Discrete Ma Thematic Key7

เฉลย math induction vicharkarn # cstu20 7.

ขออนุญาตใชภาษาอังกฤษนะครับ ขี้เกียจเปลี่ยนภาษาตอนพิมพ n! ≥2

n@ 1

,n ≥ 1

basic step

n=1 1! ≥

1 ≥ basic step completed

1@ 1

2

0

2 =1

is true

inductive step n@ 1 assume n! ≥2 ,n ≥ 1 is true k@ 1 n + 1@ 1 n prove : k = n + 1 Q k! ≥2 =2 =2

because k = n + 1 # k! = n + 1 ! = n + 1 n! but n! ≥2

n@ 1

`

a

`

# n + 1 n! ≥ n + 1 2 `

a`

a

`

because n + 1 ≥ 2 for every n

a

n@ 1

a`

a

so we can replace n + 1 by 2 and we get `

n + 1 ! = n + 1 n! a

`

a

≥ n+1 2 `

≥ 2 2 b

a

n@ 1

n

n@ 1

c

≥2 inductive step completed n@ 1 since basic and inductive step completed, n! ≥2 ,n ≥ 1 is true. ans

เรามาดูแนวคิดของขอนี้กันนะครับ ขอนี้เปน induction แบบดัดแปลงเล็กนอยครับ ไมตรงตัวเสียทีเดียว และอาจจะสามารถพิสูจนในแนวทางอื่นได ครับ สวนวิธีที่พี่ใชก็อาศัยกฎที่วา ถา a>b และ b>c แลว a>c ดวยครับ จะเห็นตอนที่พี่ใช combo ชุดนี้นะครับ คือตอนที่แทน n+1 ดวย 2 ลงไปดื้อๆเลย ถามวาทําไมถึงทําได? ก็เพราะวายังไงเสียในขั้น inductive นี้เราบอกวา n เปน n ใดๆแลวที่มากกวาหนึง่ เพราะฉะนั้น n+1 ตองมากกวา 2 แนๆ ก็เลยทําให `

n+1 2 a

n@ 1

≥ 2 2 b

n@ 1

c

ดวยครับ อสมการที่เราแทนจึงไมมีทางผิด การพิสูจนก็เปนไปในแนวทางนี้นะครับ ใครมีแนวทางอื่นก็เอามาแบงปน กันไดครับ สวนขอ 8,9 นี่พี่คงไมตองเฉลยนะครับ เพราะเปน induction แบบตรงๆ แตถาไมไดจริงๆก็ request มาไดครับ เดี๋ยวจัดให