De Electrodinamica Clasica En General Y Electrodinamica Espacial En Particular

ENSAYO DE ELECTRODINAMICA CLASICA EN GENERAL Y ELECTRODINAMICA ESPACIAL EN PARTICULAR Rebeca López Montes La Física ha visto ocurrir dos grandes revoluciones en el siglo XX: la revolución relativista de 1905 y la revolución cuántica de 1924. Ambas cambiaron de manera radical, la imagen que el hombre se había hecho de la naturaleza. Espacio, tiempo, energía, y tantos otros elementos de las teorías físicas fueron vistos desde una nueva perspectiva. Si unimos el principio de incertidumbre al de relatividad, la descripción de un fenómeno en apariencia tan simple y tan bien conocido como el de la atracción entre dos cargas eléctricas adquiere formas extraños. Así surge el apantallamiento de la carga eléctrica, aun en el vacío. Para la física clásica, la del siglo XIX, tal apantallamiento de la carga eléctrica era un fenómeno bien conocido. Se conoce como polarización del medio y ocurre cuando una carga se coloca dentro de un material, como un dieléctrico, que contiene tanto cargas positivas como negativas. El electrón que se ha introducido repele a las cargas negativas y atrae a las positivas, polarizando así al medio. El resultado de esta polarización es que, vista de lejos, la carga negativa del electrón parece más pequeña, se ve apantallada por las cargas positivas que tienden a rodearlo. Para sentir la verdadera carga del electrón, tendremos que acercarnos mucho a él, más allá de la pantalla. Hasta aquí la idea prevaleciente en la electrodinámica clásica. Si seguimos la línea de pensamiento clásica, un electrón en el vacío no ha de sufrir los efectos del apantallamiento. El vacío clásico es un mar de tranquilidad, sin partículas, cargas o energía. Pero el principio de Heisenberg cambia radicalmente esta visión. A medida que inspeccionamos un sistema —en el vacío— durante tiempos cada vez más cortos, alteramos su energía, tanto más cuanto menor sea ese tiempo de observación. Y si ahora agregamos las ideas relativistas, según las cuales masa y energía son la misma cosa, vemos que una fluctuación en energía puede manifestarse como masa: las partículas pueden llegar a materializarse de la nada durante tiempos cortos. El vacío (cuántico-relativista), dista mucho de ser ese mar sereno que es el vacío clásico. En él se crean y se aniquilan partículas virtuales, que siempre vienen en parejas partícula-antipartícula para conservar la carga y otras cantidades. Esas fluctuaciones del vacío serían también polarizables por un electrón externo que se agregara al vacío, igual que se polarizó el medio dieléctrico que antes consideramos desde el punto de vista clásico.

En consecuencia, el vacío se polariza y la carga de un electrón aislado se ve apantallada y decrece, en efecto, con la distancia. Esta es una conclusión ineludible si se unen las dos grandes revoluciones de la física contemporánea para crear la teoría del campo electromagnético: la electrodinámica cuántica. El apantallamiento de la carga eléctrica es una de tantas consecuencias de esta teoría que es la teoría física que mayores éxitos ha tenido en la historia de la ciencia. ELECTRODINÁMICA CLÁSICA La electrodinámica clásica se basa en las ecuaciones de Maxwell y sirven para fenómenos a escala macroscópica. Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday, entre otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. En estas ecuaciones se observa la ley de Faraday (ecuación 54 en su trabajo), la ecuación 56, div B = 0 de su autoría, la ley de Ampére con correcciones hechas por él (ecuación 112) y la ley de Gauss (ecuación 113). Éstas expresan respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia experimental de monopolos magnéticos, como una corriente eléctrica y el cambio en los campos eléctricos producen campos magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el trabajo original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a simplificarlas a estas cuatro. El aspecto más importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo en la ley de Ampére; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampére con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo. Exceptuando la modificación a la ley de Ampére, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término vxB que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.

OBTENCIÓN DE LA ECUACIONES DE MAXWELL Ley de Gauss La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico ( ) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, éste fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico ( ) que pasa por una superficie. Matemáticamente se expresa como:

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así:

La forma diferencial de la ley de Gauss es

Donde ρ es la densidad de carga. Esta expresión es para una carga en el vacío, para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico ( ) y nuestra expresión obtiene la forma:

Ley de Gauss para el campo magnético:

Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magnético. Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la no existencia del monopolo magnético. Matemáticamente esto se expresa:

Donde

es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética.

Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada. Ley de Faraday: La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Esta ley es muchas veces llamada como ley de Faraday-Lenz, debido a que Heinrich Lenz descubrió ésta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultánea. Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:

, Como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:

. Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:

Con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:

Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. La forma diferencial de esta ecuación es:

Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, pero tiene también muchas otras aplicaciones prácticas. Esta ecuación describe cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos funcionan. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada. Ley de Ampére generalizada: Ampére formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampére nos dice que la circulación en un campo magnético ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:

Donde

es la permeabilidad magnética en el vacío.

Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformuló esta ley así:

En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampére, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga. En forma diferencial, ésta ecuación toma la forma:

Ecuaciones finales de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: Nombre

Ley de Gauss campo eléctrico:

Ley de Gauss para el campo magnético

Ley de Faraday:

Ley de Ampére generalizada:

Forma diferencial

Forma integral

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo

Nombre

Valor numérico

Unidad de medida SI

Tipo

Velocidad de la luz en el vacío

metros por segundo

definido

Permitividad

faradios por metro

derivado

Permeabilidad magnética

henrios por metro

definido

Potencial escalar y potencial vector: Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector ( ) y potencial escalar ( ). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente.14 Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar así:

Donde el signo menos ( − ) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos. El campo eléctrico en función de los potenciales:

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:

y la ley de Ampére generalizada

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada elección del gauge. Consecuencias físicas de las ecuaciones Principio de conservación de la carga: Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo

de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad.

y la

A partir de la forma diferencial de la ley de Ampére se tiene:

Que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que (para cualquier vector ), se obtiene:

o bien en forma integral: ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA Posteriormente a la revolución cuántica de inicios del siglo XX, los físicos se vieron forzados a buscar una teoría cuántica de la interacción electromagnética. El trabajo de Einstein con el efecto fotoeléctrico y la posterior formulación de la mecánica cuántica sugerían que la interacción electromagnética se producía mediante el intercambio de partículas elementales llamadas fotones. La nueva formulación cuántica lograda en la década de los años 40 del siglo XX describía la interacción de este fotón portador de fuerza y las otras partículas portadoras de materia. La electrodinámica cuántica es principalmente una teoría cuántica de campos renormalizada. Su desarrollo fue obra de Sinitiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman y Freeman Dyson alrededor de los años 1947 a 1949. En la electrodinámica cuántica, la interacción entre partículas viene descrita por un lagrangiano que posee simetría local, concretamente simetría de gauge. Para la electrodinámica cuántica, el campo de gauge donde las partículas interactúan es el campo electromagnético y esas partículas son los fotones. La electrodinámica cuántica (QED de Quantum Electrodynamics) es una de las teorías más precisas de cuantas se crearon en el siglo XX. Es capaz de hacer predicciones de ciertas magnitudes físicas con hasta veinte cifras decimales de precisión, un resultado poco frecuente en las teorías físicas anteriores. Por esa razón la teoría fue llamada "la joya de la física". Entre sus predicciones más exactas están:



El momento magnético anómalo del electrón y del muón, para el cual la ecuación de Dirac predecía un valor de exactamente el doble del valor clásico. Para el electrón la QED predica un valor:

Donde: es la carga eléctrica del electrón. es la constante de Planck. es la velocidad de la luz en el vacío. es la permitividad eléctrica del vacío. 

El valor del salto de Lamb en los niveles energéticos del átomo de hidrógeno.

Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger y Richard Feynman recibieron los premios Nobel de Física de 1965 por su desarrollo, sus contribuciones que implicaban una prescripción covariante y gauge invariante para el cálculo de cantidades observables. La técnica matemática de Feynman, basada en sus diagramas, parecía inicialmente muy diferente del enfoque teórico de campos, basado en operadores de Schwinger y Tomonaga, pero fue más adelante demostrado como equivalente. El procedimiento de renormalización para dar sentido a algunas de las predicciones infinitas de la teoría cuántica del campo también encontró su primera puesta en práctica acertada en electrodinámica cuántica. Descripción de la teoría La electrodinámica cuántica es una descripción detallada de la interacción entre fotones y partículas cargadas de tipo fermiónico. La teoría cuántica comparte ciertos rasgos con la descripción clásica. De acuerdo con la descripción de la óptica clásica la luz viaja sobre todos los caminos permitidos, y su interferencia determina los frentes de onda que se propagan de acuerdo con el principio de Fermat. Similarmente la descripción cuántica de los fotones (y los fermiones) pasan por cada camino posible permitido por aberturas o sistemas ópticos. En ambos casos el observador detecta simplemente el resultado matemático de la superposición de todas las ondas consideradas a lo largo de integrales de línea. Una diferencia es que en la electrodinámica la velocidad efectiva de un fotón puede superar la velocidad de la luz en promedio. Además QED fue la primera teoría cuántica del campo en la cual las dificultades para construir una descripción completa de campos y de creación y aniquilación de partículas cuánticas, fueron resueltas satisfactoriamente.

Matemáticamente, podemos decir que la electrodinámica cuántica tiene la estructura de una teoría de gauge abeliana con U(1) el grupo de gauge. El campo de gauge que media la interacción entre campos de espín-1/2 con carga es el campo electromagnético. La evolución temporal de un sistema de partículas cargadas y fotones puede ser calculada mediante teoría de perturbaciones. Un tipo de cálculo importante son los elementos de la matriz S que permiten encontrar las secciones eficaces de la dispersión de partícula que pueden ser medidas mediante experimentos. La electrodinámica cuántica reduce este tipo de cálculos a un desarrollo en serie de términos perturbativos que permiten encontrar con la precisión deseada esas secciones eficaces. Cada uno de los términos perturbativos admite una representación gráfica conocida como diagramas de Feynman. De hecho la electrodinámica cuántica fue históricamente la primera teoría donde se usaron diagramas de Feynman como ayuda en el cálculo perturbativo. La forma de cada uno de los términos perturbativos, y por tanto la representación gráfica asociada depende de la forma del lagrangiano que caracteriza dicha teoría. Adecuación experimental Es importante señalar que la electrodinámica cuántica no da valores concretos de lo que sucedería en un experimento concreto, sino sólo probabilidades de que suceda un determinado tipo de situación. Es por eso, que los experimentos usan un número relativamente grande de partículas que son dispersadas estadísticamente de acuerdo con las probabilidades predichas por la teoría. A partir de la distribución de partículas dispersadas puede medirse la sección eficaz comparable con las predicciones numéricas de la teoría. Las predicciones de la electrodinámica cuántica han sido confirmadas por los experimentos hasta un nivel insólito de precisión: habitualmente se tienen experimentos que coinciden en 12 cifras decimales correctas con las predicciones de la teoría. Esto hace de la electrodinámica cuántica la teoría más precisa construida por el hombre. Formulación matemática: La dinámica y propiedades básicas de una teoría de campo depende de la forma seleccionada para el lagrangiano. La selección de lagrangiano depende de las simetrías del grupo de gauge y del hecho de que la teoría describa adecuadamente la interacción entre fermiones cargados. En una teoría que describa campos fermiónicos interactuando mediante un campo de gauge bosónico asociado a partículas sin masa (fotones) cuyo grupo de gauge es conmutativo, el lagrangiano de partida puede tomarse como:

Donde el campo ferminónico y su adjunto de Dirac son los campos que representan partículas de carga eléctrica, específicamente el electrón y los campos del positrón representados como espinor de Dirac. La parte del lagrangiano que contiene el tensor de campo electromagnético describe la evolución libre del campo electromagnético, mientras que la ecuación de Dirac con la derivada covariante de gauge describe la evolución libre de los campos del electrón y del positrón así como su interacción con el campo electromagnético. Ecuaciones de movimiento: Las ecuaciones de "movimiento" o ecuaciones de evolución temporal de la QED pueden obtenerse mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange del lagrangiano de la teoría. Insertando ese lagrangiano en las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtiene la ecuación de evolución temporal de la teoría:

Colocando los dos términos dentro de la ecuación de Euler-Lagrange resulta finalmente la siguiente ecuación de evolución para el campo fermiónico:

El miembro de la izquierda es precisamente la ecuación de Dirac y el término de la derecha representa la interacción con el campo electromagnético. Las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange, aplicadas ahora al campo Aµ, permiten encontrar las ecuaciones de evolución del campo electromagnético: (3)

Y la ecuación de evolución del campo electromagnético resulta finalmente:

Donde el segundo miembro puede ser interpretado como la densidad de corriente asociada al campo fermiónico.

Reglas de Feynman: Para dar cuenta de todos los efectos cuánticos, es necesario reemplazar las componentes de los campos en las anteriores ecuaciones diferenciales por operadores autoadjuntos interpretables como genuinos operadores cuánticos. En general eso lleva a unos sistemas de ecuaciones que no sabemos como integrar exactamente, pero que admiten un tratamiento perturbativo, descomponiendo el operador de evolución temporal serie perturbativa.

en series de potencias o

El cálculo de cada término de la serie anterior puede realizarse de manera casi automática con la ayuda de los llamados diagramas de Feynman, a los que se puede asociar unas reglas de Feynman. La precisión del cálculo depende de cuantos términos se consideran en la serie perturbativa anterior. Renormalización: Un serio problema con las reglas de Feynman es que tal que fueron establecidas por primera vez conducen a diagramas y términos divergentes en la serie perturbativa, es decir, términos no finitos que echan a perder el cálculo de los términos finitos. Obviamente todos los resultados físicos son finitos y esos términos divergentes del cálculo no son observables en la realidad. La renormalización es un conjunto de reglas adicionales que interpretan qué relación existe entre los términos calculados y los términos medibles en la realidad y generan reglas adicionales que permiten "normalizar" los cálculos y garantizar que se producen resultados numéricos finitos comparables con la realidad mediante experimento. Es conocido que el hecho de que una teoría cuántica sea una teoría de campo de gauge le confiere la propiedad de ser renormalizable, en el sentido de que existe un conjunto de reglas adicionales que permiten eliminar términos divergentes no observables y dar lugar a resultados finitos.