Corollary Of 2nd Law Of Thermodynamics

Corollary 1:     The clausius statement of second law of thermodynamics  is  the  first  corollary  i.e.  ‘It  is  impossible  to  construct  a  device  operating in a  closed  cycle  that performs  no  effect other than  the transfer of heat from a cooler body to a hotter body.’   The mathematical statement of which is given by;    Q1 ‐ Q2 = W                                                                                Hot reservoir                                      Q1                         Heat                                                           W  engine                                         Q2      Cold reservoir      Corollary 2:      It is impossible to construct an engine operating between  only  two  heat  reservoirs,  which  will  have  a  higher  efficiency  than a reversible heat engine operating between the same two  reservoirs.   

                                                                                                                                                                                                                         Q1                       Q1                  WX                                                                              W X  R  R                                                                                                         Q1 ‐ WX               Q1 ‐ WR        Suppose these conditions are true,        Let ηX > ηR            If the reversible engine also receives heat Q1 from the source, it  will  do  work  WR.  Let  us  convert  that  heat  engine  to  a  heat  pump, then we have, that R receives    Q1 ‐ WR  & receives  WR  from  the  surroundings  &  rejects  Q1  heat  to  high  temperature  reservoir.  Coupling it to heat engine the net work done now becomes;      (Q1 ‐ WR) – (Q1 ‐ WX)        = WX ‐  WR       Thus of corollary 2 is true, then we have we have that following  condition is also possible. 

                      ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐                                                                                Q1                          Q1                   WX ‐  WR   X  R                                           Q1 ‐ WX           Corollary 3:    All  reversible  heat  engines  operating  between  the  same  two reservoirs have same efficiency.  Since  the  second  corollary  has  been  proved  true  then  it  is  impossible that one has higher efficiency.  Thus according to the Carnot theorem both heat engines have  same efficiency. i.e.   η =   (Q1 + Q2) / Q1 = (T1 ‐ T2) / T1      Corollary 4:    A  scale  of  temperature  can  be  defined  which  is  independent  of  any  particular  thermometric  substance  and  which provides an absolute zero of temperature. 

                                                                             Hot reservoir                                                                                          Q      Heat                                                                       W  engine                                                               Q0              Cold reservoir      Let us suppose a heat engine as shown in figure above      Thus from corollary 3, the efficiency of that heat engine  depends only on the temperature of the reservoirs.          η =   1 – Q / Q0           Let the temperature of the heat reservoir be T0,     Now, if T be the temperature of cold reservoir,  Then since         η α (1 – Q / Q1)    Also η =   1 – T / T0      {Carnot’s efficiency} 

T

                                                   0       Q0a            Q0b                 Heat pump                 Q0n                                                      (reversible)                                           Q1b                                                                            Q1a                                                               Q1n                            b                            a                                                n                               Q1b                                       Q1a                        Q1n                                                                                                     W  Heat    engine                                       Q2z                         Q2p                                                                                                                                                           Q2q                   Z                                             p                                                                                                         q                                                                                                              Q 2p                 Q2z                                Q2q                                                      Heat pump                                     (reversible)                         Q0z                                                  Q0q                     Q0p    

T 0 

Total work done by original engine;   n                z 

∑ Q1 – ∑ Q2    a                p 

The work delivered in auxilliary engines;   z 

∑ ( Q2 – Q0 )   p 

And work applied to heat pump;     n  ∑ ( Q1 – Q0 )   a 

Net work done;   n              z                z                                n        

∑ Q1 ‐ ∑ Q2 + ∑ ( Q2 ‐ Q0 ) ‐ ∑ ( Q1 ‐ Q0 ) ≤ 0   a              p               p                                 a 

Thus,     n                z  ∑  Q0 ‐ ∑  Q0 ≤ 0            a               p           Thus,     n                            z  ∑  Q1T0/T1 ‐ ∑  Q2T0/T2 ≤ 0            a                            p           Then;    T=T0Q / Q0  Thus,  we  have  defined  a  temperature  scale  called  as  thermodynamic  scale  &  since  it  begins  from  T=0,  it  is  an  absolute scale of temperature.  

Corollary 5:      The efficiency of any reversible engine operating between  more  than  two  reservoirs  must  be  less  than  that  of  that  of  a  reversible engine operating between two reservoirs which have  temperatures  equal  to  the  highest  and  lowest  temperature  of  the reservoirs in original engine    Corollary 6:  Whenever a system under goes a cycle,  ∫ (dQ/T) is zero if  the cycle is reversible and negative if irreversible i.e. in general 

∫ (dQ/T) < 0 . It is also called as Clausius inequality.  Proof:    Let  us  consider  an  engine  operating  between  a  finite  numbers of reservoirs                            b         a                                                n                                                                                                                              Q1b                                      Q1a                               Q1n               Heat    engine                                      Q2z                            Q2p                                              Q2q                   Z                                             p                                               q                    

Let quantity of heat Q1a , Q0b ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Q1n be supplied from finite  number of reservoirs at temperatures T1a‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐T1n.    Let the heat rejected to sinks T2z‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐T2q etc.  Now let the sources be supplied with their quantities of heat by  a  series  of  reversible  heat  pumps  receiving  quantities  of  heat   Q0a , Q0b ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Q0n from a single reservoir T0.