Deber%2b3

Deber 3 ´ Algebra Lineal Prof. Dr. Joseph P´aez Ch´avez II T´ermino 2009–2010

 Problema 1. Sea V = M2×2 . Sean H =    a11 a11 + a12 : aij ∈ . a11 − a12 a22

a11 a11 − a12 a11 + a12 a22



R



: aij ∈

, W =

R

(i) Encuentre H ∩ W . (ii) Encuentre H + W .

Problema 2. Sea V = P3 . (i) Encuentre expl´ıcitamente H = gen(x3 , x3 − x2 , x + 1, 2) y W = gen(x3 , x2 + x). (ii) Encuentre H + W . (iii) Encuentre H ∩ W .



1 −1 0 0

  ,

0 1 −1 0



Problema 3. Sea V = M2×2 . Determine si el conjunto C = ,     0 0 1 1 , genera V . Si C no genera V , reemplace uno de los vectores de 1 −1 −1 −1 C para que genere V . Problema 4. Sea V =

R4 .

Construya un sistema  ecuaciones   lineales homog´eneo cuyo  de −1 1  1   0     conjunto soluci´on sea generado por los vectores   0  ,  1 . 1 1 Problema 5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 1

(i) Sean W1 , W2 subconjuntos no vac´ıos de un espacio vectorial V . Si W1 ∪W2 es subespacio de V , entonces W1 ⊂ W2 o W2 ⊂ W1 . (ii) Sean W1 , W2 subespacios de un espacio vectorial V , tal que W1 * W2 . Si W1 ∪ W2 es subespacio de V , entonces W1 ∩ W2 = W2 . (iii) Sea V un espacio vectorial. Dos vectores v1 , v2 son linealmente dependientes, si y s´olo si uno es m´ ultiplo escalar del otro. (iv) Sean v1 , v2 , v3 vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V . Entonces, v1 + 2v2 , v2 − v3 , 5v3 son linealmente independientes. (v) Sean v1 , v2 , . . . , vn vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces, el conjunto {v1 , v2 , . . . , vn , 0V } es siempre linealmente dependiente. (vi) Tres vectores en

R2 son siempre linealmente dependientes.

(vii) Sean v1 , v2 , v3 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1 , v2 , v3 generan V , entonces vi 6= 0V , i = 1, 2, 3. (viii) Sean v1 , v2 , v3 , v4 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1 , v2 , v3 , v4 son linealmente independientes, entonces v1 , v2 , v3 no generan V .

2