Chuyen De Nguyen Ham - Tich Phan

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

NGUYEÂN HAØM VAÁN ÑEÀ 1: TÌM HOÏ NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA: ÑN1: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ÑN2: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a; b] ⎧ ⎪ F'(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ⎪ F(x) − F(a) ⎪ ⇔ ⎨ F'+ (a) = lim+ = f(a) x→a x−a ⎪ F(x) − F(b) ⎪ = f(b) ⎪⎩ F'− (b) = xlim − →b x−b

Kyù hieäu hình thöùc

∫ f(x)dx = F(x) + C

goïi laø moät hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) hay tích

phaân baát ñònh cuûa haøm f(x).

VAÁN ÑEÀ 2: BOÅ SUNG VI PHAÂN - DAÏNG VI PHAÂN HAØM HÔÏP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giaû söû toàn taïi y = f(t) maø trong ñoù t = g(x); ñeå cho haøm hôïp y = f[g(x)] coù vi phaân ñöôïc vieát: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHOÙM HAØM LUÕY THÖØA

NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC

d(xn)=nxn-1dx *Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: d(ax+b) = adx

d(arc sinx) = d(arc cosx) = -

dx

1 - x2 dx

1 - x2 dx d(arc tgx) = 1 + x2 dx d(arc cotgx) = 1 + x2

dx ⎛1⎞ d⎜ ⎟ = - 2 x ⎝x⎠ dx d x = 2 x

( )

NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC d(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx

NHOÙM HAØM MUÕ & LOGARITHM d(lnx) =

dx = (1 + tg 2 x)dx 2 cos x dx d(cotgx) = - 2 sin x

d(tgx) =

dx x

d(log a x) =

dx xlna

d(ex) = exdx d(ax) = axlnadx

A. BAÛNG CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA x n+1 1/ ∫ x dx = + C ( n ¹ -1 ) n +1

2/ ∫ x-1 dx = ∫

Tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I 3/ ∫ dx = x + C

4/ ∫

n

dx = ln x + C ( x ≠ 0 ) x

dx 1 = - +C 2 x x

1 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït m m+ n n 5/ ∫ x n dx = x n +C m+n n n n+1 x +C 7/ ∫ n xdx = n +1

6/ ∫ 8/ ∫

dx -1 = +C n x ( n - 1) x n-1

dx n

x

=

http://www.toanthpt.net

n n n-1 x +C n -1

NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC 9/ ∫ sinxdx = -cosx + C

10/ ∫ cosxdx = sinx + C

11/ ∫

12/ ∫

dx = tgx + C cos 2 x 13/ ∫ tgxdx = -ln cosx + C

dx = -cotgx + C sin 2 x 14/ ∫ cotgxdx = ln sinx + C

NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ – LOGARITHM 15/ ∫ ex dx = ex + C 17/ ∫ ax =

16/ ∫ e-x dx = -e-x + C

18/ ∫ lnxdx = x ( lnx - 1) + C ( x > 0 )

ax + C (1 ≠ a > 0) lna

NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC (a > 0) dx = arctgx + C x +1 dx 1 x 21/ ∫ 2 2 = arctg + C x +a a a

19/ ∫

dx 1 x -1 = ln +C 2 x -1 2 x +1 dx 1 x-a +C 22/ ∫ 2 2 = ln x -a 2a x + a

20/ ∫

2

NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC (a > 0) 23/ ∫ 25/ ∫

dx 1 - x2 dx x ±1 2

24/ ∫

= arcsinx + C

26/ ∫

= ln x + x 2 ± 1 + C

dx

x = arcsin + C a a2 - x 2 dx = ln x + x 2 ± a2 + C 2 2 x ±a

x 2 2 a2 x a - x + arcsin + C 2 2 a 2 x 2 a x 2 ± a2 dx = x ± a2 ± ln x + x 2 ± a2 + C 2 2

27/ ∫ a2 - x 2 dx = 28/ ∫

B.

BAÛNG THAM KHAÛO CAÙC TÍCH PHAÂN MÔÛ ROÄNG:

NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0)

2 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït (ax + b)n+1 + C (n ≠ -1) 1/ ∫ (ax + b)n dx = a(n + 1) dx 1 2/ ∫ (ax + b)-1 dx = ∫ = ln (ax + b) + C (ax + b ≠ 0) (ax + b) a

Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I 3/ ∫ d(ax + b) = ax + b + C

4/ ∫

m

m +n n (ax + b) n + C a(m + n) n n 7/ ∫ n (ax + b)dx = (ax + b)n+1 + C a(n + 1)

http://www.toanthpt.net

dx -1 = +C 2 (ax + b) a(ax + b)

dx -1 = +C n (ax + b) a(n - 1)(ax + b) n-1 dx n n 8/ ∫ = (ax + b)n-1 + C n (ax + b) a(n - 1)

6/ ∫

5/ ∫ (ax + b) n dx =

NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 a dx 1 11/ ∫ = tg(ax + b) + C 2 cos (ax + b) a 1 13/ ∫ tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) + C a

1 a dx 1 12/ ∫ 2 = - cotg(ax + b) + C sin (ax + b) a 1 14/ ∫ cotg(ax + b)dx = ln sin(ax + b) + C a

9/ ∫ sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C

10/ ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C

NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ - LOGARITHM MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 a

16/ ∫ a(ax+b) dx =

15/ ∫ e(ax+b) dx = e(ax+b) + C 1 a

a(ax+b) + C (1 ≠ a > 0) alna

17/ ∫ ln(ax + b)dx = (ax + b)[ln(ax + b) - 1]+ C (ax + b > 0) NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0; a > 0) 18/ ∫

dx 1 ⎛ ax + b ⎞ = arctg ⎜ ⎟ +C 2 2 (ax + b) + a aa ⎝ a ⎠

19/ ∫

dx 1 (ax + b) - a = ln +C 2 2 (ax + b) - a 2aa (ax + b) + a

NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC MÔÛ ROÄNG ((α ≠ 0; a > 0) 20/

∫

21/

∫

22/

∫

dx a - (ax + b) dx 2

2

(ax + b) ± a 2

2

=

1 (ax + b) arcsin +C a a

=

1 ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C a

a2 - (ax + b)2 dx =

(ax + b) 2 a2 (ax + b) a - (ax + b)2 + arcsin +C 2a 2a a

3 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

23/

∫

http://www.toanthpt.net

(ax + b)2 ± a2 dx =

(ax + b) (ax + b)2 ± a2 ± ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C 2a

VAÁN ÑEÀ 3: THUAÄT PHAÂN TÍCH HAØM TRONG DAÁU TÍCH PHAÂN VEÀ DAÏNG CHUAÅN TRONG BAÛNG TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: Bieán ñoåi haøm tích phaân veà daïng: ∫ [Af(x) ± Bf(x) + ...]dx = A∫ f(x)dx ± B∫ g(x)dx + ...

B1: Cuï theå phaûi 1/ Nhaân phaân phoái: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai trieån caùc haèng ñaúng thöùc: B

(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

(A ± B)3 = A3 ± 3A2 B + 3AB2 ± B3 ;... Xb (b ≠ 0);... b llh A ± B ←⎯ → A m B; ...

3/

Theâm bôùt haïng töû: X = (X + B) - B; X =

4/ 5/

Nhaân löôïng lieân hôïp: Bieán ñoåi löôïng giaùc sô caáp baèng caùc coâng thöùc:

1 = sin 2 x + cos 2 x; tgx =

sinx cosx ; cotgx = ; cosx sinx

1 1 = 1 + tg 2 x; = 1 + cotg 2 x; tgxcotgx = 1; 2 2 cos x sin x 1 - cos2x 1 + cos2x sin 2 x = ; cos 2 x = ; 2 2 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin 3 x = ; cos 3 x = ; v.v... 4 4

B2: Muïc ñích laø haøm soá trong daáu tích phaân ñöôïc bieán ñoåi: • Tích thaønh toång; ñaëc bieät moät haøm phaân thöùc phaûi coù töû laø toång vaø maãu laø tích. • Caên thöùc thaønh luõy thöøa; ôû ñaây ta aùp duïng caùc tính chaát luõy thöøa sau: B

m x 1 ⎛A⎞ -m n m m n mn x x x A n = A ; A = A ;(A ) = A ; A B = (AB) ; x = ⎜ ⎟ m A B ⎝B⎠

x

B3: Moät vieäc quan troïng laø söû duïng ñöôïc coâng thöùc tích phaân haøm hôïp ∫ f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+ C vôùi F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì baøi toaùn giaûi quyeát nhanh vaø B

goïn. Ghi chuù: Khi tính toaùn ta duøng haøm y = f(x) = sgn(x) ñeå thay daáu (±) cho goïn. Ta coù ñònh ⎡1 khi x > 0

⎡1 khi f(x) > 0

môû roäng nghóa: sgn(x) = ⎢ ⎯⎯⎯⎯ → sgn[f(x)]= ⎢ ⎣-1 khi x < 0 ⎣ -1 khi f(x) < 0

VAÁN ÑEÀ 4: HAÈNG SOÁ C TRONG HAØM NGUYEÂN HAØM VAØ ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH: Daïng 1: Tìm haèng soá C trong haøm nguyeân haøm Nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) treân [a;b] khi noù thoûa moät giaû thieát naøo ñoù taïi x0∈[a;b]. ∫ f(x)dx = F(x 0 ) + C (1)

(

)

taïi x 0

4 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net Ghi chuù: Thöïc teá ta vieát moät hoï nguyeân haøm cuûa f(x) laø F(x) = ∫ f(x)dx maø vaãn khoâng maát

tính toång quaùt cuûa nguyeân haøm so vôùi ñònh nghóa hoï nguyeân haøm. Daïng 2: Phaân tích bieåu thöùc thaønh tích Duøng ñònh nghóa nguyeân haøm vaø öùng duïng caùch xaùc ñònh haèng soá C qua 4 böôùc: • Xem bieåu thöùc A(x, a, b, c,...) ñaõ cho laø moät ña thöùc moät bieán (giaû söû bieán ñoù laø x) vaø ñaët f(x) = A(x, a, b, c,...). • Tính f’(x) vaø ñöa noù veà daïng thöøa soá. • Tính f(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f’(x). • Tìm haèng soá C baèng caùch thay x = x0 laø giaù trò cuï theå naøo ñoù vaøo nguyeân haøm ôû treân, luùc ñoù xuaát hieän caùc nhaân töû vaø ta keát thuùc baøi toaùn baèng caùch ñaët nhaân töû chung. Ghi chuù: Haèng soá C ôû böôùc 4 khoâng phuï thuoäc vaøo x neân vieát C = g(a; b; c...). Daïng 3: Tính toång höõu haïn B1: Xeùt moät toång f(x) coù nguyeân haøm laø toång lieân tieáp caùc haïng töû cuûa moät caáp soá nhaân maø B

soá haïng ñaàu laø a1, coù n haïng töû vaø coâng boäi q thì: F(x) = a1

1 - qn . 1- q

B2: So saùnh f(x) = F’(x) ta ñöôïc toång caàn tìm. B

VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt . Vôùi x = ϕ(t)

∫ f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = ∫ f(t)dt . Vôùi t = ϕ(x) laø bieán môùi. A.

BIEÁN ÑOÅI NGHÒCH ÑAËT t = ϕ(x) DAÏNG

CAÙCH BIEÁN ÑOÅI

1. ∫ f(ax + b)dx

Ñaët t = ax + b ⇒ dt = dx

2. ∫ f(x n+1 )x n dx

Ñaët t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx

3. ∫ f( x )

Ñaët t = x ⇒ dt =

dx

x

dx 2 x

4. ∫ f(cosx)sinxdx

Ñaët t = cosx ⇒ dt = -sinxdx

5. ∫ f(sinx)cosxdx

Ñaët t = sinx ⇒ dt = cosxdx

6. ∫ f(tgx)

Ñaët t = tgx ⇒ dt =

dx cos 2 x dx 7. ∫ f(cotgx) 2 sin x x x 8. ∫ f(e )e dx

9. ∫ f(lnx)

dx cos 2 x -dx Ñaët t = cotgx ⇒ dt = 2 sin x

Ñaët t = ex ⇒ dt = exdx

dx x

Ñaët t = lnx ⇒ dt =

dx x

5 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït 1 ⎡ ⎢ f(arc tgx) 1 + x 2 dx 10. ∫ ⎢ ⎢ f(arc cotgx) 1 dx ⎢⎣ 1 + x2 1 ⎡ dx ⎢ f(arc sinx) 2 1 x 11. ∫ ⎢ ⎢ 1 dx ⎢ f(arc cosx) 1 - x2 ⎣ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 12. ∫ f ⎜ x ± ⎟ ⎜ 1 ∓ 2 ⎟dx x ⎠⎝ x ⎠ ⎝

B.

http://www.toanthpt.net ⎡ t = arc tgx

dx

⎡ t = arc sinx

dx

Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± 1 + x2 ⎣ t = arc cotgx

Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± 1 + x2 ⎣ t = arc cosx Ñaët t = x ±

1 1 ⎞ ⎛ ⇒ dt = ⎜ 1 ∓ 2 ⎟ dx x x ⎠ ⎝

ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN ÑAËT x = ϕ(t)

( 2. ∫ f ( x, 3. ∫ f ( x,

DAÏNG

CAÙCH BIEÁN ÑOÅI

) a - x ) dx x - a ) dx

1. ∫ f x, x 2 + a2 dx

x = atgt ⇒ dx =

a dt cos 2 t

2

2

x = asint ⇒ dx = acostdt

2

2

x=

a asint dt ⇒ dx = cost cos 2 t

VAÁN ÑEÀ 6: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN RIEÂNG PHAÀN: ∫ udv = uv - ∫ vdu (*) hay ∫ uv'dx = uv - ∫ u'vdx

Caùc daïng tích phaân töøng phaàn: Daïng 1:

⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ⎥ dx . Trong ñoù Pn(x) laø ña thöùc baäc n. ∫ Pn (x) ⎢⎢ e(ax+b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦

⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ⎥ dx Ta ñaët u = Pn(x) vaø dv = ⎢ (ax+b) ⎢e ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦

Chæ soá (n): cho ta soá laàn tính tích phaân töøng phaân phaûi thöïc hieän cho daïng naøy. Daïng 2: ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ ⎥ dx I = ∫ Pn (x) ⎢ ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦

6 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ ⎥ vaø dv = Pn(x)dx Ta ñaët u = ⎢ ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦

http://www.toanthpt.net

TÍCH PHAÂN CHUYEÂN ÑEÀ 1: ÑIEÀU KIEÄN KHAÛ TÍCH: I. 1.

DIEÄN TÍCH HÌNH THANG HOÃN TUYEÁN: Ñònh nghóa: y

Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc, khoâng aâm xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b]. Khi ñoù hình phaúng giôùi haïn bôû truïc hoaønh, ñöôøng cong y = f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöôngtrình x = a vµ x = b ñöôïc goïi laø hình thang cong (Hình thang hoãn tuyeán AA’B’B).

2.

B y=f(x)

A

O

A' a

b

B' x

Dieän tích hình thang cong:

Ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f(x) xaùc ñònh, lieân tuïc, khoâng aâm treân ñoaïn [a;b], thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò y = f(x), truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng x = a vµ x = b coù giaù trò laø: S = F(b) - F(a) = S ba . Vôùi F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b]. II. ÑÒNH NGHÓA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH: III. Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] chia ñoaïn [a;b] thaønh n phaàn tuøy yù bôûi caùc ñieåm chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Treân moãi ñoaïn [xk-1;xk] vôùi 1 ≤ k ≤ n laáy moät ñieåm ξk baát kyø. Kyù hieäu: Δxk = xk - xk-1. Nghóa laø: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ... Laäp toång

n

∑ f(ξ k =1

k

)Δx k =f(ξ1 )Δx1 + f(ξ 2 )Δx 2 + ... + f(ξ n )Δx n Ñöôïc goïi laø toång tích phaân cuûa haøm soá

y = f(x) treân [a;b].

7 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

Ta goïi tích phaân xaùc ñònh cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b] laø giôùi haïn (neáu coù) cuûa toång tích phaân khi maxΔxk → 0. Giôùi haïn naøy khoâng phuï thuoäc vaøo caùch phaân hoaïch ñoaïn [a;b] vaø vieäc choïn ξk. Kyù hieäu: b

n

∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξ k )Δx k Δk →0

a

k =1

Luùc ñoù ta baûo haøm f khaû tích theo Riemann hay khaû tích. Chuù yù: • a ñöôïc goïi laø caän döôùi vaø b ñöôïc goïi laø caän treân. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân xaùc ñònh: Neáu f(x) > 0 treân [a;b] thì

•

b

∫ f(x)dx chính laø a

dieän tích cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:y = f(x), truïc hoaønh, x = a, vaø x = b. Töø treân ta coù coâng thöùc Niutôn Leùpnit (Newton

•

b

-

b

Leibnitz): ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) a . Trong ñoù: F’(x) = f(x). a

VAÁN ÑEÀ 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG ÑÒNH NGHÓA (PHAÂN HOAÏCH) VAØ SÖÏ KHAÛ TÍCH: b

Daïng 1: Tính tích phaân ∫ f (x)dx baèng pheùp phaân hoaïch vaø baøi toaùn ngöôïc a

1) Ñieàu kieän caàn: Neáu haøm soá y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] thì noù bò chaën treân ñoaïn [a;b] ñoù. 2) Ñieàu kieän ñuû: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì noù khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. • Khi tính tích phaân baèng ñònh nghóa caàn thöïc hieän: B1: Chia ñoaïn [a;b] thaønh n ñoaïn baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia x k = a + k B

b-a . Vôùi k = 0, 1, 2, n

..., n. B2: Choïn ξk baèng xk (hoaëc xk-1) trong ñoaïn [xk-1,xk]. B

n

B3: Laäp toång tích phaân S n = ∑ (x k - x k-1 ).f(x k ) B

k=1

b

B4: Ta coù ∫ xf(x)dx = lim S n B

a

n →∞

Caàn nhôù moät soá keát quaû: 1) 2) 3)

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 2 ⎡ n(n + 1) ⎤ 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 + 2 + 3 + ... + n =

8 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

4)

http://www.toanthpt.net

b

F(x ) = ∫ f (t ).dt x ∈ [a;b], haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø F’(x) = f(x). a

Daïng 2: Nhaän bieát haøm khaû tích Riemann b

ÑL1: (Ñieàu kieän caàn: suy ra töø ñònh nghóa ∫ f (x)dx ) a

Moïi haøm f khoâng bò chaën treân ñoaïn [a;b] thì f khoâng khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL2: (Ñk ñuû) Moïi haøm f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL3:Moïi haøm f bò chaën treân ñoaïn [a;b] vaø giaùn ñoaïn taïi höõu haïn caùc ñieåm x0 ∈ [a;b] maø lim f(x) ∈ R (*) thì f vaãn khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ⎧⎪ x → x −0 ⎨ + ⎪⎩ x → x 0

Caàn nhôù: f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f bò chaën treân ñoaïn [a;b]. ÑL4:Moïi haøm f bò chaën vaø ñôn ñieäu treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. Daïng 3: Söû duïng ñuùng ñaén coâng thöùc Newton – Leibnitz. Coâng thöùc Newton - Leibnitz: b

∫ f(x)dx = F(b) - F(a) khi noù thoûa ñoàng thôøi hai ñieàu kieän: a

• Haøm döôùi daáu tích phaân f(x) lieân tuïc treân [a;b]. • Haøm nguyeân haøm cuûa F(x) cuõng lieân tuïc treân [a;b]. Ghi chuù: Trong moät soá tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân coù daïng y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] ta chöa aùp duïng ngay coâng thöùc Newton - Leibnitz treân [a;b] maø caàn xöû lyù caän trung gian c ∈ (a;b) ñeå xeùt daáu f(x) vaø deã daøng tìm F(x) chaúng haïn: b

c

b

a

a

c

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx

(*) .(*) coøn söû duïng khi x0 = c laø ñieåm giaùn ñoaïn cuûa f(x) vaø

F(x) treân ñoaïn [a;b] (tích phaân suy roäng). Thuaät ñoåi bieán soá: b

Khi ñaõ quan saùt ∫ f(x)dx vaø thaáy haøm f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b]: a

• •

β

ϕ (β )

α

ϕ(α )

PP1 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f[ϕ(x)]ϕ '(x)dx =

∫

f(t)dt

Vôùi caùc ghi nhôù: ) Ñaët t = ϕ(x); vôùi t laø bieán ñoåi soá môùi. )

⎧ x = α ⇒ t = ϕ (α ) vaø t = ϕ(x) laø haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm ⎩ x = β ⇒ t = ϕ(β )

Trong ñoù: ⎨ treân [α;β].

•

b

ϕ −1 (b)

a

ϕ −1 (a)

PP2 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ NGHÒCH: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f(x)dx =

∫

f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt (2)

9 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

Vôùi caùc ghi nhôù: ) Ñaët x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); vôùi t laø bieán môùi. −1 ⎪⎧ x = a ⇒ t = ϕ (a) vaø t laøm haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm treân −1 ⎪⎩ x = b ⇒ t = ϕ (b)

Trong ñoù: ⎨

)

[a;b]. Ghi chuù: Tính ñôn ñieäu cuûa haøm t = ϕ(x) < hay t = ϕ-1(x) > laø quan troïng nhö tính lieân tuïc vaø khaû ñaïo haøm cuûa t treân [α;β] < hay [a;b] >. Chaúng haïn trong (1), ta giaû söû t = ϕ(x) khoâng ñôn ñieäu treân [α;β] thì seõ coù tröôøng hôïp ⎧⎪ VP(1) = 0 . Luùc ñoù (1) khoâng coøn ñuùng! ⎪⎩ VT(1) ≠ 0

ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β maø ⎨

VAÁN ÑEÀ 2 : TÍCH PHAÂN HAØM PHAÂN THÖÙC Daïng 1: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc cô baûn thöù nhaát b

dx αx + β x + γ a

Tính tích phaân I1 = ∫

2

(α ≠ 0)

Ta laøm 2 böôùc: B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa f(x) = B

dx treân [a;b]. αx + β x + γ 2

B2: Ñöa veà daïng chuaån ñeå söû duïng moät trong ba coâng thöùc sau vôùi Δ = β 2 − 4αγ vaø sau khi B

ñaët 1) 2) 3)

1 ra ngoaøi daáu tích phaân: α b

b

dX 1⎡ X⎤ ∫a X 2 + A2 = A ⎢⎣ arctg A ⎥⎦ a Neáu Δ < 0 b

b

dX 1 ⎡ X-A ⎤ ∫a X 2 - A2 = 2A ⎢⎣ ln X + A ⎦⎥ Neáu Δ > 0 a b

b

dX ⎡1⎤ ∫a X 2 = - ⎢⎣ X ⎥⎦ a

Neáu Δ = 0 b

b

dx ⎡1 ⎤ ∫a ax + b = ⎢⎣ a ln ax + b ⎥⎦ a

Daïng 2: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc thöù hai b

mx + n dx αx 2 + β x + γ a

Tính tích phaân I 2 = ∫

(α ≠ 0; m ≠ 0)

Ta laøm 2 böôùc: B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa haøm döôùi daáu tích phaân vaø ñöa tích phaân veà daïng: B

I2 =

b

b

m 2 αx + β dx ⎛ β m − 2 αn ⎞ dx − ⎜ ⎟ 2 2 ∫ ∫ 2 α a αx + β x + γ 2α ⎝ ⎠ a αx + β x + γ

10 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net b m β m − 2αn ⎞ ⎡ ln αx 2 + β x + γ ⎤ − ⎛⎜ B2: Tính I2 vaø I2 phuï thuoäc vaøo 3 tröôøng hôïp cuûa I1. I 2 = ⎟ I1 ⎣ ⎦ a 2α 2α ⎝ ⎠ B

Daïng 3: Baøi toaùn tích phaân haøm phaân thöùc toång quaùt b

P(x) dx ; trong ñoù P(x) vaø Q(x) laø nhöõng ña thöùc. Q(x) a

Tính tích phaân I = ∫

Ta ñeå yù hai tröôøng hôïp: TH1: Baäc P(x) ≥ baäc Q(x) thì ñem chia P(x) : Q(x) ñeå ñöa veà tröôøng hôïp 2. TH2: Baäc P(x) < baäc Q(x) thì ta ñaõ coù 2 phöông phaùp nhaân tích thaønh toång caùc tích phaân phaân thöùc thaønh phaàn maø pheùp giaûi khaû thi nhö sau: • Phaân tích theo yeâu caàu ñeà baøi höôùng daãn. • Phaân tích theo ñònh lyù Taylor. TH1: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm ñôn x1; x2; x3... thì phaân tích A3 A1 A2 P(x) = + + + ...; Ai ; ∀i ∈ 1; n laø haèng soá. Q(x) x − x1 x − x 2 x − x 3

Tìm Ai baèng phöông phaùp theá giaù trò rieâng (nghieäm maãu). TH2: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm boäi x1; x2. Thì ta phaân tích, thí duï:

B3 A1 A2 B1 B2 P(x) P(x) = = + + + + + ... 2 3 2 3 2 Q(x) (x − x1 ) (x − x 2 ) (x − x1 ) x − x 2 (x − x 2 ) (x − x 2 ) x − x2

Tìm Ai; Bj baèng phöông phaùp giaù trò rieâng (nghieäm maãu) vaø phöông phaùp giaù trò tuøy yù; ∀j ∈ 1, 3 vaø ∀i ∈ 1,2

TH3: Q(x) chöùa caùc tam thöùc baäc hai α1x2 + β1x + γ1 coù nghieäm x1; x2 hay coù nghieäm keùp hay α2x2 + β2x + γ2 (voâ nghieäm) thì ta phaân tích, thí duï: A1 A2 P(x) P(x) Bx + C = = + + 2 2 Q(x) α1 (x − x1 )(x − x 2 )(α 2 x + β 2 x + γ 2 ) x − x1 x − x 2 α 2 x + β 2 x + γ 2 A1 A2 P(x) P(x) Bx + C Ex + F = = + + + 2 2 2 2 2 Q(x) α1 (x − X) (α 2 x + β 2 x + γ 2 ) (x − X) x − X α 2 x + β 2 x + γ 2 (α 2 x + β 2 x + γ 2 )2

CHUYEÂN ÑEÀ 2: TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG I.

TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 1: Cho haøm f xaùc ñònh treân [a;+∞) vaø khaû tích treân ñoaïn höõu haïn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta ñònh

•

nghóa:

+∞

b

+∞

a

a

∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx . Khi giôùi haïn ôû veá phaûi höõu haïn ta noùi ∫ f(x)dx b →+∞

a

ngöôïc laïi ta noùi

+∞

∫ f(x)dx

hoäi tuï,

phaân kyø.

a

Töông töï

• b

b

∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx

−∞

a→−∞

a

;

+∞

b

−∞

b →+∞ a→−∞ a

∫ f(x)dx = {lim ∫ f(x)dx 11

Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

Hay •

http://www.toanthpt.net

+∞

c

+∞

−∞

−∞

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx; ∀c ∈ R

Vieäc söû duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz cuõng khoâng khaùc maáy khi goïi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x), ta coù:

∫ f(x)dx = lim F(b) − F(a)

∫ f(x)dx = F(b) − lim F(a)

b →+∞

a

II.

b

+∞

−∞

a→−∞

TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 2:

Cho haøm f giôùi noäi vaø khaû tích trong ñoaïn [a + ε; b] nhöng khoâng giôùi noäi hoaëc khoâng khaû b

tích trong toaøn boä [a; b] ta ñònh nghóa: ∫ f(x)dx = lim ε→ 0

a

b

b

∫

f(x)dx khi lim f(x) = ∞ . x→ a

a +ε

b

Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ (a; b] c→ a

a

c

b

Töông töï treân [a;b) ta coù: ∫ f(x)dx = lim ε→ 0 +

a

b

b −ε

∫

f(x)dx

a

c

Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ [a; b) khi lim f(x) = ∞ c→ b −

a

x→ b

a

Ghi chuù: Coù loaïi tích phaân vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 1 vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 2. Chaúng haïn: I =

+∞

∫ 0

1

ln x ln x dx = ∫ dx + 2 2 1+ x 1 x + 0 SRL2

+∞

ln x

∫ 1+ x 1

2

dx . Vaø ta chöùng minh ñöôïc I = 0.

SRL1

III. TÍCH PHAÂN HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: b

Daïng 1: ∫ sin m x cos n xdx a

1) • •

Neáu ít nhaát moät trong 2 soá m hay n leû: m leû (⇒) Ñaët t = cosx n leû (⇒) Ñaët t = sinx

•

⎡ m ≥ n ( ⇒ ) Ñaët t = sinx m; n ñeàu leû ⎢⎢ m ≤ n ( ⇒ ) Ñaët t = cosx ⎢⎣ m = n ( ⇒ ) Haï baäc naâng cung

2)

m; n chaün (m; n > 0) ⇒ Duøng coâng thöùc haï baäc naâng cung.

1 − cos 2x 2 3 sin x − sin 3x sin 3 x = 4

sin 2 x =

1 + cos 2x 2 3 cos x + cos 3x cos 3 x = 4

cos 2 x =

3) m; n chaün (m;n < 0) ⇒ Ñaët t = tgx. b

Daïng 2: ∫ R(sin x; cos x)dx (Trong ñoù R laø 1 haøm höõu tyû) a

12 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

Söû duïng caùc pheùp theá sau: 1) Pheùp theá toång quaùt (Pheùp theá vaïn naêng): 2dt ⎧ dx = ⎪ x ⎪ 1 + t2 Ñaët t = tg ⇒ ⎨ 2 2 ⎪ sin x = 2t vaø cos x = 1 − t 1 + t2 1 + t2 ⎩⎪

2) • • •

Ba pheùp theá ñaëc bieät: R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = cosx R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = sinx R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = tgx

Daïng 3: Caùc daïng khaùc 1)

⎡ sin(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎤ ⎡Coâng thöùc bieán ñoåi ⎢ ⎥ ∫a ⎢ sin(αx + β) sin(γx + δ ) ⎥ dx ⇒ ⎢⎣ tích thaønh toång ⎣⎢ cos(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎦⎥

2) 3)

Bieán ñoåi toång thaønh tích. Caùc daïng khaùc treân ...

b

IV. TÍCH PHAÂN HAØM CHÖÙA CAÊN THÖÙC: b

m

p

r

Daïng 1: ∫ R(x; x n ; x q ;...; x s )dx a

1)

Ñaët t = k x ⇒ tk = x vôùi k = MSC (n; q; ...; s). Nhôù ñeå yù tính khaû tích cuûa f treân [a;b].

2) •

Phöông phaùp vaãn khaû thi khi gaëp caùc haøm hôïp cuûa haøm: f(x) = R(x; x n ; x q ; ...; x s )dx

m

r

f(αx + β) ⇒ Ñaët t = k αx + β ⎛ αx + β ⎞ f⎜ ⎟ ⇒ Ñaët t = ⎝ γx + δ ⎠

•

p

Daïng 2:

b

∫ a

dx αx + β x + γ 2

k

αx + β γx + δ

(α ≠ 0) vaø

b

∫ a

Ax + B αx 2 + β x + γ

dx

2 ⎡⎛ ⎤ β ⎞ B1: Kieåm tra tính khaû tích vaø bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + k + ⎥ 2 α ⎟⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ 1 2

B

B2: Phaân bieät ba tröôøng hôïp sau khi ñöa B

1) 2)

α

⎛ ⎝

β ⎞ ⎠

ra ngoaøi daáu tích phaân vaø ñaët X = ⎜ x + 2α ⎟

b ⎧α > 0 dX ⇒ = ln X + X 2 + k AÙ p duï n g: ⎨ ∫ 2 ≠ k 0 X +k ⎩ a

b a

b ⎧α > 0 β ⎞ β dX ⎛ ⇒ AÙp duïng:∫ = sgn ⎜ x + ln X + ⎨ ⎟ β 2α ⎠ 2α ⎝ ⎩k = 0 a x+ 2α

b

a

13 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït b b ⎧α > 0 dX X ⇒ AÙp duïng:∫ = arcsin (H > 0) 3) ⎨ Ha H2 + X2 ⎩k < 0 a

http://www.toanthpt.net

b

Ghi chuù: Baèng pheùp phaân tích theâm bôùt ta coù theå tính ñöôïc I 2 = ∫ a

b

dx

neàn laø I1 = ∫

αx + β x + γ 2

a

Ax + B αx 2 + β x + γ

dx vôùi daïng

sau khi ñaët t = αx 2 + β x + γ .

b

Daïng 3: I = ∫ αx 2 + β x + γ dx a

a)

Phöông phaùp 1:

2 ⎡⎛ ⎤ β ⎞ B1: Bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + + k ⎥ ; ñöa 2α ⎟⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ β X = x+ . 2α 2

α

B

ra ngoaøi daáu tích phaân vaø xem

B2: Ta chia laøm ba tröôøng hôïp: B

b b ⎧α > 0 X k ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ X 2 + k = X 2 + k + ln X + X 2 + k a 2 2 ⎩k ≠ 0 a

TH1: ⎨

b a

b

b ⎧α > 0 β β ⎞ ⎛ x2 βx ⎞ ⎛ dx = sgn ⎜ x + ⇒ AÙp duïng coâng thöùc :∫ x + ⎟ ⎜ 2 + 2α ⎟ α 2 2 α ⎝ ⎠⎝ ⎩k = 0 ⎠a a

TH2: ⎨

b

b b ⎧α > 0 X H2 X 2 2 2 2 TH3: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ H + X = H +X + arcsin a 2 2 Ha ⎩k < 0 a

b) Phöông phaùp 2: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ⎧⎪ u = αx 2 + β x + γ Ñaët ⎨ ⎪⎩ dv = dx b

(

)

Daïng 4: Giôùi thieäu pheùp theá löôïng giaùc tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a

Söû duïng moät trong 3 pheùp theá sau khi bieán ñoåi vaø quan saùt ñieàu kieän khaû tích:

(

b

)

TH1: I = ∫ R x; (kx + h)2 + m2 dx a

(m > 0)

⎛ kx + h ⎞ ⎟ ⇔ kx + h = m tgt ⎝ m ⎠

Ñaët t = arctg ⎜ b

(

TH2: I = ∫ x; m 2 − (kx + h)2 a

)

dx

(m > 0)

⎛ kx + h ⎞ ⎟ ⇔ kx + h = m sin t ⎝ m ⎠

Ñaët t = arcsin ⎜ b

(

)

TH3: I = ∫ R x; (kx + h)2 − m 2 dx a

(m > 0)

14 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït m ⎛ m ⎞ ⇔ kx + h = Ñaët t = arccos ⎜ ⎟ cos t ⎝ kx + h ⎠

http://www.toanthpt.net

b

(

)

Daïng 5: Giôùi thieäu pheùp theá Euler tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a

Moät caùch khaùc pheùp theá Euler nhö sau toû ra tieän lôïi: • Ñaët αx 2 + β x + γ = ± αx + t neáu α > 0 •

Ñaët αx 2 + β x + γ = xt ± c neáu c ≥ 0

•

Ñaët αx 2 + β x + γ = α(x − x1 )(x − x 2 ) = t(x − x1 ) (Δ > 0)

Daïng 6: Giôùi thieäu caùc daïng chuaån vaø caùc thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng Xöû lyù ñuùng thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng cho töøng daïng chuaån ñöôïc giôùi thieäu ôû sau: ta luoân ñöôïc caùch giaûi quyeát tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân ñaëc tröng cho caùc haøm caên thöùc ñaõ bieát (chuù yù ñieàu kieän khaû tích). 1)

b

Daïng I1 = ∫ a

2)

Daïng I 2 = ∫

2

Bdx 2

a

(ωx + δ ) αx + γ

a

( ω x + δ ) αx + γ 2

2

2

b

a

b

Daïng I 6 = ∫ a

+∫ a

B dx ( ω x + δ ) αx 2 + γ 2

Vôùi (δ 2 − 4ωξ < 0)

(ωx + δx + ξ) αx + β x + γ 2

b

Ax dx

(Ax + B) dx

Ñöa veà daïng I 4 = ∫ 6)

=∫

2

b

Daïng I 5 = ∫

b

(Ax + B) dx 2

1 x+δ

Ñaët xt = αx 2 + γ

(ωx + δ ) αx + γ 2

Ñaët t =

Ñaët t = αx 2 + γ

( ω x + δ ) αx + γ

b

Daïng I 4 = ∫ a

5)

Ax dx 2

b

Daïng I 3 = ∫ a

4)

(x + δ ) αx + β x + γ 2

b

a

3)

dx

(Ax + B) dx (ω 'x 2 + δ ') α 'x 2 + γ '

Pn (x) dx αx 2 + β x + γ

Vôùi Pn(x) ña thöùc baäc n ≥ 2.

Baèng caùch bieán ñoåi Euler, tích phaân I6 tính ñöôïc moät caùch toång quaùt nhöng raát phöùc taïp. Ngöôøi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc coâng thöùc sau vaø neáu aùp duïng noù thì vieäc tính tích phaân I6 coù phaàn ñôn giaûn hôn: b

∫ a

Pn (x) ax 2 + bx + c

b

b

dx = Qn −1 (x) ax 2 + bx + c + λ ∫ a

a

dx ax 2 + bx + c

(*)

Trong ñoù Qn-1(x) laø ña thöùc baäc n-1 vôùi caùc heä soá caàn ñöôïc xaùc ñònh vaø λ laø moät soá thöïc cuõng caàn ñöôïc xaùc ñònh. Ñeå xaùc ñònh λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x) ta ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc (*). Roài ñoàng nhaát heä soá hai veá ñeå suy ra heä phöông trình ñaëc tröng maø vieäc giaûi heä phöông trình ñaëc tröng ñoù seõ cho ta λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x). (Goïi laø phöông phaùp ñaïo haøm ñaúng laäp).

VAÁN ÑEÀ 3: CAÄN TRUNG GIAN:

15 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

Cô sôû cuûa phöông phaùp laø aùp duïng hôïp lyù coâng thöùc (1):

b

c

b

a

a

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx qua hai

böôùc (ñeå tính caùc tích phaân xaùc ñònh maø haøm döôùi daáu tích phaân coù chöùa | |; max; min vaø caû tröôøng hôïp ñoaïn laáy tích phaân khoâng aùp duïng ñöôïc coâng thöùc Newton - Leibnitz). B1: Choïn caän trung gian c thích hôïp (ñoâi khi phaûi choïn hai, ba... giaù trò caän trung gian khaùc nhau tuøy ñieàu kieän baøi toaùn). B2: AÙp duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz B

B

c

b

∫ f(x)dx = F(b) − F(c) ñeå tính tích phaân (1).

∫ f(x)dx = F(c) − F(a) vaø a

c

Chuù yù: Thaän troïng khi f(c) ∉ R (tröôøng hôïp tích phaân suy roäng loaïi 2). VAÁN ÑEÀ 4: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN VAØ CAÙC THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ RAØNG BUOÄC HAI CÖÏC Chöùng minh (VT = VP). Ñoâi khi ta caàn chöùng minh ñaúng thöùc trung gian. Ví duï: A−B= 0 ⇔ A = B * *

⎧A = C ⇔ A=B ⎨ ⎩B = C

*

⎪⎧ A2 = B2 ; A = B ⇔ A = B... ⎨ ⎪⎩ A ≥ B ≥ 0

ÔÛ ñaây ta löu yù ñeán pheùp ñoåi bieán soá keát hôïp caän trung gian, tính chaün leû tuaàn hoaøn - lieân tuïc ... Ngoaøi ra tính chaát khoâng phuï thuoäc bieán vaø tính chaát hoaùn ñoåi cöïc cuõng raát thöôøng söû duïng: b

b

a

a

b

∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ... = ∫ f(n)dn b

a

b

∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx a

a

b

c

b

a

a

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx Ghi chuù: Khi hai veá khoâng cuøng cöïc ta phaûi ñoåi bieán soá ñeå tính cöïc laø ñoàng nhaát. 10 ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN ÑAÙNG NHÔÙ 1 2

3

2a

a

0 b

0

⎧ f lieân tuïc treân [0; 2a] ⎩ ∀a > 0

∫ f(x)dx = ∫ [ f(x) + f(2a − x)] dx

∫ xf(x)dx = a b

bieát ⎨

⎧ f lieân tuïc treân [a; b] ⎩ f(a + b − x) = f(x)

b

a+ b f(x)dx 2 ∫a

bieát ⎨

b

∫ f(x)dx = ∫ f(a + b − x)dx a

a

b

b

0

0

bieát f lieân tuïc treân [a; b]

(HQ): ∫ f(x)dx = ∫ f(b − x)dx

16 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

4

a

a

−a

0

http://www.toanthpt.net ⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] bieát ⎨ ⎩ f chaün; ∀a > 0

∫ f(x)dx = 2 ∫ f(x)dx

⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] ⎩ f leû; ∀a > 0

a

5

6

bieát ⎨

∫ f(x)dx = 0

−a a+ T

∫ a

T

f(x)dx = ∫ f(x)dx

(HQ):

⎧ f lieân tuïc treân R ⎩ f coù chu kyø T

bieát ⎨

0

nT

∫ 0

T

f(x)dx = n ∫ f(x)dx 0

π 2

π 2

0 π

0 π 2

∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx

bieát f lieân tuïc treân [0; 1]

8

∫ f(sin x)dx = 2 ∫ f(sin x)dx

bieát f lieân tuïc treân [0; 1]

9

∫ xf(sin x)dx = π ∫ f(sin x)dx

bieát f lieân tuïc treân [0; π]

7

0 π

0 π 2

0

0

t

10

⎧ f lieân tuïc treân [-t; t] ⎩ f chaün; ∀a > 0; ∀t ∈ R

t

f(x)dx ∫− t ax + 1 = ∫0 f(x)dx

bieát ⎨

VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG TÍCH PHAÂN PHUÏ TRÔÏ VAØ HAØM PHUÏ TRÔÏ Daïng 1: Tính tích phaân baèng thuaät tích phaân phuï trôï • Muoán tính tích phaân I ta söû duïng tích phaân phuï trôï J vaø vieäc choïn J (khaû tích) nhö caùc tieâu chuaån sau ñaõ toû ra laø tieän lôïi: ⎧ g(I;J) = 0 laø giaûi ñöôïc. ⎩ h(I;J) = 0

1)

Heä phöông trình ⎨

2)

Chöùng minh I = J vaø giaûi phöông trình: 2I = I + J ⇒ I = ... (Hieån nhieân tính ñöôïc caû J vì J = I)

•

Cuõng coù theå choïn J sao cho: I + J = ∫ h(x)dx (1) vaø I − J = ∫ g(x)dx (2) ... vôùi chuù yù caû hai

b

b

a

a

tích phaân ôû (1) vaø (2) ñeàu khaû thi. Daïng 2: Tính tích phaân baèng thuaät haøm phuï trôï •

b

Muoán tính tích phaân I = ∫ f(x)dx maø trong ñoù haøm f(x) khaû tích treân [a;b] nhöng khoâng a

(1)

tính ñöôïc nguyeân haøm baèng caùc phöông phaùp ñaõ neâu (hay khoâng tính ñöôïc moät caùch ñôn giaûn baèng tính chaát haøm sô caáp). Ngöôøi ta choïn moät haøm phuï trôï g(x) khaû tích cho f(x) nhö sau toû ra hieäu quaû: h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b]

17 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït ⎧b ⎪ ∫ h(x)dx = (const)(b − a) ⎪ (2) ⎨ ba ⎪ g(x)dx : Khaû thi theo caùc phöông phaùp tröôùc ⎪∫ ⎩a

•

http://www.toanthpt.net

Thoâng thöôøng tìm f’(x) ñeå döï ñoaùn g(x) caàn tìm.

VAÁN ÑEÀ 6: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN Daïng 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng ñaïi soá vaø giaûi tích Cho caùc haøm lieân tuïc trong ñoaïn [a; b]; ∀b > a, nhö sau: b

b

a

a

f(x) ≥ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx

• •

b

b

a

a

Neáu tìm ñöôïc (α; β) ⊂ [a; b] maø f(x) > g(x): ⇒ ∫ f(x)dx > ∫ g(x)dx (daáu ñaúng thöùc khoâng xaûy ra) Tröôøng hôïp g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]; ta coù: b

f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] a

• •

b

b

a

a

∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x) dx

(daáu " = " xaûy ra ⇔ f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b]) b

m ≤ f(x) ≤ M; ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) a

•

Xeùt moät baát ñaúng thöùc maø caû hai veá ñeàu chöùa daáu tích phaân ta löu yù: ) Khi hai caän hai veá nhö nhau ta chæ caàn chöùng minh baát ñaúng thöùc xaûy ra giöõa hai haøm döôùi daáu tích phaân. ) Khi hai caän hai veá khaùc nhau ta caàn choïn bieán soá ñeå ñoåi ôû moät trong hai veá ñeå hai caän hai veá nhö nhau vaø laøm töông töï nhö treân.

•

⎧ f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⎪ Vaäy muoán chöùng minh ∫ f(x)dx ≤ A . Ta tìm haøm g(x) thoûa ⎨ b a ⎪ ∫ g(x)dx = A ⎩a

•

Ñoâi khi coøn söû duïng daáu cuûa tam thöùc baäc hai, quy naïp, ñaïo haøm ... ñeå chöùng minh

b

b

b

a

a

∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx Daïng 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng baøi toaùn hình thang hoãn tuyeán (PP hình hoïc)

18 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

Cho hai haøm f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a;b], dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñoà thò y = f(x); y = g(x) vaø hai ñöôøng tung x = a vaø x = b (a < b) nhö trong hình veõ ñöôïc tính bôûi: S=

y

x=b

x=a A2

S

http://www.toanthpt.net

B2 y=f(x) B1 y=g(x)

b

A1

∫ ( f(x) − g(x) ) dx

x

a

O

a

b

VAÁN ÑEÀ 7: TÍCH PHAÂN VAØ COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI (QUY NAÏP) b

Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx . Neáu laäp ñöôïc moät quan heä giöõa caùc I0 hay I1 hay I2;... vôùi In cuûa daõy (In) a

thì ñöôïc coâng thöùc truy hoài cuûa In. Thoâng thöôøng ta söû duïng: 1) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn; Phöông phaùp ñoåi bieán. 2) Phöông phaùp luøi daàn caùc soá haïng cuûa daõy (In) ñeå ruùt goïn caùc soá haïng ôû khoaûng giöõa cuûa daõy, ñeå roài töø ñoù tìm ra soá haïng toång quaùt tuøy yù cuûa daõy (In). Ghi chuù: 1/ n! = 1.2.3...(n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6...(2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5...(2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 1 5/ (-1)!! = 0!! = 1 VAÁN ÑEÀ 8: HAØM TÍCH PHAÂN b

Xeùt tích phaân I = ∫ f(t)dt vôùi hai caän a = a(x), b = b(x) thì I khoâng laø moät haèng soá thöïc. Luùc a

ñoù I laø moät haøm soá thöïc theo bieán soá thöïc x : I(x) goïi laø moät haøm soá - tích phaân hay goïn hôn haøm tích phaân. Thöôøng ta xeùt: x

ϕ (x)

a

a

I(x) = ∫ f(t)dt hoaëc I(x) =

∫

f(t)dt (f(t) lieân tuïc treân [a;x])

x

Ta coù: I(x) = ∫ f(t)dt laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thoûa ñieàu kieän I(a) = 0 a

′ ⎛x ⎞ ⇒ I'(x) = ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f(x) ⎝a ⎠

Nhö vaäy ta coù caùc chuù yù: khi hai cöïc laø moät haøm soá cuûa x: 1)

′ ⎛ ϕ (x) ⎞ ⎜⎜ ∫ f(t)dt ⎟⎟ = f [ ϕ(x)] .ϕ '(x) ⎝ a ⎠

19 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït ′ ⎛ ϕ2 (x) ⎞ 2) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f ⎡⎣ϕ 2 (x)⎤⎦ .ϕ '2 (x) − f ⎡⎣ϕ1 (x)⎤⎦ .ϕ '1 (x) ⎜ ϕ (x) ⎟ ⎝ 1 ⎠

http://www.toanthpt.net

Ghi chuù: Khi tìm giôùi haïn cuûa moät haøm tích phaân ñoâi khi phaûi söû duïng quy taéc L’hospitale. Taát caû caùc daïng voâ ñònh 0 × ∞; ∞ -∞; 1∞ ; ∞ 0 ; vaø 0 0 ñeàu ñöa ñöôïc veà daïng voâ ñònh

0 ∞ hay ñeå söû duïng 0 ∞

quy taéc L’hospitale thì vieäc tìm giôùi haïn môùi chính xaùc. VAÁN ÑEÀ 9: GIÔÙI HAÏN VAØ TÍCH PHAÂN Daïng 1: Daõy tích phaân vaø giôùi haïn cuûa daõy tích phaân b

Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx; ∀n ∈ Z + . Khi n thay ñoåi ta coù daõy tích phaân (In). Ñeå tính giôùi haïn lim I n ta n →∞

a

laäp coâng thöùc truy hoài In vaø söû duïng caùc tính chaát: • lim I n = lim I n − 1 n →+∞

•

n →∞

⎧⎪ an ≤ I n ≤ b n ⎨ lim a = lim b = α ⇒ lim I = α n ⎪⎩ n →+∞ n n→+∞ n n →+∞

Daïng 2: Giôùi haïn môû roäng cöïc tích phaân n

Muoán tính lim ∫ f(x)dx . Ta ñi tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) vaø aùp duïng giaùn tieáp coâng n →∞

a

n

thöùc Newton - Leibnitz trong giôùi haïn lim ∫ f(x)dx = ⎡ lim F(n) − F(a)⎤ . n →∞

⎣ n →∞

a

⎦

DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG y

S = S ba (x) =

b

∫ f(x)dx (1)

x=a

1)

a

•

Ghi chuù 1: Khi söû duïng coâng thöùc trò tuyeät ñoái ôû (1) seõ luoân ñuùng cho caû hai tröôøng hôïp f(x) ≥ 0 hoaëc f(x) ≤ 0.

A O

a

S(x)

C

x=b

D (C):y=f(x)

B b

x

20 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

∫ [ f(x) − g(x)] dx

D (C):y=f(x)

(2)

a

Ghi chuù 2: Khi söû duïng coâng thöùc trò tuyeät ñoái ôû (2) seõ luoân ñuùng cho caû hai tröôøng hôïp f(x) ≥ g(x) hoaëc f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] •

S(x)

A

C

x=b

S = S (x) =

b

x=a

2)

b a

http://www.toanthpt.net

y

(C):y=g(x) O

B b

a

x

y

3)

S = S ba (x) =

c

∫ [ g(x) − f(x)] dx + a

•

b

∫ [ f(x) − g(x)] dx

(3)

D (C):y=f(x) C

c

Ghi chuù 3: Thöïc chaát S = S1 + S 2 = S ca (x) + S cb (x)

E B (C):y=g(x) A

Khi gaëp tröôøng hôïp toång quaùt phaûi phaân nhoû S = S1 + S2 + S3 + ... + Sn ta laøm töông töï cho (3). •

a

O

c

x

b

Ghi chuù 4: Khi S ba (x) phöùc taïp ta coù theå chuyeån sang tính Sβα (y) neáu phaùn ñoaùn ñöôïc noù ñôn giaûn hôn khi tính S ba (x) .

•

Ghi chuù 5: Khi dieän tích giôùi haïn ôû vò trí phöùc taïp, ta coù theå söû duïng tính chaát: Dieän tích S baát bieán qua moät pheùp dôøi hình. b

TÍNH THEÅ TÍCH BAÈNG ∫ f(x)dx a

Daïng 1: Theå tích coá theå troøn xoay AÙp duïng caùc coâng thöùc sau:

y

y

a

(C):y=f(x) x

a

O

(C):y=f(x)

b

b

x O

b

b

V = π ∫ [ f(x)] dx

V = π ∫ [ g(y)] dy

2

a

•

2

a

Ghi chuù 1: Khi gaëp caùc coá theå troøn xoay phöùc taïp thì phöông phaùp coäng theå tích thaønh phaàn laø quan troïng luùc tính theå tích: V = V1 + V2 ⇔ V1 = V − V2 . Trong ñoù:

21 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân

Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït

http://www.toanthpt.net

V1: laø theå tích caàn tìm trong giaû thieát. V; V2: laø caùc theå tích lieân ñôùi tính noù ñôn giaûn hôn V1. • Ghi chuù 2: Ñoâi khi ta coøn aùp duïng tính baát bieán cuûa S vaø V qua 1 pheùp dôøi hình. Daïng 2: Theå tích coá theå do hình thang hoãn tuyeán ñaùy Ox quay quanh Oy Ta xeùt moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa daïng 1 khi cho hình thang hoãn tuyeán AA0B0B (ñaùy A0B0 ⊂ Ox) quay quanh Oy. B

y

y

f(b) B

B'

A' -b

A0 -a O a

B

A

:y= ) (C

f(a) B0 b x

B

) f(x

A

O

B0 b x

a

b

Luùc ñoù coá theå taïo thaønh coù theå tích: V = 2 π ∫ xf(x)dx (1) a

Vaäy (1) thay coù caùch tính phöùc taïp hôn cuûa phöông phaùp toång theå tích: ⎛ f (b) −1 ⎞ 2 V = πb f(b) − ⎜ π ∫ ⎣⎡ f (y) ⎦⎤ dy + πa2 f(a) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ f (a) ⎠ 2

Daïng 3: Theå tích coá theå tuøy yù Söû duïng coâng thöùc tính theå tích

A

b

V = ∫ B(x)dx a

B laø ñaùy (dieän tích ñaùy) B(x) laø dieän tích thieát dieän song song vôùi ñaùy B taïi x tuøy yù trong [a;b]. Ghi chuù: Thöôøng choïn truïc Ox hôïp lyù ñeå bieåu thöùc B(x) ñôn giaûn. • •

B

y

H a O C

Ax

S bx

Bx Cx

22 Giaûi Tích Toaùn Hoïc

Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân