Contenidos Basicos Mate 6

Modulo matematicas 6

GUIA DE CONTENIDOS BASICOS MATEMATICAS GRADO 6 Versión reducida de la original

DOCENTE HENRY PIERCE CUERO

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Modulo matematicas 6

CONJUNTOS Entiéndase por conjuntos la agrupación de cualquier tipo de cosa u objetos con características similares entre si , por ejemplo los días de las semana ,los objetos que forman parte de un salón de clase, etc.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Hay dos formas de determinar conjuntos. ó Forma Tabular Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { a, e, i, o, u } B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = { c, , , j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

ó Forma Constructiva Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { x/x es una vocal } B = { x/x es un número par menor que 10 } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } 2 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

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Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

A = { a, e, i, o, u } B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = {c,o,n,j,u,n,t,o,s} D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }

A = { x/x es una vocal } B = { x/x es un número par menor que 10 } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } D = { x/x es un número impar menor que 10 } E = { x/x es una consonante }

CONJUNTOS FINITOS Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

IGUALDAD DE CONJUNTOS Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

A = {1, 2, 3, 4} B=

C= {1, 2, 3, 3, 4, 1} D = {1, 2, 2, 3, 4,

E = {vocal de la palabra mundo} F = {u, o} 3

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Modulo matematicas 6 {3, 4, 1, 2}

4,}

A=B

C=D

E=F

CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

A = { Los perros que vuelan } B = { x / x es un mes que tiene 53 días} C = { x / x3 = 8 y x es impar } D = { x / x es un día de 90 horas }

A={} B={} C={} D={}

A=Ø B=Ø C=Ø D=Ø

CONJUNTO UNITARIO Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

A={5} B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 } C = {la capital del Perú } = { Lima } D = {x / 2·x = 6} = {3} CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.

Sean los conjuntos: A = { aves }

B = { peces }

C = { conejos }

D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales }

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Modulo matematicas 6 Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

Sean los conjuntos: E = { mujeres }

F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = { seres humanos } Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

CONJUNTOS DISJUNTOS Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

Conjuntos disjuntos

Conjuntos no disjuntos

A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 } A y B son disjuntos.

M = { o, p, q, r, s } N = { s, t, v, u } M y N no son disjuntos.

C = { x/x es una letra del alfabeto }

P = { x/x es una letra de la palabra aritmética } 5

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Modulo matematicas 6 D = { x/x es un número } C y D son disjuntos

Q = { x/x es una letra de la palabra algebra } P y Q no son disjuntos DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica. A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).

El gráfico es la representación de la unión

El gráfico es la representación de la intersección

El gráfico es la representación de la diferencia

UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x A o x B} En forma gráfica:

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Cuando no tienen elementos de un elementos comunes conjunto

Cuando tienen algunos elementos comunes

Cuando todos los conjunto pertenecen a otro

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A U C

b) B U C

c) A U B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 } B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

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Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 } A U B = { , 1, , 3, , 5 }

Diagramas de ven Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

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Modulo matematicas 6 Cuando tienen lementos de un elementos comunes pertenecen a tro conjunto

Cuando no tienen elementos comunes o

Cuando todos los e conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A C

b) B C

c) A B

Tenemos: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } A C={ , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

interseccion

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 } A B={ , }

Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

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Modulo matematicas 6 DIFERENCIA DE CONJUNTOS Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A - B = {x / x A y x B} Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cuando no tienen elementos comunes

Cuando tienen elementos comunes

Cuando todos los elementos conjunto pertenecen a otro

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A - C

b) B - C

c) A - B

Tenemos: a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g } A - C = { a, b, c, e }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C b) B = { a, e } y C = { d, f, g } B - C = { a, e } 10 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

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Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e } A - B = { b, c, d }

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: A' = { x/x U y x A }

a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e } Su complemento de A es: A' = { m, a, r } En forma gráfica:

b)

Sean U = { letras de la palabra aritmética}

y

B = { vocales de la palabra vida } 11

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Modulo matematicas 6 Determinado por extensión tenemos U = { a, r, i, t, m, e, c } Su complemento de B es:

B = { i, a } B' = { r, t, m, e, c }

En forma gráfica:

LOS SISTEMAS DE NUMERACION

LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA

En esta página encontrará información acerca de las distintas clases de sistemas de numeración que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia • •

• •

Introducción. El Concepto de Base Sistemas de Numeración Aditivos o Egipcio o Griego Sistemas de Numeración Híbridos o Chino Sistemas de Numeración Posicionales o Babilónico o Maya

Introducción. El Concepto de Base Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue 12 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Sistemas de Numeracion Aditivos Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, 13 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.

El Sistema de Numeración Egipcio Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

Sistemas de Numeracion Híbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 14 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.

El Sistema de Numeración Chino La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

Sistemas de Numeración Posicionales

Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posiciónales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.

El Sistema de Numeración Babilónico Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos 15 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Sistema de Numeración Romana

El sistema de numeración romano fue muy usado antiguamente. Hoy su uso está muy restringido. Apenas si se utiliza para indicar: • • • • • •

Capítulos de libros. Partes o secciones de leyes y documentos. Fechas en inscripciones de tumbas y monumentos. Cifras de algunos relojes. Enumeración de asambleas y reuniones de organizaciones científicas, políticas culturales. Aniversarios de las instituciones y en otros usos. 16

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Modulo matematicas 6 Es por eso que a veces oímos expresiones como estas: • •

América fue descubierta a finales del siglo XV El título III de la Ley de la Reforma Agraria se refiere al crédito agrícola.

Vamos a ver como esta estructurado el sistema numérico de los Romanos. Los Romanos representaron los números mediante las siguientes letras: I

que vale

1

V

que vale

5

X

que vale

10

L

que vale

50

C

que vale

100

D

que vale

500

M

que vale

1000

Para representar cantidades con estas siete letras tenían las siguientes reglas: Si una letra va seguida de otra de igual o menor valor se suman sus valores: • • •

Las letras V, L y D no se repiten Las letras I, X, C y M si se repiten sólo hasta tres veces consecutivas Si una letra va precedida inmediatamente de otra de menor valor, se le resta ese valor:

•

IX

=

10 -1 = 9

XL

=

50 - 10 =40

CD

=

500 - 100 = 400

CM

=

1.000 - 100 = 900

Las letras V, L y D no se anteponen a otra de mayor valor. La letra I solo debe anteponerse a V y X. La letra X solo se antepone a L y C. Si una letra está colocada después de una de mayor valor y antes de otra también de mayor valor que ella, se resta de esta última. CXC

=

100 + ( 100 - 10 ) = 100 + 90 = 190

MXC

=

1.000 + ( 100 - 10 ) = 1.000 + 90 = 1.090

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SISTEMA DE NUMERACION BASE 2 BINARIOS en este sistema solo se utilizan dos números el 1 y el 0 y con ellos se pueden forma cualquier tipo de cantidad numérica. Operaciones con números binarios Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar son • • • •

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10

100110101 + 11010101 ——————————— 1000001010 Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). Resta de números binarios El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: • • • •

0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que 18 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos: Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) 10001 -01010 —————— 00111

Restamos 217 - 171 = 46 (3=690)

11011001 -10101011 ————————— 00101110

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones: •

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 -010101110010 -0101 —————————————

1001 1101 -0111 -0010 = —————

010000101011

0010

—————

————

— •

0100

1011

Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 46 = 45, en binario: 1011011 1011011 -0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia. Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos: 11011011 11011011 -00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100 Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

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Modulo matematicas 6 •

Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

Producto de números binarios El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110 En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo de Booth. División de números binarios La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 |1101 —————— - 0000 010101 ——————— 10001 - 1101 ——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 20 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 00001 Conversión entre binario y decimal, Binario a decimal Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. Ejemplos: •

110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1 0*(2) elevado a (1)=0 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 53 •

10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 0*(2) elevado a (5)=0 0*(2) elevado a (6)=0 1*(2) elevado a (7)=128 La suma es: 151 •

110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 55 Decimal a binario

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Modulo matematicas 6 Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con el número decimal 100 pasado a binario. 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> 100 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1

1100100

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Y luego se haría un cuadro con las potencias con el resultado. Ejemplo: 100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> 100 1100100 Y también tenemos otro método el método de distribución en el que distribuimos el número decimal y podemos tener el resultado en binario, trabaja de la siguiente manera tenemos el número 151 lo que tenemos que hacer es distribuir este número buscando el número más próximo; en este caso es 128 así que en la casilla donde hay capacidad de contener el número que tenemos lo vamos marcando. y en las casillas que no empleamos las marcaremos con un 0. Ejemplo: 2^0= 1|1 2^1= 2|1 2^2= 4|1 22 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 2^3= 8|0 2^4= 16|1 2^5= 32|0 2^6= 64|0 2^7= 128|1 2^8= 256|0

128+16+4+2+1=151

SISTEMA SE NUMERACION BASE 10 DECIMALES Para poder representar los números naturales se utilizan distintos sistemas de numeración. Cada uno de ellos está compuesto por un conjunto de símbolos y reglas. El sistema más utilizado se denomina sistema decimal ya que utiliza diez cifras que forman la base del sistema:
Se llama cifra o dígito a cada uno de los símbolos que forman la base del sistema de numeración decimal.
Se llama base del sistema de numeración a la cantidad de elementos que se combinan, y se escribe:

Para representar números mayores que nueve, se agrupan los elementos de 10 en 10 para formar una unidad del orden inmedianto superior.

Por lo tanto, la posición de cada cifra, a medida que nos trasladamos de derecha a izquierda, nos indicará el valor relativo de la misma. Por ello se dice que es un sistema posicional Número natural INTRODUCCIÓN Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

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Modulo matematicas 6 Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar, ya que se define como número natural al cardinal o número de elementos correspondiente a cada uno de los conjuntos finitos. El conjunto formado por todos los números naturales se denomina sucesión fundamental de números naturales y se define:

La sucesión fundamental de números naturales es infinita, ya que dado un número natural, siempre existe otro que continúa la sucesión, por lo tanto se representa gráficamente a través de una semirrecta. Cada elemento de este conjunto se representa por un símbolo al que se le ha asignado un nombre.

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Modulo matematicas 6

Números concretos Se llama número natural concreto a la expresión formada por un número natural, llamado coeficiente, y la unidad correspondiente la magnitud a representar: longitud, peso, tiempo, etc.

Representación gráfica

Los números naturales se representan gráficamente por una semirrecta de origen O, a partir del cual se transportan segmentos iguales, denominados segmentos unidad. De este modo se determinan los puntos que corresponden a cada número de la sucesión fundamental de los números naturales. A cada número natural le corresponde uno y sólo un punto de la recta numérica.

.

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Modulo matematicas 6 Valor de posiciones

Todo número tiene dos valores Valor por sí mismo: que es siempre el mismo valor esté donde esté colocada cada cifra. Valor de posición: Es el valor que tiene cada cifra de acuerdo al lugar que ocupa en la cantidad. Observemos la tabla siguiente:

CENTENAS 1

DECENAS 1

UNIDADES 1

Esto me representa el número 111 = Ciento once Busquemos los valores por sí mismo y el valor de posición del 111 Valor por sí mismo de 111 1=1 1=1 1=1 El valor por sí mismo es el valor que tiene cada número por su figura esté donde esté dentro de la cantidad. Valor de posición de 111 1 Centena 1 Decena 1 Unidad

= 100 Unidades = 10 Unidades = 1 Unidad

El valor de posición es el que tiene cada número de acuerdo a donde se encuentre ubicado dentro de la cantidad. CENTENAS

DECENAS

UNIDADES 1

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Modulo matematicas 6

Esto quiere decir que tengo 2 UNIDADES Por lo tanto coloco el 2 en la casilla de las unidades así: CENTENAS

DECENAS

UNIDADES 2

¿Cómo colocarías el número 13 dentro de la tabla de posición si cada casilla sólo acepta un número? Tenemos entonces que buscar con cuántas unidades se forma una DECENA De las 13 UNIDADES que tengo selecciono 10 que me representan 1 DECENA las restantes UNIDADES las coloco en la casilla de las UNIDADES

Entonces la representación del 13 en la tabla de posiciones quedaría así: CENTENAS

DECENAS 1

UNIDADES 3

RESUMIENDO Cuando tu mamá te manda a la panadería a comprar 5 panes, estás comprando 5 UNIDADES de pan. Pero si en lugar de 5 panes te manda a comprar 34 panes, entonces estás comprando 34 UNIDADES de pan; lo que es lo mismo 3 DECENAS de pan (una decena son diez unidades) más 4 UNIDADES de pan. Ahora debes estar listo para representar el 34 en la tabla de posición. La Docena

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Modulo matematicas 6 Observa cuidadosamente la siguiente figura:

¿Cuántos colores tengo? 12, ¿verdad?

La maestra dice: "Juan guarda la docena de colores en el armario por favor." Cuando hablamos de 12 UNIDADES, en este caso de 12 colores, y luego hablamos de UNA DOCENA nos estamos refiriendo a la misma cantidad. UNA docena representa 12 UNIDADES UNA DOCENA de huevos = 12 Huevos MEDIA DOCENA de huevos = 6 Huevos

OPERACIÓN DE NUMEROS NATURALES Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo

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Modulo matematicas 6 por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Adición de números naturales

La Suma o Adición es una operación aritmética definida en los naturales, enteros, racionales y reales.

Dentro de la adición encuentro varios elementos: • • •

Los números que se suman en este caso el 9 y el 2, reciben el nombre de SUMANDOS. El resultado de la adición representado aquí por el 11 que tiene por nombre SUMA O TOTAL. Y el signo señalado por una cruz pequeña llamado SIGNO MAS

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Modulo matematicas 6

Cuando se resuelve una adición hay que tener presente: •

• •

•

Los números que se suman o sea, los SUMANDOS, deben estar colocados correctamente es decir UNIDADES debajo de UNIDADES, DECENAS debajo de DECENAS, CENTENAS debajo de CENTENAS... Los objetos que se suman deben ser de una misma especie, no se puede sumar naranjas con carros, perros con muñecas, hombres con piñas. El resultado de la adición siempre tiene que ser mayor que los dos números que se suman.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) •

Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

•

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) Conmutativa

•

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a

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Modulo matematicas 6 •

•

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. Elemento neutro

•

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a+0=a

Sustracción de números naturales

Restar es la operación matemática en la cual se quitan, sacan o sustraen elementos de un determinado conjunto, siendo su símbolo (-), que significa "menos".

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Modulo matematicas 6

Dentro de la sustracción encuentro varios elementos: •

•

• •

El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos MINUENDO representa la totalidad de objetos que se tienen, al cual se le va a quitar una cantidad. El Número menor que aparece en la sustracción al que se le da el nombre de SUSTRAENDO representa la cantidad menor de la sustracción. Al resultado de la sustracción, se le llama DIFERENCIA Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de SIGNO MENOS

Cuando se resuelve una SUSTRACCIÓN hay que tener presente: •

•

•

Los números que se restan deben estar colocados correctamente, es decir; UNIDADES debajo de las UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de las CENTENAS. Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir objetos de una misma clase de un mismo género. El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que el SUSTRAENDO. Es decir la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?

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Modulo matematicas 6 Multiplicación de Números Naturales

Mina, la gata de la vecina, desde que la conocemos ha tenido 3 partos de 5 gatos en cada parto. ¿Cuántos hijos ha tenido Mina en total?. Para saber cuantos hijos ha tenido Mina podemos sumar los gatos nacidos en cada parto: 5 + 5 + 5 = 15. Pero también podemos multiplicar 3 x 5 = 15

Primer Parto

Segundo Parto

tercer parto Multiplicar no es mas que sumar varias veces el mismo número

Observa la siguiente multiplicación: 7 x 4 = 28 7: es el sumando que se repite y recibe el nombre de multiplicando. 4: es el número de veces que se repite el sumando y se llama multiplicador. 28: es el resultado de la operación, se denomina producto.

Cómo hacer para multiplicar cifras mas grandes? 243 x 25

Por ejemplo

Se procede de la siguiente manera:

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Modulo matematicas 6 1) Se colocan las dos cantidades una debajo de la otra

2) Se multiplica 5 por 243, es decir la unidad del multiplicador por cada uno de los números del multiplicando

3) Luego se multiplica 2 por 243, es decir la decena del multiplicador; por cada uno de los números del multiplicando. El resultado se coloca debajo del 1215, pero cuidando de que coloquemos la primera cifra debajo de la decena. 4) Por último, se suman los productos parciales, para obtener el producto total.

Multiplicación por 10, 100 ó 1000

Cuando necesitamos multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, agregamos a la derecha de dicho número tantos ceros, como ceros acompañen a la unidad. 8 x 10 = 80 8 x 100 = 800 8 x 1000 =8000 8 x 10000 = 80000 8 x 100000 = 800000 34 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 8 x 1000000 = 8000000

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma. 3.1 Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 3.2 Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a·b=b·a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40 3.3 Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a·1=a 3.4 Distributiva del producto respecto de la suma

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Modulo matematicas 6 Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

División de números naturales La torta se ha dividido o fraccionado en tres partes iguales. En esencia, fraccionar y dividir es lo mismo... La división es el proceso contrario a la multiplicación.

Si al efectuar la división, no sobra residuo, se dice que la división es exacta; pereda un residuo la división es inexacta.

En toda división se cumple: Dividendo = (divisor x cociente) + residuo Veamos si es cierto: 36 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 División entre la unidad seguida de ceros Dividir un número entre la unidad seguida de ceros es muy fácil. Sólo se tiene que escribir como cociente el mismo número que se va a dividir, o sea el dividiendo, y luego correr la coma hacia la izquierda para crear tantas cifras decimales como ceros tenga la unidad.

Observa que pasa con la coma... Si se divide entre 10 aparece un decimal Si el divisor es 100 aparecen dos decimales Si es 1000 aparecen 3 decimales y así... Si al correr la coma tantas espacios como ceros tenga el divisor no hay suficientes dígitos, los espacios deben complementarse con ceros.

¿Que pasa cuando el dividendo también tiene ceros? Podemos tachar o eliminar un cero del dividendo por cada cero del divisor al colocar el cociente.

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

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Modulo matematicas 6 Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos). Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Division de Numeros Naturales La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. Propiedades de la división La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

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Modulo matematicas 6

Los investigadores en el tema se han preocupado de buscar, elaborar y poner a prueba técnicas y estrategias que puedan incrementar la capacidad de resolver problemas. También se han determinado etapas y propuesto estrategias para la resolución de problemas. En todos los intentos hay aspectos comunes de gran valor, entre ellos se puede destacar lo relacionado con el establecimiento de etapas secuenciadas y lo que se refiere a la integración de preguntas claves: Los componentes de Bransford y Stein Otro investigador, Bransford, plantea que las dificultades para resolver problemas, generalmente, se debe a que las personas no se valen de métodos eficaces. Y afirma que, una forma de mejorar nuestra capacidad para resolver problemas o adoptar decisiones es aprender un método para lograrlo. Bransford y Stein, presentan un método para resolver problemas que consta de las siguientes cinco componentes:

1. Identificar el problema.

2. Definir el problema. Significa procurar describirlo y representarlo con toda la precisión y cuidado que sea posible. Formularlo, a veces, en forma de pregunta. Una adecuada forma de representación conduce a una eficiente solución. 3. Explorar posibles soluciones. Explorar vías o métodos de solución. Esto requiere analizar, cómo estamos reaccionando ante el problema y la consideración de otras estrategias de las cuales podríamos valernos. 4. Descomponer el problema en sus componentes elementales. Esto resulta hacer el problema más sencillo. Lo mismo ocurrirá si somos sistemáticos en el esfuerzo por comprender y entender la información. 5. Actuar conforme a un plan. 6. Evaluar los logros alcanzados. Actuar basándose en una adecuada definición del problema y en la opción por una estrategia o plan conveniente y observar si se ha logrado hacerlas funcionar.

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Modulo matematicas 6

Estrategias de Resolución En cuanto a las estrategias de resolución de problemas, destacamos aquí algunas, las más comunes, aunque es importante señalar que existen otras: Método pictórico. Se relaciona con el uso de figuras, dibujos o diagramas como medio para representar el problema y para buscar una solución. Método de ensayo y error. Tomar un número al azar, o más o menos pensado, que se acerque a la solución del problema y con éste analizar, probar, etc. y manipularlo para llegar a la respuesta correcta. Método de modelización aritmética o algebraica. La aritmética y el álgebra pueden ayudar a resolver un problema. Una forma puede ser representando la información dada en una o varias operaciones algorítmicas o en una ecuación, según sea el caso y los conocimientos de los estudiantes. El Álbum de Jorge

Jorge colecciona láminas de un álbum. Él ya tiene 78 láminas. Para completar su álbum necesita 188 láminas. Para su cumpleaños su tía , le envió una caja con 30 láminas, escribiéndole una nota:

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Modulo matematicas 6

¿Cuántas láminas aún le faltan a Jorge para completar su álbum? Explica tu respuesta.

respuesta A Jorge le faltan 92 láminas para completar su álbum.

formas de resolver

Comparar las láminas enviadas por la tía con las láminas que tiene Jorge. Buscar las que se repiten y restar esta cantidad a las 30 láminas que envió la tía. Luego sumar este resultado a la cantidad de láminas que ya tiene Jorge. Al final, buscar la diferencia entre este resultado obtenido (las láminas que tiene Jorge) y el total de láminas del álbum. Láminas tía nuevas 30

Láminas repetidas -

Láminas que tiene Jorge Jorge 78 -

12

Láminas

=

Láminas nuevas 18

=

18

Total Láminas de 96

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Modulo matematicas 6 Total de láminas le álbum 188 -

Total láminas de jorge

96

=

Láminas que faltan a Jorge 92

La Pirámide Humana En el Norte de Ecuador hay una tradición. Cada 18 de septiembre los hombres del pueblo entre 22 y 30 años hacen una pirámide. Esta pirámide es una torre de varias personas. Cada persona se va subiendo arriba de los hombros del otro, hasta construir la pirámide. Observa el dibujo de la pirámide: a) ¿Qué altura va a tener la pirámide aproximadamente, si está construida por 4 personas de altura? b) Si fueran 8 personas de altura: ¿Podría construirse? ¿Cuántas personas se necesitarían? ¿Qué altura tendría aproximadamente? c) Comenta con tus compañeros/as sobre esta situación. ¿Han visto pirámides humanas? ¿ Dónde? ¿Cuándo?

respuesta a) La pirámide aproximadamente tendrá 6 metros de altura. No hay un único resultado, sino es una estimación de la altura de las personas involucradas. b) Sí, podría construirse una pirámide. Se necesitaría 38 personas para construir una pirámide de 8 personas de altura. Tendría aproximadamente 12 metros de altura. c) La respuesta es abierta, dependerá de las diferentes experiencias de los niños y de la información que pueda entregarle el/la profesor(a).

formas de resolver Con relación a la altura de la pirámide de 4 personas de altura: 42 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

1ª Forma Estimar la altura de un hombre entre 22 y 30 años, (aproximadamente mide 1,75 metros). Pensar que no se necesita el total de la altura, ya que sólo se necesita hasta los hombros, porque los pies del hombre que está arriba, se colocan sobre los hombros del otro, por lo tanto la altura de la cabeza no debe tomarse en cuenta. •

Aproximadamente la altura de la cabeza es 30 cm., la cual se resta de la altura total aproximada de un hombre entre 22 y 30 años. Aproximada altura hombre 1,75 m

-

Aproximada altura cabeza 30 cm

= 1,45 m

Calcular luego 3 veces 1,45 metros y una vez 1,75 metros, ya que el último hombre no tiene a nadie sobre sus hombros. (1,45 m

x

3)

+

4,35 m

1,75 m

+

1,75 m

6,10 m

Por lo tanto, la altura de la pirámide va a tener aproximadamente 6 metros de altura. 2ª Forma Calcular la altura total de 4 hombres, que aproximadamente miden 1,75 metros. Cantidad hombres 4 x

Altura hombres 1,75 m =

7m

Luego restar 3 veces la altura de la cabeza, que aproximadamente es 30 cm. 7m 7m

- (3 6,10 m

x 30)cm 90 cm

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Modulo matematicas 6

Por lo tanto la altura de la pirámide va a tener aproximadamente 6 metros de altura.

OPERACIONES COMBINADAS

Orden de operación

Si diésemos el ejercicio 2 + 3 · 4, a varios alumnos para resolver, y obtuviésemos de ellos dos resultados distintos, no nos cabría duda de que no todos dominan el orden de operatoria, fundamental para un buen desarrollo de cualquier ejercicio de matemática. Para aclararlo de inmediato es bueno decir que el resultado correcto del ejercicio dado es 14. El orden para operar es el siguiente: Paréntesis Multiplicaciones y Divisiones Sumas y Restas Por ejemplo, resolvamos la expresión 4 + 3·(9 - 2). Resolvemos en primer lugar la operatoria contenida en el paréntesis, lo que da 4 + 3·7. Luego, la multiplicación, obteniéndose 4 + 21. Finalmente la suma, siendo el resultado final 25. Del mismo modo debemos operar con números fraccionarios.

NÚMEROS PRIMOS

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Modulo matematicas 6 Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Un número natural es un número compuesto si tiene otros divisores además de él mismo y la unidad. Ejemplos: 3 es un número primo porque sus únicos divisores son 1 y 3. 4 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 2 y 4. Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12 es un número compuesto. El 2 es el único número primo que es par. Construye la tabla de los números primos menores que 100. Para ello, sigue estos pasos: 1.° A partir del 2, tacha los múltiplos de 2. 2.° A partir del 3, tacha los múltiplos de 3. 3.° A partir del 5, tacha los múltiplos de 5. 4.° A partir del 7, tacha los múltiplos de 7. 5.° A partir del 11, tacha los múltiplos de 11. • ¿Qué observas al aplicar el paso 5.°? • ¿Cuántos números primos hay menores que 100?

CÓMO AVERIGUAR SI UN NÚMERO ES PRIMO Para averiguar si un número es primo o compuesto, se divide por la serie de números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... hasta llegar a una división cuyo cociente sea 45 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones tienen el resto distinto de cero, el número propuesto es un número primo. Ejemplo: Vamos a ver si el número 101 es un número primo. • 101 no es divisible por 2. • 101 no es divisible por 3. • 101 no es divisible por 5. Ahora probamos por 7.

101 no es divisible por 7. Como 14 > 7, hay que seguir probando. ; 101 no es divisible por 11. Como 9 < 11, el número 101 es un número primo.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS Para descomponer un número, por ejemplo 36, en producto de factores primos se siguen estos pasos: 1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto (36). 2° Se procede como en el paso anterior con el cocie nte obtenido (18), y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1. El número es igual al producto de los factores primos obtenidos.

36 = 22 x 32

Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48.

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Modulo matematicas 6 48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = También se puede utilizar un diagrama de árbol. utilicemos este método para obtener los factores primos de 8.

Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 =

Múltiplos y divisores de un número natural

Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los múltiplos son infinitos como son infinitos los números naturales.

Los múltiplos de un número resultan de multiplicar dicho número por cada uno de los naturales

Múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, ... Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, ... Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, ... 47 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

Existen algunas reglas que permiten decidir si un número es múltiplo de otro. Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son números pares, generalizando se puede decir que: Todo número par es múltiplo de 2.

Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.... son múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un múltiplo de 3:

De esta manera, se concluye lo siguiente:Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3. Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30... son múltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por lo tanto, se dice que: Un número es múltiplo de 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.

Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente.

Observa los divisores de los siguientes números: Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, Divisores de 35: 1, 5, 7, 35 Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

Los divisores de un número son los que dividen a éste en forma exacta. 48 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 El uno es divisor de todos los números. Todo número es divisor de sí mismo. Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el residuo debe ser cero. A continuación encontrarás algunas reglas que te harán saber cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operación. A este conjunto de reglas le llamamos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par. 8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2. Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres. 6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3 Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500... Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5. Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7. Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7 245 es divisible por 7. porque se separa el último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14 Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10, si su último dígito es 0. Divisibilidad por 100: un número es divisible por 100, si sus dos ultimos dígitos son cero. . Divisibilidad por 1000: un número es divisible por 1000, sus tres últimos 49 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 dígitos son cero. Divisibilidad por 10000: un número es divisible por 10000, sus cuatro últimos dígitos son cero.

Recuerda: de la manera que leamos un texto o cualquier escrito depende que comprendamos lo que se nos quiere decir.

CONJUNTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para hallar los divisores naturales de un número, por ejemplo 60, se siguen estos pasos: 1.° Se descompone el número en producto de factores primos. 60 = 22 x 3 x 5.

60 = 22 x 3 x 5 2.° Se hace una tabla poniendo en la primera fila e l 1 y las potencias sucesivas del primerfactor primo (21 = 2; 22 = 4); así se obtiene la fila A.

3.° Se multiplica cada número de la fila A por el s iguiente factor primo (3); así se obtiene la fila B.

4.° Se multiplica cada número de las filas A y B po r el último factor primo 5; así se obtienen las filas C y D.

50 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

El conjunto de divisores naturales de 60 es el formado por los números de las filas A, B, C y D. Divisores de 60: 1, 2, 4, 3, 6, 12, 5, 10, 20, 15, 30, 60

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará. Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18 12 6 3 1

18 9 9 3 1

2 2 3 3

El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 =

= 36

Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15 8 4 2 1

12 6 3 3 1

15 15 15 15 5 1

2 2 2 3 5

El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120. Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor. 51 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48 ...} Múltiplos de 18: {18, 36, 54, ...} El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.) El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos. Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18 Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} El mayor divisor común de 12 y 18 es 6 Máximo Común Divisor El máximo común divisor (o simplemente MCD) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Tenemos una forma práctica para encontrarlo. 84 - 24 - 60

Queremos hallar el MCD de 84, 24 y 60

Buscamos un número que divida exactamente a todos los números (trabajaremos con 2) y efectuamos las divisiones, los resultados los ponemos abajo.

Buscamos un número que divida exactamente a 42, 12 y 30 (trabajaremos con 2) y efectuamos las divisiones. los resultados los ponemos abajo.

Ahora buscamos un número que divida exactamente a 21, 6 y 15 (resulta ser el número 3), efectuamos las divisiones y ponemos los números abajo. Como no hay ningún número que divida exactamente a 7, 2 y 5 lo dejamos ahí. Para terminar debemos multiplicar 2 x 2 x 3 = 12 y ese es el MCD Si a la hora de querer hallar el MCD no encontramos ningún divisor común, el MCD será igual a la unidad: MCD = 1. Si por ejemplo queremos hallar el MCD 52 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 de 21, 11 y 16, vemos que no tienen ningún divisor común a los tres, entonces su MCD = 1. PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M. 1. El ebanista ahorrador Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? SOLUCIÓN a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d. (256, 96). 256 = 28 96 = 25 x 3 m.c.d. (256, 96) = 25= 32 La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm. b) Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 cm2 Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024 cm2 De la plancha de madera se obtienen 24.576 : 1.024 = 24 cuadrados. 2. Una cita en Sevilla Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla? SOLUCIÓN a) El número de días que han de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Sevilla tiene que ser un múltiplo de 18, de 15 y de 8, y además tiene que ser el menor múltiplo común; luego hay que calcular el m.c.m. (18,15, 8). 18 = 2 x 32 15 = 3 x 5 8 = 23 m.c.m. (18, 15, 8) = 23 x 32 x 5 = 360

Los tres viajantes volverán a coincidir en Sevilla dentro de 360 días. Otras operaciones en el conjunto de los números naturales 53 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

POTENCIAS • Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente. Ejemplo:

• Casos particulares de potencias: Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21 = 2; 31 = 3. Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1 ; 50 = 1. Completa el cuadrado

POTENCIAS DE BASE 10 • Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente. Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000 • Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10. Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107 200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma 54 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29 43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes. Ejemplos: 26 : 23 = 26-3 = 23 48 : 42 = 48-2 = 46 POTENCIA DE UNA POTENCIA La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplos: (23 )2 = 23 x 2 = 26 (44 )3 = 44 x 3 = 412

POTENCIA DE UN PRODUCTO La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dlcha potencia. Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32 (4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53

Radicación en los naturales

55 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 La radicación es una operación inversa a la potenciación. Permite hallar la base cuando se conocen el exponente y la potencia. Así,

En la expresión , n recibe el nombre de índice, b de cantidad subradical o radicando y a de raíz n-ésima. Por ejemplo, la expresión 53 = 125 se puede escribir como = 5, donde 3 es el índice de la raíz, 125 la cantidad subradical y 5 la raíz.

Para extraer la raíz exacta de un número natural, se busca un número tal que elevado al índice de la raíz dé como resultado la cantidad subradical o radicando.

Las raíces cuyo índice es 2 se denominan raíces cuadradas. A diferencia de los demás casos, en este tipo de raíces no se escribe el índice. Por ejemplo, son raíces cuadradas.

Por ej

3.4.1. Propiedad de la radicación La radicación en el conjunto de los números naturales, cumple con las siguientes propiedades: 1. Raíz n-ésima de un producto. La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de cada uno de los factores. Esto es,

56 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 Raíz n-ésima de un cociente. La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas de cada uno de los factores. Esto es,

El cero y el uno en la radicación Cuando la cantidad subradical de una raíz indicada está relacionada con los números 0 y 1, se determinan las siguientes propiedades: Z. La raíz n-ésima de O,da como resultado O.Así, 1. La raíz n-ésima de 1, da como resultado 1. Así,

Expresiones con raíces Para resolver una expresión en la que se combinan las diversas operaciones vistas, se debe tener en cuenta que primero deben resolverse las potencias y raíces indicadas, luego, las multiplicaciones y divisiones en su orden respectivo, y, por último, las sumas y restas correspondientes. Si el polinomio presenta signos de agrupación, estos se deben eliminar de dentro hacia fuera resolviendo las operaciones indicadas dentro de cada uno de ellos.

Observa: NÚMERO

CUADRADO

1

12=1

2

22=4

3

32=9

4

42=16

5

52=25 es el cuadrado de 2,

y 2 es la raíz cuadrada de es el cuadrado de 3, y 3 es la raíz cuadrada de 57 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 es el cuadrado de 4, y 4 es la raíz cuadrada de luego: porque 22=4 porque 32=9 porque 42=16 Los números que tienen raíz cuadrada exacta, se llaman "cuadrados perfectos". Ejemplo: 9, 25, 36, 49, etc..., son cuadrados perfectos porque etc... Cálculo de la raíz cuadrada.

Veámoslo paso a paso: Vamos a calcular 1º

Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.

2º

Se extrae la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (41) y se le resta el cuadrado de dicha raíz (62 = 36)

3º

A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente, separando la cifra de la derecha y, en la parte derecha, colocamos el doble de la raíz hallada.

58 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 4º

Ahora dividimos 52 entre 12 y este cociente (4) lo colocamos junto a 12 [124], y se multiplica por 4 (124 x 4 = 496) se resta de 526 y 4 será la segunda cifra de la raíz. Si este producto fuera mayor que 526, se probaría con 3. (123x3)

Logaritmación en los naturales Al igual que la radicación, la logaritmación es una operación inversa a la potenciación. Esta operación permite hallar el exponente cuando se conocen la base y la potencia. Así,

Por ejemplo, 34 = 81 se puede expresar como Log3 81 = 4. Los logaritmos cuya base es la se denominan logaritmos decimales. A diferencia de los demás logaritmos, en este tipo de logaritmos no se escribe la base. Por ejemplo, Log 100 y Log 1.000 son logaritmos decimales.

Propiedades de los logaritmos La logaritmación en el conjunto de los números naturales, cumple con las siguientes propiedades. Logaritmo de un producto. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de cada uno de los factores. Esto es, Logx (ax b) = Logx a + Logx b Logaritmo de un cociente. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y el divisor. Esto es, Logx (a:b) = Logx a - Logx b Logaritmo de una potencia. Ellogaritmo de una potencia es el producto del exponente por ellogaritmo de la base. Esto es, Logx an = n X Logx a El cero y el uno en la logaritmación

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Modulo matematicas 6 Cuando los diferentes términos de un logaritmo están relacionados con los números Oy 1, se determinan las siguientes propiedades: 1. Ellogaritmo de 1 en cualquier base, es O.ASÍ, Logx 1 = O 2. Ellogaritmo en base x de x, es l. ASÍ, Logx x = 1 3. Ellogaritmo de Oen cualquier base, no está definido en ningún sistema numérico. Definición de logaritmo

ejemplo Una bacteria se reproduce duplicándose cada hora. ¿Cuántas horas habrán transcurrido en el momento que hay exactamente 4.096 bacterias? SOLUCIÓN Debido a que la bacteria se reproduce duplicándose, el número de horas que habrán transcurrido en el momento que hay exactamente 4.096 bacterias, está determinado por un 10garitmo de base 2. Así, Log2 4.096 = 12 pues 212 = 4.096 Luego, habrán transcurrido 12 horas en el momento que hay exactamente 4.096 bacterias.

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Modulo matematicas 6

NUMEROS FRACCIONARIOS Los números como fracciones

Cuando asistes a un cumpleaños habrás notado que a la hora de repartir la torta comienzan las madres a contar cuántas personas se encuentran en la fiesta, de manera que la torta alcance para todos y los pedazos sean más o menos del mismo tamaño. Expresar esto en números es muy fácil. La torta representa la unidad (una torta); las personas invitadas a la fiesta (8,10,15...) representan las partes o porciones iguales en que la torta (la unidad) deberá ser dividida. Por lo tanto si los invitados a la fiesta son 8, la torta deberá dividirse en 8 partes iguales y a cada invitado le corresponderá UN OCTAVO de la torta entera

Si uno de los invitados no come torta, habrá un afortunado al que le tocarán dos porciones, es decir dos pedazos de los 8 en que se dividió la torta; esto es DOS OCTAVOS de torta.

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Modulo matematicas 6

Toda fracción está formada por dos números naturales separados por una raya horizontal, llamada línea de fracción. • •

El número colocado bajo la línea de fracción indica en cuántas partes ha sido dividida la unidad. Éste recibe el nombre de DENOMINADOR. El número que se encuentra sobre la línea de fracción indica las partes que se están seleccionando de las que ya se dividieron. A este número se le da el nombre de NUMERADOR. En la siguiente fracción el:

*Numerador es 1 y el *Denominador es el 8 Una fracción representa siempre una división; por tanto, 1 8

=

1/8

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Modulo matematicas 6 Definición La utilidad concreta de los números fraccionarios reside en interpretarlos como la división de un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción:

Si dividimos la unidad en 6 partes, cada una de ellas representa 1/ 6. El número fraccionario a / b significa que, de una unidad dividida en b partes, se toma una cantidad a de esas partes. De acuerdo a la cantidad de partes que se toman respecto de la unidad las fracciones se clasifican en propias, aparentes e impropias. Como caso particular dentro de las fracciones encontramos las fracciones decimales, que son aquellas en las que el denominador es 10, 100, 1.000, etc., o sea la unidad seguida de ceros.

Fracciones propias Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, por lo tanto, son menores que la unidad.

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Modulo matematicas 6

Fracciones aparentes Son aquellas en las que el numerador es igual al denominador, por lo tanto, son iguales a la unidad.

Fracciones impropias Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, son mayores a la unidad.

Simplificación Simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por un divisor común a ambos, obteniendo una fracción equivalente.

Cuando el divisor utilizado es el máximo común divisor de ambos, se llega a la expresión más simple de la fracción y se la denomina fracción irreductible. Esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, por lo tanto, la fracción no puede simplificarse más. a Desigualdad de fracciones 64 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 El valor absoluto de una fracción es mayor al valor absoluto de otra, cuando el producto del numerador del primero por el denominador del segundo es mayor al producto del denominador del primero por el numerador del segundo.


Si dos fracciones tienen igual denominador, la de mayor valor absoluto es aquella que tenga mayor numerador.


Si dos fracciones tienen igual numerador, la de mayor valor absoluto es aquella que tenga menor denominador.


Si las dos fracciones son positivas, la mayor es aquella que tenga mayor valor absoluto.
Si las dos fracciones son negativas, la mayor es aquella que tenga menor valor absoluto.
Si una fracción es positiva y la otra negativa, la mayor es siempre la fracción de signo positivo.

Mínimo común denominador

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Modulo matematicas 6 Reducir varias fracciones a un mínimo común denominador es encontrar un grupo de fracciones equivalentes a las dadas, de modo que el denominador de todas ellas sea el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones originales. Para hallar esas fracciones equivalentes se procede de la siguiente forma: Se calcula en M.C.M. de los denominadores. Se divide el M.C.M. por el denominador de cada fracción original. Se multiplica este resultado por el numerador de la fracción correspondiente.

Números mixtos Para sumar o restar dos números mixtos se puede reducir los mismos a fracción y efectuar la operación. Otro procedimiento es sumar o restar las partes enteras y las partes fraccionarias por separado (si la parte fraccionaria resultante fuera mayor que la unidad, se transforma en un número mixto) y luego se suman o restan ambos resultados.

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Modulo matematicas 6 Números mixtos Dada una fracción mayor que la unidad, ésta puede expresarse como la suma de un entero y una fracción menor que la unidad. A ésta forma de expresar la fracción se la denomina número mixto.

Reducción de un número mixto a fracción Para transformar un número mixto en fracción se transforma la parte entera en una fracción aparente, cuyo denominador coincida con el denominador de la parte fraccionaria y se suman las dos fracciones.

Reducción de una fracción a número mixto Para transformar una fracción mayor que la unidad en un número mixto, se divide el numerador por el denominador. La parte entera será igual al cociente y la parte fraccionaria tendrá como numerador el resto, manteniendo el mismo denominador.

FRACCIONES EQUIVALENTES Definición Un número fraccionario es equivalente a otro cuando el producto del numerador del primero por el denominador del segundo es igual al producto del denominador del primero por el numerador del segundo.

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Modulo matematicas 6

En cambio, si no se cumple esta condición, las fracciones son desiguales. Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente:
Dividir ambos por un mismo número permite simplificar la fracción.
Multiplicar ambos por un mismo número permite reducir las fracciones a un mínimo común denominador.

Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes, y se escribe a/b =c/d , si al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo resultado a · d = b · c. Ejemplos: 1/6 es equivalente a 2/12 porque 1 · 12 = 2 · 6. 3/6 no es equivalente a 5/18 porque 3 · 18 = 6 · 5. 2 En cada conjunto, rodea las fracciones que se indican. • Fracciones equivalentes a 3/2

• Fracciones equivalentes a 5/3

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Modulo matematicas 6

Fracciones equivalentes a 7/2

FRACCIÓN IRREDUCIBLE • Una fracción es irreducible si el único divisor común del numerador y del denominador es 1. • Para obtener la fracción irreducible de una fracción, se dividen el numerador y el denominador de la fracción dada por el máximo común divisor de ambos términos. La fracción resultante es la fracción irreducible de la fracción dada. Ejemplo: 75/30 75 = 3 x 52 30 = 2 x 3 x 5 Fracion

m.c.d. (75, 30) = 3 x 5 = 15 fracción ireductible

Operaciones con fracciones SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR

Fracciones de igual denominador

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Modulo matematicas 6 Para sumar o restar dos fracciones de igual denominador se debe sumar o restar los numeradores y mantener el mismo denominador.

• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:

• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los denominadores de las demás. Ejemplo Vamos a reducir a común denominador las fracciones:

Las fracciones buscadas son:

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Modulo matematicas 6

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo se procede así: 1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los deno minadores, y ese valor es el denominador común de todas las fracciones. 2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denom inador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador. Ejemplo:

Vamos a reducir a común denominador las fracciones :

m.c.m. (4, 5, 8) = 40

Las fracciones buscadas son:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR Fracciones de distinto denominador Para sumar o restar dos fracciones de distinto denominador se debe encontrar fracciones equivalentes que tengan igual denominador y luego realizar la operación. 71 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo:

m.c.m. (5, 3, 2) = 30

• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador:

m.c.m. (3, 4) = 12

Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kg que utilizan de cada tipo de café y calcula: 72 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 La fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y en la mezcla B.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Producto de dos fracciones El producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

Antes de efectuar una multiplicación es conveniente simplificar la expresión todo lo posible.

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el 73 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Ejemplo

DIVISIÓN DE FRACCIONES

División de fracciones La división de dos fracciones es una fracción se debe multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

Para dividir una fracción a / b por otra fracción c / d , se multiplica la fracción a / b por el inverso de la fracción c/ d

o lo que es lo mismo, se multiplican en cruz los términos de las fracciones

Ejemplo:

APLICACIONES DE PROBLEMAS

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Modulo matematicas 6 Comprando una Bicicleta Javier ayuda a su papá en su negocio; durante las vacaciones, lo hace de lunes a viernes y en época de clases, los sábados. Por cada día de trabajo recibe siempre la misma suma de dinero. Al terminar las 8 semanas de vacaciones habrá ganado 2/3 del dinero que necesita para comprarse una bicicleta nueva. ¿En cuántos sábados reunirá lo que falta? respuesta En 20 sábados, Javier reunirá lo que le falta para comprar su bicicleta nueva. formas de resolver Existen dos formas posibles 1ª Forma Multiplicar los días de la semana que trabajó (lunes a viernes) por el número de semanas de vacaciones. Días de la semana 5

Número de semanas de vacaciones x

8

=

Días que trabajó

40

Luego establecer la relación que en 40 días gana los 2/3 del dinero que necesita para comprar su bicicleta nueva. Deducir que le falta 1/3 del dinero para comprar la bicicleta. Calcular cuántos días son 1/3: 2/3 ---> 40 días 1/3 ---> ? 1/3

x

40

40/3 = 75 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 2/3 40/30

120/6

x

3/2

=

20

1/3 corresponde a 20 días. 2ª Forma - Multiplicar los días de la semana que trabajó (lunes a viernes) por el número de semanas de vacaciones. Días de la semana 5

Número de semanas de vacaciones x

8

=

Días que trabajó

40

- Luego establecer la relación que en 40 días gana los 2/3 del dinero que necesita para comprar su bicicleta nueva. - Deducir que le falta 1/3 del dinero para comprar la bicicleta. - Simplificar. 2/3 -> 40

1/3 -> 20 Decimales Un decimal es la notación particular de una fracción decimal. Así,

76 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

Un número decimal consta de dos partes separadas por una coma llamada coma decimal. La parte entera se escribe a la izquierda de la coma y la parte decimal, a la derecha de la coma. Por ejemplo, en el número 19,235, 19 es la parte entera y 235 la parte decimal. Para leer números decimales, se lee la parte entera seguida de la palabra coma y a continuación se lee la parte decimal conforme al valor de posición de las cifras que esta posea. Por ejemplo, el número 19,235 se lee como "diecinueve coma doscientos treinta y cinco milésimas". En la siguiente tabla se muestra este procedimiento.

Completar la siguiente tabla:

OPERACIONE CON NUMEROS FRACIONARIOS

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Modulo matematicas 6

RESTA SUMA

•

• •

547,386 + 32, 34

53,6 -8,75

5 4 7, 3 8 6 +3 2, 3 4

5 3 , 6 - 8 , 7 5

5 7 9, 7 2 6

4 4 , 8 5

Se colocan uno debajo de otro de manera que las comas estén en columna. Si es necesario se añaden ceros a la derecha para que tengan el mismo número de cifras. Se suman o se restan como si fueran números naturales. Se coloca la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

Multiplicación de números decimales

Los números decimales se multiplican como si fueran números naturales, con una única diferencia hay que tomar en muy cuenta la cantidad de decimales tanto de multiplicando como del multiplicador para colocar los decimales en el resultado.

Pero al producto le agregamos la coma para denotar la misma cantidad de cifras decimales que tenían el multiplicando y multiplicador. La cantidad de decimales los contamos de derecha a izquierda. En este ejemplo se separan tres cifras decimales (dos del multiplicando y una del multiplicador) 78 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 El resultado es:

26,180

Multiplicación de números decimales por 10, 100, 1000 Para multiplicar un número decimal, por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha, uno, dos, tres o tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y se completa con ceros cuando sea necesario.

9,87 x 10 = 98, 7 0,654 x 10 = 6,54 Para multiplicar un número decimal por 10. se desplaza la coma un espacio hacia la derecha.

Para multiplicar un número decimal por 100. se desplaza la coma dos espacios hacia la derecha y se completa con ceros cuando sea necesario.

9,87 x 100 = 987 67,5 x 100 = 6750 16,156 x 1000 = 16156 532,2 x 1000 = 532200 Para multiplicar un número decimal por 1000. se desplaza la coma tres espacios hacia la derecha.

De la misma forma se procede con cantidades como 10000, 100000, 1000000...

División de números decimales

Otra forma muy práctica de dividir dos expresiones decimales es la siguiente: Se eliminan las cifras decimales tanto del dividendo como del divisor. 79 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 Para ello multiplicamos por la unidad seguida de ceros a ambos lados hasta que no existan comas.

92,75 x 100 4,20 x 100

Veamos este ejemplo: Para eliminar los decimales en ambos lados, debemos multiplicar las dos cifras por 100. Ahora que las dos cantidades quedaron convertidas en enteros procedemos a dividir sin ningún problema.

34 ÷ 8

Natural entre natural con cociente decimal A veces es necesario que al dividir dos números enteros el producto se un decimal ¿ Entonces que hacer? Hasta aquí llega la división de los números que se tienen. Para continuar la precisión, se agrega un cero al residuo y una coma al conciente así:

Se continua

dividiendiendo

80 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

Potenciación de racionales La potencia de una fracción es el cociente de la potencia de cada uno de sus términos. Es decir,

Por ej.emplo,

Si a, b, e, d, m, n E N, entonces, la potenciación de fracciones cumple con las siguientes propiedades:

Radicación de fracciones 81 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

La raíz n-ésima de una fracción es el cociente de las raíces n-ésimas de cada uno de sus términos. Es decir,

Por ej.emplo,

Geometría

Conceptos básicos

En general, se dice que: •

Los segmentos son una parte de la recta, la cual se señala entre dos puntos llamados extremos del segmento. Los segmentos son finitos y pueden ser tan grandes como se quiera.

Su representación es la siguiente:

y se denota así: AB. •

Los rayos son aquella parte de la línea recta que queda a algún lado de un punto llamado origen, señalado sobre ella.

Su representación es la siguiente:

82 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

y se denota así:

•

. La primera letra siempre representa el origen.

Las semirrectas son rayos que no contienen a su origen.

Su representación es la siguiente:

y se denota así:

. La primera letra siempre representa el origen.

Note que tanto en los rayos como en las semirrectas, el punto que no es origen, se utiliza nada más para efectos de notación, es decir, para poder darle nombre ya sea al rayo o a la semirrecta. Dicho punto puede ubicarse en cualquier parte del rayo o de la semirrecta. •

Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos rayos tienen un mismo origen, al cual se le conoce con el nombre de vértice del ángulo y a los rayos se les conoce como lados del ángulo. Es importante señalar que siempre que se unen dos rayos, forman dos ángulos, uno de abertura más pequeña que el otro. Observe el dibujo:

83 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 Observe que la abertura
es más grande que la abertura
. Existen tres formas de denotar a un ángulo:

Mediante tres puntos

Ángulo OPW o Ángulo WPO. El vértice siempre va al centro. Simbólicamente se escribe: < OPW o < WPO.

Esta notación tiene un problema, pues no especifica a cual ángulo se está haciendo referencia, si al de abertura pequeña o al de abertura grande. Para evitar este problema se sobrentiende que se hace referencia al ángulo de abertura más pequeña.

Mediante una letra del alfabeto griego Ángulo
 Simbólicamente se escribe: <


Sólo con el vértice Ángulo P. Simbólicamente se escribe: < P.

Esta notación tiene un problema, pues no especifica a cual ángulo se está haciendo referencia, si al de abertura pequeña o al de abertura grande. Para evitar este problema se sobrentiende que se hace referencia al ángulo de abertura más 84 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 pequeña.

Postulados Un postulado es una verdad que no necesita ser demostrado. 1. Por un punto pasan infinitas rectas. 2. Por dos puntos diferentes pasa únicamente una recta. 3. La intersección de dos rectas es un punto. 4. La distancia más corta entre dos puntos diferentes es el segmento de recta que los une. 5. Dada una recta "m" y un punto "R" fuera de la recta (ambos sobre un plano), se dice que existe una sola recta que pasa por "R" y que no interseca a "m".

Formas Geométricas y las figuras planas Existen muchas formas geométricas, aquí tenemos las más simples:

El cuadrado, el triángulo y el rectángulo son figuras geométricas planas, formadas por líneas rectas cerradas. El círculo también es una figura plana pero a diferencia de las anteriores está formado por una línea curva cerrada. A 85 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 estas figuras se les llaman planas porque parecieran que estuvieran acostadas sobre el papel. Vamos a ver cada una de estas figuras.

El cuadrado: Tiene cuatro lados iguales. Para dibujar el cuadrado siempre es bueno utilizar una regla milimetrada (con medidas), ya que los cuatro lados tienen que ser de igual longitud. Por consiguiente si sus cuatro lados son iguales sus cuatro ángulos deben ser del mismo tamaño, el cuadrado tiene los ángulos de 90°.

El ángulo se forma a partir de la unión de dos líneas. Al espacio comprendido entre esas dos líneas le llamamos ángulo y el punto de unión de las líneas le llamamos vértice.

El triángulo: El triángulo, como lo dice la palabra "tri", está formado por tres lados y tres ángulos. A toda figura geométrica formada por tres lados sea grande, pequeña, alta, achatada... se le da el nombre de triángulo.

Clasificación de los triángulos según sus ángulos Dependiendo de la longitud de sus lados y del tipo de ángulos el triángulo se clasifica en:

Equilátero: el Equilátero, cuando los tres lados son iguales Escaleno: el Escaleno, cuando sus tres lados son desiguales

86 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

Isósceles: el Isósceles, cuando tiene dos lados iguales entre ellos y uno desigual. Rectángulo: Si tienen un ángulo recto. Ángulo recto mide 90°

Acutángulo: Si tienen los tres ángulos agudos. Ángulo agudo mide menos de 90° Obtusángulo: Si tienen un ángulo obtuso. Ángulo obtuso mide mas de 90°

Entonces para dibujar un triángulo, necesitamos recordar que tiene tres lados, y tres ángulos que varían según el tamaño de las líneas y según el tipo de ángulos, y que todos los triángulos tienen tres vértices.

El rectángulo: Tiene cuatro lados, y si observas bien, iguales entre sí de dos en dos. Observa la imagen del rectángulo arriba, dos de sus lados son largos (estos están paralelos) comparados con los otros dos que son más cortos (también son paralelos).

Para dibujar el rectángulo siempre es bueno utilizar una regla, debido a las diferencias de longitud. Igualmente, los cuatro ángulos son de 90°. Para dibujar el rectángulo, necesitamos recordar que tiene dos lados iguales, largos y dos cortos también iguales entre sí, cuatro ángulos iguales, y cuatro vértices.

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Modulo matematicas 6

EL círculo: El círculo tiene varios elementos que se deben tomar en cuenta, el centro, el radio, y la circunferencia de la línea que limita al círculo. Para dibujar el círculo es necesario un compás, la apertura del compás dependerá de la longitud del radio, y éste a su vez determinará el tamaño del círculo. La punta del compás será el centro del círculo, y la mina del compás hará la circunferencia del círculo.

Para dibujar el círculo es necesario un compás, la apertura del compás dependerá de la longitud del radio, y éste a su vez determinará el tamaño del círculo. La punta del compás será el centro del círculo, y la mina del compás hará la circunferencia del círculo. Figuras Geométricas Existe una variedad de figuras geométricas, algunas sencillas y otras complicadas: Circulo Triángulo

Cuadrado

Paralelogramo

Trapecio

88 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6

Rombo

Octágono

Hexágono

Elipse

Pentágono

Áreas de figuras planas ÁREA DEL TRIÁNGULO El área del triángulo es igual al semiproducto de la base por su altura.

Ejemplo:

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Modulo matematicas 6

90 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 Áreas

¿Qué es el área de un polígono?

Laura y Javier están poniendo los azulejos de su cocina.

¿Quién

ha

cubierto

más

pared?

Las dos superficies cubiertas tienen formas diferentes. Para saber cuál de las dos es mayor utilizamos un cuadrado como unidad de medida; por ejemplo, un azulejo.

Por tanto, Laura lleva más pared cubierta. Para calcular el área de una superficie debemos compararla con otra que elegimos como unidad de superficie, y averiguar el número de unidades que contiene.

Área del rectángulo Teniendo en cuenta la definición que hemos visto para el área de una figura, podemos aplicarla a figuras sencillas y obtener expresiones generales para cada

una

de

ellas.

Observa cómo se deduce cuál es el área de un rectángulo:

⇒ El número de unidades es = 5 ⋅ 2 = 10 ⇓ es decir Área del Rectángulo = 5 ⋅ 2 = 10 u.a. En general: 91 Henry pierce cuero… http//henrypierce.iespana.es

Modulo matematicas 6 h b Área del Rectángulo = b ⋅ h Área del Cuadrado

⇒

El número de unidades es =

5 ⋅ 5 = 25

⇓ es decir Área del Cuadrado =

5 ⋅ 5 = 25 u.a. En general:

a

Área del Cuadrado = a ⋅ a = a2

a

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Modulo matematicas 6

ESTADISTICA BASICA

Organización de datos y su registro gráfico

¿Te has preguntado alguna vez para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio es mejor que otra? , ¿Cuál candidato puede ganar? Bueno, en realidad todo comienza con la recaudación de datos. Los datos es información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc. Hay tanta información que puede servirle a diferentes profesionales para sacar datos que son útiles en la toma de decisiones, para resolver problemas, o cualquier otro elemento que así lo amerite. Te preguntarás qué hacen estas personas con la información que han recogido. Te lo explicaré. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una tabla. Núm. (número del sujeto)

Color Edad (color preferido)

Inas (Inasistencia a clase en un mes)

Ani (Tipo de animal que tiene en casa)

1

8

azul

3

perro

2

6

verde

0

perro

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Modulo matematicas 6 3

7

rojo

7

gato

4

7

amarillo

4

perro

5

9

verde

3

ninguno

6

8

azul

1

gato

7

9

rojo

0

pez

8

8

morado

2

perro

9

6

azul

3

pez

10

7

verde

1

ninguno

Con esta tabla no se puede hacer mucho, pero es importante para registrar los datos. A partir de esta base de datos se puede hacer una tabla de frecuencias. Para determinar la frecuencia de "algo" o el número de veces que se produce un fenómeno (el fenómeno puede ser "el color preferido de los niños de un salón", "la edad de un grupo de sujetos", "el tipo de animal que tiene en casa", "la cantidad de inasistencias a clase", o cualquier otro fenómeno). Vemos ahora qué pasa con nuestra base de datos: Con los datos obtenidos elaboramos una serie de tablas. Con los datos de las tablas fabricamos unos gráficos (también llamados figuras) de frecuencia que podrás observar al lado de cada tabla. Pero esto no nos dice nada si no "analizamos" los datos. Analizar significa sacar conclusiones de la información expuesta. Este análisis está debajo de la tabla y el gráfico. Tabla 1. Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado Color

Frecuencia

Rojo

2

Azul

3

Verde

3

Morado

1

Amarillo

1

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Modulo matematicas 6

Figura 1. Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado. Se puede observar que los colores preferidos de me mayor frecuencia son el Azul y el Verde, cada uno con una frecuencia de 3. Tabla 2. Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado Inasistencia por días

Frecuencia

0 días

2

1 día

2

2 días

1

3 días

3

4 días

1

5 días

0

6 días

0

7 días

1

Figura 2. Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado Se puede observar de la Figura 2, que en la muestra de sujetos estudiados, tres días es la mayor frecuencia de inasistencia.

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Modulo matematicas 6 •

Ahora, recuerda lo siguiente, los investigadores nunca colocan las tablas y los gráficos juntos, porque en realidad dicen lo mismo, corrientemente se utiliza o una tabla y su análisis, o un gráfico y su análisis. Nota también que el titulo de la tabla va encima de ésta, mientras que el título de la figura va por debajo. El título, de ambas, sólo lleva la primera palabra en mayúscula y no va subrayado.

•

Creo que ha sido fácil lo que te enseñamos, ahora te toca a ti hacer una tabla de frecuencias y su respectiva figura. Puedes utilizar la información que te suministramos en la base de datos o recaudar tus propios datos en el salón. Averigua cuál es la frecuencia del tipo de animales que tienen los niños en tu salón o en la base de datos arriba.

Creo que ha sido fácil lo que te enseñamos, ahora te toca a ti hacer una tabla de frecuencias y su respectiva figura. Puedes utilizar la información que te suministramos en la base de datos o recaudar tus propios datos en el salón. Averigua cuál es la frecuencia del tipo de animales que tienen los niños en tu salón o en la base de datos arriba. Tabla 3. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado Tipo de animal

Frecuencia

Ninguno Perro Pez Gato

Figura 3. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado Todo lo que acabas de aprender es lo que se llama usualmente ESTADÍSTICA. Si quieres intentar algo un poco más avanzado, entonces vamos a utilizar los datos unos con otros. Vamos a ver, por ejemplo, la edad de los niños y el tipo de animal que tienen en casa, o el tipo de animal que tienen en casa y la edad de los niños. Utilizaremos la misma base de datos de antes. Núm. (número del

Edad Color (color

Inas (Inasistencia a

Ani (Tipo de animal que 96

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Modulo matematicas 6 preferido)

sujeto)

clase en un mes)

tiene en casa)

1

8

azul

3

perro

2

6

verde

0

perro

3

7

rojo

7

gato

4

7

amarillo

4

perro

5

9

verde

3

ninguno

6

8

azul

1

gato

7

9

rojo

0

pez

8

8

morado

2

perro

9

6

azul

3

pez

10

7

verde

1

ninguno

Tabla 4. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Edad de los niños

Tipo de animal que tienen en casa Ninguno

Perro

Pez

Gato

6 años

0

1

1

0

7años

1

1

0

1

8 años

0

2

0

1

9 años

1

0

1

0

Figura 4. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Tabla 5. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad Tipo de animal que

Edad de los niños 97

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Modulo matematicas 6 tienen en casa 6 años

7 años

8 años

9 años

Ninguno

0

1

0

1

Perro

1

1

2

0

Pez

1

0

0

1

Gato

0

1

1

0

Figura 5. Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad. Responde las siguientes preguntas: ¿Cuántos niños de 6 años tienen perros? ¿Cuántos niños de 8 años tienen peces? ¿Cuántos niños de 7 años tienen peces? ¿Cuántos niños de 9 años tienen gatos? ¿Cuántos niños de 8 años tienen perros? Con la elaboración de las tablas y gráficos se facilita obtener información. Podemos hasta decir que la mayoría de los niños de 8 años tienen perros en su casa. Claro al tuhacer esta misma actividad con los compañeros de tu salón obtendrás información más interesante, mientras más datos se recolectan, más interesante serán los resultados. Averigua: A cuántos niños en tu salón les gusta el deporte; a cuántos les gusta helados de chocolate, vainilla, o fresa; a cuántos les gusta hacer tarea o estudiar; cuáles son las tallas de zapato en tu salón; etc.

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