Binomial

Ciro Martínez Bencardino

232

Variable aleatoria discreta : Distribución binomial} nos la denominan como método exacto y, como ya se mencionó, corresponde a una distribución e variable aleatoria discreta. Pero antes de comenzar a explicar en qué consiste, cómo se calcula y en qué casos se debe aplicar, vale la pena recordar algunos conocimientos, que nos puedan ser útiles en la distribución binomial: el binomio de Newton y el Triángulo de Paseal. a) Bínomio de Newton: El binomio de Newton puede describirse de la forma siguiente:

(a+b)'=a+b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4 b2 + 30a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6

I(~)

an-r br es bastante simple, permite establecer La fórmula de (a + b)n = rrespondencia entre los coeficientes binomiales y el número de combinaciones.

una estrecha co-

El desarrollo de la sumatoria será iaual a:

b) Triángulo de Paseal Para obtener los coeficientes con más facilidad, podemos valemos de la relación de Pasealllamada también Triángulo de Paseal, con el cual se pueden calcular los sucesivos coeficientes de los términos, al desarrollar cierta potencia de un binomio. Elaboraremos dicho triángulo hasta n igual a 8. Tabla NQ 7. 1. Triángulo

-~

__

de Paseal

que los coeficientes del desarrollo binomial corresponden

~~M

--~-n' '.OS tomados = "" ,="

r en r (5)=e5 2 2 =~= 2! 3!

5x4x8! 2 x 1x 8! =10

al cálculo de la combina-

e

'lL Distribuciones

Probabilisticas

233

Discretas y Continuas

podemos observar una propiedad de las combinaciones, (10) 4

donde(~)

. Se tiene que

= (10) 10! 6 = 6! 4! = 10x9x8x7x6! 6!x4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 24 = 210

En el triángulo anterior podemos hacer algunas comprobaciones,

tales como:

(~) = (~) = 56 ~_-¡ora,elaboremos el espacio muestral, para el experimento consistente en lanzar cuatro monedas el consiguiente resultado.

=~ ), con

Tabla NQ7.2. Espacio muestral . Lanzamiento

1

4

16

16

6 16

4 16

de 4 monedas

1

16

nsideremos como éxito la aparición de cara (C) y como fracaso la obtención de sello (S). Supon=-:os que las probabilidades de C y S son p y q respectivamente, siendo p + q = 1. Así tenemos que = = p y p(s) = q. Por otra parte, se debe considerar que C y S se presentan independientemente; por -alón, cualquiera de las puntos muestrales, la probabilidad de que ocurran todos estos sucesos en solo ensayo, se obtiene multiplicando las probabilidades para cada suceso. Supongamos que en el :.--.::amiento de 4 monedas se quiera obtener éxito (cara) en la primera y tercera moneda y fracaso p(cscs) = p(c) p(s) p(c) p(s) = p q p q = p2 q2 asignadas a los 16 puntos muestrales del experimento anterior al lanzar

-,¿ :o) en la segunda y cuarta; se tendrá que: ==;;)OS las probabilidades "O

monedas. Tabla NQ7.3. Espacio muestral y asignación de probabilidades

---~--..~._~--------------""'----234

Ciro Martínez Bencardino

Si X representa al número de éxitos (caras) que se desea ocurran, se podrá elaborar la siguiente tabla de probabilidades. Siendo p =1/2 Y q = 1/2 Tabla Nº 7.4. Distribución de probabilidades

Regresemos al Binomio de Newton y observemos lo que pasa, si reemplazamos las notaciones clásicas de a y b por q y p, que representan las probabilidades de sello y cara. La expansión binomial estará expresada de la siguiente forma: ( q+p )n

= (n)o q n + (n)1 q n-1 P+

2 (n)

q n-2 P 2 +

En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, las posibilidades

p = .:!. 2

y (q +p/

q =.:!.2

; Ahora consideremos

= q4 +4q3p+6

Ahora, si reemplazamos

G+~r

=

q2p2

+p

n

de obtener cara ó sello, son:

a n = 4 Y desarrollemos

el binomio.

+4qp3 +p4

a q y p por el valor respectivo de ~, se tiene que:

Gr +4 GrG) +6 Gr (~r +4 G) (~r + Gr

.= C~)+4(i)G)+6(¡)(¡)+4G)(i)+C~) (1~)+4(1~)+6(1~)+4(1~)+(1~) 1 464 1 -+-+-+-+-=1 16 16 16 16 16 De acuerdo a lo anterior encontramos que si durante repetidos ensayos, siendo p la probabilidad e éxito en un solo ensayo, la cual debe permanecer fija. y q la probabilidad de fracaso, entonces la abilidad P de que se obtengan x éxitos en n. ensayos, es el término del desarrollo binomial de of. La fórmula general será:

c<::

('merios que debe satisfacer una experiencia binornial son: :_,:(,:" ·:?:,r-::_:.-::'j:::~>;-:::_~_ ._:.:

-

:'-"-:_':}::"" :_>

==== existir un número fijo dep~ueb'~·~lép~tidas(h).:.\: :¿:.a _~a de las n pruebas debetenerdosresl.iHados.; será: cara o sello.\( •....•••... -..:1 de éxito de un acontecimiento: es

... fa\/óiabJe

Capítulo Vil. Distribuciones

Probabilísticas

235

Discretas y Continuas

Ejemplos: 1. Al lanzar cuatro dos caras: Solución:

monedas,

P(X=2)

se quiere

determinar

Ci"2 ( 1 )2 ( "2 1 )4-2

=

la probabilidad

de obtener

exactamente

= 16 6 = 0,375 = 37,5 %

2. Si queremos determinar la probabilidad de que aparezcan exactamente 3 caras, tenemos:

Solución:

P(X=3)

= C~ G

P(X=3)

3!1! = (~)

r G)

1

°

8 (.!.) 2 = 4 (~) 16 = ~16 = ' 25 = 25% (.!.)

3. En el caso del dado, se quiere la probabilidad de obtener exactamente 2 cincos en 4 lanzamientos: Solución:

4.

1

4

=

_

('6)2 (5)2 6

P(X=2)

= C2

P(X=2)

= (4.3)(25) -21.296

( 2 ~~ !) ( 3~) (~:) = 6 (25) 1.296

= 1.296 150 = 0,1157 = 11,57 %

En una facultad, la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es del 80%. Si consideramos 8 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que: a) dos ganen? ; b) dos pierdan? ; c) por lo menos dos pierdan? d) como máximo 6 ganen? ; e) seis pierdan el semestre? Solución:

a)

b)

c)

n=8

;

P =

0,8 (ganar);

q = 0,2

;

x =2

P(X=2)

= (~) (0,8)2 (0,2)6 = 0,001146 = 0,1146 %

n=8

;

P(X=2)

=

n=8 p(X ~ 2)

p=0,2(perder)

q=0,8

;

x=2

=?

; P(X=2)=?

m (0,2)2 (0,8)6 = 0,2936 = 29,36 %

;

=

;

P(X=2)

p=0,2(perder) P(2)

;

q=~,~

;

x=mínimo

d05=2,3,4,5,6,7'y8

.;

+ P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = 1- [ p(O) + P(1)]

P(n2) = 1- [(~) (0,2)°(0,8)8 + m (0,2)1(0,8n P(X~2)

d)

'"

1- [ 0,1678 + 0,3355] = 1- 0,5033 = 0,4967 = 49,67 %

n = 8; P = 0,8 ( ganar)

;

q = 0,2

;

x = 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 Y 6

p(X $ 6)

= p(O) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1-

P(X$6)

= 1-

P(X$6)

= 1- [0,3355 +0,1678] = 1- 05033 = 0,4967 = 49,67 %

[P(7)

+ P(8)]

[(n (0,8f (0,2)1+ (~) (0,8)8 (0,2)°]

P(X$6)

=?

P(X~2)

=?

lo Vll. Distribuciones

Probabilfsticas

239

Discretas y Continuas .

. Se lanzan 7 dados. Si el éxito consisté en sacar un 5 ó 6, encontrar la probabilidad de obtener: exactamente 4 éxitos b) máximo 4 éxitos Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6

;

Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6

También se puede resolver así:

p( X~4) = 1-[G)

(ir (~r+(~) Gr

(~)+ (~)

Gr (~r]

243 ) (~) 9 + 7 (_1 729 ) (~) 3 + 1(_1 2.187 ) (1)] p( x -< 4 ) = 1- [21 (_1

p{

=1-

X<4) -

l--+--+-2.187 84

2.187 14

2.187 1]

= 1---=1-0,0453=0,9547 2.187 99

= 95,47%

. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso. probabilidad de que una muestra aleatoria de 4 artículos contenga: I ninguno defectuoso? b) exactamente uno defectuoso? exactamente dos defectuosos? d) no más de dos defectuosos? n=4

Solución:

p = 0,10

i)

p( x=o )=CJ ( 0,1)° ( 0,9

-)

p( x

~)

p( X=2

1)

= 1) = Cf

)4

¿Cuál es la

q = 0,90

= 1( 1) ( 0,6561) = 0,6561 = 65,61%

( 0,1 )1 ( 0,9 )3 = 4 ( 0,1 ) ( 0,729 ) = 0,2916 = 29,16%

)=q ( 0,1)2 (0,9)2 = 6 ( 0,01) ( 0,81) = 0,0486 = 4,86%

p( x" 2) = p( X,,2)

q(0,1

)0 (

0,9

t+

C14

(

0,1 )1 ( 0,9

)3

+ ci

( 0,1 )2 + ( 0,9

)2

= 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963 = 99,63%

Si un jugador que al batear tiene un promedio de 0,40, llega a batear 5 veces en un juego, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga: exactamente 2 golpes? b) menos de dos golpes? Solución: p = 0,40

q = 0,60

n=5

x=2

240

Ciro Martínez Bencardino

p b)

x = 2) = q ( 0,4 )2 ( 0,6 )3 = 10 ( 0,16 )( 0,216 ) = 0,3456 = 34,56%

p( X,,1)

( 0,4)° ( 0,6 )5 + C~ ( 0,4 )1 ( 0,6t 5! 5! =- O! 5 ! ( 1 )( 0,07776 ) + 1! 4! ( 0,4 ) (0,1296)

p( X,,1)

= 1( 1 )(0,07776) + 5 ( 0,4 )( 0,1296) = 0,07776 + 0,2592 = 0,3369 = 33,69 %

p( X,,1) = cg

5. Al lanzar 8 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener menos de 6 caras?

n=8

Solución:

p( X';;5)=Cg

(0,5)° (0,5)8

x = O, 1, 2, 3, 4, 5,

q = 0,5

p=0,5

+cf

(0,5)1 (0,5)7 +C~ (0,5)2

(0,5)6

+C~ (0,5)3

(0,5)5

+ C~ ( 0,5 )4 ( 0,5 )4 + C~ ( 0,5 )5 ( 0,5 )3 = 0,85543 = 85,54% Es posible resolverlo de la siguiente forma:

P(X"5)=1-[C~

(0,5)6 (0,5)2

+C~ (0,5/

(0,5)'

+cg

(0,5)8

(0,5 )0]

p( X,;5)

= 1- [28 ( 0,015625 ) ( 0,25 ) + 8 ( 0,00781) ( 0,5 ) + 1( 0,00396 ) ( 1)]

p( X,,5)

= 1- [0,10937 + 0,03124 + 0,00396] = 1- 0,14457 = 0,85543 = 85,54 %

6. Según los registros universitarios, fracasa el5% de los alumnos de cierto curso. ¿Cuál es la proba· bilidad que de 6 estudiantes seleccionados al azar, que hayan seguido dicho curso, menos de '1 hayan fracasado?

p.= 0,05

Solución:

p(

x,; 2) = cg ( 0,05

)0 (

n=6

0,95 )6 + Cf ( 0,05 )1 ( 0,95

1)( 0,735091 )+6(

p(x';2)=1( p(

q = 0,95

0,05)(

x = O, 1,2

)5

+ C~ ( 0,05 )2 ( 0,95

0,773780 )+15(

0,0025)(

t

0,814506)

x,; 2) = 0,735091 + 0,232134 + 0,030543 = 0,997768 = 97,78%

7. Los registros hospitalarios indican que el1 0% de los casos de cierta enfermedad resultan fatales. Si hay 5 pacientes que sufren de la enfermedad, encontrar la probabilidad de que: ó) todos sanen; b) por lo menos 3 mueran; e) exactamente 3 mueran.

p = 0,10

Solución:

" x = ° = cg ( 0,1 )0 :; ==

~3

=

(

q = 0,90

0,9

c~( 0,1 )3 ( 0,9/

n=5

x=O

c~( 0,9 )5 ( 0,1 )0 = 1( 1 )( 0,5904 ) = 0,5904 = 59,04% + c¡ ( 0,1 )4 ( 0,9 )' + e; ( 0,1 )5 ( 0,9 )0 = 0,00810 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00

)5 =

'=3 =C~(0,1)3(0,g)2=0,00810=0,81%

ílulo VIT. Distribuciones

Probabilísticas

245

Discretas y Continuas.

Ejercicios para resolver (Ver respuestas al final del capítulo). ¿Cuál es la probabilidad falso y verdadero?

de contestar correctamente

por lo menos tres de las cinco preguntas de un test de

Si se sabe que nueve de cada diez personas tienen caries, al tomar al azar un grupo de cinco personas. ¿cuál es la probabilidad de que: c) por lo menos dos no tengan caries? cuatro tengan caries? d) por lo menos una tenga caries? por lo menos dos tengan caries? Si el 20% de los estudiante-s-de una universidad pierde el primer año y se toma al azar un grupo de seis estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que: máximo dos aprueben? b) todos aprueben? c) ninguno apruebe? 4.

a} }

De los 6.000 estudiantes matriculados en la universidad, se sabe que 4.800 se trasladan al claustro utilizando el transporte urbano (servicio público). Si se selecciona una muestra de ocho estudiantes. ¿cuál es la probabilidad de que: c) exactamente dos no lo utilicen? no más de dos utilicen dicho servicio? d) exactamente dos lo utilicen? por lo menos tres no lo utilicen?

a}

Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el día viernes; en una encuesta a ocho alumnos de la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que: por lo menos siete asistan a clases el día viernes?; b) por lo menos dos no asistan a clases el día viernes?

a} }

Se sabe que en una universidad de 2.000 estudiantes, ochocientos usan gafas. Si se re cinco estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que: por lo menos dos usen gafas? c) de 2.000 estudiantes, cuántos no usan gaías? por lo menos dos no usen gafas? Si un tercio de los estudiantes de un curso de contabilidad son repitentes, calcule la probabilidad muestra al azar de cuatro estudiantes:

a}

no más de dos sean repitentes.

eque en una

b) al menos uno no sea repitente.

6 ensayos de una ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan diez o más acontecimientos desfavorables e experiencia binomial, si la probabilidad de acontecimiento favoráble en cada ensayo es de A? (Utilice la tabla para el cálculo). 9.

Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros de servici cada año. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de una muestra de siete ve tenido accidentes en el año?

rico se accidentan afiliados,hayan

O. De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que e13% son defectuosos. ¿Cuál es la probilidad de que en una muestra de siete envases: a) por lo menos tres sean buenos? b) por lo menos tres sean defectuosos? 1. Si la probabilidad de que un niño enferme de sarampión es del1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en una familia con cinco hijos, resulten: a} dos enfermos? b) por lo menos uno enfermo? c) por lo menos dos no se enfermen? 2. Cierta enfermedad tiene un 20% de mortalidad. Si existen cinco pacientes con la enfermedad. ¿cuál será la probabilidad de que: a) ninguno sobreviva? b) todos sobrevivan? c) al menos uno sobreviva? d) al menos uno no sobreviva? 3. En una ciudad se publican 25 revistas de las cuales cinco son científicas. Si se eligen cuatro al azar, ¿cuál será la probabilidad de que: a} por lo menos una sea científica? b) por lo menos dos no sean científicas? c) una sea científica? 4. El 30% de las familias de un barrio de Quito son consideradas posibles clientes para comprar cierto producto. Se toma una muestra de ocho familias. ¿Cuál es la probabilidad, en la muestra, de que: a) tres o menos sean clientes? " b) tres o más no sean clientes?

¿;