Prvky betonových konstrukcí BL01 – 9 přednáška
Prvky namáhané momentem a normálovou silou
základní předpoklady interakční diagram posouzení, návrh namáhání mimo osy souměrnosti konstrukční zásady
Způsoby porušení železobetonového prvku namáhaného N,M
ve výztuži je právě dosaženo meze kluzu výslednice působí v těžišti tažené výztuže
tlakové porušení
tlak s malou výstředností
tahové porušení s působícím tlačeným betonem tlak, s velkou výstředností
tah s velkou výstředností
tahové porušení s vyloučeným tlačeným betonem mimostředný tah s malou výstředností
Předpoklady výpočtu
Zachování rovinnosti průřezu Dokonalá soudržnost mezi betonem a výztuží. Pevnost betonu v tahu se zanedbává. Napětí podle pracovních diagramů betonu a výztuže Meze únosnosti dosaženo při dosažení mezního poměrného přetvoření buď v betonu a/nebo ve výztuži
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 5: dostředný tlak
beton plně využit v tlaku obě výztuže tlačené, využité podle c2 nebo c3
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 5: N+M - tlak s malou výstředností
celá plocha betonu je tlačená rovina přetvoření se otáčí podle bodu C
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 4 : N+M - tlak s malou výstředností
rovina přetvoření se otáčí podle bodu B, spodní výztuž je tažená, není plně využitá, beton v tlaku využit
poloha
x=xbal,1
rozhraní mezi malou a velkou výstředností
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 3 : N+M - tlak nebo tah s velkou výstředností, příp. ohyb
rovina přetvoření se otáčí podle bodu B, spodní výztuž je tažená, je plně využitá, beton v tlaku využit
poloha x=xlim
dána mezním poměrným přetvořením výztuže ud ,
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 2 : N+M – tah s velkou výstředností
rovina přetvoření se otáčí podle bodu A, spodní výztuž je tažená, je plně využitá, beton v tlaku není plně využit, ale jen částečně!
poloha
prvek celý tažen, nevzniká tlačená oblast
Oblasti přetvoření průřezu v mezním stavu
oblast 1 : N+M – tah s malou výstředností
rovina přetvoření se otáčí podle bodu A, obě výztuže jsou tažené, jsou plně využity, nevzniká tlačená oblast, celý průřez tažen
poloha
dostředný tah N působí v těžišti ploch výztuže
Stanovení NR - dostředný tlak zatížení
beton
ocel
únosnost
síla N
Započitatelnost výztuže dolní
s1 cu 3 dx x
xbal,2 bal,2 d 2 f yd s1 f yd Es
dx s1 cu 3 yd x yd s1 Es s1
s1 yd
cu 3 x xbal,1 d bal,1 d yd cu 3
Započitatelnost výztuže horní
s2 cu 3 x d2 x
s2
f yd x d2 cu 3 yd s 2 f yd x Es yd s 2 Es s 2
s 2 yd x xbal , 2
cu 3 d 2 bal , 2 d 2 cu 3 yd
Průřez namáhaný M, N A s2
x x
FFcc
z1
h
d
z2
A s2 2
A s1
0,5(h- x) 0,5 x
f cd
MRd
= zc
NRd
As11
b
N Rd
Fc b xx ffcdcd As 2 s 2 As1 s1
,5 h x As 2 s 2 z2 As1 s1 z1 M Rd b x f cd 0 Mc z F c c Mc
vždy k těžišti průřezu !!!
Interakční diagram meze únosnosti M, N princip NRd
As1 1
Fc
As2 2
As2 2 z2
NRd
Mc
As1 1 z1
MRd
MRd
Významné body interakčního diagramu 2
s1 yd
x xbal,1
N Rd 2 xbal ,1bf cd As 2 s 2 As1 f yd h xbal ,1 M Rd 2 xbal ,1bf cd As 2 s 2 z 2 As1 f yd z1 2 2 xbal , 2 xbal ,1 s 2 f yd
Významné body interakčního diagramu 0
Dostředný tlak
N Rd 0 bhf cd As 2 s 2 As1 s1 M Rd 0 As 2 s 2 z2 As1 s1 z1
s1 s1 c Es ; c cu 2 nebo cu 3
Významné body interakčního diagramu 1
xd
N Rd 1 dbf cd As 2 s 2 h d M Rd 1 dbf cd As 2 s 2 z 2 d 2 2 d xbal ,2 s 2 f yd
Významné body interakčního diagramu 3
Prostý ohyb NEd=0
N Rd 3 xbf cd As 2 s 2 As1 f yd ; N Rd 3 0 x h x M Rd 3 xbf cd As 2 s 2 z 2 As1 f yd z1 2 2 x xbal,2 s 2 f yd ; x xbal,1 s1 f yd
Významné body interakčního diagramu 4
Rozhraní nezi MV aVV v tahu
s2
Fs2 = 0
NRd4 Cg
Fs1 = As1 fyd
s1 yd
N Rd 4 As1 f yd M Rd 4 As1 f yd z1
MRd4
Významné body interakčního diagramu 5
Dostředný tah
s2 yd
Fs2 = As2 fyd NRd5 Cg
s1 yd
NRd 5 As 2fyd As1fyd M Rd 5 As 2fyd z2 As1fyd z1
Fs1 = As1 fyd
MRd5
tah s malou výstředností
tlak nebo tah s velkou výstředností tlak s malou výstředností
Interakční diagram
Interakční diagram
• As1 tažená nebo méně tlačená výztuž, As2 tlačená nebo méně tažená výztuž nebo As2 tažená nebo méně tlačená výztuž, As1 tlačená nebo méně tažená výztuž
• tlak N 0; tah N 0 • e0 = h/30 > 20 mm
Průkaz podmínek spolehlivosti <0
A
NRdA NEd MRdA MEd B‘-B‘‘
M RdB M Ed a M RdB M Ed NRdB NEd NRdB
C
ed eRdC >0
NRdC NEd a M RdC M Ed D – obvykle nepoužíváme
Zjednodušený interakční diagram
nahrazení čáry porušení přímkami mezi body 0-1, 1-2, (event. 0-2) a 4-5,
Postup posouzení Nejčastější způsob posouzení ad A):
N Rd N Ed
Podmínka spolehlivosti M Ed M Rd •
je-li NEd tlaková –
výpočet NRd,bal • •
•
|NEd| >|NRd,bal | tlak s M.V. |NEd |< |NRd,bal| tlak s V.V.
je-li NEd tahová –
výpočet NRd4 • •
|NEd| <|NRd4| tah s V.V. |NEd| >|NRd4 | tah s M.V
Posouzení – tlak s velkou výstředností platí|NEd|< |NRd,bal|
pokud ed<ebal , pak není potřeba dokazovat, že MEd ≤MRd kde ed=MEd/|NEd|; ebal=MRd,bal/|NEd,bal| (MRd, NEd=NRd)
F(MEd,NEd)
z podmínky NEd= NRd nalézt polohu x výpočet MRd posouzení MEd ≤MRd
Posouzení – tlak s malou výstředností platí |NEd|> |NRd,bal|
výpočet NRd1,MRd1, popřípadě NRd0,MRd0
(MRd, NEd=NRd) F(MEd,NEd)
je-li |NEd|< |NRd,1|, pak z průsečíků přímek 1-2 a NEd= NRd nalézt MRd analogicky je-li |NEd|>| NRd,1| z průsečíků přímek 0-1 a NEd= NRd nalézt MRd , (nutno pohlídat e0, tedy bod 6)
posouzení MEd ≤MRd
pokud ed<eRd1 , pak není potřeba dokazovat, že MEd ≤MRd kde ed=MEd/|NEd|; eRd1=MRd1/|NEd1|
Posouzení – tah s velkou výstředností platí NEd < NRd4
F(MEd,NEd) (MRd, NEd=NRd)
z podmínky NEd= NRd nalézt polohu x výpočet MRd posouzení MEd ≤MRd pokud ed<eRd4, pak není potřeba dokazovat, že MEd ≤ MRd kde ed=MEd/NEd; eRd4=MRd4/NRd4
Posouzení – tah s malou výstředností platí NEd > NRd,4
F(MEd,NEd) (M´Rd, NEd=N´Rd)
(MRd, NEd=NRd)
výpočet NRd5,MRd5, z průsečíků přímek 4-5 a NEd= NRd nalézt MRd posouzení MEd ≤MRd je-li ed<eRd5 zkontrolovat i přímku 4´-5´ a nalézt i M´Rd a posoudit MEd ≥M´Rd
Posouzení – tah s malou výstředností
F(MEd,NEd) (M´Rd, NEd=N´Rd)
(MRd, NEd=NRd)
Návrh výztuže Neznámé: -As1, -As2, -poloha x
Vycházíme: -z podmínek rovnováhy (silová a momentová) -další doplňující podmínky jako: - vyloučení některé z výztuží As1, As2 nebo
- předpoklad o poloze x, např. x=xbal
x=xbal,1
Návrh výztuže Postup: (předpoklad N kladné pro tlak) 1) výpočet Nc,bal 2) rozhodnutí: a) Nc,bal >NEd převládá tlak, • dopočítám moment od zatížení k těžišti horní výztuže MEd,2
• z rovnováhy momentů k těžišti horní výztuže (za předpokladu že As1=0) dopočítám x • dle velikosti x navrhuji výztuž podle oblasti I, II nebo IV b) Nc,bal < NEd převládá tah
• dopočítám moment od zatížení k těžišti dolní výztuže MEd,1 • z rovnováhy momentů k těžišti dolní výztuže (za předpokladu že As2=0) dopočítám x • dle velikosti x navrhuji výztuž podle oblasti I, III nebo V
Momenty od zatížení vztažené k těžištím výztuže
d
M Ed 2 M Ed N Ed z 2
0,5h
z A s2
M Ed1
z
zs
d´
d
NEd
M Ed NEd
NEd
d
h
z
0,5h
A s2
b
M Ed 1 M Ed N Ed z1
z
M Ed2
Momentová rovnováha – výpočet x Převládající tah předpoklad Fs2 = 0
M Ed 1 b x f ck d 0,5 x 2 M Ed 1 d x 1 1 b d 2 f cd
Převládající tlak
předpoklad Fs1 = 0
M Ed 2 b x f ck 0,5 x d 2
2 M Ed 2 d 2 x 1 1 b d 22 f cd
Převládá tlak Oblast IV celá plocha betonu tlačená Fc As1,req – z momentové podmínky k As2 As2,req – z momentové podmínky k As1 Oblast II x známe (odtud Fc=…) As1,req = 0 As2,req – ze součtové podmínky sil
2
Oblast I x = xbal,1 (odtud Fc=…) As2,req – z momentové podmínky k As1 As1,req – ze součtové podmínky sil Převládá tah Oblast III x známe (odtud Fc=…) As1,req – ze součtové podmínky sil As2,req = 0 Oblast V Fc = 0 As1,req – z momentové podmínky k As2 As2,req – z momentové podmínky k As1 Oblast I viz výše
Návrh výztuže pomocí nomogramů
NED /(b h fcd)
=Asfyd /(b h fcd)
MED /(b h2 fcd)
Plocha veškeré výztuže As ,req
b h f cd f yd
NED /(b h fcd)
=Asfyd /(b h fcd)
bh
MED /(b h2 fcd) b h f cd A ; plocha veškeré výztuže s ,req f yd
Návrh výztuže - plocha provedené výztuže
Asi , prov Asi ,req Asi ,min
Asi , prov Asi ,min
pro i 1,2
As ,min As , prov As ,max , kde As , prov As 1 As 2
Tlačená výztuž
Asi ,min max 0 ,05 N Ed / f yd ; 0 ,001 Ac As ,min 2 Asi ,min As ,max 0 ,04 Ac
Tažená výztuž
Asi ,min
f max0 ,26 ctm bt h ; 0 ,0013 bt f yk
h
Šikmý ohyb s tahem nebo tlakem interakční plocha porušení •Přesné řešení •Zjednodušené •Oddělené posouzení při zanedbání výstřednosti v druhém směru •Využití vodorovného řezu v úrovni NE a (náhrada křivky únosnosti elipsou)
•Přesné řešení
b=0,30 0,2 b=0,06
zs2=210
420
d f c
h=0,50
s1
F s2
0,2 b=0,1
z
x •Využití vodorovného řezu v úrovni NE a (náhrada křivky únosnostielipsou) x
s2
ys1 =110
y
z c=123,5
posouzení při zanedbání výstřednosti v druhém směru
Fs1
NEd
sd1
Fc Fcc •Oddělené
z cc=110
1
M
Fs2 •Zjednodušené
y
Fs
y cc=76
384
2 R 20
Msyd1
Mszd1
Fc
z=
Cc
220 ys2=110 yc =80,6
z s1=210
d1=0,04
y
2 R 20 h=0,50
d2=0,04
1. Přesné řešení z
F cc
F s1
b=0,30 z
2. Oddělené posouzení ve dvou hlavních rovinách podmínky:
y / z 2 a z / y 2 poměrné excentricity e z / h
a
ey / b
splňují jednu z podmínek
ey / h ez / b
0 ,2 ,
ez / b 0 ,2 , ey / h
3. Využití vodorovného řezu inter. plochou porušení v úrovni NE a M Edy M Rdy
a M Edz 1,0 M Rdz
kruhové a eliptické průřezy: a = 2, pravoúhlé průřezy: NEd / NRd0 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5 2,0 kde
N Rd 0 Ac f cd AS f yd
Ovinuté sloupy
Ovinuté sloupy – trojosá napjatost
fck,c = fck (1,000 + 5,0 2 / fck) fck,c = fck (1,125 + 2,5 2 / fck) c2,c = c2 (fck,c / fck)2 cu2,c = cu2 + 0,2 2 / fck
při 2 0,05 fck při 2 0,05 fck
Ovinuté sloupy – teoretický dostředný tlak NRd0 = Ac0 fcd,c + As fyd kde Ac0 plocha betonu ovinutého jádra fcd,c zvýšená návrhová pevnost betonu v tlaku vlivem ovinutí fcd,c = fck,c /c As průřezová plocha podélné výztuže
2 = 2.As,sth . fywd /(s . D) kde As,sth průřezová plocha třmínku, D šroubovice fywd návrhová pevnost výztuže šroubovice s vzdálenost třmínků, stoupání šroubovice D průměr střednice třmínku, šroubovice
c0
Ovinuté sloupy
Vliv ovinutí v interakčním diagramu
příspěvek ovinutí
Konstrukční zásady
Podélná výztuž
min 4ø, (u sloupů O průřezu doporučeno 6ø) nejmenší průměr ø8 mm, (podle NA ČR ø12 mm u sloupů s min. rozměrem 200 a větším, v ostatních případech ø10 mm) nejmenší světlá vzdálenost … (max. osová vzdálenost doporučena 400 mm)
Konstrukční zásady Třmínky profil
vzdálenost st
min ø6mm (sítě ø5mm) min ¼ øl,max ≤ 20øl,min (15 øl,min - NA ČR) ≤b ≤ 400mm (300mm - NA ČR)
zhušťování v místech
nad a pod deskou na výšku h>b v oblasti styků podélné výztuže, je-li øl >14mm
Zajištění vybočení podélné tlačené výztuže příčnou výztuži
příklad použití sítí