Clase 6 Analisis Factorial

Análisis Factorial Diseño Experimental Clase 6

Más de un factor • Muchos experimentos incluyen más de un factor • Investigador está interesado en el efecto de más de una variable independiente – Especie y Tratamiento

• Se puede probar por interacción

Factoriales (2x3) • Unidades experimentales se asignan a combinación de dos o más factores • Una unidad recibe un nivel de cada factor de forma simultánea – Factor A: dos niveles – Factor B: tres niveles A1 B1

B2

B3

A2

n111, n112,…, n11k

n121, n122,…, n12k

n211, n212,…, n21k

n221, n222,…, n22k

n311, n312,…, n31k

n321, n322,…, n32k

Factorial y CRD • Factoriales se realizan como CRD • Se asignan todas UE a diferentes tratamientos al azar • El número de tratamientos es la multiplicación de los niveles de cada factor – 2x3 – 2x5

Ejemplo • Germinación de semillas de Guanacaste según la edad del fruto y cantidad de agua utilizada. – 30 lotes en 10 grupos de 3 – 100 semillas por lote – Lotes se asignan al azar a cada tratamiento – Agua 2 niveles – Tiempo 5 niveles – Diseño 2x5

Edad del Fruto (Semanas)

H 2O

(ml) 1

1 1 7 9 13 2 20

4

8

1 9 6 8 3 3

3 6 9 1 6 1 1 7 7 3

1 35 37 9 28 45 3 5 1 11 5 9 10 15 9 9 25

Diseño Balanceado • Los factoriales tienen severos problemas con diseños desbalanceados • Balanceado: mismo número de réplicas por tratamiento • Por ahora, todos serán balanceados

Modelo • Modelo para un factorial de dos vías (i.e. dos factores) • α: efecto factor 1 • β: efecto factor 2 • αβ: interacción • ε: error

yijk = µ + αι + β j + αβ ij + ε ijk

Edad del Fruto (Semanas)

H2O

(ml)

4

8

3

1 1 1 9 6 8 3 3

3 7 1 6 1 1 7 7 3

6

9

12

4

11 9 6

7 16 17

9 19 35

13 35 28

20 37 45

20.47

8

8 3 3

1 7 3

5 9 9

1 10 9

11 15 25

7.93

6.67

8.50

16.00

25.50

Edad del Fruto (Semanas)

H2O

(ml)

1

6 9 1 9 3 5 5 9 9

9

12

13 35 28

20 37 45

1 10 9

11 15 25

14.33

y11• y12• y13• y14• y15• y21• y22• y23• y24• y25• 8.7

13.3 21.0 25.3

34.0

4.7

3.7

17.0

7.7

6.7

SS • Las SS se particionan en varios componentes • Componentes naturales – Efecto principal del primer factor – Efecto principal del segundo factor – Interacción

Cálculos simplificados • Asumiendo que primer factor es A con a niveles • Segundo factor es B con b niveles • Interacción tiene ab niveles

SS A = ∑ n ⋅ b ( yi•• − y••• )

2

i

SS B = ∑ n ⋅ a ( y• j • − y••• )

2

j

ν A = a −1 ν B = b −1 SS AB

= ∑∑ n ( y i

j

ij •

ν AB = ( a − 1)( b − 1)

− y i • • − y • j • + y• • •

)

2

Tabla e hipótesis Fuente g.l. de variación A a-1

SS

MS SSA/glA

B

b-1

SSB/glB

AB

(a-1)(b1) (n-1)ab

SSAB/glA

Error

B

F

Tabla e hipótesis H o : α1 = α 2 =  = α a = 0 F=

MS A

MS Error

H o : β1 = β 2 =  = β b = 0 F = MS B

MS Error

H o : αβ11 = αβ12 =  = αβ ab = 0 F = MS AB

MS Error

Orden en el modelo!!! • Cuando el experimento está balanceado, el orden en el modelo no importa: – y = α + β + αβ + ε – y = β + α + αβ + ε

• Si el modelo está desbalanceado…SÍ importa!!!!

Ejemplo Centeno Fuente de Variación

SS

df

MS

F

P-value

Agua

1178.13

1

1178.133

19.72321

0.000251

Tiempo

1321.13

4

330.2833

5.529297

0.003645

Interaccion

208.87

4

52.21667

0.874163

0.496726

Error

1194.67

20

59.73333

Total

3902.8

29

Interpretación de Interacción • Si efecto de un factor sobre variable respuesta, depende del nivel de otro factor…hay interacción • Factores no son independientes • Componentes naturales – Sólo importa interacción

Figura de Interacción • Interacción se estudia de forma gráfica • Norma de Reacción – Variable respuesta eje-y – Primer factor en eje-x – Segundo factor series diferente color – Se grafican los promedios de celda

Edad del Fruto (Semanas)

H2O

(ml)

1 1 1 9 6 8 3 3

4

8

3 7 1 6 1 1 7 7 3

6 9 1 9 3 5 5 9 9

9

12

13 35 28

20 37 45

1 10 9

11 15 25

y11• y12• y13• y14• y15• y21• y22• y23• y24• y25• 8.7

13.3 21.0 25.3

34.0

4.7

3.7

17.0

7.7

6.7

40.0 1w

Semillas germinadas

35.0

3w

30.0

6w

25.0

9w

20.0

12w

15.0 10.0 5.0 0.0 4ml

8ml H2O

Semillas germinadas

40.0 35.0

4ml

30.0

8ml

25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 1w

3w

6w Tiempo

9w

12w

y•1• y 2• •

y1••

B1

y•2• A1

B2 A2

Multifactoriales • Análisis factorial puede ser extendido a más factores (ANDEVA de varias vías) – 2x2x2 – 2x4x5x4

• Requiere más combinaciones • Número de réplicas aumenta exponencialmente

Multifactoriales • Si modelo balanceado, nomenclatura continúa de forma incrementada – yijklm...

• Multifactoriales tienen interacciones de varios órdenes: – 2 orden: AB, AC, AD, BC, BD – 3 orden: ABC, ABD, BCD – 4 orden: ABCD

Interacciones • Interacciones de segundo y tercer orden son interpretables gráficamente – Múltiples de 2D – Figuras 3D

• Interacciones superiores al quinto orden tienen muchas interacciones: – una 5°, cinco 4°, diez 3°, diez 2° y cinco naturales. – Gráficamente: Figuras 5D