Chuyen De Tuyen Tap De Thi Dai Hoc Thu O Cac Trung Tam Luyen Thi

I. §Æt vÊn ®Ò Trong ch¬ng tr×nh to¸n ë trêng phæ th«ng viÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc lµ mét vÊn ®Ò cã thÓ nãi lµ phøc t¹p nhÊt, nã rÌn cho ngêi lµm to¸n trÝ th«ng minh, sù s¸ng t¹o, ngoµi ra cßn cã c¶ sù khÐo lÐo, mçi kÕt qu¶ cña nã lµ mét c«ng cô s¾c bÐn cña to¸n häc. Nhng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc th× kh«ng ®¬n gi¶n chót nµo, nhÊt lµ ®èi víi häc sinh, c¸c em tá ra lóng tóng khi chän cho m×nh mét c«ng cô ®Ó chøng minh hiÖu qu¶ nhÊt. §· cã rÊt nhiÒu tµi liÖu ®a ra mét sè ph¬ng ph¸p rÊt tèt ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ch¼ng h¹n: - Ph¬ng ph¸p sö dông c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc. - Ph¬ng ph¸p sö dông tam thøc bËc 2. - Ph¬ng ph¸p sö dông nh÷ng bÊt ®¼ng thøc kinh ®iÓn. - Ph¬ng ph¸p sö dông ph¶n chøng. - Ph¬ng ph¸p sö dông quy n¹p. - Ph¬ng ph¸p sö dông ®¹o hµm. - Ph¬ng ph¸p sö dông h×nh häc. - Ph¬ng ph¸p sö dông hµm låi. MÆc dï vËy song vÉn lµ cha ®ñ bëi s¸ng t¹o cña mçi ngêi lµm to¸n lµ v« h¹n. ChÝnh v× vËy trong bµi viÕt nµy t«i muèn ®Ò cËp vÒ "Mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè " nh»m trang bÞ thªm cho häc sinh mét sè c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ ®· ®îc mét sè s¸ch cña c¸c t¸c gi¶ ®Ò cËp nh gi¸o s Phan §øc ChÝnh, gi¸o s Phan Huy Kh¶i, phã tiÕn sÜ Vò ThÕ Hùu... viÕt. Nhng do cÊu tróc môc tiªu cña c¸c cuèn s¸ch ®ã mµ c¸c t¸c gi¶ ®Òu kh«ng ®i s©u vµo ph¬ng ph¸p nµy hay nãi c¸ch kh¸c lµ cha thËt cô thÓ ho¸, hÖ thèng ho¸ nã. Lµ mét gi¸o viªn gÇn 20 n¨m gi¶ng d¹y víi c¸c ®èi tîng häc sinh kh¸ giái cña c¸c líp chän t«i ®· ph©n chia ph¬ng ph¸p nµy thµnh 5 d¹ng bµi tËp. Nh»m cung cÊp cho häc sinh nhËn ra c¸c dÊu hiÖu ban ®Çu ®Ó thùc hiÖn c¸c bíc lîng gi¸c ho¸ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè, ®Ó råi dïng c¸c kÕt qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y ë c¸c líp chän khèi 11 trêng THPT t«i nhËn thÊy viÖc ph©n chia d¹ng cña t«i lµ hîp lý, l«gÝc cô thÓ, cã thÓ nhanh chãng t×m ra ph¬ng ph¸p chøng minh ®îc bÊt ®¼ng thøc b»ng c¸ch ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p t duy nµy cña t«i. T«i sÏ tr×nh bµy vÒ hiÖu qu¶ cña ph¬ng ph¸p nµy ®èi víi häc sinh ë phÇn 4 kÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn. 1

C¸c tµi liÖu tham kh¶o 1. BÊt ®¼ng thøc cña gi¸o s Phan §øc ChÝnh - NXB Gi¸o dôc 1995. 2. C¸c bµi to¸n chän läc vÒ bÊt ®¼ng thøc 2 tËp cña gi¸o s Phan Huy Kh¶i - NXB Gi¸o dôc Hµ Néi 2000. 3. Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ cña PTS Vò ThÕ Hùu - NXB Gi¸o dôc 2002.

2

II. gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m

1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n +

+ 1 + tg2α =

1 π (α ≠ + kπ) 2 2 cos α

kπ ) 2

1

cos 2 α + sin 2 α = 1

+ tgα . cotgα = 1 (α ≠ 1 (α ≠ kπ) sin 2 α

+

+

cotg2α

=

1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β ) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β ) = sinα cosβ ± cosα sinβ + tg (α ± β ) = + cotg(α ± β )

tg α±tg β π (α; β≠ +kπ) 1 tg αtg β 2 c o t gα .c o t gβ 1 (α; β ≠ kπ) = cot gα ± c o t gβ

1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tg α π π (α ≠ + k ) 2 4 2 1 − tg α

+ tg2α =

+ cotg2α =

cot g 2 α −1 2 cot gα

(α ≠

kπ ) 2

+ sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tg α − tg 3α π π (α ≠ + k ) 3 6 3 1 − 3tg α

+ tg3α =

1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 + cos 2α 2 1 − cos 2α π (α ≠ + kπ) 1 + cos 2α 2

+ cos2α = + tg2α =

+ sin2α =

1 − cos 2α 2

1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α +β α −β + cosα + cosβ = 2cos 2 cos 2 α +β α β + cosα - cosβ = - 2sin 2 sin 2 α +β α β + sinα + sinβ = 2sin 2 cos 2

α +β α −β + sinα - sinβ = = - 2cos 2 sin 2

+ tgα ± tgβ =

sin( α±β) π (α; β ≠ + kπ) cos α. cos β 2

3

1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1

+ cosα .cosβ = 2 [cos( α + β) + cos( α − β)] 1

+ sinα .sinβ = 2 [cos( α − β) + cos( α + β)] 1

+ sinα .cosβ = 2 [sin( α +β) + sin( α − β)] 2. Néi dung cña s¸ng kiÕn

Qua mét qu¸ tr×nh nghiªn cøu tham kh¶o bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ë nhiÒu s¸ch ®Òu ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c rÊt m¬ hå cha cã hÖ thèng, cha ph©n chia thµnh c¸c d¹ng bµi tËp. Víi c¸c kiÕn thøc vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c mµ t«i ®îc biÕt t«i ®· ph©n chia thµnh 5 d¹ng bµi tËp c¬ b¶n mµ t«i sÏ giíi thiÖu sau ®©y. Trong mçi d¹ng bµi tËp t«i ®Òu ®a ra ph¬ng ph¸p chän c¸ch ®Æt ®Ó häc sinh nhanh chãng chuyÓn 1 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè ph¶i chøng minh vÒ biÓu thøc lîng gi¸c sau ®ã biÕn ®æi ®Ó ®¸nh gi¸ bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c b»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c ®¬n gi¶n nh: | sin α | ≤ 1;| cos α | ≤1; sin 2 n α ≤ 1; cos 2 n α ≤ 1 ( n ∈ N *)

* §Ó häc sinh n¾m kiÕn thøc mét c¸ch hÖ thèng t«i ®· lËp b¶ng mét sè dÊu hiÖu nhËn biÕt sau:( Gi¶ sö c¸c hµm sè lîng gi¸c sau ®Òu cã nghÜa) BiÓu thøc ®¹i sè

BiÓu thøc lîng gi¸c t¬ng tù

1 + x2

1 + tg2t

4x3 - 3x

4cos3t - 3cost

2x2 - 1

2cos2t - 1

2x 1−x2 2x 1+ x2

2 tgt 1 − tg 2 t

2 tgt 1 − tg 2 t

= tg2t

2 tgt 1 +tg 2 t

2 tgt 1 +tg 2 t

= sin2t

x +y 1 −xy

tg α+tg β 1 −tg αtg β

x2 - 1

1 −1 cos 2 α

C«ng thøc lîng gi¸c

1+tg2t =

1 cos 2 t

4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - 1 = cos2t

tg α+tg β = 1 −tg αtg β

tg(α +β ) 1 −1 = tg2α cos 2 α

... .... ...... mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh 4

bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2α + cos2α = 1

1) Ph¬ng ph¸p:

 x = s i αn a) NÕu thÊy x + y = 1 th× ®Æt  víi α ∈ [0, 2π ]  y = c oα s  x = a s i αn b) NÕu thÊy x + y = a (a > 0) th× ®Æt  víi α  y = a c oα s 2

2

2

2

2

∈ [0,

2π ]

2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng:

− 2≤

S = a(c+d) + b(c-d) ≤

2

Gi¶i:

 a = s i un  c = s i nv §Æt  vµ  ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)  b = c o us  d = c o vs ⇒ S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) cos(u+v) ⇔

π  S = 2 sin (u + v) −  ∈[− 2 , 2 ] ⇒ − 2 ≤ S = a (c + d ) + b(c − d ) ≤ 2 (®pcm) 4  2

2

VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:

2

2

 2 1   2 1  25 a + 2  + b + 2  ≥ 2 a   b  

Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π . ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2

2

2

1   2 1   2 1  2 1  2  a + 2  +  b + 2  =  cos α +  +  sin α + 2  2 a   b   cos α   sin α  

2

1 1 cos4 α + sin 4 α 4 4 + + 4 = cos α + sin α + +4 = cos α + sin α + cos4 α sin 4 α cos4 α. sin 4 α 4

4

 4 4 = ( cos α + sin α )1 + 

1  +4 4 cos α. sin α  4

5

 2 2 2 2 = [( cos α + sin α ) − 2 cos α sin α] 1 + 

  2 = 1 − sin 2α 1 + 

1 2



1  +4 4 cos α. sin α  4

16  17 25  1  + 4 ≥ 1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm) 4 2 2 sin 2α   2

B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét bíc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A=

a 2 −b 2 +2

3ab −2(1 +2

3 )a +( 4 −2

3 ) b +4

3 −3 ≤2

Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 =1

§Æt

A

=

 a 1=− s α i  an1+= s α i n 2 2  ⇒  ⇒ A = s −α i c n +α o2 3s α sc i α no s  b− 2= c α o b = 2+ cs α o s 3 sin 2α−cos 2α = 2

3 1 π sin 2α− cos 2α = 2 sin( 2α− ) ≤ 2 2 2 6

VD4: Cho a, b tho¶ m·n :

5a +12b

+7

(®pcm)

= 13

Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1

 a − 1 = R s i αn §Æt  víi R ≥  b + 1 = R c oα s Ta cã: ⇔

 a = R s αi + n1 2 2 2 0⇔ ⇔ (a − )1 + (b + )1 = R   b = R c α o− 1 s

5a +12 b +7 =13 ⇔5(R sin α+1) +12 ( R cos α−1) +7 =13

5R sin α + 12 R cos α = 13 ⇔1 = R

5 12 5  sin α + cos α = R sin  α + arccos  ≤R 13 13 13  

Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) 6

II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin α |≤1 ; | cos α | ≤ 1

1. Ph¬ng ph¸p:   π π  x = sin α khi α ∈  − 2 ; 2      x = cos α khi α ∈ [ 0; π ]

a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt

  π π  x = m sin α khi α ∈  − 2 ; 2    b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt   x = m cos α khi α ∈ [ 0; π ]

2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π ], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα )p + (1-cosα )p =

p

p

α α α    2 α 2 α p 2p α + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p  2 cos  +  2 sin  = 2  cos 2 2 2 2 2 2       

(®pcm) VD2: Chøng minh r»ng:

3 − 2 ≤ A = 2 3a2 + 2a 1 − a2 ≤ 3 + 2

Gi¶i: Tõ ®k 1 - a2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nªn §Æt a = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ A= 2

1 −a 2

= sinα . Khi ®ã ta cã:

3a 2 + 2a 1 − a 2 = 2 3 cos 2 α + 2 cos αsin α = 3 (1 + cos 2α) + sin 2α

 3  1 π  cos 2α + sin 2α + 3 = 2 sin  2α +  + 3 ⇒ 3 −2 ≤ A ≤ 3 +2 (®pcm) 2 3   2 

= 2

VD3: Chøng minh r»ng:

1 + 1 − a2

[

]

(1 + a)3 − (1 − a)3 ≤ 2 2 + 2 − 2a2 (1)

Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈ [0,π ] ⇒ 1 − a = 2 sin 2 ; 1 + a = 2 cos 2 ; 1 − a 2 = sin α α α α α  3α 3 α (1)⇔ 1 + 2 sin 2 cos 2 .2 2 cos 2 − sin 2  ≤ 2 2 + 2 2 sin 2 cos 2   

α

α 

α

α 

⇔ sin 2 + cos 2  cos 2 − sin 2  cos  

α

α  

α

α 

2

α α α α α α + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos 2 2 2 2 2 2

⇔  sin 2 + cos 2  cos 2 − sin 2  = cos

2

α α − sin 2 = cos α ≤ 1 2 2

VD4: Chøng minh r»ng: S =

4

(

®óng ⇒ (®pcm)

) (

(1 −a2 )3 −a3 +3 a − 1 −a2

)≤

2

7

Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π ] ⇒ S ta cã: S= 4(sin =

3

α−cos

3

Chøng 2

= sinα . Khi ®ã biÕn ®æi

α) +3(cos α−sin α) = (3 sin α−4 sin

π  sin 3α + cos 3α = 2 sin  3α +  ≤ 2 4 

VD5:

1 −a 2

2

(

α) +( 4 cos

3

α−3 cos α)

⇒ (®pcm)

minh 2

3

2

a 1 −b +b 1 −a + 3 ab − (1 −a )(1 −b )

) ≤2

r»ng

A

=

Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. §Æt a = sinα , b = sin β víi α , β ∈ Khi ®ã A = =

 π π − ;   2 2 

sin αcos β+cos αsin β− 3 cos( α+β )

sin( α +β) − 3 cos( α +β) = 2

=

1 3 π  sin( α +β) − cos( α +β) = 2 sin (α +β) −  ≤ 2 2 2 3 

(®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn | a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα . Ta cã: A = 4(2 +cos α) −24 (2 +cos α) +45 (2 +cos α) −26 = 4 cos α−3 cos α = cos 3α ≤1 (®pcm) 3

2

VD7: Chøng minh r»ng: A =

3

2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2]

Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn | a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π ]. Ta cã: A = 2(1 +cos α) −(1 −cos α) − 3(1 +cos α) + 3 = 1 −cos α− 3 cos α 2

=

1  3 π  sin α − 3 cos α = 2 α+  ≤ 2  2 sin α − 2 cos α  = 2 sin  3   

2

(®pcm)

III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2α = (α ≠

π + kπ) 2

1 1 ⇔ tg 2 α = −1 2 cos α cos 2 α

1) Ph¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc

x 2 −1

8

th× ®Æt x =

1 cos α

víi α∈

 π  3π 0;  ∪ π,    2   2 

b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc th× ®Æt x =

m cos α

víi α∈

x 2 − m2

 π  3π 0;  ∪ π,    2   2 

2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng A =

a2 −1 + 3 ≤ 2 ∀ a ≥1 a

Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn : §Æt a =

1 cos α

víi α∈

 π  3π 0;  ∪ π, ⇒   2   2 

a 2 −1 = tg 2 α = tg α.

Khi ®ã:

a 2 −1 + 3 π  = ( tg α+ 3 ) cos α = sin α+ 3 cos α = 2 sin α+  ≤ 2 a 3 

A=

VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A =

5 −12 a 2 −1 ≤ a2

(®pcm)

∀ a ≥1

9

Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn: §Æt a =

1 cos α

víi α∈

 π  3π 0;  ∪ π, ⇒   2   2 

a 2 −1 = tg 2 α = tg α.

5 −12 a 2 −1 = (5-12tgα )cos2α = 5cos2α 2 a 5(1 + cos 2α) − 6 sin 2α 2 5 13  5 12 5  5 13  = 2 + 2  13 cos 2α − 13 sin 2α  = 2 + 2 cos  2α + arccos 13     

A =

⇒- 4 =

-12sinα cosα =

5 13 5 13 5  5 13  + ( −1) ≤ A = + cos  2α + arccos  ≤ + .1 = 9 2 2 2 2 13  2 2 

VD3: Chøng minh r»ng: A =

a 2 −1 + b 2 −1 ab

≤ 1

Khi ®ã:

(®pcm)

∀ a ; b ≥1

Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn . §Æt a = A=

1 cos α

;b=

1 cos β

víi α∈

 π  3π 0;  ∪ π, .   2   2 

Khi ®ã ta cã:

( tg α+tg β) cos αcos β = sin αcos β+sin βcos α = sin( α+β) ≤1 (®pcm)

VD4: Chøng minh r»ng: a +

a a 2 −1

≥2 2

∀ a >1

Gi¶i: 9

Do |a| > 1 nªn: §Æt a = a+

a 2

a −1

1 cos α

=

víi α∈

a 1 1 1  π = . =  0;  ⇒ . 2 2  2 a −1 cos α tg α sin α

1 1 1 1 2 2 + ≥ 2. . = ≥2 2 cos α sin α cos α sin α sin 2α

VD5: Chøng minh r»ng

Khi ®ã:

(®pcm)

y x 2 −1 +4 y 2 −1 +3 ≤ xy

26

∀ x ; y ≥1

Gi¶i: BÊt ®¼ng thøc ⇔

4 y2 −1 3  x2 −1 1  +  +  ≤ 26 (1) x x y y  

1

Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = cos α ; y=

1 cos β

víi α , β ∈

Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα (4sinβ + 3cosβ ) ≤ Ta cã: S ≤ sinα + cosα

( 4 2 +32 )(sin

2

 π  0,  .  2 26

β+ cos 2 β) = sin α +5 cos α

≤ (12 + 52 )(sin 2 α + cos 2 α ) = 26 ⇒ (®pcm) IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2α =

1 cos 2 α

1. Ph¬ng ph¸p: a) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα  π π − ,   2 2

víi α ∈

b) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα α ∈

víi

 π π − ,   2 2

2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: S =

3x 1 +x2

−

4x3 (1 +x2 )3

≤1

Gi¶i: §Æt x = tgα víi α ∈ ta cã:

 π π − ,   2 2

⇒

1 + x2 =

1 , cosα

khi ®ã biÕn ®æi S

S = |3tgα .cosα - 4tg3α .cos3α | = |3sinα - 4sin3α | = |sin3α | ≤ 1 (®pcm) VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3 + 8a 2 +12 a 4 (1 + 2a 2 ) 2

Gi¶i: 10

§Æt a =

tgα víi α

2=

 π π ∈− ,   2 2

th× ta cã: A =

3 + 4 tg 2 α + 3tg 4 α (1 + tg 2α) 2

3 cos 4 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 3 sin 4 α = 3(sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α 2 2 2 (cos α + sin α)

sin 2 2α 5 1 sin 2 2α 0 ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 2 2 2 2 2

=3-

Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α =

π ⇒a 4

=

1 2

th× MinA =

5 2

VD3: Chøng minh r»ng:

(a +b)(1 −ab ) 1 ≤ 2 2 2 (1 +a )(1 + b )

∀ a, b ∈ R

Gi¶i: §Æt a = tgα , b = tgβ . Khi ®ã =

2

cos

αcos

2

β.

(a +b)(1 −ab) (tgα+tgβ)(1 −tgαtgβ) = 2 2 (1 +a )(1 +b ) (1 +tg2 α)(1 +tg2β)

sin( α+β) cos α. cos β−sin α. sin β . cos α. cos β cos α. cos β

1 1 = sin(α + β) cos(α + β) = sin[ 2(α + β)] ≤ (®pcm) 2

VD4:

Chøng

| a −b | 2

2

2

(1 + a )(1 + b )

+

| b −c | 2

2

(1 + b )(1 + c )

≥

minh

| c −a | (1 + c 2 )(1 + a 2 )

r»ng:

∀a , b, c

Gi¶i: §Æt a = tgα , b = tgβ , c = tgγ . Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ ⇔

| tg α − tg β | (1 + tg 2 α)(1 + tg 2β)

⇔ cos

αcos β.

+

| tg β − tg γ | (1 + tg 2β)(1 + tg 2 γ)

≥

| tg γ − tg α | (1 + tg 2 γ)(1 + tg 2 α)

sin( α−β) sin( β− γ) sin( γ −α) + cos βcos γ. ≥ cos γ cos α. cos α. cos β cos β. cos γ cos γ. cos α

⇔ | sin(α -β )| +| sin(β -γ )| ≥ | sin(γ -α )| . BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: | sin(γ -α )| = | sin[(α -β )+(β -γ )]| +sin(β -γ )cos(α -β )| ≤

=

| sin(α -β )cos(β -γ )

| sin(α -β )cos(β -γ )| +| sin(β -γ )cos(α -β )| =| sin(α -β )| | cos(β γ )| +| sin(β -γ )| | cos(α -β )| ≤ | sin(α -β )| .1 + | sin(β -γ )| .1 = | sin(α -β )| + | sin(β -γ )| ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab + cd ≤ (a +c)( b +d ) (1) ∀a , b, c, d >0 Gi¶i:

11

(1) ⇔

cd ab cd 1 ab + ≤1 ⇔ + ≤1 (a + c)( b + d ) (a + c)( b + d )  c  b   c  b  1 + 1 +  1 + 1 +   a  d   a  d  c

 π  0,   2

d

§Æt tg2α = a , tg2β = b víi α ,β ∈ thøc ⇔

1 2

2

(1 + tg α)(1 + tg β)

+

tg 2 α.tg 2β 2

2

(1 + tg α)(1 + tg β)

⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng

= cos 2 αcos 2 β + sin 2 αsin 2 β ≤1

⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α -β ) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α -β ) = 1 ⇔ α =β ⇔

c d = a b

VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 6a + 4 | a 2 − 1 | a2 +1

Gi¶i: §Æt a =

α tg . 2

Khi ®ã A =

6 tg

α α α α + 4 | tg 2 −1 | 2 tg tg 2 −1 2 2 + 4. 2 2 = 3. 2 α 2 α 2 α tg +1 1 + tg tg +1 2 2 2

A = 3sin α + 4 |cosα | ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + 4 |cosα |)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α ) = 25 ⇒ A ≤ 5 Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi

sin α | cos α | = 3 4

th× MaxA =

5 V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c

1) Ph¬ng ph¸p:

 x;y;z > 0 a) NÕu  th× ∃ ∆ A 2 2 2  x + y + z + 2x y= z1

π  A ; B ; C ∈ ( 0 ; )  B:  C 2  x = c oAs; y = c oBs; z = c oCs

12

 x;y;z > 0 b) NÕu  th× ∃ ∆ A  x+ y+ z= x y z

π  A ; B ; C ∈ ( 0 ; )  B:  C 2  x = t g ;Ay = t g ; zB= t g C

π    A; B; C ∈ (0; 2 )   x ; y, z > 0   x = c og t;Ay = c og t;Bz = c og tC c) NÕu  th× ∃ ∆ A B: C  A; B; C ∈ (0; π ) x y+ y z+ z x= 1    A B C   x = t g2 ; y = t g2 ; z = t g2  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. S=

1 1 1 + + − 3( x + y + z ) x y z

Gi¶i: Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg β ,γ ∈

 π  0,   2

Do xy + yz + zx = 1 nªn tg γ α β  tg + tg  2 2  

⇔ tg 2

α ; 2

α β tg + 2 2

tg

β

β ; 2

β γ tg 2 2

+ tg

z = tg

γ 2

γ α tg 2 2

víi α ,

=1

γ

tg + tg 1 α β γ β γ  = 1 - tg tg 2 ⇔ 2 β 2γ = α ⇔ tg  2 + 2  = cot g 2   2 1 − tg tg tg 2

⇔

y = tg

2

2

β γ π α α +β+ γ π β γ  π α tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ = ⇔ α +β+ γ = π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

S

=

1 1 1 + + − 3( x + y + z ) = x y z

β γ  α  tg + tg + tg  2 2  2

S=

cotg

α + 2

cotg

β + 2

cotg

γ -3 2

α α  β β  γ γ  α β γ   cotg − tg  +  cotg − tg  +  cotg − tg  − 2 tg + tg + tg  2 2  2 2  2 2  2 2 2 

13

S = 2(cotgα +cotgβ +cotgγ ) S

=

β γ  α 2 tg + tg + tg  2 2 2  

γ

(cotgα +cotgβ -2tg 2 )

α

+

(cotgβ +cotgγ -2tg 2 )

β

+

(cotgα +cotgβ -2tg 2 ) §Ó

ý

r»ng:

cotgα

+

sin(α + β) 2 sin γ 2 sin γ = = sinα.sinβ 2 sinα.sinβ cos(α − β) − cos(α + β)

2 sin γ 2 sin γ ≥ 1 − cos( α + β) = 1 + cos γ =

cotgβ

=

γ γ 4 sin cos 2 2 = 2 tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − 2 tg γ ≥ 0 γ 2 2 2 cos 2 2

T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z = VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ

1 3

th× MinS = 0

x y z 4 xyz + + = 2 2 2 2 1−x 1− y 1−z (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 )

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg β ,γ ∈

 π  0,   2

Khi ®ã tgα = gi¶ thiÕt

α ; 2

2y 2x 2 ; tgβ = 1 − y 2 ; tgγ 1−x

2y 2x 2z 2 + 1 −y2 + 1−x 1 −z2

⇔

=

y = tg

=

8xyz (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 2

β ; 2

z = tg

γ 2

víi α ,

2z vµ ®¼ng thøc ë 1 −z2

⇔ tgα +tgβ +tgγ

=

tgα .tgβ .tgγ ⇔ tgα + tgβ

= - tgγ (1-tgα .tgβ ) ⇔

tg α+tg β 1 −tg α.tg β

= - tgγ

⇔

tg(α +β ) = tg(-γ ) Do α , β , γ ∈ Khi ®ã ta cã: tg

α β tg + 2 2

kh¸c:

tg

 π  0,   2

β γ tg 2 2

nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π .

+ tg

γ α tg 2 2

(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =

= 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt

[

]

1 ( x − y) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0 2

14

1 3

⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =

th×

MinS = 1

 x , y, z > 0 x y z 9 VD3: Cho  . Chøng minh r»ng: S = x + yz + y + zx + z + xy ≤ 4  x+ y+ z = 1 Gi¶i: §Æt

yz zx . + x y

Do

xz β = tg ; y 2

yz α = tg ; x 2

nªn tg

zx xy xy yz . +. . y z z x

α β tg + 2 2

β

γ

xy γ = tg víi z 2

tg

α,β ,γ ∈

 π  0,   2

=x+y+z=1

β γ tg 2 2

+ tg

α

β

γ α tg 2 2

γ

=1 π

α

β

γ

π α

⇔ tg  2 + 2  = cotg 2 ⇔ tg  2 + 2  = tg  2 − 2  ⇔ 2 + 2 = 2 - 2       ⇔

α +β+ γ π = ⇔ α +β+ γ = π 2 2

S= =

  2y   2z  3 x y z 1  2 x + + =  − 1 +  − 1 +  − 1 + x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2

zx  xy  1 − yz 1 − 1− 1  x − yz y − zx z − xy  3 1  y x + z  + + + = +   2  x − yz y + zx z + xy  2 2 1 + yz 1 + zx 1 + xy  x y z 

1 2

=

(cos

+

  + 3  2  

cosβ

+

cosγ )

+

1 [ ( cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] + 3 2 2

≤

1 1 ( (cos α + cos β) 2 + 1) + 1 (sin 2 α + sin 2 β) − cos α cos β + 3 = 3 + 3 = 9  2 2 2  2 4 2 4

3 2

=

(®pcm)

3. C¸c bµi to¸n ®a ra tr¾c nghiÖm Tríc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2 líp 11A1 vµ 11A2 ë trêng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ tríc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau: Bµi 1:

Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13.

Bµi 2:

Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10.

15

Bµi 3:

 a; b ≥ 0 Cho  CMR: a a+ b= 2

Bµi 4:

Cho a; b ; c ≥ 1

4

+ b4 ≥ a3 + b3 CMR:

1  1  1  1  1  1   a −  b −  c −  ≥  a −  b −  c −  b  c  a  a  b  c 

Bµi 5:

a) xyz ≤

 x; y; z > 0 Cho  2 2 2  x + y + z + 2x y =z1

CMR:

1 8

3

b) xy + yz + zx ≤ 4 3

c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 1

d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 e)

1−x 1− y 1−z + + ≥ 3 1+x 1+ y 1+z

Bµi 6:

CMR:

1 1+ a

2

+

1 1+ b

2

≤

2 1 + ab

∀ a, b ∈ (0, 1]

Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0

Bµi 8:

 ,x y,z > 0 x y z 33 Cho C :M 2 + R 2 + 2 ≥   x + y + z = x1 1− x 1− y 1− z 2

Bµi 9:

 x, y, z > 0 x y z 3 C :M R+ + ≤ Cho  x + y + z = x y z 1+ x2 1+ y2 1+ z2 2

∀

16

 x , y, z > 0 1 1 1 2 x 2 y 2z C M: R + + ≥ + + Bµi 10: Cho  x + y + z = x1 1+ x2 1+ y2 1 + z2 1+ x2 1+ y2 1 + z2 Sau 2 tuÇn c¸c em hÇu nh kh«ng lµm ®îc c¸c bµi tËp nµy mÆc dï t«i ®· gîi ý lµ dïng ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸. Sau ®ã t«i ®· d¹y cho c¸c em s¸ng kiÕn cña t«i trong mét buæi sinh ho¹t chuyªn ®Ò (3 tiÕt) th× thu ®îc kÕt qu¶ rÊt tèt. 3. KÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn

§Ó thÊy ®îc kÕt qu¶ s¸t thùc cña s¸ng kiÕn trong phÇn «n tËp kú I cña líp 11 t«i ®· chän 2 líp 11A1 vµ 11A2 lµ 2 líp chän trong ®ã 11A1 lµ líp chän A cßn 11A2 lµ líp chän B v× vËy víi kiÕn thøc cña c¸c em líp 11A1 kh¸ h¬n líp 11A2 t«i sÏ dïng 2 líp nµy ®Ó tiÕn hµnh lµm ®èi chøng cô thÓ nh sau: §Çu tiªn t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em c¸c bµi tËp 1, 4, 9 cña 10 bµi tËp trªn. Yªu cÇu c¸c em c¶ 2 líp 11A1 vµ 11A2 lµm 3 bµi tËp nµy ra giÊy vµ t«i ®· thu ®îc kÕt qu¶ nh sau: Líp

SÜ sè

Giái

Kh¸

TB

3-4

0-2

11A1

50

0

0

0

2

48

11A2

52

0

0

0

0

52

Víi kÕt qu¶ tæng hîp b¶ng trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i thÊy hÇu hÕt c¸c em kh«ng lµm ®îc ë líp 11A1. Mét sè em biÕt lµm bµi tËp 1 b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt "a=sinα ", "b=cosα " xong cha ®i ®Õn bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh, líp 11A2 hÇu hÕt c¸c em kh«ng lµm ®îc hoÆc bÕ t¾c hoµn toµn. §øng tríc thùc tr¹ng nh vËy t«i quyÕt ®Þnh ®a s¸ng kiÕn cña t«i d¹y cho líp 11A2 lµ líp cã vèn kiÕn thøc yÕu h¬n so víi líp 11A1. T«i ®· tËp trung c¸c em líp 11A2 häc ngo¹i kho¸ vµo 3 tiÕt buæi chiÒu trong 3 tiÕt nµy t«i ®· truyÒn thô hÕt néi dung 5 ph¬ng ph¸p dïng lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè cña t«i sau ®ã t«i ®· ra bµi vÒ nhµ bµi tËp 2, 5, 7 trong phÇn 10 bµi tËp trªn vµ yªu cÇu häc sinh c¶ 2 líp vÒ nhµ gi¶i. KÕt qu¶ thu ®îc nh sau: 17

Líp

SÜ sè

Giái

Kh¸

TB

3-4

0-2

11A1

50

0

0

0

12

38

11A2

52

0

20

25

7

0

Nh×n vµo kÕt qu¶ trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña häc sinh t«i nhËn thÊy c¸c em häc sinh cña líp 11A1 mÆc dï cã t chÊt h¬n líp 11A2 song kh«ng ®îc biÕt c¸c ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thc nªn hÇu hÕt kh«ng lµm ®îc 3 bµi tËp t«i ®· cho. Nhng ngîc l¹i ®èi víi kÕt qu¶ bµi lµm cña häc sinh líp 11A2 t«i thÊy rÊt kh¶ quan hÇu hÕt c¸c em ®Òu lµm ®îc bµi tËp ®Çu cßn bµi tËp 2 mét sè em ®· kh«ng biÕt chuyÓn tõ ®Çu bµi vÒ d¹ng 1 ®Ó gi¶i mét sè kh¸c ®· biÕt biÕn ®æi ®îc bÊt ®¼ng thøc ®Ó cã thÓ ¸p dông d¹ng 1 xong cha biÕn ®æi ®Ó ®i ®Õn bÊt ®¼ng thøc lîng gi¸c cÇn thiÕt v× vËy kÕt qu¶ cha cao v× mét sè em líp 11A2 tiÕp thu c¸c ph¬ng ph¸p chËm, øng dông gi¶i bµi tËp cha s¸ng t¹o. V× vËy t«i quyÕt ®Þnh thùc nghiÖm lÇn thø 3, t«i d¹y c¶ líp 11A1 vµ 11A2 vµo mét buæi chiÒu 3 tiÕt d¹y ®Çy ®ñ 5 ph¬ng ph¸p vµ c¸c vÝ dô minh ho¹, t«i gäi c¸c em lªn b¶ng¸p dông gi¶i c¸c vÝ dô t¹i líp thÊy c¸c em lµm rÊt tèt, sau ®ã t«i cho bµi tËp 3, 6, 8, 10 vÒ nhµ vµ yªu cÇu c¸c em nép cho t«i vµo ngay ngµy h«m sau. KÕt qu¶ thu ®îc nh sau: Líp

SÜ sè

Giái

Kh¸

TB

YÕu

11A1

50

7

30

13

0

11A2

52

6

25

21

0

Víi kÕt qu¶ nh trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i nhËn thÊy c¸c ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè mµ t«i ®a ra cã kÕt qu¶ tèt, nã lµ mét c«ng cô rÊt h÷u hiÖu ®Ó gióp c¸c em cã thªm mét c¸ch míi ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè bæ sung cho c¸c em mét ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ho¸ c¸c bµi to¸n nãi chung lµm cho c¸c em tù tin h¬n khi gÆp c¸c bµi tËp chøng minh bÊt ®¼ng thøc trong tÊt c¶ c¸c cuéc thi khã, chÝnh v× thÕ t«i nghÜ r»ng mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè cña t«i ®a ra lµ rÊt kh¶ quan.

III. kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ Tr¶i qua thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y to¸n phæ th«ng, qua mét thêi gian lµm tr¾c nghiÖm t«i nhËn thÊy: 18

ViÖc chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè lµ mét c«ng viÖc rÊt khã kh¨n vµ ®ßi hái ngêi chøng minh ph¶i s¸ng t¹o khÐo lÐo ph¶i biÕt sö dông tÊt c¶ c¸c kiÕn thøc ®· biÕt ®Ó chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc. Trong giai ®o¹n hiÖn nay chóng ta ®ang tËp trung cho c¶i c¸ch gi¸o dôc, trong ®ã cã mét phÇn quan träng lµ c¶i tiÕn ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y. §Ó ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh, viÖc tiÕp thu kiÕn thøc míi vµ c«ng viÖc gi¶i to¸n th× ngêi thÇy gi¸o ph¶i lµ ngêi tiªn phong trong viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña m×nh ®Ó t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n míi, t×m ra nh÷ng c«ng cô míi ®Ó ngµy cµng hoµn thiÖn h¬n b¶n th©n vµ cèng hiÕn cho nh÷ng ngêi lµm to¸n nh÷ng c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó cã thÓ ®i s©u vµo thÕ giíi cña to¸n häc. Trªn ®©y lµ ý kiÕn cña t«i vÒ mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó gi¶i c¸c bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè nh»m gióp cho ngêi chøng minh bÊt ®¼ng thøc cã mét ph¬ng ph¸p t duy vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè. Do kinh nghiÖm cha cã nhiÒu nªn bµi viÕt cña t«i kh«ng tr¸nh khái khuyÕm khuyÕt mÆc dï t«i ®· rÊt cè g¾ng x¾p xÕp vÒ mÆt ph¬ng ph¸p, lîng bµi tËp vµ cÊu tróc cña bµi viÕt. RÊt mong nhËn ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó bµi viÕt ®îc tèt h¬n. Cuèi cïng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!

H¶i D¬ng, ngµy 04 th¸ng 04 n¨m 2008

19