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Clase 1 Título: Elementos de Lógica. Bibliografía: PPT 1 Objetivos a lograr: Al concluir el estudio de esta sección y la ejercitación correspondiente, el alumno debe ser capaz de: • Explicar el concepto de razonamiento. • Explicar el concepto de razonamiento inductivo. • Aplicar los pasos a seguir en el razonamiento inductivo • Explicar el concepto de contraejemplo • Explicar el concepto de razonamiento deductivo • Aplicar los pasos a seguir en el razonamiento deductivo • Explicar el concepto de proposición • Explicar el concepto de axiomas o postulados • Explicar el concepto de teoremas • Explicar las operaciones lógicas. • Explicar el concepto de cuantificador universal • Explicar el concepto de cuantificador existencial Introducción La Lógica (del griego, logos, 'palabra', 'proposición', 'razón'), es la disciplina y rama de la filosofía que estudia los principios formales del conocimiento humano. Su principal análisis se centra en la validez de los razonamientos y argumentos, por lo que se esfuerza por determinar las condiciones que justifican que el individuo, a partir de proposiciones dadas, alcance una conclusión derivada de aquéllas. Por ello, la lógica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, y su clasificación. Desarrollo Definición: El proceso mediante el cual a partir de determinada información se sacan conclusiones se llama razonamiento. El razonamiento puede ser de dos tipos: Tipo 1. Razonamiento Inductivo: Cuando se observa que “varias veces” una acción produce el mismo resultado y se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado Pasos a seguir en el razonamiento inductivo Paso 1. Se observa que una propiedad es verdadera para cada caso que se verifica. Paso 2. Dado que la propiedad es verdadera en todos los casos verificados, se concluye que es verdadera para todos los demás casos y se establece una “generalización”. En este sentido debe tenerse mucho cuidado al hablar de generalización porque puede encontrarse GENERALIZACIONES FALSAS Ejemplos: 1. Si un cuadrilátero tiene 4 lados congruentes, tiene 4 ángulos congruentes. 2. Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos, tiene un par de lados congruentes. 3. Si un triángulo tiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes.

Estos ejemplos ponen en evidencia la falsedad de una generalización, a cualquiera de ellos se les llama CONTRAEJEMPLO. Tipo 2: Razonamiento Deductivo: Es el método que se utiliza para comprobar que las generalizaciones descubiertas son “verdaderas” en todos los casos. Pasos del razonamiento deductivo Paso 1. Comenzar con las condiciones dadas (hipótesis). Paso 2. Usar la lógica, definiciones, postulados o teoremas previamente demostrados, para justificar una serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado. Paso 3. Afirmar el resultado (la conclusión). Definición: Se entiende por proposición un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Dicho de otra manera una proposición es la menor unidad del lenguaje con sentido propio. Tipos de proposiciones 1. Definición: Una proposición inicial la cual se asume como verdadera es llamada AXIOMAS O POSTULADOS 2. Definición: Un TEOREMA Es cualquier proposición que se deduce de otra proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. De acuerdo a la escritura existen proposiciones simples y compuestas, para obtener proposiciones mas complejas a partir de proposiciones simples se utilizan las operaciones lógicas, estas son: Negación, Disyunción, Conjunción, Condicional-Implicación y Bicondicional-Equivalencia. • Negación A una proposición P se le aplica la”negación lógica” que se denomina negación y se denota por no P, en símbolos ∼ P, los resultados de este análisis se pueden recoger en una tabla, que es conocida como tabla de verdad. p V F

∼p F V

• Conjunción Existen proposiciones en las cuales interviene la “conjunción lógica”. Estas se representan por la letra “y”, en símbolos ∧. Será verdadera si las proposiciones componentes son verdaderas, su tabla de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

• Disyunción Existen proposiciones en las que interviene la “disyunción lógica”. Estas proposiciones se representan por la letra o, en símbolos ∨. Será verdadera si al menos una de las proposiciones es verdadera, su tablado verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

• Condicional-Implicación Existen proposiciones en las que interviene la “CONDICIONAL LOGICA”. Estas proposiciones se representan por el símbolo → que se denomina símbolo de la condicional. Una condicional p → q es verdadera siempre, salvo en el caso que siendo p verdadera se tenga que q es falsa. A p se le denomina hipótesis o antecedente, y a q tesis o consecuente, su tabla de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

Ejemplos • Si 1<3, entonces 1+5< 3+5. (Esta proposición es verdadera) • Si 1+3=4, entonces 1+6=10. (Esta proposición es falsa) • Si los caballos son verdes, entonces Isaac Newton fue una gran físico. (Esta proposición es verdadera) • Si los caballos son verdes, entonces Rivaldo fue presidente de Brasil. (Esta proposición es verdadera) La operación condicional puede expresarse de diferentes formas, las cuales tienen el mismo significado, estas son: p → q, Si p, entonces q, q si p, p solo si q, p es suficiente para q, q es necesario para p, q con la condición de que p, q cuando p, q siempre que p. Ejemplos • Todas las proposiciones siguientes tienen el mismo significado: • Si aprueba el examen entonces ganará un premio. • Que apruebe el examen implica que ganará un premio. • Ganará un premio si aprueba el examen. • Aprueba el examen solo si ganará un premio. • Para que gane un premio, es suficiente que apruebe el examen. • Para que apruebe el examen, es necesario que gane un premio. Existen además otras proposiciones relacionadas con la condicional que son de gran importancia en Matemáticas las cuales enunciaremos a continuación:

Dada la condicional p → q, se definen: 1. La recíproca: q → p 2. La contraria: ∼ p → ∼ q 3. La contrarrecíproca: ∼ q → ∼ p Ejemplos Escriba las proposiciones recíproca, contraria y contrarrecíproca de la proposición: “Si aprueba el examen, entonces ganará un premio”. Recíproca: Si gana un premio, entonces aprobará el examen. Contraria: Si no aprueba el examen, entonces no ganará un premio. Contrarrecíproca: Si no gana un premio, entonces no aprobará el examen. •

Bicondicional-Equivalencia

Existen proposiciones en las cuales interviene la “BICONDICIONAL”. Estas proposiciones se representan por el símbolo ↔ que se denomina BICONDICIONAL. En este caso, p↔q es verdadera si las implicaciones: p → q y q → p son ambas verdaderas y es falsa cuando al menos una de estas implicaciones es falsa, su tabla de verdad es la siguiente: p V V F F

q V F V F

p↔q V F V V

EJEMPLO Expresar las proposiciones siguientes en una sola proposición. 1. Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero. 2. Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados. Solución: Un polígono es un cuadrilátero si y solo si tiene cuatro lados. Sea p: un polígono tiene cuatro lados. q: un polígono es un cuadrilátero. En símbolos: p ↔ q Antes de concluir esta actividad queremos mencionar dos cuantificadores que son muy utilizados en Matemáticas, estos son: • •

El cuantificador universal, se designa con el símbolo ∀ , actúa como ∀ x y se lee, para cualquier x se cumple….., o también se puede decir para todo x se cumple … El cuantificador existencial, se designa con el símbolo ∃, actúa como ∃x y se lee, existe al menos un elemento x que cumple…..…

Conclusiones Al finalizar la clase se realizarán preguntas de comprobación de acuerdo a los objetivos propuestos y se orientará el estudio independiente.

Orientaciones para el estudio Ejercicios 1. Diga en cada caso si el enunciado dado es o no es una proposición. Justifique su respuesta. En caso de ser una proposición diga su valor de verdad. a) La CUJAE pertenece a Boyeros. b) Rey Vicente Anglada es astrónomo. c) Habla usted francés? d) Usted va al cine esta noche? e) Póngase de pie. f) Tome el libro. 2. Escriba cada una de las proposiciones dadas en forma simbólica: a) Carlos es químico y María es arquitecta. b) El lunes no habrá trabajo o Claudia ira al cine. c) Si 1+1=2 entonces 4+2=7. d) Carlos es hijo de Manuel si y solo si Manuel es el padre de Carlos. e) Iré el sábado, si me pagan. f) Si tu automóvil no tiene aire acondicionado, no tendrás amigos. g) El sol brilla solo si estas feliz. 3. Sean los enunciados, p: Te gusta la música, q: Te gusta el baile. Traduzca cada una de las siguientes proposiciones al lenguaje común. a) p → q b) ∼ p ∨q c) [p ∨(∼ p)] → q d) ∼ q → (∼ p) e) ∼ p → q 4. Dada las proposiciones siguientes: a) Si Pedro es alto, entonces Pedro juega baloncesto. b) Si no es un perro, entonces es un animal. Escriba las proposiciones recíproca, contraria y contrarrecíproca, en el lenguaje simbólico. 5. Considere las proposiciones a) p → (∼ q) b) ∼ p → ∼ q. Escriba su recíproca, su contraria y su contrarrecíproca, en el lenguaje usual. 6. Una persona le hace una promesa a otra: Si gano el concurso, entonces te daré 10 000 pesos. Si cumple su promesa, decimos que la proposición es verdadera, si la incumple, decimos que es falsa. Sea p: Gana el concurso, q: Te daré 10 000 pesos. La promesa se simboliza por p → q. Hay cuatro posibilidades: p q Caso 1: V V Gana el concurso, dará 10 000 P. Caso 2: V F Gana el concurso, no dará 10 000 P Caso 3: F V No ganó el concurso, dará 10 000 P Caso 4: F F No ganó el concurso, no dará 10 000 P ¿Cuando habrá quebrantado la promesa?