Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES 1.

Introducción..............................................................................

2.

Concepto de vectores en

3.

Producto interno o escalar en

4.

Concepto de vectores en

5.

Producto interno o escalar en

6.

Producto vectorial en

7.

Gráfica en

8.

Bibliografía................................................................................

9.

R3

R3

R2............................................ R2

y sus propiedades......

R3............................................ R3.........................................

y sus propiedades......................

de operaciones con vectores......................

1.

INTRODUCCIÓN.

En la estructura de espacio vectorial se fundamenta una parte muy importante de la matemática: el Álgebra Lineal. Hoy en día se puede decir que no hay parte de la matemática que no contemple esta estructura, cuyo modelo más sencillo es el de los vectores libres que se estudia en física y geometría. Ahora bien, si en esta estructura se tiene en cuenta su aspecto formal, se puede aplicar a diversas situaciones no necesariamente geométricas. En física, llamamos vector a una magnitud orientada, significado muy preciso que sirve para diferenciar de otras magnitudes que se llaman escalares. En matemáticas, un vector es un elemento de un espacio vectorial; de esta forma reciben el nombre de vector tanto los polinomios como las sucesiones acotadas, o las funciones continuas definidas en un intervalo, etc. Todos estos entes matemáticos responden a un estructura común: el espacio vectorial.

2.

CONCEPTO DE VECTORES EN R2.

VECTORES EN R2

Un vector o vector fila es una pareja ordenada (x , y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos los vectores { (x,y) | x e R , y e R} se denomina R2. Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos de las coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notación

v = (x,y), denota al vector

y

V (x,y) , denota el punto extremo

Por comodidad tipográfica denominaremos al vector v

, de aquí en adelante por v.

En el conjunto R2 , definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y multiplicación por un escalar (número real)., así: Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos

u + v = (u1 + v1, u2 + v2)

Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos

u - v = (u1 - v1, u2 - v2)

Multiplicación por un escalar: Si v = (v1, v2), y c e R,

definimos

c v = (c v1, c v2)

Ejemplos u = (2, 1) y v = (1, 3),

u +v = u -v = v -u = 3u = -u = (1/3) v =

(2 + 1, 1 + 3) = (3,4) (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2) (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2) ( 3×2,3×1) = (6,3) -1(2,1) = (-2,-1) 1/3 (1,3) = (1/3,1)

La resta es realmente una suma, ya que por ejemplo, u – v = u + (- v) = (2, 1) + (-1,-3) = (2-1,1-3) = (1, -2) Aceptaremos los siguientes principios o propiedades de las operaciones así definidas:

u +v = v +u u + (v + w) = (u + v) + w u+ 0=0 +u=u c (u + v) = c u + c v c ( d u ) = (cd) u.

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa 0 es el elemento neutro 0 = (0,0).

3.

PRODUCTO INTERNO O ESCALAR EN R2 Y SUS PROPIEDADES.

PRODUCTO INTERNO O ESCALAR Para dos vectores u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos el producto interno o producto escalar de u y v, y lo denotaremos u . v o < u , v > , como u . v = < u , v > = u1 v1 + u2 v2 El producto escalar de u = (1,2) y v = (3,4), es por lo tanto (1 x 3) + (2 x 4) = 3 + 8 = 11. Por lo tanto: Y

u.u = < u,u > = u1 x u1 + u2 x u2 = ( u1 )2 + ( u2 ) 2 = ïuï2 ïuï = 0 , si y sólo si, u. u = < u,u > = < k1u + k2v ,w > = k1 + k22 = 0

PROPIEDADES DEL PRODUCTO INTERNO O ESCALAR DE VECTORES < u,u > = 0 si y sólo si u = 0 < u,v > = < v,u > El producto interno en R2 es una función multilineal (bilineal en este caso), en el siguiente sentido < u,v + w> = < u,v > + < v,w > < u + v,w > = < u,w > + < v,w > De aquí se concluye < k1u + k2v ,w > = k1 + k2 < u , k1v + k2w > = k1 + k2 < u + v, w + z > = + + + y otras combinaciones más como: < u, v + w + z> = + +

< ku,v > = k< u,v > < u,kv > = k< u,v >

4.

CONCEPTO DE VECTORES EN R3.

VECTORES EN R3 Generalizaremos los resultados obtenidos en el capítulo sobre vectores en R 2 (el plano X-Y) a vectores en el espacio de 3 dimensiones X-Y-Z. o espacio R3 . Un punto de coordenadas P(x,y,z) puede representarse en el espacio tal como se muestra en la figura, donde (x,0,0), (0,y,0) y (0,0,z), son puntos situados respectivamente sobre los ejes ortogonales X-Y-Z, a distancias x, y, z , respectivamente, del origen O.

De manera similar al caso en R2 , el vector v, con origen en O(0,0,0) y extremo en P(x,y,z), se expresa como v = (x,y,z), en donde x,y,z se denominan las componentes de v. Extendiendo las definiciones de suma y resta de vectores y multiplicación por un escalar de R2 a R3 , definimos: Si u = ( u 1, u 2, u 3 )

y v = ( v 1, v 2, v 3 ), definimos u + v = ( u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) u - v = ( u 1 - v 1, u 2 - v 2, u 3 - v 3 ) Si Ω e R, definimos: Ω v = (Ω v 1, Ω v 2 , Ω v 3 ) Por analogía, definimos la norma, longitud o magnitud del vector v =(x,y,z) como | v | = ( x2 + y2 + z2 ) todas las propiedades de la norma de vectores en R2 se cumplen en R3 , a saber: i) ii) iii)

| v | ³ 0, y | v | = 0 si y sólo si v = 0. | Ω v | = | Ω | | v |, para todo Ω e R, y todo v e R3 . | u + v | £ | u | + | v |, para todo u,v e R3 .(Desigualdad triangular)

Si x,u,v,w son vectores, entonces: i) u + v = v + u ii) u + (v + w) = (u + v) + w iii) v + 0 = 0 + v = v iv) x + (-x) = 0 y –x + x = 0 v) (ab) x = a(b x), a e R, b e R vi) (a + b) v = a v + bv, a e R, b e R vii) a (u + v) = a u + a v, a e R, b e R viii) 1. x = x

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa 0 es el elemento neutro de la suma de vectores. Para cada vector x existe un opuesto aditivo -x Ley asociativa mixta Ley distributiva mixta Ley distributiva mixta 1 e R, es el elemento neutro con respecto a (.)

Las siguientes propiedades que podrían inferirse de las anteriores, y que se pueden verificar en R3 , se cumplen en todo espacio vectorial. i) 0 v = 0, 0 e R, v e R3 ii) (-1) v = - v, -1 e R, v e R3 Ejemplo:

, r 0 = 0 , r e R , 0 e R3

Si u = ( 2, 3, -1 ) y v = ( 3, -1, 2 ), entonces: u + v = ( 2+3, 3-1, -1+2) = ( 5, 2, 1 ) 3 u = ( 3 × 2, 3 × , 3 × (-1) ) = ( 6, 9, -3 )

, u - v = ( -1, 4, -3 ), , -2 v = ( -2 × 3, -2 × (-1), -2 × 2) = ( -6, 2, -4)

El vector nulo en R3 es 0 = ( 0, 0, 0 ). Los vectores e 1 = ( 1, 0, 0 ), e 2 = ( 0, 1, 0 ), y e 3 = ( 0, 0, 1 ), son vectores de longitud o norma 1 (unitarios), en las direcciones de los ejes X, Y, Z, respectivamente.

Gráficamente la suma y resta de vectores y la multiplicación por un escalar (número), tal como en R2 , se representan por flechas siguiendo las leyes del paralelogramo, con el vector v – u, paralelo y en la dirección de la flecha con origen en el extremo de u y extremo, en el extremo de v, o sea que es paralelo a la flecha que “va” de u a v.

5.

PRODUCTO INTERNO O ESCALAR EN R3.

El producto interno o producto escalar, de dos vectores u = ( u 1, u 2, u 3 ) y v = ( v 1, v 2, v 3 ), denotado por u . v o por < u ,v >, se define de manera similar a como se hizo en R 2 , así: u . v = < u , v > = u 1× v 1 + u 2 × v 2 + u 3 × v 3 , Todas las propiedades presentadas en R2 tienen validez en R3. . Siempre y cuando se extiendan las definiciones como se ha hecho.

6.

PRODUCTO VECTORIAL EN R3 Y SUS PROPIEDADES.

DEFINICION TEÓRICA

Sean de

y

dos vectores concurrentes

, el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto

, y se escribe

, como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2. O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de sentido.

es el de un sacacorchos que gire en el mismo

DEFINICION ALGEBRAICA

En un sistema ortonormaly directo de coordenadas, el producto de los vectores

y

es:

Para recordar esta fórmula, nótese que cada coordenada es un determinante de orden dos, es decir una diferencia de productos cruzados. En la primera coordenada no aparece la x sino y e z, en la segunda no aparece la y sino z y x (en este orden), en la tercera falta previsiblemente la z. Además la fórmula sigue válida si se hace la permutación circular x→y→z→x - denotada habitualmente (x,y,z). Para acordarse de esta fórmula, se suele escribir lo que sigue:

Donde se añade una x en cuarta coordenada, aplicando la simetría circular, y los productos cruzados de dos líneas se colocan en la coordenada no utilizada.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL



Como todo producto, el producto vectorial es bilineal, es decir distributivo sobre la adición (de vectores) y más generalmente sobre la combinación lineal, a la izquierda y la derecha:

(Con la adición) (Con el producto por un escalar)

vector

denotado (Con una combinación lineal, del otro lado)



No es conmutativo como el producto de los números usuales (enteros, reales, complejos) sino todo lo contrario: es antisimétrico: determinante. En particular

, propiedad similar a la del , del mismo modo que un determinante con dos

columnas iguales vale cero.



Es asociativo (como el producto de matrices y sus determinantes).



El producto vectorial aparece en los cuaterniones: El producto de dos cuaterniones imaginarios (es decir de parte real nula) tiene como componente imaginario el producto vectorial (y como parte real el producto escalar cambiado de signo).