Rezolvare Detaliata Model Subiecte Bacalaureat 2012 M1 (1).pdf

www.matematicon.ro

Bacalaureat Model subiecte Bacalaureat 2012 M1 Subiecte rezolvate – Model subiecte Bacalaureat 2012, M1

Gasiti mai jos rezolvarea detaliata a subiectelor model Bacalaureat 2012, M1 Subiectul I 1. Determnati numarul elementelor multimii A={x  Z x  1  24 }. Rezolvare:

x  1  24  -24  x + 1  24  1  -25  x  23  x  [-25, 23]. A = [-25, 23]  Z = {-25, -24, -23, ... , -1, 0, 1, ... , 22, 23}. Card A = 49 (multimea A contine 49 elemente). 2. Determinati coordonatele punctelor de intersectie ale dreptei y = 2x – 1 cu parabola y = 2x 2 -3x + 1. Rezolvare: Coordonatele punctelor de intersectie ale celor doua grafice sunt date de solutiile sistemului:  y  2x  1 y  2x  1 y  2x  1   2  2 2  y  2x  3x  1  2x  1  2x  3x  1  2x  5 x  2  0

2x 2 - 5x + 2 = 0,  = 25 – 16 = 9, x 1, 2 =

53 1  x 1 = 2, x 2 = . 4 2

1 1   x  2  x  2 sau x  x  sau  2 2.  y  3  y  2x  1  y  0 1  Deci punctele de intersectie sunt M(2, 3) si N  ,0  . 2 

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro 3. Rezolvati, in multimea numerelor reale, ecuatia

3

1  7x  1  x .

Rezolvare: Indicele radicalului fiind impar nu se impun conditii expresiei 1 + 7x. 3

1  7x  1  x 

 1  7x  3

3

 1  x  1 + 7x = 1 + 3x 2 + 3x + x 3  x 3 + 3x 2 - 4x = 0  3

 x(x 2 + 3x – 4) = 0  x 1 = 0 sau x 2 + 3x – 4 = 0,  =9 + 16 = 25, x 2, 3 =

 3 5  x 2 = -4, x 3 = 1. 2

Deci x 1 = 0, x 2 = -4, x 3 = 1. S = {-4, 0, 1}. 4. Se considera multimea A ={1, 2, ... , 10}. Determinati numarul de submultimi cu 3 elemente ale multimii A, submultimi care contin exact 2 numere impare. Rezolvare: Multimea A contine 5 numere impare si 5 numere pare. O submultime a lui A care contine 3 elemente dintre care exact 2 sunt numere impare va contine si un numar par. Numarul submultimilor lui A care contin exact un numar par este C 15 = 5. Completam fiecare din aceste submultimi cu 2 numere impare in C 25 =

54 = 10 moduri. 1 2

Deci, in total, numarul submultimilor lui A care contin exact 2 numere impare este 5·10 = 50. 5. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului [AB], unde A(1, -2) si B(3, 4). Rezolvare: Mediatoarea segmentului [AB] este dreapta perpendiculara pe segment care trece prin mijlocul lui. Fie M mijlocul segmentului [AB]  x M =

xA  xB 1  3 y  yB  2  4 = = 2 si y M = A = = 1 2 2 2 2

 M(2, 1). Daca m este panta dreptei AB atunci m =

yB  yA 4  2 6 = = = 3. xB  xA 3  1 2

Fie m' panta mediatorei segmentului [AB]. Atunci m' = -

1 1 =- . m 3

1 Ecuatia mediatorei segmentului [AB] este y - y M = m'(x - x M )  y – 1 = - (x – 2)  3

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro  3y – 3 = - x + 2  x + 3y – 5 = 0. 1   6. Stiind ca x   0,  si cos 2x = , calculati sin x. 3  2

Rezolvare: Stim ca, cos 2x= cos 2 x - sin 2 x si sin 2 x + cos 2 x = 1  cos 2x = 1 - 2 sin 2 x  2 sin 2 x = 1 – cos x 1 1 2 1 .  2 sin 2 x = 1 -  2 sin 2 x =  sin 2 x =  sin x = 3 3 3 3 1 3   x   0,   sin x > 0  sin x = = . 3 3  2

Subiectul II

 x  my  m 2 z  0  1. Se considera sistemul de ecuatii mx  m 2 y  z  0 unde m  R.  2 m x  y  mz  0 a) Determinati valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul. b) Aratati ca, pentru nici o valoare a lui m, sistemul nu are o solutie (x 0 , y 0 , z 0 ) cu x 0 , y 0 , z 0 numere reale strict pozitive. c) Aratati ca rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m R. Rezolvare:

 1 m m2    a) Matricea sistemului este A =  m m 2 1   2  1 m m 1 m m2 1  m  m2 1  m  m2 i) det(A) = m m 2 1  m m2 m2

1

1  (1 + m + m ) m ii )

2

m2

= (1 + m + m 2 )

m2

m 0 m m 2

1  m2

1

1  m  m2 1 2 1 = (1 + m + m ) m m

m2

1 m2 1

0 m2  m 1  m 1  m =(1 + m + m 2 ) = 1  m2 m  m2 2 mm

 m(1  m ) 1 m m 1 =(1 + m + m 2 )(1 - m)(1 - m) = 2 1 m m(1  m ) 1 m m

= (1 + m + m 2 )(1 - m) 2 (-m 2 - 1 – m) = - (1 + m + m 2 ) 2 (1 - m) 2 = - [(1 + m + m 2 )(1 - m)] 2 = = - (1 - m 3 ) 2 . det (A) = 0  - (1 - m 3 ) 2 = 0  m = 1. i) am adunat la prima linie celelalte 2 linii, ii) am scazut prima coloana din celelalte doua.

www.matematicon.ro

1 1 = m

www.matematicon.ro b) Daca det(A)  0 atunci sistemul are solutie unica solutia banala (0, 0, 0)  m  1 sistemul are solutie unica (0, 0, 0). x  y  z  0  Daca m = 1 sistemul devine  x  y  z  0 care se reduce la o singura ecuatie cu 3 necunoscute: x  y  z  0  x + y + z = 0 care nu poate avea solutii strict pozitive (suma a oricaror 3 numere strict pozitive este tot un numar strict pozitiv, deci diferit de 0). c) Daca m = 1  det(A) = 0 si toti minorii de ordinul 2 sunt de forma

1 1 = 1 – 1 = 0. Deci toti 1 1

minorii de ordin 2 sunt nuli  rang A = 1. Daca m  1  det(A)  0  rang A = 3. Deci  m  R rang A  2. 1 (x + y – xy + 1). 2 a) Verificati daca legea de compozitie „*” este asociativa. b) Aratati ca legea de compozitie „*” admite element neutru. c) Rezolvati ecuatia x*x*x = 3.

2. Pe multimea R se defineste legea de compozitie x*y =

Rezolvare: Mai intai sa aducem la o forma mai simpla expresia prin care este data legea de compozitie: 1 1 1 1 x*y = (x + y – xy + 1)= (x – xy + y – 1 + 1 +1)= [x(1 – y) – (1 – y) + 2]= [(1 - y)(x – 1) + 2]= 2 2 2 2 1 1 = (1 – y)(x – 1) + 1 = - (x – 1)(y – 1) + 1. 2 2 a) asociativitatea: Fie x, y, z R oarecare 1 1 1 (x*y)*z = - (x*y – 1)(z – 1) + 1 = - [(- (x – 1)(y – 1) + 1) – 1](z – 1) + 1 = 2 2 2 1 1 1 = - [- (x – 1)(y – 1)(z – 1)] + 1 = (x – 1)(y – 1)(z – 1) + 1 2 2 4 1 1 1 x*(y*z) = - (x – 1)(y*z – 1) + 1 = - (x – 1)[(- (y – 1)(z – 1)+1) -1] + 1 = 2 2 2 1 1 1 = - (x – 1)[- (y – 1)(z – 1)] + 1 = (x – 1)(y – 1)(z – 1) + 1 2 2 4 Deci (x*y)*z = x*(y*z)  x, y, z R  legea ”*” este asociativa. 1 1 b) Fie e R si x  R oarecare. e*x = x  - (e – 1)(x – 1) + 1= x  - (e – 1)(x – 1) – (x – 1)=0 2 2 1 1 1 1 1 1  (x – 1)[- (e – 1) - 1]= 0  x  R  - (e – 1) - 1= 0  - e + - 1= 0  - e - =0  e = -1 2 2 2 2 2 2 Deci  x  R avem (-1)*x = x. Verificam ca x*(-1) = x  x  R.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro 1 (x – 1)((-1) – 1) + 1= x  2(x – 1) + 2 = 2x  2x – 2 + 2 – 2x = 0  0 = 0 2 adevarata. Deci x*(-1) = x  x  R. Deci e = -1 este elementul neutru al legii „*”. 1 1 c) x*x*x = 3  (x – 1)(x – 1)(x – 1) + 1 = 3  (x – 1) 3 = 2  (x – 1) 3 = 8  x – 1 = 2  4 4 x=3 Am aplicat direct formula determinata mai sus – la demonstrarea asociativitatii legii – privind compunerea a 3 numere.

x*(-1) = x  -

Subiectul III 1. Se considera functia f: R  R, f(x) = x 3 - 3x + 2. f ( x) a) Calculati lim . x   f (  x ) b) Demonstrati ca functia f este descrescatoare pe intervalul [-1, 1]. c) Determinati m  R pentru care ecuatia f(x) = m are trei solutii reale distincte. Rezolvare: a) f(-x) = - x 3 + 3x + 2. f ( x) x 3  3x  2 = lim = lim lim x   f (  x ) x    x 3  3x  2 x  

3 2  3 2    x3 1  2  3  1  2  3  1 0  0 x x  x x   = lim  = = -1. x   3 2 3 2  1 0 0    3 x 1 2  3  1 2  3  x x  x x   

b) Studiem semnul lui f'(x) pe R. f'(x) = 3x 2 - 3. f'(x) = 0  3x 2 - 3 = 0  x 2 = 1  x 1, 2 =  1, f(-1) = -1 + 3 + 2= 4, f(1)= 1 – 3 + 2= 0

lim f(x) = -  , lim f(x) = +  .

x  

x  

x - f'(x) +

+

+

+

-1 0 4

-

-

1 0

+

+

+

+

+ + +

f(x) -

0

Pe intervalul [-1, 1] f'(x)  0. Deci f este descrescatoare pe intervalul [-1, 1]. c) Solutia1. Observam ca lim f(x) = -  , f(-1) = 4, f(1) = 0 si lim f(x) = +  x  

x  

Analizand tabloul de variatie al functiei f observam ca dreapta de ecuatie y = m taie graficul functiei in 3 puncte distincte daca m (0, 4). Cele 3 solutii vor fi x 1  (-  , -1), x 2  (-1, 1) si x 3  (1, +  ).

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro Solutia 2. Consideram functia g: R  R, g(x) = f(x) – m, m R. g'(x) = f'(x) si lim g(x)= lim f(x)= -  , g(-1)= f(-1) – m = 4 - m, g(1)= f(1) - m= - m si lim g(x)= lim f(x)= +  x  

x  

x  

x g'(x)=f'(x)

- +

g(x)=f(x) - m

-

+

-1 0 4-m

+

-

1 0

-

+

x  

+

+

+ + +

-m

Ecuatia g(x)=f(x) – m are 3 solutii distincte daca pe intervalele (-  , -1), (-1, 1), (1, +  ) functia g(x) isi schimba semnul (folosim sirul lui Roll). Astfel cum lim g(x)= -  trebuie ca g(- 1) >0  4 – m > 0  m < 4. x  

Atunci avem o solutie x 1  (-  , -1), Daca g(- 1) >0 trebuie ca g(1) < 0  - m < 0  m > 0. Atunci avem o solutie x 2  (-1, 1). Daca g(1) < 0 , cum lim g(x)= +   avem o solutie x 3  (1, +  ). x  

Deci daca m  (0, 4) ecuatia f(x) = m are 3 solutii x 1  (-  , -1), x 2  (-1, 1) si x 3  (1, +  ). 2. Se considera sirul (I n ) n1 , I n =

1

 (1  x 0

2 n

) dx .

a) Calculati I 2 . b) Demonstrati ca sirul (I n ) n1 este convergent. c) Demonstrati (2n + 1)I n = 2nI n1 , pentru orice n  2. Rezolvare:

 x3 x5  1 1 1 8  a) I 2 =  (1  x ) dx =  (1  2 x  x )dx =  x  2   = 1 - 2 + = 0 0 3 5  0 3 5 15  b) Pentru a arata ca sirul (I n ) n1 este convergent trebuie sa aratam ca este monoton si marginit. 1

I n1 - I n = =-

1

x 0

2

1

2 2

1

 (1  x 0

2 n 1

)

dx -

2

1

 (1  x 0

4

2 n

) dx =

1

 [(1  x 0

2 n 1

)

1

 (1  x 2 ) n ]dx =  (1  x 2 ) n (1  x 2  1)dx = 0

2 n

(1  x ) dx < 0 deoarece:

x  [0, 1]  x 2  0 si (1 - x 2 ) n  0. Deci x 2 (1 - x 2 ) n  0 

1

x 0

2

(1  x 2 ) n dx  0 

1

 -  x 2 (1  x 2 ) n dx  0  I n1 - I n  0  I n1  I n  n  N, n  1  sirul (I n ) n1 este 0

descrescator. x  [0, 1]  (1 - x 2 ) n  0 

1

 (1  x 0

2 n

) dx  0  I n  0  n  N, n  1  sirul (I n ) n1 este

marginit inferior de 0. Deci sirul (I n ) n1 este descrescator si marginit inferior rezulta conform Teoremei lui Weisstras ca sirul este convergent. c) I n =

1

 (1  x 0

1

) dx =  (1  x 2 )(1  x 2 ) n 1 dx =

2 n

0

1

1

0

0

1

 (1  x 0

2 n 1

)

dx -

1

x 0

2

(1  x 2 ) n 1 dx =

= I n1 -  x 2 (1  x 2 ) n1 dx  I n = I n1 -  x 2 (1  x 2 )n 1 dx  I n = I n1 +

www.matematicon.ro

1 1 x[ 2nx(1  x 2 ) n 1 ]dx  0 2n

www.matematicon.ro 1 1 1 1 x[(1  x 2 ) n ]' dx  I n = I n1 +  x(1  x 2 ) n 10   (1  x 2 ) n dx    0 0  2n 2n  1  I n = I n1 + 0  0  I n   2nI n = 2n I n1 - I n  (2n + 1)I n = 2nI n1 ,  n  2. 2n

 I n = I n1 +

www.matematicon.ro