Centroides Yhean

República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Experimental de Politécnico del Estado Bolívar “U.E.P.E.B” Mecánica aplicada:

Profesor: Gabriel matos

Integrantes: S-02-06 -Medina Yhean Carlos C.I.: 19.534.677 -Moreno Karelis C.I.: 18.407.929 -Rodríguez Carlos C.I.: 18.827.829 -García Luis C.I.: 18.478.936

Ciudad Bolívar, DICIEMBRE 2009

Índice

Introducción………………………………………………………………………….03 Desarrollo:

Centroide…………..…………………………………………………………………04 Momento de Inercia…………………………………………………………………..05 • Segundo momento o momento de inercia de un área……………….………………06 • Momento Polar de inercia del área……………………….……………..…………..07 • Radio de Giro de un área………………………………………….………..……….08 • Teorema de los ejes paralelos o Teorema de STEINER……………….….………..09 • Producto de inercia……………………………………………….……….………...10 • Ejes principales y momentos principales de inercia…………………………………12

Conclusión…………………………………………………………………………….14 Bibliografía………………………...………………………………………………….15 Anexos……………………………………………………………………………..….16

Introducción

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos los puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá. Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide. Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coincide, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general.

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CENTROIDE

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. VOLUMEN: Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv " dv " dv " dv AREA: De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de un boleto, como una plancha o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA " dvA " dA " dA LINEA: Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL " dL " dL " dL NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no esta necesariamente dentro del objeto. También los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de la forma estará lo largo del eje. DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS AREAS El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varia linealmente desde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presión debida a un líquido sobre la superficie de una placa sumergida. 04

MOMENTO DE INERCIA Consideremos el área A, que se muestra en la figura situada en el plano x - y. Por definición los momentos de inercia del área plana diferencial dA en torno al eje x y al eje y son dlx = y2 dA y dly = x2 dA, respectivamente. Para el área total los momentos de inercia se determinan por integración es decir, Tambien podemos formular el segundo momento del área diferencial dA en torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de Inercia, dJo = r2 dA. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫ , donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). dAy2 Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano. Ejemplo: 1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga.

Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura. En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, ΔF=KyΔA, varían linealmente con la distancia “y” que hay entre el elemento de área ΔA y un eje que pasa a través el centroide de la sección. Nota: El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó Eje centroidal. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultante de las fuerzas sobre el eje neutro es cero. 05

En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas ΔF, que actúan en un diferencial de área ΔA, es R

En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ΔF se reduce a un par, cuya magnitud M es la Suma de los momentos Dm=y*ΔF=y2*ΔF de las fuerzas elementales.

La integral define el segundo momento del área o momento de inercia de la sección de la viga con respecto al eje horizontal (x). ∫dAy2.El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto del área dA por el cuadrado de la distancia “y “existente entre el eje (x) y el diferencial de área. Como cada producto y2dA es positivo la integral ∫dAy2 será positiva, independientemente del valor y signo de la distancia “y”. 2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elemento diferencial de área una presión proporcional a la profundidad del elemento P=γy. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dA es dM = dF*y =PdAy =(γydA)y = γy2dA = γ(y2dA). El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos los momentos diferenciales dM. 06

Donde la integral representa la inercia del área “A” respecto al eje AB, se denota por Iab, siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se toma el momento.

El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4 , pulg4. Momento de inercia y sus propiedades:

El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. 07

El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas.

Radio de giro: Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de inercia del área total.

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El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER.

La integral, representa el primer momento del área con respecto al eje C. Si el centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será nula. La integral,

representa el área total.

La integral, define el momento de inercia de un área con respecto del eje C, finalmente el segundo momento del área total se consigue mediante:

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El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, IA, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. Dicho en otras palabras la distancia d es la distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el eje donde se desea calcular el momento de inercia (Eje A). LOS EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C) LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes paralelos pasa a través del centroide del área. Para comprender los términos de la ecuación que define el teorema de los ejes paralelos, se ilustra a continuación un área A (figura morada) con su centroide en el punto C y el origen de coordenadas pasando por el punto “o”.

Donde: : Momento polar de inercia de un área con respecto de un punto O. Es el momento polar de inercia de un área respecto a su centroide C. d3: distancia entre el polo o y el centroide C. En las cuatro expresiones precedentes, la distancia d debe interpretarse como la distancia entre los dos eje paralelos involucrados; dependiendo el caso, se tomará como la distancia (d2) entre los ejes X y Xcentroidal, o se razonará como la distancia (d1) entre los eje Y e Ycentroidal. PRODUCTO DE INERCIA Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma: 10

Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva, negativa ó cero. Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de inercia será nulo.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS 11

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El producto de inercia () respecto a los ejes x ∧ y ubicados en el plano del área será equivalente a la suma del producto de inercia respecto a los ejes centroidales más el producto del área A por las distancias x e y desde los ejes x y hasta los ejes centroidales.

Producto de inercia de un rectángulo De acuerdo al teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es aplicando dicho teorema a un diferencial de área se tiene:

Como el diferencial de área (dA=h*dx) (rectángulo rayado) es simétrico respecto a sus ejes centroidales (Xce,xce), el valor del producto diferencial de inercia centroidal es nulo, 0= Los valores de x e y se definen mediante las siguientes expresiones:

Finalmente para obtener el producto de inercia del rectángulo (área amarilla) respecto a los ejes X,Y se plantea la siguiente integral:

EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

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Cálculo de los momentos de inercia respecto a los ejes U y V (ejes aules):

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Conclusión

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. El centroide es utilizado en muchas ramas de la matemática y la variación de números en los que se pueden utilizar en muchos casos En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio ndimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X. En la Física, el centroide puede, bajo ciertas circunstancias, coincidir con el centro de masas del cuerpo material y con el centro de gravedad del mismo. El centroide de un objeto o figura también puede definirse como un punto fijo del grupo de isometría de dicha figura. Para un objeto, figura limitada o región finita el grupo de isometría no incluye traslaciones y en ese caso si el grupo de isometría no es trivial, sus simetrías pueden determinar el centroide. Sin embargo si para un objeto tiene alguna simetría trasnacional el centroide no está definido, porque una traslación no tiene ningún punto fijo.

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Bibliografía

Buscador: www.google.com • html.rincondelvago.com/centroide.html –

Colegio: Universidad de Los Andes Autora Profesora: Nayive Jaramillo S. Facultad de Ingeniería Escuela Básica.

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Anexos

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6