Calcolo Letterale

Calcolo letterale Un’ ESPRESSIONE ALGEBRICA è un’insieme di operazioni da eseguire su numeri relativi che possono essere rappresentati da lettere dell’alfabeto. Ciò permette di generalizzare un dato problema. Ad esempio la scrittura a2 + b3 rappresenta la somma del quadrato del numero relativo generico a con il cubo di un altro qualsiasi numero relativo b. Tale valore cambierà al cambiare dei valori che diamo alle lettere a e b. Il valore numerico di una espressione algebrica varia generalmente al variare dei valori numerici attribuiti alle lettere. Per moltiplicare un numero a per la somma ( b + c + d ) basata moltiplicare quel numero per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti parziali ottenuti a * ( b + c + d) = ab + ac + ad Per moltiplicare una somma algebrica per una altra somma, basta moltiplicare ciascun termine della prima per ciascuno della seconda e poi addizionare i prodotti ottenuti ( a + b + c) * ( x + y) = ax + ay + bx + by + cx + cy Quando I termini di una somma algebrica contengono tutti uno stesso fattore, la somma stessa è uguale al prodotto del fattore comune per la somma dei quozienti di ogni addendo della somma data per il fattore comune. Si dice che si mette in evidenza il fattore comune. 15a – 30 + 5 b = 5 * ( 3a - 6 + b) Si dice MONOMIO qualunque espressione algebrica nella quale NON FIGURANO ADDIZIONI E SOTTRAZIONI. Un monomio si dice ridotto a forma normale se si presenta come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali di basi diverse. 3a3 * 5 a2 * 2 a5 non è ridotto a forma normale 3a3 * 5 a2 * 2 a5 = 30 a10 ora è ridotto a forma normale Si dice coefficiente di un monomio ridotto a forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali con i rispettivi esponenti. Si considerano solo monomi i cui coefficienti sono numeri razionali. Un monomio ridotto a forma normale si dice INTERO se le lettere non figurano mai al denominatore, cioè le lettere hanno sempre esponente intero positivo, in caso contrario il monomio si dice frazionario. Si dice grado complessivo di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere 2a3 * 5 b2 * 7 c5 ha grado uguale a 10 . Ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1. Si dice grado di un monomio intero e ridotto a forma normale, rispetto a una sua lettera, l’esponente di quella lettera. 2a3 * 5 b2 * 7 c5 ha grado 3 rispetto ad a, grado 2 rispetto a b, grado 5 rispetto ad c . Se in un monomio manca una data lettera si dice che il monomio è di grado zero rispetto a quella lettera. La somma di due o più monomi si indica scrivendo l’uno appreso all’altro i vari monomi ciascuno col proprio segno. La differenza di due monomi è la somma del primo con l’opposto del secondo. Due o più monomi si dicono SIMILI quando, ridotti a forma normale, hanno la stessa parte letterale e differiscono eventualmente, solo per i coefficienti numerici. La somma di due o più monomi simili è uguale a un monomio SIMILE ai dati, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. Il prodotto di due o più monomi si indica scrivendo i monomi l’uno accanto all’altro, racchiudendo ciascuno tra parentesi. Il prodotto di più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per fattori letterali il prodotto di tutti i fattori letterali. Ogni fattore letterale compare nel prodotto con un esponente uguale alla somma degli esponenti con i quali figura nei singoli monomi. ( 2 a3b2c ) * ( - 3 ab4 )* ( 3 ab2c5)= -18 a5b8c6 Per elevare alla potenza n ( ennesima ) un monomio si eleva a quella potenza il coefficiente e si moltiplicano per n gli esponenti dei fattori letterali. ( a5b8c6 ) 3 = a15 b24 c 18 Un monomio si dice DIVISIBILE per un altro ( DIVERSO DA ZERO) quando esiste un terzo monomio ( quoziente) il quale moltiplicato per il secondo ( divisore ) riproduce il primo (dividendo) . Affinché un monomio sia divisibile per un altro è necessario che il dividendo contenga tutte le lettere che figurano nel divisore elevate ciascuna ad un esponente maggiore o almeno uguale a quella che essa ha nel divisore. Il coefficiente del quoziente è uguale al quoziente dei coefficienti del dividendo e del divisore. La parte letterale è formata da tutti i fattori letterali del dividendo ciascuno elevato alla differenza degli esponenti che esso ha nel dividendo e nel divisore. 6 a15 b24 c 18 = 3a12 b22 c 17 2 a3b2c Massimo comune divisore di più monomi è ogni monomio di grado massimo che divida contemporaneamente tutti i monomi dati. La parte letterale del MCD di più monomi è uguale al prodotto di tutti i fattori letterali COMUNI ai monomi dati, presi ciascuno UNA SOLA VOLTA col MINIMO esponente ; se i coefficienti dei monomi dati sono tutti numeri interi si usa assumere come coefficiente del loro MCD il MCD, col segno positivo, degli stessi coefficienti; se questi coefficienti non sono tutti interi si usa assumere come coefficiente del MCD il numero 1. Minimo comune multiplo di più monomi è ogni monomio di grado minimo che sia divisibile contemporaneamente per tutti i monomi dati. La parte letterale del mcm di più monomi è uguale al prodotto di tutti i fattori letterali comuni e NON COMUNI ai monomi dati, presi ciascuno UNA SOLA VOLTA col MASSIMO esponente ; se i coefficienti dei monomi dati sono tutti numeri interi si usa assumere come coefficiente del loro mcm il mcm, col segno positivo, degli stessi coefficienti; se questi coefficienti non sono tutti interi si usa assumere come coefficiente del mcm il numero 1.

POLINOMI La somma di più monomi si chiama POLINOMIO. Gli addendi si chiamano termini del polinomio. Un polinomio con 2 termini è un binomio, un polinomio con 3 termini è un trinomio, un polinomio con 4 termini è un quadrinomio. Se in un polinomio compaiono due o più termini simili, si deve effettuare la somma di tali termini simili e si ottiene il polinomio RIDOTTO. a + 2b + 3a + 5 b = 4 a + 7 b Si dice grado complessivo di un polinomio ridotto il massimo dei gradi dei termini che lo compongono. 8a3 + 2a4 + 3a7 + 5 a8 = 5 a8 + 3a7 + 2a4 + 8a3 il grado è 8 Si chiama invece grado di un polinomio rispetto a una data lettera l’esponente più alto con cui compare quella lettera nel polinomio. 5 a8 + 3b11 + 2b4 + 8a3 Rispetto ad a il grado è 8, rispetto a b il grado è 11 Un polinomio si dice OMOGENEO se tutti i suoi termini sono dello STESSO GRADO 2 a3b2c - 3 ab4c + 7 ab2c3 - 18 a2b2c2 È polinomio OMOGENEO di GRADO 6 Un polinomio si dice ORDINATO secondo le POTENZE DECRESCENTI DI UNA LETTERA, quando i suoi termini sono ordinati in modo che gli esponenti di quella lettera vadano decrescendo quando si legga il polinomio da sinistra a destra. Un polinomio di grado assegnato rispetto a una lettera si dice COMPLETO, quando oltre al termine di grado uguale al grado assegnato, contiene i termini di tutti i gradi inferiori fino aquello di grado zero; in caso contrario si dice INCOMPLETO. Un polinomio COMPLETO di grado n rispetto a una data lettera contiene n +1 termini.

Principio di identità dei polinomi Due polinomi contenenti la stessa variabile si dicono IDENTICI, quando assumono valori uguali in corrispondenza a qualsiasi valore attribuito alla variabile. Il prodotto di un polinomio per un monomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio ( 5 a8 + 3b11 + 2b4 + 8a3 ) * 2 a3 = 10 a11 + 6 a3 b11 + 4 a3b4 + 16a6 Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo, più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo. ( 3 a8 + 2b4 ) = 9 a16 + 4 b8 + 12 a8b4 Il quadrato di un polinomio di un numero qualunque di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno di quelli che seguono. ( a2 + b2 + c2 )2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2 a2c2 + 2 b2c2 Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio , meno il quadrato del secondo monomio. ( 5 a8 + 3b4) ( 5 a8 - 3 b4 ) = 25 a16 - 9 b8 Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo monomio più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio più il cubo del secondo monomio. ( a8 + b4 ) 3 = a24 + 3 a16 b4 + 3 a8b8 + b12

Potenza di un binomio Lo sviluppo di (a + b) n con n intero positivo è un polinomio OMOGENEO di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e le potenze crescenti di b. Il coefficiente del primo termine è 1, il coefficiente del secondo termine è l’esponente n. Ogni altro coefficiente si ottiene moltiplicando il coefficiente del termine precedente per l’esponente che ha a in questo termine e dividendo il prodotto ottenuto per l’esponente che ha b, nello stesso termine, aumentato di 1. Triangolo di Tartaglia : i coefficienti delle successive potenze del binomio ( a + b) si trovano con il triangolo di Tartaglia 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 I numeri di ciascuna riga sono la somma di quelli sovrastanti della riga precedente

Divisione tra due polinomi Un polinomio si dice divisibile per un secondo polinomio se ne esiste un terzo ( QUOZIENTE) tale che moltiplicato per il secondo ( DIVISORE) dà per prodotto il primo (DIVIDENDO) . Dato un polinomio A ORDINATO secondo le potenze della lettera x, se il grado del polinomio A rispetto a x è maggiore o uguale a quello di B, rispetto alla stessa lettera x, allora posso determinare in modo unico due altri polinomi Q ed R , di cui il secondo di grado minore di quello di B, tali che risulti A = B*Q +R Q Si dice QUOZIENTE INCOMPLETO ed R

RESTO della divisione di A per B.

Regola per la divisione tra due polinomi 1) 2)

3) 4) 5) 6)

Si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti di una stessa lettera Si divide il PRIMO TERMINE del DIVIDENDO per il PRIMO TERMINE del DIVISORE, il quoziente così ottenuto è il PRIMO termine del quoziente dei due polinomi. Si moltiplica il divisore per questo PRIMO termine del quoziente e si SOTTRAE il prodotto dal dividendo; il polinomio che si ottiene si dice PRIMO RESTO PARZIALE, esso risulta ordinato come il dividendo. Si divide il termine di grado più elevato del PRIMO RESTO PARZIALE per il PRIMO TERMINE del DIVISORE e si ottiene così il SECONDO termine del quoziente dei due polinomi. Si moltiplica il divisore per questo SECONDO termine del quoziente e si SOTTRAE il prodotto dal PRIMO RESTO PARZIALE; il polinomio che si ottiene si dice SECONDO RESTO PARZIALE, anche esso risulta ordinato come il dividendo. Assumendo questo SECONDO RESTO PARZIALE coem dividendo, si determina il TERZO termine del quoziente come si è fatto per il secondo e si procede con l’operazione finché non si giunga a UN RESTO PARZIALE NULLO o che sia UN POLINOMIO DI GRADO MINORE DI QUELLO DEL DIVISORE

10 x5 + 9 x4 + 8 x3 + 7 x2 + 3x + 1 : x2 - 3x … ………….. -10 x5 + 30 x4 10x3 +39x2 + 125x + 382x 0 + 39 x4 + 8 x3 -39 x4 + 117 x3 0 125 x3 + 7x2 -125 x3 +375x2 0 + 382 x2 + 3x - 382 x2 + 1146x 0 + 1149 x + 1 Q = 10x3 +39x2 + 125x + 382x

R = 1149 x + 1

Quindi (10x3 +39x2 + 125x + 382x )*(x2 - 3x) + ( 1149 x + 1) Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio intero in x, P(x), sia divisibile per il binomio x –a ( o È che il polinomio si annulli quando ad x si sostituisca a ( o rispettivamente -a)

x +a )

Regola di Ruffini Se un polinomio di grado n ORDINATO secondo le potenze decrescenti di x un polinomio di grado n-1, i cui coefficienti si trovano nel seguente modo.:

si divide per il binomio x –a , il quoziente è

il PRIMO coefficiente è uguale al primo coefficiente del DIVIDENDO ed ogni coefficiente successivo si ottiene MOLTIPLICANDO IL COEFFICIENTE PRECEDENTE per a , e aggiungendo al prodotto il coefficiente del dividendo che ha lo stesso posto. Il resto della divisione si ottiene moltiplicando per a l’ultimo coefficiente del quoziente e aggiungendo al prodotto il termine noto del dividendo

coefficienti di P(x)

x^12

x^11

x^10

x^9

x^8

x^7

x^6

x^5

x^4

x^3

x^2

x

1

1

2

4

5

4

8

9

1

-1

1

-1

1

-1

1

3

7

12

16

24

33

34

33

34

33

34

1 1

3

7

12

16

24

33

34

33

34

33

34

33

x^11

x^10

x^9

x^8

x^7

x^6

x^5

x^4

x^3

x^2

x

1

resto