eik·~x +c~∗k,α (0)~ε(α) (~k) e−ik·~x , A(0, | {z } | {z } V ~ α=1,2 ∗ k

~ u~k,α (~ x)

u ~~

k,α

(1.12)

(~ x)

(~k) e ~ε(2) (~k) sono i vettori di polarizzazione, unitari e reali, le cui direzioni dipendono k . Data la condizione di trasversalità, ~ε(α) (~k) è ortogonale a ~k . Scegliamo dalla direzione di ~ (1) ~ (2) ~ ~ε (k) e ~ε (k) in modo che (vedi la Fig.1.1) dove ~ ε

(1)

0 ~ε(α) (~k) ·~ε(α ) (~k) = δαα0 , ~ε(α) (~k) · ~k = 0 .

Le componenti di Fourier

~u~k,α (~x) soddisfano alle condizioni di ortonormalità Z 1 d3 x ~u~k,α (~x) · ~u∗k~0 ,α0 (~x) = δαα0 δ~k,k~0 V II.5

(1.13) (1.14)

(1.15)

~ε(1)

6

-

~ε

(2)

~k



Figura 1.1: Scelta dei vettori di polarizzazione ~ 

(1)

(~k) e ~(2) (~k).

e alle condizioni di periodicità

L ~k = 2 π (n1 , n2 , n3 ) , L'evoluzione temporale di

con

ni = ±1, ±2, . . .

(1.16)

~ viene ottenuta sostituendo ai coecienti c~ (0) i coecienti A k,α c~k,α (t) = c~k,α (0) e−i ω t ,

(1.17)

c¨~k,α + ω 2 c~k,α = 0 ,

(1.18)

che soddisfano all'equazione

dove

ω=

2π = |~k|c . T

(1.19)

Quindi

o XX n ~ ~x) = √1 c~k,α (0)~ε(α) (~k) e−ik·x + c~∗k,α (0)~ε(α) (~k) eik·x , A(t, V ~ α=1,2

(1.20)

k

con

k0 = ω.

I Hamiltoniana  Oscillatori di radiazione Sostituendo nell'hamiltoniana del campo elettromagnetico

1 H= 2

Z

  ~ 2 + |B| ~ 2 d3 x |E|

(1.21)

le espressioni (1.10) e (1.20), si ottiene

H=

X X ~k

α=1,2

2

 ω 2 c

II.6

c~∗k,α (t) c~k,α (t) .

(1.22)

Questa è l'hamiltoniana di un insieme di oscillatori armonici indipendenti.

Infatti, se

sostituiamo nella (1.22)

troviamo

    c  1 ∗   c~k,α = ω q~ + i p~k,α , c~ + c~k,α , q~k,α = 2ω  k,α  c ωk,α   =⇒ c  c~∗ = ω q − i p c~k,α − c~∗k,α ,  p~k,α = −i ~k,α ~k,α , k,α 2ω c H=

X X ~k

α=1,2

2

(1.23)

 ω 2  c 2    ω q~k,α − i p~k,α ω q~k,α + i p~k,α c 2ω

(1.24)

X X 1 1 2 p~2k,α + ω 2 q~k,α = 2 2 α=1,2 ~k

Questa hamiltoniana descrive un insieme innito di oscillatori armonici indipendenti;

p~k,α

q~k,α

e

sono variabili coniugate nel formalismo hamiltoniano. Quindi, il campo di radiazione ha

le proprietà di un insieme di oscillatori armonici le cui variabili dinamiche sono combinazioni lineari ortogonali dei coecienti di Fourier.

1.4

Quantizzazione del campo di radiazione

La quantizzazione del campo di radiazione può ora essere introdotta facendo corrispondere alle variabili dinamiche canonicamente coniugate degli operatori che soddisfano alle regole canoniche di commutazione

[q~k,α , qk~0 ,α0 ] = 0 ,

(1.25a)

[p~k,α , pk~0,α0 ] = 0 ,

(1.25b)

[q~k,α , pk~0 ,α0 ] = i ~ δαα0 δ~k,k~0 .

(1.25c)

Di conseguenza, anche i coecienti di Fourier diventano operatori; li scriviamo in termini † degli operatori adimensionali a~k,α , a~ : k,α

c~k,α = c

r

~ a~ , 2ω k,α

c~†k,α

=c

r

~ † a . 2ω ~k,α

(1.26)

Dalle (1.23) si ottiene

I commutatori di

a~k,α

e

 1   a~k,α = √ 2~ω 1 †   a~ = √ k,α 2~ω

a~†k,α

  ω q~k,α + i p~k,α ,   ω q~k,α − i p~k,α .

(1.27)

seguono dalle regole di commutazione (1.25):

n o 1 √ −iω[q~k,α , pk~0 ,α0 ] + iω[p~k,α , qk~0 ,α0 ] = δαα0 δ~k,~k0 , 2~ ωω 0 [a~k,α , ak~0 ,α0 ] = [a~†k,α , a†k~0 ,α0 ] = 0 . [a~k,α , a†k~0 ,α0 ] =

II.7

(1.28a) (1.28b)

Notare che tutti questi operatori sono

a tempi uguali.

Sostituendo le (1.26) nella (1.20) si trova

X X ~ ~x) = √1 A(t, c V ~ α=1,2 k

~ A

Ora

è un

operatore di campo

r o

o ~ n † (α) ~ (α) ~ ik·x −ik·x . a~ ~ε (k) e + a~k,α ~ε (k) e 2ω k,α

campo quantizzato

(hermitiano). Anche i campi

(1.29)

~ E

e

~ B

risultano quantizzati. Tenuto conto delle (1.10) e (1.29) si trova

r

o ~ω n † (α) ~ (α) ~ −ik·x ik·x a~k,α ~ε (k) e − a~k,α ~ε (k) e , 2 k r o XX i ~ ~ n ~ ~x) = − √ B(t, c k × a~k,α ~ε(α) (~k) e−ik·x − a~†k,α ~ε(α) (~k) eik·x . 2ω V α=1,2 X X ~ ~x) = √i c E(t, V ~ α=1,2

(1.30a)

(1.30b)

~k

1.5

Spazio di Fock e operatori connessi

Se calcoliamo ora l'operatore hamiltoniano (1.21), utilizzando la (1.30), troviamo

  1X X ~ ω a~†k,α a~k,α + a~k,α a~†k,α 2 ~k α=1,2   X X 1 † . = ~ ω a~k,α a~k,α + 2 α=1,2

H=

(1.31)

~k

La struttura di questa formula porta a interpretare l'operatore

mero di occupazione,

a~†k,α a~k,α

come operatore

ossia come quell'operatore i cui autovalori danno il numero di fotoni

nello stato di impulso

numero di occupazione

~k e polarizzazione α. N~k,α come

Deniamo quindi l'operatore hamiltoniano

N~k,α ≡ a~†k,α a~k,α . Denotiamo lo stato in cui vi sono

(~k 2 , α2 ),

nu-

n~k1 ,α1

fotoni nello stato

(1.32)

(~k 1 , α1 ), n~k2 ,α2

fotoni nello stato

etc., con il vettore di stato

|n~k1 ,α1 , n~k2 ,α2 , . . . , n~ki ,αi , . . . i . Questo stato è un autostato dell'operatore

N~ki ,αi

con autovalore

(1.33)

n~ki ,αi :

N~ki ,αi |n~k1 ,α1 , n~k2 ,α2 , . . . , n~ki ,αi , . . . i = n~ki ,αi |n~k1 ,α1 , n~k2 ,α2 , . . . , n~ki ,αi , . . . i . Lo spazio sotteso dai vettori di stato (1.33) è detto II.8

spazio di Fock.

(1.34)

I Proprietà di a~k,α , a~†k,α , N~k,α Dai commutatori (1.28) discendono le seguenti relazioni:

Quindi, per ogni stato

(~k, α)

[a~k,α , Nk~0 ,α0 ] = δαα0 δ~k,~k0 a~k,α ,

(1.35a)

[a~†k,α , Nk~0 ,α0 ] = − δαα0 δ~k,~k0 a~†k,α .

(1.35b)

si ha (omettiamo, per semplicità, gli indici

~k, α)


N a† |ni = a† N + a† |ni = (n + 1) a† |ni , N a|ni = (a N − a) |ni = (n − 1) a|ni . Perciò gli

a (a† )

(1.36a) (1.36b)

sono operatori che diminuiscono (aumentano) il numero di occupazione di

una unità:

a a†

⇐⇒

⇐⇒

operatore di distruzione ,

(1.37a)

operatore di creazione .

(1.37b)

Perciò

a† |ni = c+ |n + 1i , a|ni = c− |n − 1i , dove uno:

(1.38a) (1.38b)

c+ e c− sono dei coecienti di normalizzazione (i vettori di stato sono normalizzati a hn |ni = 1). Moltiplicando le (1.38) a sinistra per le loro complesse coniugate si ottiene † |c+ |2 = hn|a a† |ni = hn| a − a† a} + |{z} a† a |ni = n + 1 , | a {z

|c− |2 = hn| |{z} a† a |ni = n .

(1.39a)

N

[a,a† ]=1

(1.39b)

N

Scegliendo opportunamente le fasi arbitrarie di

c+

e

c−

si ha

√

a† |ni = n + 1|n + 1i , √ a|ni = n|n − 1i .

(1.40a) (1.40b)

I Costruzione dei vettori di stato Lo stato di vuoto

|0i

è lo stato in cui tutti gli stati

a~k,α |0i = 0

per qualsiasi

(~k, α)

sono vuoti. Quindi

(~k, α) .

(1.41)

Tutti gli stati possono essere generati mediante l'applicazione degli operatori di creazione † a~k,α sullo stato di vuoto. Ad esempio, gli stati ad un fotone sono dati da

|1~k,α i = a~†k,α |0i , II.9

(1.42)

e gli stati a due fotoni sono dati da

|1~k,α , 1k~0 ,α0 i = a~†k,α a†k~0 ,α0 |0i .

(1.43)

In particolare, si vede che, in virtù dei commutatori (1.28b), gli stati a due particelle sono simmetrici nello scambio (~ k, α)  (k~0 , α0 ) e quindi la statistica è automaticamente quella relativa ai bosoni (statistica di Bose-Einstein). Il presente formalismo si può quindi applicare, oltre che ai fotoni, alle altre particelle di spin intero. Si vedrà successivamente come debba essere modicato il formalismo nel caso dei fermioni.

1.6

Massa e spin dei fotoni

I Operatore hamiltoniano Torniamo ora all'operatore

H

(1.31), che adesso scriviamo

H=

~k

Il termine

1X X ~ω 2 α=1,2

  1 . ~ ω N~k,α + 2 α=1,2

XX

(1.44)

rappresenta l'energia del vuoto (innita):

~k

H|0i =

1X X ~ ω|0i . 2 α=1,2

(1.45)

~k

Possiamo denire la scala dell'energia in modo che l'energia del vuoto sia nulla:

H=

X X ~k

~ ω N~k,α

H |0i = 0 .

=⇒

α=1,2

(1.46)

I Operatore impulso In elettrodinamica classica l'impulso totale del campo di radiazione è dato dall'integrale spaziale del vettore di Poynting:

1 P~ = c

Z

~ × B) ~ . d3 x (E

(1.47)

Dobbiamo quindi prendere come operatore impulso l'operatore ottenuto sostituendo in espressioni quantistiche per i campi

P~ =

XX ~k

~ E

e

~. B

P~

le

Dalle (1.30) si ottiene



1 ~ ~k N~k,α + 2 α=1,2 II.10



=

XX ~k

α=1,2

~ ~kN~k,α .

(1.48)

Calcoliamo l'energia e l'impulso da associare al campo elettromagnetico in presenza di un fotone:

H a~†k,α |0i = ~ ω a~†k,α |0i ,

(1.49a)

P~ a~†k,α |0i = ~ ~k a~†k,α |0i .

(1.49b)

E = ~ω = ~|~k|c, l'impulso ~p = ~~k q q 2 1 1 2 2 2 m = 2 E −~p c = 2 ~2 ω 2 − ~2~k c2 = 0 . c c

Quindi al fotone dobbiamo associare l'energia

e la massa

(1.50)

Poichè lo stato di polarizzazione di un fotone è caratterizzato dal vettore di polarizzazione (α) ~ε , è chiaro che il fotone ha spin 1. In luogo dei vettori di polarizzazione lineare ~ε(1) , ~ε(2) possiamo introdurre i vettori di polarizzazione circolare

~ε(1) ± i~ε(2) √ . ~ε(±) = ∓ 2 Ricordando le relazioni generali tra componenti cartesiane

T1,±m (m = 0, 1)

(1.51)

Tx , Ty , Tz

e componenti sferiche

dei vettori,

 

T1,±1 = ∓

 T =T , 1,0 z

Tx ± i Ty √ , 2

(1.52)

si vede che, ssato l'asse di quantizzazione nella direzione del moto, le componenti di spin da associare a ~ ε(±) sono m = ±1. Lo stato m = 0 manca per la condizione di trasversalità (1.4). Lo spin del fotone è parallelo o anti-parallelo alla direzione di propagazione. Questa

è una proprietà generale delle particelle di massa nulla.

In conclusione, le eccitazioni del campo elettromagnetico (i fotoni) possono essere considerate come particelle di massa zero e spin uno. In generale, in teoria dei campi ad ogni campo viene associata una particella di massa e spin deniti.

II.11

II.12

Capitolo 2 Cenni sul metodo (canonico) di quantizzazione dei campi 2.1

Formulazione lagrangiana-hamiltoniana per campi classici

α Supponiamo di avere un insieme di campi ϕ (x), con α = 1, . . . , N (per esempio, nel caso α elettromagnetico: A (x) con α = 1, . . . , 4) con una densità lagrangiana

L = L(ϕα , ∂µ ϕα )

(2.1)

che sia uno scalare di Lorentz. La formulazione lagrangiana della teoria dei campi è particolarmente adatta a descrivere la dinamica relativistica con un formalismo esplicitamente covariante.

α I valori dei campi ϕ (x) in ogni punto x dello spazio-tempo e i valori delle loro derivate ∂µ ϕα rappresentano un innito continuo di gradi di libertà. Suddividiamo lo spazio (ad un tempo ssato) in cellette di volume

δ~x(s)

con centro

~x(s) ,

in modo che il sistema sia caratterizzato da un numero innito ma numerabile di coordinate:

qsα (t) = ϕα (t, s) con

ϕα (t, s) = ϕα (t, ~x(s) ).

(s = 1, 2, . . . ) ,

In questo modo la lagrangiana

può essere approssimata da

L(t) =

X s

dove la

L(s)

L(t) =

(2.2)

R

δ~x(s) L(s) ,

è la densità lagrangiana della celletta qsα (t) è

d3 x L(ϕα (x), ∂µ ϕα (x)) (2.3)

s-esima.

Il momento coniugato a

pαs (t) =

∂L(s) ∂L ∂L = = δ~x(s) α α ∂ q˙s (t) ∂ ϕ˙ (t, s) ∂ ϕ˙ α (t, s) II.13

(2.4)

e l'hamiltoniana è data da

X

pαs q˙sα − L .

(2.5)

∂L(s) ∂ ϕ˙ α (t, s)

(2.6)

pαs (t) = π α (t, s) δ~x(s)

(2.7)

H=

s

Deniamo anche

π α (t, s) ≡ e quindi

L'hamiltoniana

H

può essere riscritta nella forma

H=

X s

Passiamo ora al limite

δ~x(s) → 0,

  δ~x(s) π α (t, s) ϕ˙ α(t, s) − L(s) .

(2.8)

cioè

ϕα (t, s) → ϕα (x)

π α (t, s) →

e

∂L ≡ π α (x) , ∂ ϕ˙ α (x)

(2.9)

per ottenere

H(t) =

Z

d3 x H(t, ~x) ,

H(x) = π α (x) ϕ˙ α (x) − L(x) .

con

(2.10)

Nel seguito considereremo solamente campi descritti da densità lagrangiane del tipo (2.1), ϕα (x) e dalle loro derivate prime ∂µ ϕα (x).

ossia dipendenti soltanto dai campi

I Principio variazionale ed equazioni di campo Le equazioni di campo sono ottenute dal principio variazionale seguente.

Deniamo

l'integrale d'azione

I(Ω) ≡

Z

Ω

d4 x L(ϕα , ∂µ ϕα )

(2.11)

su una regione spazio-temporale Ω arbitraria. Se i campi sono variati, δϕα (x), in modo tale che le variazioni si annullino sull'iper-supercie

ϕα (x) → ϕα (x) + Γ che delimita Ω,

l'integrale d'azione ha un valore stazionario:

δI(Ω) = 0 .

(2.12)

La variazione dell'integrale d'azione è data da

  ∂L ∂L α α δI(Ω) = dx δϕ + δ(∂µ ϕ ) ∂ϕα ∂(∂µ ϕα ) | {z } Ω Z

Z

4



∂L = dx δϕα + ∂µ α ∂ϕ Ω 4



∂µ (δϕα )

∂L δϕα ∂(∂µ ϕα ) II.14



− ∂µ



∂L ∂(∂µ ϕα )



δϕ

α



.

(2.13)

Utilizzando il teorema di Gauss, si ha

Z perchè

δϕα = 0

4

d x ∂µ Ω



∂L δϕα ∂(∂µ ϕα )



=

Z

dSµ

Γ

∂L δϕα = 0 , ∂(∂µ ϕα )

Γ. Quindi, dal principio variazionale   Z ∂L ∂L 4 0 = δI(Ω) = dx δϕα . − ∂µ α α) ∂ϕ ∂(∂ ϕ µ Ω

sull'iper-supercie

Data l'arbitrarietà delle variazioni

δϕα ,

(2.14)

(2.12) ricaviamo

(2.15)

si ottengono le equazioni di campo (equazioni di

Euler-Lagrange)

∂µ

∂L ∂L − =0 α ∂(∂µ ϕ ) ∂ϕα

(α = 1, . . . , N) .

(2.16)

Sottolineiamo che le proprietà di covarianza delle equazioni di campo (2.16) dipendono dal requisito che la densità lagrangiana (2.1) sia un invariante di Lorentz. Questa condizione determina la struttura esplicita della densità lagrangiana di ogni singolo campo. Esaminiamo adesso due casi specici: il campo scalare ed il campo elettromagnetico. Il campo fermionico di Dirac verrà discusso nel capitolo 3.

I Campo scalare Dato un campo scalare

ϕ(x),

la sua densità lagrangiana, per essere un invariante di

Lorentz, non può che avere la forma

L = a ∂µ ϕ ∂ µ ϕ + b ϕ ϕ , dove

a, b

(2.17)

sono due costanti. Dalle equazioni di Euler-Lagrange (2.16) otteniamo quindi

a ∂µ (∂ µ ϕ) − b ϕ = 0 .

(2.18)

Se vogliamo che quest'equazione coincida con l'equazione scalare che già conosciamo, di Klein-Gordon,


 + m2 ϕ = 0 ,

b/a = −m2 . Scegliendo la costante a = 1/2, la lagrangiana (2.17) diventa

dobbiamo porre modo che

L=

(2.19) moltiplicativa (arbitraria) della

1 1 ∂µ ϕ ∂ µ ϕ − m2 ϕ ϕ . 2 2

L

(2.20)

Questa espressione può essere immediatamente estesa al caso di un campo scalare a α componenti: ϕ (x), (α = 1, . . . , N ). In tale caso si avrà

L=

1 1 ∂µ ϕα ∂ µ ϕα − m2 ϕα ϕα , 2 2 II.15

in

N

(2.21)

dove si sottointende anche una somma sull'indice

α.

Ogni componente

ϕα (x)

soddisfa

l'equazione di Klein-Gordon

( + m2 ) ϕα = 0 . Il momento coniugato a

ϕα (x)

(2.22)

è

π α (x) =

∂L = ∂0 ϕα (x) , ∂(∂0 ϕα )

(2.23)

per cui si ottiene la densità hamiltoniana

H = π α ∂0 ϕα − L 1 1 = (π α )2 − ∂µ ϕα ∂ µ ϕα + m2 ϕα ϕα 2 2 i 1h α 2 ~ α )2 + m2 (ϕα )2 . (π ) + (∇ϕ = 2

(2.24)

I Lagrangiana del campo elettromagnetico In base al principio di invarianza relativistica la densità lagrangiana elettromagnetica deve essere della forma

L=

 1 a ∂µ Aν ∂ µ Aν + b ∂µ Aν ∂ν Aµ + c (∂µ Aµ )2 + d Aµ Aµ . 2

Utilizzando la (2.16), ricaviamo l'equazione di campo relativa a coincida con l'equazione del campo

Aµ

L

(2.25)

ed imponiamo che questa

nel caso libero (vedi l'eq.(4.8) della prima parte,

pag.I.40)

Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) = 0 .

(2.26)

Calcoliamo i singoli termini nella (2.16):

∂L = a ∂ µ Aν + b ∂ν Aµ + c gνµ ∂ρ Aρ , ν ∂(∂µ A ) ∂L = a Aν + (b + c) ∂ν (∂µ Aµ ) , ∂µ ν ∂(∂µ A ) ∂L = d Aν . ∂Aν

(2.27a)

(2.27b)

(2.27c)

Quindi otteniamo l'equazione di campo

a Aν + (b + c) ∂ν (∂µ Aµ ) − d Aν = 0 .

(2.28)

Perchè questa espressione sia uguale alla (2.26) deve essere

d=0

e

b+c = −1 , a II.16

(2.29)

da cui

L= Dividendo per

−a

 1 a ∂µ Aν ∂ µ Aν − a ∂µ Aν ∂ν Aµ − c ∂µ Aν ∂ν Aµ + c (∂µ Aµ )2 . 2

(2.30)

(le equazioni di campo rimangono inalterate) si ottiene

La quadri-divergenza

 c  1 ∂µ Aν ∂ν Aµ − (∂µ Aµ )2 . L = − Fµν F µν + 4 2a | {z } ∂µ [Aν (∂ν Aµ −gνµ ∂ρ Aρ )]

∂µ [Aν (∂ν Aµ − gνµ∂ρ Aρ )]

(2.31)

non contribuisce all'integrale di azione e può

essere sottratta alla densità lagrangiana. Perciò il termine rilevante della densità lagrangiana è

1 L = − Fµν F µν . 4

(2.32)

compare solo attraverso il tensore Fµν . Quindi 0 l'invarianza della teoria per trasformazioni di gauge Aµ (x) → Aµ (x) = Aµ (x) + ∂µ ϕ(x) è garantita dalla struttura stessa della L. µ Inoltre, si osservi che nella L non compare un termine Aµ A (vedi la condizione d = 0 In questa densità lagrangiana il campo

Aµ

nella (2.29)), perchè questo genererebbe nell'equazione del campo

Aµ ,

Aµ

un termine lineare in

interpretabile come termine di massa. Ossia, una densità lagrangiana del tipo

1 1 L = − Fµν F µν + m2 Aµ Aµ 4 2

(2.33)

fornirebbe l'equazione di campo

( + m2 ) Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) = 0 .

(2.34)

2 µ Il campo elettromagnetico è a massa nulla (fotoni) e quindi il termine aggiuntivo m A 1 2 µ nella(2.34) non è accettabile. Si noti ancora che il termine m Aµ A nella (2.33) non 2 sarebbe invariante per trasformazioni di gauge su Aµ .

2.2

Quantizzazione dei campi

Facciamo corrispondere alle coordinate coniugate

qsα , pαs

degli operatori che soddisfano le

regole di commutazione canoniche:

[qsα , pβs0 ] = i ~ δss0 δαβ , [qsα

,

qsβ0 ]

=

[pαs

,

pβs0 ]

= 0.

(2.35a) (2.35b)

Scrivendo

qsα = ϕα (t, s)

e

pαs = π α (t, s) δ~x(s) , II.17

(2.36)

si ottengono le regole di commutazione

[ϕα (t, s) , π β (t, s0 )] = i ~ δαβ

δss0 , δ~x(s)

(2.37a)

[ϕα (t, s) , ϕβ (t, s0 )] = [π α (t, s) , π β (t, s0 )] = 0 . Passiamo al limite

δ~x(s) → 0;

(2.37b)

in tale limite si ha

δss0 −−−−→ δ 3 (~x − ~x0 ) , δ~x(s) δ~x(s) →0 con

~x = ~x(s)

e

~x0 = ~x(s0 ) .

fs =

X

(2.38)

Infatti

δ~x(s)

s0

δss0 fs0 δ~x(s)

−−−−→ δ~ x(s) →0

f (~x) =

Z

d3 x0 δ 3 (~x − ~x0 ) f (~x0 ) .

(2.39)

Quindi, otteniamo le relazioni di commutazione a tempi uguali

[ϕα (t, ~x) , π β (t, ~x0 )] = i ~ δαβ δ 3 (~x − ~x0 ) , α

β

0

α

β

0

[ϕ (t, ~x) , ϕ (t, ~x )] = [π (t, ~x) , π (t, ~x )] = 0 .

(2.40a) (2.40b)

I Sviluppi in serie di Fourier ϕ(x). (k0 = ωk =

Torniamo al caso classico e consideriamo, per semplicità, un unico campo scalare

ϕ(x) q 2 + ~k + m2 ):

Sviluppiamo

ed il campo coniugato

π(x) = ∂0 ϕ(x)

in serie di Fourier

1 X 1  √ a~k e−ik·x + a~∗k eik·x k =ω , ϕ(x) = √ 0 k 2ωk V ~ k r −i X ωk  a~k e−ik·x − a~∗k eik·x k =ω . π(x) = √ 0 k 2 V

(2.41a)

(2.41b)

~k

I campi quantizzati sono dati da espressioni analoghe, dove gli a~k sono degli operatori e gli a~∗k devono essere sostituiti da a~†k . Le regole di commutazione (2.40) impongono che gli operatori a~k soddisno le relazioni P ~ 0 3 di commutazione (tenere presente che δ (~ x − ~x0 ) = V1 ~k eik·(~x−~x ) )

[a~k , a~† 0 ] = δ~k,~k0 ,

(2.42a)

k

[a~k , a~k0 ] = [a~†k , a~† 0 ] = 0 . k

Gli operatori

a~k

e

a~†k

(2.42b)

vengono interpretati come operatori di distruzione e di creazione,

secondo il formalismo discusso nel capitolo precedente. II.18

Per l'operatore hamiltoniano si trova

Z h i 1 ~ 2 + m2 (ϕ)2 d3 x (π)2 + (∇ϕ) H= 2 t=0   X 1 = ~ ωk a~†k a~k + , 2

(2.43)

~k

per cui, eliminando il contributo del vuoto, si ha

H=

X

~ ωk N~k ,

con

~k

N~k ≡ a~†k a~k .

(2.44)

Deniamo anche

ϕ(x) ≡ ϕ(+) (x) + ϕ(−) (x) , con

ϕ

(+)

ϕ

(−)

(x) (x)

⇐⇒ ⇐⇒





(2.45)

campo a frequenze positive (contiene solo operatori di annichilazione) , campo a frequenze negative (contiene solo operatori di creazione) .

(2.46a)

(2.46b)

Notare che vale la proprietà

(ϕ(+) (x))† = ϕ(−) (x) .

(2.47)

I Commutatori a tempi qualsiasi Calcoliamo il commutatore di due campi liberi in due punti arbitrari dello spazio-tempo:

i   h 1 1 X 0 0 0 0 √ √ a~k e−ik·x + a~†k eik·x , a~k0 e−ik ·x + a~† 0 eik ·x k0 =ωk k V 2ωk 2ωk0 k00 =ωk0 ~k,~k0 n o 1 1 X 0 0 0 0 √ √ [a~k , a~† 0 ] e−i(k·x−k ·x ) + [a~†k , a~k0 ] ei(k·x−k ·x ) k0 =ωk = k V 2ωk 2ωk0 k00 =ωk0 ~k,~k0 o 1 X 1 n −ik·(x−x0 ) 0 = e − eik·(x−x ) V 2ωk k0 =ωk ~k Z 3 n o d k −ik·(x−x0 ) 1 ik·(x−x0 ) e − e . (2.48) −−−→ V →∞ (2π)3 k0 =ωk 2ωk

[ϕ(x) , ϕ(x0 )] =

Ponendo

−i ∆(x) ≡ (2π)3 si ha

Z

1 d3 k  −ik·x e − eik·x k0 =ω = − k 2ωk (2π)3

Z

[ϕ(x) , ϕ(x0 )] = i ∆(x − x0 ) . Notiamo le seguenti proprietà della

∆(x): II.19

d3 k sin(k·x)|k0 =ωk , ωk

(2.49)

(2.50)

1. Dalla (2.49) si vede che

∆(x)

è una funzione di

x

reale e dispari, come d'altra parte è

richiesto dalla (2.50). 2. Per

t = t0

dalla (2.49) si ha

1 ∆(t = 0, ~x) = (2π)3

Z

d3 k sin(~k · ~x) = 0 ωk

(2.51)

e quindi si ritrova il risultato che il commutatore a tempi uguali è nullo (vedi l'eq.(2.40b)). 3. La funzione

∆(x)

è un invariante di Lorentz (la (2.50) è una relazione di com-

mutazione covariante).

Infatti,

∆(x)

Lorentzinvariante

−i ∆(x) = (2π)3

Z

può essere riscritta nella forma esplicitamente

d4 k e−ik·x (k0 ) δ(k 2 − m2 ) ,

(2.52)

nella quale tutti i fattori della funzione integranda sono Lorentzinvarianti, incluso

(k0 )

se la trasformazione di Lorentz è propria. Per dimostrare la validità di questa espressione utilizziamo la proprietà

~k 2 − m2 ) = 1 [δ(k0 − ωk ) + δ(k0 + ωk )] , δ(k 2 − m2 ) = δ(k02 − | {z } 2ωk

(2.53)

−ωk2

per cui la (2.52) diventa

−i ∆(x) ≡ (2π)3 Cambiando nel secondo termine

Z

o d3 k n −ik0 t+i~k·~x ik0 t+i~k·~ x e −e . 2ωk k0 =ωk

~k → −~k

(2.54)

si ritrova la (2.49).

4. Dalle proprietà (2) e (3) discende che il commutatore dei campi è nullo per qualsiasi 0 0 2 0 2 intervallo x − x di tipo spazio ((x − x ) = (x0 − x0 ) − (~ x − ~x0 )2 < 0). Infatti, qualsiasi 2 quadri-vettore di tipo spazio (x < 0) può essere trasformato nel vettore xµ = (0, ~ x) mediante una trasformazione di Lorentz appropriata; e d'altra parte per la proprietà (2)

∆(t = 0, ~x) = 0.

L'annullarsi del commutatore per intervalli di tipo spazio dipende

da principi fondamentali di meccanica quantistica e di relatività speciale (principio di causalità): (a) Il non annullarsi del commutatore di due operatori hermitiani signica che le misure dei due campi osservabili corrispondenti interferiscono. (b) Per la relatività speciale l'interferenza tra due punti richiede che i due punti siano collegabili mediante un segnale e quindi che la loro distanza sia entro il cono luce. 5. Un'altra rappresentazione integrale di

∆(x)

1 ∆(x) = − (2π)4

è data da

Z

C

II.20

d4 k

e−ik·x , k 2 − m2

(2.55)

Im k0 '

6

-Re k0

−ωk

+ωk

&

Figura 2.1: Cammino di integrazione

dove

C

$



%

-

C

C

nella rappresentazione integrale (2.55) di

è il cammino nel piano della variabile complessa

k

∆(x).

rappresentato nella Fig.2.1.

Infatti, si ha

1 − (2π)4

Z

 e−ik·x d k lim (k0 − ωk ) k0 →ωk (k0 − ωk )(k0 + ωk )   e−ik·x + lim (k0 + ωk ) k0 →−ωk (k0 − ωk )(k0 + ωk ) Z 3  −i d k  −ik·x ik·x = (2.56) e − e ≡ ∆(x) . k0 =ωk (2π)3 2ωk

e−ik·x 2πi dk 2 = − 2 k −m (2π)4 C 4

Z

3

II.21





II.22

Capitolo 3 Campi di Dirac 3.1

Operatori fermionici di creazione e di annichilazione

Per i fermioni occorre adottare delle relazioni di commutazione che tengano conto della statistica di Fermi-Dirac e del principio di Pauli (Jordan & Wigner 1928); quindi per gli operatori fermionici di creazione e di annichilazione si impongono le seguenti relazioni di anticommutazione:

dove

Se

r

n o (r) (r 0 ) † b~p , b~p0 = δr,r0 δ~p,~p0 , n o o n † (r 0 ) † (r) (r 0 ) (r) b~p , b~p0 = 0, = b~p , b~p0

(3.1a) (3.1b)

è un indice di polarizzazione. Perciò vale l'interpretazione:

r = r0

e

~p = ~p0 ,

(r) †

stati ad un fermione

⇐⇒

b~p

stati a due fermioni

⇐⇒

b~p

si ha

(r) † (r) † b~p

b~p

|0i ,

(r) † (r 0 ) † b~p0

(3.2a)

|0i .

(3.2b)

1 n (r) † (r) † o |0i = 0 , b , b~p 2 ~p r,~p6=r 0 ,~p0 , si ha

|0i =

per cui vale il principio di Pauli. Se

(r) † (r 0 ) † b~p0

b~p

(r 0 ) † (r) † b~p

|0i = −b~p0

per cui lo stato è anti-simmetrico per scambio

(3.3)

|0i ,

r,~p  r 0 ,~p0

(3.4)

(statistica di Fermi-Dirac).

Consideriamo l'operatore numero di particelle

(r)

(r) † (r) b~p

N~p ≡ b~p

,

(3.5)

tale che

(r) † (r) b~p

(r)

N~p |0i = b~p

|0i = 0 ,

(3.6a)

(r) † (r) † (r) (r) † (r) † (r) (r) † (r) N~p (b~p |0i) = b~p b~p b~p |0i = b~p (1 − b~p b~p ) |0i = b~p |0i , (r) (r) (r) † (r) (r) † (r) (r) † (r) † (r) (r) † (r) (r) 2 N~p = b~p b~p b~p b~p = b~p (1 − b~p b~p ) b~p = b~p b~p = N~p . (r) †

II.23

(3.6b) (3.6c)

Quindi, si ha

(r)

(r)

N~p (N~p − 1) = 0 e gli autovalori di

3.2

(r)

N~p

(3.7)

sono 0 e 1.

Lagrangiana di Dirac ed equazioni di campo

Dimostriamo che la densità lagrangiana di Dirac (Lorentz invariante)

→

L(x) = ψ(x) (i ~ c ∂/ −m c2 ) ψ(x) = ψ(x) (−i ~ c

← ∂/

(3.8a)

−m c2 ) ψ(x)

(3.8b)

conduce, tramite le equazioni di Euler-Lagrange (2.16), all'equazione di Dirac. espressioni (3.8a) e (3.8b) per la

L

(Le due

sono equivalenti perchè dieriscono per una quadri-

divergenza, che costituisce un termine ininuente nella derivazione delle equazioni di EulerLagrange.) Nella variazione di e

ψ

L

per la derivazione delle equazioni di campo secondo la (2.16),

devono essere considerati indipendenti. Consideriamo la variazione di

Utilizzando la (3.8a) si ha

→ ∂L = (i ~ c ∂/ −mc2 ) ψ(x) , ∂ψ

L

∂L = 0, ∂(∂µ ψ)

rispetto a

ψ ψ.

(3.9)

per cui si ottiene l'equazione di campo

(i ~ c ∂/ − mc2 ) ψ(x) = 0 ,

(3.10)

che in unità naturali si scrive

(i ∂/ − m) ψ(x) = 0 . Se consideriamo la variazione di

L

rispetto a

ψ,

(3.11)

utilizzando la (3.8b) si ottiene

← ∂L = ψ(x) (−i ∂/ −m) , ∂ψ

∂L = 0, ∂(∂µ ψ)

(3.12)

per cui si ottiene l'equazione di campo

←

ψ(x) (i ∂/ +m) = 0 . Se avessimo variato la (3.8b) rispetto a

ψ

e la (3.8a) rispetto a

(3.13)

ψ , avremmo ottenuto le stesse

equazioni (3.11) e (3.13), rispettivamente. Utilizzando la forma (3.8a) di

L

si trova il momento coniugato a

π(x) =

∂L = i ψ γ 0 = i ψ† . ˙ ∂ψ II.24

ψ: (3.14)

Invece, il momento coniugato a

ψ

è nullo, perchè dalla (3.8a)

∂L ∂ ψ˙

= 0.

Per la densità

hamiltoniana si ha

H = i ψ γ 0 ψ˙ − ψ (i γ 0 ∂0 + i γ k ∂k − m) ψ ~ + m) ψ = ψ (−i ~γ · ∇ ~ + β m) ψ . = ψ † (−i α ~ ·∇

(3.15)

Per cui, l'operatore hamiltoniano è dato da

H=

3.3

Z

~ + β m) ψ . d3 x ψ † (−i α ~ ·∇

(3.16)

Campi di Dirac quantizzati

In analogia a quanto visto nei casi del campo elettromagnetico e del campo scalare, scriviamo (tenendo conto dell'espressione (2.61) della Parte prima)

r o 1 X X m n (r) (r) (r)† (r) −ip·x ip·x b u (~p) e + d~p v (~p) e . ψ(x) = √ E ~p p0 =E V r=1,2 ~p p con E ≡ + ~ p2 + m2 . Nella quantizzazione del campo ψ(x) i coecienti b, d∗ † operatori b, d che vengono interpretati come (r)

b~p

(r)†

d~p

⇐⇒

operatore di annichilazione di un elettrone nello stato

⇐⇒

operatore di creazione di un positrone nello stato

(3.17)

diventano gli

~p, r ,

~p, r .

(3.18a) (3.18b)

Vericheremo la validità di questa interpretazione quando avremo calcolato l'energia, l'impulso e la carica totali del sistema a multicorpi. In conformità a quanto fatto precedentemente (vedi le (3.1)), assumiamo per gli operatori

b

e

d

le relazioni di anticommutazione:

o o n n (r) (r 0 )† (r) (r 0 )† = δr,r0 δ~p,~p0 , = d~p , d~p0 b~p , b~p0 o o n o n o n n (r)† (r 0 )† (r) (r 0 ) (r)† (r 0 )† (r) (r 0 ) = 0, = d~p , d~p0 = d~p , d~p0 = b~p , b~p0 b~p , b~p0 n o n o n o n o (r) (r 0 ) (r)† (r 0 ) (r) (r 0 )† (r)† (r 0 )† b~p , d~p0 = b~p , d~p0 = b~p , d~p0 = b~p , d~p0 = 0.

ψ(x) è r o 1 X X m n (r) (r) (r)† ψ(x) = √ . d~p v (~p) e−ip·x + b~p u(r) (~p) eip·x E p0 =E V r=1,2 ~p

(3.19a) (3.19b) (3.19c)

L'aggiunto del campo

(3.20)

Per l'operatore hamiltoniano, dalla (3.16) si ottiene

Z

o m n (r) (r)† (r)† d~p v (~p) e−ip·x + b~p u(r)† (~p) eip·x p0 =E EE 0 r,r 0 ~p,~p0 o n ~ + β m) b(r0 0 ) u(r0 ) (~p0 ) e−ip0 ·x + d(r0 0 )† v (r0 ) (~p0 ) eip0 ·x . × (−i α ~ ·∇ ~p ~p 0

1 H= V

d3 x

XX

√

p0 =E

II.25

(3.21)

Tenuto conto che

~ + β m) ψ = i ∂0 ψ (−i α ~ ·∇ otteniamo

0 i ∂0 e−ip ·x

e

k00 =E 0

0 = E 0 e−ip ·x

k00 =E 0

,

 Z 1 XX m 0 (r) (r 0 )† (r)† 0 (r 0 ) 0 √ E − d~p d~p0 v (~p) v (~p ) d3 xe−i(p−p )·x H= V r,r0 0 EE 0 | {z } ~p,~p +

(r)† (r 0 ) b~p b~p0

u

(r)†

(~p) u

(r 0 )

0

(~p )

Z

(3.22)

V δ~p,~p0

−i(p0 −p)·x

3

d xe | {z

V δ~p,~p0

}



p0 =E p00 =E 0

(3.23)

(gli altri termini sono nulli per le proprietà di ortogonalità (2.60) della Parte prima). Dalle relazioni

E 0 δrr0 = v (r)† (~p) v (r ) (~p) , m

0

u(r)† (~p) u(r ) (~p) = troviamo per

H

(3.24)

il risultato

H=

X ~p,r

=

X ~p,r

o n (r)† (r) (r) (r)† E b~p b~p − d~p d~p

n o (r)† (r) (r)† (r) E b~p b~p + d~p d~p − 1 .

(3.25)

Da questa espressione segue l'interpretazione

(r)† (r) b~p (r)† (r) d~p d~p

b~p

(r)

≡ N~p (e− ) (r)

≡ N~p (e+ )

⇐⇒

operatore numero di occupazione di elettroni,

(3.26a)

⇐⇒

operatore numero di occupazione di positroni.

(3.26b)

Notare che sia gli elettroni che i positroni contribuiscono alla (3.25) con un'energia positiva

E. Nell'espressione (3.25) il termine vuoto. Sottraendo tale energia si ha

H=

X ~p,r

−

P

~p,r

E

n o (r) (r) E N~p (e− ) + N~p (e+ ) .

operatore carica totale

Analogamente, per l'

corrisponde all'energia (non osservabile) del

(3.27)

si trova

Z

d3 x ψ † ψ o X n (r)† (r) (r) (r)† =e b~p b~p + d~p d~p

Q=e

~p,r

o X n (r)† (r) (r)† (r) =e b~p b~p − d~p d~p + 1 . ~p,r

II.26

(3.28)

I positroni contribuiscono con una carica

Q=e

−e = |e|.

Sottraendo la carica del vuoto, si ottiene

o X n (r) (r) N~p (e− ) − N~p (e+ ) .

(3.29)

~p,r

operatore impulso totale

L'

è dato da

Z ~ ~ ψ P = − i ~ d3 x ψ † ∇ o X n (r)† (r) (r) (r)† = ~p b~p b~p − d~p d~p ~p,r

o X n (r)† (r) (r)† (r) = ~p b~p b~p + d~p d~p − 1 .

(3.30)

~p,r

E quindi, tenuto conto che

P

p ~p ~

P~ =

= 0,

possiamo scrivere

o X n (r) (r) ~p N~p (e− ) + N~p (e+ ) .

(3.31)

~p,r

(r)† |0i è +~p, come quello dello stato di elettrone Notare che l'impulso dello stato di positrone d~p (r)† b~p |0i. D'ora in poi potremo evitare il linguaggio della teoria dei buchi di Dirac (stati ad energia negativa, mare di Dirac, etc.); parleremo solo di elettroni e positroni con energia positiva.

3.4

Anticommutatori dei campi ψ, ψ

Dalle espressioni (3.17) e (3.20) si ottiene

 {ψα (x) , ψβ (x0 )} = ψ α (x) , ψ β (x0 ) = 0 ,  ψα (x) , ψ β (x0 ) = −i Sαβ (x − x0 ) ,

(3.32a) (3.32b)

dove

i S(x) = (2π)3

Z

d3 p  (p/ + m) e−ip·x + (p/ − m) eip·x p0 =E . 2E II.27

(3.33)

Dimostriamo l'espressione (3.32b):

 ψα (x) , ψ β (x0 ) =  o n 1 XX m 0 0 (r 0 ) 0 (r) (r 0 )† √ u(r) (~ p) u (~ p ) b , b e−i(p·x−p ·x ) = 0 α β ~ p ~ p V EE 0 | {z } ~p,r ~p0 ,r 0 δr,r 0 δ~p,~p0

+

1 Xm = V E ~p

X |r

(r 0 ) vα(r) (~p) vβ (~p0 )

 o n (r)† (r 0 ) i(p·x−p0 ·x0 ) d~p , d~p0 e p0 =E | {z } p0 =E 0 0

δr,r 0 δ~p,~p0

(r) u(r) p) uβ (~p) α (~

{z

−ip·(x−x0 )

e

|r

}

(p /+m)αβ 2m

+

X

(r) vα(r) (~p) v β (~p)

{z

(p /−m)αβ 2m

ip·(x−x0 )

e



p0 =E

}

i 1 X 1 h 0 0 (p/ + m)αβ e−ip·(x−x ) + (p/ − m)αβ eip·(x−x ) V 2E p0 =E ~p Z 3 h i 1 dp −ip·(x−x0 ) ip·(x−x0 ) −−−→ ( p / + m)αβ e + ( p / − m)αβ e V →∞ (2π)3 2E p0 =E 0 ≡ − i Sαβ (x − x ) .

=

Notiamo che la funzione

1.

S(x)

S(x)

(3.34)

gode delle seguenti proprietà:

può essere scritta nel modo seguente:

i S(x) = (2π)3

Z

d4 p (p/ + m) e−ip·x (p0 ) δ(p2 − m2 ) .

(3.35)

Infatti, utilizzando la proprietà (2.53) si ha

i (2π)3

Z

d4 p (p/ + m) e−ip·x (p0 ) δ(p2 − m2 ) = Z 1 i d4 p (p/ + m) e−ip·x (p0 ) [δ(p0 − E) + δ(p0 + E)] = 3 (2π) 2E  Z 3 Z 3   i d p d p −ip·x −ip·x = (p/ + m) e (p/ + m) e − p0 =E p0 =−E (2π)3 2E 2E {z } | i h R

≡ S(x) . 2.

S(x − x0 )

d3 p 2E

(−p/+m) eip·x

p0 =E

(3.36)

può essere espresso come

S(x − x0 ) = −(i ∂/x + m) ∆(x − x0 ) . II.28

(3.37)

Infatti, utilizzando la (2.52) si ha

− (i ∂/x + m) ∆(x − x0 ) = Z i 0 d4 p (i ∂/x + m) e−ip·(x−x ) (p0 ) δ(p2 − m2 ) = 3 (2π) Z i 0 = d4 p (p/ + m) e−ip·(x−x ) (p0 ) δ(p2 − m2 ) ≡ S(x − x0 ) . 3 (2π) 3. Dalle (3.32b) e (3.37) e dalla proprietà 4 della 0 distanze di tipo spazio S(x − x ) = 0 e perciò

3.5

 ψα (x) , ψ β (x0 ) = 0

∆(x − x0 )

(3.38)

(vedi par.2.2), segue che per

(x − x0 )2 < 0 .

se

(3.39)

Dimensioni degli operatori di campo

A conclusione di questo capitolo discutiamo la dimensione da associare agli operatori di campo

ψ(x)

e

ϕ(x)

precedentemente deniti.

Osserviamo innanzi tutto che una generica

densità lagrangiana ha dimensione



E [L] = 3 `



unità naturali

[m4 ] .

−−−−−−−−−→

Dalla densità lagrangiana (3.8) per il campo di spin

1/2

si vede che

(3.40)

[E] [ψ ψ] =

cui l'operatore di campo fermionico ha dimensione

[ψ] =



1 `3/2



unità naturali

Inoltre, dalla (3.17), tenuto conto che gli spinori operatori

b, d

[m3/2 ] .

−−−−−−−−−→ u

e

v

E `3

, per

(3.41)

sono adimensionali, si vede che gli

sono adimensionali.

Dalla densità lagrangiana per un campo scalare, che in unità ordinarie è usualmente denita come

"   # 2  2 1  m c 2 2 1 1 ∂ϕ ~ − ∇ϕ − ϕ , L= 2 c2 ∂t 2 ~

si ottiene

[`−2 ] [ϕ2 ] =

E  `3

(3.42)

. Quindi l'operatore di campo scalare ha dimensione



E 1/2 [ϕ] = 1/2 `

Dalla (2.41a), si vede che gli operatori

 a~k

unità naturali

−−−−−−−−−→

[m] .

(3.43)

sono adimensionali (notare che la (2.41a) è scritta

in unità naturali).

II.29

II.30

Capitolo 4 Interazione campo di Dirac  campo elettromagnetico 4.1

Operatore lagrangiano ed operatore hamiltoniano

Come visto al paragrafo 4.2 della Parte prima, l'equazione per un elettrone in un campo elettromagnetico si ottiene dall'equazione libera di Dirac mediante la sostituzione di accoppiamento minimo

∂µ → ∂µ + i e Aµ .

(4.1)

Questa stessa prescrizione viene utilizzata per generare, a partire dalla densità lagrangiana libera di Dirac

LD ,

la densità lagrangiana con accoppiamento dell'elettrone al

campo elettromagnetico; ossia

LD = ψ (i ∂/ − m) ψ

∂µ →∂µ +i e Aµ

−−−−−−−−→

L = ψ (i ∂/ − e A / − m) ψ ≡ LD + LI ,

(4.2)

dove

LI = −e ψ γ µ ψ Aµ = −e j µ Aµ

(4.3)

è la densità lagrangiana di interazione. La densità hamiltoniana di interazione si ottiene da

HI = Dal momento che

LI

LI

nel modo usuale:

∂LI ˙ ˙ ∂LI ∂LI ˙ Aµ − LI . ψ+ψ + ∂ A˙ µ ∂ ψ˙ ∂ ψ˙

(4.4)

non contiene derivate degli operatori di campo, si ha

HI = −LI = e ψ γ µ ψ Aµ = e j µ Aµ .

(4.5)

La densità lagrangiana di interazione (4.3) associata alla densità lagrangiana libera elettromagnetica

1 Lem = − Fµν F µν 4 II.31

(4.6)

permette anche di ricavare le equazioni del campo elettromagnetico in presenza di una µ corrente j . Infatti, dalla densità lagrangiana

1 L = Lem + LI = − Fµν F µν − e j µ Aµ 4

(4.7)

si ottiene l'equazione di Euler-Lagrange

 Aµ − ∂µ (∂ν Aν ) = e jµ .

(4.8)

Esaminiamo ora la variazione della densità lagrangiana (4.7) per trasformazioni di gauge

Aµ → Aµ + ∂µ ϕ: 1 1 Aµ →Aµ +∂µ ϕ L = − Fµν F µν − e j µ Aµ −−−−−−−→ − Fµν F µν − e j µ Aµ − e j µ ∂µ ϕ 4 4 1 = − Fµν F µν − e j µ Aµ − e ∂µ (j µ ϕ) + e ϕ ∂µ j µ . 4

(4.9)

Dal momento che, al solito, un termine di quadri-divergenza è ininuente nella densità lagrangiana, ne discende che corrente è conservata:

L

è invariante per trasformazioni di gauge su

Aµ

∂µ j µ = 0 .

se e solo se la

(4.10)

Analizziamo ora qual è la funzione dell'operatore densità hamiltoniana di interazione

HI .

Scomponiamo gli operatori di campo fermionici in parte a frequenza positiva e parte a

frequenza negativa:

ψ = ψ (+) + ψ (−) , ψ=ψ

(+)

+ψ

(−)

(4.11a)

,

(4.11b)

dove

ψ (+) ψ ψ ψ

(−)

(+)

(−)

1 X =√ V ~p,r 1 X =√ V ~p,r

1 X =√ V ~p,r 1 X =√ V ~p,r

r r r r

m (r) (r) b~p u (~p) e−ip·x p0 =E E m (r)† (r) d~p v (~p) eip·x p0 =E E

m (r) (r) d~p v (~p) e−ip·x p0 =E E m (r)† (r) b~p u (~p) eip·x p0 =E E II.32

distrugge

crea

e+ ,

distrugge

crea

e− ,

e− .

(4.12a)

(4.12b)

e+ ,

(4.12c)

(4.12d)

Sostituendo le (4.11) nella (4.5) si ottiene

 (+)    (−) HI = e ψ + ψ γ µ ψ (+) + ψ (−) Aµ =

eψ

(−)

+ eψ

+ eψ

+ eψ

µ

γ ψ

(+)

(+)

(−)

(+)

µ

γ ψ

µ

γ ψ

Aµ

(−)

(+)

Aµ

Aµ

γ µ ψ (−) Aµ

−→

−→

−→

 e− e− HHH  H

γ

+ e+ HHH  e  H

(4.13b)

γ

e− HHH H +

e

 

−→

Questa rappresentazione graca mostra il ruolo che

(4.13a)

γ HI

(4.13c)

γ

   H HH H

e− (4.13d)

e+

può avere nella descrizione di un

determinato processo sico, una volta che si ssi la direzione e il verso in cui uisce il tempo (da sinistra a destra nella nostra convenzione). Il fotone può essere quello emesso o assorbito da una sorgente esterna (per esempio un nucleo atomico).

I graci illustrati nella (4.13)

possono quindi essere interpretati come rappresentanti rispettivamente: la diusione di un − + elettrone, la diusione di un positrone, l'annichilazione di una coppia e e e la creazione − + di una coppia e e . Nello spazio degli impulsi si hanno le seguenti associazioni tra operatori di campo ed elementi graci:

ψ

~p

(+)

: annichilazione di un elettrone (r) con spinore u (~ p)



~p

ψ (−) :

creazione di un positrone (r) p) con spinore v (~

s II.33



s

(4.14a)

(4.14b)

ψ

~p

(−)

: creazione di un elettrone (r) p) con spinore u (~

ψ

s

(+)

: annichilazione di un positrone (r) p) con spinore v (~

4.2

~p



ψ (±)

metodo impiegato nella (3.34) per calcolare l'anticommutatore di

n

s

(4.14d)

Anticommutatori degli operatori di campo ψ (±) e ψ

Per calcolare gli anticommutatori degli operatori di campo

n

(4.14c)



(−)

ψα(+) (x) , ψ β (x0 )

(+)

ψα(−) (x) , ψ β (x0 )

o

o

(±)

ψ si utilizza lo ψ e ψ . Si ottiene

e

(±)

stesso

1 X 1 0 (p/ + m)αβ e−ip·(x−x ) p0 =E V 2E ~p Z 3 1 dp (+) −ip·(x−x0 ) −−−→ ≡ −i Sαβ (x − x0 ) , (p/ + m)αβ e V →∞ (2π)3 2E p0 =E =

(4.15a)

1 X 1 ip·(x−x0 ) (p/ − m)αβ e = V 2E p0 =E ~p Z 3 dp 1 (−) ip·(x−x0 ) ( −−−→ p / − m)αβ e ≡ −i Sαβ (x − x0 ) . V →∞ (2π)3 2E p0 =E

(4.15b)

Gli altri anticommutatori sono nulli.

Dalle (4.15) è possibile riottenere la relazione di

anticommutazione (3.32b):

o n o n  (−) (+) ψα (x) , ψ β (x0 ) = ψα(+) (x) , ψ β (x0 ) + ψα(−) (x) , ψ β (x0 ) h i (+) (−) = − i Sαβ (x − x0 ) + Sαβ (x − x0 ) = −i Sαβ (x − x0 ) .

II.34

(4.16)

Capitolo 5 Teoria perturbativa della matrice S 5.1

Introduzione

Passiamo ora allo studio di processi sici in cui avviene una transizione tra due diversi stati sici (processi di scattering e decadimenti di particelle).

Per trattare questo problema è

necessario innanzi tutto specicare lo stato iniziale e lo stato nale. Perciò bisogna: 1. Individuare un insieme completo di stati ad una particella. 2. Specicare il numero di particelle in ciascuno di questi stati scrivendo il vettore di stato

|n1 , n2 , . . . , ni , . . . i ≡ Φ(n1 , n2 , . . . , ni , . . . ) , analogo della funzione d'onda in una teoria ad una particella.

(5.1)

I vettori di stato costi-

tuiscono una base ortonormale in uno spazio vettoriale ad innite dimensioni (spazio di Fock):

hn1 , n2 , . . . , ni , . . . |n01 , n02 , . . . , n0i , . . . i = (Φ(n1 , n2 , . . . , ni , . . . ) , Φ(n01 , n02 , . . . , n0i , . . . )) =

Y

(5.2)

δni ,n0i .

(5.3)

i

Per ogni processo sico si denirà quindi lo stato iniziale e quello nale mediante i vettori

t = −∞ e t = +∞), H0 . La transizione dallo stato asintotico iniziale t = +∞) è imputata ad un opportuno operatore

di stato (5.1); questi sono stati "asintotici" (rispettivamente ai tempi autostati di un operatore hamiltoniano libero (a

t = −∞)

a quello asintotico nale (a

hamiltoniano di interazione

HI .

Ad esempio, lo scattering Compton può essere schematizzato dal graco

γ(ki , α)

e− (pi , r)

γ(kf , β) Z  Z  Z   > ~ Z  Z  Z II.35

(5.4)

e− (pf , s)

Gli stati asintotici (iniziale e nale) descrivono entrambi un elettrone ed un fotone liberi (con impulsi e polarizzazioni indicati dalle notazioni in gura). Questi stati sono autostati degli operatori hamiltoniani liberi del campo di Dirac e del campo elettromagnetico.

La

transizione tra i due stati è indotta dall'operatore di interazione

HI = e j µ Aµ .

(5.5)

In questo capitolo sviluppiamo un formalismo generale utile a trattare i problemi sopra esposti.

5.2

Rappresentazione di interazione

Nella rappresentazione di Schrödinger i vettori di stato sono dipendenti dal tempo, mentre gli operatori sono indipendenti dal tempo. Viceversa, nella rappresentazione di Heisenberg i vettori di stato sono indipendenti dal tempo, mentre gli operatori sono dipendenti dal tempo. La rappresentazione di interazione è una rappresentazione intermedia tra quella di Schrödinger e quella di Heisenberg: nella rappresentazione di interazione i vettori di stato hanno una dipendenza temporale dovuta all'operatore hamiltoniano di interazione, mentre gli operatori dipendono dal tempo attraverso l'operatore hamiltoniano libero. In rappresentazione di Schrödinger la dipendenza temporale dei vettori di stato

ΦS (t)

è

data da

∂ S Φ (t) = H S ΦS (t) = (H0S + HIS ) ΦS (t) . ∂t Gli stati Φ(t) e gli operatori Ω(t) in rappresentazione di interazione S S corrispondenti Φ (t), Ω in rappresentazione di Schrödinger mediante i

(5.6) si ottengono dai loro la trasformazione

S

Φ(t) = eiH0 t ΦS (t) , iH0S t

Ω(t) = e La dipendenza temporale degli stati

i

Φ(t)

S

(5.7a)

−iH0S t

Ω e

.

(5.7b)

è data da

∂ ∂ S S Φ(t) = − H0S eiH0 t ΦS (t) + eiH0 t i ΦS (t) ∂t ∂t S iH0S t S iH0S t = − H0 e Φ (t) + e (H0S + HIS ) ΦS (t) S

S

(5.8)

S

= eiH0 t HIS e−iH0 t eiH0 t ΦS (t) ≡ HI (t) Φ(t) ,

mentre la dipendenza temporale degli operatori

Ω(t)

è data da

dΩ(t) S S S S = i H0S eiH0 t ΩS e−iH0 t − i eiH0 t ΩS e−iH0 t H0S dt = i [H0S , Ω(t)] = i [H0 , Ω(t)] ,

(5.9)

perchè S

S

HI (t) = eiH0 t HIS e−iH0 t , iH0S t

H0 = e

S H0S e−iH0 t

II.36

=

(5.10a)

H0S .

(5.10b)

Perciò, nella rappresentazione di interazione gli operatori di campo soddisfano le equazioni di campi liberi anche in presenza di interazione.

Questa proprietà rende particolarmente

utile l'impiego della rappresentazione di interazione.

5.3

Matrice S e suo sviluppo perturbativo

Risolviamo l'equazione (5.8) in modo appropriato a problemi di scattering. Deniamo un operatore

U

tale che

Φ(t) = U(t, t0 ) Φ(t0 ) ,

U(t0 , t0 ) = 1 ,

con

(5.11)

e sostituiamo la (5.11) nella (5.8):

 Eliminando la

Φ(t0 )

 ∂ i U(t, t0 ) Φ(t0 ) = HI (t) U(t, t0 ) Φ(t0 ) . ∂t

(5.12)

ed integrando, otteniamo l'equazione integrale

U(t, t0 ) = 1 − i

Z

t

dt0 HI (t0 ) U(t0 , t0 ) .

(5.13)

t0

Quest'equazione può essere risolta perturbativamente iterando la soluzione:

U(t, t0 ) = 1 − i

Z

t

 Z dt1 HI (t1 ) 1 − i



t1

dt2 HI (t2 ) U(t2 , t0 ) Z t Z t1 2 dt2 HI (t1 ) HI (t2 ) + . . . dt1 = 1−i dt1 HI (t1 ) + (−i) t0 t0 t0 Z t Z t1 Z tn−1 n . . . + (−i) dt1 dt2 . . . dtn HI (t1 ) HI (t2 ) . . . HI (tn ) + . . . . t Z 0t

t0

Se

Φi

t0

t0

(5.14)

t0

è il vettore di stato al tempo iniziale

t0 ,

il vettore di stato

Φ(t)

al tempo

t

è dato

da

Φ(t) = U(t, t0 ) Φi . L'ampiezza di probabilità di avere al tempo

t

lo stato

Φf

(5.15) è data da

(Φf , Φ(t)) = (Φf , U(t, t0 ) Φi ) ≡ Uf i (t, t0 ) . La probabilità di transizione per unità di tempo dallo stato

Pf i = Deniamo gli stati asintotici

|Uf i (t, t0 ) − δf i |2 . t − t0

Φ(−∞)

e

Φ(+∞)

ai tempi

Φi

(5.16)

allo stato

Φf

è data da

(5.17)

t = −∞

e

t = +∞,

rispettiva-

mente, cioè molto prima e molto dopo il processo di interazione. Gli stati asintotici e

Φ(+∞)

sono stati di particelle libere. Essi sono connessi dall'operatore

Φ(+∞) = U(+∞, −∞) Φ(−∞) ≡ S Φ(−∞) , II.37

Φ(−∞)

U: (5.18)

S ≡ U(+∞, −∞), Z +∞ Z +∞ 2 dt1 HI (t1 ) + (−i) dt1

dove abbiamo denito l'operatore

S =1−i

Z

−∞ (1)

−∞

≡ 1 + S + S (2) + . . . Z +∞ Z ∞ X n = (−i) dt1 −∞

n=0

S in (2) second'ordine S ,

Per mettere

dt2 . . . −∞

Z

S (2)

(2)

= (−i)

Z

2

t1

dt2 HI (t1 ) HI (t2 ) + . . .

−∞ (5.19)

tn−1

dtn HI (t1 ) HI (t2 ) . . . HI (tn ) . −∞

una scrittura più conveniente,

S e dimostriamo che

t1

che ha lo sviluppo perturbativo

Z

+∞

dt1 −∞

prendiamo in esame il termine del

t1

dt2 HI (t1 ) HI (t2 ) ,

(5.20a)

−∞

può essere riscritto nel modo seguente:

S

(2)

= (−i)

2

Z

+∞

dt1

−∞

Z

+∞

dt2 HI (t2 ) HI (t1 ) .

(5.20b)

t1

Notare che l'ordine dei fattori nella funzione integranda va mantenuto perchè le

H0 t1  t2 :

diversi in generale non commutano (la loro dipendenza temporale dipende da (5.10a)). Per dimostrare la (5.20b), riscriviamo la (5.20a) scambiando

S

(2)

= (−i)

2

Z

+∞

dt2

−∞

Z

HI

a tempi

secondo la

t2

dt1 HI (t2 ) HI (t1 ) .

(5.21)

−∞

Come illustrato dalla gura 5.1, l'integrazione nel piano

t1 t2

interessa il semipiano

t2 > t1 .

Nella (5.21) l'integrazione viene fatta prima sulle linee orizzontali, come illustrato dalla gura 5.1A, ma può essere eseguita prima sulle linee verticali nella stessa regione, come illustrato (2) può essere riscritto come dalla gura 5.1B. Quindi S

S

(2)

= (−i)

2

Z

+∞

dt1 −∞

Z

+∞

dt2 HI (t2 ) HI (t1 ) ,

(5.22)

t1

che coincide con la (5.20b). (2) Utilizzando le (5.20), S può essere scritto nella forma

S

(2)

Z t1  Z Z +∞ (−i)2 +∞ dt1 dt2 (HI (t1 ) HI (t2 )) + dt2 (HI (t2 ) HI (t1 )) = 2 −∞ −∞ t1 Z Z +∞ (−i)2 +∞ = dt1 dt2 P[HI (t1 ) HI (t2 )] 2 −∞ −∞ Z Z (−i)2 4 d x1 d4 x2 P[HI (x1 ) HI (x2 )] , = 2

(5.23)

avendo denito il prodotto cronologico (o prodotto ordinato temporalmente) di Dyson

0

P[φ(x) φ(x )] =



φ(x) φ(x0 ) φ(x0 ) φ(x) II.38

se se

x0 > x00 , x00 > x0 .

(5.24)

t2

t2

6

6

-

-

t1

t1

(A)

(B)

Figura 5.1: Dominio di integrazione per calcolare (B) corrisponde alla (5.22).

Generalizzando la denizione di (n) dimostra che S è dato da

S

(n)

P

S (2) :

(A) corrisponde alla (5.21), mentre

al caso del prodotto di un numero qualsiasi di campi, si

Z Z +∞ Z +∞ (−i)n +∞ = dt1 dt2 . . . dtn P[HI (t1 ) HI (t2 ) . . . HI (tn )] n! −∞ −∞ −∞ Z Z Z (−i)n 4 4 d x1 d x2 . . . d4 xn P[HI (x1 ) HI (x2 ) . . . HI (xn )] . = n!

L'espressione (5.14) per l'operatore

S=

Z ∞ X (−i)n n=0

n!

Si può dimostrare che

4

d x1 S

Z

S

4

(5.25)

diventa quindi

d x2 . . .

Z

d4 xn P[HI (x1 ) HI (x2 ) . . . HI (xn )] .

(5.26)

soddisfa alla condizione di unitarietà

S S † = S † S = 11 ,

(5.27)

ossia

X n

5.4

∗ Sf n Sin =

X n

∗ Snf Sni = δf i ,

(5.28)

Prodotto normale

Il prodotto normale di operatori è il prodotto degli operatori stessi ordinato in modo tale che gli operatori di distruzione compaiano tutti sulla destra; per riordinare tutti i fattori, i campi bosonici vengono considerati commutanti tra di loro e con i campi fermionici, mentre i campi fermionici vengono considerati anticommutanti tra di loro.

ϕ si ha  (+) (−)    N ϕ ϕ = ϕ(−) ϕ(+) , N ϕ(−) ϕ(+) = ϕ(−) ϕ(+) ,     N ϕ(+) ϕ(+) = ϕ(+) ϕ(+) , N ϕ(−) ϕ(−) = ϕ(−) ϕ(−) ,

Ad esempio, per un campo scalare

II.39

(5.29)

per cui si ha



 N[ϕϕ] = N ϕ(+) + ϕ(−) ϕ(+) + ϕ(−)

(5.30)

= ϕ(+) ϕ(+) + 2ϕ(−) ϕ(+) + ϕ(−) ϕ(−) .

Relazioni analoghe valgono per il campo fotonico. D'altra parte, per un campo fermionico

ψ

si ha

h (+) (−) i (−) (+) N ψ α ψ β = −ψ β ψ α , h i (−) (+) (−) N ψα ψ β = −ψ β ψα(+) ,

i h (−) (−) = −ψβ ψα(+) , N ψα(+) ψβ i h (+) (−) (+) (−) = −ψβ ψ α , N ψ α ψβ mentre per le altre coppie di operatori

(±)

ψα

,

(±)

ψβ

(5.31)

il prodotto normale lascia l'ordinamento

invariato; per cui si ha, per esempio,

i h (+) i h  (−) (+) (−) N ψ α ψβ = N ψ α + ψ α ψβ + ψβ (+)

(+)

= ψ α ψβ

(−)

(+)

+ ψ α ψβ

(−)

(+)

(−)

(−)

(5.32)

− ψβ ψ α + ψ α ψβ .

Nel caso di un prodotto di più di due campi fermionici si ha, ad esempio,

h i (−) (−) (+) (+) (−) (−) (+) (+) (+) (−) (+) ψ ψ N ψ (−) = ψ α ψδ ψβ ψ γ = −ψ α ψδ ψ γ ψβ . ψ α γ T β δ

(5.33)

+ Ciò è equivalente a

h i (−) (−) (+) (+) (+) (−) (+) N ψ (−) = −ψ α ψδ ψ γ ψβ . ψ ψ ψ α γ R β δ

(5.34)

J

− Quindi si ha un segno meno in corrispondenza di ogni scambio di operatori fermionici. Perciò, in generale, si ha

N[A1 A2 . . . An ] = (−1)P B1 B2 . . . Bn , dove

P

è il numero di scambi di coppie di operatori fermionici e il prodotto

contiene gli stessi operatori del prodotto

A1 A2 . . . An ,

(5.35)

B1 B2 . . . Bn

ma ordinati in modo che gli operatori

di distruzione compaiano tutti sulla destra. Un'altra notazione usata per il prodotto normale è

: AB : ≡ N[AB] .

(5.36)

I Proprietà del prodotto normale Il valore medio nel vuoto di un prodotto normale di operatori è nullo:

h0|N[A1 A2 . . . An ]|0i = 0 , II.40

(5.37)

a causa dell'applicazione diretta di un operatore di distruzione sul ket di creazione sul bra

h0|.

|0i

o di un operatore

Vediamo ora come un prodotto ordinario possa essere espresso in termini di prodotto normale. Osserviamo innanzi tutto che, dati due operatori di campo (fermionici o bosonici)

A

e

B,

si ha

AB = N[AB] + c , dove

c

(5.38)

è un numero (non un operatore). Infatti, per esempio,

  (+) (−) N A(+) B (−) = ±B (−) A(+) = A(+) B (−) −A B {z± B (−) A(+)} , |

(5.39)

−[A(+) ,B (−) ]∓

dove il segno superiore (inferiore) si riferisce al caso di campi bosonici (fermionici). Quindi in questo caso

c

è dato da

  c = A(+) B (−) − N A(+) B (−) = [A(+) , B (−) ]∓ ,

(5.40)

e perciò non ha carattere operatoriale, come segue dai risultati trovati precedentemente per i commutatori dei campi bosonici e per gli anticommutatori dei campi fermionici. Prendendo il valore medio nel vuoto della (5.38), si trova

c = h0|AB|0i ,

(5.41)

ossia

AB = N[AB] + h0|AB|0i .

(5.42)

Inoltre, vale l'ovvia proprietà

N[AB] = ±N[BA] ,

(5.43)

dove il segno superiore (inferiore) vale per due campi bosonici (fermionici).

5.5

HI espresso come prodotto normale

La sottrazione della carica negativa innita del mare di Dirac (vedi la sezione 3.3)

Q=e

Z

d3 x ψ † ψ = e

Xh ~p,r

i i X h (r) (r) (r) (r) N~p (e− ) − N~p (e+ ) + 1 =⇒ Q = e N~p (e− ) − N~p (e+ ) ~p,r

(5.44)

equivale a denire una densità di carica

ρ = ψγ 0 ψ − h0|ψγ 0 ψ|oi ≡ ψ † ψ − h0|ψ †ψ|0i . II.41

(5.45)

Infatti,

Z

  d3 x ψ † ψ − h0|ψ † ψ|0i i h i X h (r) X (r) + (r) − (r) + − =e N~p (e ) − N~p (e ) + 1 − e h0| N~p (e ) − N~p (e ) + 1 |0i {z } ~p,r ~p,r |

Q=e

(5.46) (5.47)

h0|0i

i X h (r) (r) + − =e N~p (e ) − N~p (e ) .

(5.48)

~p,r

Per il quadri-vettore densità di corrente si deve quindi adottare la denizione

i h j µ = ψ γ µ ψ − h0|ψ γ µ ψ|0i = N ψ γ µ ψ

(5.49)

e per la densità hamiltoniana si ha

µ

HI (x) = e ψ(x) γ ψ(x) Aµ (x) S

L'operatore

S=

5.6

=⇒

(5.50)

per l'elettrodinamica quantistica è quindi dato da

Z ∞ X (−ie)n n=0

h i µ HI (x) = e N ψ(x) γ ψ(x) Aµ (x) .

n!

4

d x1

Z

4

d x2 . . .

Z

 h i i h / / N ψ Aψ d xn P N ψ Aψ 4

x1

x2

i  h / . . . N ψ Aψ . xn

(5.51)

Prodotto cronologico di Wick

Il prodotto cronologico di Wick per operatori bosonici è denito da

T[A(x)B(x0 )] = P[A(x)B(x0 )] ,

(5.52a)

mentre per operatori fermionici è denito da

0

T[A(x)B(x )] =



A(x)B(x0 ) −B(x0 )A(x)

x0 > x00 , x00 > x0 .

se se

(5.52b)

Quindi, in generale si ha

T[A(x1 )B(x2 ) . . . ] = (−1)P P[A(x1 )B(x2 ) . . . ] , dove

P

(5.53)

è il numero di scambi di coppie di campi fermionici necessario per riordinare

temporalmente il prodotto. Nel caso dell'elettrodinamica quantistica, essendo equivalente a

S=

T

e quindi per l'operatore

Z ∞ X (−ie)n n=0

n!

4

d x1

Z

4

d x2 . . .

Z

S

si ha

HI

bilineare nei campi fermionici,

 h i i h d xn T N ψ Aψ / / N ψ Aψ 4

x1

II.42

x2

P

i  h / . . . . N ψ Aψ

è

xn

(5.54)

Questo sviluppo perturbativo risulta essere rapidamente convergente in virtù del fatto che 2 la costante (adimensionale) di struttura ne α ≡ e /4π è molto piccola rispetto all'unità −1 (α ' 137). Quindi, in elettrodinamica quantistica basta tenere conto dei primi termini dello sviluppo (5.54) per avere un buon accordo con i dati osservativi.

Per il prodotto cronologico di Wick esiste una formula analoga alla (5.42). Infatti, tenendo conto delle proprietà (5.52), (5.42) e (5.43) si ha

T[A(x1 )B(x2 )] = θ(x01 − x02 )A(x1 )B(x2 ) ± θ(x02 − x01 )B(x2 )A(x1 ) = θ(x01 − x02 ) (N[A(x1 )B(x2 )] + h0|A(x1 )B(x2 )|0i) ± θ(x02 − x01 ) (N[B(x2 )A(x1 )] + h0|B(x2 )A(x1 )|0i) = θ(x01 − x02 ) (N[A(x1 )B(x2 )] + h0|A(x1 )B(x2 )|0i) + θ(x02 − x01 ) (N[A(x1 )B(x2 )] ± h0|B(x2 )A(x1 )|0i) = N[A(x1 )B(x2 )] + h0|T[A(x1 )B(x2 )]|0i ,

(5.55)

ossia

T[A(x1 )B(x2 )] = N[A(x1 )B(x2 )] + h0|T[A(x1 )B(x2 )]|0i .

(5.56)

Per il valor medio nel vuoto del prodotto cronologico di Wick di due operatori di campo viene anche utilizzata la notazione (contrazione di

A

e

B)

h0|T[A(x1 )B(x2 )]|0i = A (x1 ) B (x2 ) .

(5.57)

Questo valore medio è diverso da zero solo se un operatore crea una particella e l'altro la distrugge.

5.7

Contrazione di campi fermionici

Vogliamo ora calcolare la seguente contrazione:

ψα (x)ψ β(x0 ) = h0|T[ψα (x)ψ β (x0 )]|0i . Il prodotto cronologico di Wick

0

T[ψα (x)ψ β (x )] = Tenendo conto che

ψ (+) |0i = ψ 0

h0|T[ψα (x)ψ β (x )]|0i =

(+)

(

T[ψα (x)ψ β (x0 )] 

è dato da

ψα (x)ψ β (x0 ) −ψ β (x0 )ψα (x)

|0i = 0

e

(−)

h0|ψα(+) (x)ψ β (x0 )|0i

−h0|ψ β (x0 )ψα(−) (x)|0i II.43

x0 > x00 , x00 > x0 .

se se

h0|ψ (−) = h0|ψ

(+)

(5.58)

(−)

= 0,

(5.59)

si ottiene

se

x0 > x00 ,

se

x00 > x0 .

(5.60)

Calcoliamo

(−)

(+)

h0|ψα (x)ψ β (x0 )|0i:

(−) h0|ψα(+) (x)ψ β (x0 )|0i

  1 XX m (r 0 ) 0 (r) (r 0 )† (r) −i(p·x−p0 ·x0 ) √ uα (~p) uβ (~p ) h0|b~p b~p0 |0i e = p0 =E V EE 0 | {z } 0 0 0 0 ~p,r ~p ,r

p0 =E

δr,r 0 δ~p,~p0

1 X m X (r) (r) −ip·(x−x0 ) = u (~p) uβ (~p) e p0 =E V E r α ~p | {z }

1 −−−→ V →∞ (2π)3 Analogamente, si ha

(+) h0|ψβ (x0 )ψα(−) (x)|0i

Z

(p /+m)αβ 2m

d3 p −ip·(x−x0 ) (p/ + m)αβ e . 2E p0 =E

1 = (2π)3

Z

(5.61)

d3 p ip·(x−x0 ) (p/ − m)αβ e , 2E p0 =E

e quindi

(5.62)

h0|T[ψα (x)ψ β (x0 )]|0i = (5.63) Z 3 h i dp 1 0 0 θ(x0 − x00 ) (p/ + m)αβ e−ip·(x−x ) − θ(x00 − x0 ) (p/ − m)αβ eip·(x−x ) = . 3 (2π) 2E p0 =E Tenendo conto della (7.15) della Parte prima, pag.I.71, possiamo scrivere

h0|T[ψα (x)α ψ β (x0 )]|0i = i [KF (x − x0 )]αβ .

(5.64)

KF (x) può essere scritto nella Z 1 p/ + m −ip·x = d4 p 2 e , 4 (2π) CF p − m2

Come si è visto nella sezione 7.1 della Parte prima,

1 KF (x) = (2π)4 dove

CF

Z

d4 p

p2

p/ + m e−ip·x − m2 + i 

è il cammino di integrazione di Feynman nel piano complesso della

p0 ,

forma

(5.65)

illustrato

nella gura 5.2. Abbiamo perciò dimostrato che

ψα (x)ψ β (x0 ) = i [KF (x − x0 )]αβ . La contrazione

ψ (x) ψ (x0 )

viene anche detta

propagatore di Feynman per l'elettrone,

infatti rappresenta la propagazione di un elettrone (virtuale) generato nel punto bito nel punto

x.

(5.66)

x0

ed

ed assor-

Dai risultati precedenti si ha quindi che il propagatore dell'elettrone nello

spazio degli impulsi è

iKF (p) =

p2

i(p/ + m) . − m2 + i 

II.44

(5.67)

Im p0

6

-

−E

r  CF

-

 r - -Re p0

+E

Figura 5.2: Il cammino di integrazione

CF

di Feynman.

Notiamo inoltre che dalla denizione di prodotto T segue che

ψ α (x)ψβ (x0 ) = − ψβ (x0 )ψ α (x) = −i [KF (x0 − x)]βα .

(5.68)

Le altre contrazioni di operatori fermionici danno risultato nullo:

ψα (x)ψβ (x0 ) = ψ α (x)ψ β (x0 ) = 0 .

(5.69)

Analogamente, le contrazioni tra campi diversi danno risultato nullo:

ψα (x)Aµ(x0 ) = ψ α (x)Aµ(x0 ) = 0 . La contrazione

Aµ (x)Aν(x0 )

(5.70)

verrà discussa in seguito.

Teorema di Wick

5.8

Per generalizzare la (5.56) al caso di un prodotto di più di due operatori, introduciamo la denizione di prodotto normale generalizzato:

N[ A B C . . . K L M . . . ] = (−1)P A L C M N[B . . . K . . . ] ,

dove

P

(5.71)

è il numero di scambi di operatori fermionici eettuato per estrarre dal prodotto

normale gli operatori contratti. Ad esempio,

N[ ψα (x1 )ψ β (x2 )ψγ (x3 )Aµ (x4 ) ψδ (x5 ) ] = − ψ β (x2 ) ψδ (x5 ) N[ψα (x1 )ψγ (x3 )Aµ (x4 )] . II.45

(5.72)

Per i prodotti di operatori calcolati a tempi diversi, si ha il

teorema di Wick :

T[ABC . . . XY Z] = N[ABC . . . XY Z] + N[ A B C . . . X Y Z ] + N[ A B C . . . X Y Z ] + . . . + N[ A B C . . . X Y Z ] + N[ A B C D . . . X Y Z ] + . . . + N[ A B C . . . W X Y Z ] + ... + N[ A B C D . . . W X Y Z ] + . . . .

(5.73)

Il teorema di Wick si dimostra per induzione. Consideriamo ora il caso dei prodotti T-misti che compaiono nella (5.54):

 h i i h T N ψ Aψ / / N ψ Aψ x1

x2

i h / N ψ Aψ

i  h / . . . N ψ Aψ .

(5.74)

xn

µ 0 sostituiamo a x = (x , ~ x) la variabile ξ µ = (x0 ± , ~x) , x con il segno positivo o negativo a seconda che si tratti di un operatore di creazione o di

In ciascun prodotto

annichilazione, rispettivamente; quindi si può omettere l'indicazione di prodotto normale ed applicare il teorema di Wick (5.73). È ovvio però che i termini contenenti contrazioni tra operatori appartenenti in origine allo stesso prodotto normale sono nulli; queste contrazioni corrispondono infatti a valori medi nel vuoto di operatori ordinati secondo la denizione di

 → 0, si trova quindi  i     h  = T ψ Aψ / / / . . . N ψ Aψ . . . ψ Aψ 

prodotto normale. Passando al limite

 h i T N ψ Aψ /

x1

xn

x1

II.46

xn

senza contrazioni a tempi uguali



.

(5.75)

Capitolo 6 Campo elettromagnetico in formulazione covariante 6.1

Sviluppo di Fourier di Aµ

Nel capitolo 1 il campo elettromagnetico era stato descritto, per semplicità, come campo di radiazione trasversale (vedi l'eq.(1.29)); ciò è possibile quando nel caso libero si sceglie il gauge di Coulomb. Volendo ora trattare il campo elettromagnetico nel caso più generale, lo sviluppiamo in serie di Fourier, includendo anche la componente temporale e quella longitudinale (le quattro componenti sono considerate come operatori hermitiani indipendenti):

3 o 1 X X 1 n (α) (α) ~ −ik·x (α)† √ a~k εµ (k) e + a~k εµ(α) (~k) eik·x Aµ (x) = √ k0 =ω V ~ α=0 2ω k

(6.1)

(−) ≡ A(+) µ (x) + Aµ (x)

(α) ~ I quadri-vettori di polarizzazione ε (k) sono scelti reali e ortogonali. In (0) (0) particolare, il quadri-vettore ε è scelto nella direzione tempo (ε · k = ω ), i quadri-vettori (1) (2) (1) (2) ~ ε e ε sono presi ortogonali a k (ε · k = ε · k = 0), e il quadri-vettore ε(3) è scelto parallelo a ~ k (ε(3) · k = −|~k|). Prendendo l'asse x3 nella direzione di ~k , ossia k = (ω, 0, 0, ω), con

ω ≡ |~k|.

si ha

ε(0) |

  1 0  = 0 , 0 {z }

quadri-vettore temporale

ε(1) |

    0 0   1  , ε(2) = 0 , = 1 0 0 0 {z } quadri-vettori trasversali

Le norme dei quadri-vettori di polarizzazione sono quindi

ε(0) · ε(0) = +1 ,

ε(3) |

(6.2)

quadri-vettore longitudinale

ε(k) · ε(k) = −1 , II.47

  0 0  = 0 . 1 {z }

(6.3)

ossia

ε(α) · ε(β) = g αβ .

(6.4)

I vettori di polarizzazione soddisfano inoltre la proprietà

X

(α) αα ε(α) = gµν . µ εν g

(6.5)

α

6.2

Commutatori di Aµ a, a†

Al capitolo 1 sono dedotte le regole di quantizzazione per gli operatori alle componenti trasversali; queste sono (α, β

limitatamente

= 1, 2)

(β) †

(α)

[a~k , a~ 0 ] = δ αβ δ~k,~k0 ,

(6.6a)

k

(α)

(α) †

(β)

[a~k , a~ 0 ] = [a~k k

(β) †

, a~ 0 ] = 0 .

(6.6b)

k

Questi commutatori possono essere immediatamente generalizzati ad includere anche le componenti longitudinale e temporale, scrivendo (α, β

= 0, 1, 2, 3)

(β) †

(α)

[a~k , a~ 0 ] = −g αβ δ~k,~k0 ,

(6.7a)

k

(α)

(α) †

(β)

[a~k , a~ 0 ] = [a~k k

(β) †

, a~ 0 ] = 0 .

(6.7b)

k

Ricaviamo da queste le proprietà di commutazione del campo

Aµ .

Si ha

 0 1 1 XX 0) 0 0 (α) (α0 ) † √ √ [Aµ (x) , Aν (x )] = ε(α) (~k) ε(α (~k ) e−i(k·x−k ·x ) [a~k , a~ 0 ] µ ν V 2ω 2ω 0 | {z k } ~k,α ~ 0 0 0

k ,α

−δ~k,~k0 g αα0

+

~ (α0 ) ~ 0 i(k·x−k0·x0 ) ε(α) µ (k) εν (k ) e

(α) † [a~k

|

(α0 ) a~ 0 ] k

, {z

δ~ ~ 0 g αα0 k,k

}

 X  1 X 1 −ik·(x−x0 ) ik·(x−x0 ) (α) (α) αα e −e =− εµ εν g V 2ω k0 =ω ~k {z } | α −−−→ −gµν V →∞

1 (2π)3

Z



k0 =ω k00 =ω 0

gµν

o d k n −ik·(x−x0 ) ik·(x−x0 ) e −e . 2ω k0 =ω

Ricordando la denizione della funzione

3

∆(x)

(6.8)

(vedi l'eq.(2.49)), si ha quindi

[Aµ (x) , Aν (x0 )] = −i gµν ∆(x − x0 ) . II.48

(6.9)

6.3

Propagatore del fotone

Calcoliamo ora il valore medio nel vuoto del prodotto cronologico

Aµ (x)Aν(x0 ) ≡ h0|T[Aµ (x) Aν (x0 )]|0i

(6.10)

(−) 0 0 (+) 0 (−) = θ(x0 − x00 ) h0|A(+) µ (x) Aν (x )|0i + θ(x0 − x0 ) h0|Aν (x ) Aµ (x)|0i . Il primo termine può essere valutato come segue:

(−) 0 h0|A(+) µ (x) Aν (x )|0i

1 XX 1 (α) (α0 ) † (α) (α0 ) −i(k·x−k 0 ·x0 ) √ √ = εµ εν e h0|a~k a~ 0 |0i V 2ω 2ω 0 {zk } k00 =ω0 | 0 ~k,α ~k ,α0

−δ~k,~k0 g αα0

  1 X 1 X (α) (α) αα −ik·(x−x0 ) = − e εµ εν g V 2ω k0 =ω α ~k {z } |

−−−→ − gµν V →∞

1 (2π)3

Z

Analogamente si ricava

0 (−) h0|A(+) ν (x ) Aµ (x)|0i

= −gµν

k0 =ω

gµν

d k −ik·(x−x0 ) e . 2ω k0 =ω 3

1 (2π)3

e quindi

Z

d3 k ik·(x−x0 ) e , 2ω k0 =ω

(6.11)

(6.12)

h0|T[Aµ (x) Aν (x0 )]|0i = (6.13) Z 3 h i 1 dk 0 0 = − gµν θ(x0 − x00 ) e−ik·(x−x ) + θ(x00 − x0 ) eik·(x−x ) . 3 (2π) 2ω k0 =ω Utilizzando una procedura analoga a quella impiegata nella sezione 7.1 della Parte prima, si dimostra che la (6.13) può essere riscritta nel modo seguente:

1 h0|T[Aµ (x) Aν (x )]|0i = (2π)4 0

Z

0

d4 k e−ik·(x−x )

−i gµν . k2 + i 

(6.14)

La frazione

−i gµν k2 + i  rappresenta quindi il propagatore del fotone nello spazio degli impulsi.

II.49

(6.15)

II.50

Capitolo 7 Processi al second'ordine perturbativo 7.1

Termini del second'ordine |ii and uno dell'operatore S , da

L'ampiezza di transizione da uno stato iniziale dello sviluppo perturbativo (5.54)

stato nale

Sf i − δf i ≡ hf |S|ii − hf |ii = hf |S

(1)

|ii + hf |S

Le ampiezze del prim'ordine perturbativo

(1)

Sf i

(2)

|ii + . . . =

∞ X n=1

|f i è

hf |S (n) |ii .

data, in termini

(7.1)

, corrispondenti ai graci del paragrafo 4.1 sono

identicamente nulle, a causa dell'incompatibilità delle condizioni di conservazione energia impulso nel vertice di interazione con le condizioni di shell di massa per le particelle siche. Esaminiamo, per esempio, il processo

 *   s H HH j HH

γ(k)

e− (p1 ) (7.2)

e+ (p2 )

Le relazioni di conservazione di energiaimpulso e quelle di shell di massa,

k2 = 0 ,

k = p1 + p2 ,

p1 scritte nel sistema di riposo dell'elettrone (~

= 0),

p21 = p22 = m2 , diventano

k 0 = p01 + p02 , ~k = ~p , 2

k 0 = |~k| , p01 = m , q q 2 2 0 2 p2 = ~p2 + m = ~k + m2 . II.51

(7.3)

(7.4a) (7.4b) (7.4c) (7.4d) (7.4e)

Queste relazioni sono incompatibili, come si vede sostituendo le ultime due nella prima. Per mantenere la condizione di conservazione di energiaimpulso nel vertice di interazione occorre rimuovere la condizione di shell di massa per almeno una delle tre particelle conuenti nel vertice.

Questo è quanto avviene in diagrammi con più vertici di interazione, dove le

particelle che collegano detti vertici sono particelle

virtuali

(fuori dallo shell di massa).

Discende da quanto visto che l'ampiezza di ordine perturbativo più basso nello sviluppo della (7.1) è quella del second'ordine perturbativo che andiamo ad esaminare in dettaglio. (2) può essere espresso nel modo seguente: Tenendo conto del teorema di Wick, il termine S

S

(2)

 h Z Z i i  h e2 4 4 / / N ψ Aψ d x1 d x2 T N ψ Aψ = − x1 x2 2 Z n     2 Z e = − d4 x1 d4 x2 N[ ψ Aψ / ψ Aψ / ] 2 x1 x2

/ ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x2 ] + N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x2 ] + N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] + N[ ( ψ A

+ N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x2 ] + N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x2 ] + N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] o / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] . + N[ ( ψ A

(7.5)

Notiamo le seguenti caratteristiche dello sviluppo (7.5): 1. Il primo termine rappresenta due fattori disgiunti, con due vertici fondamentali non collegati. 2. I due termini successivi (contenenti ciascuno la contrazione su di una coppia di operatori fermionici) sono uguali tra loro; infatti, se scambiamo tra di loro i due gruppi di operatori e poi scambiamo

Z

4

d x1

Z

x1  x2 ,

otteniamo

Z

4

4

Z

d x2 N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] = d x1 d4 x2 N[ ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 ] Z Z = d4 x1 d4 x2 N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] . (7.6)

Nella Sezione successiva mostreremo che la loro somma,

2

−e

Z

4

d x1

Z

d4 x2 N[ ( ψ A / ψ )x 1 ( ψ A / ψ )x 2 ] ,

(7.7)

contribuisce allo scattering Compton.

7.2

Scattering Compton

Consideriamo lo scattering Compton

e− (pi , r) + γ(ki , α) → e− (pf , s) + γ(kf , β) , II.52

(7.8)

che è descritto dal diagramma

γ(ki , α)

γ(kf , β) Z  Z  Z   > ~ Z  Z  Z

e− (pi , r)

(7.9)

e− (pf , s)

Nelle (7.8) e (7.9)

pi = (Ei ,~pi ) ,

pf = (Ef ,~pf )

(7.10)

sono, rispettivamente, i quadri-impulsi dell'elettrone entrante e di quello uscente e

ki = (ωi , ~ki ) ,

kf = (ωf , ~k f )

(7.11)

sono, rispettivamente, i quadri-impulsi del fotone entrante e di quello uscente.

Tutte le

particelle sono sul mass-shell:

p2i = p2f = m2 , Nelle (7.8) e (7.9)

r, s

ki2 = kf2 = 0 .

(7.12)

indicano, rispettivamente, gli stati di polarizzazione dell'elettrone

α, β

entrante e di quello uscente e

indicano, rispettivamente, gli stati di polarizzazione del

fotone entrante e di quello uscente. Gli stati iniziale e nale sono descritti dai vettori di stato

(α)† (r)† b~pi i

|ii = a~k

|0i

(stato iniziale) ,

(7.13a)

|f i = a~k

|0i

(stato nale) .

(7.13b)

(β)† (s)† b~pf f

Nel

paragrafo

dell'operatore

S

precedente

abbiamo

visto

che

il

termine

del

second'ordine,

dell'elettrodinamica quantistica contiene il termine

2

−e

Z

4

d x1

Z

d4 x2 N[ ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 ] .

S (2) , (7.14)

Questo termine fornisce il contributo all'ordine più basso allo scattering Compton:

hf |S

(2)

2

|ii = −e

Z

4

d x1

Z

d4 x2 hf | N[ ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x1 ] |ii .

(7.15)

Infatti, consideriamo in dettaglio la struttura operatoriale del prodotto normale nella (7.14):

( i h h (+) i   (−) (−) (x ) N (ψA / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 = N ψ (x2 ) + ψ (x2 ) γ µ A(+) + A (x ) 2 2 µ µ | {z } | {z } | {z } M

h

(b)

× ψ (x2 ) ψ (x1 ) γ ν A(+) (x ) + A(−) (x ) | ν {z 1} | ν {z 1} (a)

II.53

(b)

ih

(a)

ψ (+) (x1 ) +ψ (−) (x1 ) | {z } M

) i

.

(7.16)



-

x1





6

x2 J

(a)

J J ^J JJ



x1





6 (b)

x2 J

J J ^J JJ

iKF (x2 − x1 ) Figura 7.1: Diagrammi rappresentanti i due contributi allo scattering Compton all'ordine perturbativo più basso.

Solo gli operatori

ψ (+) (x1 ) e ψ

(−)

(x2 ), contrassegnati dal segno M, contribuiscono a hf | S (2) |ii,

perchè, utilizzando le (4.12) e le relazioni di anticommutazione (3.19), si ha

ψ

(+)

(r)† (x1 ) b~pi

1 X |0i = √ V ~p,r0 1 X =√ V ~p,r0

1 =√ V

r

r r

m (r0 ) (r 0 ) (r)† u (~p) e−ip·x1 b~p b~pi |0i E n 0 o m (r0 ) (r ) (r)† |0i u (~p) e−ip·x1 b~p , b~pi E {z } |

(7.17)

δr 0 ,r δ~p,~pi

m (r) u (~pi ) e−ipi ·x1 |0i , Ei

e, analogamente,

(s) (−) h0| b~pf ψ (x2 )

Invece, è immediato vericare che

ψ

1 = h0| √ V

(+)

(r)†

r

m (s) u (~pf ) eipf ·x2 . Ef

(x2 ) b~pi |0i = 0

e

(7.18)

(s)

h0| b~pf ψ (−) (x1 ) = 0.

Per quanto riguarda gli operatori del campo elettromagnetico, esistono due termini che contribuiscono all'ampiezza; questi sono contrassegnati nella (7.16) con (a) e (b). Nel caso (+) (−) (a) l'operatore Aν (x1 ) distrugge un fotone nel punto x1 e l'operatore Aµ (x2 ) crea un fotone (+) nel punto x2 . Nel caso (b) l'operatore Aν (x2 ) distrugge un fotone nel punto x2 e l'operatore (−) Aµ (x1 ) crea un fotone nel punto x1 . Questi due casi sono rappresentati gracamente dai (2) diagrammi nella gura 7.1. Perciò possiamo scrivere hf |S |ii come

(2)

(2)

Sf i ≡ hf |S (2) |ii ≡ Sa(2) + Sb , II.54

(7.19)

con

2

Z

Sb = − e2

Z

Sa(2)

= −e

(2)

d x1

Z

d4 x1

Z

4

n (−) o (−) (+) d4 x2 hf | N ψ (x2 ) A / (x2 ) ψ (x2 ) ψ (x1 ) A / (x1 ) ψ (+) (x1 ) |ii ,

(7.20a)

n (−) o 4 (+) (−) (+) d x2 hf | N ψ (x2 ) A / (x2 ) ψ (x2 ) ψ (x1 ) A / (x1 ) ψ (x1 ) |ii .

(7.20b)

Tenendo conto delle (7.13),

Sa(2) = − e2

Z

d4 x1

Z

(2)

Sa

è dato da

(β) (s)

d4 x2 h0| a~k b~pf

n

(−)

(−) (x2 ) A / (x2 ) i KF (x2 − x1 ) o (α)† (r)† (+) / (x1 ) ψ (+) (x1 ) a~k b~pi |0i ×A i #  " Z Z r 1 1 m 1 = − e2 d4 x1 d4 x2 √ u(s) (~pf ) eipf ·x2 √ p ε/(β) (~k f ) eikf ·x2 E 2ωf V V f Z q/ + m i 4 d q e−iq·(x2 −x1 ) × (2π)4 q 2 − m2 + i     r 1 1 1 m (r) (α) ~ −iki ·x1 −ipi ·x1 √ ε/ (k i ) e (7.21) × √ √ . u (~pi ) e Ei V 2ωi V

Le integrazioni su

x1

f

e

x2

ψ

producono due distribuzioni delta di Dirac che impongono la

conservazione dell'energia-impulso in ciascuno dei due vertici:

Z

Z

d4 x2 ei(pf +kf −q)·x2 = (2π)4 δ 4 (pf + kf − q) , d4 x1 e−i(pi +ki −q)·x1 = (2π)4 δ 4 (pi + ki − q) .

(7.22a)

(7.22b)

Le due distribuzioni delta di Dirac permettono di calcolare immediatamente l'integrale su

Z

d4 q δ 4 (pf + kf − q) δ 4 (pi + ki − q) f (q) = f (pi + ki ) δ 4 (pi + ki − pf − kf ) .

q:

(7.23)

Quindi, la (7.21) diventa

Sa(2)

1/2  m2 1 = − i e (2π) δ (pi + ki − pf − kf ) 2 V 4 Ei Ef ωi ωf p/i + k/i + m ε/(α) (~k i ) u(r)(~pi ) . × u(s) (~pf ) ε/(β) (~k f ) (pi + ki)2 − m2 + i  2

Notiamo che a questo punto (pi + ki )2 − m2 si ha

4



4

(7.24)

può essere messo uguale a zero, perchè per il denominatore

(pi + ki )2 − m2 = p2i + 2 pi ·ki + ki2 − m2

= 2 pi·ki = 2 Ei ωi − 2~pi · ~k i > 0 . II.55

(7.25)

(β) εν (~k f )

(α) εµ (~k i )

−ieγ µ u(r) (~pi )







-

iKF (q)

−ieγ ν

J

Figura 7.2: Regole di Feynman per il diagramma (a), con

J J ^J JJ (s) u (~p

f)

q = p i + k i = pf + k f

e

iKF (q) =

i(q/+m) . q 2 −m2 +i

Perciò l'elettrone che si propaga dal punto

elettrone virtuale.

x1

al punto

x2

non è sul mass-shell, ossia è un

Notare la corrispondenza tra i diversi fattori della (7.24) e gli elementi del diagramma

regole di Feynman ).

nella gura 7.2 (

Adottando le regole di Feynman, si può subito scrivere l'ampiezza corrispondente al diagramma incrociato (b). Infatti, associando gli opportuni fattori a ciascun elemento del diagramma (b), come illustrato in gura 7.3, si ottiene

(2) Sb

1/2  1 m2 = − i e (2π) δ (pi + ki − pf − kf ) 2 V 4 Ei Ef ωi ωf p/i − k/f + m ε/(β) (~k f ) u(r) (~pi ) . × u(s) (~pf ) ε/(α) (~k i ) (pi − kf )2 − m2 2

4

4

(7.26)

Quindi, l'ampiezza dello scattering Compton al second'ordine perturbativo è

(2)

S (2) = Sa(2) + Sb

1/2  1 m2 = − i e (2π) δ (pi + ki − pf − kf ) 2 V 4 Ei Ef ωi ωf  p/i + k/i + m × u(s) (~pf ) ε/(β) (~k f ) ε/(α) (~k i ) (pi + ki )2 − m2  p/i − k/f + m (α) ~ (β) ~ ε/ (k f ) u(r) (~pi ) +ε/ (k i ) (pi − kf )2 − m2 1/2  1 m2 2 4 4 ≡ − i e (2π) δ (pi + ki − pf − kf ) 2 A. V 4 Ei Ef ωi ωf 2

4

4

(7.27)

I Sezione d'urto dierenziale La probabilità di transizione dallo stato iniziale a quello nale è data da

|M|2 = |hf |S|ii − hf |ii|2

' |hf |S (2) |ii|2  2 1 e4 m2 |A|2 . = (2π)4 δ 4 (pi + ki − pf − kf ) V 4 4 Ei Ef ωi ωf II.56

(7.28)

(β) εµ (~k f )

-

−ieγ µ u(r) (~pi )

(α) εν (~k i )







−ieγ ν

J

iKF (q)

J J ^J JJ (s) u (~p

Figura 7.3: Regole di Feynman per il diagramma (b), con

Il quadrato di

(2π)4 δ 4 (p)

T

q = p i − k f = pf − k i .

può essere scritto come

 2 (2π)4 δ 4 (p) = (2π)4 δ 4 (p) dove

f)

Z

4

ip·x

d xe

4

4

= (2π) δ (p)

Z

d4 x , | {z }

(7.29)

V T

è l'intervallo di tempo in cui avviene il processo. Quindi, la probabilità di transizione

per unità di tempo e unità di volume è

w=

1 e4 m2 |M|2 |A|2 . = (2π)4 δ 4 (pi + ki − pf − kf ) 4 VT V 4 Ei Ef ωi ωf

(7.30)

Se vogliamo calcolare la probabilità di transizione per uno stato nale con impulsi negli intervalli

(~pf ,~pf + d~pf ), (~k f , ~k f + d~k f ),

dobbiamo moltiplicare

w

per il numero di stati, ossia

per il fattore

V d3 pf V d3 kf . (2π)3 (2π)3

(7.31)

Quindi, si ottiene

dw = (2π)4 δ 4 (pi + ki − pf − kf ) La

sezione d'urto dierenziale

e4 m2 d3 pf d3 kf 1 |A|2 . (2π)6 V 2 4 Ei Ef ωi ωf

(7.32)

è denita come rapporto tra la probabilità di transizione

per centro di scattering e per unità di tempo e l'intensità

I

del fascio (numero di particelle

incidenti per unità di supercie ed unità di tempo). La normalizzazione adottata richiede che vi sia una particella nel volume unità di tempo è

V dw .

L'intensità

V ; quindi, I del fascio

la probabilità per centro di scattering e per è data da

I = vrel ρ = dove

vrel

vrel , V

(7.33)

è la velocità relativa delle due particelle nello stato iniziale e

particelle del fascio. La sezione d'urto dierenziale

dσ =

dσ

V 2 dw . vrel

II.57

ρ

è la densità di

è quindi data da

(7.34)

* ~k f     θ - A A A A A AU ~pf

~k i

Figura 7.4: Angolo di scattering

θ

nel sistema del laboratorio.

Dalla (7.32) si ottiene

3 3 e4 m2 1 4 4 2 d pf d k f (2π) δ (pi + ki − pf − kf ) |A| , dσ = vrel 4 Ei Ef ωi ωf (2π)3 (2π)3 ossia, utilizzando

(7.35)

α ≡ e2 /4π , dσ =

|A|2 α2 m2 4 δ (pi + ki − pf − kf ) d3 pf d3 kf . vrel Ei Ef ωi ωf

Nel caso specico dello scattering Compton si ha

(7.36)

vrel = c = 1 (in unità naturali).

Volendo

ricavare la sezione d'urto dierenziale negli angoli di emissione del fotone nale, integriamo la (7.36) su

~pf

e

ωf ,

utilizzando la relazione

d3 kf = kf2 dkf dΩ = ωf2 dωf dΩ , con

dΩ = dcos θ dφ,

θ ~pf

dove

Per l'integrazione su

dσ = α2 m2 dΩ

Z

e

φ

sono gli angoli di emissione del fotone nale. δ 3 (~pi + ~k i −~pf − ~k f ):

si fa uso della

dωf

ωf δ(Ei + ωi − Ef − ωf ) |A|2 . Ei Ef ωi ~pf =~pi +~ki −~kf

La sezione d'urto dierenziale nel sistema del laboratorio, in cui

dσ = α2 m dΩ

(7.37)

Z

~pi = 0

e

Ei = m,

ωf 2 dωf δ(m + ωi − Ef − ωf ) |A| . Ef ωi ~pf =~ki −~kf

(7.38)

è

(7.39)

θ come l'angolo formato da ~k f e ~k i . Di conseguenza, φ deve essere scelto come l'angolo tra la proiezione di ~k f sul piano ortogonale a ~k i e una direzione arbitraria sullo stesso piano. L'integrazione su ωf va fatta tenendo ssi gli angoli θ e φ. Utilizzando la δ(m + ωi − Ef − ωf ) si ottiene Come illustrato nella gura 7.4, si sceglie

∂(Ef + ωf ) −1 ωf dσ 2 2 = α m , Ef ωi |A| ~pf =~ki −~kf dΩ ∂ωf ω =m+ω −E f

II.58

i

f

(7.40)

dove si è tenuto conto del fatto che

~pf = ~k i − ~k f .

Ef =

Infatti, tenendo conto che

Ef = Perciò,

q ~p2f + m2

~k 2 = ω 2 i i

dipende da

~k 2 = ω 2 , f f

e

ωf

a causa della relazione

si ha

q ωi2 + ωf2 − 2 ωi ωf cos θ + m2 .

(7.41)

∂(Ef + ωf ) −1 Ef Ef = = ∂ωf Ef + ωf − ωi cos θ m + ωi (1 − cos θ)

(7.42)

e per la sezione d'urto dierenziale si ottiene

ωf |A|2 dσ . = α2 m dΩ ωi m + ωi (1 − cos θ) pf =pi +ki −kf

(7.43)

ωi e l'angolo θ ωf , ωi e θ che permette

Poichè nel sistema del laboratorio le variabili cinematiche indipendenti sono (il processo è simmetrico rispetto all'angolo φ), esiste una relazione tra

di scrivere la (7.43) in forma più semplice. Per trovarla consideriamo la conservazione del quadri-impulso

pi + k i = pf + k f

=⇒

pi − k f = pf − k i .

(7.44)

Quadrando si ottiene

m2 − 2 pi · kf = m2 − 2 pf · ki

=⇒

pi · k f = pf · k i ,

(7.45)

e quindi

pi · kf = pf · ki = (pi + ki − kf ) · ki = pi · ki − kf · ki . Nel sistema del laboratorio, dove

~pi = 0,

(7.46)

si ottiene

m ωf = m ωi − ωf ωi (1 − cos θ) ,

(7.47)

ossia

m ωi . m + ωi (1 − cos θ)

ωf =

(7.48)

Tenendo conto di questa relazione, la (7.43) diventa

dσ = α2 dΩ



ωf ωi

I Ampiezza A Prendiamo ora in esame l'ampiezza

 A = u (~pf ) ε/f (s)

2

|A|2

pf =pi +ki −kf

.

(7.49)

A:

p/i + k/i + m p/i − k/f + m ε/i + ε/i ε/f 2 2 (pi + ki ) − m (pi − kf )2 − m2 II.59



u(r) (~pi ) ,

(7.50)

dove abbiamo usato le denizioni

εi ≡ ε(α) (~k i ) ,

εf ≡ ε(β) (~k f ) .

(7.51)

E' conveniente lavorare nel gauge di Coulomb, nel quale il campo elettromagnetico è trasversale, ossia

εi = (0,~i,T ) ,

con

εf = (0,~f,T ) ,

con

~i,T · ~k i = 0 , ~f,T · ~k f = 0 ,

(7.52a) (7.52b)

per cui

εi · ki = 0

e

ε f · kf = 0 ,

(7.53)

e

k/f ε/f + ε/f k/f = 0 .

(7.54)

e valgono le proprietà di anticommutazione

k/i ε/i + ε/i k/i = 0 Inoltre, tenendo conto che

~pi = 0,

valgono le proprietà di ortogonalità

ε i · pi = 0

e

ε f · pi = 0 ,

(7.55)

che implicano le ulteriori proprietà di anticommutazione

p/i ε/i + ε/i p/i = 0

e

p/i ε/f + ε/f p/i = 0 .

(7.56)

Applicando queste relazioni, si ha

p/i ε/i u(r) (~pi ) = −ε/i p/i u(r) (~pi ) = −m ε/i u(r) (~pi ) , (r)

(r)

(r)

p/i ε/f u (~pi ) = −ε/f p/i u (~pi ) = −m ε/f u (~pi ) .

(7.57a) (7.57b)

Tenendo inoltre conto che

(pi + ki )2 − m2 = 2 pi · ki = 2 m ωi , (pi − kf )2 − m2 = −2 pi · kf = −2 m ωf ,

(7.58a) (7.58b)

per l'ampiezza si ottiene

1 (s) A= u (~pf ) 2m



ε/f k/i ε/i ε/i k/f ε/f + ωi ωf



u(r) (~pi ) .

Questa è l'espressione più semplicata possibile per l'ampiezza per scambio

(εi , ki )  (εf , −kf ),

di transizione detta

A.

Notiamo che

(7.59)

A è invariante

che corrisponde ad una proprietà generale delle ampiezze

simmetria di crossing.

Se vogliamo calcolare la sezione d'urto di un processo di scattering Compton nel quale la polarizzazione dell'elettrone iniziale e di quello nale non sono misurate, è necessario II.60

modicare la formula (7.49) per la sezione d'urto dierenziale includendo una somma sugli stati di polarizzazione dell'elettrone nale e una media su quelli dell'elettrone iniziale, ossia

dσ = α2 dΩ Per calcolare

P

r,s

|A|2 ,



ωf ωi

2

1 X 2 |A| . 2 r,s pf =pi +ki −kf

scriviamo l'ampiezza

A

(7.60)

nella forma

A = u(s) (~pf ) O u(r) (~pi ) ,

con

1 O≡ 2m



ε/f k/i ε/i ε/i k/f ε/f + ωi ωf

(7.61)



.

(7.62)

Quindi

X r,s

  |A|2 = Tr O Λ+ (~pi ) O0 Λ+ (~pf ) ,

dove

1 O =γ O γ = 2m 0

0

† 0



ε/i k/i ε/f ε/f k/f ε/i + ωi ωf

(7.63)



(7.64)

e

Λ+ (~p) =

p/ + m 2m

(7.65)

è il proiettore sugli spinori a energia positiva denito nella (2.65) della Parte prima. Quindi,

X r,s

1 Tr |A| = 16m4 2



ε/f k/i ε/i ε/i k/f ε/f + ωi ωf



(p/i + m)



ε/i k/i ε/f ε/f k/f ε/i + ωi ωf





(p/f + m) .

(7.66)

Tenendo conto delle (7.54), la (7.66) può essere riscritta come

X r,s

1 Tr |A| = 16m4 2

=

1 16m4



ε/f ε/i k/i ε/i ε/f k/f + ωi ωf



(p/i + m)

(Tr)1 (Tr)2 (Tr)3 (Tr)4 + + + ωi2 ωi ωf ωi ωf ωf2



!

k/i ε/i ε/f k/f ε/f ε/i + ωi ωf

,





(p/f + m) ,

(7.67)

con

  (Tr)1 ≡ Tr ε/f ε/i k/i (p/i + m) k/i ε/i ε/f (p/f + m) ,   (Tr)2 ≡ Tr ε/f ε/i k/i (p/i + m) k/f ε/f ε/i (p/f + m) ,   (Tr)3 ≡ Tr ε/i ε/f k/f (p/i + m) k/i ε/i ε/f (p/f + m) ,   (Tr)4 ≡ Tr ε/i ε/f k/f (p/i + m) k/f ε/f ε/i (p/f + m) .

Consideriamo separatamente le quattro tracce (7.68): II.61

(7.68a) (7.68b) (7.68c) (7.68d)

(Tr)1.

γè  (Tr)1 = Tr ε/f ε/i k/i p/i k/i ε/i ε/f p/f + m2 ε/f ε/i k/i k/i ε/i ε/f , |{z}

Poichè la traccia del prodotto di un numero dispari di matrici



Dalla proprietà

nulla, si ha (7.69)

ki2 =0

a/ b/ + b/ a/ = 2 a · b ,

(7.70)

che deriva dalle relazioni di anticommutazione delle matrici

γ,

si ottiene

k/i p/i k/i = (−p/i k/i + 2 pi · ki ) k/i = −p/i k/i k/i +2 (pi·ki ) k/i = 2 (pi·ki ) k/i |{z}

(7.71)

ki2 =0

e


ε/i k/i ε/i = − k/i ε/i + 2 ki · εi ε/i = −k/i ε2i = k/i . | {z } |{z} 0

(7.72)

−1

Utilizzando queste due relazioni e la formula per la traccia del prodotto di quattro matrici

γ,  
Tr γ µ γ ν γ ρ γ σ = 4 g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ

(7.73)

(vedi l'Appendice C della Parte prima), si ha

    (Tr)1 = Tr ε/f ε/i k/i p/i k/i ε/i ε/f p/f = 2 (pi ·ki ) Tr ε/f ε/i k/i ε/i ε/f p/f | {z } | {z } 2 (pi ·ki ) k/i

k/i

  = 2 (pi ·ki ) Tr ε/f k/i ε/f p/f   = 8 (pi ·ki ) (εf · ki ) (εf · pf ) − ε2f (ki · pf ) + (εf · pf ) (εf · ki ) |{z} −1   = 8 (pi ·ki ) 2 (εf · ki) (εf · pf ) + (ki · pf ) .

Applicando la relazione si ha

pf = pi + ki −kf

derivante dalla conservazione di energiaimpulso,

εf · pf = εf · (pi + ki − kf ) = εf · ki , dove si è tenuto conto delle (7.53) e (7.55). Utilizzando anche la (7.45), per

(Tr)2.

(7.75)

(Tr)1 si ottiene

  (Tr)1 = 8 (pi ·ki ) 2 (εf · ki )2 + (pi · kf )   = 8 m ωi 2 (εf · ki )2 + m ωf .

Con metodi analoghi, per

(Tr)2

(7.74)

(7.76)

si ottiene

  (Tr)2 = 8 (pi·ki ) (pi·kf ) 2 (εi · εf )2 − 1 + 8 (pi·ki ) (εi·kf )2 − 8 (pi ·kf ) (εf ·ki )2   = 8 m2 ωi ωf 2 (εi · εf )2 − 1 + 8 m ωi (εi ·kf )2 − 8 m ωf (εf ·ki )2 . II.62

(7.77)

(Tr)3.

Questa traccia è uguale a

(Tr)2 .

Infatti, poichè vale la proprietà (vedi l'eq.(C.10)

della Parte prima)

    Tr γ µ1 γ µ2 · · · γ µn−1 γ µn = Tr γ µn γ µn−1 · · · γ µ2 γ µ1 ,

si ha

(7.78)

  (Tr)3 = Tr Y ε/i ε/f k/f (p/i + m) k/i ε/i ε/f (p/f + m) 



(7.79)

= Tr (p/f + m) ε/i ε/f k/f (p/i + m) k/i ε/i ε/f = (Tr)2 ,

(Tr)4.

Questa traccia è uguale a

(Tr)1

con gli scambi ε /i

 ε/f

e

ki  −kf ,

che deriva dalla

simmetria di crossing. Eettuando questi scambi nella (7.76) si ottiene

  (Tr)4 = − 8 (pi ·kf ) 2 (εi · kf )2 − (pi · ki )   = − 8 m ωf 2 (εi · kf )2 − m ωi .

(7.80)

Inserendo le espressioni (7.76), (7.77), (7.79) e (7.80) nella (7.67) si ottiene

X r,s

  1 ωi ωf 2 |A| = + + 4 (εi · εf ) − 2 . 2 m2 ωi ωf 2

(7.81)

Inne, dalle (7.60) e (7.81) si ottiene la formula di KleinNishina

dσ α2 = dΩ 4 m2



ωf ωi

2 

 ωf ωi 2 + + 4 (εi · εf ) − 2 . ωi ωf

(7.82)

Questa sezione d'urto dierenziale descrive il processo di scattering Compton con fotoni polarizzati. Ricordiamo che

ωf

non è una variabile cinematica indipendente, ma dipende da

ωi

e

θ

attraverso la relazione (7.48), ossia

ωf m = . ωi m + ωi (1 − cos θ) Per basse energie del fotone incidente, approssimata

dσ dΩ

ωi  m ' 0.5 MeV, '

ωi m

(7.83)

si ha

ωf /ωi ' 1

e vale la formula

α2 (εi · εf )2 . 2 m

(7.84)

Per ottenere la sezione d'urto dierenziale del processo di scattering Compton con fotoni non polarizzati, bisogna sommare la (7.82) sui due stati di polarizzazione del fotone nale e mediare sui due stati di polarizzazione del fotone iniziale. Utilizzando la relazione

X α,β

ε(α) (ki ) · ε(β) (kf ) II.63


2

= 1 + cos2 θ ,

(7.85)

si ottiene

α2 dσ = dΩ 2 m2



2 

ωf ωi

 ωf ωi 2 + − sin θ . ωi ωf

(7.86)

Questa è la sezione d'urto dierenziale per il processo di scattering Compton con fotoni non polarizzati. Per basse energie del fotone incidente si ottiene la sezione d'urto dierenziale classica (nonrelativistica) di Thomson

dσ dΩ

7.3

'

ωi m

α2 2 m2



ωf ωi

2


1 + cos2 θ .

(7.87)

Altri processi del second'ordine

I Termini con una contrazione fermionica Dal termine (7.7) con una contrazione

ψ (x2 ) ψ (x1 )

si ottengono anche altri processi

oltre allo scattering Compton su elettroni; complessivamente si ha

N[ ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 ] = (   (+) (−)   (+) (−) = N ψ +ψ A / +A / x2

x2

(b) (c)

M

O ♦

(7.88)



(+) (−) ψ (x2 ) ψ (x1 ) A / +A /

(a) (d) (e)

(f)



(a) (d)

(b) (c) (e)

 

(f)

x1

ψ (+) +ψ (−) M



x1

)

.

O ♦ 

Quindi, oltre allo scattering Compton già considerato abbiamo i seguenti processi (ci limitiamo a quelli con due particelle nello stato iniziale):

•

Scattering Compton su

e+ ,

γ(ki )

e+ (pi )

γ(kf )







-

(c)

γ(kf )

+

e



(pi )



J

(7.89a)

J J ^J

+

JJ e

(pf )

γ(ki ) -

(d)

II.64

J J J ^J

(7.89b)

+

JJ e

(pf )

•

Annichilazione

e+ e− , e+ (p2 ) HHH jH H

γ(k2 )

HH (7.90)

e− (p1 ) •

Produzione di coppie

 *   (e) 

γ(k1 )

e+ e− ,    *  

γ(k2 )

e+ (p2 ) (7.91)

HH H jH H HH (f )

γ(k1 )

e− (p1 )

Oltre a questi diagrammi vi sono quelli di scambio, che compaiono ogni qualvolta nello stato iniziale o in quello nale vi sono due particelle identiche (fotoni o fermioni).

Per

esempio, l'ampiezza del processo di annichilazione (7.90)

e− (p1 ) + e+ (p2 ) → γ(k1 ) + γ(k2 )

(7.92)

hγ(k1 ), γ(k2 )|Se(2) |e− (p1 ), e+ (p2 )i .

(7.93)

è data da

(−) (−) In essa gli operatori A / (x2 ) e A / (x1 ) agiscono nel modo seguente: ν (−) hγ(k1 ), γ(k2 )|γ µ A(−) (7.94) µ (x2 )γ Aν (x1 ) = h i 1 1 1 √ = h0| √ γ µ εµ (~k 1 ) eik1 ·x2 γ ν εν (~k 2 ) eik2 ·x1 + γ µ εµ (~k 2 ) eik2 ·x2 γ ν εν (~k 1 ) eik1 ·x1 . V 2ω1 2ω2 Se al primo termine del secondo membro della (7.94) viene associato il diagramma (7.90), al secondo termine sarà associato il diagramma seguente:

e+ (p2 ) HHH jH H

HH

γ(k1 ) (7.95)

γ(k2 )

e− (p1 )

 *     II.65

Si noti che il segno relativo tra i due termini della (7.94) è positivo, come dev'essere data la natura bosonica dei fotoni (statistica di BoseEinstein).

I Termini con contrazione fotonica I termini con contrazione del campo fotonico contribuiscono ai processi con quattro fermioni complessivamente tra stato iniziale e stato nale (nessun fotone reale):

N[ ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 ] = (    (+)    (+)   (−) (−) (+) (−) (+) (−) ψ +ψ ψ +ψ +ψ +ψ =N A / (x2 ) ψ A / (x1 ) ψ x2

x2

x1

(7.96)

x1

)

.

I processi originati da questo termine sono:

•

Scattering Møller

e− e− , e− (p1 ) HHj H H HH

   *   H

e− (p01 ) (7.97a)

e− (p2 )

HH HH  j  * H  HH 

e− (p02 )

e− (p1 ) HHj H H HH

H HH HH j H HH

e− (p02 ) (7.97b)

e− (p2 ) •

Scattering Møller

  *        *  

e− (p01 )

e+ e+ , e+ (p1 ) HHj H HH H

  *    H

e+ (p01 ) (7.98a)

e+ (p2 )

H HH  j H   * HH  H  II.66

e+ (p02 )

e+ (p1 ) HHj H H HH

H HH HH j H HH

e+ (p02 ) (7.98b)

e+ (p2 ) •

Scattering Bhabha

   *      *   

e+ e− ,   *    H

e− (p1 ) HHj H H HH

e+ (p2 )

HH  HH  j *  H HH 

e− (p1 ) @

@ R @ @

e+ (p2 ) •

 @ R @ @ @



Annichilazione di coppie

e+ e−

e− (p01 ) diagramma

e+ (p02 ) e− (p01 )

diagramma di

e+ (p02 )

nel campo di un elettrone o di un positrone,

e− @

e−

@ R @ @



e+ @ R @ @ @

(7.99b)

annichilazione

@ R @ @



(7.99a)

diretto

e− @

e+

e+ (p01 )

e−

e+





(7.100)

@ R @ @ @

e+

I diagrammi ((7.97b) e (7.98b)) con scambio di fermioni identici nascono da proprietà analoghe a quelle discusse per il campo elettromagnetico (vedi l'eq.(7.94)). Nel caso fermionico però il segno relativo tra ampiezza del diagramma diretto ed ampiezza del diagramma di scambio è negativo, come richiesto dalla statistica di FermiDirac.

I Cinematica dello scattering Bhabha Per quanto riguarda lo scattering Bhabha, ci limitiamo a mostrare un'importante dierenza nella cinematica tra il diagramma diretto e quello di annichilazione. II.67

Consideriamo prima il diagramma di annichilazione (7.99b). Nel sistema del baricentro si ha

e− (E,~pi ) @

@ R @ @

e+ (E, −~pi )





Per il quadri-vettore energia-impulso

q

@ R @ @ @

q

e− (E,~pf ) (7.101)

e+ (E, −~pf )

del fotone virtuale che si propaga tra i due vertici di

interazione si ha

q = (2E, ~0) per cui

q

=⇒

q 2 = (2E)2 > 0 ,

(7.102)

è un quadri-vettore di tipo tempo.

Consideriamo ora il diagramma diretto (7.99a). Nel sistema del baricentro si ha

  *  H

e− (E,~pi ) HHj H H HH

e− (E,~pf ) (7.103)

q0 e+ (E, −~pi )

HH  HH j   * H  HH 

Per il quadri-vettore energia-impulso

q 0 = (0,~pi −~pf ) per cui

q0

q0

e+ (E, −~pf )

del fotone virtuale si ha

=⇒

2

q 0 = −(~pi −~pf )2 ≤ 0 ,

(7.104)

è un quadri-vettore di tipo spazio.

I Applicazione su propagatore del fotone (scattering Møller) Consideriamo i due diagrammi (7.97) che rappresentano il contributo al second'ordine − − perturbativo all'ampiezza dello scattering Møller e e :

e− (pi ) HHH j HH H

  *    H

e− (pf ) (7.105a)

q e− (p0i )

H HH  j H   * HH  (a) H  II.68

e− (p0f )

e− (pi ) HHH j H HH

H HH HH j H HH

e− (p0f ) (7.105b)

q

e− (p0i )

   *       *  (b) 

e− (pf )

Questi diagrammi sono dovuti al termine perturbativo

Z

4

d x1

 

ν µ d x2 N − iejµ (x1 ) A (x1 ) − iejν (x2 ) A (x2 ) ,

Z

4

(7.106)

che per il diagramma (a) dà luogo all'ampiezza (viene usata una notazione abbreviata per gli spinori

u,

A(2) a

omettendo gli indici di spin)

Z

Z

d4 x2 eipf ·x1 uf (−ieγµ )ui e−ipi ·x1 Z µν 1 0 0 4 −ig × d p e−ip·(x1 −x2 ) eipf ·x2 uf 0 (−ieγν )ui0 e−ipi ·x2 4 2 (2π) p Z 1 −ig µν 4 d p uf (−ieγµ )ui = uf 0 (−ieγν )ui0 (2π)4 p2 Z Z 0 0 4 i(pf −pi −p)·x1 d4 x2 ei(pf −pi +p)·x2 × d x1 e | {z }| {z }

∝

4

d x1

(2π)4 δ4 (p0f −p0i +p)

(2π)4 δ4 (pf −pi −p)

= (−ie)2 (2π)4 δ 4 (pf + p0f − pi − p0i ) uf γµ ui

−ig µν uf 0 γν ui0 . (pi − pf )2

(7.107)

Sommando il contributo del diagramma (b), l'ampiezza totale dello scattering Møller al second'ordine perturbativo è quindi

(2)

A(2) = A(2) a + Ab 2

4 4

∝ (−ie) (2π) δ (pf +

p0f

− pi −

p0i )

 uf γµ ui

−ig µν uf 0 γν ui0 (pi − pf )2  −ig µν −uf 0 γµ ui uf γν ui0 . (pi − pf 0 )2

(7.108)

Il segno negativo è dovuto al diverso ordinamento degli operatori di creazione e distruzione (2) (2) nelle due ampiezze Aa e Ab (compare tutte le volte che si opera uno scambio di fermioni identici). II.69

Ei = Ef = Ei0 = Ef 0 ≡ E e |~pi | = |~pf | = |~pi0 | = |~pf 0 | ≡ p, quadri-impulso trasferito q = pi − pf nel diagramma (a) è dato da

Nel sistema del baricentro si ha per cui il quadrato del

q 2 = (pi − pf )2 = (Ei − Ef )2 − (~pi −~pf )2 = −(~pi −~pf )2 θ = − 2p2 (1 − cos θ) = −4p2 sin2 , 2 dove

θ

è l'angolo di scattering (cioè l'angolo tra la direzione di

l'angolo tra la direzione di

pi

e quella di

pf 0

θ + π,

è uguale a

pi

e quella di

(7.109)

pf ).

Poichè

nel caso del diagramma (b) si

ottiene

q 2 = −4p2 cos2

θ . 2

(7.110)

La sezione d'urto dierenziale per scattering non polarizzato, nel sistema del baricentro e nel limite non relativistico, è data dalla

dσ α2 1 = 2 dΩ m 16β 2 con

β ≡ p/E .

formula di Mott

1 sin4

1 + cos4

θ 2

θ 2

1 − 2 θ sin 2 cos2

θ 2

!

,

(7.111)

Dalle equazioni (7.108)(7.110) è chiaro che i denominatori dipendenti da

θ

nella (7.111) sono dovuti al propagatore del fotone; le prime due frazioni provengono, rispet(2) 2 (2) 2 tivamente, da |Aa | e |Ab | , mentre la terza è dovuta all'interferenza delle due ampiezze (2) (2) Aa e Ab .

I Diusione di elettroni da una carica statica Consideriamo il processo di diusione Coulombiana di elettroni da un nucleo atomico, rappresentato dal diagramma

e− (pi , r) HHH j H HH

  *    H

e− (pf , s) (7.112)

q

×

Il nucleo atomico può essere approssimato da una distribuzione di carica puntiforme statica, per cui la corrispondente quadri-corrente è

j ν (x) = (ρ, ~) = (Zδ 3 (~x), ~0) , la cui trasformata di Fourier è

ν

j (q) =

Z

4

−iq·x ν

d xe

j (x) =

Z

−i(Ei −Ef )t

dt e

Z

d3 x ei~q·~x (Zδ 3 (~x), ~0)

= 2πδ(Ei − Ef ) (Z, ~0) = 2πδ(Ei − Ef ) g ν0Z . II.70

(7.113)

(7.114)

La

δ(Ei − Ef )

impone la conservazione dell'energia dell'elettrone,

|~pi | = |~pf | ≡ p.

la conservazione del modulo del momento,

Ei = Ef ≡ E ,

che implica

Applicando le regole di Feynman,

si trova che il contributo del second'ordine perturbativo all'ampiezza del processo è dato da

−igµν ν0 g Z q2 1 . = iZe2 u(s) (pf )γ 0 u(r) (pi ) (pi − pf )2

A(2) ∝ − (−ie)2 u(s) (pf )γ µ u(r) (pi )

Il quadrato del quadri-impulso trasferito

q = pi − pf

è dato dalla (7.109) e per la sezione

d'urto dierenziale nel limite non-relativistico si trova la

dσ (Zα)2 1 = dΩ 4m2 β 4 sin4

(7.115)

θ 2

formula di Rutherford

.

(7.116)

I Termini con più contrazioni I due termini nella (7.5) con una contrazione fermionica e una fotonica sono uguali ed il loro contributo

2

−e

Z

4

d x1

Z

  d4 x2 N ( ψ A / ψ )x 2 ( ψ A / ψ )x 1 .

dà luogo ai due diagrammi di self-energia

e−

- xs1 - xs2 -

e−

- xs1 - xs2 -

e+

(7.117)

e+

(7.118)

Questi diagrammi modicano la massa e la carica del fermione e gli conferiscono proprietà di particella sica (fermione nudo

→

fermione sico).

Il termine nella (7.5) con due contrazioni fermioniche può essere rappresentato mediante il diagramma di self-energia del fotone:

 s sx2 

e−

x1

(7.119)

e+

Questo

diagramma dà

luogo

al

fenomeno

della

polarizzazione del

vuoto,

che

verrà

diusamente discusso nel capitolo seguente. Inne, il termine nella (7.5) con tre contrazioni fornisce il diagramma del vuoto:

e−

-

x1 s

-

e+

II.71

s x2

(7.120)

II.72

Capitolo 8 Processi ad ordini perturbativi superiori al secondo (correzioni radiative) 8.1

Scattering Møller e−e−

Consideriamo lo scattering Møller

e− e− .

2 Il contributo al second'ordine perturbativo (e )

all'ampiezza di questo processo è rappresentato dai diagrammi (7.105):

pi @ R @

pf

pi @ R @

@  @

@  @

q

p0i 

@ R @ @ @

p0f

q

p0f

p0i 

@ R @ @ @ (b)

(a)

II.73

(8.1)

pf

Il contributo all'ordine

e4

è rappresentato dai seguenti diagrammi:

H  pi HH j HH * pf   HH

H j H

HH 0 H jH pf H HH

 p0i *   

 * pf   H HH

pi HH

HH 0 H jH pf H HH

 p0i   * 

(c)

(d)

HH   pi j pf H HH *   HH

HH   pi H pf j HH *   HH

H  *   pi HH j HH  pf HH

HH 0 H jH pf H HH

 p0i   *



(e)

H

 *pf    H HH

jH H pi H

(8.2)

HH 0 H jH pf H HH

p0i  

*  

HH 0 H HHpf j H H

 p0i   * 

(f )

@ R p@ i@ @

HH H p0 H jH f H H

(h)

pf

@ p0f R @ @ @

p0i

 p0i  * 





(g)

HH  pi j H HH * pf   HH



(i)

HH 0 H jH pf H HH

 p0i *  

@ R p@ i@ @

pf

@ p0f R @ @ @

p0i



(l)

(m)

0 più i diagrammi incrociati (pf  pf ). Esaminiamo in dettaglio, unitamente al diagramma 2 4 (a) di ordine e (già studiato a pag.II.69), il graco (c) di ordine e ( ).

polarizzazione del vuoto

Il diagramma (c) trae la sua origine dal termine perturbativo

Z

4

Z

4

Z

4

Z

(8.3) d x1 d x2 d x3 d4 x4 ×  



ν µ ρ σ × N − iejµ A x1 ψ α (−ieγρ )αβ ψβ A x2 ψ δ (−ieγσ )δ ψ A x3 − iejν A x4 ,

che conduce all'ampiezza

A(4) c

∝

Z

4

d x1

Z

4

d x2

Z

4

d x3

Z

d4 x4 eipf ·x1 uf (−ieγµ )ui e−ipi ·x1 × II.74

Z

−ig µρ −ip1 ·(x1 −x2 ) d p1 e × p21 Z i(p/2 + m)βδ −ip2 ·(x2 −x3 ) 1 d4 p2 e × × (−ieγρ )αβ 4 (2π) p22 − m2 Z i(p/3 + m)α −ip3 ·(x3 −x2 ) 1 d4 p3 e × × (−ieγσ )δ (−1) 4 (2π) p23 − m2 Z 1 −ig σν −ip4 ·(x3 −x4 ) ip0f ·x4 0 4 × e e d p4 uf 0 (−ieγν )ui0 e−ipi ·x4 . 2 4 (2π) p4 1 × (2π)4

4

(8.4)

L'assegnazione dei quadri-impulsi è illustrata dal diagramma

HH  pi H j HH * pf   HH

p1 ?p3

p2 6

(8.5)

p4 HH 0 H jH pf H HH

p0i *  

 Il fattore

(−1)

in fronte al secondo propagatore fermionico nell'ampiezza (8.4) è dovuto alla

proprietà (5.71) del prodotto N ed alla proprietà (5.68) della contrazione fermionica:

  N ψ α (x2 ) ψβ (x2 ) ψ δ (x3 ) ψ (x3 ) = − ψβ (x2 ) ψ δ (x3 ) ψ (x3 ) ψ α (x2 ) . Dalle integrazioni su

x1 , x2 , x3 , x4

(8.6)

si ottengono quattro distribuzioni delta di Dirac per la

conservazione dell'energia-impulso in ciascun vertice:

Z

Z Z

Z

d4 x1 ei(pf −pi−p1 )·x1 = (2π)4 δ 4 (pf − pi − p1 ) ,

(8.7a)

d4 x2 ei(p1 −p2 +p3 )·x2 = (2π)4 δ 4 (p1 − p2 + p3 ) ,

(8.7b)

d4 x3 ei(p2 −p3 −p4 )·x3 = (2π)4 δ 4 (p2 − p3 − p4 ) ,

(8.7c)

0

0

d4 x4 ei(p4 +pf −pi)·x4 = (2π)4 δ 4 (p4 + p0f − p0i ) . II.75

(8.7d)

Utilizzando queste delta di Dirac nelle integrazioni su

Z

d4 p1

=

Z

=

Z

=

Z

Z

d4 p2

4

d p2

Z

d4 p3

Z

Z

d4 p3

4

Z

d p3

Z

p1 , p2 , p3 , p4 ,

si ottiene

d4 p4 δ 4 (pf − pi − p1 ) δ 4 (p1 − p2 + p3 ) δ 4 (p2 − p3 − p4 ) × × δ 4 (p4 + p0f − p0i ) f (p1 , p2 , p3 , p4 )

d4 p4 δ 4 (pf − pi − p2 + p3 ) δ 4 (p2 − p3 − p4 ) × 4 0 0 × δ (p4 + pf − pi ) f (p1 , p2 , p3 , p4 )

p1 =pf −pi

d4 p4 δ 4 (pf − pi − p4 ) δ 4 (p4 + p0f − p0i ) f (p1 , p2 , p3 , p4 ) p1 =pf −pi

d4 p3 δ 4 (pf + p0f − pi − p0i ) f (p1 , p2 , p3 , p4 ) p4 =p1 =pf −pi .

p2 =pf −pi +p3 (8.8)

p2 =pf −pi +p3

Quindi, denendo diagramma

p ≡ p3

e

q ≡ pi − pf ,

si ha l'assegnazione dei quadri-impulsi illustrata dal

 HH pf pi H j H *   HH  H

q ?p

p−q 6

(8.9)

q HH 0 H jH pf H HH

 p0i *  

 Per l'ampiezza

(4)

Ac

si ottiene

−ig µρ 4 4 0 0 × A(4) ∝ (2π) δ (p + p − p − p ) u (−ieγ )u f i f µ i c f i q2 Z 1 i(p/ − q/ + m)βδ i(p/ + m)α × (−1) d4 p (−ieγρ )αβ (−ieγσ )δ 2 × 4 2 2 (2π) (p − q) − m p − m2 −ig σν uf 0 (−ieγν )ui0 (8.10) × q2 = (−ie)2 (2π)4 δ 4 (pf + p0f − pi − p0i ) ×     Z −i p/ − q/ + m /+m 1 −i 2 4 µ ν p × u f γµ u i uf 0 γν ui0 . (−1) e d p Tr γ γ 2 2 4 2 2 2 q (2π) (p − q) − m p − m q2 Tenendo conto della (7.107), segue che

(4) 2 4 4 0 0 A(2) (8.11) a + Ac ∝ (−ie) (2π) δ (pf + pf − pi − pi ) ×     Z µν −ig p/ − q/ + m p/ + m −i −i 1 × uf γµ ui uf 0 γν ui0 . + 2 (−1) e2 d4 p Tr γ µ γν 2 2 4 2 2 q q (2π) (p − q) − m p − m2 q 2 II.76

Quindi l'inclusione del diagramma (c) nel calcolo dell'ampiezza Møller equivale a modicare il propagatore del fotone del diagramma (a) nel modo seguente:

−ig µν −i µν −i −ig µν −→ + 2 I , q2 q2 q q2

(8.12)

dove si è denito

I

µν

1 ≡ (−1) e (2π)4 2

Z

 d p Tr γ µ 4

p/ − q/ + m p/ + m γν 2 2 2 (p − q) − m p − m2



;

(8.13)

ossia, diagrammaticamente,

s

s

s

−→

s

+

(8.14)

s s

s

s

Notare che questa correzione al propagatore è di ordine α. µν Il tensore I è divergente, perchè l'integrale contiene termini del tipo

Z

dp p3

1 p2

(p ≡ |~p|) .

(8.15)

Si può dimostrare che (Bjorken & Drell II, pag.153; Sakurai, pag.273)

I µν = −ig µν q 2 I(q 2 ) + A(q 2 ) q µ q ν ,

(8.16)

dove

  Z ∞ 2 Z α 2α 1 dp q2 I(q ) = − dz z (1 − z) log 1 − z (1 − z) 2 . 3π m2 p2 π 0 m {z } | | {z } 2

I1

Il termine proporzionale a

qµ qν

(8.17)

I2 (q 2 )

nella (8.16) non dà contributo all'ampiezza, perchè in essa

risulta contratto con le correnti conservate jµ , jν (legge di conservazione nello spazio dei µ µ ν quadri-impulsi: q jµ (q) = 0). Pertanto il termine proporzionale a q q verrà omesso nel seguito:

I µν = −ig µν q 2 I(q 2 ) . Nella (8.17)

I(q 2 )

(8.18)

I2 (q 2 )

ed un integrale logaritmicamente

M2 α log 2 . →∞ 3π m

(8.19)

è scomposto in un termine nito

divergente:

I1 = lim 2 M

II.77

Analizziamo

2α I2 (q ) = π 2

Z

1

0

  q2 dz z (1 − z) log 1 − z (1 − z) 2 m

(8.20)

/m2  1):   q2 q2 log 1 − z (1 − z) 2 ' −z (1 − z) 2 , m m  Z 1 2 q α q2 2α − 2 . dz z 2 (1 − z)2 = − I2 (q 2 ) ' π m 15π m2 0

nel limite di bassa energia (−q

2

In questa approssimazione si ha (sottintendendo il limite

I(q 2 ) =

(8.21)

(8.22)

M → ∞)

M2 α q2 α log 2 + . 3π m 15π m2

(8.23)

Dalle (8.11), (8.18) e (8.23) si ottiene

A(2) a

+

A(4) c

 −ig µν −i µν −i + 2 I ∝ (−ie) (2π) δ (pf + − pi − uf 0 γν ui0 q2 q q2 −i  (8.24) = (−ie)2 (2π)4 δ 4 (pf + p0f − pi − p0i ) uf γµ ui 2 1 − I(q 2 ) uf 0 γ µ ui0 . q 2

4 4

p0f

p0i ) uf γµ ui



Perciò la correzione al propagatore del fotone (moltiplicato per

e2 )

è espressa dal fattore

   M2 α q2 α 4 2 4 2 log 2 − + O(e ) e 1 − I(q ) + O(e ) = e 1 − 3π m 15π m2   e2 M2 e4 q 2 2 log + O(e6 ) = e 1− − 12π 2 m2 60π 2 m2 | {z } 2

e2R

≡ e2R −

dove

eR

A(2) a

è la carica elettrica

+

A(4) c

e4R q 2 + O(e6R ) , 60π 2 m2

rinormalizzata.

2

4 4

∝ (−ieR ) (2π) δ (pf +

p0f

(8.25)

Per l'ampiezza (8.24) si ha

− pi −

p0i ) uf γµ ui

  −i e2R q 2 uf 0 γµ ui0 1 − . q2 60π 2 m2

(8.26)

Notiamo che

•

La carica elettrica è ridenita in modo tale da assorbire la divergenza di

zazione della carica ); eR è la carica elettrica sica e2R /4π

•

≡ αR ' 1/137.

L'ampiezza (8.26) è nita. II.78

I(q 2 ) (rinormaliz-

misurata in processi di bassa energia:

•

L'eetto prodotto dal termine

e2

q2 è misurabile (come verrà mostrato in seguito). m2

− 60πR2

Per comodità di notazione, nel seguito si utilizzerà per la carica sica (rinormalizzata) la notazione usuale  e (quindi

e ≡ eR

e

e = e0



α ≡ αR );

la carica nuda (da rinormalizzare) verrà

indicata con  e0 . Perciò, in queste notazioni, si ha

Per

esaminare

compiutamente

M2 e2 1 − 0 2 log 2 12π m

il

fenomeno

1/2

della

.

(8.27)

rinormalizzazione

della

carica,

occorrerebbe considerare, oltre ai diagrammi esaminati precedentemente,

H  HH   HH  H

H  HH   HH  H

(8.28)

(2a)

(1)

self-energia del fotone

anche gli altri graci rappresentanti le correzioni all'ordine

HH   HH  HH

α:

HH   HH  HH

HH   HH  HH (8.29)

(2b)

(2c)

correzione di vertice

self-energia dell'elettrone

Risulta però che le modicazioni (innite) alla carica introdotte dal diagramma (2b) si cancelano esattamente con quelle relative ai diagrammi (2c). Ne segue che la rinormalizzazione della carica è unicamente dovuta al diagramma (2a); essa è quindi data dalla (8.27) ed è − − indipendente dalla natura della particella (e , µ , . . . ). II.79

I Correzioni radiative nell'interazione e− nucleo Consideriamo i due diagrammi

HH   HH  HH

HH   HH  HH

(8.30)

×

×

(2a)

(1) Ponendo nella (8.26) (vedi la (7.114))

uf 0 γ µ ui0 ∝ Z g µ0 ,

(8.31)

per l'ampiezza relativa ai due diagrammi (8.30) si ottiene

2

4 4

A ∝ (−ie) Z (2π) δ (pf + Quindi, tenendo conto che

p0f

− pi −

p0i ) uf γ0 ui

−i q2



e2 q 2 1− 60π 2 m2



.

(8.32)

q 2 = −~q 2 (poichè, come visto a pag.II.70, l'approssimazione statica

per il nucleo impone la conservazione dell'energia dell'elettrone), si ha

1 A∝Ze 2 q 2

  e2 q 2 Z e2 Z e4 1− = − . − 60π 2 m2 60π 2 m2 ~q 2

(8.33)

Il potenziale è la trasformata di Fourier dell'ampiezza e quindi

  Z Z e2 1 Z e4 3 i~q·~r − 2 − d qe V (r) = (2π)3 60π 2 m2 ~q Z e2 Z e4 = − − δ 3 (~r) , 2 2 4π r 60π m dove si è utilizzato il risultato (r

Z

(8.34)

≡ |~r|)

Z ∞ Z +1 ei~q·~r d q 2 = 2π d|~q| dcos θ ei|~q|r cos θ ~q 0 −1 Z sin x 2π 2 4π ∞ dx = . = r 0 x r 3

Dalle formule (8.33) e (8.34) discende che: II.80

(8.35)

~q 2  1 (grande parametro d'urto), l'elettrone viene diuso m2 da un potenziale con l'usuale dipendenza coulombiana 1/r dalla distanza.

1. A piccolo momento trasferito,

2. A grande momento trasferito (quando l'elettrone penetra nella zona occupata dalla sorgente) il potenziale manifesta una componente attrattiva aggiuntiva proporzionale a

δ 3 (~r). 3. Queste proprietà sono una manifestazione del fenomeno di polarizzazione del vuoto, che provoca a grande distanza un eetto di parziale schermatura della carica sorgente. 4. Nell'atomo di idrogeno il secondo termine della (8.34) provoca un abbassamento dei livelli energetici relativi agli stati

∆En`

S

ψn` (0) 6= 0); il calcolo perturbativo dà il risultato

(per i quali

e4 =− 60π 2 m2

Z

e4 |ψn` (0)|2 . 60π 2 m2

(8.36)

(in unità naturali) ,

(8.37)

d3 r |ψn` (~r)|2 δ 3 (~r) = −

Tenendo conto che

|ψn` (0)|2 =

1 δ`0 , π a30 n3

a0 =

1 ~ 1 = α mc αm

si ottiene

∆En` = − Per esempio, per lo stato

2S1/2

4m α5 δ`0 . 15π n3

(8.38)

si ha

∆E = −1.12 × 10

−13

MeV = −27 MHz



E ν= 2π~



.

(8.39)

Questo valore rappresenta quindi il contributo del diagramma di polarizzazione del vuoto

Lamb shift ) tra gli stati 2S1/2 e 2P1/2 .

alla dierenza in energia (

Altri diagrammi che generano correzioni all'ordine

HH   HH  HH

α

all'interazione

HH   HH  HH

e− nucleo

sono

HH   HH  HH (8.40)

×

×

(2b)

(2c)

×

I loro contributi al Lamb shift sono (Itzykson & Zuber, pag.358) diagramma (2b)

:

∆E = 68 MHz ,

(8.41)

diagrammi (2c)

:

∆E = 1011 MHz .

(8.42)

II.81

La somma dei contributi dei diagrammi all'ordine

α

implica una dierenza di energia

∆E = 1052 MHz tra gli stati

2S1/2

e

2P1/2 .

(8.43)

Se si tiene conto di altre correzioni (correzioni radiative agli ordini

superiori, eetti dovuti alla dimensione nita del protone, ecc.), il risultato teorico diviene

(∆E)teorico = 1057.864 ± 0.014 MHz ,

(8.44)

in ottimo accordo con i dati sperimentali:

(∆E)sperimentale = 1057.862 ± 0.020 MHz .

(8.45)

I Momento magnetico anomalo I diagrammi (2a)(2c) forniscono per il rapporto giromagnetico dei leptoni carichi (Sakurai, pag.289)

g =2+ (g

= 2

è il valore di Dirac).

α π

(8.46)

Le correzioni di ordine superiore dipendono dalla massa del

leptone.

I Rinormalizzazione della massa In elettrodinamica quantistica anche la massa è soggetta ad un processo di rinormalizzazione secondo un meccanismo simile a quello della rinormalizzazione della carica. (vedi, per esempio, Mandl & Shaw, pag.190).

II.82

Parte III

Elementi di Interazione Debole

A. Bottino

e

III.1

C. Giunti

Capitolo 1 Generalità sull'interazione debole 1.1

Processi deboli

L'interazione debole è responsabile di

•

numerosi processi di decadimento; per esempio



il decadimento del muone

µ− → e− + νµ + ν¯e ,







(1.1)

il decadimento di pioni carichi in muoni e neutrini

π + → µ+ + νµ ,

(1.2)

n → p + e− + ν¯e ,

(1.3)

il decadimento del neutrone

i decadimenti

β

nucleari

N (Z, N) → N (Z + 1, N − 1) + e− + ν¯e {z } | − n → p + e + ν¯e nel nucleo N N (Z, N) → N (Z − 1, N + 1) + e+ + νe | {z } + p → n + e + νe nel nucleo N ; questo processo

(decadimento

β −) ,

(1.4)

(decadimento

β +) ;

(1.5)

è energeticamente impossibile per protoni liberi

•

altri processi sici come



reazioni indotte da neutrini; ad esempio

νµ + e− → µ− + νe , III.3

(1.6)





cattura

µ−

da parte di nuclei

µ− + N (Z, N) → N (Z − 1, N + 1) + νµ ; | {z } − µ + p → n + νµ nel nucleo N

(1.7)

la formazione di un deutone a partire da due protoni (questa reazione inizia il ciclo di fusione principale all'interno del sole)

p + p → d + e+ + νe .

(1.8)

Vediamo ora alcune proprietà fondamentali dei processi deboli.

I Intensità dell'interazione debole Le vite medie dei processi di decadimento debole sono assai più lunghe di quelle relative −23 a decadimenti di tipo forte (τ ∼ 10 s; per esempio, ρ → 2π ) o di tipo elettromagnetico −16 0 (τ ∼ 10 s; per esempio, π → 2γ ). Per esempio


τ µ− → e− + νµ + ν¯e = 2.2 × 10−6 s ,
τ π + → µ+ + νµ = 2.6 × 10−8 s .

(1.9) (1.10)

Tenuto conto che la vita media è inversamente proporzionale alla larghezza di decadimento

Γ (τ = ~/Γ)

e che questa è data dal modulo quadro dell'ampiezza di decadimento, inte-

grata sugli stati nali, se ne deduce che nei processi di bassa energia l'interazione debole si manifesta con un'intensità assai più tenue di quelle dell'interazione forte e dell'interazione elettromagnetica. È quindi evidente che nei processi di bassa energia l'interazione debole ha un ruolo importante solo quando, per la natura delle particelle che vi partecipano o per le particolari leggi di conservazione, le interazioni forti ed elettromagnetiche non intervengono.

I Conservazione dei numeri leptonici Nei processi deboli sopra indicati i leptoni compaiono associati a due a due nei doppietti, (νe , e− ), (νµ , µ− ), (ντ , τ − ) e nei loro coniugati di carica (¯ νe , e+ ), (¯ νµ , µ+ ),

o famiglie, (¯ ντ , τ + ).

Questa proprietà induce ad associare ai leptoni di ogni doppietto un

numero leptonico.

Ai leptoni sinora osservati vengono associati i numeri leptonici

Le Lµ Lτ

(numero leptonico elettronico), (numero leptonico muonico),

(1.11)

(numero leptonico del tau),

secondo lo schema descritto nella Tabella 1.1. Si denisce anche il numero leptonico totale

L = Le + Lµ + Lτ . I numeri leptonici

Le , Lµ , Lτ

(1.12)

sono separatamente conservati nei processi di interazione

debole del tipo (1.1)(1.8). Un esempio signicativo di evidenza sperimentale della proprietà III.4

Le

Lµ

Lτ

(νe , e− )

+1

0

0

(νµ , µ− )

0

+1

0

(ντ , τ − )

0

0

+1

Tabella 1.1: Assegnazione dei numeri leptonici

Le 6= Lµ

µ− , che avviene mediante − − elettromagnetico µ → e + γ .

è fornito dal decadimento del

non mediante il processo

il processo debole (1.1) e

Gli unici processi nora osservati in cui i numeri leptonici non sono conservati sono i processi di oscillazione dei neutrini solari e dei neutrini atmosferici, nei quali si realizzano να → να0 (α0 6= α), dove α e α0 sono indici di famiglia.

transizioni del tipo

I Simmetria di crossing

Per le leggi di conservazione dei numeri leptonici (come per tutte quelle di numeri quantici additivi) è equivalente avere un leptone nello stato iniziale

u

-

` u

(1.13)

oppure la sua antiparticella nello stato nale

-

(1.14)

`¯

Come conseguenza di questa proprietà, numerosi importanti processi deboli sono ricavabili l'uno dall'altro mediante l'operazione di

crossing

cioè lo scambio di una particella dello

stato iniziale (nale) con la corrispondente antiparticella nello stato nale (iniziale). Per esempio, dal processo (1.6)

νµ Z

e−

  Z  Z ~ >  Z  Z  Z  Z   ZZ  Z ~Z Z  >   Z Z 

µ− (1.15)

νe

si può ottenere, per crossing, il decadimento

µ+

-

   >     Z Z Z ~ Z Z Z Z

che è il coniugato di carica del decadimento (1.1). III.5

ν¯µ νe e+

(1.16)

K + (u¯ s), K 0 (d¯ s)

S = +1

Λ0 (uds)

S = −1

Σ+ (uus), Σ0 (uds), Σ− (dds)

S = −1

Ξ0 (uss), Ξ− (dss)

S = −2

Tabella 1.2: Stranezza di alcuni mesoni e barioni

Tabella 1.3: elettrica) e

1.2

S

B

Q

S

u

1/3

2/3

0

d

1/3

−1/3

0

s

1/3

−1/3

−1

Assegnazione dei numeri quantici additivi (stranezza) ai quark

B

(numero barionico),

Q

(carica

u , d , s.

Violazione di leggi di conservazione

Alcune leggi di conservazione soddisfatte dall'interazione forte e da quella elettromagnetica sono invece violate dall'interazione debole.

I Stranezza S

è un numero quantico additivo che viene associato ad alcune particelle ± 0 ¯0 0 ± 0 − 0 adroniche (ad esempio, ai mesoni K , K , K , . . . e ai barioni Λ , Σ , Σ , Ξ , Ξ , . . . ) La stranezza

per tenere conto del fatto che tali particelle compaiono sempre a coppie nei processi forti ed elettromagnetici a cui esse partecipano. L'assegnazione del valore della stranezza per alcuni mesoni e barioni è descritto nella Tabella 1.2, dove in parentesi è indicato per ciascuna particella il contenuto in termini dei quarks

u

(up),

d

s

(down),

(strange), con i numeri

quantici additivi elencati nella Tabella 1.3. Naturalmente, nell'operazione di coniugazione di carica si ha

K − (S = −1) ,

¯ 0 (S = −1) , K

S → −S :

¯ 0 (S = +1) , Λ

... .

La legge della conservazione della stranezza comporta che mediante l'urto di due adroni non strani non sia possibile produrre una singola particella strana; per esempio,

+ π+ + n → / K + n, mentre un

K+

può essere prodotto congiuntamente ad un'altra particella strana (produzione

associata), ad esempio

π + + n → K + + Λ0 . III.6

(1.17)

~pν

6

ν¯e 60

60

Co

Ni∗

spin 5

+

antineutrino con elicità

= +1

u

spin 4

e−

elettrone con elicità

?

= −ve /c

~pe

Figura 1.1: Congurazione preferenziale del decadimento (1.22).

Analogamente, altri processi forti sono, ad esempio,

K − + p → Λ0 + π 0 , K − + p → Λ0 + K + + K − .

(1.18) (1.19)

Al contrario dei processi forti ed elettromagnetici, i processi deboli possono avvenire con violazione di stranezza. Questa proprietà consente, per esempio, i decadimenti

K + → µ+ + νµ Λ0 → p + π −

(processo semi-leptonico) ,

(1.20)

(processo non-leptonico) .

(1.21)

I Parità L'interazione debole non conserva la parità, che è invece conservata nelle interazioni forte ed elettromagnetica. La non-conservazione della parità è stata vericata sperimentalmente in numerosi processi di interazione debole, tra i quali il più famoso è quello relativo alla misurazione − dell'asimmetria della distribuzione angolare dei prodotti del decadimento β

60

Co −→ |60{z Ni}∗ +e− + ν¯e |{z}

spin 5 con nuclei polarizzati di

60

Co

(1.22)

spin 4

(gli spin nucleari vengono allineati mediante l'applicazione

di un campo magnetico esterno).

Questo decadimento avviene preferenzialmente con la

congurazione descritta nella Figura 1.1, con l'emissione di un elettrone con valore medio di elicità

= −ve /c

e di un antineutrino elettronico con elicità

= +1.

La congurazione descritta nella Figura 1.1 non è invariante per inversione spaziale. Infatti, come descritto nella Figura 1.2, per inversione spaziale i vettori polari degli impulsi cambiano segno, mentre i vettori assiali degli spin restano invariati. La congurazione (B) III.7

~p

~p

6ν 60

60

Co

Ni∗

-

+

s

ν¯e

60

P

60

Co -

−→

e−

? ~p

(A)

6e

+

s

e− ν¯e

? ~p

(B)

e

Ni∗

ν

Figura 1.2: Inversione spaziale della congurazione preferenziale del decadimento (1.22).

della Fig.1.2, ottenuta dalla congurazione (A) per inversione spaziale, non viene osservata sperimentalmente.

Ciò signica che il processo non è invariante per inversione spaziale e

quindi che la parità non è conservata. Dalle osservazioni sperimentali di numerosi processi di decadimento

•

nei decadimenti

•

nei decadimenti

−ve /c

+ve /c

β−

si è visto che

vengono sempre emessi un elettrone con valore medio dell'elicità

e un antineutrino elettronico con elicità

β+

β

=

= +1;

vengono sempre emessi un positrone con valore medio dell'elicità

e un neutrino elettronico con elicità

= −1.

Queste proprietà implicano che nei decadimenti

β

la violazione della parità è massima

e

che l'elettrone e il neutrino partecipano a questi processi con lo spinore (nello spazio degli impulsi)

u L ≡ PL u ≡

1 + γ5 u. 2

(1.23)

Per vericare questa proprietà, calcoliamo il valore medio dell'elicità dell'elettrone nello stato descritto dallo spinore

uL :

*

~ · ~pe Σ |~pe |

+

L

=

X r

(r) †

uL (pe )

X

(r) †

~ · ~pe (r) Σ u (pe ) |~pe | L (r)

uL (pe ) uL (pe )

r

III.8

.

(1.24)

Calcoliamo il numeratore della (1.24), tenendo conto che

=

numeratore

h i ~ , γ 5 = 0, Σ

~ · ~pe
Σ
1 X (r) † u (pe ) 1 + γ 5 1 + γ 5 u(r) (pe ) 4 r |~pe |

~ · ~pe
1 X (r) † Σ u (pe ) 1 + γ 5 u(r) (pe ) 2 r |~pe | # " X ~ · ~pe
1 Σ † = Tr 1 + γ5 u(r) (pe ) u(r) (pe ) 2 |~pe | r # " ~ · ~pe
Σ p / + m 1 e e 0 1 + γ5 γ . = Tr 2 |~pe | 2me =

Essendo

~ = −γ 0~γ γ 5 , Σ

(1.25)

per il numeratore della (1.24) si ottiene

numeratore


 pke Tr Σk 1 + γ 5 (p/e + me ) γ 0 |~pe | 

 pke Tr −γ k 1 + γ 5 (p/e + me ) |~pe |       k  k   |~p | 1 pke 5 =− e . Tr γ p/e − Tr γ p/e γ = − 4 me |~pe |  me {z }  | {z } |

1 4 me 1 = 4 me

=

(1.26)

0

4 pke

Calcoliamo ora il denominatore della (1.24): denominatore



1 X (r) † u (pe ) 1 + γ 5 1 + γ 5 u(r) (pe ) 4 r " # X
1 † = Tr 1 + γ 5 u(r) (pe ) u(r) (pe ) 2 r    Ee
 1 1 /e + me 0 5 p = Tr 1 + γ γ = Tr p/e γ 0 = . 2 2me 4 me me

=

(1.27)

Quindi, per il valor medio dell'elicità dell'elettrone si ottiene

*

~ · ~pe Σ |~pe |

+

L

=−

|~pe | ve =− Ee c

(in unità ordinarie) .

(1.28)

Analogamente, si ottiene che il valore medio dell'elicità in uno stato descritto dallo spinore

1 − γ5 u 2

u R ≡ PR u ≡ è

*

~ · ~pe Σ |~pe |

+

=+

R

III.9

ve . c

(1.29)

(1.30)

Questo

sarebbe

il

valore

medio dell'elicità dell'elettrone, qualora la congurazione β − fosse quella (B) di Fig.1.2, anzichè quella (A). − Se vi fosse conservazione della parità nel decadimento β , l'elettrone sarebbe descritto

preferenziale del decadimento

u = uL +*uR ed + il valore medio dell'elicità sarebbe nullo. Dal fatto ~ · ~pe ve Σ si osserva = − (che è uno dei due valori estremi ±ve /c), |~pe | c

dallo spinore completo che sperimentalmente

si deduce che nel processo in esame non solo si ha violazione di parità, ma anche che questa violazione è massima.

III.10

Capitolo 2 Spinori chirali 2.1

Autofunzioni dell'operatore chiralità

5 è detta operatore di chiralità. Poichè l'operatore γ è hermitiano esso è 5 2 5 diagonalizzabile; dalla proprietà (γ ) = 11 segue che gli autovalori di γ sono ±1. Indichiamo 5 con ψL e ψR le autofunzioni di γ con autovalori +1 e −1, rispettivamente; ossia, La matrice

γ5

γ 5 ψL = + ψL , γ 5 ψR = − ψR .

A partire da uno spinore generico

ψ

è possibile generare le due autofunzioni di

(2.1a) (2.1b)

γ5

nel

modo seguente:

1 + γ5 ψ, 2 1 − γ5 ψ, ψR ≡ 2 ψL ≡

(2.2a) (2.2b)

come si può immmediatamente vericare. Uno spinore qualsiasi

ψ

può essere scomposto nella somma

ψ = ψL + ψR .

(2.3)

Conviene denire due operatori di proiezione di chiralità:

1 + γ5 , 2 1 − γ5 PR ≡ , 2 PL ≡

(2.4a) (2.4b)

che soddisfano alle proprietà

PL + PR = 11 , (PL )2 = PL , (PR )2 = PR , PL PR = PR PL = 0 . III.11

(2.5a) (2.5b) (2.5c) (2.5d)

I ψL e ψR in rappresentazione chirale La rappresentazione chirale delle matrici

γ

è denita come la rappresentazione in cui

γ5

è diagonale:

0

γ =



0 11 11 0



k

,

γ =



0 σk −σ k 0



5

,

γ =



11

0 0 −11



.

(2.6)

In questa rappresentazione la forma esplicita degli operatori di proiezione di chiralità è particolarmente semplice:

 1 + γ5 1 = PL ≡ 0 2  1 − γ5 0 = PR ≡ 0 2 Scrivendo un generico spinore

ψ

 0 , 0  0 . 1

(2.7a)

(2.7b)

come

  χ1 , ψ= χ2 dove

χ1

si ha

e

χ2

(2.8)

sono spinori a due componenti, per le autofunzioni (2.2) dell'operatore chiralità

 1 ψL = PL ψ = 0  0 ψR = PR ψ = 0

    χ1 χ1 , = 0 χ2     0 χ1 0 . = χ2 χ2 1

0 0

(2.9a)

(2.9b)

Conviene quindi usare le denizioni

χL ≡ χ1 ,

χR ≡ χ2 ,

(2.10)

per cui

  χL ψL = , 0

ψR =







ψ = ψL + ψR =

χL χR

0 χR



,

.

(2.11)

(2.12)

I Equazioni del moto per ψL e ψR Se

ψ

è una generica soluzione dell'equazione di Dirac libera, abbiamo

1 − γ5 1 + γ5 ψ= i ∂/ ψ 2 2 1 − γ5 = m ψ ≡ m ψR , 2

i ∂/ ψL ≡ i ∂/

III.12

(2.13)

e analogamente

i ∂/ ψR = m ψL . Queste sono le due equazioni del moto per massa e si disaccoppiano solo se

ψL

e

ψR .

(2.14) Esse sono accoppiate dal termine di

m = 0.

Tale proprietà è da mettersi in relazione con il fatto 5 che la chiralità è un buon numero quantico (ossia γ commuta con l'hamiltoniana di Dirac

H=α ~ · ~p + β m)

m = 0; infatti,  5 k γ , α = 0,

solo se

 5  γ , β = 2 γ 5 β 6= 0 .

(2.15)

Le proprietà peculiari delle particelle di spin 1/2 con massa nulla derivano dall'invarianza della densità lagrangiana di Dirac per trasformazioni chirali. Denita come trasformazione chirale la trasformazione

ψ → γ5 ψ ,

(2.16)

la lagrangiana di Dirac si trasforma nel modo seguente:

LD = ψ (i ∂/ − m) ψ −−−−→ ψ (−γ5 ) (i ∂/ − m) γ5 ψ ψ→γ5 ψ

= ψ (i ∂/ + m) γ52 ψ = ψ (i ∂/ + m) ψ = LD + 2 m ψ ψ .

(2.17)

Si ha quindi invarianza per trasformazione di chiralità se e solo se Come si è visto, per una particella di spin e (2.14) per gli spinori

ψL

e

ψR

1/2

con

m=0

sono disaccoppiate. In questo caso è possibile che per la

descrizione della particella sia suciente solo uno dei due spinori,

2.2

m = 0.

le equazioni del moto (2.13)

ψL

o

ψR .

Proprietà di elicità per m = 0

L'equazione di Dirac per

m=0

può essere scritta come

  ~ ψ = 0. i γ 0 ∂0 + i ~γ · ∇

Moltiplicandola a sinistra per

γ 5γ 0

(2.18)

si ha

~ ψ = i γ 5 γ 0 γ 0 ∂0 ψ , −i γ 5 γ 0 ~γ · ∇ ossia, utilizzando la denizione

~ = −γ 0~γ γ 5 , Σ ~ ·∇ ~ ψ = γ 5 i ∂0 ψ . iΣ

(2.19)

Sostituendo

ψ(x) = e−ip·x u(p) III.13

(p0 = +|~p|) ,

(2.20)

si ottiene

~ · ~p Σ u(p) = γ 5 u(p) . |{z} |~p| | {z } operatore operatore di di chiralità elicità

−

(2.21)

Quindi le autofunzioni dell'operatore di chiralità sono anche autofunzioni dell'operatore elicità, con autovalori di segno opposto per soluzioni ad energia positiva (per soluzioni ad energia 0 negativa, p = −|~ p|, gli autovalori sono identici).

2.3

Equazioni di Weyl

Nella rappresentazione chirale si ha

  ~σ 0 0 5 ~ Σ = −γ ~γ γ = , 0 ~σ

(2.22)

       ~ ∂ χL 1 0 χL i ~σ · ∇ 0 . i = ~ 0 −1 χR ∂t χR 0 i ~σ · ∇

(2.23)

e quindi l'eq.(2.19) si scrive

Da questa equazione si ottengono le due equazioni disaccoppiate

equazioni di Weyl spinori di Weyl.

Queste sono le detti

~ χL = i ∂ χL , i ~σ · ∇ ∂t

(2.24a)

~ χR = i ∂ χR . −i ~σ · ∇ ∂t

(2.24b)

e gli spinori a due componenti

χL

e

χR , loro soluzioni, sono

Sostituendo nelle (2.24)

χL,R (x) = e−ip·x χL,R (p) ,

(2.25)

−~σ · ~p χL (p) = p0 χL (p) , ~σ · ~p χR (p) = p0 χR (p) .

(2.26a)

si ottiene

(2.26b)

Queste equazioni implicano che

p20 χL,R (p) = (~σ · ~p)2 χL,R (p) = ~p2 χL,R (p) , III.14

(2.27)

Stati di elicità di

χL

Stati di elicità di

-

-

~p

~p

p0 > 0

-

p0 = ±|~p|.

χL (p) χL (p)

~p

p0 > 0

Figura 2.1: Stati di elicità di

da cui segue che

-

~p

p0 < 0

(a)

χR

χL

e

(b)

p0 < 0

χR .

Quindi (vedi la Fig.2.1a)

descrive uno stato ad elicità descrive uno stato ad elicità

−1 +1

p0 = +|~p|, p0 = −|~p|,

(sinistrorsa) per (destrorsa) per

mentre (vedi la Fig.2.1b)

χR (p) χR (p)

2.4

descrive uno stato ad elicità descrive uno stato ad elicità

+1 −1

p0 = +|~p|, per p0 = −|~ p|.

(destrorsa) per (sinistrorsa)

Neutrini e antineutrini

Per particelle con

m 6= 0

l'elicità non è una grandezza Lorentzinvariante. Infatti, mediante

~p

una trasformazione di Lorentz che manda della particella.

in

−~p,

si può cambiare il segno dell'elicità

Questa operazione non è possibile per particelle di massa nulla, che si

propagano con la velocità della luce; per queste particelle l'elicità è quindi una grandezza Lorentzinvariante. Se la massa dei neutrini è nulla, allora i neutrini soddisfano alle equazioni di Weyl e

χL o χR (che, attraverso l'eq.(2.11), ψL e ψR ). Per stabilire quale di queste

possono essere descritti da spinori a due componenti sono equivalenti agli spinori a quattro componenti

soluzioni sia realizzata in natura, occorre fare ricorso ai risultati sperimentali sullo studio dei processi deboli (per esempio, decadimenti

β

nucleari). Quest'aspetto del problema è stato + presentato nel capitolo precedente, dove abbiamo visto che i neutrini, emessi nei processi β unitamente ai positroni, hanno elicità spinori sinistrorsi

χL ,

= −1.

Pertanto i neutrini devono essere associati a

con i seguenti valori di elicità:

ν

con

E>0

=⇒

elicità

= −1

ν

con

E<0

=⇒

elicità

= +1

III.15

Osserviamo ora che, in generale, per una particella di Dirac si ha

energia

particella con

spin

elicità

~p

~ ~ hΣi 2

~  Σ · ~p |~p|

−~p

~ ~ − hΣi 2

−|E|

E<0

antiparticella con

impulso

E>0

+|E|

~  Σ · ~p |~p|

E > 0 un valore di elicità −1, E > 0 un valore di elicità +1.

Ne segue che, se si associa ad un neutrino con energia occorre associare ad un antineutrino (ν ¯) con energia Quindi

ν

e

ν¯,

allora

oltre ad essere dierenziati da valori opposti di numero leptonico, sono

anche caratterizzati da valori opposti di elicità (e di chiralità).

2.5

Operazioni C , P , T sulle equazioni di Weyl

Studiamo ora le proprietà di trasformazione delle equazioni di Weyl per le trasformazioni discrete

C, P , T .

I Inversione spaziale La trasformazione dello spinore

x0 = (t, −~x)

ψ(x)

per l'operazione di inversione spaziale

è data da

P

ψ(x) − → ψ 0 (x0 ) = γ 0 ψ(x) , dove è stato omesso un possibile fattore di fase

ηP .

P

x = (t, ~x) − → (2.28)

Scrivendo la (2.28) in rappresentazione

chirale, si ha



χL (x) χR (x)



P

− →



χ0L (x0 ) χ0R (x0 )



     0 1 χL (x) χR (x) = = , 1 0 χR (x) χL (x)

(2.29)

e quindi, per inversione spaziale,

P

χL (x)  χR (x) .

(2.30)

Questa proprietà di trasformazione può essere immediatamente vericata mediante le congurazioni illustrate in Fig.2.1, tenendo conto che l'impulso è un vettore polare e lo spin un vettore assiale. Per l'operazione di inversione spaziale le due equazioni di Weyl (2.24) si trasformano l'una nell'altra. Per esempio, la (2.24a),

~ χL (x) = i ∂ χL (x) . i ~σ · ∇ ∂t III.16

(2.31)

diventa

~ 0 χ0 (x0 ) = i i ~σ · ∇ L

∂ 0 0 χ (x ) . ∂t L

(2.32)

Poichè

~ 0 = −∇ ~ , ∇

χ0L (x0 ) = χR (x) ,

(2.33)

si ottiene

~ χR (x) = i ∂ χR (x) , −i ~σ · ∇ ∂t che coincide con la (2.24b).

(2.34)

Analogamente, per trasformazione

P

la (2.24b) si trasforma

nella (2.24a). Quindi, le singole equazioni di Weyl non sono invarianti per l'operatore

P,

ma si

trasformano l'una nell'altra.

I Coniugazione di carica La trasformazione dello spinore

ψ(x) per

l'operazione di coniugazione di carica è data da

C e, ψ− → ψc = C ψ

dove è stato omesso un possibile fattore di fase

e, scrivendo

ψ(x)

ηC .

(2.35)

Nella rappresentazione chirale

  2 iσ 0 , C= 0 −iσ 2

(2.36)

e si ha ψ   ∗  ∗  0 1 χL χR e 0 ∗ ψ=e γ ψ = = , ∗ 1 0 χR χ∗L

(2.37)

nella forma (2.12), per

per cui

e= ψ =Cψ c



iσ 2 0 0 −iσ 2

 ∗   2 ∗  χR iσ χR = . ∗ χL −iσ 2 χ∗L

(2.38)

Combinando le operazioni di coniugazione di carica e inversione spaziale si ottiene

  χR (x) , ψ− → ψ (x ) = γ ψ(x) = χL (x)    2 ∗  ∗ iσ χL (x) χL (x) CP fP P . = ψ(x) −−→ C ψ (x ) = C −iσ 2 χ∗R (x) χ∗R (x) P

P

P

0

Le equazioni di Weyl sono invarianti per l'operazione

CP .

Per esempio, per

(2.39)

(2.40)

CP

la (2.31)

assume la forma (2.32) con

~ 0 = −∇ ~ , ∇

χ0L (x0 ) = costante × σ 2 χ∗L (x) , III.17

(2.41)

cioè

~ σ 2 χ∗L (x) = i −i ~σ · ∇ Moltiplicando a sinistra per

∂ 2 ∗ σ χL (x) . ∂t

σ2,

~ χ∗ (x) = i (σ 2 )2 ∂ χ∗ (x) , −i (σ 2 ~σ σ 2 ) ·∇ L | {z } | {z } ∂t L −~ σ∗

1

e prendendo il complesso coniugato si ottiene

~ χL (x) = i ∂ χL (x) , i ~σ · ∇ ∂t

(2.42)

che coincide con la (2.31). Quindi le equazioni di Weyl non sono invarianti per le singole trasformazioni discrete e

C,

ma lo sono per l'operazione congiunta

P

CP .

I Inversione temporale Le equazioni di Weyl sono invarianti per inversione temporale. Infatti, la trasformazione T x) − → x0 = (−t, ~x) è data dello spinore ψ(x) per l'operazione di inversione temporale x = (t, ~

da

con

B = γ 0γ 5C .

T e ψ(x) − → ψ 0 (x0 ) = Be ψ(x) ,

(2.43)

Nella rappresentazione chirale si ha

    2   0 iσ 2 iσ 0 1 0 0 1 , = B=γ γ C= iσ 2 0 0 −iσ 2 0 −1 1 0     0 −iσ 2 0 ie σ2 e , = B= −iσ 2 0 ie σ2 0   ∗    2 ∗ 2 −iσ χ χ 0 −iσ e 0 0 L R . = ψ (x ) = Be ψ(x) = −iσ 2 χ∗R χ∗L −iσ 2 0 0

5

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Per inversione temporale l'equazione di Weyl (2.31) assume la forma

~ χ0 (x0 ) = i ∂ χ0 (x0 ) . i ~σ · ∇ L ∂t0 L

(2.47)

con

∂ ∂ = − , ∂t0 ∂t

χ0L (x0 ) = costante × σ 2 χ∗L (x) ,

Perciò, seguendo lo stesso procedimento adottato nel caso dell'operazione

(2.48)

CP ,

si dimostra

che l'Eq.(2.47) è equivalente alla (2.31). Le proprietà di invarianza delle equazioni di Weyl per trasformazioni accordo con il teorema

CP

e

T

sono in

CP T , che asserisce l'invarianza delle leggi siche per la trasformazione

CP T . III.18

2.6

Covarianti bilineari con spinori chirali

Studiamo le proprietà dei covarianti bilineari con spinori chirali, ossia delle espressioni del tipo

ψ L,R Γa ψL,R , dove le matrici

Γa

(2.49)

sono le 16 matrici 4 × 4 denite nel Paragrafo 1.2.2 della Parte prima. Γa in 2 classi a seconda delle loro proprietà di commutazione con γ5 :

Raggruppiamo le 1)

Γa = 11, γ5 , σ µν ,

che hanno le seguenti proprietà di commutazione:

[γ5 , Γa ] = 0 , 2)

Γa = γ µ , γ µ γ 5 ,

[PL , Γa ] = [PR , Γa ] = 0 .

(2.50)

con le seguenti proprietà:

{γ5 , Γa } = 0 ,

PL Γa = Γa PR ,

PR Γa = Γa PL .

(2.51)

1 1 (1 + γ5 ) γ0 = ψ (1 − γ5 ) , 2 2

(2.52)

Da queste proprietà e da



1 ψL = (1 + γ5 ) ψ 2

†

γ0 = ψ †

segue che

a

a

ψL Γ ψL = ψ PR Γ PL ψ =



ψ Γa P R P L ψ = 0 ψ Γa PL2 ψ 6= 0

Le stesse proprietà valgono per i covarianti

(Γa = 11, γ5 , σ µν ) , (Γa = γ µ , γ µ γ5 ) .

ψR Γa ψR .

Per i covarianti bilineari misti

(2.53)

L-R,

si

ha invece

a

a

ψL Γ ψR = ψ PR Γ PR ψ = e proprietà analoghe per



ψ Γa PR2 ψ 6= 0 ψ Γa P L P R ψ = 0

(Γa = 11, γ5 , σ µν ) , . (Γa = γ µ , γ µ γ5 ) .

(2.54)

ψR Γa ψL .

Si notino in particolare i seguenti risultati:

Γa = 11 :

ψL ψR 6= 0 ,

Γa = γ µ , γ µ γ 5 :

ψR ψL 6= 0 ,

ψL γ µ ψL 6= 0 ,

ψL ψL = ψR ψR = 0 ;

ψL γ µ γ5 ψL 6= 0 .

Ne segue che per particelle descritte da spinori chirali

ψL

scrivere correnti vettoriali ed assiali, mentre l'invariante

(2.56)

(per esempio il neutrino) è possibile

ψL ψL ,

che viene naturale collegare

con un termine di massa della lagrangiana, è identicamente nullo. III.19

(2.55)

2.7

Spinori di Majorana

Per spinore di Majorana si intende uno spinore a quattro componenti autoconiugato di carica:

ψ M = (ψ M )c . Determiniamo la forma di

ψM .

(2.57)

Dato un generico spinore

ψ=



χL χR



,

(2.58)

il suo coniugato di carica è (con una particolare scelta del fattore di fase)

c

ψ = La condizione

ψ = ψc





.

σ 2 χ∗R −σ 2 χ∗L



σ 2 χ∗R −σ 2 χ∗L

(2.59)

è quindi equivalente a



χL χR



=



,

(2.60)

ossia

χR = −σ 2 χ∗L

(che implica

χL = σ 2 χ∗R ) .

(2.61)

Quindi uno spinore di Majorana può essere scritto nella forma

ψ

M

=



χL −σ 2 χ∗L



.

(2.62)

È chiaro che gli spinori di Majorana, come gli spinori di Weyl, hanno metà gradi di libertà rispetto agli spinori di Dirac.

III.20

Capitolo 3 Processi deboli con correnti cariche 3.1

Ampiezze con scambio di W

Nella prospettiva di una trattazione unicata delle interazioni fondamentali, assumiamo che l'interazione debole tra particelle elementari si realizzi con un meccanismo simile a quello dell'interazione elettromagnetica.

Così come due cariche elettriche interagiscono tra loro

mediante scambio di fotoni (quanti del campo elettromagnetico, con spin 1), ipotizziamo che l'interazione debole tra coppie di fermioni avvenga tramite lo scambio di un bosone intermedio

W

con spin 1.

Prendiamo in esame, per esempio, il processo debole

νµ + e− → µ− + νe ,

(3.1)

che è schematizzato dal diagramma

νµ Z

e−

  Z  Z ~ Z >   Z  Z  Z   ZZ  Z ~Z Z   >  Z Z 

µ− (3.2)

νe

E consideriamo l'analogia con il processo elettromagnetico

e− ZZ

e−

   Z ~ Z >   Z  Z  Z   ZZ  Z  ~Z Z  >  Z Z  III.21

e− + e− → e− + e− ,

e− (3.3)

e−

che all'ordine perturbativo più basso è schematizzato dal diagramma di Feynman

 e− e− HHH  j H *  HH e  H

γ e−

H  e HH j H   * H  HH 

la cui ampiezza è proporzionale a

(3.4)

e−

1

em −  αβ − em −  Mem = e e− f jα (0) ei G(γ) e ef 0 jβ (0) ei0 = e uf γα ui

dove

Gαβ (γ)

−i g αβ e uf 0 γβ ui0 . q2

è il propagatore del fotone, con quadri-impulso

(3.5)

q.

Assumiamo che il processo (3.2) avvenga, all'ordine perturbativo più basso, mediante il diagramma

νµ HH

  H j H *  HHfW  H

µ−

W+ e−

H fW HH  j H * H  HH 

(3.6)

νe

con ampiezza proporzionale a





W − Mdeb = fW µ− jαW † (0) νµ Gαβ (W ) fW νe jβ (0) e  † = 2 fW uνµ L Γα uµL Gαβ (W ) 2 fW uνe L Γβ ueL ,

(3.7)

Gαβ (W ) è il propagatore del bosone W e fW è la costante di accoppiamento debole, analoga alla carica elettrica elementare e (il fattore arbitrario 2 è introdotto solo per semplicare le W formule che seguiranno). La quadri-corrente jα è detta corrente debole carica perchè induce − − transizioni tra stati con cariche elettriche diverse (ad esempio, e → νe e µ → νµ , mentre jαW † induce le transizioni inverse νe → e− e νµ → µ− ). Per tenere conto della conservazione − della carica elettrica, è necessario che il bosone W che si propaga dal vertice νµ µ al vertice − + e νe abbia carica elettrica +|e|, da cui segue la notazione W . L'antiparticella del W + ha − carica elettrica −|e| e viene chiamata W . Il diagramma (3.6) è equivalente al diagramma νµ HH  µ−  H j *  HH  HfW  dove

H

W− e− 1 Questa

H fW HH  j H * HH   H

(3.8)

νe

relazione e le seguenti valgono a meno di un fattore di normalizzazione per gli spinori. III.22

Nello scrivere l'elemento di matrice della corrente debole carica per la transizione come

W − 1 νe jβ (0) e = 2 uνe L Γβ ueL = uνe (1 − γ5 ) Γβ (1 + γ5 ) ue 2

e− → νe (3.9)

si è tenuto conto dell'osservazione sperimentale che nelle interazioni deboli la violazione della parità è massima e i leptoni partecipano alle interazioni deboli con lo spinore sinistrorso (1.23).

4 × 4 Γβ , osserviamo che la sua espressione più generale è data dalla combinazione lineare Γβ = a γβ + b γβ γ5 . Infatti altri eventuali termini del tipo 11qβ , γ5 qβ , σβα qα (dove q è il quadri-momento trasferito), inseriti nell'espressione (3.9), darebbero contributi nulli a causa delle proprietà (1 − γ5 )11(1 + γ5 ) = 0, (1 − γ5 )γ5 (1 + γ5 ) = 0, (1 − γ5 )σ µν (1 + γ5 ) = 0. Inoltre, dalla proprietà Per determinare la struttura della matrice

(a γβ + b γβ γ5 ) (1 + γ5 ) = (a + b) γβ (1 + γ5 )

(3.10)

segue che, a meno di una costante moltiplicativa che può essere assorbita nella costante della formula (3.7), possiamo semplicemente porre

Γβ = γ β .

fW

Perciò scriviamo l'elemento di

matrice (3.9) come

W − νe jβ (0) e = 2 uνe L γβ ueL = uνe γβ (1 + γ5 ) ue

Questa espressione della corrente debole è detta di forma

violazione della parità.

V −A

(3.11)

ed implica la

massima

Analogamente, l'elemento di matrice della corrente debole carica per una transizione

µ− → νµ

è dato da

W − νµ jα (0) µ = 2 uνµ L γα uµL = uνµ γα (1 + γ5 ) uµ

Prendendo l'hermitiano coniugato e tenendo conto che



γ0 γα† γ0 = γα

e

γ5† = γ5 ,

 µ− jαW † (0) νµ = uµ γα (1 + γ5 ) uνµ = 2 uµL γα uνµ L .

(3.12) si ottiene (3.13)

Quindi, possiamo scrivere l'ampiezza debole (3.7) come

2 Mdeb = fW uµ γα (1 + γ5 ) uνµ Gαβ (W ) uνe γβ (1 + γ5 ) ue .

(3.14)

È possibile ricavare questa ampiezza a partire dalla lagrangiana di interazione

LW,` (x) = fW jαW (x) W α (x) + h.c. , dove

jαW (x)

(3.15)

è la corrente debole carica

jαW = ψ νe γα (1 + γ5 ) ψe + ψ νµ γα (1 + γ5 ) ψµ + ψ ντ γα (1 + γ5 ) ψτ , III.23

(3.16)

e

W α (x)

corrente

è l'operatore di campo del bosone

jαW

W.

L'operatore coniugato hermitiano della

è

jαW † = ψ e γα (1 + γ5 ) ψνe + ψ µ γα (1 + γ5 ) ψνµ + ψ τ γα (1 + γ5 ) ψντ ,

(3.17)

come si deduce dalla proprietà



ψ 1 γα (1 + γ5 ) ψ2

†

= ψ 2 γ0 (1 + γ5 ) γα† γ0 ψ1 = ψ 2 (1 − γ5 ) γα ψ1

(3.18)

= ψ 2 γα (1 + γ5 ) ψ1 .

La lagrangiana di interazione dal diagramma

LW,`(x)

genera gli accoppiamenti trilineari schematizzati

ν` HH j

 * fW  HH 

`− (3.19)

W+

3.2

Il bosone intermedio W

Per determinare completamente l'ampiezza Mdeb occorre conoscere la forma analitica del αβ propagatore G(W ) del bosone W . A dierenza del caso elettromagnetico, in cui la massa del fotone è nulla (mγ = 0), per l'interazione debole si deve avere mW 6= 0. Ciò discende dalla

relazione tra raggio d'azione della forza e massa del quanto scambiato.

Se l'interazione tra particelle si realizza attraverso lo scambio di un quanto di massa

m,

anchè nel processo vi sia conservazione dell'energia, occorre che l'emissione del quanto ∆E ∼ mc2 ) ed il suo

da parte di una particella (con conseguente creazione di un'energia

successivo riassorbimento da parte di una seconda particella avvengano in un intervallo di 2 tempo ∆t consentito dal principio di indeterminazione energiatempo, ossia ∆t ∼ h/mc . Il quanto virtuale si propaga quindi su una distanza

` ∼ c∆t ∼ h/mc ,

(3.20)

ossia il raggio d'azione dell'interazione tra le due particelle è inversamente proporzionale alla massa del quanto scambiato tra di esse. Mentre al raggio d'azione innito dell'interazione elettromagnetica corrisponde la massa nulla del fotone, al raggio d'azione nito dell'interazione debole corrisponde una massa non nulla per il bosone intermedio

W.

α Introduciamo un campo (carico) non-hermitiano W (x) di spin 1 e di massa mW . L'eα quazione di campo per W (x) può essere dedotta da quella del campo elettromagnetico con 2 la sostituzione  →  + mW , ossia



 + m2W W α − ∂ α ∂β W β = 0 III.24

(Equazione di Proca) .

(3.21)

La corrispondente densità lagrangiana è:

1 W † W αβ 1 2 F + mW Wα† W α , LW = − Fαβ 4 2

(3.22)

W Fαβ ≡ ∂α Wβ − ∂β Wα .

(3.23)

con

2 † α Notiamo che, a causa della presenza del termine di massa mW Wα W , la lagrangiana (3.22) 0 non è invariante per trasformazioni di gauge Wα (x) → Wα (x) = Wα (x) + ∂α χ(x). Prendendo la divergenza dell'eq.(3.21), si ottiene

m2W ∂β W β = 0 . Quindi, se

mW 6= 0,

si ha

∂β W β = 0

(3.24)

e l'equazione di Proca diventa


 + m2W W α (x) = 0 .

(3.25)

Queste sono quattro equazioni di Klein-Gordon disaccoppiate a cui devono soddisfare le α quattro componenti del campo vettoriale W , con il vincolo aggiuntivo

∂α W α (x) = 0 .

(3.26)

Quindi, per particelle vettoriali massive questo vincolo riduce il numero di componenti indipendenti da quattro a tre.

I Sviluppo di Fourier per il campo W α (x) Lo sviluppo di Fourier dell'operatore di campo

W α (x),

che deve soddisfare alle (3.25) e

(3.26), è dato da

1 X 1 √ Wα (x) = √ 2ω V ~ k

3 n X r=1

o (r) ~ −ik·x + b(r)† ε(r) (~k) eik·x a~k ε(r) α (k) e α ~k

≡ Wα(+) (x) + Wα(−) (x) .

q 2 ω= ~k +m2W

(3.27)

(r) (r)† + − Gli operatori a~ distruggono bosoni W e gli operatori b~ creano bosoni W . Gli operatori k k bosonici di creazione e distruzione soddisfano alle regole di commutazione

h

(r) a~k

,

(s)† a~ 0 k

i

i h (r) (s)† = b~k , b~ 0 = δ~k~k0 δrs , k

(3.28)

mentre tutti gli altri commutatori sono nulli. (r) k) (con r = 1, 2, 3) formano un insieme completo di vettori di I quadri-vettori ε (~ polarizzazione ortonormali:

ε(r) (~k) · ε(s) (~k) = −δrs . III.25

(3.29)

ε(r) (~k)

A causa del vincolo (3.26), i tre quadri-vettori

devono essere ortogonali al quadri-

impulso della particella:

k · ε(r) (~k) = 0

(i = 1, 2, 3) .

(3.30)

Dalle condizioni (3.29) e (3.30) segue la relazione di completezza

3 X

kα kβ ~ (r) ~ . ε(r) α (k) εβ (k) = −gαβ + 2 m W {z } |r=1

(3.31)

≡Tαβ

Infatti, la forma più generale per il tensore

Tαβ

è data da

Tαβ = A gαβ + B kα kβ , dove

A

e

B

sono due scalari che possono dipendere da

(3.32)

k 2 = m2W .

Dalla condizione (3.30)

discende che

0 = k α Tαβ = A kβ + B m2W kβ

=⇒

B=−

A . m2W

(3.33)

Dalla (3.29) segue che

 (s) ~   ~ (r) ~ ε(s)α (~k) Tαβ = ε(s)α (~k) ε(r) α (k) εβ (k) = −εβ (k) r=1   (s) ε(s)α (~k) (A gαβ + B kα kβ ) = A εβ (~k) 3 X

=⇒

A = −1 .

(3.34)

Quindi, si ottiene la relazione di completezza (3.31).

I Propagatore del bosone W 0 Gαβ (W ) (x, x ) del bosone W è dato da i 

h (W ) Gαβ (x, x0 ) = 0 T Wα (x) Wβ† (x0 ) 0  



†(+) †(−) = ϑ(x0 − x00 ) 0 Wα(+) (x) Wβ (x0 ) 0 + ϑ(x00 − x0 ) 0 Wβ (x0 ) Wα(−) (x) 0 .

Il propagatore

(3.35)

Utilizzando la (3.27), le regole di commutazione (3.28) e la proprietà (3.31), si ottiene



(+) †(−) 0 Wα (x) Wβ (x0 ) 0 = 1 1 XX 0 0 (r) (s)†  (s) 0 √ √ = ε(r) (~k) εβ (~k ) e−i(k·x−k ·x ) 0 a~k a~ 0 0 α V 2ω 2ω 0 {zk } | 0 ~k,r ~k ,s

1 X 1 = V 2ω ~k

X r

~ (r) ~ ε(r) α (k) εβ (k)

!

δrs δ~ ~ 0 kk

−ik·(x−x0 )

e

  kα kβ 1 X 1 0 −gαβ + 2 e−ik·(x−x ) . = V 2ω mW ~k

III.26

(3.36)

Analogamente, si ha

  

†(+) 0 1 X 1 kα kβ 0 (−) 0 Wβ (x ) Wα (x) 0 = −gαβ + 2 eik·(x−x ) . V 2ω mW

(3.37)

~k

Quindi, passando ad una normalizzazione su tutto lo spazio, si ottiene

0 Gαβ (W ) (x, x )

1 = (2π)3

Z

d3 k 2ω



−g

αβ

kα kβ + 2 mW



0

e−ik·(x−x ) ϑ(x0 − x00 ) −ik·(x0 −x)

+e

ϑ(x00



(3.38)

− x0 ) .

0 Utilizzando la prescrizione di Feynmann per il calcolo dell'integrale su k nel piano complesso, αβ 0 il propagatore G(W ) (x, x ) del bosone W può essere scritto nella forma covariante

1 (2π)4

0 Gαβ (W ) (x, x ) =

Il propagatore

Gαβ (W ) (k)

Z

d4 k

k2

−

m2W

kα kβ m2W



+ i

0

e−ik·(x−x ) .

(3.39)

nello spazio degli impulsi è quindi dato da

Gαβ (W ) (k) = i

3.3

 i −g αβ +

kα kβ m2W . k 2 − m2W

−g αβ +

(3.40)

Lagrangiana di Fermi

2 2 α Nei processi di bassa energia (|q |/mW  1, q è il quadri-momento trasferito) possiamo αβ sostituire al propagatore G(W ) (q) del bosone intermedio W il suo limite

lim 2

|q 2 |/mW →0

Gαβ (W ) (q) =

i g αβ . m2W

(3.41)

Per l'ampiezza debole (3.7) si ottiene

2 fW m2W f2 = i W2 mW

Mdeb = i

− W †  W α − µ jα (0) νµ νe j (0) e

  uµ γα (1 + γ5 ) uνµ [uνe γ α (1 + γ5 ) ue ] .

(3.42)

Questa ampiezza può anche essere ottenuta (all'ordine più basso dello sviluppo perturbativo) dalla lagrangiana ecace, detta

lagrangiana di Fermi,

  GF  LF = √ ψ µ γα (1 + γ5 ) ψνµ ψ νe γ α (1 + γ5 ) ψe , 2 III.27

(3.43)

νµ HH 1 m2W e−

  H j *  HH  fW  HH  W+

H fW HH  j H  * H  HH 

νµ Z

µ−

⇐⇒ νe

e−

 µ−  Z  ~ Z >  Z  Z  GF Z  √ Z   2  ZZ  Z  ~Z Z >   Z Z νe 

Figura 3.1: Illustrazione diagrammatica della relazione (3.44).

dove

GF

è la

costante di Fermi, legata alla costante di accoppiamento debole fW

del bosone intermedio

W

e alla massa

dalla relazione

GF f2 √ = W2 . mW 2 Infatti, utilizzando la (3.43), per l'ampiezza del processo

(3.44)

νµ + e− → µ− + νe ,

al prim'ordine

GF , si ottiene (P è l'operatore quadri-impulso) Z Z  

−

− − 4 d4 x LF (x) νµ , e− d x HF (x) νµ , e = − µ , νe µ , νe Z

−  = − µ , νe d4 x eiP ·x LF (0) e−iP ·x νµ , e− Z

 = − d4 x ei(pµ +pνe −pνµ −pe)·x µ− , νe LF (0) νµ , e−

in

(3.45)

 GF  = − (2π)4 δ 4 (pµ + pνe − pνµ − pe ) √ uµ γα (1 + γ5 ) uνµ [uνe γ α (1 + γ5 ) ue ] . 2

La relazione (3.44) è schematizzata dai diagrammi in Fig.3.1.

La lagrangiana di Fermi (3.43) può essere generalizzata nella forma

GF LF (x) = √ jαW (x) j W α† (x) , 2

(3.46)

in modo da includere la descrizione di tutti i processi deboli leptonici. La quadri-corrente jαW (x) è quella denita in eq.(3.16). Come esempio dell'applicazione della lagrangiana di Fermi (3.46), consideriamo il − decadimento del µ ,

µ− → e− + νµ + ν¯e ,

(3.47)

per il quale si ottiene l'ampiezza



Mµ = νµ , e− , ν¯e LF (0) µ−     GF

− α = √ νµ , e , ν¯e ψ νµ (0) γα (1 + γ5 ) ψµ (0) ψ e (0) γ (1 + γ5 ) ψνe (0) µ− 2    GF α = √ uνµ γα (1 + γ5 ) uµ ue γ (1 + γ5 ) vνe . 2 III.28

(3.48)

Da questa ampiezza è possibile calcolare la larghezza di decadimento 2

formula

1 Γµ = 2mµ

Z

d3 pe (2π)3

Z

d3 pνe (2π)3

Z

Γµ ≡ 1/τµ

mediante la

d3 pνµ (2π)4 δ 4 (pµ − pe − pνe − pνµ ) (2π)3 1 1X 1 1 |Mµ |2 . × 2Ee 2Eνe 2Eνµ 2 spin

(3.49)

Il risultato è

G2F m5µ . Γµ = 192 π 3

(3.50)

Dal valore sperimentale della vita media del muone,

(τµ )exp = 2.197 × 10−6 s ,

(3.51)

si ricava

GF = 1.166 × 10−5 GeV−2 ' dove

mp ' 938 MeV

10−5 , m2p

(3.52)

è la massa del protone.

I Stima di mW Se supponiamo che le costanti di accoppiamento

fW

ed

e

dell'interazione debole e di

quella elettromagnetica siano dello stesso ordine di grandezza,

fW ∼ e ,

(3.53)

allora dalla (3.44) si ha

mW

e ∼ √
1/2 = GF / 2



4πα √ GF / 2

1/2

.

(3.54)

Quindi, utilizzando il valore sperimentale (3.52), si ottiene

mW ∼ 100 GeV .

(3.55)

Dalla (3.20) si ricava, per il raggio d'azione dell'interazione elettrodebole,

` ∼ 10−16 cm . mW

mW = 80 GeV

e quindi l'ipotesi formulata nella (3.53) è 2 2 corretta. Ne segue che l'interazione che si esercita a bassa energia (|q |  mW ), per esempio, − − − tra νµ ed e nel processo νµ + e → µ + νe , risulta debole non a causa dell'esiguità della

Il valore sperimentale di

costante di accoppiamento

fW

è

(3.56)

(che è dell'ordine di grandezza della carica elettrica

perchè il quanto scambiato tra i due leptoni ha massa elevata (∼ 2 In

100 GeV)

rispetto

e), ma 2 a |q |.

questa formula gli spinori sono normalizzati in modo che u(r) u(s) = 2mδrs, da cui segue Λ+ (~p) = p/+m (per i dettagli del calcolo vedi, per esempio, Halzen & Martin, pag.261). III.29

3.4

Correnti deboli (cariche) adroniche

Si chiamano

processi deboli semi-leptonici quei processi che coinvolgono sia leptoni che adroni

negli stati iniziali e/o nali. I processi semi-leptonici di bassa energia possono essere descritti in modo fenomenologico mediante una lagrangiana ecace di Fermi, se si include nella JαW :

corrente debole carica anche una componente di corrente debole adronica

jαW → jαW + JαW .

(3.57)

Per tenere conto dei processi semi-leptonici che conservano la stranezza, come ad esempio il decadimento del neutrone

n → p + e− + ν¯e ,

(3.58)

e di quelli con cambio di stranezza, come ad esempio il decadimento

Λ0 → p + e− + ν¯e ,

(3.59)

W ∆S=0 che conserva occorre che la corrente debole adronica Jα sia costituita da due parti, Jα ∆S=1 la stranezza, e Jα che cambia la stranezza di una unità. I coecienti della combinazione lineare delle due correnti vengono usualmente parametrizzati mediante un angolo ϑC (

angolo

di Cabibbo ):

JαW = cos ϑC Jα∆S=0 + sin ϑC Jα∆S=1 .

(3.60)

Per esempio, la corrente debole adronica che interviene nel decadimento del neutrone può essere scritta nel modo seguente:

Jα∆S=0(n → p) = ψ p γα (gV + gA γ5 ) ψn .

(3.61)

Dai risultati sperimentali si ottiene

cos ϑC = 0.97 ,

gV = 1 ,

gA = 1.25 .

(3.62)

Notiamo che

•

gV = 1 illustra il carattere di universalità dell'accoppiamento del W gli adroni (universalità µβ );

il valore e con

• gA 6= 1

con i leptoni

rappresenta un eetto dovuto all'interazione forte.

Partendo dall'analogia tra i doppietti di leptoni ed i doppietti di quarks

( νe , e− )

( νµ , µ− )

( ντ , τ − )

(u, d)

(c, s)

(t, b)

III.30

(3.63)

la corrente debole adronica può essere scritta direttamente in termini di quarks, con una struttura simile a quella leptonica (3.16).

Tenendo conto della proprietà (3.60), si ha (ci

limiteremo nel seguito a considerare esplicitamente 2 sole

famiglie o generazioni )

JαW = cos ϑC ψ u γα (1 + γ5 ) ψd + sin ϑC ψ u γα (1 + γ5 ) ψs + . . . = ψ u γα (1 + γ5 ) [cos ϑC ψd + sin ϑC ψs ] + . . . .

0 doppietto è d = cos ϑC d + sin ϑC s, anzichè 0 lo stato ortogonale a d si ha, in luogo della struttura (3.63),

Quindi lo stato di quark da associare ad semplicemente

d.

Associando a

c

(3.64)

u in un

( νe , e− )

( νµ , µ− )

( u , d0 )

( c , s0 )

(3.65)

dove

ψd0 = cos ϑC ψd + sin ϑC ψs , ψs0 = − sin ϑC ψd + cos ϑC ψs .

(3.66a) (3.66b)

Per la corrente debole adronica si ha

JαW = ψ u γα (1 + γ5 ) ψd0 + ψ c γα (1 + γ5 ) ψs0   = cos ϑC ψ u γα (1 + γ5 ) ψd + ψ c γα (1 + γ5 ) ψs   + sin ϑC ψ u γα (1 + γ5 ) ψs − ψ c γα (1 + γ5 ) ψd .

(3.67)

In termini di quarks, il decadimento beta del neutrone è rappresentato dal diagramma

(

n

u d d

-

-

-



W−

  *     H HH j H HH H

fW cos ϑC Λ0 è rappresentato dal ( u Λ0 d s

e quello del barione

)

p

e−

(3.68)

ν¯e

diagramma

-



W− fW sin ϑC

u d u

   *    H HH j H HH H

III.31

u d u

)

e−

ν¯e

p (3.69)

La densità lagrangiana di interazione che descrive i processi deboli con correnti cariche tramite l'accoppiamento delle correnti con il campo del bosone intermedio

dove

  LW (x) = fW jαW (x) + JαW (x) W α (x) + h.c. ,

W

è (3.70)

jαW (x) è la corrente debole leptonica (3.16) e JαW (x) è la corrente debole adronica (3.67).

III.32

Capitolo 4 Processi deboli con correnti neutre Tutti i processi deboli esaminati precedentemente sono descritti dalla densità lagrangiana W W (3.70) di accoppiamento della corrente debole [jα (x) + Jα (x)] con il campo vettoriale carico W α.

neutra

Altri processi deboli sono invece dovuti all'accoppiamento di una corrente debole Z [jα (x) + JαZ (x)] con un campo vettoriale neutro Z α , con densità lagrangiana di interazione

  LZ (x) = fZ jαZ (x) + JαZ (x) Z α (x) .

(4.1)

Z Z Indichiamo con jα (x) la corrente debole neutra leptonica e con Jα (x) quella adronica. Questa densità lagrangiana determina quindi vertici di interazione del tipo

ν` HH j

 *  HHf Z

` HH j

 *  HHf Z

ν`

Z Le proprietà del campo

α

Z (x),

` (4.2)

Z

Z α (x) sono analoghe a quelle del campo W α (x), salvo il fatto che

essendo neutro, è un campo hermitiano. Il suo propagatore nello spazio degli impulsi

è

Gαβ (Z) (k) = i

kα kβ m2Z . k 2 − m2Z

−g αβ +

Le ampiezze dei processi deboli che avvengono tramite scambio del bosone

(4.3)

Z

si calcolano

utilizzando regole di Feynman analoghe a quelle viste precedentemente. Un esempio è dato dal processo

νµ HH

  H j HH *   fZ  HH 

νµ

Z e−

H  fZ HH j H   * HH  H  III.33

(4.4)

e−

4.1

Limite di bassa energia

Anche nel caso di processi deboli con scambio del bosone Z è utile considerare il limite di 2 2 µ bassa energia, che trova la sua applicazione quando |q |/mZ  1 (q è il quadri-momento ± trasferito). Procedendo come per i processi con scambio di W , si perviene ad una densità lagrangiana ecace (alla Fermi)

  fZ2  Z jα (x) + JαZ (x) j Zα (x) + J Zα (x) 2 mZ   GF  ≡ 2 ρ √ jαZ (x) + JαZ (x) j Zα (x) + J Zα (x) . 2

L0F (x) =

(4.5)

2 2 Abbiamo scritto la costante ecace di accoppiamento fZ /mZ in termini di quella di Fermi, √ 2 2 fZ /mZ ≡ 2ρGF / 2, avendo cioè denito un parametro ρ tale che

ρ=

4.2

1 fZ2 /m2Z . 2 2 fW /m2W

(4.6)

Struttura delle correnti deboli neutre

Z Z In base alle proprietà generali dei covarianti bilineari, le correnti jα (x) e Jα (x) possono essere scritte come combinazioni lineari di correnti vettoriali e di correnti assiali: ψγα ψ , ψγα γ5 ψ . Z Cominciamo ad analizzare la corrente debole neutra leptonica jα (x). Questa corrente prenderà un contributo da ciascun doppietto leptonico della Tabella 1.1, ossia

jαZ (x) =

X  jαZ,ν` (x) + jαZ,` (x) .

(4.7)

`

In base alle proprietà dei covarianti bilineari possiamo scrivere

jαZ,ν` = gVν` ψ ν` γα ψν` + gAν` ψ ν` γα γ5 ψν` con

gVν` = gLν` + gRν` , Nella seconda riga della (4.8) la corrente di

(4.8)

= gLν` ψ ν` γα (1 + γ5 ) ψν` + gRν` ψ ν` γα (1 − γ5 ) ψν` ,

correnti chirali.

gAν` = gLν` − gRν` .

jαZ,ν`

(4.9)

è stata espressa come una combinazione lineare

Analogamente, per le correnti deboli neutre dei leptoni carichi scriviamo

jαZ,` = gV` ψ ` γα ψ` + gA` ψ ` γα γ5 ψ`

(4.10)

= gL` ψ ` γα (1 + γ5 ) ψ` + gR` ψ ` γα (1 − γ5 ) ψ` .

Estendiamo questo formalismo alle correnti deboli neutre adroniche, utilizzando i campi dei quarks

ui (ui = u, c, t,

per

i = 1, 2, 3)

di (di = d, s, b, X JαZ (x) = JαZ,i(x) , e

i=1,2,3

III.34

per

i = 1, 2, 3).

Abbiamo (4.11)

con

JαZ,i(x) = UV ψ ui γα ψui + UA ψ ui γα γ5 ψui + DV ψ di γα ψdi + DA ψ di γα γ5 ψdi

(4.12)

= UL ψ ui γα (1 + γ5 ) ψui + UR ψ ui γα (1 − γ5 ) ψui

+ DL ψ di γα (1 + γ5 ) ψdi + DR ψ di γα (1 − γ5 ) ψdi .

d

0

0 0 Si noti che, anche denendo le correnti neutre nella base ruotata alla Cabibbo di (di = 0 0 , s , b , per i = 1, 2, 3), non vi sono comunque termini di corrente neutra che inducano

transizioni da una famiglia all'altra (ossia cambiamenti di sapore).

Dimostriamo questa

proprietà in un formalismo semplicato con due sole famiglie:

ψd0 = cos ϑC ψd + sin ϑC ψs , ψs0 = − sin ϑC ψd + cos ϑC ψs .

(4.13)

Per esempio, per la corrente vettoriale si ha


ψ d0 γα ψd0 + ψ s0 γα ψs0 = cos ϑC ψ d + sin ϑC ψ s γα (cos ϑC ψd + sin ϑC ψs )
+ − sin ϑC ψ d + cos ϑC ψ s γα (− sin ϑC ψd + cos ϑC ψs )

(4.14)

= ψ d γα ψd + ψ s γα ψs .

Questa proprietà è detta

meccanismo GIM

(da Glashow, Iliopoulos e Maiani).

I Modello di unicazione elettrodebole Nel Modello Standard di Glashow, Salam e Weinberg si ha una trattazione unicata delle interazioni elettromagnetica e debole, basata sulla proprietà di invarianza di gauge. Il Modello Standard costituisce un modello minimale di unicazione che, tenendo conto delle proprietà fenomenologiche dei processi elettromagnetici e dei processi deboli con sole correnti cariche, implica: 1) l'esistenza di processi deboli con scambio di

Z,

2) la determinazione delle costanti di accoppiamento e dei coecienti di struttura delle correnti deboli neutre a partire da un unico parametro libero della teoria. Scegliendo come parametro libero il cosiddetto

angolo di Weinberg ϑW , si ha

1 , 2 1 gL` = − + sin2 ϑW , 2 1 2 UL = − sin2 ϑW , 2 3 1 1 DL = − + sin2 ϑW , 2 3 ρ = 1. gLν` =

1 Si

veda, per esempio, Halzen & Martin, cap.13. III.35

1

gRν` = 0 ,

(4.15a)

gR` = sin2 ϑW ,

(4.15b)

UR = − DR =

2 sin2 ϑW , 3

1 sin2 ϑW , 3

(4.15c) (4.15d) (4.15e)

Il successo del Modello Standard è dovuto non solo alla verica sperimentale dell'esistenza di processi deboli con correnti neutre, predetta dal modello, ma anche al fatto che tutte le grandezze siche misurate sono in perfetto accordo con le previsioni quantitative del modello. sin2 ϑW è

Il valore di "best t" per il parametro libero

sin2 ϑW = 0.23 .

III.36

(4.16)

Appendice A Classicazione delle particelle '

Fermioni = 12 , 32 , . . . )

(spin

&

@ @ R @

'

$

(spin

%

&

Bosoni

= 0, 1, . . .



Leptoni

Barioni

Mesoni

e, µ, τ , νe , νµ , ντ

p, n, ∆, . . .

π , K , η , ρ, . . .

@ I  @ @ HH  H  Adroni HH HH  HH  HH (Int. forti)  HH  H

Figura A.1: Schema dei tipi di particelle.

III.37

$ )

@ @ R @

%

Bosoni intermedi γ, W ±, Z 0

Massa (MeV)

Tipo

JP

I

S

(sec)

γ

0

BI

1−

0

0

∞

νe , νµ , ντ

0

L

1/2

0

0

∞

e

0.511

L

1/2

0

0

∞

µ

105.66

L

1/2

0

0

π0 π±

2.2 × 10−6

134.98 139.57

M

0−

1

0

K 0, K + ¯0 K −, K

493.7 (K ±) 497.7 (K 0)

M

0−

1/2 1/2

+1 −1

η

547

M

0−

0

0

6 × 10−19

ρ− , ρ0 , ρ+

768

M

1−

1

0

4 × 10−24

ω

782

M

1−

0

0

8 × 10−23

p n

938.27 939.56

B

1/2+

1/2

0

∞ 887

φ

1020

M

1−

0

0

1.5 × 10−22

Λ0

1116

B

1/2+

0

Σ+ Σ0 Σ−

1189 1192 1197

−1

2.6 × 10−10

B

1/2

+

∆− , ∆0 , ∆+ , ∆++

1232

B

Ξ0 Ξ−

1315 1321

Ω−

τ

8 × 10−17 2.6 × 10−8 1.2 × 10−8 (K ± ) 8.9 × 10−11 (KS0 ) 5.2 × 10−8 (KL0 )

1

−1

8.0 × 10−11 7 × 10−20 1.5 × 10−10

3/2+

3/2

0

5 × 10−24

B

1/2+

1/2

−2

2.9 × 10−10 1.6 × 10−10

1672

B

3/2+

0

−3

8.2 × 10−11

τ

1777

L

1/2

0

0

W± Z0

80.3 × 103 91.19 × 103

3 × 10−13

BI

1

0

0

3.2 × 10−25 2.6 × 10−25

Tabella A.1: Lista delle particelle più leggere in ordine di massa crescente (seconda colonna). Il tipo della particella è indicato nella terza colonna con BI per i bosoni intermedi, L per i leptoni, M per i mesoni e B per i barioni. Nella quarta colonna sono dati lo spin J e la P parità P , che non è denita per i leptoni, nella notazione condensata J . Nella quinta e sesta colonna sono dati l'isospin di vita medio

I

e la stranezza

τ.

III.38

S.

Nella settima colonna è dato il tempo