Derivadas.docx

TUTORIAL DE DERIVADAS Instrucciones ♦ El color rojo explica cómo es que salió el resultado.

♦ El color negro es la operación real que ♦el color azul significa títulos, respuesta se debe seguir para resolver el problema. Ejemplos y ejercicios.

ƒ ' (x) = Esto se lee ƒ prima de x, es como una apostrofe que se debe colocar cuando se comienza a derivar.

Derivada de una función Ejemplos ƒ(x) = x ƒ '(x)= d(x) dx ƒ '(x) = 1 \\R ƒ(x) = 2x ƒ '(x) = 2d(x) dx ƒ '(x) = 2 · 1 ƒ '(x) = 2 \\R

d(x) = 1, la derivada de dx x es igual a 1

ƒ(x) = 49 ƒ '(x) = 0 \\R

la derivada de 2X es igual a 2, ƒ(x)= x² se separa la constante que es 2 ƒ '(x) = d(x²) y se multiplica por el resultado, dx de la derivada de x = 1 ƒ '(x) = 2x \\R entonces 2 · 1 = 2

√𝑥 = 𝑥 ½ , se ordena,

ƒ(x) = √𝑥 -

ƒ(x) = 𝑥 ½ ƒ '(x) = d (𝑥 ½ ) dx

bajo el exponente,

ƒ(x) = 𝑥 ½ - 𝑥

ƒ '(x) = ½ 𝑥 ƒ '(x) =

1 2√x

−½

\\R

½-1=-½, ¾ -1=-¼ ½𝑥

−½

es igual a

1 2√x

ƒ '(x) = ½𝑥 ƒ '(x)=

1 2 √x

derivada de x² se baja el exponente, se les resta 1 al exponente 𝑥 2−1 = 2x, 𝑥 3−1 = 3x², 𝑥 4−1 = 4𝑥 3

1

ƒ(x) = √𝑥

le resto 1 al exponente

derivada de todo numero solo es igual a “0”

se ordena, - ½ - 1 = − 3⁄2

√x −½

−½

½𝑥−3/2 −3/2

+ ½𝑥 1 + \\R 3 2√𝑥

=

1 2√𝑥 3

Reglas Generales Múltiplo de una constante d(cƒ(x)) = c d(ƒ(x)) dx dx

Suma de funciones d(ƒ(x) + g(x)) = d (f(x)) + d(g(x)) dx dx dx

Regla del producto

Regla del cociente

d(f(x) · g(x)) = ƒ(x) · g '(x) + ƒ '(x) · g(x) dx

d f(x) = ƒ '(x) · g(x) – ƒ (x) · g '(x) dx g(x) (g(x))²

Reglas de derivadas de funciones usuales d(c) = 0 dx

d(sen(x)) = cos(x) dx

d(cot(x)) = - csc²(x) dx

d(x) = 1 dx

d(cos(x)) = - sen(x) dx

d(sec(x)) = sec(x)tan(x) dx

d(𝑥 𝑛 ) = n𝑥 𝑛−1 dx

d(tan(x)) = sec²(x) dx

d(csc(x)) = - csc(x)cot(x) dx

d(𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 dx

Regla de la cadena H '(x) = ƒ ' (g(x)) · g '(x)

Regla Suma de funciones Ejemplos ƒ(x) = x³ - 2x² +1 ƒ '(x) = d(x³) - 2d(x²) + d(1) dx dx dx ƒ '(x) = 3x² -4x \\R

al aplicar suma funciones ƒ (x) = ³√x + 𝑒 x lo que hace es que deriva ƒ '(x) = 𝑥 ⅓ + 𝑒 x uno por uno, dijimos que ƒ '(x) = ⅓ 𝑥 −⅔ + 𝑒 x

ƒ (x) = x³ +3x -2 ƒ '(x) = d(x³) – 3d(x) –d(x) dx dx dx ƒ '(x) = 3x² - 3 \\R

1

lo arreglamos, y sabemos que derivada de e es e

+ 𝑒 x \\R

1 es igual a 0.

ƒ '(x) =

solo se deriva

ƒ (x) = ³√x² + x² - 8

3 ³√𝑥²

ƒ '(x) = d(𝑥 ⅔ ) +d(x²) – d(8) dx dx dx −⅓ ƒ '(x) = ⅔𝑥 +2x 2 ƒ '(x) = +2x \\R 3 ³√ 𝑥

Múltiplo de una constante Ejemplos y = x² +3x 6 1

y = (x²+3x) 6

y = _9_ 5x²

y = 5 𝑥4 8

9

y = ( 𝑥 −2 ) 5

función original

5

y = ( 𝑥4 )

Reescribe (que es lo mismo de

8

la función original) 1

9

5

y '= (2x+3)

y ' = (−2𝑥 −3 )

y '= (4x³)

y '= 2x+3 6 \\R

y '= - _18 5 𝑥 3 \\R

y '= x³

6

5

se deriva

8

5 2

\\R

simplifica

Ejercicios ƒ(x) = 8x³ + 15x² -35 y = -3(3x – 2x²) ƒ(x)= √x² + ³√x 7x ƒ(x) = 45x² + ³√𝑥 4 y = _7 ƒ(x) = 4𝑥 4 -34x³+12x²+8x-45 3x³

y = 3x² -5

y =x² +2x

7 y = 4_ 5x²

3 y = 5x² - 3 4

Regla de producto y Regla de cociente Ejemplos ƒ(x) = x𝑒 𝑥 ƒ '(x) = x · 𝑒 𝑥 + (1)· 𝑒 𝑥 ƒ '(x) = x𝑒 𝑥 +𝑒 𝑥 \\R

se aplica la regla de producto, porque los variante x está multiplicando la variante 𝑒 𝑥 , según la regla es d(f(x) · g(x)) = ƒ(x) · g '(x) + ƒ '(x) · g(x) dx

𝑒𝑥

la x es f(x) y la es g(x) x 𝑒 𝑥 = ƒ(x) · g'(𝑒 𝑥 )+ ƒ'(x) · g(𝑒 𝑥 ) y se deriva, y como sabemos la derivada de 𝑒 𝑥 es 𝑒 𝑥 se sabe que f de x que es ƒ(x) no se deriva, se deriva f prima de x que es ƒ '()

ƒ(x) = 3x-1 se aplica la regla de cociente no está multiplicando ni sumando 2x -1 d f(x) = ƒ '(x) · g(x) – ƒ (x) · g '(x) ƒ '(x) = (3)(2x-1) – (3x-1)(2) dx g(x) (g(x))² (2x-1)² ƒ(x) es 3x-1 derivada de esto es 3 y g(x) es 2x-1 y la derivada es 2 ƒ '(x) = 6x -3 -6x +2 se multiplica (3)(2x-1) y da 6x-3, - 6x +2 de la misma manera solo 4x² -4x +1 que lo afecta el signo “– “al sacarlos del paréntesis. ƒ '(x) = -1___ (2x-1)² esto se saca el primero al cuadrado, el segundo su duplico por 4x² -4x +1 \\R el segundo, el tercero al cuadrado y da 4x² - 4x +1 ƒ(x) = _2x_ 4+ x² ƒ '(x) = (2)(4+x²) – (2x)(2x) (4+X²)² ƒ '(x) = 8+ 2x² -4x²_ 16 + 8x² + 𝑥 4 \\R

y = 3x² sen(x) y '= 3x² d(sen(x))+3d(x²) sen(x) dx dx y '= 3x²cos(x) + 6xsen(x) y '= 3x(x cos(x) +2 sen(x)) \\R

ƒ(x) = (3x - 2x²)(5 + 4x) ƒ '(x) = (3x -2x²)(4)+ (3 -4x) (5 + 4x) ƒ '(x) = (12x – 8x²)+(15 +12x -20x - 16x²) ƒ '(x) = 12x- 8x² +15 + 12x -20x -16x² ƒ '(x) = -24x² + 4x +15 \\R

la derivada de sen(x) es cos(x) y de ultimo si se puede se saca factor común

ƒ(x) = 5x -2 x²+1 ƒ '(x) = (5)(x²+1) – (5x -2 )(2x) (x²+1)² ƒ '(x) = 5x²+5 -10x² +4x (x²+1)² ƒ '(x) = -5x² +4x +5 (x²+1)² \\R

y = 2xcos(x) -2 sen(x) y '= (2x) d(cos(x)) + d(2x) (cos(x)) – 2 d(sen(x)) dx dx dx y '= 2x-sen(x) + 2cos(x) - 2cos(x) y '= -2xsen(x) \\R

lo primero 2xcos(x) se usa la regla de producto y -2 sen(x) se usa múltiplo de una constante La colocación de los signos no altera el producto mientras sean los signos correctos

ƒ(x)=8tan(x)- csc(x)x³ ƒ '(x) = 8d(tan((x))- csc(x) d(x³) + d(csc(x))(x³) dx dx dx ƒ '(x)= 8sec²(x)- csc(x)3x² -csc(x)cot(x) x³ ƒ '(x)= 8sec²(x) - 3x²csc(x) – x³csc(x)cot(x) \\R ƒ(x) = sen(x) - 3x x ƒ '(x)= d(sen(x)-3x) -(x) – (sen(x)-3) d(x) (x)² ƒ '(x)= 3xcos(x) + 3sex(x) x²

opere bien los signos.

\\R

Ejercicios

h (x) = (x³ + 1) (x³ - 2x) ƒ (x) = ³√x (x² + 4)

ƒ(x) =

_x__ x²+1

ƒ(x) = cos(x) x³

h (x) = x³ cos(x) h(x) =(x²- 3x)(2x² + 3x +5)

ƒ(x) = ³√𝐱 x³ + 1

ƒ(x) = __x__ √𝐱 -12

ƒ(x) = (x³- 2x²)(x² - 8x) h(x) =tan(x)cot(x) h(x) = x³sec(x) +8cos(x) ƒ(x)= 2tan(x) – sec(x)csc(x)

h(x) = 3 – 2x – x² x² - 1 ƒ(x)= sec(x) x

ƒ(x) = cos(x) x ƒ(x)= 1 +csc(x) 1- csc(x)

Regla de la cadena Ejemplos h(x) = √𝐱² − 𝟒 h(x) = (x² - 4)½ h '(x)=½(x² -4)−½ d(x²-4) dx h '(x)=½ __1___ 2x (x² -4 )½ h '(x)= ___x___ √𝐱² − 𝟒 \\R

se deriva afuera y después se deriva lo de adentro en este caso x² -4, ½ por 2x es igual a x

ƒ(x) = __1___ (x² -3x)³ ƒ(x) = (x² -3x)−3 ƒ '(x) = -3(x² -3x)−4 d(x² -3x) dx ƒ '(x)= 3__ (2x-3) (x² -3x)4 ƒ '(x) =_9 -6x__ (x² - 3x)4

\\R

𝑥

ƒ(x) = ____𝑒 3 ___ sen²(5x)

ƒ(x) = sen6x ƒ '(x) = cos6x d(6x) dx ƒ '(x)= 6cos6x \\R

𝑥

ƒ(x) = ____𝑒 3 ___ [ sen(5x)]² 𝑥 𝑑(3𝑥) 𝑑𝑥

𝑒3

ƒ '(x) =

𝑥

sen²(5x) − 𝑒 3 2 sen(5x)

𝑑𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑑𝑥

[(sen(5x))²]²

y = ³√1 + csc(x) 𝑥

y = (1+ csc(x) )

⅓

ƒ '(x) =

y '= ⅓(1+csc(x) )−⅔ d(1+ csc(x)) dx y '=

𝑥

ƒ '(x) =

1______ - csc(x)cot(x) 3(1+ csc(x) )

⅔

𝑑(5𝑥)

𝑥

3𝑒 3 sen2 (5x)−2 𝑒 3 sen(5x) cos(5x)5 se𝑛4 (5x) 𝑥

ƒ '(x)=

y '= - csc(x)cot(x) 3 ³√(1 + csc(x))²

𝑥

𝑒 3 3sen2 (5x)−2 𝑒 3 sen(5x) cos(5x) 𝑑𝑥 (sen(5x) )4

𝑒 3 sen(5x)(3 sen(5x)−10 cos(5x)) se 𝑛4 (5x) 𝑥

\\R

ƒ '(x) =

𝑒 3 (3 sen(5x)−10 cos(5x)) se 𝑛3 (5x)

\\R

y = cos²(5x²)

ƒ(x ) = ³√(x 2 − 1)²

y = [cos(5x²) ]²

ƒ '(x)= (x² -1)⅔

y '=2[cos(5x²)] dcos(5x²) dx

ƒ '(x) = ⅔(x² -1)−⅓

y '= 2cos(5x²)(-sen(5x²)) d(5x²)

ƒ '(x)=

2 3 ³√x²−1

2x

d(x² -1) dx ⅔ * 2x =

4 3

𝑥

dx ƒ '(x) =

y '= - 2cos(5x²)sen(5x²) 10x y '= - 20xcos(5x²)sen(5x²)

y=

3 ³√x²−1

\\R

\\R y (x)= cot²(sen(x)) y (x) = [cot (sen(x))]² y '(x) = 2cot(sen(x) dcot(sen(x)) dx y '(x) = 2cot(sen(x)) –csc²(sen(x)) dsen(x) dx y '(x) = -2 cot(sen(x))csc²(sen(x))cos(x) \\R

3x - 1 ² x² + 3

y = 2 3x-1 d 3x-1 x² + 3 dx x² + 3 y '= 2(3x-1) x²+3

4x

(3)(x²+3) –(3x-1)(2x) (x²+3)² ƒ(x) = (𝑥 4 -1)³ (x³ +1)4 ƒ '(x)= d(𝑥 4 -1)³ (x³ +1)4 + (𝑥 4 -1)³ d(x³ +1)4 dx dx

y '= 2(3x-1)(3x² + 9 – 6x² +2x (x²+3)³ y '= 2(3x-1)(- 3x²+ 2x + 9) (x²+3)³

ƒ '(x) = 3(𝑥 4 -1)² d(𝑥 4 -1) (x³ +1)4 + (𝑥 4 -1)³ 4(x³+1)³ d(x³+1)

\\R

dx dx 4 4 ƒ '(x) =3(𝑥 -1)² 4x³ (x³+1) +(𝑥 -1)³4(x³+1)³ 3x² ƒ '(x) = 12x³(𝑥 4 -1)²(x³+1)4 + 12x²(𝑥 4 -1)³ (x³+1)³ ƒ '(x) = 12x²(𝑥 4 -1)²(x³ +1)³ (x(x³ +1) +(𝑥 4 -1)) ƒ '(x) = 12x²(𝑥 4 -1)² (x³ +1)³ (𝑥 4 + x + 𝑥 4 -1) ƒ '(x) = 12x² (𝑥 4 -1)² (x³ +1)³ (2𝑥 4 + x -1) \\R 4

y = x² 𝑒 −3𝑥³ y '= d(x²) 𝑒 −3𝑥³ + d𝑒 −3𝑥³ y '= 2x 𝑒 −3𝑥³ + x² 𝑒 −3𝑥³ + d (-3x³) dx y '= 2x 𝑒 −3𝑥³ - x² 𝑒 −3𝑥³ 9x² 3 3 y '= 2x𝑒 −3𝑥 – 9𝑥 4 𝑒 −3𝑥 y '= x𝑒 −3𝑥³ (2 – 9x³) y '= x(2 – 9x³) 𝑒 −3𝑥³ \\R

Ejercicios ƒ(x)= csc(cot(x)) ƒ(x)=

x³ csc²(x)

y=cos(3x²)

y = (2x -7)³

ƒ(x) = 3(4- 8x)²

ƒ(x)= √5 − 3x

ƒ (x)= _1_ ² x-4

ƒ(x) = 5 - 4x ³ 4³ +8

ƒ(x) =

y = __7__ (x +3)³ y = sen²(cot(x²))

G(x) = tan³(2x²)

y = ³√(7 + 8x)²

x³_ ³ 5x +x³

ƒ(x)=(9x + 8)4

ƒ(x) = csc²(cos(sen(x³))) ƒ(x) = 𝑒 8𝑥³

Regla de la cadena en función usual d(sen(u)) = cos(u) du dx dx

d(tan(u)) = sec²(u) du dx dx

d(sec(u)) = sec(u)tan(u) du dx dx

d(cos(u)) = - sen(u) du dx dx

d(cot(u)) = - csc²(u) du dx dx

d(csc(u)) = - csc(u)cot(u) du dx dx

d(𝑒 𝑢 ) = 𝑒 𝑢 du dx dx

d(log a (u)) =__1__ du dx u ln(𝑎) dx

d(𝑎𝑢 ) = 𝑎𝑢 ln(𝑎) du dx dx

d(ln(𝑢)) = 1 du dx u dx

Derivadas implícitas

♦ para comprender esta técnica, es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a x. Esto quiere decir que cuando

Ejemplo dy dx

se tenga que derivar términos que solo contienen a x, la derivación será habitual. Sin embargo, cuando haya que derivar un término donde donde aparezca y, Sera necesario aplicar la regla de la cadena, ya que se está suponiendo que y está definida implícitamente como

y³ +-5y – 4 x² - x = -8 función derivada de x. d(y³) –5d(y) – 4(x²) – d(x) = - d(8) dx dx dx dx dx se derivan todos los términos de la ecuación y se coloca el 𝑑(𝑦³) 3y² dy -5 dy -4 · 2x dx – 1 d(x) = 0 antecedentes de la derivada, ejemplo 𝑑𝑥 la derivada es 3y² 𝑑𝑦 dx dx dx dx y el antecedente es , en si el antecedente es la varia a la que 𝑑𝑥 4𝑑(𝑥²) 3y² dy -5dy -8x - 1 =0 se deriva, ejemplo 2 : − la derivada es -8x y el antecedente 𝑑𝑥 𝑑𝑥 dx dx es y esto si es igual a 1, siempre se debe colocar el 𝑑𝑥 𝑑𝑦 3y²dy – 5dy = +8x + 1 antecedente, se agrupa los términos de en la parte izquierda 𝑑𝑥 dx dx y pasar todos los demos al lado derecho 𝑑𝑦 𝑑𝑦 dy (3y² -5) =8x +1 factorizar en la parte izquierda y nos queda (3y² -5) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 dx y por ultimo despejamos dividiendo entre 3y² -5. 𝑑𝑥 dy= 8x+1 dx 3y² -5 \\R 2x³ + x²y = 2 + xy³ d(2x³ + x²y) = d(2+xy³) dx dx d (2x³) + d(x²y) = d(2) + d(xy³) se aplica la regla de producto dx dx dx dx 2d(x³) + d(x²) · y + x² · d(y) = 0 +d(x) · y³ + x d(y³) dx dx dx dx dx 2 · 3x² dx + 2x dx ·y + x² · 1 dy = 1 dx · y³ + x · 3y² dy dx dx dx dx dx 6x² + 2xy + x² dy = y³ +3xy² dy dx dx x²dy – 3xy dy = y³ - 6x² - 2xy dx dx dy(x² - 3xy) = y³ -6x² -2xy dx dy = y³ -6x² -2xy dx x² - 3xy \\R

en x²y y en xy³

Ejemplo dx Vamos a hacer el mismo ejemplo anterior pero ahora dx dy dy 2x³ +x²y = 2 + xy³ d(2x³ +x²y) = d(2 + xy³) dy dy 2d(x³) + d(x²) · y + x² · d(y) = d(2) + d(x) · y³ + x d(y³) tiene que dar el mismo resultado que el dy dy dy dy dy dy ejemplo anterior solo que con diferentes 2 · 3x² dx + 2x dx · y + x² 1 dy = 1 dx · y³ + x 3y² dy signos y al contrario, si no sale el mismo dy dy dy dy dy resultado es porque esta malo, si quieren 6x² dx +2xy dx +x² = y³ dx + 3xy² los mismos signos se puede multiplicar −1 dy dy dy para que cambien de signos esto es −1 dx(6x² +2xy+ y³) = -x² +3xy² opcional. dy dx= _-x² + 3xy²__ dy y³ +6x² +2xy \\R ƒ(x) = 7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) ƒ '(x) = 7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) · ln(7)· d(sen(3x²)) dx ƒ '(x) = 7

𝑠𝑒𝑛(3𝑥²)

· ln(7)· cos(3x²) d(3x²) dx ƒ '(x) = 7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) · ln(7)·cos(3x²) ·6x ƒ '(x) = 6ln(7) 𝑥 7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) cos(3x²) \\R ƒ(x) = 𝑒 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) ƒ '(x) = 𝑒 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) · d(tan(5x)) dx ƒ '(x) =𝑒 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) ·sec²(5x) d(5x) dx 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) ƒ '(x)= 𝑒 · sec²(5x)·5 ƒ '(x) = 5𝑒 𝑡𝑎𝑛(5𝑥) sec²(5x) \\R

aquí se aplica la regla

𝑑(𝑎𝑢 ) 𝑑𝑥

𝑑𝑢

=𝑎𝑢 ln(𝑎) 𝑑𝑥

a significa un número y u la potencia y esto igual a 𝑑(7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) ) 𝑑𝑥

=7𝑠𝑒𝑛(3𝑥²) ln(7)

𝑑(𝑠𝑒𝑛(3𝑥²)) 𝑑𝑥

después de usa la regla de la cadena para derivar 3x² y se va simplificando

se aplica la regla

𝑑(𝑒 𝑢 ) 𝑑𝑥

=𝑒 𝑢

𝑑𝑢 𝑑𝑥

se usa la regla de la cadena en 5x y se simplifica

y = ln(3x² + 2x) y '= ___1__ · d(3x² + 2x) 3x² +2x dx y '= ___1 · 6x+2 3x² +2x y '= _6x+2_ 3x²+2x \\R

se aplica la regla

ƒ(x) =log 5 (x3x² )

𝑑(ln(𝑢)) 𝑑𝑥

aquí se aplica la regla x²

ƒ '(x)= ___1___ · d(x · 3 ) x3x² ·ln(5) dx ƒ '(x) =____1___ · d(x) ·3 ln(5) x · 3x² dx

x²

1 𝑑𝑢

= 𝑢 𝑑𝑥

𝑑(log𝑎(𝑢)) 𝑑𝑥

1

= 𝑢 ln(𝑎)

𝑑𝑢 𝑑𝑥

y en x · 3x² se utiliza regla de producto, y en 2

3x como se puede aplicar la regla x2

+ x d(3 ) dx

entonces queda 3

ln(3)2x

=𝑎𝑢 ln(𝑎)

sacamos factor común en 3 , lo separamos y 3x² 3x²

𝑑𝑢 𝑑𝑥

y se va simplificando,

x²

queda

ƒ '(x) =____1___ · (3x² + x · 3x² ln(3)2x) ln(5) x · 3x² ƒ '(x)=( 3x² +2ln(3)x² · 3x² ln(5) x · 3x² ƒ '(x)=3x² (1+2ln(3)x²) ln(5) x · 3x² ƒ '(x)= 3x² · (1+2ln(3)x²) 3x² ln(5) x ƒ '(x) = 1+2ln(3)x² ln(5) x \\R

x²

𝑑(𝑎 𝑢 ) 𝑑𝑥

y como es el factor común,

si dividimos 3x² entre 3x² es igual a 1 es como anularlos porque 1 · los demás es igual a lo mismo.

𝑒 𝑤 cos(z) = 1 + sen(wz) d𝑒 𝑤 cos(z) + 𝑒 𝑤 dcos(z) = cos(wz) d(wz) dz dz dz 𝑤 𝑤 𝑒 dw cos(z) - 𝑒 sen(z) dz = cos(wz) dx z + w dz dz dz dz dz 𝑤 𝑤 𝑒 cos(z) dw - 𝑒 sen(z) = cos(wz) z dw + w dz dz 𝑤 𝑤 𝑒 cos(z)dw - 𝑒 sen(z) = z cos(wz) dw + w cos(wz) dz dz 𝑤 𝑒 cos(z) dw – z cos(wz) dw = wcos(wz) +dw 𝑒 𝑤 cos(z) -𝑒 𝑤 sen(z) dz dz dz 𝑤 𝑤 dw 𝑒 cos(z)- zcos(wz) = wcos(wz) + 𝑒 sen(z) dz dw = wcos(wz) + 𝑒 𝑤 sen(z) dz 𝑒 𝑤 cos(z) – zcos(wz) \\R

Ejercicios ƒ(x) = ln[sec(𝑥)] y = 5²𝑠𝑒𝑛(𝑥³) ƒ(x)= 𝑥 𝑥³ ƒ(x)= 8𝑡𝑎𝑛(𝑥)

ƒ(x)= log 7 (𝑥 4 ) y = ln(ln(𝑥 5 )) 3 ƒ(x) = 𝑒 cot(𝑥 ) 3𝑥 y= ln ( ) 𝑥−4

y = log 5 (ln(𝑥³))

ƒ(x)= 𝑒 sec(𝑥

2)

Realice los siguientes como dx y dy de las 2 formas dy dx x²+y² = 20 xy² +x²y = 4 +xy² x³ -3x²y +2xy² = 12 se(x) +2 cos(2y) = 1

cot (y) = x - y 2sen(x) cos(y) = sen(x) +8 x²y² + 5xy – xy = x³y³ - 4x 9x² + 16y² = 144

Recta de la tangente Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ƒ(x)= -x² +4x-1 Para cuando x= 3, x= 0, x=2 ƒ(x) = -x² +4x -1 ƒ(x) = (-x² +4) -1 ƒ(x) = -(x² -4) -1 ƒ(x) = -(x² - 4 +4 -4) -1 ƒ(x) = -(x² - 4 +4) +4 -1 ƒ(x) = -(x - 2)² +3 v(2, 3)

desarrollamos la ecuación y nos queda el vértice en (2,3)

x=3 ƒ '(x) = -2 x +4 = Mt(x) Mt = ƒ '(x) = -2(3) +4 Mt = -2 y- y1 = M x -x1 y-2 = -2 x-3 y-2=-2(x-3) y -2 = -2x +6 y = -2x +6 +2 y = -2x +8 \\R

derivamos la ecuación –x²+4x-1 y nos queda -2x+4 mt =ƒ'(x) = -2x+4 = mt(x) entonces sustituimos el valor de x por el valor 3 porque ese es el que nos pide cuando x valga 3 lo que sale es mi mt, el valor que sale lo aplicamos en la Formula de la pendiente colocamos dos valores conocidos en x= 3 y y= 2 porque (3,2) es un punto en la parábola conocidos, el (x-3) lo pasamos a multiplicar al otro lado y después el -2 y da mi recta tangente y tiene pasar cortando la parábola una vez

x=2 Mt = ƒ '(x) = -2(2) +4 Mt = 0 y=3

\\R

como ya tenemos la deriva solo solo sustituimos el valor pedido si da 0 entonces solo colocamos el Valor conocido de la y que es 3, que es el punto conocido (2,3), porque al operarlo 3 en la fórmula de la pendiente da 3 porque 0(x-0) da 0 solo pasamos el -3 al otro lado

x= 0 Mt = ƒ '(x) = -2(0) + 4 Mt = 4 y-(-1) = 4 x-(0) y +1 = 4 (x) y = 4x -1 \\R

se hace lo mismos que lo anterior

ƒ(x) =x² -6x + 10 para cuando x=2 ƒ '(x) = 2 x -6 = Mt(x) Mt = ƒ '(x) = 2(2) -6 Mt = -2 y- y1 = m x -x1 y-2 = -2 x-2 y-2= -2(x-2) y -2 = -2x +4 y = -2x +6 \\R

Ejercicios ƒ(x) = x²-5x+4 en x= 4 , x= 1 ƒ(x) = -x²+8x-5 en x=1, x=4, x=7 ƒ(x) = x²-2x en x= 0, x=1 ƒ(x) = 3x²-3x en x=3 ƒ(x) = -x²+x en x= -2, x= -1, x=0, x=1, x=2

Aplicaciones de la derivada Ejemplos: 1) ƒ(x) = -2x³+3x²+3x-2

le sacamos las raíces

x= -1, x= 2, x= 1⁄2

2) análisis de la primera derivada ƒ(x)= -6x² +6x +3

derivamos la función principal y después te extraemos las raíces

x=1.36, x= -0.36 Intervalos (-∞,- 0.36) X= -0.36 (-.36, 1.36) X= 1.36 (1.36, +∞)

k -1 x 1 x 2

ƒ(x)

ƒ'(x) -

-2.59 + 2.59 -

Conclusión ƒ es decreciente Mínimo relativo v(-0.36,-2.59) ƒ es creciente Máximo relativo v(1.36,2.59) ƒ es decreciente

Calculamos las raíces comenzamos con -∞ el que lo sigue es -0.36, k es cualquier valor entre (-∞,- 0.36), colocamos -1, lo sustituimos en la función derivada que es -6x² +6x +3 que entonces los da -6(-1)² +6(-1) +3 = -9 pero no importa la cantidad solo importa el signo del resultado entonces es - y lo colocamos en ƒ'(x) (cuarta columna), y como es menos entonces ƒ es decreciente y si es + ƒ es creciente, segunda línea x= -0.36 operamos el valor -0.36 en la función principal la primera que es -2x³+3x²+3x-2 sustituimos y nos queda -2(-0.36)³+3(-0.36)²+3(-0.36)-2 y nos da -2.59 y lo colocamos en ƒ(x) y en la conclusión colocamos mínimo relativo porque decrece y después crece entonces hay un mínimo y si fuera un creciente y después decrece es un máximo y de la misma después colocamos el vértice que es lo que tenemos en x= -0.36 y lo que sale en ƒ(x) que es -2.59 y no queda que el vértice es (-0.36, -2.59)y de la misma manera operamos las demás raíces

3) análisis de segunda derivada ƒ''(x)= -12x +6

derivamos la derivada (-6x² +6x +3) y obtenemos la segunda derivada y nos queda -12x +6 le extraemos las raíces

x= 1⁄2 = 0.5 Intervalos (-∞,1⁄2 ) X=1⁄2 (1⁄2 , +∞)

k -1 x 1

ƒ(x)

ƒ''() +

0 -

Conclusión Cóncava hacia arriba Punto de inflexión(1⁄2, 0) Cóncava hacia abajo

Como lo anterior comenzamos con -∞ y nos sigue 0.5, k cualquier valor entre (-∞,1⁄2 ),el -1 lo sustituimos en la segunda derivada -12(-1) +6 y nos da + también solo el signos es importa y si es + es cóncava hacia arriba y si es – cóncava hacia abajo, segunda línea en intervalos colocamos x=1/2, en ƒ(x) calculamos el 0.5 en la función principal ni nos da 0 (-2(0)³+3(0)²+3(0)-2) y el punto de inflexión se coloca lo de la x=1/2 y lo que sale en ƒ(x) entonces (1/2,0) y lo mismo con las demás raíces

4) Grafica

Graficamos la función principal y colocamos los vértices (v) y los puntos de inflexión (PI)

\\R

Ejemplo 2: ƒ(x) = 6𝑥 6 -13𝑥 5 -10𝑥 4 +24𝑥 3 1) X³(6x³-13x² -10x +24) = 0 x= 0 multiplicidad 3 x= -4⁄3, x= 2, x= 3⁄2 2) Análisis de la primera derivada ƒ '(x) = 36𝑥 5 - 65𝑥 4 -40𝑥 3 +72𝑥 2 x² (36x³-65x²-40x+72) x= 0 multiplicidad 2 x= -1.05, x= 1.80, x= 1.05 Intervalos (-∞, -1.05) x= -1.05 (-1.05, 0) x= 0 (0, 1.05) x=1.05 (1.05, 1.8) x=1.8 (1.8, +∞)

k -2 x -0.5 x 0.5 x 1.5 x 2

ƒ(x)

ƒ'(x) -

-15.30 + 0 + 7.07 -6.57 +

3) Análisis de la segunda derivada ƒ''(x)= 180𝑥 4 -260𝑥 3 -120𝑥 2 +144𝑥

x(180x³ -260x²-120x+144) x=0, x= -0.77 x= 1.54, x=0.67

Conclusión ƒ es decreciente Mínimo relativo v.(-1.05, -15.30) ƒ es creciente Recta tangente (0,0) ƒ es creciente Máximo relativo v. (1.05, 7.07) ƒ es creciente Mínimo relativo v.(1.8, -6.57) ƒ es creciente

Intervalos (-∞, -0.77) x= -0.77 (-0.77, 0) x= 0 (0, 0.67) x= 0.67 (0.67, 1.54) x= 1.54 (1.54, +∞) 4) Grafica

k -1 x -0.5 x 0.5 x 1 x 2

ƒ(x)

ƒ''(x) +

-9.7 0 + 3.99 -1.15 +

Conclusión Cóncava hacia arriba Punto de inflexión (-0.77, -9.7) Cóncava hacia abajo Punto de inflexión (0, 0) Cóncava hacia arriba Punto de inflexión (0.67, 3.99) Cóncava hacia abajo Punto de inflexión (1.54, -1.15) Cóncava hacia arriba

\\R

Ejercicios ƒ(x)= x³-3x² ƒ(x)= x³ -3x² +2x +8

ƒ(x)= 𝑥 4 -4x³+2 ƒ(x)= 5𝑥 6 -10𝑥 5 -4𝑥 4 +9𝑥 3

Reglas generales usuales integrales (Antiderivada) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐

∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = tan(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐

∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = − cot(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

∫ sec(𝑥)tan(𝑥) 𝑑𝑥 = sec(𝑥) + 𝑐

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝑐

∫ csc(𝑥)cot(𝑥) 𝑑𝑥 = − csc(𝑥) + 𝑐

∫ 1+𝑥² 𝑑𝑥 = tan−1 (𝑥) + 𝑐

∫ tan(𝑥) 𝑑𝑥 = − ln |cos | + ∫ cot(𝑥) 𝑑𝑥 = ln |𝑠𝑒𝑛(𝑥)| + 𝑐 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ln | sec(𝑥) + tan(𝑥)| + 𝑐 ∫ csc(𝑥) 𝑑𝑥 = − ln| csc(𝑥) + cot(𝑥) | + 𝑐

𝑥 𝑛+1 𝑛+1

+𝑐

1

1

Integrales Ejemplos ∫(3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 6)𝑑𝑥 ∫ 3𝑥 4 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥² + 𝑑𝑥 ∫ 5𝑥 − ∫ 6𝑑𝑥 3∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥²𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑑𝑥 3 5 2 5 𝑥 − 𝑥³+ 𝑥² − 6𝑥 + 𝑐 \\R 5

3

se separan los términos, al exponente se le suma 1 más y ese se para a 3

dividir, 3𝑥 4 = 𝑥 5 al 4 se le suma 1

2

5

Ahora el exponente es 5 Y lo pasamos a dividir y queda 3

3 5

𝑥5

∫(√𝑥 3 + √𝑥 2 )𝑑𝑥 ∫(𝑥 3/2 + 𝑥 2/3 )𝑑𝑥 𝑥 5/2 5/2

+

𝑥 5/3 5/3

Cuando se comienza a antiderivar ya no se Coloca el integral ( ∫ ) ni el diferencial (dx) √𝑥 3 = 𝑥 3/2 , la antideriava de 𝑥 3/2 se le

+𝑐

Suma uno al exponente en 3/2 +1 =5/2 y el 5 2

5

2/5𝑥 + 3/5𝑥 5/3 \\R

5/2 se pasa a dividir y queda 2/5𝑥 2

∫(1 − 𝑡)(2 + 𝑡²)𝑑𝑡

∫ 𝑥(𝑥² + 2)²𝑑𝑥

∫(2 + 𝑡 2 − 2𝑡 − 𝑡 3 )𝑑𝑡

∫ 𝑥(𝑥 4 + 4𝑥 + 4)𝑑𝑥

∫(−𝑡 3 + 𝑡 2 − 2𝑡 + 2)𝑑𝑡

∫(𝑥 5 + 4𝑥 2 + 4𝑥)𝑑𝑥

−

𝑡4 4

+

𝑡³ 3

−2

𝑡2 2

+ 2𝑡 + 𝑐

𝑥6 6

1

1

1

4

3

6

− 𝑡 4 + 𝑡³ − 𝑡 2 + 2𝑡 + 2 \\R

4

4

4

2

+ 𝑥 4 + 𝑥² + 𝑐

𝑥 6 + 𝑥 4 + 2𝑥² + 𝑐 \\R

∫

𝒙³−𝟐√𝒙 𝒙

𝑥²−1

𝑑𝑥

∫ 𝑥 4−1 𝑑𝑥 1

𝑥3

∫(𝑥 − 2

𝑥2 𝑥 1

∫ 𝑥² − 2

𝑥 1/2

𝑥²−1

) 𝑑𝑥

∫ (𝑥 2−1)(𝑥 2+1) 𝑑𝑥

) 𝑑𝑥

∫ 𝑥²+1 𝑑𝑥

1

tan−1 (𝑥 ) + 𝑐 \\R 1

− ∫(𝑥² − 2𝑥 2 ) 𝑑𝑥 1

𝑥³ 3

−2

𝑥2 1/2

Para sacar el menos -4𝑥1/2 de divide

+𝑐

2 entre ½ y sale -4 1 3 1 3

1 2

𝑥³ − 4𝑥 + 𝑐 𝑥³ − 4√𝑥 + 𝑐 \\R

∫(𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) − 2𝑒 𝑥 )𝑑𝑥

∫ sec(𝑥)[sec(𝑥) + tan(𝑥)]𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

∫(𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) + sec(𝑥)tan(𝑥))𝑑𝑥

−cot(x) − 2𝑒 𝑥 + 𝑐 \\R

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ sec(𝑥)tan(𝑥)𝑑𝑥 tan(x) + sec(x) + c \\R

∫(𝜃 − 𝑐𝑠𝑐(𝜃)𝑐𝑜𝑡(𝑄)𝑑𝜃 ∫ (𝑥 2 + 1 +

1

)

𝑥²+1

∫ 𝜃 𝑑(𝜃) − ∫ csc(𝜃) cot(𝜃) 𝑑𝜃 1

∫(𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥²+1 𝑑𝑥 se aplica una regla 𝜃² 2

+ csc(𝜃) + 𝑐 \\R 𝑥³ 3

1 + 𝑥 + tan−1 (𝑥) + 𝑐 \\R ∫ 1+𝑥² 𝑑𝑥 = tan−1 (𝑥) + 𝑐

Ejercicios:

∫

(𝑥 4 −3√𝑥 3 +5𝑥) 𝑥²

𝑑𝑥

∫

1+𝑐𝑜𝑠²(𝑥) 𝑐𝑜𝑠²(𝑥)

∫(2𝑥 + 5)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥

𝑑𝑥

3

1+ √𝑥

∫ √𝑥(𝑥 + 𝑥²)𝑑𝑥

∫

∫ 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3 cos(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) + 1 𝑑𝑥

√𝑥

𝑑𝑥

∫𝑥

1 √𝑥

𝑑𝑥

∫ 𝑡² − 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡

Teoría fundamental del cálculo (integral) 𝑏

∫𝑎 ƒ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)|𝑏𝑎 = ƒ(𝑏) − ƒ(𝑎) Donde ƒ(x) es antiderivada de ƒ(x), es decir

dƒ(x) dx

= ƒ(x)

Ejemplo 3

∫1 (3𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥

Lo primero hay que antiderivar (3𝑥 2 + 4𝑥 − 5)

3𝑥³

y le colocamos |13 se coloca debes del integral

3

+

4𝑥² 2

− 5𝑥|13

= 𝑥³ + 2𝑥² − 5𝑥|13

se termina de antiderivar y después se sustituye

= ((3)3 + 2(3)2 − (3)) − [(1)³ + 2(1)2 − 5(1)] x por 3 como en la formula que 3 es b = (27 + 18 − 15) − (1 + 2 − 5)

y 1 es a 𝑓(𝑥)|𝑏𝑎 = ƒ(𝑏) − ƒ(𝑎) entonces se copia

= 30 + 2

Dos veces la antiderivada y se sustituye x por

= 32 \\R

3 después el signo – después se sustituye por 1

𝜋

∫0 (4𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 3 cos(𝑥))𝑑𝑥 𝜋

𝜋

4 ∫0 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 3 ∫0 cos(𝑥) 𝑑𝑥 = −4 cos(𝑥) |𝜋0 − 3𝑠𝑒𝑛(𝑥)|𝜋0 = −4[cos(𝜋) − cos(0)] − 3[𝑠𝑒𝑛(𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(0)] = −4[−1 − 1] − 3[0 − 0] = −4(−2) − 0 = 8 \\R

1 ∫0 (2𝑡

𝜋 6 𝜋 − 6

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥

− 1)² 𝑑𝑡 1

𝜋/6

4𝑡² − 4𝑡 + 1 ∫0 =

4𝑡³ 3

−

4𝑡 2 2

tan(𝑥) |−𝜋/6 𝜋

+ 𝑡 |10

4

√3

= ( 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 𝑡)|10

( 3 ) − (−

3

4

4

3

3

=( (1)3 − 2(1)2 + (0)) - ( (0)3 − 2(0)² + (0) 4 = ( − 2 + 1) − 0 3 =

1 3

\\R

𝜋

tan ( ) − tan (− ) 6 6

2√3 3

\\R

√3 ) 3

4 𝑥−2

∫1

√𝑥

𝑥 3/2

−

3/2

𝑑𝑥 =

𝑥 𝑥½

−

2 𝑥½

4

𝑑𝑥 = ∫1 (𝑥 ½ − 2𝑥 −½ ) 𝑑𝑥

2𝑥 ½ 4 | ½ 1 3/2

− 4𝑥 ½ |14

= 2/3𝑥

= (2/3(4)3/2 − 4(4)½ ) –(2/3(1)3/2 − 4(1)½ )) 16

=(

3

2

− 8) − ( − 4) 3

8

10

3

3

=− + 2

= \\R 3

Ejercicios 2

∫2 (−3𝑥 + 4)𝑑𝑥

3

∫−1(𝑡 3 − 9𝑡)𝑑𝑡

∫1 (5𝑥 4 − 6𝑥 2 )𝑑𝑥 ∫1 (3𝑥 2 + 5𝑥 − 4)𝑑𝑥 𝜋

∫𝜃 (1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 2 3 ∫1 (𝑥 2

+ 1) 𝑑𝑥

5

1

1

3

∫−1( √𝑥 − 2)𝑑𝑥 𝜋 3 𝜋 − 3

∫ 4 sec(𝜃) tan(𝜃) 𝑑𝜃