Cara Membaca Tabel Z

36 OUTLINE BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR (PAF-201) Kompetensi Umum: Setelah mengikuti matakuliah ini mahasiswa diharapkan mampu menyajikan data yang telah dikumpulkan dan mampu menganalisis data statistik secara benar.

BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Statistik dan Statistika 1.2 Jenis-jenis statistika 1.2.1 Statistika Deskriptif 1.2.2 Statistika Inferensia 1.3 Jenis-Jenis Data 1.3.1 Data Nominal 1.3.2 Data Ordinal 1.3.2 Data Interval 1.3.2 Data Rasio Bab II. TEKNIK MENYAJIKAN DATA 2.1 Pendahuluan 2.2 Statistik Lima Serangkai 2.3 Diagram Dahan dan Daun (Sten-And-Leaf Plot). 2.4 Tabel Distribusi Frekuensi 2.5 Histogram 2.6 Boxplot Bab III. PROBABILITAS 3.1 Permutasi dan Kombinasi 3.2 Definisi probabilitas 3.3 Ruang Kejadian dan Ruang Sampel 3.4 Kejadian Tunggal

37 3.5 Kejadian Majemuk 3.6 Kejadian Saling Bebas 3.7 Kejadian tidak saling bebas 3.8 Atural Bayes (Bayes Rule) Bab IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS 4.1 Pengertian variabel random 4.2 Distribusi Probabilitas 4.3 Distribusi Probabilitas Diskret 4.3.1 Distribusi Binomial 4.3.2 Distribusi Poisson 4.4 Distribusi Probabilitas Kontinu 4.4.1 Distribusi Normal 4.4.2 Distribusi t-Student Bab V. DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK 5.1 Distribusi sampling rata-rata 5.2 Distribusi sampling selisih dua rata-rata 5.3 Distribusi sampling proporsi 5.4 Distribusi sampling selisih dua proporsi 5.5 Distribusi sampling variansi 5.6 Distribusi sampling rasio variansi Bab VI. SELANG KEPERCAYAAN 6.1 Selang kepercayaan bagi rata-rata 6.2 Selang kepercayaan bagi selisih dua rata-rata 6.3 Selang kepercayaan bagi proporsi 6.4 Selang kepercayaan bagi selisih dua proporsi 6.5 Selang kepercayaan bagi variansi 6.6 Selang kepercayaan bagi rasio variansi

38 Bab VII. UJI HIPOTESIS 7.1 Uji Hipotesis bagi rata-rata 7.2 Uji Hipotesis bagi selisih dua rata-rata 7.3 Uji Hipotesis bagi proporsi 7.4 Uji Hipotesis bagi selisih dua proporsi 7.5 Uji Hipotesis bagi variansi 7.6 Uji Hipotesis bagi rasio variansi 7.7 Uji Kebaikan Suai (Goodness- of-Fit) DAFTAR PUSTAKA

39

BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Tinjauan Mata Kuliah Mata kuliah Statistika Dasar mengkaji masalah 1). Teknik menyajikan data kuantitatif maupun kualitatif, Diskret dan Kontinu 4).

2). Kombinasi dan permutasi, 3). Variabel Random

Probabilitas dan Distribusi Probabilitas,

5).

Ekspektasi

Variabel Random 6). Distribusi Sampling Statistik 7). Selang Kepercayaan dan 8). Uji Hipotesis. Setelah menyelesaikan kuliah statistika dasar, mahasiswa diharapkan mampu menyajikan data yang telah dikumpulkan, mampu menganalisis data, mampu menarik kesimpulan berdasarkan statistik deskriptif maupun inferensia. Untuk mahamami dan mengaplikasikan materi mata kuliah ini mahasiswa harus secara aktif mengerjakan soal-soal latihan yang ada di buku acuan.

40 BAB II TEKNIK MENYAJIKAN DATA 2.1 Pendahuluan Kumpulan data yang berupa hasil pengukuran terhadap variabel tertentu pada umumnya tidak akan memiliki nilai yang persis sama satu dengan lainnya. Variasi nilainilai pengamatan ini dapat kita lihat melalui pola distribusinnya dan pola ini dapat berguna dalam menentukan karakteristik distribusi dari data tersebut. Penciri numerik yang penting adalah ukuran pemusatan yaitu berupa nilai tempat sebgian besar dari data tersebut mengumpul, dan distribusi data yang menunjukkan besarnya rentangan atau jarak persebaran (distribusi) dari titik pusatnya. Dalam BAB ini akan dibahas cara pemeriksaan bentuk atau pola distribusi data dan penetuan karakteristiknya. Pertama yang akan disajikan adalah teknik mencari dan menyajikan statistik lima serangkai, yaitu nilai minimum, nilai maksimum, median, kuartil 1 dan kuartil 3, membuat diagram dahan (batang) dan daun (Stem-and-leaf), diagram kotak garis (Boxplot), dan terakhir adalah mengkonstruksi Tabel frekuensi dan histogram. 2.2 Statistik Lima Serangkai Statistik lima serangkai, sesuai namanya, terdiri dari serangkaian lima statistik yang terdiri dari nilai minimum, kuartil 1, median (kuartil 2), kuartil 3, dan maksimum. Dalam pemahaman kelima statistik lima serangkai ini akan kita lihat dalam bentuk bagan sebagai berikut : Misalkan kita mempunyai sekumpulan data, maka data tersebut dapat dipilah-pilah sesuai urutannya menurut kelima statistik lima serangkai tersebut. 25% a

K1

25% 25% Median (K2)

25% K3

b

a = nilai yang paling kecil K1 atau kuartil 1= suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di bawahnya. Jadi kuartil 1 adalah suatu nilai yang berada pada posisi ¼ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan Kuartil 2 (Median)

41 Median atau K2 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga kira-kira 50% dari data tersebut berada di bawahnya dan 50% berada di atasnya. Jadi Kuartil 2 (Median) adalah suatu nilai yang berada pada posisi ½ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan K3 atau kuartil 3 = suatu nilai yang membagi data sedemikian sehingga sekitar 25% dari data tersebut berada di atasnya. Jadi Kuartil 3 berada pada posisi ¾ dari banyaknya data setelah data tersebut diurutkan b = nilai yang paling besar contoh 1: Tentukan statistik lima serangkai darai data berikut ini : 11

6

17

9

12

4

4

14

20

10

15

Jawab: Terlebih dahulu data asal diurutkan dari kecil ke besar : 4

4

a

6 k1

9

10 11 k2

12

14

15 k3

17

20 b

Berdasarkan data yang telah terurut, maka diperoleh: nilai minimum =4, kuartil 1=6, median=11, kuartil 3=15 dan nilai maksimum=20 contoh 2: Misalkan kita mempunyai sekumpulan data berikut: 102 135 76 108 50 104 77 135 102 33 116 95 122 130 86 114 109 64 101 37 71 130 42 109 71 117 70 109 104 141 132 146 138 77 109 109 89 125 109 55 126 117 88 71 86 77 72 73 151 82 80 105 86 96 70 83 86 88 133 97 Tentukanlah statistik lima serangkai untuk kasus data pada contoh 2 di atas ! Langkah awal untuk menentukan statistik lima serangkai adalah mengurutkan data tersebut: 33 1 71 11 86

37 2 72 12 86

42 3 73 13 86

50 4 76 14 86

55 5 77 15 88

64 6 77 16 88

70 7 77 17 89

70 8 80 18 95

71 9 82 19 96

71 10 83 20 97

42 21 101 31 109 41 130 51

22 102 32 109 42 130 52

23 102 33 109 43 132 53

24 104 34 114 44 133 54

25 104 35 116 45 135 55

26 105 36 117 46 135 56

27 108 37 117 47 138 57

28 109 38 122 48 141 58

29 109 39 125 49 146 59

30 109 40 126 50 151 60

1. a=33 2. Nilai K1 berada pada posisi ¼ (60+1) = 15.25 K1 = X15 + ¼ (X16-X15) = 77+ ¼ (77-77) =77. 3. Nilai Median (K2) berada pada posisi median : (n+1)/2 = 61/2=30.5 Median = ½ (X30+X31) = ½ (97+101)= 99 4. Nilai K3 berada pada posisi ¾ (60+1) =, 45.75 K3 = 116 + ¾ (117-116)=116+ 0.75 = 116.75. 3. Nilai maksimum =151

2.3 Diagram Dahan dan Daun (Sten-And-Leaf Plot). Diagram dahan dan daun disusun baris perbaris secara vertikal, dan cukup efektif dalam menggambarkan pola distribusi data yang berukuran kecil. Seperti dalam istilah pohon, daun melekat pada dahan (batang), jadi dalam hal ini satuan dahan adalah satuan yang terbesar sedangkan daun lebih kecil. Jika angka-angka yang kita miliki berkisar antara 00 sampai 99, maka yang dijadikan sebagai dahan adalah puluhan sedanhgkan daunnya adalah satuan. Ketika angka-angka yang kita miliki berkisar antara 0 sampai 9, maka tekni penetuan dahannya adalah sebagai berikut: 

Untuk angka 0 dan 1 diberi simbol o



Untuk angka 2 dan 3 diberi simbol t (two, three)



Untuk angka 4 dan 5 diberi simbol f (four, five)



Untuk angka 6 dan 7 diberi simbol s (six, seven)



Untuk angka 8 dan 9 diberi simbol *

Contoh 3

43 Buatlah diagram dahan daun untuk data pada contoh 2! Jawab: Langkah-langkah membuat diagram dahan daun adalah sebagai berikut: 1. Menentukan dahan dan daun, dalam hal ini dahannya berupa puluhan dan daunnya adalah satuan Dahan daun (puluhan) (satun) 3 37 artinya angka 33 dan 37 4 2 artinya angka 42 5 05 dst 6 4 7 00111236777 8 0236666889 9 567 10 1224458999999 11 4677 12 256 13 0023558 14 16 15 1 artinya 151 2. Menentukan deep (kedalaman) Kedalaman dahan daun 2 3 5 6 17 27 30 30 17 13 10 3 1

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

37 2 05 4 00111236777 0236666889 567 1224458999999 4677 256 0023558 16 1

Dengan bantuan diagram dahan daun, dapat segera diperoleh informasi tentang statistik lima serangkai.

Dalam diagram dahan daun, posisi median data biasanya

dinformasikan melalui deep-nya yang diberi tanda “ ( ) “.. Nilai median untuk data di atas = ½ (X30 + X31) = ½ (97+101)=99

44

contoh 4. Kembali pada soal no. 2. Anggaplah observasi 33 dihilangkan. Tentukan diagram dahan daunnya ! dengan prosedur yang sama seperti pada contoh 3, maka diperoleh diagram dahan daun berikut : Deep Dahan Daun 1 3 7 2 4 2 4 5 05 5 6 4 16 7 00111236777 26 8 0236666889 29 9 567 (13) 10 1224458999999 17 11 4677 13 12 256 10 13 0023558 3 14 16 1 15 1 Perhatikan pada kolom deep, angka 13 berada ditandai dengan “( )” artinya bahwa nilai median berada pada baris ini. Posisi median = ½(59+1) = 30. Dengan mengamati angka deep sebelumnya, yaitu 29, maka maka nilai mdeian dapat ditentukan dengan angka pada posisi 29, 30. Jadi mediannya adalah 101. 2.4 Tabel Distribusi Frekuensi dan Histogram Jika data kuantitatif dibuat menjadi kelompok-kelompok, maka akan diperoleh daftar distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi akan menjadi lebih informatif lagi ketika disajikan dalam bentuk grafik. Grafik yang menghubungan kelas interval (sumbu datar) dengan frekuensi/frekuensi relatif dinamakan Histogram.

Dengan demikian

penyajian tabel distribusi frekuensi akan menjadi lebih informatif jika disajikan dalam bentuk histogram. Dalam daftar distribusi frekuensi, banyak objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok dalam bentuk a – b yang disebut kelas interval. Ke dalam kelas interval a – b ini dimasukan semua data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Urutan kelas dimulai dari yang terkecil sampai terbesar. Berikut ini akan disajikan bagaimana membuat tabel distribusi frekuensi dan histogram. Andaikan kita mempunyai data berikut (data pada contoh 2).

45 102 116 71 132 126 80

135 95 130 146 117 105

76 122 42 138 88 86

108 130 109 77 71 96

50 86 71 109 86 70

104 114 117 109 77 83

77 109 70 89 72 86

135 64 109 125 73 88

102 101 104 109 151 133

33 37 141 55 82 97

1. Tentukan rentang, yaitu nilai terbesar dikurangi nilai terkecil. Rentang = nilai terbesar – nilai terkecil nilai terbesar = 151, nilai terkecil = 33, jadi rentang = 151 – 33 = 118 2. Menentukan banyak kelas, Banyak kelas = 1+3.3 log n, n=banyaknya data. n=60, banyak kelas = 1+ 3.3 log 60 = 1 +

3.3(1.778151)=6.867899 = 7

(dibulatkan) 3. Menentukan panjang interval kelas, p Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika data berbentuk satuan, ambil harga p teliti sampai satuan. p=rentang/banyak kelas = 118/7 = 16,85714=17. 4. Pilih ujung bawah kelas interval pertama, untuk kasus ini bisa diambil sama dengan nilai terkecil atau nilai data yang lebih besar dari nilai terkecil Selanjutnya daftar / tabel frekuensi dapat dinuat berdasarkan nilai-nilai yang sudah diperoleh dari (1) sampai (4).

Tabel 2.4. Distribusi frekuensi untuk data pada contoh 2. Batas bawah kelas interval 32,5 49,5 66,5 83,5 100,5 117,5 134,5

Batas atas kelas interval 49,5 66,5 83,5 100,5 117,5 134,5 151,5

Nilai 33 50 67 84 101 118 135

-

49 66 83 100 117 134 151

Titik tengah (a+b)/2

Frekuensi (f)

41 58 75 92 109 126 143

3 3 14 10 17 7 6

46 2.5 Histogram Histogram adalah sebuah grafik yang dibuat dengan menghubungkan batas-batas bawah untuk setiap kelas interval dari tabel distribusi frekuensi (atau frekuensi kumulatif) dengan nilai frekuensi (atau frekuensi relatifnya).

Batas-batas kelas

diposisikan atau diletakan pada sumbu horizonal sedangkan frekuensi atau frkuensi relatif pada sumbu vertikal. Misalkan dari contoh tabel distribusi frekuensi akan dibuat histogramnya, maka akan diperoleh :

Gambar 2.5. Histogram dari tabel frekeunsi pada Tabel 1. 2.6 Boxplot Boxplot merupakan penyajian dari statistik lima serangkai. Misalkan kita ingin membuat boxplot berdasarkan data pada contoh 2. Prosedur pembuatannya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan statistik lima serangkaui; minimum, kuartil 1 (K1), median (Me), kuartil 3 (K3), dan maksimum. 2. Menentukan jarak antar kuartil JAK = K3-K1 3. a. Menentukan batas atau pagar dalam: Batas dalam bawah, BDB = K1-1.5(JAK) Batas dalam Atas, BDA = K3+1.5(JAK)

47 b. Menentukan batas atau pagar luar: Batas luar bawah, BLB = K1-3(JAK) Batas luar Atas, BLA = K3+3(JAK) 4. Menentukan panjang tail tail kiri ditarik dari K1 ke nilai paling kecil yang lebih besar dari BDB. dan nilai-nilai lain yang < BDB merupakan outlier. tail kanan ditarik dari K3 ke nilai paling besar yang lebih kecil dari BDA, dan nilai-nilai yang lebih besar dari BDA merupakan outlier. Contoh lihat data pada contoh: 1. Statistik lima serangkai : minimum =33, maksimim = 151, K1=77, 3=116.75, Median = 99. 2. JAK = 116.75-77 = 39,75 3. BDB=17.375, BDA=176.375, BLB=-42.25, BLA=236 4. Menentukan tail, tail kiri ditarik dari K1 ke 33, tail kanan ditarik dari K3 ke 151 (Jelaskan mengapa !) Boxplot yang terbentuk adalah : Lihat Gambar 2.

Gambar 2.6. Boxplot dari data pada contoh 2

48

BAB IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET DAN KONTINU

4.1 Pengertian Variabel Random Variabe random adalah suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel ke bilangan real. (dalam kasus distribusi diskret ruang sampelnya merupakan ruang sampel diskret (Countable), sehingga variabel randomnya mungkin 0,1,2,…). Misalkan suatu percobaan melempar koin setimbang sebanyakn 3 kali, X menyatakan banyaknya sisi muka (M) yang muncul, dan P(X)=P(X=x) = probabilitas muncul M sebanyak x, sehingga nilai-nilai variabel random X yang mungkin adalah X=0,1,2,3. Jika dinyatakan dalam sebuah pemetaan maka akan tampak seperti terlihat pada gambar berikut :

Gambar 4.1. Pemetaan dari ruang sampel (RS) ke Bilangan Riil (X) 4.2 Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas pada prinsipnya mendistribusikan probabilitas ke setiap variabel random yang bersesuaian. Perhatikan kembali contoh percobaan pelemparan sebuah koin seimbang sebanyak tiga kali, variabel random , X=0, 1, 2, dan 3

49

P(X=0)=P(BBB)=1/8 P(X=1)=P(MBB)+P(BMB)+P(BBM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8 P(X=2)=P(MMB)+P(MBM)+P(BMM)=1/8 + 1/8 + 1/8 =3/8 P(X=3)=P(MMM) =1/8 Sehingga tabel distribusi frekuensinya adalah : X P(X)

0 1 8

1 3 8

2 3 8

3 1 8

Contoh lainnya, dari percobaan yang sama, misalkan Y menyatakan banyaknya sisi belakang (B) yang muncul, dan P(Y)=P(Y=y) = probabilitas muncul B sebanyak y kali . jika sebuah koin setimbang dilempar 3 kali Y= 0, 1, 2, 3

50

Y P(Y)=P(Y=y)

0 1 8

1 3 8

2 3 8

3 1 8

Distribusi probabilitas ini dapat diringkas ke dalam suatu fungsi probabilitas a. Untuk Variabel random X 1  8 , untuk x = 0,3  3 P(X=x) P ( X = x) =  , untuk x = 1,2 8 0, untuk x selainnya   Atau dapat diringkas  n  1  x  1  3− x    1 −  , untuk x = 0,1,2,3 P ( X = x) =  x  2   2   , untukl x selainnya 0 untuk variabel Y sama caranya dengan kasus variabel X (coba sendiri) Kita lihat bahwa distribusi probabilitas untuk variabel X dan Y sama, maka variabel X dan Y mempunyai distribusi identik.

51 Fungsi Distribusi Kumulatif (Cumulatif Distribution Function, disingkat CDF) dilambangkan dengan F(x). Definisi : fungsi F(x) disebut Fungsi Distribusi Kumulatif jika dan hanya jika 3 kondisi berikut terpenuhi: a.

lim F ( x) = 0, dan lim F ( x ) = 1

x → −∝

x →∝

b. F(x) bukan fungsi yang monoton turun c. F(x) kontinu dari kanan Kita kembali ke contoh pelemparan sebuah koin dengan x menyatakan banyakanya sisi M muncul. x

F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ P ( X = i ), untuk semua x i =1

0, 1  , 8  4 F ( x) =  , 8 7 8 ,  1,

− ∝< x < 0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 2≤ x<3 3 ≤ x <∝

Dengan cara yang sama, fungsi distribusi kumulatif bagi Y dan hasilnya akan sama. Rata-rata atau nilai ekspektasi dan variansi variabel diskret dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut : Misalkan X adalah suatu variabel random diskret dengan fungsi massa probabilitas (fmp) P(X)=P(X=x), n

Mean X = µ = ∑ X i P ( X i ) i =1

n

Variansi X = σ = ∑ X i P ( X i ) − µ 2 2

2

i =1

S tan dardeviasi = σ 2 = σ n

Nilai Harapan X = E ( X ) = ∑ X i P ( X i ) i =1

Penurunan rumus mean dan variansi berasal dari Nilai harapan (Expected Value), Mean = E(X) = µ dan Variansi dari variabel random X, atau disingkat Var(X) berasal dari definisi sebagai berikut:

52 Var(X) =E(X-E(X))2 (di statistika lanjutan definisi ini selalu digunakan), karena E(X)= µ, maka Variansi Var(X) =E(X-µ)2 , selanjutnya dapat diuraikan n

Var ( X ) = ∑ ( X i − µ ) 2 P ( X i ) i =1 n

= ∑ ( X i − 2 X i µ + µ 2 ) P( X i ) 2

i =1 n

n

n

i =1

i =1

= ∑ X i P( X i ) − 2 µ ∑ X i P ( X i ) + µ 2 ∑ P ( X i ) 2

i =1 n

= ∑ X i P( X i ) − 2 µµ + µ 2 2

i =1 n

= ∑ X i P( X i ) − µ 2 2

i =1

Untuk suatu distribusi yang probabilitas setiap titik sampelnya sama (probabilitas serba sama P(Xi)=1/n untuk semua i=1,2,…n), jika ada n tindakan atau peristiwa, maka : n

Mean = µ =

∑X i =1

n

i

=X

Sifat-Sifat Nilai Harapan Misalkan a dan b suatu konstanta, X adalah variabel random dengan mean (X) =µ dan Variansi (X)=Var(X)=σ2 , dan misalkan Y=a+bX, maka 1.

E ( a ) = ∑aP ( X i ) = a ∑P ( X i ) = a

2.

E ( aX ) = ∑aX i P ( X i ) = a ∑X i P ( X i ) = aE ( X ) = aµ

3.

E (Y ) = E ( a + bX ) = ∑( a + bX i ) P ( X i ) = a ∑P ( X i ) + b ∑X i P ( X i ) = a + bµ

4.

Var ( aX ) = E ( aX − E ( aX )) 2 = E ( a ( X − E ( X )) 2 = a 2 E ( X − E ( X )) 2 = a 2Var ( X ) = a 2σ 2

5.

Var (Y ) = E (Y − E (Y )) 2 = E ( a + bX − E ( a + bX )) 2 = E ( a + X − ( a + bE ( X )) 2 = E ( a + bX − a −bE ( X ) )

= E (bX −bE ( X )) 2 = E ( b( X − E ( X )) )

2

= b 2 E ( X − E ( X )) 2 = b 2 var( X ) = b 2σ 2

2

53 4.3 Distribusi Probabilitas Diskret 4.3.1 Distribusi Binomial Seperti telah diketahui bahwa distribusi bernoulli adalah sebuah percobaan yang dilakukan dengan hanya terjadi dua kemungkinan, yaitu sukses atau gagal. Dengan demikian dalam distribusi bernoulli ini parameter yang ada hanya satu yaitu probabilitas sukses (p). Jika dalam percobaan bernoulli ini dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali maka akan mengikuti distribusi binomial. Jadi distribusi binomial merupakan perobaan yang hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu sukses dan gagal dengan probabilitas tertentu yang tetap dan percobaannya diulang sebanyak n kali.

Dengan demikian

parameternya ada dua yaitu banyaknya percobaan (n) dan probabilitas suskes (p). Contoh : Banyaknya percobaan ada n dan dalam setiap kali kejadian dalam satu percobaan tertentu ada dua kemungkinan kejadian yaitu sukses atau gagal. Misalkan probabilitas sukses=p. probabilitas sukses (p) antar kejadian tetap (konstan) dan mendekati 0.5. Misalkan X adalah variabel random yang berdistribusi binom dengan probabilitas suskses p dan banyaknya percobaan n, probabilitas binom atau disebut juga fungsi massa probabilitas binom didefinisikan: Cara penulisan P(X) = P(X=x) untuk distribusi diskret.  n  x n− x   p (1 − p ) , x = 0,1,2,3...n P ( X = x ) = P(X)=  x  0 , x selainnya  Sifat=sifat n

1.

∑ P( X ) = 1 x =0

2. P(X) ≥ 0

54 n

Mean = E ( X ) = ∑ XP ( X ) = 0 P ( X = 0) + 1P ( X = 1) + ... + n( PX = n) x =0

n

= ∑ XP ( X ) (karena 0.P ( X = 0) = 0 x =1

n n = ∑ x  p x (1 − p ) n − x x =1  x  n n! = ∑x p x (1 − p) n − x (n − x)! x! x =1 n

n! p. p x −1 (1 − p) n − x x =1 ( n − x )!( x − 1)!

=∑

, cata tan n − x = (n − 1) − ( x − 1)

n.(n − 1)! p. p x −1 (1 − p) ( n −1) −( x −1) x =1 (( n − 1) − ( x − 1))!( x − 1)! n

=∑

(n − 1)! p x −1 (1 − p ) n − x (( n − 1 ) − ( x − 1 ))! ( x − 1 )! x =1 Misalkan; n' = n − 1, x' = x − 1, untuk x = 1 → x ' = 0, untuk x = n → x' = n − 1 = n' ( karena n' = n − 1) n

= np ∑

n'

( n' )! p x ' (1 − p ) n '− x ' ( n ' − x ' ))! ( x ' )! x '= 0

= np ∑

n'  n'  = np ∑   p x ' (1 − p ) n '− x ' x '= 0  x '  n'  n'  = np (karena ∑   p x ' (1 − p) n '− x ' = 1) x '= 0  x ' 

Variansi (X)= Var(X) Var (X) = E(X2)-(np) 2 Var ( X ) = ∑ X 2 P ( X ) − (np ) 2 perhatikan bahwa X2 = X2 – X + X = X(X-1) + X, sehingga Var ( X ) = ∑ [ X ( X − 1) + X ]P ( X ) + −(np ) 2 Var ( X ) = ∑ X ( X − 1)P ( X ) + ∑ X P ( X ) − (np ) 2 Var ( X ) = ∑ X ( X − 1)P ( X ) + np − (np ) 2

55 perhatikan ΣX(X-1)P(X), untuk x=0 dan 1, maka nilai X(X-1)P(X)=0, jadi x mulai dari 2 n n X ( X − 1 ) P ( X ) = x ( x − 1)  p x (1 − p ) n − x ∑ ∑ x =2 x =2  x n n! = ∑ x( x − 1) p x (1 − p ) n − x (n − x)! x! x =2 n

n

= ∑ x( x − 1) x =2

n(n − 1)(n − 2)! p 2 p x −2 (1 − p ) n − x (n − x)! x ( x − 1)( x − 2)!

(n − 2)! p x −2 (1 − p) ( n − 2) −( x −2 ) x = 2 ( n − x )!( x − 2)! Misalkan; x' = x − 2, n' = n − 2, untuk x = 2 → x ' = 0, untuk x = n → x' = n − 2 = n' dan n − x = (n − 2) − ( x − 2) = n'− x' , sehingga n

= n(n − 1) p 2 ∑

n

n'

n '! p x ' (1 − p ) n '− x ' ( n ' − x ' )! x ' ! x '= 0

∑ X ( X − 1)P( X ) = n(n − 1) p 2 ∑ x =2

= n( n − 1) p 2

Jadi

n'   n '! karena p x ' (1 − p ) n '− x ' = 1 ∑  x '= 0 ( n'− x ' )! x '!  

Var(X) = n(n-1)p2 + np – (np)2 = (n2 -n)p2 + np – (np)2 = n2p2- np2 + np - n2p2 = - np2 + np = np(1 – p)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika X berdistribusi binomial maka rata-rata atau meannya=np dan Variansinya sama dengan np(1-p) 4.3.2 Distribusi Poisson Distribusi ini dicirikan oleh nilai probabilitas keberhasilan (probabilitas sukses) sangat kecil dan banyaknya percobaan atau tindakan sangat besar. Menurut Sudjana ciri-ciri distribusi poisson ini adalah jika np < 5 untuk n minimal 50. (n≥50) Fungsi Probabilitas dari X yang berdistribusi poisson: P( X ) = P ( X = x ) =

e −µ µ x x!

56 dan fungsi distribusi Kumulatif : e −µ µ x F( x ) = P(X ≤ x ) = ∑ x! x =0 x

jadi dalam hal ini distribusi poisson hanya mempunyai 1 parameter, yaitu µ. Mean dan Variansi ∝

Mean = E ( X ) = ∑ XP( X ) = 0 P ( X = 0) + 1P ( X = 1) + ... + n( PX = n) x =0

∝

= ∑ XP( X ) (karena 0.P ( X = 0) = 0 x =1 ∝

= ∑x x =1 ∝

= ∑x x =1

e −µ µ x x! e − µ µµ x −1 x( x − 1)!

e − µ µ x −1 x =1 ( x − 1)! Misalkan; x' = x − 1, untuk x = 1 → x' = 0, untuk x =→∝ x' =∝ ∝

= µ∑

e −µ µ x ' x '! x '= 0 ∝

= µ∑ =µ

e −µ µ x ' = 1) x '! x '= 0 ∝

(∑

Var ( X ) = ∑ X 2 P ( X ) − µ 2 perhatikan bahwa X2 = X2 – X + X = X(X-1) + X, sehingga Var ( X ) = ∑ [ X ( X − 1) + X ]P ( X ) − µ 2 Var ( X ) = ∑ X ( X − 1)P ( X ) + ∑ X P ( X ) − µ 2 Var ( X ) = ∑ X ( X − 1)P ( X ) + µ − µ 2

57 ∝

E ( X ( X − 1)) = ∑ X ( X − 1) P ( X ), ( X ( X − 1) P ( X ) = 0, untuk

x = 0 dan x = 1)

x =0

∝

= ∑ X ( X − 1) P ( X ) x=2 ∝

= ∑ x( x − 1) x=2 ∝

= ∑ x( x − 1) x=2

e −µ µ x x! e −µ µ 2 µ x −2 x ( x − 1)( x − 2)!

e −µ µ x−2 x =1 ( x − 2)! Misalkan; x' = x − 2, untuk x = 2 → x' = 0, untuk x =→∝ x' =∝ ∝

= µ2∑

e −µ µ x' x '! x '= 0 ∝

= µ2∑ = µ2

e −µ µ x' = 1) x '! x '= 0 ∝

(∑

Jadi Variansi = Var (X) = µ2 + µ - µ2 = µ Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika X berdistribusi binomial maka rata-rata atau meannya=µ dan Variansinya sama dengan µ. 4.4 Distribusi Variabel Random Kontinu Bahasan pada distribusi kontinu ini lebih ditekankan pada distribusi normal karena dalam beberapa kajian statistika parametrik distribusi ini sering digunakan. Dalam pengujian hipotesis, seperti uji signifikansi parameter regresi sering kita jumpai statistik uji t (t-student), oleh karena itu dalam selain distribusi normal, pada bahasan ini juga akan disinggung sedikit mengenai distribusi student. Sebagai pengantar ke distribusi normal, pada bagian awal akan diberikan kasus distribusi kontinu untuk kasus fungsi probabilitas yang sederhana. 4.4.1 Distribusi Normal Distribusi Normal menjadi sangat penting dalam bidang statistika karena merupakan dasar bagi pengambilan keputusan (inferensia statistika), Grafaiknya disebut kurva

58 normal. Kurva Normal adalah kurva yang berbentuk genta (lonceng) seperti terlihat pada Gambar 4.4.1 Kurva normal simetrik terhadap suatu garis tegak yang melalui mean µ. Luas daerah di bawah kurva ini sama dengan 1.

σ µ Gambar 4.4.1 Kurva Normal Fungsi probabilitas normal bergantung pada nilai mean (µ) dan standar deviasi (σ, akar kuadrat dari variansi). Fungsinya adalah sebagai berikut : f ( x) =

1 x−µ 2 ) σ

− ( 1 e 2 2π σ

, untuk − ∝< x <∝, π =

22 , e = 2.71828 7

, − ∝< µ <∝, σ > 0 persamaan ini memang kompleks, tapi untungnya dalam praktek disediakan Tabel Distribusi Normal.

Kurva 2

Kurva 1

µ1

µ2

Kurva 1

Kurva 2

µ1= µ2

σ1=σ2 σ1 > σ2 (a) (b) Gambar 4.4.2 Dua Kurva normal : (a) µ1 < µ2, tetapi σ1=σ2 (b) µ1 = µ2, tetapi σ1>σ2

59

4.4.2 Distribusi Normal Baku Dapat dimengerti bahwa terdapat tak hingga banyaknya distribusi normal dengan berbagai mean (µ) dan standar deviasi (σ), tetapi untunglah semua distribusi dapat diakomodasi ke dalam sebuah tabel distribusi normal baku. Pada prinsipnya untuk setiap variabel random X yang berdistribusi normal dengan mean µ dan standar deviasi σ, transformasi Z =

X −µ akan menghasilkan distribusi normal dengan mean 0 dan σ

standar deviasi 1 yang disebut dengan distribusi normal baku. Distribusi asal dan distribusi hasil transformasi diilustrasikan dalam Gambar 4.4. Bila X berada diantara X= x1 dan X=x2, maka variabel random Z akan berada diantara nilainilai padanannya, yaitu z1 =

x1 − µ σ

dan z 2 =

x2 − µ . Luas daerah di bawah kurva X σ

antara x1 dan x2 sama dengan luas di bawah kurva Z antara z1 dan z2. Dengan demikian P(x1<X< x2)=P(z1
Sebagai catatan, karena distribusi normal merupakan

distribusi yang kontinu, maka probabilitas mengambil tepat salah satu nilainya sama dengan nol, sehingga P(x1<X≤ x2) = P(x1<X< x2) + P(X= x2) = P(x1<X< x2) + 0 = P(x1<X< x2)

60 Tabel 4.4.2. Tabel Z Luas daerah yang di arsir merupakan probabilitas normal P(0
Z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1

0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

0.2

0.0793

0.0832

0.0871

0.0910

0.0948

0.0987

0.1026

0.1064

0.1103

0.1141

0.3

0.1179

0.1217

0.1255

0.1293

0.1331

0.1368

0.1406

0.1443

0.1480

0.1517

0.4

0.1554

0.1591

0.1628

0.1664

0.1700

0.1736

0.1772

0.1808

0.1844

0.1879

0.5

0.1915

0.1950

0.1985

0.2019

0.2054

0.2088

0.2123

0.2157

0.2190

0.2224

0.6

0.2257

0.2291

0.2324

0.2357

0.2389

0.2422

0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

0.7

0.2580

0.2611

0.2642

0.2673

0.2703

0.2734

0.2764

0.2794

0.2823

0.2852

0.8

0.2881

0.2910

0.2939

0.2967

0.2995

0.3023

0.3051

0.3078

0.3106

0.3133

0.9

0.3159

0.3186

0.3212

0.3238

0.3264

0.3289

0.3315

0.3340

0.3365

0.3389

1.0

0.3413

0.3438

0.3461

0.3485

0.3508

0.3531

0.3554

0.3577

0.3599

0.3621

1.1

0.3643

0.3665

0.3686

0.3708

0.3729

0.3749

0.3770

0.3790

0.3810

0.3830

1.2

0.3849

0.3869

0.3888

0.3907

0.3925

0.3944

0.3962

0.3980

0.3997

0.4015

1.3

0.4032

0.4049

0.4066

0.4082

0.4099

0.4115

0.4131

0.4147

0.4162

0.4177

1.4

0.4192

0.4207

0.4222

0.4236

0.4251

0.4265

0.4279

0.4292

0.4306

0.4319

1.5

0.4332

0.4345

0.4357

0.4370

0.4382

0.4394

0.4406

0.4418

0.4429

0.4441

1.6

0.4452

0.4463

0.4474

0.4484

0.4495

0.4505

0.4515

0.4525

0.4535

0.4545

1.7

0.4554

0.4564

0.4573

0.4582

0.4591

0.4599

0.4608

0.4616

0.4625

0.4633

1.8

0.4641

0.4649

0.4656

0.4664

0.4671

0.4678

0.4686

0.4693

0.4699

0.4706

1.9

0.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.0

0.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2.1

0.4821

0.4826

0.4830

0.4834

0.4838

0.4842

0.4846

0.4850

0.4854

0.4857

2.2

0.4861

0.4864

0.4868

0.4871

0.4875

0.4878

0.4881

0.4884

0.4887

0.4890

2.3

0.4893

0.4896

0.4898

0.4901

0.4904

0.4906

0.4909

0.4911

0.4913

0.4916

2.4

0.4918

0.4920

0.4922

0.4925

0.4927

0.4929

0.4931

0.4932

0.4934

0.4936

2.5

0.4938

0.4940

0.4941

0.4943

0.4945

0.4946

0.4948

0.4949

0.4951

0.4952

2.6

0.4953

0.4955

0.4956

0.4957

0.4959

0.4960

0.4961

0.4962

0.4963

0.4964

2.7

0.4965

0.4966

0.4967

0.4968

0.4969

0.4970

0.4971

0.4972

0.4973

0.4974

2.8

0.4974

0.4975

0.4976

0.4977

0.4977

0.4978

0.4979

0.4979

0.4980

0.4981

2.9

0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0

0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

61 Cara membaca Tabel Distribusi Normal Baku. Misalkan kita ingin mencari nilai – nilai probabilitas berikut : a. P(015) c. P(X<25) Jawab 26 − 20   20 − 20
62 = P(015) = P Z > 5   = P(Z >-1) = P(Z<1) (karena simetris) = p(Z<0) + P(0
63

Dalam menerapkan hampiran normal terhadap binom perlu dilakukan koreksi kontinuitas terlebih dahulu. Hal ini disebabkan karena distribusi binomial merupakan distribusi diskret sedangkan distribusi normal kontinu. Sebagai ilustrasi bahwa X =6 sama dengan luas empat persegi panjang yang alasnya berpusat di titik 6. Dengan bantuan Tabel binom diperoleh 0.1093. Nilai probabilitas ini kira-kira sama dengan luas daerah yang di arsir antara 5.5 sampai 6.5 (Gambar di bawah)

6.5 − 4   5.5 − 4 5.5).

64 4.4.3 Distribusi t-Student Dari suatu populasi berukuran N dengan mean µ dan simpangan baku σ, dapat ditarik sampel berukuran n (n< N), dan dari sampel berikuran n ini dapati dicari rataratanya, misalkan x dan simpangan bakunya, s. statistik t didefinisikan sebagai t=

x−µ s n

distribusi t juga simetrik terhadap mean=0 tetapi variansinya lebih besar dari 1. Semakin ukuran sampel (n) semakin besar variansinya dan sebaliknya semakin besar ukuran sampel semakin kecil variansinya. Bila n→∞ maka kurva t menyerupai kurva Z. Db=∞

Db=8 Db=4

Gambar 4.4.3. Hubungan Kurva Z dan Kurva t

65 Tabel 4.4.3. Tabel t-student untuk berbagai derajat bebas dan α (alpha).

tα Derajat α Bebas 0.25 0.10 0.05 0.03 0.01 0.01 1 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 0.817 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 ∝ Perhatikan bahwa nilai α merupakan daerah yang diarsir di sebelah kanan nilai-t tabel. Nilai α disini disebut sebagai taraf signifikan. Cara pembacaan tabel distribusi t : Misalkan kita akan mencari nilai t tabel jika diketahui nilai α=5% dengan derajat bebas 5, maka nilai t tabelnya sama dengan 2.015 (lihat nilai sel pada baris 5 dan pada kolom 0.05).