Centroides

GABRIEL MATOS

VIOCARLYS LEON

MANTENIMIENTO 06

CARABALLO OSLIANY BOLIVAR SARA RIVAS IRIAN ARANGUREN XENIA YANEZ EMILI ACOSTA MANUEL

CIUDAD BOLIVAR; DICIEMBRE DE 2.009 FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:

A = ∫ dA; xA = ∫ xdA; yA = ∫ ydA

Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ΔA

CENTROIDE DE AREAS COMPUESTAS En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc.). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según: A=Ai ; x= xiAiAi ; y yiAiAi

Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de fórmulas para áreas comunes como los indicados en la tabla.

Subdivisión de un área

TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.

TEOREMA I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. TEOREMA II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el cuerpo.

FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

PRODUCTO DE INERCIA DE UN CUERPO Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos para momentos de inercia. Considere un area A y un sistema coordenadas rectagulares x y y:

A través del centroide C del area, cuyas coordenas son xy y, se dibujan dos ejes centroidales x´y y´ que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y. representando con x y y las coordenadas de un elemento de un area dA con respectos a los ejes originales y con x´y y´las coordenadas del mismo elemento con respecto a los ejes centroidales, se escribe x = x´+ x y y = y´ + y.

EJERCICIOS.

1. PARA EL AREA PLANA MOSTRADA EN LA FIGURA, DETERMINE:

a) LOS PRIMEROS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) LA UBICACIÓN DE SU CENTROIDE.

SOLUCION.

componente

A, mm

x,

y, mm

xA,mm

yA, mm

mm Rectángulo

(120)(80)=9.6x103

60

40

576x103

384x103

Triangulo

12(120)

40

-20

144x103

-72x103

60

105.46

339.3x103

596.4x103

(60)=3.6x103 Semicírculo

12π(60)2=5.655x10

3

Circulo

- π(40)2=-5.027x103 A=13.828x103

a) Primeros momentos del área

b) Ubicación del centroide

60

80

-301.6x103

402.2x103

xA=757.7x10

yA=506.2x10

3

3

2) LA FIGURA MOSTRADA ESTA HECHA A PARTIR DE UN PEDAZO DE ALAMBRE DELGADO Y HOMOGENEO. DETERMINE LA UBICACIÓN DE SU CENTRO DE GRAVEDAD.

SOLUCION.

SEGMENTO

L, in.

X, in.

Y, in.

xl, in.

yL, in.

AB

24

12

0

288

0

BC

26

12

5

312

130

CA

10

0

5

0

50

x= 600

yL= 180

L=60

3) DETERMINE LA UBICACIÓN DEL CENTROIDE DEL ARCO MOSTRADO.

SOLUCION.

4) DETERMINE EL AREA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION MOSTRADA EN LA FIGURA, LA CUAL SE OBTIENE ROTANDO UN CUARTO DE ARCO CIRCULAR CON RESPECTO A UN EJE VERTICAL.

SOLUCION.

6) CON LOS TEOREMAS PAPPUS-GULDINUS, DETERMINE: a) EL CENTROIDE DE UN AREA SEMICIRCULAR Y b) EL CENTROIDE DE UN ARCO SEMICIRCULAR. SE DEBE RECORDAR QUE EL VOLUMEN Y EL

AREA SUPERFICIAL DE UNA ESFERA SON, RESPECTIVAMENTE,

Y SOLUCION.

7) DETERMINE EL MOMENTO D EINERCIA DE UN TRIANGULO CON RESPECTO A SU BASE. SOLUCION.

8) a) DETERMINE EL MOMENTO POLAR CENTROIDAL DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR POR INTEGRACION DIRECTA; b) UTILICE EL RESULTADO DEL INCISO; a) Y DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR CON RESPECTO A UNO DE SUS DIAMETROS. SOLUCION.

a) MOMENTO POLAR DE INERCIA:

b) MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A UN DIAMETRO:

9) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS CORRESPONDIENTES AL AREA SOMBREADA QUE SE MUSTRA EN LA FIGURA, UTILICE LOS RESULTADOS INCISOS Y DETERMINE EL RADIO DE GIRO DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO DE CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS.

SOLUCION.

MOMENTO DE INERCIA Ix

MOMENTO DE INERCIA Iy

RADIOS DE GIRO kx Y ky.

10) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO AL EJE X.

SOLUCION.

MOMENTO DE INERCIA DEL RECTANGULO.

MOMENTO DE INERCIA DEL SEMICIRCULO.

MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DADA

11) DETERMINE EL PRODUCTO DE INERCIA DEL TRIANGULO RECTANGULO MOSTRADO EN LA FIGURA, a) CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) EN RELACION CON LOS EJES CENTROIDALES QUE SON PARALELOS A LOS EJES x Y y.

SOLUCION

a)

PRODUCTO DE INERCIA Ixy

b)

PRODUCTO DE INERCIA Ix”y”

12) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA BARRA DELGADA DE LONGITUD L Y MASA m CON RESPECTO A UN EJE QUE ES PERPENDICULAR A LA BARRA Y QUE PASA A TRAVES DE UNO DE SUS EXTREMOS.

SOLUCION

13) DETERMINE POR INTEGRACION DIRECTA LA LOCALIZACION DEL CENTROIDE DE UNA ENJUNTA PARABOLICA.

SOLUCION.

DETERMINACION DE LA CONSTANTE k

ELEMENTO DIFERENCIAL VERTICAL

ELEMENTO DIFERENCIAL HORIZONTAL.

14) REEMPLACE LA CARGA POR UN MOMENTO PAR Y FUERZA RESULTANTE QUE ACTUE EN EL PUNTO O. 50Lb/ft

6fT

9Ft

50Lb/ft Fconcentrada = 50Lb/ft * (pft) = 225Lb 2 +↑TR = F +MRO = MO

F R= 0 MRO = 225 lB/ft * 6 Ft = 1350 Lb.ft 1.35 Kp.ft