Capitulo I

CARGA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO 1.1 CARGA ELÉCTRICA Al igual que la masa la carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de la materia, la cual permite estudiar las interacciones electromagnéticas. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en culombio (símbolo C) y en las fórmulas físicas suele representarse con la letras q o Q. Un culombio se define como la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor eléctrico en un segundo. En la filosofía de la antigua Grecia, la palabra átomo se empleaba para referirse a la parte de materia más pequeña que podía concebirse. Esa partícula fundamental, se consideraba indestructible. De hecho, átomo significa en griego “no divisible”. A lo largo de los siglos, el tamaño y la naturaleza del átomo sólo fueron objeto de especulaciones, por lo que su conocimiento avanzó muy lentamente. La figura 1.1 indica una clasificación de las partículas elementales.

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Capítulo I BARIONESMESONES (Protones, Neutrones, PARTÍCULAS HADRONES QUARKS LEPTONES Hiperones) (Existen al (Piones, menos ANTIBRIONE NEUTRINO ELECTRONE MUONE ANTIQUARK ELEMENTALE Kaones, 6 tipos: (Partículas up,(Partículas top, charm, down, strange, …) SSS SNucleares) S botton) extranucleares)

Fig. 1.1 Clasificación de las partículas elementales

Hadrones, son partículas elementales que interaccionan a través de la llamada fuerza nuclear fuerte; esta fuerza no sólo mantiene unidos a los protones y neutrones en los núcleos atómicos, sino que también rige el comportamiento de los hadrones, cuando se hacen colisionar partículas de alta energía con los núcleos (en los aceleradores de partículas). Sobre los hadrones también actúan otras fuerzas naturales fundamentales, tales como: la gravitatoria, la electromagnética y la fuerza nuclear débil (que determina la desintegración radiactiva). Todos los hadrones, salvo los protones y los neutrones nucleares, son inestables y se desintegran para formar otros hadrones. Entre los hadrones existen dos clases de partículas: mesones y bariones. Los primeros incluyen el pión (partícula unas 200 veces más pesada que el electrón, la cual puede tener carga positiva, negativa o nula) y el kaón, más ligeros. Los bariones son las partículas más pesadas, entre ellas figuran los protones, los neutrones y los hiperones, partículas muy pesadas que se desintegran para dar lugar a protones o neutrones.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Leptón, representante de una clase de partículas elementales que no interaccionan a través de la fuerza nuclear fuerte. Los leptones son eléctricamente neutros o tienen carga unitaria. Al contrario que los hadrones, que están compuestos por quarks, los leptones no parecen tener ninguna estructura interna. Estos engloban al electrón, el muón, el tau y los neutrinos (neutrino electrónico, neutrino muónico y neutrino tauónico). Cada una de estas partículas tiene su antipartícula correspondiente (Antimateria). Aunque todos los leptones son relativamente ligeros, sus propiedades son muy diferentes. El electrón, por ejemplo, tiene carga negativa, y es estable, lo que quiere decir que no se desintegra para dar lugar a otras partículas elementales; el muón también tiene carga negativa, pero su masa es unas 200 veces superior a la del electrón, y se desintegra produciendo otras partículas. Los leptones interaccionan con otras partículas a través de la fuerza nuclear débil (la fuerza que rige la desintegración radiactiva), la fuerza electromagnética y la fuerza gravitatoria. Los electrones intervienen en una gran variedad de fenómenos físicos y químicos. La carga eléctrica neta de un objeto está relacionada directamente con sus electrones, se dice que un objeto está cargado eléctricamente, si sus átomos tienen un exceso o un déficit de electrones, cuando el objeto presenta un déficit se habla de que posee carga positiva, en el caso de tener electrones en exceso se hablará de una carga negativa. El flujo de una corriente eléctrica en un conductor es causado por el movimiento de los electrones libres del conductor. La conducción del calor también se debe fundamentalmente a la actividad electrónica. El estudio de las descargas eléctricas a través de gases en los tubos de vacío fue el origen del descubrimiento del electrón. Los tubos de vacio tienen en la actualidad gran variedad de usos, a pesar de que en muchas de sus aplicaciones hayan sido reemplazados por otros dispositivos. Su funcionamiento es muy simple y consisten básicamente en un cátodo calentado, el cual emite una corriente de electrones que puede emplearse para amplificar o rectificar una corriente eléctrica, esa corriente se enfoca para formar un haz bien

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Capítulo I definido, denominado haz de rayos catódicos. Si este es dirigido a alta velocidad hacia un ánodo se produce la radiación conocida como rayos X; si se dirige hacia la pantalla fluorescente de un tubo de televisión o PC, se obtienen imágenes visibles. Las partículas beta que emiten algunas sustancias radiactivas son electrones. Los electrones también intervienen en los procesos químicos. Una reacción química de oxidación es un proceso en el cual una sustancia pierde electrones, y una reacción de reducción es un proceso en el cual una sustancia gana electrones. En 1906, el físico estadounidense Robert Andrews Millikan, mediante su experimento de la gota de aceite, determinó la carga del electrón: 1.602x10-19 C; he indico que la masa del electrón en reposo es de 9.109×10-31kg. La carga del electrón es la unidad básica de electricidad y se considera la carga elemental en el sentido de que todos los cuerpos cargados lo están con un múltiplo entero de dicha carga (Principio de Cuantización de la carga). El electrón y el protón poseen la misma carga, pero, convencionalmente, la carga del protón se considera positiva y la del electrón negativa. En la figura 1.2 se muestra la evolución que ha dado el átomo en los últimos años.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Fig. 1.2 Evolución del átomo Átomo de Thomson (1856 - 1940) El físico británico Joseph J. Thomson, fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1906 y descubridor del electrón, de los isótopos, e inventor del espectrómetro de masa. El propuso en 1898 uno de los primeros modelos atómicos. Describió el átomo como una esfera con carga positiva en la que estaban “incrustadas” unas pocas partículas con carga negativa llamadas electrones. Átomo de Rutherford (1871 - 1937) El físico británico Ernest Rutherford, ganador del Premio Nobel de Química en 1908. Define un modelo atómico, con el cual probó la existencia del núcleo atómico. Rutherford en 1911 deduce que la carga positiva de un átomo y la mayoría de su masa están concentradas en una pequeña región central llamada núcleo. En el modelo de Rutherford, las cargas negativas (electrones) giran alrededor del núcleo como los planetas en torno al sol. Átomo de Bohr (1885 – 1962) El físico danés Niels Bohr descubrió en 1913 que los átomos sólo pueden tener determinados valores de energía. Propuso que la energía de un electrón estaba relacionada con la distancia de su órbita al núcleo. Por tanto, los electrones solo giraban en torno al núcleo a determinadas distancias, en “órbitas cuantizadas”, que correspondían a las energías permitidas. En 1922 Bohr recibió el Premio Nobel de Física por sus trabajos sobre la estructura atómica y la radiación.

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Capítulo I Átomo de Schrödinger (1887 - 1961) El físico austriaco Erwin Schrödinger realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. En 1926, Schrödinger introdujo un cambio revolucionario en el modelo propuesto, los electrones no giran entorno al núcleo, sino que se comportan más bien como ondas que se desplazan alrededor del núcleo a determinadas distancias y con determinadas energías. Este modelo resulto ser el más exacto: los físicos ya no intentan determinar la trayectoria y posición de un electrón en el átomo, sino que emplean ecuaciones que describen la onda electrónica para hallar la región del espacio en la que resulta más probable que se encuentre el electrón. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger

1.2 PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELÉCTRICAS

1. Tipos de cargas: existen dos tipos de cargas, las cuales son: a. Los electrones: son cargas negativas que orbitan

alrededor del núcleo del átomo. El déficit o exceso de electrones es lo que define la carga neta de un objeto. El valor de la carga de un electrón es -1.602 x 10 -19C y su masa es de 9.109 x 10-31kg. b. Los protones: son cargas positivas que se ubican en el núcleo atómico, poseen un valor de 1.602 x 10-19C y su masa es de 1.623 x 10-27kg.

2. Interacción eléctrica: las cargas experimentan fuerzas a distancia y de naturaleza eléctrica, debido al signo que tienen sin considerar el valor que las cargas tengan. Si son de igual signo se repelen y si son de signo contrario se atraen. Este fenómeno fue descrito por Benjamín Franklin (1706 1790), cuando al frotar seda con vidrio y lana con plástico se observo que, la seda y el plástico quedan con carga negativa mientras que la lana y el vidrio son cargados positivamente

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

3. Principio de Conservación de la carga: la carga neta de un sistema cerrado es constante. La carga no se crea ni se destruye sólo se transfiere entre los elementos que conforman el sistema. Por ejemplo: al frotar lana con plástico, la lana queda con carga positiva y el plástico con carga negativa, pero en las mismas proporciones.

4. Principio de Cuantización de la carga: toda cantidad observable de carga es múltiplo entero de la carga elemental que posee un electrón o protón. se establece que un cuerpo está cargado negativamente cuando posee exceso de electrones en su estructura molecular y estará cargado positivamente si presenta un déficit de electrones. 1.1 LEY DE COULOMB El físico francés Charles de Coulomb se destacó por sus trabajos realizados en el campo de la electricidad. En 1785 confirmó experimentalmente la ley que lleva su nombre, y que permite calcular la fuerza entre las cargas eléctricas, tal como se muestra en la figura Fig. 1.3 Fuerzas eléctrica entre un par de partículas con carga q1 y q2 .

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Capítulo I Módulo: el módulo de la fuerza es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

K qq F1 / 2 =  e 1 22 r1 − r2 donde: Ke: Constante de proporcionalidad: Ke =

1 N m2 = 9.10 9 4π εo C2

ε o: Constante de permitividad del vacío: εo = 8.854x10−12

 r1  r2

C2 N m2

: Vector posición que localiza a la carga q1 : Vector posición que localiza a la carga q2

Dirección: la fuerza está dirigida según el segmento de recta que une a las cargas. El sentido: del vector fuerza está determinado por el signo de las cargas: Las cargas se repelen cuando son de igual signo, tienden a separase, tal como se representa en la figura 1.4.

Fig. 1.4 Fuerzas eléctricas entre partículas con cargas de igual signo.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Las cargas se atraen cuando son de signos contrarios, tienden acercarse, tal como se representa en la figura 1.5.

Fig. 1.5 Fuerzas eléctricas entre partículas con cargas de signo contrario. Si se tiene un arreglo de dos cargas qi y qj ambas positivas como se indica en la figura 1.6.

y Fi / j

  rqj− rqi

+ qi

 rqi

+ qj

 rqj

 Fj / i x

Fig. 1.23 Ejemplo 1.9

La fuerza que siente la carga qi debido a qj es

debido a qi es

 Fj / i

 Fi / j

y la que siente qj

, ambas se expresan de la siguiente manera:

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Capítulo I ,

 Ke( ± q1 )( ± q 2 )   F1 / 2 =   2  r1 − r2 

  r1 − r2     r1 − r2 

 Ke ( ± q1 )( ± q 2 )   F2 / 1 =  2  r2 − r1 

  r2 − r1     r2 − r1 

Ejemplo 1.1 Se tienen dos esferas pequeñas metálicas idénticas con cargas de valor q1=4.10-6C y q2=−16.10-6C ¿Cuál es el módulo de la fuerza de atracción entre ellas si están separados 0,1 metros? Si las esferas se ponen en contacto y quedan separadas la misma distancia, ¿Cuál es el módulo de la nueva fuerza que actúa entre ellas? La fuerza de atracción entre las esferas está dada por:

(

) (

)

2 9 −6 −6  ( ± q1 )( ± q 2 ) 9.10 Nm C * 4.10 C * 16.10 C F = Ke   2 = = 57,6 N ( 0.1m ) 2 r1 − r2

Si se ponen en contacto, la carga resultante es −12.10−6C permitiendo una carga neta de − 6.10−6C sobre cada uno de ellos ya que son idénticas en dimensión. Entonces la fuerza de repulsión que actúa entre ellos es de:

(

2 9 −6  ( ± q1 )( ± q 2 ) 9.10 Nm C * 6.10 C F = Ke   2 = ( 0.1m) 2 r1 − r2

)

2

= 32,4 N

1.2 FUERZA ELÉCTRICA ORIGINADA POR UN SISTEMA DE n CARGAS PUNTUALES La ley de Coulomb nos permite determinar cuantitativamente la fuerza que interactúa entre dos cargas puntuales, pero: ¿Qué ocurre si en lugar de dos simples cargas, nos encontramos en presencia de un sistema compuesto por una cantidad n, de cargas puntuales?, ¿Cómo

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico podemos hacer para determinar la fuerza

resultante, ejercida

 Fi

sobre una carga qi, por el sistema de n cargas puntuales? El procedimiento es muy sencillo y se ilustra en la figura 1.7, siendo su único inconveniente la cantidad de fuerzas a determinar si el valor de n es muy elevado, simplemente debemos determinar por separado todas y cada una de las fuerzas que ejerce cada carga qj, del  Fi / j sistema, sobre la carga qi, posteriormente aplicando el principio de superposición (suma vectorial de las fuerzas), podemos determinar la fuerza resultante que actúa sobre la carga qi, siendo esta: n  n  ( ± qi ) ( ± q j )  Fi = ∑ Fi / j = ∑ Ke   2   j =1 j =1 ri − r j  i≠ j i ≠1

y  + qi

Fi / n

 rq1

   

 Fi /1  Fi / 2

 rq i

+ q1

  ri − r j   ri − r j

+ qn

 rqn x

 rq 2

- q2

Fig. 1.7 Fuerzas eléctricas en la carga qi debido al sistema de cargas discretas.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Ejemplo 1.2 La figura 1.8 muestra tres cargas puntuales q1, q2 y q3 idénticas y de valor +q, las cuales se encuentran ubicadas en los vértices de un triangulo equilátero de arista a. Considere que cada lado del triangulo es de longitud a. Determine la fuerza ejercida sobre la carga q1. Fig. 1.8 Ejemplo 1.2

Para determinar la fuerza total resultante sobre q1, primero debemos determinar la fuerza ejercida individualmente por cada carga. Pero, antes de efectuar cualquier tipo de cálculo, es bueno estudiar la geometría del problema, ya que muchas veces esto nos permite realizar simplificaciones útiles, haciendo nuestro problema más sencillo, de lo que originalmente es.

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Capítulo I Como se observa, en la figura1.9 la fuerza sobre la carga q1, puede ser  F1 determinada por la suma de las fuerzas y . Ambas fuerzas pueden ser   F1 / 2 F1 / 3 descompuestas, entonces ambas fuerzas tendrán una componente en el eje x, otra en el eje y. Si observamos bien podremos percatarnos de que las componentes en el eje x, tendrán igual modulo, pero diferente sentido, anulándose entre sí, Fig. 1.9 Fuerzas eléctricas que en cambio las componentes en y, actúan sobre la carga q1. tendrán igual modulo e igual sentido, por lo tanto la fuerza resultante solo  F1 tendrá componentes en el eje y, siendo su módulo , es decir,

   F1 = F1/2 + F1/3

F1y = 2F1 / 2y = 2F1 / 3y ;

F1y = 2F1/2 cos(30º )

F1y = 2

Kq a2

3 2

Calcular la fuerza a la que está sometida la carga q4, ubicada tal como se indica en la figura 1.10. Si se conocen:

4

F1x = 0

; 2

 Kq 2 F1 = 3 2 ˆj a

Ejemplo 1.3

q1 = + q, q2 = + 2q, q3 = - q, q4 = + 2q.

,

q1 a q2

q4

a

q3

Fig. 1.10 Ejemplo 1.3

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Se toma como origen la ubicación de la carga q2.

  3  K (± q 4 )(± qi )  rq 4 − rqi  F4 = ∑   2  r − r  i =1  q 4 qi  rq 4 − rqi   q1  rq1 = (0, a,0); rq 2 = (0,0,0); F 4/ 2    rq 3 = (a,0,0); rq 4 = ( a , a ,0) = rP ; q4  2 2 F4/1   a r4 − r1 = (a ,− a ,0); 2 2 F4/3   a 2 r4 − r1 = = a; q2 a 2 q3 2   2  r4 − r1  (1,−1) Fig. 1.11 Fuerzas eléctricas que actúan   = 2  r4 − r1  sobre q4   K (+2q )(+ q )  2 Kq 2 F4 / 1 = ( 1 , − 1 ) N = 2 2 (1,−1) N   2 a2  a   2     2     F4 = F4 / 1 + F4 / 2 + F4 / 3

 Kq 2 Kq 2 F4 = 8 2 2 (1,0,0) N = 8 2 2 (iˆ) N a a

1.3 CAMPO ELÉCTRICO Si en una región, se coloca una carga eléctrica, en reposo y sobre esta aparece una fuerza, se dice que en dicha región existe un campo eléctrico, es una consecuencia de la existencia de la carga eléctrica. Se sabe que un cuerpo con carga q positiva o negativa produce un campo

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Capítulo I eléctrico en los puntos del espacio que rodea a dicho cuerpo, este campo siempre está presente en este espacio, exista o no otras cargas. Por tal razón, el espacio que rodea a una carga o un cuerpo cargado se define asiento de campo eléctrico. Para percibir la existencia de un campo eléctrico, producido por una carga de valor q, se debe disponer de algún instrumento o medio, físico, que permita medir tal existencia, para ello se define el concepto de: carga de prueba qo. Una carga de prueba qo, debe cumplir con tres características básicas: a. Tener un valor despreciable en comparación al valor de la carga q, generadora del campo eléctrico a medir, pero no puede ser nula.

b. Ser considerada positiva o negativa, generalmente se considera positiva para facilitar la comprensión del efecto del campo. Estar inicialmente en reposo en un punto P ubicado dentro de la región del espacio, donde se presume existe, campo eléctrico. 1.1 PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS DE FUERZA O LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO. Las líneas de Campo Eléctrico o líneas de fuerzas fueron usadas por Michael Faraday como una manera más conveniente de visualizar la distribución del Campo Eléctrico. Las líneas de Campo Eléctrico se relacionan con el vector de Campo Eléctrico de la siguiente manera:

a. Son líneas imaginarias que permiten saber cómo varia la intensidad (módulo) y la forma del campo eléctrico en un espacio donde se presume es asiento de campo eléctrico.

b. Son líneas abiertas ya que salen de una carga positiva (Fuente) y llegan a una carga negativa (Sumidero). Por ejemplo si se tiene un sistema de dos cargas (+Q y -Q), la carga neta del sistema es cero todas la líneas que salen de +Q, llegan a –Q, pero dado otro sistema donde la carga neta no es cero (Ej. +2Q; -Q o viceversa)

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico las líneas pueden terminar o empezar, respectivamente, en el infinito. c. El número de líneas que salen o entran a una carga es proporcional al valor de la carga.

d. Las líneas de campo eléctrico se dibujan de tal forma que el número de líneas por unidad de área transversal (perpendicular a las líneas) es proporcional al módulo del vector Campo Eléctrico E.

e. Donde las líneas de campo eléctrico estén más próximas unas a las otras, E es más intenso (módulo es mayor) y cuando están más separadas, E es más débil (módulo es menor).

f. Las líneas de campo eléctrico uniformemente espaciadas generan campo eléctrico uniformes, este es el caso de los planos de cargas (de gran dimensión ≅ dimensión infinita)

g. Una recta tangente a una línea de campo eléctrico en cualquier punto coincide con la dirección de E en ese punto.

h. El sentido del campo eléctrico en un punto “P” viene dado por el sentido en el cual se desplaza una carga de prueba positiva qo, colocada en reposo en dicho punto “P”. i. Por cada punto “P” del espacio pasa una y sólo una línea de campo eléctrico, es decir, las líneas de campo eléctrico no se pueden cruzar o tocarse. La figura 1.12 muestra las líneas del campo eléctrico producido por cargas y arreglos de cargas de discretas.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

+

Fig. 1.12a

-

Carga positiva

Fig. 1.12b Carga negativa

E

E

-

+ E

Fig. 1.12c

Dipolo eléctrico

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

+

+

E

E E

Fig. 1.12d Cargas positivas idénticas 1.1 CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA CARGA PUNTUAL De la figura 1.13 se puede deducir mediante la aplicación de la Ley de Coulomb y utilizando una carga de prueba qo, se determina la fuerza de interacción entre q y qo, la cual se expresa como:

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Fq o / p  r

+ +q

E

+ qo

 rp  rq

Fig. 1.13 Fuerzas eléctrica que actúa en qo debido a q. Campo eléctrico producido por q en el punto P.

 ke( ±q )(±q )  Fo =  o  2   rp − rq 

  rp − rq    rp − rq 

Donde:

 Fo  rp

: Fuerza que actúa sobre qo, debido a la carga q.

: Vector posición que localiza el punto P donde se desea medir el

campo : Vector posición que localiza a la carga q, la cual produce el

 rq

campo

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Capítulo I Conocida la fuerza que actúa sobre qo se procede a definir al campo eléctrico producido por una carga puntual positiva o negativa como  E la razón de fuerza eléctrica por unidad de carga de prueba.

  Fo ke(± q)  E= = (± qo ) r − r 2  p q 

  r p − rq    r p − rq  

De este análisis se concluye lo siguiente

a. Sí q y qo son positivas, el vector fuerza eléctrica

 Fo

y el campo

apuntan en la misma dirección y sentido, tal como se indica en la figura 1.14a.

b. De ser q positiva y qo negativa, la fuerza y el campo tienen la misma dirección, pero los sentidos son contrarios, tal como se aprecia en la figura 1.14b.

c. Si ahora q es negativa y qo es positiva tanto la fuerza como el campo apuntan en la misma dirección y sentido, tal como se muestra en la figura 1.14c.

d. Sí q y qo son negativas la fuerza y el campo tienen la misma dirección pero sentidos contrarios, tal como se observa en la figura 1.14d.

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Fig. 1.14a

Fig. 1.14b

Fig. 1.14c

Fig. 1.14d

Fig. 1.14 Campo y la Fuerza Eléctrica que actúa sobre qo debido a q

CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UN SISTEMA DE CARGAS DISCRETO Si ahora se dispone de un arreglo de N cargas puntuales, tal como muestra la figura 1.15.

y

 En

+ q1

P

 E1

 E2

 rp

 rqn

+ qn

x Fig. 1.15 Sistemas de cargas discretas

 rq 2

- q2

Se desea calcular el campo en un punto P, el procedimiento consistirá en determinar los campos eléctricos producidos por cada carga y el campo resultante se obtiene con la superposición de todos los campos

4

Capítulo I calculados, es decir, realizando una suma vectorial de los campos determinados de forma independiente. n       E P = ∑ E i = E1 + E 2 +  + E i +  E n i =1

Siendo:

 k (± q )  E i = e  i 2  rp − rqi 

  rp − rqi   rp − rqi

   

donde:

 Ei

: Campo producido por la carga i-ésima en el punto P : Carga i-ésima

qi

 rp

: Vector posición que localiza el punto P donde se desea medir el

campo : Vector posición que localiza a la carga i-ésima

 rqi

.

qi

Ejemplo 1.4

q1 Para el arreglo de cargas puntuales indicado Calcule el campo eléctrico en el punto P posteriormente se ubica una carga q4 tal

a

4

q2

en el ejemplo 1.3. donde P como se

a

q3

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico indica en la figura. Se conocen q1=+q, q2=+2q, q3=-q, q4=+2q. Demuestre además que

  F4 = (± q4 ) EP

  rq1 = (0, a,0); rq 2 = (0,0,0);    rq 3 = (a,0,0); rq 4 = (a , a ,0) = rP ; 2 2   r4 − r1 = (a ,− a ,0); 2 2   a 2 r4 − r1 = = a; 2 2

q1

a

 E2 q4  E1 

q2

a

E3 q3

   2  r4 − r1   (1,−1) = ( cos 45º ; − sen45º );    =   r4 − r1   2 3  K (± q ) Ep = ∑   i 2 i =1 r − r P qi

 rP − rqi     Kq Kq     = E1 + E2 + E3 = 4 2 2 (1,0,0) N = 4 2 2 (iˆ) N a a  rP − rqi 

  Kq 2 Kq 2 Fq 4 = (± q 4 ) * Ep = (+2q )4 2 2 (1,0,0) N = 8 2 2 (iˆ) N a a CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UN CUERPO CARGADO.

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Fig. 1.16 Campo eléctrico producido por un objeto cargado

El campo eléctrico generado por un objeto cargado se puede determinar de manera similar al campo producido por un conjunto discreto de cargas, el tratamiento es similar. Cuando tenemos un conjunto discreto de cargas y se desea conocer el campo resultante,

 E

simplemente se determina el campo producido por cada elemento y el campo total producido, será la suma de los campos generados por cada elemento, de forma individual. En nuestro caso, podemos asumir que el cuerpo se encuentra compuesto por un conjunto infinito de cargas, es decir que la carga neta es el producto de la suma de infinitos diferenciales de carga. Una vez hecho esto es fácil suponer que cada diferencial de carga produce un diferencial de campo eléctrico, dando como resultado, que el campo eléctrico puede ser calculado, sumando (integrando) todos los diferenciales de campo producidos. De la figura 1.16, en el cual se tiene un objeto con carga +Q, el cual ha sido seccionado en infinitesimales elementos de carga +dq, por lo cual el campo diferencial se puede expresar como:

 ke(± dq)  EP = ∫   2 rp − rdq 

  rp − rdq    rp − rdq  

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Carga Eléctrica y Campo Eléctrico Donde: : Elemento diferencial de carga

dq

 rp

: Vector posición que localiza el punto P donde se desea

medir el campo : Vector posición que localiza al elemento diferencial de

 rdq

carga. El elemento diferencial de carga está relacionado con la distribución de la carga en el cuerpo, de tal manera que se puede considerar que para un cuerpo longitudinal, superficial o volumétrico existe una densidad de carga, la cual indica como varía la misma con la longitud, superficie o volumen respectivamente, siendo esto una forma muy conveniente para estudiar el comportamiento macroscópico, de un conjunto de cargas, siempre y cuando cumplan con determinadas características. Un cuerpo eléctricamente cargado, tiene asociado una densidad de carga volumétrica, es decir, una cantidad de carga que éste posee con relación al volumen físico que ocupa en el espacio, ya que todo cuerpo físico real, posee volumen, pero para fines prácticos, existen cuerpos que cumplen con ciertas características morfológicas, que nos permiten realizar simplificaciones, permitiendo definir densidades de carga lineales o superficiales, tal como veremos a continuación. Para aclara un poco este punto, es necesario imaginar las siguientes situaciones: Supóngase que se dispone de una hoja de papel cargada, al analizar la geometría del objeto de estudio, se observa que se trata de un cuerpo que posee un largo y un ancho de dimensiones comparables, pero su espesor es completamente despreciable, si se compara con las otras dimensiones. Dicha hoja posee un volumen prácticamente

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Capítulo I despreciable, que se considera una superficie, o algo muy cercano a lo que teóricamente se define como una superficie, entonces en este caso es mucho más conveniente definir la cantidad de carga por unidad de superficie, presente en el papel. Ahora, imagine un hilo cargado, en este caso la geometría apreciable es longitudinal, la longitud del objeto es siempre superior al área de su sección transversal, por lo tanto este puede ser considerado como una línea, y en ese caso se define la cantidad de carga por unidad de longitud. 1.1 DENSIDADES DE CARGA: Si se trata de un objeto longitudinal se define a λ , como la densidad de carga lineal, la cual indica como varia la carga respecto a la longitud del objeto, dicho de otra manera, como está distribuida la carga, con respecto a la longitud del objeto. λ=

Q , Q = λL, dq = λdl L

El elemento diferencial de trayectoria

, puede representarse

dl como dx, dy, dz, o un arco diferencial R⋅ dθ . La densidad de carga λ puede ser uniforme o variable. De ser uniforme representa que la carga está uniformemente distribuida a lo largo de la longitud del objeto, en caso contrario que sea variable debe existir una expresión matemática que indique como varía, por ejemplo: λ =λ oX. La unidad para λ en el S.I. es C/m. Si el objeto es superficial se define a σ s, como la densidad de carga superficial, la cual indica como varia la carga respecto al área del objeto, es decir cuanta carga posee el objeto por unidad de superficie.

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico σs =

Q , Q = σ s S , dq = σ s ds S

El elemento diferencial de área

, puede representarse como dx⋅ dy,

ds dx⋅ dz, dy⋅ dz, R⋅ dθ ⋅ dz, R2⋅ senφ dφ ⋅ dθ . De ser uniforme σ s representa que la carga está uniformemente distribuida a lo largo de la superficie del objeto, en caso contrario que sea variable existe una expresión matemática que indique como varía, por ejemplo: σ s =σ o Senφ . La unidad de σ s en el S.I. es C/m2. Para un objeto volumétrico se define a ρ V como la densidad de carga volumétrica, es la razón de carga por unidad de volumen del objeto.

ρV =

Q , Q = ρV V , dq = ρV dv V

El elemento diferencial de volumen

, puede representarse como

dv dx⋅ dy⋅ dz, rdr⋅ dθ ⋅ dz, r2dr⋅ senφ dφ ⋅ dθ . De la misma manera que las densidades anteriores de ser uniforme ρ V representa que la carga esta uniformemente distribuida a en el volumen del objeto. La unidad de  V en el S.I. es C/m3. Si varía debe existir una expresión matemática que indique como lo hace, por ejemplo: ρ V =o r2. Es conveniente aclarar, que para los tres casos, la variación de la carga, puede ocurrir con respecto a cualquier parámetro físico, siendo los más comunes, con respecto a la posición en el cuerpo (objeto de densidad eléctrica variable) o con respecto al tiempo (objeto de carga variable en el tiempo).

3

Capítulo I Metodología para determinar la expresión del campo eléctrico debido a un objeto cargado. a. Se debe seccionar al objeto en elementos de carga. b. Se observa que densidad de carga está presente en el objeto, ya sean λ , S, ρ V. Estas densidades pueden ser uniformes o variables. c. Se procede a formular la expresión de campo, recordando que se deben conocer los vectores de posición tanto del elemento diferencial de carga como del punto P donde se desea conocer el campo. d. Una vez indicada la expresión, se integra dependiendo de la variable que esté presente en la integral. Hay que denotar que la integral puede ser de contorno, de superficie o de volumen. Ejemplo 1.5 Se tiene una barra de largo 2a, la cual está cargada eléctricamente, estando dicha carga, uniformemente distribuida con una densidad lineal λ (C/m), a lo largo de esta. La barra se ubica de forma paralela al eje y, de un sistema de coordenadas cartesianas, tal como muestra la figura 1.16. Determine el campo en un punto P, ubicado sobre el eje x a una distancia x de la barra. El eje x está dispuesto de tal forma que divide a la barra en dos partes iguales.

 ke (±dq ) EP = ∫   2 rp − rdq Fig. 1.17 Ejemplo 1.5

3

   

  rp − rdq    rp − rdq 

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

tgα =

y ; x

y = xTgα

  r p − rdq = x 2 + y 2  ke(± dq)  EP = ∫   2 rp − rdq 

dy = xSec2α dα

dq = λ dy

rˆ = Cosα iˆ − Senα ˆj

  rp − rdq  a ke(λdy) ( Cosα iˆ − Senα ˆj ) = ∫   rp − rdq  − a x 2 + y 2 

(

)

α2  keλ λ  y ˆ ˆ ( ) EP = Cos α i − Sen α j d α = ∫  2 2 x 4π εo x α1  x +y

a

  iˆ   −a

Debido a que la carga esta

 EP =

λ  2a  4π εo x  x 2 + a 2

 iˆ;  

Ey = 0

simétrica. Caso particular: De ser la barra muy larga se supone que expresión del campo es:

a→∞

, la

se observa que depende sólo

 EP =

λ iˆ; 2π oε x

de la distancia del punto P respecto a la barra. Si la longitud de la barra es muy grande con respecto a la distancia de la barra al punto P, se puede asumir que la barra tiene un largo infinito, entonces la solución podría aproximarse, a la solución anterior. Ejemplo 1.6

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Un anillo de radio a y carga Q distribuida uniformemente se ubica tal como se indica en la figura 1.18. Encuentre el campo en un punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro.

y

Fig. 1.18 Ejemplo 1.6 dQ

dl

r 2 = x2 + a2

a

φo

x

P

α

dE y

Q

 rp = ( x,0,0) ,

α

dE x

x

 dE

 rdl = ( 0, aSenφ ,− aCosφ ) ;

  rp − rdq = ( x,− aSenφ , aCosφ )

  rp − rdq = x 2 + a 2  x − aSenφ aCosφ rˆ =  ; ;  2 2 2 2 x +a x2 + a2  x +a  ke(± dq)  EP = ∫   2  rp − rdq 

 EP =

keλ a (x2 + a2 )

2π

  rp − rdq   rp − rdq

 2π ke(λadφ ) = ( Cosα ;− SenαSenφ ; SenαCosφ )  ∫0 x 2 + a 2 

∫ ( Co sα ;− S enα 0

  = ( Cosα ;− SenαSenφ ; Senα Cosφ )  

(

)

S enφ ; S enα Co sφ ) dφ =

λ a  x  2ε o ( x 2 + a 2 ) 3 2 

  iˆ  

5

Capítulo I y

Ey = 0

Debido a que la carga está simétricamente

Ez = 0

distribuida en el anillo. Caso particular: en el centro del anillo (x = 0), el campo es nulo. Ejemplo 1.7 En la figura 1.19 se muestra un disco macizo de radio R, se sabe que el disco se encuentra cargado y que posee una densidad de carga superficial positiva, uniforme, de valor σ s. Suponga que x es positiva. Halle el campo eléctrico que produce un disco en un punto ubicado a lo largo del eje de Fig. 1.19

4

Ejemplo 1.7

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico   r p = ( x,0,0) , rdl = ( 0, rSenφ ,− rCosφ ) ;   r p − rdq = x 2 + r 2  x − rSenφ rCosφ rˆ =  ; ; 2 2 x2 + r2 x2 + r2  x +r

 ke(± d q)  EP = ∫   2  rp − rdq 

  rp − rdq   rp − rdq

 =  

R 2π

  r p − rdq = ( x,− rSenφ , rCosφ )

  = ( Cosα ;− Senα Senφ ; Senα Cosφ )  

ke(σ s rdrdφ ) ( Co sα ;− S enα Senφ ; S enα Co sφ ) 2 + r2

∫ ∫ (x 0 0

)

R 2π 2  x Tg α Sec 2α ( Cosα ;−Senα Senφ ; Senα Cosφ ) dα dφ E P = keσ s ∫ ∫ x 2 Sec 2α 0 0

α * 2π  E P = keσ s ∫ ∫ ( Senα ;−Tg α Senα Senφ ; Tg α Senα Cos φ ) dα dφ 0 0

  E P = −2πkeσ s   

y

Ey = 0

R

(x

x 2

+r

2

)

   0

   ˆi = σ s 1 − 2ε o    

1  R 2    x  

    iˆ   + 1  

Debido a que la carga es simétrica en el disco.

Ez = 0

Caso particular: sí

, o sea se trata de un plano de carga de

R→∞ dimensiones infinitas, el campo resultante se obtiene como:

 σ EP = s iˆ 2ε o Ambos casos indican que el campo es uniforme, no depende de la distancia respecto al plano. La dirección es perpendicular al plano.

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico Ejemplo 1.8 De la figura 1.20 se observan dos planos infinitos y paralelos uno respecto a otro, separados una distancia d. El plano inferior tiene densidad de carga superficial uniforme y positiva +σ , y el plano superior tiene densidad de carga superficial uniforme y negativa -σ . Determine el campo en la región de arriba del plano superior, entre los planos y por debajo del plano inferior. y E2 Plano 1

Eneto = E1 + E2 = 0

−σ

x d

Plano 2

E1

E2

Eneto = σ / εο (j)

E1

+ σ E2

E1

Eneto = E1 + E2 = 0

Fig. 1.20 Ejemplo 1.8

Los campos creados por los planos de carga son iguales en módulo ( ), dirección ( ) pero el sentido depende de la región

E1 = E2 =

σ 2ε o

ˆj

en estudio. En cada región el campo resultante es la suma de los campos producidos por cada plano.

   En = E1 + E2

a. Por arriba del plano superior:

    σ ( ˆj ), E2 = σ ( − ˆj ); En = 0 E1 = 2ε o 2ε o b. Entre los planos:

   σ ( ˆj ), En = σ ( ˆj ) E1 = E2 = 2ε o εo c. Por abajo del plano inferior:

3

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

    σ ( − ˆj ), E2 = σ ( ˆj ); En = 0 E1 = 2ε o 2ε o

1.1 DIPOLO ELÉCTRICO Se trata de un arreglo de dos cargas puntuales de igual valor y signos diferentes (+q y -q) separadas una distancia d. En la figura 1.21 se observa que al colocar un dipolo en presencia de un campo eléctrico aparecerá, en cada carga una fuerza, de naturaleza eléctrica, la cual origina que el dipolo experimente un momento de torsión.

          F = ( ± q ) E ; F+ = qE , F− = −qE , Fneta = F+ + F− = 0

   Fneta = maCM , aCM = 0

d

p

E

+

F+ q = q E

+q d Sen φ

φ

F- q = - q E

- -q

Fig. 1.21 Dipolo Eléctrico sumergido en una región de campo eléctrico uniforme

3

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Considerando que inicialmente el dipolo parte del reposo, sí la fuerza neta es nula, sólo se garantiza que el dipolo no experimenta traslación, más no quiere decir que no exista otro tipo de movimiento, como una rotación o un movimiento armónico simple. Ahora bien las fuerzas presentes realizan torque. Por definición el torque o momento de torsión se expresa como:

 τ = rxF Vamos a encontrar tres formas de obtener este torque:

  τneto = τ+ + τ− = r1xF+ + r2 xF−

d d τneto = Senφ qE( − kˆ ) + Senφ qE( − kˆ ) = dSenφ qE( − kˆ ) 2 2 Las fuerzas que actúan sobre el dipolo son iguales en módulo, dirección pero en sentido contrario y no son de acción y reacción, ya que, ambas aparecen aplicadas sobre el mismo cuerpo.

  F+ = − F−

Para casos como este se define al modulo del torque como:

 distanciade separación      τ neto =  entre las líneasde acción F  de cada fuerza    La dirección y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha

( )

 τ neto = dSenφ qE − kˆ

5

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Por último existe un efecto eléctrico en el dipolo que se denomina momento dipolar eléctrico , se trata de una magnitud física

 p

vectorial, la cual posee un módulo

, la dirección es tangente al

p = qd eje del dipolo y el sentido es de la carga negativa hacia la positiva. En términos del momento dipolar eléctrico, el torque se puede expresar como: . El momento de torsión

 τneto = pSenφ E ( − kˆ ) = p x E

es máximo cuando

 p

y

 E

son perpendiculares, y es cero cuando son

paralelos o antiparalelos. El momento de torsión siempre tiende a hacer girar de manera de alinearlo con . La posición φ = 0, con y

 E

 p

 p

 E

paralelos, es una posición de equilibrio estable, ya que es la posición para el cual el dipolo queda orientado con el campo. Mientras que la posición φ = π , con y antiparalelos, es una posición de equilibrio

 p

 E

inestable. Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico debido al momento de torsión que se produce, el campo eléctrico realiza trabajo sobre el dipolo, a través de un cambio de energía potencial. El trabajo dW realizado por un momento de torsión durante un desplazamiento infinitesimal d está dado por la ecuación:

dW = τ dφ = − pE Senφ dφ

5

Capítulo I

φ2

W = ∫ − pE Senφ dφ = pE Cosφ2 − pE Cosφ1 = − ∆U = U1 − U 2 φ1

  U = − pCosφ E = − p • E La energía potencial tiene su valor mínimo U = -pE (es decir, su valor más negativo) en la posición de equilibrio estable, donde (φ =0 y y

 p

 E

son paralelos. La energía potencial es máxima cuando φ =π y

 p

son antiparalelos; en estas condiciones U = +pE. En φ = π /2, donde

 E

y

 p

 E y

son perpendiculares, U es cero.

1.2 MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME En la figura 1.22 muestra a un electrón, de masa m y carga e que se lanza perpendicularmente con una rapidez Vo, a un campo uniforme E, creado por el arreglo de planos cargados.

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

Fig. 1.22 Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme. El movimiento que describe es semejante al de un proyectil disparado horizontalmente en el campo gravitacional terrestre. Por lo tanto, pueden aplicarse las ecuaciones que describen un movimiento en dos dimensiones. En la dirección “x” el movimiento es uniforme, mientras que en “y” es uniformemente acelerado. Las ecuaciones para este movimiento son:

x = xo + Voxt ;

1 y = yo + Voyt + at 2 ; 2

Vy = Voy + at; Vy 2 = Voy 2 + 2a( y − yo ) siendo Vox = VoCosφ ; Voy = Vo Senφ y = yo + Tgφ ( x − xo ) +

a 2

2

2Vo Cos φ

( x − xo ) 2

En este caso se cumple:

( xo , yo ) = ( 0,0); x = Vot ;

Vox = Vo ; Voy = 0; φ = 0; a =

y=

eE 2 t ; 2m

y=

eE 2mVo

2

eE m

x2

3

Capítulo I Cuando el electrón sale de entre las placas representadas en la figura anterior, continúa viajando (ignorando el efecto de la gravedad) a lo largo de una línea recta, tangente a la parábola que se describe en la ecuación de la trayectoria. Si el electrón incide sobre una pantalla fluorescente S, colocada a cierta distancia después de las placas, producirá junto con los demás electrones que inciden sobre la pantalla, una mancha luminosa visible; éste es el principio del osciloscopio de rayos catódicos. Ejemplo 1.9 La figura 1.23 muestra dos placas verticales, muy grandes y paralelas, con cargas opuestas y separadas entre sí, una distancia d1. La densidad superficial de carga, en cada una de las placas, tiene un valor constante σ. Adicionalmente, un electrón de masa m y carga e, se coloca en el centro de las placas, siendo acelerado por el campo eléctrico presente. El electrón, pasa por un orificio de salida (tal como aparece en la figura) y penetra en una región entre dos placas paralelas y horizontales. Se conoce además que las placas horizontales tienen longitud L y entre ellas existe un campo eléctrico uniforme de magnitud E2. El electrón sale de las placas horizontales y finalmente impacta una pantalla situada a una distancia D de las placas. Considere despreciable los efectos gravitatorios.

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico -σ

+σ D

d2 -σ

-e

+σ L

d1

Fig. 1.23 Ejemplo 1.9 Determine: a. La velocidad del electrón justo al salir de las placas verticales. b. La velocidad del electrón justo al salir de las placas horizontales. c. El punto donde impacta el electrón a la pantalla. Solución: Parte a ;

 

∫ E • ds =

Q neta ε0

EA =

σA σ ⇒E= ε0 ε0

Fe = eE = ma; a =

eE eσ = (iˆ) m mε o

 d eσ V 2 = Vo 2 + 2a∆x; Vo = 0 Ve − = 1 (iˆ) mε o Parte b

 eE Fe = eE2 = ma y ; a = 2 (− ˆj ) m

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

d eσ eE Vx = Vox = 1 ; a x = 0; V y = 2 t mε o m xE ε d eσ x eE x x = V0 xt = 1 t ; t = ; Vy = 2 = 2 o; mε o Vox m Vox d1σ x = L; V y =

LE2ε o ; d1σ

  d eσ LE ε  V =  1 ; 2 o   mε o d1σ 

Parte c

    d1eσ LE 2ε o  V  oy  ; φ = arctg  = arctg V =  ;  m ε d σ V o 1    ox     LE2ε o 2 m  ∆y φ = arctg 2 2 ; Tgφ = ; ∆ y = DTgφ D  d1 eσ 

LE 2ε o d1σ d1eσ mε o

     

 LE2ε o 2 m  =  2 2  D  d1 eσ 

 LE ε 2 mD  Pimpacto =  D; 22 o 2  d1 eσ   1.1 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Tres pequeñas esferas de igual masa m se suspenden a un punto común, mediante hilos de seda de la misma longitud L, las tres esferas poseen cargas iguales, por lo tanto están se repelen colocándose de tal forma que forman un triangulo equilátero, en el cual cada una se encuentra en un vértice, de este, cada lado del triangulo tiene un valor a. Determine el valor de la carga de cada esfera, si se conocen: m = 100g, L = 2m, a = √3m.

2. Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de las x. La primera carga (q1 = 3 µ C) está en el origen, la carga numero dos (q2

3

Capítulo I = -5.00 µ C) está en x = 0.2 m. La última carga tiene un valor de -8 µ C. ¿Dónde está situada q3, si la fuerza neta sobre q1 es 7 N en la dirección -x?

3. Se coloca una carga puntual de valor 3.50 µ C a 0.8 m a la izquierda de

una segunda carga puntual idéntica. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de las fuerzas que cada carga ejerce sobre la otra? q1

4. Se tiene un arreglo de cargas puntuales ubicadas como se indica en la figura de la derecha. Determine la fuerza neta que actúa sobre q2. Si se conocen q1 = +q, q2 = +2q, q3 = -q, q4 = +2q.

a q2

q4

a

q3

5. Se tiene un disco de radio R, con

densidad superficial de carga uniforme, positiva y de valor σ , dispuesto de tal manera que su eje de simetría coincide con el semi - eje positivo de las x. Determine la expresión del campo eléctrico con respecto a x y grafique dicho campo.

6. Se colocan cuatro cargas idénticas de valor q, en los vértices de un cuadrado de lado L. En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas las fuerzas que actúan sobre una de las cargas. Halle la fuerza resultante que ejercen sobre una de las cargas.

7. Cada centímetro cuadrado de la superficie de una hoja de papel, plana e infinita, tiene 2.5x I06 electrones en exceso. Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto situado a 5 cm de la superficie de la hoja, si la hoja es lo suficientemente grande para considerarla como un plano infinito.

8. Una carga positiva, de valor Q, está distribuida uniformemente a lo largo de una barra, ubicada sobre el semieje positivo de las y, tal como se indica en la figura. Adicionalmente existe una carga puntual negativa -q sobre el eje positivo de las x, a una distancia x del origen. Calcule:

4

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico

a. El campo eléctrico producido por la barra en cualquier punto sobre el eje x. b. La fuerza que la barra ejerce sobre la carga de valor -q. c. Demuestre que si x >> a, y

Fx =

− Qq 4π oε x 2

Fy =

Qqa 8π εo x3

1. Una carga positiva Q, está distribuida uniformemente a lo largo de una barra ubicada a lo largo del eje de las x, desde x=0 a x=a. Adicionalmente, existe una carga puntual q, situada sobre el eje de las x, en x=a+r, a una distancia r, a la derecha de un extremo de Q, tal como se indica en la figura. Determine el campo eléctrico producido por ambas distribuciones de carga en un punto x > a + r.

2. Una barra larga, pero de tamaño finito, está cargada con una densidad de carga lineal, variable de valor λ =Ax y una carga puntual Q, se encuentran ubicadas en el origen, tal como lo indica la figura. Determine: a. El Campo eléctrico que la carga produce en el punto P. b. El Campo eléctrico que producido por la barra en el punto P. c. El Campo eléctrico resultante en P.

3

Capítulo I

1. Dos cargas puntuales (q1 = 4.5 nC y q2 = -4.5 nC), que forman un dipolo eléctrico, están separadas una distancia d = 3.1 mm. a. Halle el vector momento dipolar eléctrico p. b. Las cargas se encuentran en presencia de un campo eléctrico, uniforme, cuya dirección forma un ángulo φ = 36.9°, con respecto a la recta que une a las cargas. ¿Cuál es el módulo de este campo, si se conoce que el momento de torsión que se ejerce sobre el dipolo tiene una magnitud de 7.2 x 10-9 N-m?. Véase la figura 1.20.

2. Un haz de electrones incide perpendicularmente, sobre el centro de una pantalla vertical, tal como se indica en la figura. En su recorrido actúan los campos eléctricos E1 y E2. Indique en que cuadrante impactan el haz de electrones.

3. Tenemos una partícula de masa m, suspendida por un resorte de longitud L y constante K, tal como muestra la figura, dicha partícula se encuentra cargada eléctricamente y el valor de dicha carga es q1. A una distancia D, de la base del resorte, se encuentra otra partícula de carga q2, esta está fija, en su lugar, sin posibilidad de moverse. Si el resorte experimenta una deformación x, cuando el sistema está en equilibrio. Calcule la expresión y el signo de q2, considerando: a- El resorte se comprime. 3

L

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico b- el resorte se estira.

4. Dos esferas pequeñas, de la misma masa (m), están suspendidas por hilos de longitud L. Un campo eléctrico uniforme se aplica en la dirección x. Si las esferas tienen cargas de igual magnitud pero signos diferentes (–q, +q). Determine el campo eléctrico que permite a las esferas estar en equilibrio con un ángulo de separación θ .

5. Un electrón se dispara, dentro de la región comprendida por dos placas metálicas, cuadradas, formando un ángulo de 45º, con respecto a la placa inferior, tal como muestra la figura. La rapidez inicial con que es disparado el electrón es de 6x106m/s, entre dichas placas existe un campo eléctrico E dirigido hacia arriba de módulo 2x103N/C. Las placas están separadas a 2cm y miden cada una 10cm de largo. Determine si el electrón choca con la placa superior, con la inferior o si sale de las mismas, sin producirse una colisión. Desprecie la masa del electrón y el campo gravitacional.

6. Dos láminas planas, horizontales e infinitas, están separadas por una distancia d. La lámina inferior tiene carga negativa, con una densidad superficial uniforme de carga σ < 0. La lámina superior tiene carga positiva, con una densidad superficial uniforme de carga σ > 0. Determine el campo: a. Arriba de la lámina superior b. Debajo de la lámina inferior

3

Carga Eléctrica y Campo Eléctrico c. Entre las láminas

7. En la figura se muestra un anillo que tiene: radio interno a, radio externo b = 2a, y densidad superficial de carga uniforme σ . a. Encuentre una expresión para el campo eléctrico en cualquier punto sobre el eje y. b. Si se coloca un electrón en reposo en el punto Q(0,a,0), determine la fuerza que actúa sobre el electrón. Indique hacia donde se movería.

1. Una línea con forma de semi-anillo, circular y cuyo radio es de valor R, está cargada de la siguiente manera: la parte superior posee una densidad de carga por unidad de longitud, igual a λ y la mitad inferior tiene una densidad de carga por unidad de longitud igual a -λ . También se encuentra presente una línea de longitud igual a L, ubicada a lo largo del eje x, la cual está cargada positivamente, con una densidad lineal de carga uniforme, de valor λ . Calcule el campo eléctrico total debido a estas distribuciones de carga en el punto O (origen del sistema de referencia). Si se coloca una carga de prueba positiva en el origen: ¿Cuál será la dirección que tendrá la fuerza eléctrica sobre ella? Explique

2. En la figura adjunta, se muestra un sistema conformado por, una esfera maciza no conductora de radio R1, la cual se encuentra dentro de una esfera hueca (de material conductor) de radio interno R2 y radio externo R3, a su vez estas se encuentran dentro de una tercera, esfera hueca, también conductora, de radio interno

3

Capítulo I R4 y radio externo R5. La primera esfera (maciza) posee una distribución de carga volumétrica uniforme de valor ρ . La segunda esfera, posee inicialmente una carga positiva Q y la tercera esfera (esfera externa) no posee carga y está sólidamente puesta a tierra. a. Dibuje las líneas de campo eléctrico en cada región. b. Indique la distribución de carga del sistema. c. Determine la densidad de carga superficial, interna y externa, para las esferas conductoras.

3. Se tiene un anillo de radio R, cargado con una densidad lineal de

carga uniforme de valor λ . a. Sí la carga total del anillo es Q, encuentre el valor de la densidad lineal de carga. b. Encuentre el valor de la intensidad de campo eléctrico creado por el anillo a una distancia z de su centro. c. Encuentre el punto M de coordenadas (0,0,h) en el cual el campo eléctrico tiene un valor máximo.

4