Cap 1 Optica Geometric A

COMPORTAMIENTO DE LA LUZ 1.- INTRODUCCION Cualquier persona para poder leer usa la luz, es decir, de ella obtiene informaci6n visual del medio que nos rodea. Además la luz es una componente esencial en la síntesis de varios compuestos biológicos (por ejemplo, vitamina D en la piel ) y es la fuente primaria de energía para toda clase de vida. De este modo, se puede decir que la luz se usa para describir la energía radiante que es capaz de afectar nuestro sentido de visi6n. En forma más subjetiva podemos entender que la luz es la sensaci6n producida por alguna forma de energía (radiante) en el cerebro de un observador humano. 2.MECANISMO DE OBSERVACIÓN La formaci6n de imagen es s6lo una pequeña parte del fenómeno de visi6n, y una imagen en la retina no es de mucha utilidad hasta que no ha sido interpretada por el cerebro. Así, un estudio del ojo involucra fisiología, sicología y física. Pero sucintamente puede decirse que, un objeto ante el ojo, es "enfocado" por el cristalino. El cristalino es una lente que produce una imagen sobre la retina, la cual actúa como un "transductor"(conversor) lumínico-eléctrico, de tal modo que la informaci6n es conducida al cerebro por el nervio 6ptico en forma de señales eléctricas. El cerebro interpreta señales eléctricas y es lo que finalmente el individuo "observa". 3.- LA NATURALEZA DE LA LUZ La naturaleza de la luz es un puzzle que ha absorbido la atenci6n de fil6sofos y científicos desde tiempos remotos. Los antiguos griegos imaginaban que la luz consistía de un flujo de corpúsculos y el tema de debate era que si este flujo era emanado por una fuente luminosa o de los ojos. Pero el torbellino de logros vendría en el siglo diecisiete, con Isaac Newton (1642 - 1727), Christiaan Huygens (1629 -1695) y otros. Newton, en vista del éxito alcanzado por la mecánica de partículas, se inclinó por el modelo corpuscular de la luz, suponiendo que una corriente de corpúsculos era emitida por focos luminosos tales como el Sol o una llama, y se alejaban de la fuente en línea recta. Además, podía penetrar sustancias transparentes y se reflejaban en las superficies de los cuerpos opacos. Cuando los corpúsculos penetraban en el ojo, excitaban el sentido de la vista. De este modo el modelo corpuscular fue utilizado para explicar la propagación rectilínea de la luz, su reflexi6n en una superficie lisa, (por ejemplo un espejo) y la refracci6n en una superficie que separa dos medios tales como aire - agua. Huygens demostró en 1670, que las leyes de la reflexi6n y refracción podían explicarse basándose en la teoría ondulatoria y daba cuenta además del fenómeno de doble refracci6n descubierto recientemente. El modelo ondulatorio no se aceptó en el momento, pues se objetaba que la luz no podía "doblar las esquinas”. Posteriormente se demostró que este fen6meno ocurre, pero es tan leve que ordinariamente no se observa. Esto se denomina difracci6n y fue observado por Grimaldi en 1665. Sin embargo el descubrimiento de la interferencia por Young fue la base experimental de la teoría ondulatoria. La naturaleza exacta de las ondas luminosas y del medio en el cual se transmitían continuaba sin ser resueltos. El éter, inventado por Huygens como medio de propagación y que suponía llenaba el espacio y penetraba los cuerpos transparentes, mostr6 propiedades contradictorias. Pues si las ondas luminosas fuesen similares a las ondas sonoras, el éter debería ser extremadamente rígido para explicar la gran velocidad de propagación de la luz. Pero el éter no ofrece resistencia al movimiento de los cuerpos celestes. El gran avance siguiente en la teoría de la luz fue el trabajo del físico James Clerk Maxwell (1831 1879). En 1873 Maxwell demostr6 que un circuito eléctrico oscilante debía emitir ondas electromagnéticas . La velocidad de propagación de estas ondas podía calcularse por medidas eléctricas m y magnéticas, y resultó ser aproximada al valor 3*108 , muy similar a la velocidad de la luz. s 1

Parecía evidente que la luz consistía en ondas electromagnéticas de longitud de onda muy corta. Años mas tarde, Heinrich Hertz produjo ondas de longitud de onda corta con un circuito oscilante, que eran de origen electromagnético y demostr6 que poseían todas las propiedades de las ondas luminosas. Podían ser reflejadas, refractadas, concentradas por una lente, polarizadas etc., lo mismo que las ondas luminosas. Por otra parte la teoría electromagnética clásica no podía explicar el fen6meno de la emisión fotoeléctrica, esto es la expulsi6n de electrones de un metal por la luz que incide sobre su superficie. En 1905 Einstein ampli6 una idea propuesta años antes por Planck y postul6 que la energía de un haz luminoso, en lugar de estar distribuida en todo el espacio, estaba concentrada en pequeños paquetes de energía o fotones. En otro rango de longitudes de ondas1 tales como rayos X, confirmaban en forma sorprendente que esta radiación estaba formada por fotones. Este es el efecto que H. Compton, en1921, determinó el movimiento de un foton y un electrón, antes y después que chocaran entre ellos, y encontró que se comportaban como cuerpos materiales en que se produce conservaci6n de energía y momentum , antes y después del choque. Pero el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton parecen, pues, exigir una vuelta a la teoría corpuscular de la luz. El punto de vista actual de los físicos, frente a experimentos aparentemente contradictorios, es aceptar el hecho de que la luz parece tener una doble naturaleza. Los fen6menos de propagaci6n de la luz encuentran su mayor explicaci6n dentro de la teoría ondulatoria electromagnética, mientras que la acci6n mutua entre la luz y la materia, en los procesos de absorci6n y emisi6n, es un fen6meno "corpuscular" que dio origen a la Mecánica Quántica. Debe notarse claramente que en la teoría corpuscular antigua las partículas podían considerarse en reposo, pero en esta doble concepci6n onda - corpúsculo el fot6n no puede estar en reposo. Desde la antigüedad se conocía la propiedad de la luz de propagarse en 'línea recta", y donde la formaci6n de sombras es un fen6meno que muestra claramente esta propiedad de la luz. Por esa razón se inventó el concepto de rayo luminoso, el cual es una idealización muy útil en el análisis de la óptica "Un rayo es una línea en el espacio que corresponde a la dirección del flujo de la energía radiante". De este modo es un instrumento matemático mas que una entidad física. En la practica se pueden producir finos haces de luz por medio de un láser. En el estudio de la luz se pueden ver dos fenómenos que nos son familiares: REFLEXION Es el fenómeno mediante el cual la luz, que se propaga en un medio choca con una superficie de un cuerpo que la hace volver al mismo medio. REFRACCION Por todos es conocido el hecho que al introducir una barra recta en el agua esta se ve como si se hubiese quebrado. Esto es debido a que la luz cambia su dirección de propagación al cambiar el medio. El fenómeno de cambio de medio de propagación se denomina refracción.

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LEYES DE LA OPTICA GEOMETRICA REFLEXIÓN

Sea TV una superficie reflectora y sobre la cual incide un rayo RI en el punto O. Sea ON una recta perpendicular a la superficie TV. Esta recta se llama normal y junto al rayo RI forma el plano de incidencia. Experimentalmente se determina que existe un rayo reflejado RR’ que se encuentra en el plano de incidencia. Sea i el ángulo que forma el rayo incidente con la normal y r’ el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal. La ley de reflexión establece:

i = r’ REFRACCIÓN

Sea TV una superficie que separa dos medios transparentes de índices de refracción n1 y n2 respectivamente y sobre la cual incide un rayo RI en el punto O. Sea ON una recta perpendicular a la superficie TV. Esta recta se llama normal y junto al rayo RI forma el plano de incidencia. Experimentalmente se determina que existe un rayo refractado RR que se encuentra en el plano de incidencia. Sea i el ángulo que forma el rayo incidente con la normal y r el ángulo que forma el rayo refractado con la normal. La ley de refracción ( Ley de Snell- Descartes) establece:

n1 sin i = n2 sin r Nota: Ambas leyes pueden deducirse partir del Principio de Fermat o de las condiciones de borde para ondas electromagnéticas

En refracción se distinguen dos casos: a..- Incidencia de un medio menos denso sobre un medio más denso, es decir, n1 n2 . En este caso el ángulo de incidencia se calcula por la ley de Snell:

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sin ϑ r = Lo que implica que

n1 sin ϑi n2

sin ϑ r sin ϑi

ϑ r ϑi Por lo tanto para cualquier ángulo de incidencia existe un ángulo de refracción. La figura adjunta muestra cuando un haz de luz incide desde un medio menos denso (aire con n1 = 1.0 ) sobre un semicilindro ( vidrio con n2 = 1.5 ) en su parte central. b..- Incidencia de un más denso sobre un medio menos denso, es decir, n1 n2 . En este caso el ángulo de incidencia se calcula por la ley de Snell: n sin ϑ r = 1 sin ϑi n2 Lo que implica que sin ϑ r sin ϑi

ϑ r ϑi La figura adjunta muestra cuando un haz de luz incide desde un medio más denso ( semicilindro de vidrio con n2 = 1.5 ) sobre el aire (aire con n1 = 1.0 ) . Por lo tanto el ángulo de incidencia no puede tomar cualquier valor si se desea que exista refracción. El máximo ángulo de incidencia para en cual aún existe refracción se denomina ángulo crítico y se designa por el símbolo ϑc y su valor cumple la siguiente relación: n1 sin ϑ c = n 2 sin 90 0

n2 n1 En esta situación el haz incidente se refleja totalmente. Por esta razón el fenómeno se conoce como el Fenómeno de Reflexión Total. En la siguiente figura la trayectoria indicada por el haz azul indica el comienzo de reflexión total. Todo ángulo de incidencia mayor que ϑc da origen a reflexión total. Por este motivo se puede establecer que el ángulo crítico ϑc es el menor ángulo de incidencia para el cual existe el Fenómeno de Reflexión Total. El fenómeno de reflexión total se utiliza para reflejar rayos luminosos sin utilizar espejos. La figura muestra un prisma isósceles rectangular de vidrio ( n =1.50) que se encuentra rodeado de aire ( n = 1.00). Por lo tanto el ángulo crítico es de 41.8° , y dado que el ángulo de incidencia en la hipotenusa del prisma es de 45°, los rayos se reflejan totalmente. Nótese la inversión izquierda-derecha que produce este arreglo.

ϑc = sin −1

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Otra aplicación de este fenómeno se encuentra en el periscopio, el cual consiste en dos prismas de la misma geometría que el caso anterior. Nótese que en este caso se mantiene la posición derecha-izquierda de los rayos

Índice de refracción: Sea v la rapidez de la luz en un medio y c la rapidez de la luz en el vacío. Entonces el índice de refracción del medio, denotado por n , es: n=

c v

Camino óptico: El camino óptico, [l ] , es la distancia que recorrería la luz en el vacío en igual tiempo que el empleado para recorrer una distancia l en el medio considerado. Sea t el tiempo que se demora la luz en recorrer la distancia l en el medio de índice de refracción n: l t= c n

En este mismo tiempo la luz recorre en el vacío una distancia [l ] dada por: [l ] = c l n c [l ] = l n

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Imagen Real: Si los rayos que emanan de un objeto se hacen converger por un sistema óptico, entonces el sistema produce una imagen real, la cual se encuentra en la intersección de los rayos convergentes. Imagen virtual: Si los rayos que emanan de un objeto se hacen divergir por un sistema óptico, entonces el sistema produce una imagen virtual, la cual se encuentra en la intersección de las prolongaciones de los rayos divergentes Principio de Fermat: La trayectoria seguida por un rayo luminoso para ir de un punto A a un punto B a través de un conjunto de medios es la que hace su camino óptico igual, en primera aproximación, a otros caminos muy próximos al real

REFLEXIÓN Un rayo luminoso sale del punto A , choca en el punto X ( punto variable), y se refleja según la recta XB. Por lo tanto el camino óptico [ AXB ] es:

[AXB] = n *

2 AA′ 2 + x 2 + n BB ′ 2 + (d − x ) Por lo tanto el camino óptico es función de la variable x. Por lo tanto la derivada de [ AXB ] con respecto a x e igualada a cero nos da: x d−x = 2 2 2 2 AA′ + x BB ′ + (d − x ) lo que implica que: sin i = sin r ′ Dado que i y r’ son ángulos menores que 90° se obtiene:

i = r’

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REFRACCIÓN Un rayo luminoso sale del punto A , choca en el punto X ( punto variable), y se refracta según la recta XB. Por lo tanto el camino óptico [ AXB ] es:

[AXB] = n1 *

2 AA′ 2 + (d − x ) + n 2 BB ′ 2 + x 2 Por lo tanto el camino óptico es función de la variable x. Por lo tanto la derivada de [ AXB ] con respecto a x e igualada a cero nos da: d−x x n1 = n2 2 BB ′ 2 + x 2 AA′ 2 + (d − x ) lo que implica que: n1 sin i = n2 sin r

Condiciones de contorno para los campos eléctricos y magnéticos en una interfase donde no existe carga libre ( σ = 0 ) ni corriente libre ( j = 0 ). Sea y = 0 la superficie de separación de dos medios de índices de refracción n1 y n2 respectivamente. Sobre esta superficie incide, en el plano xy, una onda electromagnética de campo eléctrico dado por:

Ei = Eoi ei (ki

r −ωi t

)

. Esta onda da origen a una onda reflejada y una onda refractada dadas por las siguientes expresiones:

Er′ = Eor′ei (kr′ r −ωr′ t ) E = E ei (kr r −ωr t ) r

or

donde los k ' s son los respectivos vectores de onda. Análogamente los ω ' s son las respectivas frecuencias angulares. El versor nˆ ( versor normal) es un versor perpendicular a la interfase. De cualquiera de las condiciones de contorno D1n = D2 n B1n = B2 n E1t = E 2t H 1t = H 2t se tiene, en este caso utilizando E1t = E 2t : 7

[E

i (k i e 0 it

r −ω i t

) + E e i (k r ′ 0 r ′t

r −ω r′ t

) = E e i (k r 0 rt

r −ω r t

)

]

y = 0 Esta

relación se debe cumplir para cualquier tiempo y para cualquier punto de la interfase (y = 0). Por lo tanto se obtiene: ω i = ω r′ = ω r Ec.01

k i r = k r′ r

Ec.02

ki r = kr r La Ec.01 indica que existe una sola frecuencia angular La ecuación Ec.02 se puede escribir como: k i − k r′ r = 0

(

Ec.03

)

Esto implica que :

k i − k r ′ = α nˆ k i = k r ′ + α nˆ

Ec.04 .

De manera análoga se obtiene de la Ec.03

k i − k r = β nˆ

Ec.05

Por lo tanto se tiene de la Ec.04

k r ′ = k i − α nˆ De la Ec.05 se tiene

k r = k i − β nˆ Multiplicando, vectorialmente, miembro a miembro las ecuaciones anteriores se tiene: k r × k r ′ = −(α + β )nˆ × k i Multiplicando, escalarmente, miembro a miembro por k i se obtiene:

k r × k r′ k i = 0 lo que implica que los tres vectores son coplanares De la figura se tiene:

k i = (k i sin ϑi , k i cos ϑi ,0)

(

k r ′ = k r ′ sin ϑ r ′ ,− k r ′ cos ϑ r ′′ ,0

)

k r = (k r sin ϑ r , k r cos ϑ r ,0 ) r = ( x,0, z ) La Ec.02 implica:

k i sin ϑi = k r ′ sin ϑ r ′

ωi c n1

sin ϑi =

ω r′ c n1

sin ϑ r ′ 8

Por lo tanto ϑi = ϑ r ′ dado que los ángulos son agudos. De manera similar se obtiene: k i sin ϑi = k r sin ϑ r lo que implica n1 sin ϑi = n2 sin ϑ r

IMAGEN FORMADA POR UN ESPEJO PLANO Un punto luminoso se encuentra frente a un espejo plano a una distancia s. Los rayos que salen del objeto y que se reflejan en el espejo divergen entre ellos. Por lo tanto no es posible tener imagen real. Sin embargo las prolongaciones de los rayos reflejados se cortan en el punto P’ dando origen así a una imagen virtual P’ tal como se indica en la figura adjunta. De todos los rayos que emanan del punto P consideremos los siguientes rayos: - El primer rayo ( rayo PM) incide en forma normal al espejo de derecha a izquierda . Por lo tanto el ángulo de incidencia es 0° lo que implica por la ley de la reflexión que el ángulo de reflexión es 0°, dando así origen al rayo MP. - El segundo rayo (rayo PN) incide bajo un ángulo i. Por lo tanto se refleja en el sentido NQ formando un ángulo i con la normal en el punto N. - El triángulo PMN es congruente con el triángulo P’MN . Por lo tanto se tiene que , en módulo, MP es igual a MP’. - Las distancias que se midan en el sentido MP serán positivas. Por lo tanto se tiene: s′ = −s

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IMAGEN FORMADA POR REFRACCIÓN EN UNA SUPERFICIE PLANA Un punto luminoso P se encuentra en un medio transparente de índice de refracción n1 y a una distancia s de una superficie plana que separa el primer medio de otro medio de índice de refracción n2. Los rayos que salen del objeto y que se refractan en la superficie de separación divergen entre ellos. Por lo tanto no es posible tener imagen real. Sin embargo las prolongaciones de los rayos reflejados se cortan en el punto P’ dando origen así a una imagen virtual P’ tal como se indica en la figura adjunto. De todos los rayos que emanan del punto P consideremos los siguientes rayos: El primer rayo ( rayo PA) incide en forma normal a la superficie de separación. Por lo tanto el ángulo de incidencia es 0° lo que implica, por la ley de Snell, que el ángulo de refracción es 0°, dando así origen al rayo AB. El segundo rayo (rayo PX) incide bajo un ángulo i. Por lo tanto se refracta en el sentido XQ formando un ángulo r con la normal en el punto X. Los dos rayos divergen. Por lo tanto no formarán una imagen real. Sin embargo sus prolongaciones se cortan en el punto P’, el cual se encuentra a una distancia, en módulo, s’ dando origen de esta manera a una imagen virtual . En el triángulo P’AX se tiene: tg r = En el triángulo PAX se tiene:

AX s′

AX s Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores se obtiene: s ′ tg i = s tg r sin i cos r s′ = s cos i sin r De la ley de Snell ( n1 sin i = n 2 sin r ) se obtiene: tg i =

n 2 cos r n1 cos i En la aproximación paraxial ( ángulos menores que 5°) la cos r razón es 1. Por lo tanto se tiene: cos i n s′ = −s 2 n1 s′ = s

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Un prisma de ángulo de cúspide A e índice de refracción n2 se encuentra sumergido en un medio de refracción n1. Sobre él incide un rayo monocromático de longitud de onda λ con un ángulo de incidencia α. A partir de la información dada demuestre que el ángulo de desviación δ tiene un valor mínimo, δmin ,que cumple la siguiente relación:, A + δ min sin n2 2 = A n1 sin 2 En el triángulo X1 X2 D ,la suma de dos ángulos internos de un triángulo es igual al ángulo externo al tercer ángulo interno (Vértice D):

δ = (α − β1 ) + (γ − β 2 )

Por el teorema anterior se tiene, en el vértice C:

β1 + β 2 = A

Por lo tanto

dβ1 dβ 2 + = 0 lo que implica que: dα dα dβ 1 dβ =− 2 dα dα

Ec 1

δ =α +γ − A α +γ =δ + A dδ dγ = 1+ dα dα

Para encontrar el mínimo de δ con respecto al ángulo de incidencia se debe hacer nula su primera derivada. Entonces se obtiene: dγ = −1 Ec 2 dα La ley de Snell aplicada en los puntos X1 y X2 dan origen a las siguientes relaciones:

n1 sinα = n2 sinβ1 y n2 sinβ 2 = n1 sinγ De la relación n1 sinα = n 2 sinβ1 se obtiene: dβ n1 cos α = n 2 cos β1 1 Ec 3 dα De la relación n 2 sinβ 2 = n1 sinγ se obtiene: dβ dγ Ec 4 n 2 cos β 2 2 = n1 cos γ dβ dα Multiplicando miembro a miembro las ecuaciones ec 3 y ec 4 y utilizando la Ec 1 se obtiene:

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cos α cos β 2 dγ =− dα cos γ cos β1 Utilizando la ecuación Ec 2 se obtiene:

cos α cos β 2 =1 cos γ cos β1 La relación anterior implica que: cos 2 α cos 2 γ = cos 2 β1 cos 2 β 2 1 − sin 2 α 1 − sin 2 γ = n 22 − n12 sin 2 α n 22 − n12 sin 2 γ Esto implica que:

α =γ β1 = β 2

Por lo tanto

δ min = 2α − A De β1 + β 2 = A

β1 =

A 2

α=

A + δ min 2

Reemplazando en n1 sinα = n2 sinβ1 se obtiene: A + δ min 2 n 21 = A sin 2 donde n21 es el índice de refracción relativo del segundo medio con respecto al primer medio. Si el primer medio es el vacío (aire) entonces se tiene : A + δ min sin 2 n = A sin 2 siendo n el índice de refracción del segundo medio. d 2δ dδ Nota: Evalúe para los valores obtenidos en = 0 y demuestre que el valor obtenido del ángulo 2 dα dα de desviación corresponde a una desviación mínima d 2δ d 2 γ d 2γ dγ d dγ Indicación: = y = log − 2 2 2 dα dα dα dα dα dα sin

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Si el haz incidente es policromático e incide desde el vacío ( o aire), con un ángulo α , sobre un prisma de índice de refracción n, éste separará las diferentes longitudes de onda debido al hecho que le índice de refracción es función de la longitud de onda: n = n(λ ) Por lo tanto el ángulo de desviación δ será función de la longitud de onda: δ = δ (λ ) La cantidad

dδ dδ dn = , para un ángulo constante de incidencia α , se denomina dispersión angular dλ dn dλ

del prisma. Dado que α es constante se tiene que: d δ dγ = dn dn

y

dβ 1 dβ =− 2 dn dn

Utilizando la ley de Snell aplicada en X1 , sinα = n sinβ1 , se obtiene: dβ1 = 0 Ec 5 dn Utilizando la ley de Snell aplicada en X2, nsinβ 2 = sinγ , se obtiene: dβ dγ Ec 6 sinβ 2 + n cos β 2 2 = cos γ dn dn Combinando las ecuaciones Ec 5 y ec 6 se obtiene: dδ sin(β1 + β 2 ) = dn cos β1 cos γ sinβ1 + n cos β1

dδ sin( A) = dn cos β1 cos γ

Por lo tanto la dispersión angular del prisma es: dδ sin( A) dn = dλ cos β1 cos γ dλ

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donde el primer factor es un factor geométrico y el segundo factor caracteriza el poder de dispersión del material. dn Una relación simple que permite obtener se debe a L. Cauchy que , en 1830, estableció la dλ siguiente relación: n(λ ) = 1 + A1 1 +

B1

λ2

Los valores A1 y B1 se encuentran tabulados tal como en Principles of Optics, Born & Wolf, Pergamon Press, 1983, p95

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FORMACIÓN DE IMAGEN POR UN ESPEJO CÓNCAVO Un punto luminoso P se encuentra en el eje del espejo cóncavo. De todos los rayos que emanan de él consideremos dos rayos: - El primer rayo incide en el sentido de izquierda a derecha sobre el eje. Este rayo se refleja en sentido opuesto ya que el ángulo de incidencia es cero. - El segundo rayo es el rayo PX que se refleja en el espejo según la recta XP’ - La intersección de estos dos rayos da origen a la imagen P’ del punto objeto P producida por el espejo cóncavo. En el triángulo POX se cumple que: β =α +i En el triángulo PP’X se cumple que:

γ = α + 2i

Eliminando el ángulo i de las ecuaciones anteriores se obtiene: α + γ = 2β Para rayos paraxiales (ángulos menores que 5°) se cumple que: α rad ≈ sinα ≈ tg α , cos α ≈ 1 y V → V ′ Por lo tanto se obtiene: XV XV XV + =2 s s′ R 1 1 1 + = s s′ f donde : s: distancia objeto s’: distancia imagen f = R/2 es la distancia focal del espejo

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FORMACIÓN DE IMAGEN POR UN ESPEJO CONVEXO Un punto luminoso P se encuentra en el eje del espejo convexo. De todos los rayos que emanan de él consideremos dos rayos: - El primer rayo incide en el sentido de izquierda a derecha sobre el eje. Este rayo se refleja en sentido opuesto ya que el ángulo de incidencia es cero. - El segundo rayo es el rayo PX que se refleja en el espejo según la recta XP’’. La prolongación de esta recta hacia el eje del espejo es la recta XP´. - La intersección de estos dos rayos ( prolongación de PV detrás del espejo y XP´) da origen a la imagen virtual P’ del punto objeto P producida por el espejo convexo. En el triángulo POX se cumple que:

i =α + β

En el triángulo OP’X se cumple que:

i =γ −β Igualando los segundos miembros de las ecuaciones anteriores se obtiene: α − γ = −2 β Para rayos paraxiales (ángulos menores que 5°) se cumple que: α rad ≈ sinα ≈ tg α , cos α ≈ 1 Por lo tanto se obtiene: XV XV XV + =2 s − s′ −R 1 1 1 + = s s ′′ f donde : s: distancia objeto s’’: distancia imagen y que es igual a -s’ f = -R/2 es la distancia focal del espejo convexo

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Convenio de signos en reflexión 1.-Los rayos del objeto P inciden de izquierda a derecha. 2.- La distancia s , considerada positiva, se mide desde el vértice V de la superficie esférica reflectante hasta el objeto P. 3.- Si el centro de curvatura O de la superficie reflectante se encuentra a la izquierda del vértice, entonces el radio de curvatura R es positivo. 4.- La distancia s’, considerada positiva, se mide desde el vértice V hasta la imagen P’. En la figura adjunta todas las magnitudes son positivas.

En la siguiente figura s es positiva, R es negativo y s’ es negativa

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RAYOS PRINCIPALES En un espejo esférico (cóncavo o convexo) se cumple, para rayos paraxiales la siguiente relación: 1 1 1 + = s s′ f donde s es la distancia objeto, s’ es la distancia imagen y f es la distancia focal del espejo (la cual es igual a la mitad del radio de curvatura del espejo). Por lo tanto se tienen las siguiente propiedades: 1.- Si el objeto se encuentra muy lejos del espejo ( s → ∝ ) entonces la imagen se forma en el foco del espejo ( s’ = f ) . 2.- Si el objeto se encuentra en el foco ( s = f ) entonces la imagen se forma muy lejos del espejo ( s’ →∝). 3.- Si el objeto se encuentra en el centro de curvatura ( s = 2f ) entonces la imagen se forma en el centro de curvatura (s’ = 2f ) . Los puntos anteriores dan origen a los llamados rayos principales que cumplen las siguientes propiedades:

I.- Todo rayo incidente paralelo al eje del espejo se refleja y pasa por el foco

II.- Todo rayo que pasa por el foco del espejo se refleja paralelamente al eje del espejo.

III.- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura, se refleja en la misma dirección.

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Posiciones de objeto e imagen

A.- Objeto situado entre el infinito y el centro de curvatura. Imagen real, invertida y más pequeña que el objeto.

B.- Objeto situado entre el centro de curvatura y el foco Imagen real, invertida y más grande que el objeto.

C.- Objeto situado entre el foco y el vértice Imagen virtual, erecta y más grande que el objeto.

D.- Objeto situado en cualquier punto. Imagen virtual, erecta y más pequeña que el objeto.

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IMAGEN FORMADA POR UNA SUPERFICIE CONVEXA Un punto luminoso P se encuentra en el eje de la superficie convexa que divide a los medios de índice de refracción n1 y n2 respectivamente. De todos los rayos que emanan de él consideremos dos rayos: - El primer rayo incide en el sentido de izquierda a derecha sobre el eje. Este rayo se refracta en el mismo sentido que el rayo incidente ya que el ángulo de incidencia es cero. - El segundo rayo es el rayo PX que se refracta en la superficie convexa según la recta XP’ - La intersección de estos dos rayos da origen a la imagen P’ del punto objeto P producida por la superficie convexa. En el triángulo POX se cumple que: En el triángulo P’XO se cumple que: Aplicando la ley de Snell se obtiene:

i =α + β r = β −γ

n1 sin(α + β ) = n2 sin( β − γ )

Para rayos paraxiales (ángulos menores que 5°) se cumple que: α rad ≈ sinα ≈ tg α , cos α ≈ 1 y V → V ′ Por lo tanto se obtiene: n1α + n1 β = n2 β − n2γ n1 n 2 n 2 − n1 + = s s′ R donde : s: distancia objeto s’: distancia imagen R = Radio de curvatura de la superficie convexa

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IMAGEN FORMADA POR UNA SUPERFICIE CÓNCAVA Un punto luminoso P se encuentra en el eje de la superficie cóncava que divide a los medios de índice de refracción n1 y n2 respectivamente. De todos los rayos que emanan de él consideremos dos rayos: - El primer rayo incide en el sentido de izquierda a derecha sobre el eje. Este rayo se refracta en el mismo sentido que el rayo incidente ya que el ángulo de incidencia es cero. - El segundo rayo es el rayo PX que se refracta en la superficie cóncava según la recta XQ. - Los dos rayos divergen. Por lo tanto no formarán una imagen real. Sin embargo sus prolongaciones se cortan en el punto P’ dando origen así a una imagen virtual. En el triángulo POX se cumple que: En el triángulo P’XO se cumple que: Aplicando la ley de Snell se obtiene:

i = β −α r = β −γ

n1 sin( β − α ) = n2 sin( β − γ )

Para rayos paraxiales (ángulos menores que 5°) se cumple que: α rad ≈ sinα ≈ tg α , cos α ≈ 1 y V → V ′ Por lo tanto se obtiene: n1 β − n1α = n2 β − n2γ n1 n 2 n − n1 + = 2 s − s′ −R donde : s: distancia objeto s’: distancia imagen R = Radio de curvatura de la superficie cóncava

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DISTANCIA FOCAL DE UNA LENTE DE CARAS ESFÉRICAS Un punto luminoso P se encuentra en el eje de dos superficies convexas de centros O1 y O2 y radios de curvaturas R1 y R2 respectivamente. Estas dos superficies contienen un medio de índice de refracción n2 y está rodeada de un medio de índice de refracción n1 tal como lo indica la figura adjunta. Aplicando la relación que explica la refracción en una superficie esférica para la primera superficie, de centro O1 y radio R1, se tiene: n1 n 2 n 2 − n1 + = s s ′′ R1 Esta relación nos indica que la imagen del punto P se encuentra en P’’. De manera análoga el punto P’’ se puede considerar como punto objeto para la segunda superficie convexa. Por lo tanto aplicando la relación que explica la refracción en una superficie esférica para la segunda superficie, de centro O2 y radio R2, se tiene: n2 n n − n2 + 1 = 1 − ( s ′′ + l ) s ′ R2 Si l es despreciable con respecto a las otras longitudes se obtiene: n2 n n − n2 + 1 = 1 − s ′′ s ′ R2 Sumando miembro a miembro la primera y tercera ecuación se obtiene: n1 n1 1 1 + = (n 2 − n1 ) − s s′ R1 R2 Esta ecuación se puede escribir como: 1 1 1 + = s s′ f donde n − n1 1 1 1 = 2 − f n1 R1 R2 se denomina la ecuación del fabricante de lente. La potencia de una lente P es: 1 P= f y en el sistema internacional de unidades, S.I., se mide en dioptrías. 22

Dependiendo de las magnitudes relativas de los radios de curvaturas y la posición relativas de los centros de curvaturas se pueden obtener diferentes tipos de lentes. Las figuras siguientes indican estas alternativas.

Lentes Convergentes

Lentes Divergentes

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FORMACION DE IMÁGENES En una lente delgada (convergente o divergente) se cumple, para rayos paraxiales la siguiente relación: 1 1 1 + = s s′ f donde s es la distancia objeto, s’ es la distancia imagen y f es la distancia focal de la lente (la cual depende de los radios de curvaturas y de los índices de refracción del medio del cual esta hecha la lente y el medio en el cual está inmerso la lente). Por lo tanto se tienen las siguiente propiedades: 1.- Si el objeto se encuentra muy lejos del espejo ( s → ∝ ) entonces la imagen se forma en uno de los focos de la lente ( s’ = f ) . 2.- Si el objeto se encuentra en uno de los focos ( s = f ) entonces la imagen se forma muy lejos de la lente ( s’ → ∝ ) . 3.- Todo rayo que pase por el centro de la lente no sufre desviación. Los puntos anteriores dan origen a los llamados rayos principales que cumplen las siguientes propiedades: I.- Todo rayo incidente paralelo al eje de la lente se refracta y “pasa” por el foco

II.- Todo rayo que “pasa” por el foco de la lente se refracta y sale paralelamente al eje de la lente.

III.- Todo rayo que pasa por el centro de curvatura, se refracta sin cambiar de dirección y sentido.

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Distancias focales en superficies esféricas

En un sistema formado por dos medios ópticos de índices de refracción n1 y n2 respectivamente, separados por una superficie de radio R1, se cumple la siguiente relación:

n1 n 2 n 2 − n1 + = s s′ R1 donde s es la distancia objeto y s’ es la distancia imagen. I.- Si la distancia imagen es muy grande, es decir s ′ → ∞ , entonces se tiene que s, que denominaremos distancia focal objeto y la representaremos por f1 , cumple la siguiente relación: n1 f1 = R1 n 2 − n1 Las figuras adjuntas muestran los focos para superficies convexas y cóncavas respectivamente. Nótese que en ambos casos cada imagen se forma en el “infinito”. II.- Si la distancia objeto es muy grande, es decir s → ∞ , entonces se tiene que s’, que denominaremos distancia focal imagen y la representaremos por f2 , cumple la siguiente relación: n2 f2 = R1 n 2 − n1 Las figuras adjuntas muestran los focos para superficies convexas y cóncavas respectivamente. Nótese que en cada caso la imagen se forma en el foco ( Imagen real e imagen virtual respectivamente). Además las distancias focales cumplen la siguiente relación: f 2 n2 = f1 n1

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Posiciones de objeto e imagen

A.- Objeto situado entre el infinito y el foco de la lente. Imagen real, invertida .

B.- Objeto situado entre el foco y el centro de la lente. Imagen virtual, erecta .

C.- Objeto situado en cualquier punto. Imagen virtual, erecta

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ACOPLAMIENTO DE LENTES DELGADAS Sean dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2 respectivamente y separadas por una distancia d. Un objeto OA se coloca a una distancia s de la primera lente. Por lo tanto esta lente formará una imagen PB situada a una distancia s’’ de tal forma que se cumple la siguiente relación: 1 1 1 + = s s ′′ f 1 La imagen PB, situada a una distancia s’’- d es ahora el objeto para la segunda lente, produce la imagen CD situada a la distancia s’ de la segunda lente cumpliendo la siguiente relación: 1 1 1 + = − (s ′′ − d ) s ′ f 2

Nota: El signo - se debe a que el objeto PB es virtual para la segunda lente. Si s ′ → ∞ entonces s se denomina distancia focal objeto del sistema denotada por f o sist . De las ecuaciones anteriores se tiene: 1 1 1 + = f O sist s ′′ f1 1 1 = − (s ′′ − d ) f 2

Eliminando s’’ de las ecuaciones anteriores se obtiene:

f O sist =

f1 ( f 2 − d ) f1 + f 2 − d 27

Si s → ∞ entonces s’ se denomina distancia focal imagen del sistema denotada por f i sist . De las ecuaciones anteriores se tiene: 1 1 = s ′′ f1 1 1 1 + = − (s ′′ − d ) f i sist f2

Eliminando s’’ de las ecuaciones anteriores se obtiene:

f i sist =

f 2 ( f1 − d ) f1 + f 2 − d

Si las lentes están en contacto entonces d = 0. En este caso se tiene que: f O sist = f i sist = f s

Entonces se tiene que la distancia focal del sistema fs es:

fs =

f1 f 2 f1 + f 2

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