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ENSA de Tétouan Filière GC, semestre 6 Module: Mécanique des Fluides

Mécanique des fluides

Chapitre 4 Equations de la dynamique des fluides

El Khannoussi Fadoua 1

Plan • • • • • • • •

Principes de conservation Loi de comportement des fluides Formulation locale de la conservation de la quantité de mouvement Conditions aux limites Equation de Navier Stokes Théorème de transport de l’énergie cinétique Théorème de Bernoulli Applications du théorème de Bernoulli

2

1 Principes de conservation Volume de contrôle En mécanique des fluides, on peut travailler: ▪ en un point donné: description locale, le mouvement est décrit par un système d’équations aux dérivées partielles. ▪ sur un volume de fluide, dit «volume de contrôle»: description plus globale  le mouvement est décrit par des équations intégrales.

vdt (t) (t  dt)

n 3

1 Principes de conservation Volume de contrôle

d A A d   d  Av.n d   dt  (t) t  (t)  (t)

Variation temporelle au sein du volume

Flux aux frontières du domaine (advection)

4

1 Principes de conservation Conservation de la masse L’équation de conservation locale de la masse est appelée aussi équation de continuité. Conservation de la masse: forme globale

d   x,t  d  0  dt  (t) Conservation de la masse: forme locale

  div  v   0 t d div  v   0 dt 5

1 Principes de conservation Conservation de la masse Si le fluide est incompressible ou l’écoulement isochore :  = constante, donc l‘équation de continuité devient : div v  0

Si f est une fonction massique, en se servant de l’équation de continuité et de la définition de la dérivée lagrangienne, on trouve: d df  f d    d   dt  (t) dt  (t)

(Théorème de Reynolds)

On peut exprimer les principes de conservation de la masse en considérant f = 1 (conservation de la masse), f = v (conservation de la quantité de mouvement), f = e (énergie interne massique, conservation de l’énergie). 6

1 Principes de conservation Conservation de la quantité de mouvement Le principe fondamental de la dynamique veut que toute variation (temporelle) de quantité de mouvement résulte de l'application de forces. Donc, on peut écrire une relation générale de la forme:

d v d   f d  T d  dt  (t)  (t)  (t)



 d

(t)

Le tenseur des contraintes



(t)



g d

 .n d

(t)

est fonction du tenseur des taux de déformations D .

7

2 Loi de comportement des fluides Le tenseur des contraintes se décompose en tenseur des pressions 􀀀p I et un tenseur des extra-contraintes 

pI   Le tenseur  dépend de la nature du fluide étudié ou du niveau d'approximation. On l’appelle aussi tenseur des contraintes visqueuses. Ce tenseur rend compte de l’effet d’un mouvement relatif entre particules du fluide (frottement interne au fluide suite au cisaillement).

8

2 Loi de comportement des fluides Le tenseur des contraintes visqueuses  ne doit dépendre a priori que du gradient des vitesses. Sa forme la plus générale est:

  ij  a  vi, j  v j,i   bvk,k ij

(1)

Les quantités a et b sont constantes et indépendantes de la vitesse (par isotropie du fluide). En isolant partie sphérique et déviatorique, la formule (1) s’écrit de manière plus commode sous la forme:

  ij  vi, j  v j,i  2 vk,k ij  vk,k ij 

3



partie sphérique

Partie déviatorique 9

2 Loi de comportement des fluides

2   ij  vi, j  v j,i  vk,k ij  vk,k ij 3    0

et

 0

 2  ij  2Dij      v k,k ij  3  La viscosité dynamique avait été notée m dans le chapitre 1.

10

2 Loi de comportement des fluides Le tenseur  dépend de la nature du fluide étudié ou du niveau d'approximation: •   0 correspond au cas des fluides parfaits (ou non visqueux) et les équations du mouvement qui en résultent sont appelées équations d'Euler; •   2mD correspond au cas des fluides newtoniens et les équations du mouvement qui en résultent sont appelées équations de Navier-Stokes; •  F  D  correspond au cas des fluides non newtoniens, avec F la loi de comportement du fluide. Les équations du mouvement résultantes sont appelées équations de Cauchy.

11

3 Formulation locale de la conservation de la quantité de mouvement La formulation locale des équations de la quantité de mouvement :



dv  v    grad  v .v  g  div    g  grad  p   div    dt  t 

(2)

On peut également l’écrire

 vi,t  v jvi, j  gi  p,i ij, j    2   vi,t  v j vi, j  g i  p,i    vi, j  v j,i       v k,k ij   3   , j (Forme la plus générale des équations de mouvement d’un fluide visqueux) 12

3 Formulation locale de la conservation de la quantité de mouvement 

et  sont en général fonctions de p, q et ne sont donc pas constants dans le fluide.

   2   vi,t  v j vi, j  g i  p,i    vi, j  v j,i       v k,k ij   3   , j

Néanmoins, dans la majorité des cas pratiques, la variation de ces deux coefficients de viscosité est insignifiante, si bien qu’ils peuvent être considérés comme constants. On obtient alors

 v      grad  v .v  g  grad  p    v      graddiv  v   t   3

13

4 Conditions aux limites A l’équation (2), il faut rajouter les conditions aux limites pour résoudre le problème de l’écoulement. Au contact d’un solide, les particules du fluide sont collées et on écrira sur la paroi:

v 0 Dans le cas d’un fluide parfait (sans viscosité), on écrit seulement:

v.n  0 Dans le cas général d’une paroi mobile, la vitesse du fluide doit être égale à la vitesse de la paroi solide.

14

4 Conditions aux limites A la surface libre du fluide, on doit observer la condition suivante:

ijn j  pn i ijn j  0

Pour la surface de séparation de deux fluides immiscibles, les conditions sur cette surface expriment que les vitesses des deux fluides sont égales et que les forces avec lesquelles ils agissent l’un sur l’autre doivent être de même grandeur et de sens contraires:

v(1)  v(2) ij(1) n j(1) ij(2) n j(2) 15

5 Equation de Navier-Stokes

Si le fluide peut être considéré comme incompressible div  v   0

 v    grad  v .v  g  grad  p    v   t 

et

(3)

(Equation de Navier-Stokes)

Le tenseur des contraintes dans un fluide incompressible prend la forme simple

 p I  2D

ij  pij  vi, j  v j,i  16

5 Equation de Navier-Stokes Equation sans le terme de pression A l’aide de la formule de Lamb, il est possible de réécrire l’équation (3) sous la forme

 v   v2   grad    rot  v   v  g  grad  p    v   2   t 

(4)

La pression peut être éliminée de l’équation de Navier-Stokes, par application du rotationnel aux deux membres de (4). On obtient alors

 rot  v   rot  v  rot  v    rot  v  t

(5)

17

5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées cylindriques x1  rcos q  x 2  rsin q x  z  3

er  cos qe1  sin qe2  eq  sin qe1  cos qe2 e  e  z 3

18

5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées cylindriques Loi de comportement

v r  rr  p  2 r    1 vq v r     p  2     qq   r q r    v z    p  2   zz z 

  1 v r vq vq     rq  r q  r  r     vq 1 v z      qz    z r q      v z v r      rz    r z  

Equation de continuité:

v r 1 vq v z v r    0 r r q z r 19

5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées cylindriques Equations de mouvement:

v r v r vq v r v r vq2 1 p   2 v r 1  2 v r  2 v r 1 v r 2 v q v r   vr   vz     2  2  2   2  2  fr 2 t r r q z r  r  r r r r q r  r q z vq vq vq v q v r v r v q 1 p   2 v q 1  2 v q  2 v q 1 v q 2 v r v q   vr   vz            fq t r r q z r r q  r 2 r 2 q2 z 2 r r r 2 q r 2  v z v z vq v z v z 1 p   2 v z 1  2 v z  2 v z 1 v z   vr   vz    2  2  2   fz 2 t r r q z  z  r r r  r q z



 

viscosité cinématique

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5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées sphériques x1  rsin q cos   x 2  rsin qsin  x  rcos q  3

er  sin q cos  e1  sin qsin  e2  cos q e3  eq  cos q cos  e1  cos qsin  e2  sin q e3 e   sin  e  cos  e 1 2  

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5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées sphériques Loi de comportement v r    p  2   rr r   1 vq v r v cotg    qq p  2 rsin  q  r  r      1 v v r    p  2         r  r 

 1 v r vq   vq     rq  r rsin  q  r       1 v 1 vq vq cotg    q   rsin  q r  r      1 v r v v  r     r    r  r

Equation de continuité:

vr 1 vq 1 v 2vr v cotg     0 r rsin  q r  r r 22

5 Equation de Navier-Stokes Coordonnées sphériques 2 2 vq v r v v r vq  v v r v r 1 p  vr      fr t r rsin  q r  r  r

 1  2  rv r   2 v r 1  2 v r cotg v r 2 v 1 2 vq 2v r 2cotg     2  2  2  2  2  2  v  2 2 2 2 2 r   q r r sin  q r  r r r sin  r r   vq v v vq v vq v r vq vq v cotg 1 p  vr q  q      fq t r rsin  q r  r r rsin  q  1  2  rvq   2 vq 1  2 vq cotg vq vq  1 2 v r 2cos  v    2  2  2  2  2 2  2 2  2 2 2 2  r sin  q r sin  q r sin   r sin  q r  r  r r v v vq v v v v r v vq2 cotg 1 p  vr       f t r rsin  q r  r r r   1  2  rv   2 v 1  2 v cotg v 2cos  vq 2 v r v  1    2  2  2  2 2  2  2 2  2 2 2 2  r sin  q r  r sin   r sin  q r  r  r r

23

6 Théorème de transport de l’énergie cinétique L’énergie totale d’un fluide incompressible vaut:

1 2 K    v d 2 

dK 1 d v   dt 2  dt

2



dk d  dt

d 

dk k k 1 2 1   div  kv    v div v   v.grad  v dt t t 2 2

2

avec

1 k  v 2

2

  k  1 v.grad  v 2  t

2

k v   p 1 v. v. g  grad    div     grad  v .v  t t     D’où





T dk     p  1   v. g  grad    div   v.  grad  v   grad  v  .v dt      

dk  v. g  grad  p   div    dt

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7 Théorème de Bernoulli

 

On introduit la fonction de dissipation    :D et le potentiel gravitaire g  grad E p On tire donc que:

k dk 1   v.grad  v t dt 2

2

  v.g  grad  p   div     1 grad  v 2  



2

k 1   v.grad  E p  p   v.div     v.grad  v t 2

2



Mais

v.div     div  .v    :grad  v   div  .v    :D k  v.grad  E p  p  k   div  .v   t

25

7 Théorème de Bernoulli

k  v.grad  E p  p  k   div  .v   t 

énergie dissipée par unité de volume

Ep  p  k

énergie transportée par advection

k t

variation locale d’énergie cinétique

div .v

énergie perdue ou gagnée aux frontières du domaine

26

7 Théorème de Bernoulli Ecoulement permanent d’un fluide incompressible non visqueux k  v.grad  E p  p  k   div  .v   t

k   0 et   0 t

Le long d’une ligne de courant

v.grad  E p  p  k   0  grad  E p  p  k   0 z

1 gz  p  v 2  cste 2

g

Le long d’une ligne de courant

27

7 Théorème de Bernoulli Ecoulement permanent d’un fluide incompressible non visqueux z

1 gz  p  v 2  cste 2

g

Ce théorème est remarquable car il s’agit d’une relation purement algébrique (pas de différentielle ou d’intégration) qui permet de relier vitesse, pression, et position du fluide. Ce théorème a de nombreuses applications. Il est très apprécié et permet de résoudre rapidement des problèmes pratiques. Toutefois, dans bien des cas pratiques, on ne peut pas négliger la dissipation d’énergie et il faut alors utiliser des formules plus complexes que l’équation de Bernoulli. 28

8 Applications du théorème de Bernoulli Formule de Torricelli La formule de Torricelli permet de calculer la vitesse de vidange d’un récipient contenant une hauteur h d’un liquide (de masse volumique  ). Cette formule s’établit facilement à l’aide de l’équation de Bernoulli

vB  2gh 29

8 Applications du théorème de Bernoulli Tube de Pitot On considère un écoulement et on plonge un tube de Pitot de telle sorte qu’il soit parallèle aux lignes de courant. A son embouchure, le fluide peut pénétrer. Une fois qu’il a occupé tout l’espace disponible au sein du tube, il n’y a plus de fluide qui entre et la vitesse au point B, embouchure du tube, est donc nulle. On l’appelle un point d’arrêt de la ligne de courant.

v 

2  pB  pA  

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