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Coordinación de Matemática I (MAT021) 1er Semestre 2009 Hoja de Trabajo “Continuidad" Indique si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican. ½ 2 x +x si x ≤ 1 1. f (x) = para x0 = 1 2x si x > 1; ½ 2x − 4 si x < 1 para x0 = 1 2. g(x) = 1 si x ≥ 1;   x2 − 16 si x 6= 4 para x0 = 4 3. g(x) = 4  x− 8 si x = 4; Analice la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Señale si es discontinua reparable y cuál es su reparación. 4. f (x) =

x2 − 4 x−2

5. g(x) =

x2 − 3x x−3

6. f (x) =

x2 − 25 x2 − 7x + 10

7. f (x) =

x2 + x − 6 x2 − 6x + 9

para x0 = 2 para x0 = 3 para x0 = 5 para x0 = 2

8. La función y está definida de la siguiente manera: y=0 si x < 0; y=x si 0 ≤ x < 1; y = −x2 + 4x − 2 si 1 ≤ x < 3; y =4−x si x ≥ 3. ¿Es esta función continua? ½ x+1 si x ≤ 1 9. Sea f (x) = ¿Para que valores de a la función f (x) es continua? 3 − ax2 si x > 1;  π  − sen(x) si x≤− ;    2 π π A sen(x + B) si − ≤ x ≤ − ; Determine los números A y B de modo que la 10. Sea f (x) = 2   π 2   cos(x) si x≥ . 2 función f (x) sea continua. Grafíquela. 1 1 e y = son discontinuas. Grafique x−2 (x + 2)2 ambas funciones. Determine las diferencia en el comportamiento de las funciones cerca de los puntos de discontinuidad.

11. Determine los puntos en donde las funciones y =

x2 − 1 no está definida para x = 1. ¿Cuál debe ser el valor de f (1) de modo que la función x3 − 1 se extienda continuamente a x = 1?

12. La función

1

sen(x) cos(x) 13. ¿Qué clase de discontinuidad tienen las funciones y = ey= cuando x = 0? Indique las x x características de los gráficos de estas funciones en una vecindad de el punto x = 0. |x| , en los siguientes casos: para x 6= 0, para x = 0. Esboce 14. Estudie la continuidad de la función y = x el gráfico de esta función. 15. Sea

( f (x) =

Demuestre que f es continua en x =

x

x∈R−Q

1−x

x∈Q

1 y discontinua en todos los demas puntos. 2

16. Sea µ ¶    x sen 1 x f (x) =   0

x 6= 0 x=0

Probar que f es continua en 0. µ ¶ 1 17. Sea h(x) = sen , x 6= 0. Demuestre que no importa como se intente definir h en 0, siempre sera x discontinua en 0. 18. Sea f (x) =

 2x + 1    3x − 1

si

x
  

si

x≥b

1 (x − 1)2

Determine el (los) valor(es) de b en R, tal que f sea continua en b. 19. Determine condiciones sobre a y b en R para que  a(x3 − x)     3(x − 1)    2ax + b f (x) =     x2 − 16    x−4

si

x<1

si 1 ≤ x ≤ 4 si

4<x

sea continua en R √ x3/2 + x − x − 1 √ 20. Sea f (x) = x−1 ¿Que tipo de discontinuidad hay en x = 1? 21. Sea 1 − sen2 f (x) =

³x´ 2

π−x

¿Se puede definir f (π) de modo que f sea continua en todo R. 2

22. Considerar la función

 3   8−x x2 − 2x f (x) =   2x

x<2 x>2

Clasificar las discontinuidades de f . 23. Determinar A y B tal que   A cos(3πx) − Bx         1 x− f (x) = 3    3x − 1       3Ax2 + 6Bx − 5

x≤

1 3

1 <x≤6 3 x>6

sea continua en todo R 24. Para cada función que sigue, el dominio es R salvo un número fínito de puntos. Examinar en cada uno de los puntos en que la función no esta definida y determinar si es posible definir la función en esos puntos, de modo que sea continua en él. (a)

f (x) =

(c) h(x) =

x2 − 1 x3 − 1 √ 3 1+x−1 d) f (x) = x

x x−2

(b) g(x) =

sen 2x x − x2

25. Sea f : I → R continua, I es un intervalo en R. Probar que f (I) es un intervalo. 26. Suponer que f y g son continuas en x0 y que f (x0 ) < g(x0 ) entonces existe un intervalo I, con centro en x0 tal que ∀x ∈ I; f (x) ≤ g(x). 27. Sea g : R 7−→ R tal que g(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. Probar que si g es continua en x = 0, entonces g es continua en todo punto. Además si g(a) = 0, para algún a ∈ R, entonces g(x) = 0, ∀x ∈ R. 28. Una función f : R 7−→ R se dice aditiva si ∀x, y ∈ R, se cumple que f (x + y) = f (x) + f (y). a) Probar que una función aditiva que es continua en x = 0, es continua en todo R b) Probar que una función aditiva monotona es continua en todo R 29. Sean f y g continuas en un punto a ∈ R. Sean h(x) = sup{f (x), g(x)} y k(x) = ´ınf{f (x), g(x)}. Demostrar que h y k son continuas en a. (Sugerencia: sup{b, c} = 12 (b + c + |b − c|) e ´ınf{b, c} = 12 (b + c − |b − c|)). 30. Probar que no existe una función continua f : R → R tal que f −1 (y) tenga exactamente dos elementos, ∀y ∈ R. 31. Probar que toda función racional (cuociente de dos funciones polinomiales) es continua en todo su dominio. 32. Sean f y g funciones continuas en R. Probar que: f (x) = g(x) ∀x ∈ Q

⇐⇒ 3

f (x) = g(x) ∀x ∈ R

33. Encontrar una función que sea continua en un número finito de puntos dados y en todos los demás sea discontinua. 34. Analice la continuidad de las siguientes funciones y grafiquelas p a) f (x) = [x] + x − [x] b) f (x) =

sen(x) | sen(x)|

c) f (x) = (−1)[1/x] 1 d ) f (x) = l´ım n→∞ 1 + xn

con x ∈ R

35. Estudie la continuidad de la siguiente función  8x    3 x f (x) = −2x + 4    2 x − 11 36. Sea

, x≤0 , 0<x≤1 , 1<x≤3 , 3<x

  mx + 2(1 − x) f (x) =



ax2 − b

,x ≥ 2 ,x < 2

¿Que condiciones tienen que satisfacer los parámetros m, a, b para que la función sea continua? 37. Calcule a y b para que la función  x2   √    1 + x2 − 1     ax + b f (x) =     √   x− x+2    √ 4x + 1 − 3

,

x<0

,

0≤x≤2

,

2<x

sea continua. 38. Sea f : R → R definida por

  x f (x) =



−x

,

x∈Q

,

x∈R−Q

Pruebe que f es continua solo en x = 0. 39. Sean f, g : [0, 1] → R funciones continuas. Si f (1) = g(0) pruebe que la función h : [0, 1] → R definida por  , 0 ≤ x ≤ 12  f (2x) h(x) =  g(2x − 1) , 21 ≤ x ≤ 1 es continua. 40. Sea f : R → R una función que satisface |f (x)| ≤ |x| para cada x ∈ R. Demuestre que f es continua en 0.

4

41. Sea g una función continua en 0 con g(0) = 0 y |f (x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ R. Pruebe que f es continua en 0. 42. Dé un ejemplo de una función f discontinua en todo su dominio, pero que |f | sea continua. 43. Demuestre que si f : [a, b] → R es una función continua, entonces existe una función g : R → R continua tal que g(x) = f (x) , ∀ x ∈ [a, b]. Dé un ejemplo que muestre que la afirmación es falsa si reemplazamos [a, b] por (a, b). 44. Sea p : R → R un polinomio de grado par, cuyo coeficiente líder es positivo. Pruebe que el polinomio tiene un mínimo x0 ∈ R. Si p(x0 ) < 0, muestre que p tiene por lo menos 2 raices reales. 45. Si f y g son funciones continuas con f (3) = 5 y l´ım (2f (x) − g(x)) = 4. Calcule g(3). x→3

46. Pruebe que existe x ∈ [0, π] tal que sen(x) = x − 1 47. Iniciando a las 4 am, un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña llegando al mediodía. Al día siguiente, él regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 am, y llegando al pie de la montaña a las 11 am. Demuestre que en algún punto a lo largo de la ruta su reloj mostraba lña misma hora en ambos días.

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