Distribucion Binomial

III.2.- Modelos probabilísticos para variables aleatorias continuas: distribución uniforme, exponencial, gamma, normal y características principales. Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. Distribución uniforme La variable aleatoria continua más sencilla posible se llama variable aleatoria uniforme por tener un valor constante (uniforme) en un intervalo de valores. Gráficamente se tiene: F(x)

f(x) 1

0.5

-3

3

x

-3

3

 1  ;a ≤ x ≤ b ⇒ f ( x) =  b − a 0 ; en otra forma y

0 ; sí x < a   x 1 F ( x) = ∫ dx ; sí a ≤ x ≤ b a  b−a ; sí x > b  1

µ= σ2 = m(t ) =

b+a 2

(b − a ) 2 12 e tb − e ta t (b − a )

Ejemplo: Una persona viaja diariamente en el metro para ir de su casa en "Indios Verdes" a su escuela en "Ciudad universitaria". Suponga que los trenes sales de la estación "Indios Verdes" a las 7, 7:13, 7:20, 7:25, 7:45 y 7:55 am y esta persona aborda el primero, tan pronto llega a la estación. Debido a que no se levanta a la misma hora y a las condiciones variables del tránsito, El tiempo en que esa persona llega a la estación, tiene la misma probabilidad de esta comprendida entre las 7:15 y las 7:45 am, De acuerdo a lo anterior, ¿Cual es

la probabilidad de que tenga que esperar en la estación menos de 5 min. un día cualquiera? ¿menos de 10 min.? ¿Cual es la probabilidad de que aborde los trenes de las 7:25 y las 7:45 en determinado día?

Indios Verdes

Ciudad Universitaria

7 7:13 7:20 7:25 7:32 7:45 7:55

7:15 Misma probabilidad de llegar a la estación 7:45

P(esperar < 5 min)=? P(esperar < 10 min)=? P(abordar entre las 7:25 y 7:45 hrs)=? Para fines prácticos, suponga que para referirse al intervalo de 7:15 - 7:45 sea igual a manejar el intervalo de 0 a 30 min. Sea x = tiempo de llegada

7:15

7:32

7:25

7:20

7:45

Para que se cumpla que el tiempo de espera sea menos de 5 min debe cumplirse que

0 < x ≤ 5, 5 < x ≤ 10, 12 < x ≤ 17 y 25 < x ≤ 30 Gráficamente se tiene 5/30

5/30

0

5

5/30

5/30

10

17

30

De donde se ve claramente porque se habla de una distribución uniforme (la variable aleatoria "tiempo de espera" tiene un valor constante dentro de un intervalo de valores.

⇒ P(esperar < 5 min) =

5 5 5 5 20 + + + = 30 30 30 30 30

De igual forma se tiene la probabilidad de esperar menos de 10 min es

5/30

5/30

0

5

10/30

7/30

17

10

⇒ P(esperar < 10 min) =

30

5 5 7 10 27 + + + = 30 30 30 30 30

y por último, la probabilidad de abordar los trenes de las 7:25 o de las 7:45 se describe a continuación

13/30

5/30

0

5

10

17

30

Para abordar el tren de las 7:25, el tiempo de espera es de 5 min. y para abordar el tren de las 7:45 el tiempo de espera es de 13 min.

⇒ P(5 < x ≤ 10 ∪ 17 < x ≤ 30 min) =

5 13 18 + = 30 30 30

Ejemplo Sea la siguiente distribución uniforme

f(x)

h

-1

x 1

Calcular:

1. − h 2. − P( x ≤ 0) 3. − P( x ≤ −1) 4. − P( x ≥ 1) 5. − P(−0.5 ≤ x ≤ 0.5) 6. − Graficar F ( x) Respuestas 1.- Como los valores de probabilidad deben estar entre 0 y 1. El área en cuestión debe valer 1 Área del rectángulo =b*h=(1+1)*h=2h=1 Despejando a h h= 1 / 2

2. − P( x ≤ 0) = b * h = 1 *

1 1 = 2 2

3. − P( x ≤ −1) = 0 4. − P( x ≥ 1) = 0 5. − P(−0.5 ≤ x ≤ 0.5) = 1 *

1 1 = 2 2

6.- Graficando

F(x) 1

x -1

1

Distribución exponencial La distribución exponencial tiene función de densidad

 λe − λx ;x ≥ 0 f ( x) =   0 ; de otra manera en donde el parámetro λ es una constante real positiva.

f(x) λ

x 0 La función de densidad exponencial está estrechamente relacionada con la distribución de Poisson. Al desarrollar la distribución de Poisson a partir de los postulados de Poisson y del proceso de Poisson, se fijo el tiempo en algún valor t, y se desarrolló la distribución del número de ocurrencias en el intervalo [0, t]. Se denotó a esta variable aleatoria mediante X y la distribución fue

 e − λt (λt ) x  ; x = 0,1,2,.... p( x) =  x!  0 ; de otra manera Considerese ahora p(0), que es la probabilidad de que no haya ocurrencias en [0, t]. Esto es igual a

p (0) = e − λt

Otra interpretación de tal probabilidad es que el evento ocurra en un tiempo mayor que t. Si consideramos a este tiempo como una variable aleatoria T, se observa que

p (0) = P(T > t ) = e − λt

t≥0

Entonces, si ahora se deja que el tiempo varíe y sí se considera a la variable aleatoria T como el tiempo transcurrido hasta la ocurrencia, entonces

F (t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e − λt y puesto que f(t) = F'(t), se ve que la distribución de densidad es

t≥0

 λe − λt ;t ≥ 0 f (t ) =  0 ; de otra manera Entonces la relación entre las distribuciones exponencial y de Poisson puede expresarse de la siguiente manera: sí el número de ocurrencias tiene una distribución de Poisson, entonces el tiempo entre las ocurrencias tiene una distribución exponencial. Por ejemplo, si el número de órdenes semanales recibidas para cierto artículo tienen una distribución de Poisson, entonces el tiempo entre las órdenes tendría una distribución exponencial. Una variable es discreta (el conteo ) y la otra es continua (el tiempo ). La media y la varianza de la distribución exponencial son ∞

∞

0

0

E ( X ) = ∫ xλe − λx dx = − xe −λx

∞

1 λ

+ ∫ e −λx dx = 0

y ∞

σ = ∫ x λe 2

2

0

2

− λx

1 dx −   = − x 2 e −λx  λ

∞ 0

∞

+ 2 ∫ xe 0

2

− λx

1 1 dx  −   = 2   λ  λ

La desviación típica o estandar es 1/λ λ, por tanto, la media y la desviación típica son iguales. La función generatriz de momentos es

t  M x (t ) = 1 −   λ

−1

Siempre y cuando t < λ. La función de distribución F(x) puede obtenerse integrando la función de densidad, lo cual da como resultado

0 ;x < 0  F ( x ) =  x − λt − λt ;x ≥ 0 ∫0 λe dt = 1 − e

Ejemplo 1 Se sabe que un componente electrónico tiene una vida útil representada por una densidad exponencial, con tasa de falla de 10-5 fallas por hora (esto es , λ=10-5). El tiempo promedio transcurrido hasta la falla, E(X), es por tanto 105 hr. Supóngase que se desea determinar la fracción de tales componentes, que fallará antes de que transcurra la vida media o vida esperada.

1  P T ≤  = ∫ λ λe −λx dx = − e −λx λ 0  1

1 λ 0

= 1 − e −1 = 0.63212

F(x)

1

x

f(x)

0.63212

E(X)=1/λ

0.36788 x

Este resultado se cumple para cualquier valor de λ mayor de cero. En este ejemplo, el 63.212% de los componentes fallarán antes de 105 hr.

Ejemplo 2 Supóngase que un diseñador puede tomar una decisión entre dos procesos de manufactura para la fabricación de cierto componente. Empleando el proceso A cuesta C dólares por unidad fabricar un componente. Empleando el proceso B cuesta k*C dólares por unidad fabricar un componente, cuando k > 1. Los componentes tienen una densidad exponencial de tiempo transcurrido hasta la falla con tasa de falla de 200-1 fallas por hora para el proceso A, mientras que los componentes empleando el proceso B tienen una tasa de falla de 300-1 fallas por hora. Entonces, las vidas medias son de 200 y 300 hr. , respectivamente, para los dos procesos. Debido a una cláusula de garantía, si un componente dura menos de 400 hr. , el fabricante debe pagar una pena de K dólares. Sea X el tiempo transcurrido hasta la falla para cada componente.

CA = C

; si X ≥ 400

=C+K

; si X < 400

y C B = kC

; si X ≥ 400

= kC + K ; si X < 400 Los costos esperados son

E (C A ) = (C + K ) ∫

400

0

∞

200 −1 e − 200 x dx + C ∫ 200 −1 e − 200 x dx −1

−1

400

−1 −1 = (C + K ) − e − 200 x  + C − e − 200 x 0    −2 −2 = (C + K ) 1 − e + C e

400

[

] [ ]

 400  

∞

−2

= C + K (1 − e ) y

E (C B ) = (kC + K ) ∫

400

0

∞

300 −1 e −300 x dx + kC ∫ 300 −1 e −300 x dx −1

−1

400

400 −1 −1 = (kC + K ) − e −300 x  + kC − e −300 x 0    4 −    −4  = (kC + K ) 1 − e 3  + kC e 3      −

∞ 400

 

4

= kC + K (1 − e 3 ) Por tanto , si

k < 1−

K −

4

C (e − 2 − e 3 ) entonces la razón

 E (C A )    >1  E (C B )  y es posible que el diseñador elija el proceso B.

Distribución gamma La función gamma esta definida por ∞

Γ(n) = ∫ x n −1 e − x dx 0

; para n > 0

Puede demostrarse que cuando

lim ∫ x n−1e − x dx k

k →∞ 0

existe una importante relación recurrente que puede fácilmente demostrarse al integrar por partes a la función gamma

Γ(n) = (n − 1) Γ(n − 1) Si n es un entero positivo, entonces

Γ(n) = (n − 1)! Entonces, la función gamma es una generalización del factorial. La distribución probabilística gamma esta definida como

 λ r −1 − λx ;x > 0  Γ(r ) (λx ) e  f ( x) =   0 ; de otra manera   Los parámetros son r > 0 y λ > 0. Al parámetro r generalmente se le denomina parámetro de forma, y a λ se le denomina parámetro de escala. Debe observarse que f(x) es mayor o igual a cero para toda x, y

∫

∞

−∞

f ( x) = ∫

∞

0

λ (λx) r −1 e −λx dx Γ( r )

haciendo un cambio de variable y= λx

=

1 ∞ r −1 − y 1 y e dy = Γ(r ) = 1 ∫ 0 Γ (r ) Γ (r )

Graficando la distribución probabilística gamma para l =1 y r=1, 2 y 3

f(x)

r=1

r=2

r=3

x Distribución gamma para λ =1 De aquí se ve existe una estrecha relación entre la distribución exponencial y la distribución gamma. Es decir, si r=1 la distribución gamma se reduce a la distribución exponencial. Para efectos de cálculo, r será un entero positivo. La media y varianza de la distribución gamma, estan dadas por

E( X ) =

r λ

σ2 =

y

r λ2

en tanto que la función generatriz de momentos esta definida por

t  M X (t ) = 1 −   λ

−r

y la función de distribución F(x) es ∞ λ  r −1 − λt 1 − ∫x Γ(r ) (λt ) e dt  F ( x) =   0 ;x ≤ 0  

;x > 0

si r es un entero positivo, la ecuación anterior puede integrarse por partes obteniendose r −1

F ( x) = 1 − ∑ e k =0

− λx

(λx )k k!

x>0

que es la suma de los términos de Poisson, con media λx . Entonces, las tablas de la distribución acumulativa de Poisson pueden utilizarse para evaluar la función de distribución gamma.

Ejemplo Un sistema redundante opera en la forma que se muestra en la siguiente figura.

Unidad 1

DS

Unidad 2

Unidad 3

Inicialmente, la unidad 1 está en línea, mientras que las unidades 2 y 3 están en alerta. Cuando la unidad 1 falla, el interruptor de decisión (DS) conecta la unidad 2 hasta que esta falla y después conecta a la unidad 3. Se considera que el interruptor de decisión es perfecto, de manera que la vida del sistema X puede representarse como la suma de las vidas de los subsistemas, X=X1+X2+X3. Si las vidas de los subsistemas son independientes unas de otras, y si cada uno de los subsistemas tiene vida Xj donde j=1,2 y 3 con densidad x

1 −100j g(x j ) = e 100

;xj ≥ 0

entonces X tendrá una densidad gamma con r=3 y como la función de densidad arriba expresada corresponde a la distribución exponencial se deduce que λ= 0.01 sustituyendo estos valores en la función de densidad gamma

f ( x) =

λ (λx )r −1 e −λx = 0.01 (0.01x) 2 e −0.01x 2! Γ(r )

;x > 0

Distribución normal Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal con media µ y varianza σ2, si tiene una función de densidad.

f ( x) =

1

σ 2π

e

 1   x−µ  −     2  σ 

2

−∞ < x <∞

La distribución normal tiene varias propiedades importantes: ∞

1. − ∫ f ( x)dx = 1 −∞

2. − f ( x) ≥ 0 para toda x 3. − lím f ( x) = 0 y lím f ( x) = 0 x →∞

x → −∞

4. − f [(x + µ )] = f [− (x − µ )] La densidad es simetrica con respecto a laµ 5. − El valor máximo de f se presenta en x = µ 6. − Los puntos de inflexión de f están en x = µ ± σ La función generatriz de momentos para la distribución normal esta dada por:

M X (t ) = e

 tµ +σ 2t 2   2 

   

La función de distribución F(x) es x

1

−∞

σ 2π

F ( x ) = P ( X ≤ x) = ∫

e

 1  u − µ  −    2  σ 

2

du

La evaluación de la integral anterior requiere de la utilización de métodos numéricos. Sin embargo, una transformación simple de variables permite que la evaluación sea independiente de µ y σ Sea z=(x-µ µ)/σ σ −µ

z2

x − 1 x−µ  ( ) ( ) F x = P X ≤ x = P Z ≤ e 2 dz  = ∫− xσ σ  σ 2π 

donde

z=

x − µx σx

se le conoce como la variable normalizada correspondiente a x, lo que significa que la µ de z es cero y que la σ es 1

La función

de distribución correspondiente está dada por F ( z ) = P( Z ≤ z ) =

1

σ z 2π

∫

z

−∞

e

−

z 2

dz

Es común encontrar en la mayoría de textos de Probabilidad y Estadística que la función de distribución se presenta en forma de tabla. A partir de esta tabla se pueden encontrar las áreas entre dos ordenadas cualesquiera.

Ejemplo 1.1.- Hallar el área bajo la curva normal en cada uno de los siguientes casos.

a. − P(0 ≤ z ≤ 1.2) b. − P(−0.68 ≤ z ≤ 0) c. − P(−0.46 ≤ z ≤ 2.21) d . − P(0.81 ≤ z ≤ 1.94) e. − P( z ≤ −0.6) f . − P( z ≥ −1.28) g . − P( z ≤ −1.44 y z ≥ 2.05) Solución a.De tablas 0.3849

µ=0

z=1.2

b.0.2518

z=-0.68

µ=0

c.-

0.1772

0.4864

P(-0.46<= z <=2.21)=0.1772+0.4864 =0.6636 2.21

-0.46 d.-

0.1828

P(z <= 1.94) = 0.4738 P(z <= 0.81) = 0.2910 Entonces P(0.81 <= z <=1.94) = 0.4738 - 0.291 = 0.1828

0.81 1.94 e.-

P(z >= -0.6)=0.2257 Entonces P(z <= -0.6)= 0.5-0.2257 = 0.2743

0.2743

-0.6

f.-

0.3997

0.5 P(z >= -1.28) = 0.3997 + 0.5 = 0.8997

-1.28

g.-

0.4798

0.4251

0.4251+0.4798=0.9049 1 - 0.9049 = 0.0951 -1.44

2.05

Ejemplo 2 Determinar el valor o valores de z en cada uno de los siguientes casos, donde el área se refiere a una curva normal. a.- El área entre 0 y z es 0.3770 b.- El área entre -1.5 y z es 0.0217 Respuesta a.-

0.377

ó z= -1.16

z= 1.16

b.-

0.0217

0.0217 + 0.4332 ----------0.4549

0.4332 +0.0217 ---------0.4115

0.0217

ó z = -1.69 -1.5

-1.5

z = -1.35

Ejemplo 3 La media de los pesos de 500 estudiantes de un cierto colegio es 75 kg y la desviación estándar es de 7.5 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan: a.- entre 60 y 77.5 kg b.- más de 92.5 kg c.- menos de 64 kg d.- exactamente 64 kg e.- 64 kg o menos Respuesta Datos: N = 500 estudiantes µ = 75 kg σ = 7.5 kg a.-

60

77.5 µ = 75

Haciendo uso de la variable normalizada

z= ⇒ z1 =

59.5 − 75 = −2.066 7.5

⇒ z2 =

78 − 75 = 0.4 7.5

x−µ σ

0.1554

0.4803

-2.06

0.4

⇒ P(−2.06 ≤ z ≤ 0.4) = 0.4803 + 0.1554 = 0.6357 Este resultado indica que existe la posibilidad que de un total de 500 alumnos, el 63.57% pese entre 60 y 77.5 kg, o dicho de otra forma el número aproximado de estudiantes que pesen entre 60 y 77.5 kg es de 317. b.-

92.5

z=

92 − 75 = 2.26 7.5

0.4881 0.5-0.4881=0.0119

2.26 Entonces, de un total de 500 alumnos el 1.19% pesa mas de 92.5 kg, es decir, cerca de 6 alumnos.

c.- menos de 64 kg

64

Normalizando

z=

64 − 75 = −1.47 7.5

0.4292 0.5-0.4292=0.0708

-1.47 Aproximadamente 35 alumnos pesan menos de 64 kg d.- exactamente 64 kg

64

63.5

z1 =

63.5 − 75 = −1.53 7.5

z2 =

64.5

64.5 − 75 = −1.4 7.5

0.437-0.4192=0.0178

-1.53

-1.4

Entonces, aproximadamente 9 alumnos pesan exactamente 64 kg.

e.- 64 kg o menos

0.5-0.4192=0.0808

-1.4 Aproximadamente 40 alumnos pesan menos 64 kg.

Ejemplo 4 Para cierta prueba la calificación media es µ =500 con una σ =100. Se desea aprobar al 75% de los candidatos que toman esta prueba. ¿Cual debe ser la calificación mínima aprobatoria?.

0.5

0.25

z

µ=500

De tablas, resulta que z es aproximadamente igual a -0.67

Se tiene que

z=

x − µ x − 500 = = −0.67 100 σ

Despejando x

x = −0.67 * 100 + 500 = 433 La calificación mínima debe ser de 433 puntos.

Ejemplo 5 Se desea formar una compañía con soldados de una estatura mínima de 180 centímetros. Sí la estatura media es de 170 centímetros, con una desviación típica de 6.25 centímetros. ¿Cuantos soldados se espera que cumplan el requisito en este regimiento de 1200 hombres?

µ=170

z=

180

180 − 170 = 1.6 6.25

0.5-0.4452=0.0548

1.6 Lo que indica que aproximadamente 66 soldados cumplen con los requisitos señalados.

Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. Ejemplo Lanzamos 10 veces una moneda, considerar como éxito cuando aparezca un águila. a.- Determinar la probabilidad de que aparezcan x águilas. b.- Graficar tal probabilidad c.- Determinar la media d.- Determinar la desviación estándar Este ejemplo corresponde a una distribución binomial porque sólo puede asumirse dos valores (éxito y fracaso) Sea X= número de veces que aparece un águila X={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

p=

1 2

q=

1 2

a.0

10

1 1 P( X = 0)=10 C 0     = 0.001 2 2 1 P( X = 1)=10 C1   2

1

9

1 1   = 10 *   2 2

1

9

1   = 0.0098 2

2

8

2

8

3

7

4

6

4

6

5

5

5

5

6

4

6

4

7

3

7

3

8

2

8

9

1

9

1 1 1 1 P( X = 2)=10 C 2     = 45 *     = 0.0439 2 2 2 2 3

7

1 1 1 1 P( X = 3)=10 C 3     = 120 *     = 0.1172 2 2 2 2 1 1 1 1 P( X = 4)=10 C 4     = 210 *     = 0.2051 2 2 2 2 1 1 1 1 P( X = 5)=10 C 5     = 252 *     = 0.2461 2 2 2 2 1 1 1 1 P( X = 6)=10 C 6     = 210 *     = 0.2051 2 2 2 2 1 1 1 1 P( X = 7)=10 C 7     = 120 *     = 0.1172 2 2 2 2 2

1 1 1 1 P( X = 8)=10 C8     = 45 *     = 0.0439 2 2 2 2 1

1 1 1 1 P( X = 9)=10 C 9     = 10 *     = 0.0098 2 2 2 2

10

0

1 1 P( X = 10)=10 C10     = 0.001 2 2 b.f(x)

Distribución normal

0.25 0.2 Distribución binomial

0.15 0.1 0.05

x 1

2

c. − µ = np = 10 *

3

5

4

6

7

8

9

1 =5 2 2

10 1 d . − σ 2 = npq = 10 *   = = 2.5 ⇒ σ = 1.58 4 2 de la distribución binomial, se sabe que

µ = np ⇒ z=

σ = npq x − np npq

del ejemplo anterior

p=

1 2

q=

1 2

z=

n n x− 2 = 2 1 1 n n* 2 4

x−

(ec. 1)

10

tomando un incremento en x

⇒ ∆z =

n n n n x− x +1− − x + 2− 2 = 2 2 1 1 1 n n n 2 2 2

x +1−

Simplificando

∆z =

1 1 n 2

por otro lado, la distribución binomial está dada por

f ( x)= n C x p x q n − x =

n! p x q n− x x!(n − x)!

Haciendo p=q=0.5

⇒

n! 1 f ( x) =   x!(n − x)!  2 

n

(ec. 2)

despejando de la ecuación 1 a x

x=

1 n z n+ 2 2

(ec.3)

multiplicando por σx a f(x), sea

y = σ x f ( x)

( función de densidad ) n

⇒

y=

n! 1 1  n    x!(n − x)!  2   2 

tomando un incremento en x n

∆y =

n

n! n!  1   1 1 1   n− n       ( x + 1)!(n − ( x + 1))!  2   2  x!(n − x )!  2   2 

 n! n! 1 1  ∆y =    n  −  2 2   ( x + 1)!(n − x − 1)! x!(n − x)! n

1 1   n! x!(n − x)! − n!( x + 1)!(n − x − 1)! ∆y =    n   ( x + 1)!(n − x − 1)! x!(n − x)! 2 2   n

1 1   n!( x!(n − x)! − ( x + 1)!(n − x − 1)!)  ∆y =    n   ( x + 1)!(n − x)!(n − x − 1)! x! 2 2   n

n! 1 1   x!(n − x)!−( x + 1)!(n − x − 1)! ∆y = n      ( x + 1)!( x)!(n − x)!  2   2 (n − x − 1)!   n

I

I=

x!(n − x − 1)![(n − x) − ( x + 1)] = x!(n − x − x − 1) = x!(n − 2 x − 1) (n − x − 1)! n

n! 1 1  ⇒ ∆y = n [x!(n − 2 x − 1)]    ( x + 1)!( x!)(n − x)!  2   2  n

como

n! 1 1  y= n    x!(n − x)!  2   2 

y como

( x + 1)!= ( x + 1)( x!)

⇒ ∆y =

y (n − 2 x − 1) x +1

Dividiendo ∆y/∆ ∆z

y (n − 2 x − 1)  y  1  ∆y x + 1 = = n (n − 2 x − 1)  1 ∆z   x + 1  2 1 n 2 sustituyendo 3 en 4

(

)

∆y y 1  = n  n − n z − n −1  n 2 ∆z 1  n z + +1 2 2

(ec. 4)

∆y = ∆z 1 2

(

(

)

∆y − y (nz + n ) = ∆z n z+n+2 ∆y = ∆z

⇒

n ) n nz 2 +1+ n n

∆y = ∆z

1

1

1

− y( z +

n z 2 +1+ n n

)

− y( z +

; sí

n→∞

1

) n = − yz z 2 +1+ n n

integrando

dy = Ln y + c1 y

z2 ∫ − zdz = − 2 + c2 z2 ⇒ Ln y + c1 = − + c 2 2 z2 Ln y = − + c3 2

2

;n = n n = n 2 n 2 = n 2 = n2

dy = − yz ; separando variables dz

dy = − zdz y

∫

; dividiendo entre n

− y( z +

∆y dy lim = = lim n → ∞ ∆z dz n →∞

⇒

)

1  n  − n z −1  2  n z+n+2  y

tomando antilogaritmos

y=e

−

z2 + c3 2

=e e c3

z2 2

−

sea e c3 = k ∴ y = ke

−

z2 2

Como "y" es una función de densidad debe cumplirse que

∫

∞ −∞

∞

y dy = ∫ k e

−

z2 2

−∞

dz = 1

de donde

k=

1 2π z2

∴ y=

1 −2 e 2π

función de densidad o distribución normal estandarizada

Ahora bien, como se definió

y = σ x f ( x)

⇒

1

−

f ( x) =

σ x 2π

⇒

e

f ( x) =

f ( x) = z2 2

;z=

1

σ x 2π

y σx x−µ σx

e

 x− µ     σ  x  − 2

2

función de densidad o distribución normal