Cls_xii-mi_etapa_online 2019.pdf

Concursul de Matematic˘ a ”Valeriu Alaci” - 2019, etapa online Clasa a XII-a, Sect¸iunea Matematic˘ a-Informatic˘ a

(10p) 1. S˘a se calculeze n+1

Z lim

ex

n→∞ n

d) 12 ;

√

1 dx. 1 + e2x

f) Nu ¸stiu. p √ 3 4 (10p) 2. Fie funct ¸ ia f : [0, ∞) → R, f (x) = 1 + x. S˘a se determine coeficientul lui f (x)13 din expresia R f (x) dx. a) 2;

a)

b) 1;

12 13 ;

c) 0;

1 13 ;

b)

c)

3 13 ;

e) e;

d)

11 13 ;

4 13 ;

e)

f) Nu ¸stiu . Rx

(10p) 3. Se consider˘ a funct¸iile f : R → R, f (x) =

0

cos √  π R2 x arccos tdt. S˘ t sin 2tdt, ¸si g : 0, 2 → R, g(x) = a 0

se calculeze f (x) + g(x) pentru toate valorile lui x din intervalul [0, π/2]. √ √ a) x arcsin x; b) x arccos x; c) x arcsin x; d) π4 ; e) π2 ; f) Nu ¸tiu. Rπ x+cos x (10p) 4. S˘a se calculeze valoarea integralei π2 √sin dx. Coeficientul lui π ˆın expresia obt¸inut˘ a este 3 sin x+cos x √

a)

√

3 12 ;

b)

√

3+1 24 ;

√

3+1 12 ;

c)

√

3

3 24 ;

d)

3−1 24 ;

e)

1 x(1+ln x) .

(10p) 5. Se consider˘ a funct¸ia f : [1, ∞) → R, f (x) = √

proprietatea c˘a F (e

e−1 )

f) Nu ¸stiu. S˘a se determine primitiva F a funct¸iei f cu

= 2.

a) F (x) = ln(1+ln x); b) F (x) = ln(1+ln x)− 12 ; c) F (x) = ln(1+ln x)+ 32 ; d) F (x) = ln(1+ln x)+2; e) F (x) = ln(1 + ln x) − 23 f) Nu ¸stiu . Rπ (10p) 6. Fie In = 02 cos2n xdx, n ∈ N∗ . Stabilit¸i care din urm˘atoarele relat¸ii este adev˘arat˘a a)

I15 I14

=

29 30 ;

b)

I15 I14

=

15 14 ;

c)

I15 I14

=

14 15 ;

d) I15 · I14 =

15 14 ;

e)

I15 I14

=

30 29 ;

f) Nu ¸stiu .

(10p) 7. Pe mult¸imea M = [2, ∞) se consider˘a legea de compozit¸ie definit˘a prin x ? y = xy − 2x − 2y + 5 + em − mem , m ∈ R. S˘ a se determine valorile lui m pentru care M este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ?. a) m = 0; b) m = 1; c) m ≥ 2; d) m < 0; e) nu exist˘a m ; f) nu ¸stiu. (10p) 8. Pe mult¸imea M = R\{ 32 } se define¸ste legea de compozit¸ie x?y = 2xy −3x−3y +6. S˘a se determine x ∈ M pentru care x ? ... ? x} = 32 − 22018 . | ? x {z 2019ori

a) x = 1;

b) x = 6;

c) x = 23 ;

d) x = 25 ;

(10p) 9. Fie G = (0, ∞) \ {1}, x ? y = determine n ∈ N astfel ˆıncˆ at

x2 ln y ,

e) x = 12 ;

f) nu ¸stiu.

∀x, y ∈ G. Not˘am cu e∗ elementul neutru al legii ?. S˘ a se

(e∗ ? e∗ ) · (e2∗ ? e∗ ) · (e3∗ ? e∗ ) · ... · (en∗ ? e∗ ) = a) n = 10;

b) n = 11;

c) n = 17;

√
153 e .

e) nu exist˘a n ∈ N;

d) n = 21;

f) nu ¸stiu .

(10p) 10. Fie (G, ·) un grup unde G = {z ∈ C|z 3 = 1}. S˘a se calculeze a = ε−15 + ε−23 + ε−46 , ε ∈ G. a) a = 1;

b) a = −1;

c) a = i;

d) a = 1 + i;

(10p) 11. ˆIn inelui (Z6 , +, ·) s˘ a se calculeze a =

b 12019

e) a = 0; +b 22019

1

f) nu ¸stiu .

+b 32019

+b 42019 + b 52019 .

a) b 0;

b) b 1;

c) b 2;

d) b 3;

e) b 4;

f) nu ¸stiu .

(10p) 12. Se consider˘ a mult¸imea  0  a b A=  b 0 a  b c

  b 0  b 0  |a, b, c ∈ Z2  a

Atunci num˘arul elementelor lui A este a) 6;

b) 3;

c) 4;

d) 8;

e) 16;

f) nu ¸stiu.

R˘aspunsuri: 1. c; 2. a; 3. d; 4. b; 5. c; 6. a; 7. a; 8. e; 9. c; 10.e ; 11. d; 12. d.

2