Cap 4 Potencial Electrico

Cuaderno de Actividades: Física II

4) Potencial Eléctrico y Energía Potencial Electrostática

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

46

Cuaderno de Actividades: Física II

4) Potencial Eléctrico V à CAMPO ESCALAR

•P

→ Escalar  → 1  rr − rr′  

ρ

r r 1 E, F → r r 2 { r − r ′}

4.1) Definición de potencial de una carga puntual La diferencia de V, ∆V , entre los puntos A y B, será igual al trabajo cuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, por unidad de carga de prueba.

VA

VB r FEXT

A 0 q

r FE q0

B r

W≡E r r Proceso cuasiestacionario : − FEXT ≡ FE r r Fe E= : Definición operacional del E q0 r r r kqr E (r ) ≡ 3≡ r

kq (r −r ′) kq ≡3 e2 r −r ′ r

ˆr

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47

Cuaderno de Actividades: Física II r FEXT , q0

∆VAB ≡ VA − VB ≡

W B→ A

r r F ∫ EXT .dr

q0

rA

VA − VB ≡

rB

q0

r r − ∫ Fe .dr rA

≡

rB

q0

r r r VA − VB ≡ − ∫ E.dr ← ∆V ≡ ∆V E rA

( )

rB

A → r cualquiera B → r " refererencial " ← VB " REFERENCIAL " rA

 kq  r r V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫  2 eˆr dr , dr ≡ dreˆr r  rB  rA

→ V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫ rB

→ V ( r ) − V ( rREF )

kq dr r2 rA ≡ r

 −kq  ≡ −   r rB ≡ rREF

1 1  → V ( r ) − V ( rREF ) ≡ kq  −   r rREF  1 1  V ( r ) ≡ V ( rREF ) + kq  −  r r  REF  → V q (r ) ≡

rREF → ∞ ⇒ VREF ≅ 0

kq r

r Generalizando para una carga q colocada en r ′ , kq V q (r ) ≡ r r r − r′

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48

Cuaderno de Actividades: Física II

4.2) Potencial para diversas distribuciones de cargas Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones para distribuciones discretas y continuas,

i) Distribuciones Discretas: n q

kq r r V q (r ) ≡ r ir , r′ ≡ ri r − r′

q1 qn

V DD ( r ) ≡ ∑ i V i (r )

qi r ri

q

•P

r r

i =n kq V DD (r ) ≡ ∑ r ir i =1 r − ri

ii) D. Continuas: ρ , σ y λ

ρ

k ρ dv V ρ (r) ≡ ∫ r r ′ ρ r −r

dq

P

kσ da V σ (r) ≡ ∫ r r r − r′ σ

k λ dl V λ (r ) ≡ ∫ r r ′ λ r −r u [V ] ≡

J ≡ volt ≡ V C

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49

Cuaderno de Actividades: Física II

4.3) Lugares equipotenciales i)

Superficies equipotenciales Son regiones del R3 donde el V se mantiene constante. j) Volumétricos Volumen A V=cte

Q

σ

jj) Superficiales Plano A V=cte

jjj) Lineales

ρ

+ Líneas A V=cte

− SE

r E

*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.

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50

Cuaderno de Actividades: Física II

ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ρ i)

ρ àq

V=

Kq R

à CASACARONES

r≡R

ESFERICOS ii) ρ à D. Discretas

r ρ →E

r E

r r E.dr = 0

Superficie Equipotenc ial

iii) ρ → λ r E

λ

λ

Superficie Equipotencial

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51

Cuaderno de Actividades: Física II iv)

ρ →σ

σ

r E

Planos // σ

σ

v) ρ → ρ ρ ( r)

ρ

≡

q

Superficie Equipotencial

r

4.4) Relación entre V ∧ E r E →V 1ºà 1ºà V

ρ

( r ) − Vref

r r ≡ − ∫ E ρ . dr

r V →E

r

rref

r E ≡− ∇ V

r 2ºà 2ºà E → CAMPO CONSERVATIVO ∇≡

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

V ≡ V ( x, y,z )

Aplicaciones Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

52

Cuaderno de Actividades: Física II

S2P1) Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga:

ρ ( r ) ≡  ρ0 R  r, ρ0 ≡ cte   a) Halle la carga total. b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r. c) Halle el y úselo para determinar el V en cualquier potencial y graficar.

Solución:

R

r EI

r EII r da

R

r

4πρ0 r 3 πρ0 r 4  ρ0 r  2 a ) q ≡ ∫ ρ dv ≡ ∫  r dr =  { 4π r dr } → q ( r ) ≡ R ∫0 R ρ ρ  R  b) Q ( r ≡ R ) ≡ πρ 0 R 3 c) El potencial se puede hallar con : r r r k ρ dv V ρ ( r ) ≡ Vref − ∫ E .dr ∨ V ρ ( r ) ≡ ∫ r r ′ r ρ r −r ref

r r q II ) Ñ ∫SG E.da ≡ εNE0

r r → E//da r → E cte∀punto SG

r πρ R 3 EII { 4π r 2 } ≡ 0 → 4ε 0

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r  ρ R 3 1 EII =  0  2  4ε 0  r

53

Cuaderno de Actividades: Física II

r πρ r 4 I ) EI { 4π r 2 } ≡ 0 → Rε 0

II )V ( r ) ≡ VREF

r  ρ  EI =  0  r 2  4 Rε 0 

 r dr   CII  − ∫  2 eˆr  .{ dreˆ r} ≡VREF − C II  ∫ 2  r  rREF   rREF r  r

 −1  = VREF − C II  ] rREF r → rREF → ∞, V REF ≈ 0 r 

CII ρ0 R 3 VII ( r ) = ≡ r 4ε 0 r

I )V ( r ) ≡ VREF −

r

∫ { C r eˆ } .{ dreˆ } ≡V 2

I

r

r

REF

rREF

 r 2  − CI  ∫ r dr  rREF 

r

VI ( r ) ≡ VREF

 r3  − CI   ← VREF ≡ ?  3  rREF

Argumentación:

à Continuidad del V: VI ( R ) ≡ VII ( R) à

VI ( r ) ≡

ρ0 R 2 ρ  r 3 R3  − 0  −  4ε 0 4Rε 0  3 3 

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54

Cuaderno de Actividades: Física II

4.5) Energía potencial electrostática,

Q 0

q r →∞ W FEXT ≡ −W − FE ≡ q∆V ≡

EPe = U

Inicio

kqQ R

Q 0

q r

fin

La Epe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luego de constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar el sistema de cargas.  Para un sistema q1,q2,r:

E pe ≡

kq1q2 r

 En general,

E pe ≡

Kq1q2 Kq1q2 ≡   d r2 − r1

q1

d

r r1

q2

r r2 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

55

Cuaderno de Actividades: Física II

Epe para ciertas distribuciones de carga i) Distribuciones Discretas

qi

Caso n=4 q2

E1 q1

q3 q 2

q2

E2 q1 q2

E3 q1

q3

E4 q1

q4

n=4

q3

EPe ≡ ∑ Ei i

q1

q4

E1 = 0 Kq1q2 l Kq q Kq q E3 = 3 2 + 3 1 l l 2 Kq4 q3 Kq4 q2 Kq4 q1 E4 = + + l l l 2 E2 =

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56

Cuaderno de Actividades: Física II j ≡n kq 1 E pe ≡ ∑ qiV j , V j ≡ ∑ r jr i ≡1 2 j ≡1 ri − rj i ≡n

j ≠i

ii) Distribuciones Continuas  Para el volumen:

Ep =

1 ρdvV 2 ∫ρ

 Para el área:

Ep =

1 ρdaV 2 σ∫

Ep =

 Para la longitud:

1 ρdlV 2 ∫λ

4.6) Dipolo eléctrico, AISLANTE

≡

+

+

+

- - --

+ + - - --

--

+

+ -

--

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≡

+ -

r r P, p

57

Cuaderno de Actividades: Física II

Definición de dipolo eléctrico r Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolar, dipolar, p , de un sistema de cargas.

Para el caso de Distribuciones Discretas:

r i =n r p = ∑ qiri i =1

Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:

n = 2 : q1 ≡ +q ∧ q2 ≡ −q r r r r r → p ≡ r1 ( + q ) + r2 ( −q ) ≡ q ( r1 − r2 ) r r r r r pero r1 − r2 <<< r , si ( r1 − r2 ) = d r r1

+q

r r2

−q

r r p = qd Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

58

Cuaderno de Actividades: Física II

i) Potencial del Dipolo à “P muy lejos a

”

d −q

r r−

+q

r r′

P

r r+

r r

 % d   % d   ≡ r + r  2  2  

d *r − r− ≡%r + 2   % ≡ r1 

2

r%. d d +2 + 2 r% 4 r%

*Considerando a

12

 + 

 d %.r ≡ %r d +  4 

+

   

d << 1 pequeño : r% 12

 %   r .d  r − r ′ ≡ r%1 + 2  r%  

1 1  r% .d  → ≡ 1 + 2  r − r ′ r% r%  

12

2

−1 2

r% .d d cos θ ≡ , θ = θ ( r% ,d ) 2 % % r r

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BINOMIO

x: (1 +n ≈ x)1 + x < < , n

1

  1 1  1 r% .d  ≡ 1 − 2  r − r− r% 2 r%      − Kq  1 r% .d  → V− q ( r ) ≡ 1− 2  r%  2 r%      Kq  1 r% .d  → V+ q ( r ) ≡ 1 +  2  r%  2 r%   

59

Cuaderno de Actividades: Física II

⇒ Vp ( r ) p = qd ⇒ V p ( r ) ≡ K

r% .d ) ( ≡ Kq 3 r%

( r%. p ) 3 r%

→ Vp ( r )

( r − r′ ) . p} { ≡k r − r′

3

r ′ : localiza el p r : localiza el P(punto de calculo)

V p ( r ) en mejores coordenadas De la ecuación anterior :

Z

P

Vp ( r ) ≡ k

p

θ

{ ( r ) . p} r

3

r θ k p cos θ Y V p ( r ) ≡ k rp cos ≡ 3 2

0

r

X

r

ii ) EP ( r ) " Campo del Dipolo" p

r r′

E

r r

 3 ( r% r . p ) r% p   EP ( r ) ≡ k  . 3 5 % r%   r EP ( r ) = E− q ( r ) + E+q ( r ) ← DD

iii) Energía de Interacción Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

60

Cuaderno de Actividades: Física II

p − E ≡ E pe para formar p

p

à Energía para formar el dipolo en ese campo y posición.

E

E pe ≡ W ≡ − p .E

iv) Fuerza sobre un p en una región de E

Fp

r Fp ≡ −∇ W

E

Fp ≡ −∇ E pe

p

E

r′

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v) Torque sobre un p en una región de E

61

Cuaderno de Actividades: Física II

r τ p ≡ r ′ × p. ( ∇E ) + p × E

{

}

Si r ′ es cero o si E es uniforme :

τp = p×E

Aplicaciones:

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62

Cuaderno de Actividades: Física II S2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad uniforme ρ . Supongamos que dicha esfera se construye, capa por capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dw efectuado en trasladar la carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en función de la carga total Q y del radio de la esfera R0. Solución: A) Por superposición de capas: forma distinguible.

ρ

Q q

q +dq dr r

r R0

 4  k ρ (4π r 2 dr )  ρ ( π r 3 )  2 kdq { q} 4π ) 2 4 ( 3   dW ≡ ≡ ≡k ρ r dr r r 3

{

R0

R0

0

0

W ≡ E ≡ ∫ dw ≡ ∫

≡

k ( 4π ) 5 15

}

2

×

k ( 4π ) ρ 2 2

3

Q2 2

4 3  π R  0  R0 3  

k ( 4π ) ρ 2 2

r 4 dr ≡

15

R05

× R05 × 9 3

3kQ 2 W ≡E≡ 5 R0

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63

Cuaderno de Actividades: Física II B) Usando la Ec general: forma indistinguible

E pel =

1 dvV ρ 2∫ ρ

V = Vp≡V r ( ) r r V (r ) V = − Edr . ; r = , ref ∫ refR=V r

ref

0

ref

kQ V (r ) = − { R0 kQ V( r) = −k R0

r

∫

R0

kQ R0

4 k[ ρ ( πr )] 3 3dr } }{ 2 r

4 1 ×ρπ −r R0{ 3 2

2

2 }

R

0  Q r2  1 1 14 1 1 2 2 2 E pel = ( ρ 4 π ) ∫{k  − r× 0 + R ×r dr} 2 ρ πR 40 3 2 3 2  0  Q R03 1 1 1R05 1 1R05 2 = (ρ 4 π )k { − × + }× 2 ρ π4R0 3 3 2 5 3 2 3

1 2 2 5 = ρ (4 π) kR 0  2 

1 9

1 1  − + 30 18 

3kQ2 W≡ E ≡ 5R0

S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad λ

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64

Z Cuaderno de Actividades: Física II P z≡ d λ 0

y φ

R

x

k λ dl V ( z) ≡ ∫ r r r −r' λ r r r ≡ zkˆ, r ' ≡ R cosθ iˆ + Rsenθ ˆj

dq

r r → ( r − r ' ) ≡ − R cosθ iˆ − Rsenθ ˆj + zkˆ r r r − r ' ≡ R2 + z 2

{

}

1 2;

dl ≡ Rdθ V λ ( z) ≡

V λ ( z) ≡

kλ R

{R

2

+z

{ ∫ dθ } 2π

1 2 2

}

0

2π k λ R

{R

2

+z

1 2 2

}

S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X). Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio

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65

Cuaderno de Actividades: Física II a lo largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación. Solución: A)

Usando Epe La Ep para formar el sistema Anillo-carga,

E p ≡ qV λ ( x ) ≡

2π k λ aq

{a

2

+x

1 2 2

}

Aplicando la condición,

x   E p ≡ −qV λ ( x ) ≡ −2π k λ q 1 + ( ) 2  a  

−

1 2

 1 x  E p ≡ −2π k λ q 1 − ( ) 2   2 a  π k λ q 2 1 %2 % Ep ≡ x ≡ kx ; k : cteelastica a2 2 1 % π kλq %≡ (2π aλ )kq ≡ Qkq ≡ ω 2 m k≡ → k 2 a2 a3 a3

ω 2m ≡

Qkq ω 1 → ω ≡ ← ν ≡ → ν ≡ a3 2π 2π Z

B) Usando fuerza eléctrica

Y dq

r r

 kQq   3  ma 

1 2

r dF

dθ x -q Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

X

66

Cuaderno de Actividades: Física II

dq ≡ λ ds

λ=

Q 2π a

dFx ≡ dF cosφ (solo interesa fuerza hacia la izquierda) Distribución contínua de carga

∑→∫ F = ∫ dF cos φ = ∫ ≡∫

kdqq cos φ r2

k λ ( adθ ) ( q ) cos φ r2

k λ aq cos φ 2π ∫0 dθ r2 x F ≡ kQq 3 r

≡

≡ kQq

x

(x

2

+ a2

r Fe = − kQq

)

3/ 2

x

(x

2

+a

2

)

3/ 2

iˆ

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

67

Cuaderno de Actividades: Física II

x << 1 a

x << a

r Fe = −kQq

x

2   3  x a    + 1  a     r kQq Fe = − 3 xiˆ ≡ −cxiˆ a r r & &ˆ Fe ≡ Fe ≡ −cxiˆ ≡ mxi

3/ 2

c x≡0 m →& x&→ w2 x ≡ 0 & x&+

w=

c m

→ν ≡

w 1 ≡ 2π 2π

kQq ma 3

+

S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el arreglo de cargas que se observa en la figura, donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6µ C.

q

-2q

68

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo +2q

b

a +3q

Cuaderno de Actividades: Física II Deducir las expresiones que usará.

SOLUCION:

q1

q2

Ep,el =?

a q4

b

q3

a) q1 a

* w1 = 0

b

q1

q2 a

* w2 =

k .q1.q2 b

b

q1

q2 a

w3 =

(a

k .q1.q3 2

+b

)

2 1/ 2

+

k .q1 .q3 a

b q3

q1

q2 a

w3 =

k .q .q k .q1.q4 k .q2 .q4 + + 3 4 1/ 2 a b ( a 2 + b2 )

q4 b q3 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

69

Cuaderno de Actividades: Física II

→ E p ,el = wT = w1 + w2 + w3 + w4   kq3 kq2 kq4   + + = w1 b) * q1 : q1  b ( a 2 + b2 ) 1/ 2 a      kq1 kq3 kq4  =w q : q + + * 2 2 2  b a ( a 2 + b2 ) 1/ 2      kq1 kq2 kq4   q : q + + = w3 * 3 3  ( a 2 + b2 ) 1/ 2 a b      kq3  kq1 kq2  q : q + + = w4 * 4 4  a ( a 2 + b2 ) 1/ 2 b   

1 ( w '1 + w '2 + w '3 + w '4 ) 2 = ( w1 + w2 + w3 + w4 )

→ E p ,el =

S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de cargas con densidad volumétrica ρ = ρ 0 r. Se encuentra rodeada concéntricamente por un cascaron metálico de radio interno “b”. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

a

S b

70

Cuaderno de Actividades: Física II a) b)

Calcule el potencial eléctrico en r = a/2. Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el nuevo potencial en r = a/2?

SOLUCION:

ρ ( r ) = ρ0 .r

E3 =0 s q (r)

ˆ er E1

0

+Q

-Q

+Q

E2 a

(1)

E4 b

(2)

c (3)

r (4)

a) s↑ V( r = a/2) = ? r

q ( r ) = ∫ ( ρ0r ) ( 4π r 2dr ) = πρ0r 4 → q ( a ) = Q = πρ0 a 4 0

→ V ( r ) = VREF −

r

∫

r r E.dr

rREF

(4): E4 =?

← LG → E4 =

kQ kq → V4 ( r ) = 2 r r

(3): E3 =0 → V3 (r) = cte ← LG

Debido a la continuidad del V, r = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) =

kQ c

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71

Cuaderno de Actividades: Física II (2): E2 ( r ) =

kQ ← LG r2 r

 kQ  V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 eˆr . ( dreˆr ) r  b

→ V2 ( r ) =

kQ  kQ kQ  + −  c  r b 

r r qNE (1): E1 (r) =? ← LG→∴ Ñ ∫SG E.ds = ε 0

ρ .r πρ 0 .r 4 → E1.{ 4π r } = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2 ε0 4ε 0 2

2

r r kπρ V r = V r = a − E ( ) ( ) V1 (r) =? → 1 ∫a 1 .dr →V1 ( r ) = V ( a ) − 3 0 ( r3 − a3 ) r

Por continuidad del V, r = a : V1 ( a ) = V2 ( a )

1 1 1 → V2 ( a ) = kQ  + −  = V1 ( a ) = V ( a ) c a b

 1 1 1  kπρ 0 3 3 → V1 ( r ) = kQ  + −  − r −a ) ( c a b 3   3  1 1 1  7kπρ0 a → V1 ( a / 2 ) = kQ  + −  + 24 c a b

b) s↓ V( r = a/2) = ? En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”, alcanzando el cascaron potencial cero.

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72

Cuaderno de Actividades: Física II (4): E4 =0

← LG → E4 = 0 → V4 ( r ) = 0 , debido a la continuidad del V,

(3): E3 =0 → V3 (r) = 0

(2): E2 ( r ) =

kQ ← LG r2 r

 kQ  V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 eˆr . ( dreˆr ) r  b  kQ kQ  → V2 ( r ) =  −  b   r

r r qNE ∴ E (1): E1 (r) =? ← LG→ Ñ ∫SG .ds = ε 0

ρ .r πρ 0 .r 4 → E1.{ 4π r } = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2 ε0 4ε 0 2

2

r

V1 (r) =? →V1

r

( r ) = V ( r = a ) − ∫ E1 .dr →V1 ( r ) = V ( a ) − kπρ0 ( r 3 − a3 ) r

a

3

Por continuidad del V en r = a : V1 ( a ) = V2 ( a )

1 1 → V2 ( a ) = kQ  −  = V1 ( a ) = V ( a ) a b

 1 1  kπρ 0 3 3 → V1 ( r ) = kQ  −  − (r −a ) 3 a b 3  1 1  7kπρ 0 a → V1 ( a / 2 ) = kQ  −  + 24 a b

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73

Cuaderno de Actividades: Física II

2aq cos θ , r >> a, demuestre que las 4πε 0 r 2 superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la ecuación r2 = b cosθ donde b es una constante.

S2P35) Usando la ecuación: V ( r , θ ) =

SOLUCION:

V ( r,θ ) =

2a.q.cosθ 4πε 0 r 2

; r >> a

SE , V pr : r 2 = b cos θ ; b : cte...? V ( r,θ ) =

kp cos θ r2

S E: V = cte

→ r2 =

kp kp cos θ → = b ( b : cte) → r 2 = b cos θ V V



Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

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