Campo Elettrico

CAMPO ELETTRICO Forze elettrostatiche Un corpo isolato che presenta elettroni in eccesso è sede di una carica elettrica negativa; se, al contrario, presenta elettroni in difetto, è sede di una carica positiva. Prendiamo in esame due corpi puntiformi, aventi rispettivamente carica elettrica Q1 e Q2, separati dalla distanza r nello spazio vuoto. Se le cariche hanno segno opposto sono soggette ad una forza attrattiva; se hanno segno uguale la forza risulta repulsiva. Per il principio di azione e reazione, agisce una forza su ciascuna carica; le due forze sono identiche in modulo e direzione, ma hanno verso opposto. Proprio la misura di tali forze costituisce la base per lo studio sistematico dell’elettrostatica. Misurando le forze agenti sulle cariche Q1 e Q2 al variare delle cariche e della distanza, risulta che la forza è:

F = Ke

Q1Q 2 r2

che costituisce la nota legge di Coulomb, dove le cariche Q1 e Q2 sono misurate in Coulomb, la distanza r in metri e la forza F in Newton; la costante di proporzionalità Ke assume il valore

Ke = 8,987 ⋅ 109

Fabio Grossi

Nm2C-2

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Campo Elettrico Per analizzare ulteriormente la legge di Coulomb manteniamo fissa nello spazio la carica Q. Misuriamo la forza esercitata su una carica esploratrice q, posta in un punto P, a distanza r da Q. Il suo modulo vale

F = Ke

Qq r2

Se si cambia il valore di q, il modulo della forza varia proporzionalmente, mentre si conservano inalterati la direzione e il verso. Rimane comunque costante il rapporto E tra la forza e la carica q: esso è denominato intensità del campo elettrico nel punto P.

E=

F Q = Ke 2 q r

Definiamo il vettore campo elettrico E nel punto P, come quel vettore avente modulo E, e direzione e verso coincidenti con quelli della forza F .

In ogni punto dello spazio intorno a Q esiste un vettore E , indipendente dal valore della carica q utilizzata per misurarlo. Seguendo questo procedimento si associa un ben preciso vettore E a ciascun punto della regione che circonda Q; l’intera mappa dei vettori E e detta campo elettrico di Q.

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Da quanto stabilito si ricava che i vettori E intorno a Q hanno tutti direzione radiale; sono diretti verso Q se questa è negativa, mentre sono diretti verso l’esterno quando la carica è positiva come in fig. 2.

Fig. 2 Tracciando il campo elettrico possiamo quindi calcolare la forza che agisce su una qualsiasi carica statica Q2 che venga posta in un punto del campo: tale forza, in modulo, direzione e verso, è data semplicemente dal prodotto di Q2 (con il suo segno) per il vettore

E in quel punto F = EQ 2 Ritornando alla figura 2 osserviamo che i vettori E disposti lungo una qualsiasi retta uscente da Q presentano tutti direzione e verso costanti; il loro modulo decresce con il quadrato della distanza. I vettori disposti su una sfera avente centro in Q hanno tutti lo stesso modulo, mentre le direzioni sono diverse in ciascun punto, e tutte convergenti su Q. Un modo efficace per rappresentare graficamente il campo elettrico, consiste nell’uso delle linee di campo; essa rappresenta la traiettoria percorsa da una carica q, libera di muoversi, quando il suo movimento è cosi lento da rendere trascurabili gli effetti dell’inerzia meccanica; si può immaginare, ad esempio, che la carica si muova all’interno di un mezzo viscoso, che le permette di raggiungere liberamente qualunque posizione, senza farle acquistare velocità apprezzabile. Con questa ipotesi, la linea di campo risulta tangente in ciascun punto alla forza elettrostatica e quindi al vettore E .

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Nel caso della carica puntiforme, vista al paragrafo precedente, le linee di campo sono semirette disposte radialmente intorno alla carica.

Con il tracciamento delle linee di campo si possono ricavare immediatamente la direzione, il verso e il modulo del vettore E per quest’ultimo in ciascun punto è proporzionale alla densità delle linee. Finora abbiamo studiato il campo a simmetria sferica che circonda una carica puntiforme. Se in una regione sono presenti più cariche, il campo assume una configurazione più complessa. In figura vengono rappresentati i campi, particolarmente interessanti, che circondano due cariche uguali, dello stesso segno a) e di segno opposto b).

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La figura rappresenta un campo elettrico uniforme ottenuto tra due piastre cariche, piane e parallele, poste alla distanza s.

Fra le due piastre esiste la differenza di potenziale ΔV, ed il campo elettrico all’interno vale: K = ∆V / s ; i due fori praticati nelle piastre non alterano in maniera apprezzabile la geometria del campo. Un elettrone (massa=m; carica=e;) entra da sinistra con velocità trascurabile; la sua energia cinetica è nulla. Quando l’elettrone entra nel campo elettrico viene sottoposto ad una forza

F = E ⋅e La forza ha direzione opposta a quella del campo, poiché l’elettrone possiede carica negativa; l’accelerazione conseguente risulta diretta verso la piastra positiva.

a=

F e = E⋅ m m

Dalla meccanica è noto che

s=

1 2 at 2

da cui si ricava il tempo t necessario a percorrere la distanza s

t=

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2s a 5

La velocità finale v è data, sempre dalla meccanica, dall’espressione

v = at = 2sa L’energia cinetica W, che l’elettrone possiede all’uscita del campo, vale

W=

1 2 mv = msa 2

e sostituendo ad a la sua espressione si ottiene

W = msE ⋅

e = Ese m

Ricordando che il prodotto E ⋅ s corrisponde alla differenza di potenziale ΔV, l’espressione dell’energia diventa

W = e∆V Abbiamo così ritrovato un risultato che ci si doveva attendere: l’energia acquistata dall’elettrone è data semplicemente dal prodotto della sua carica per la d.d.p. superata, mentre non dipende in alcun modo dalla configurazione del campo né dalla massa dell’elettrone. All’esterno del campo elettrico l’elettrone prosegue la sua corsa con velocità costante. Condensatore Consideriamo la lamina carica in figura avente superficie S e carica positiva Q. Abbiamo già detto che il campo E+ nelle sue vicinanze è uniforme e che la sua intensità è data dall’espressione

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E+ =

Q 2ε 0 S

dove ε0 è la costante dielettrica nel vuoto. Sistemiamo una seconda lamina conduttrice, alla distanza d dalla prima, in corrispondenza di una superficie equipotenziale; se questa lamina porta la carica –Q il campo K- nelle sue vicinanze ha modulo

E− =

Q 2ε 0 S

Nelle spazio tra le due lamine i due campi hanno lo stesso verso e si sommano a formare il campo complessivo

E = E+ + E− =

Q ε 0S

mentre all’esterno delle lamine E + e E − hanno verso opposto e si elidono. La differenza di potenziale tra le due lamine è indicata con V e vale

V = − Ed =

Q d ε 0S

nella formula compare il segno negativo perchè il campo è diretto verso la piastra negativa, mentre il segno + della tensione è sulla piastra positiva. Il dispositivo illustrato costituisce un condensatore, le due lamine, isolate tra loro, vengono dette armature. Il rapporto fra la carica Q e la differenza di potenziale fra le armature è detto capacità C

C=

Q V

da cui segue che

C=

Q Q S = =ε0 1 Q V d d ε0 S

Questa formula permette di calcolare la capacità di un condensatore a partire unicamente dalle sue dimensioni geometriche, a conferma che la capacità è un parametro costante e non dipendente dal valore della tensione né da quello della carica.

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