Balok

Elemen Lentur (Balok) Ari Wibowo, ST., MT.

Introduksi

Tegangan Lentur Besar tegangan di sebarang titik di ketinggian y terhadap garis netral adalah :

M .y fb = Ix

Dimana : • M = momen lentur penampang • y = jarak tegak lurus garis netral ke titik/serat yang ditinjau. • Ix = momen inersia terhadap arah momen yang berlaku.

Tegangan maksimum terletak di serat paling luar, yang didapat dari : M ×c M M = Ix = f max = Ix Sx c dimana : • c = jarak dari garis netral ke serat terluar • Sx = modulus penampang elastis terhadap sumbu putar momen yang berlaku. (misal untuk penampang persegi = 1/6.b.h2) Tegangan maksimum fmax tidak boleh melebihi fyield, sehingga momen maksimum Mmax tidak boleh melebihi : My = fy . Sx

Tahapan Pembebanan dan Kondisi Kekuatan Nominal Penampang Balok di bawah Beban Lentur

Tahap : • (a) – (b) = elastis • (b) – (d) = inelastis • (d)

= plastis

MOMEN PLASTIS Garis netral plastis membagi penampang menjadi dua area yang sama. Untuk bentuk penampang yang simetris terhadap garis netral lentur, garis netral elastis dan plastis adalah sama. Momen plastis Mp adalah kopel penahan yang dibentuk oleh dua gaya yang sama besar dan berlawanan arah :  A M p = Fy ( Ac ) a = Fy ( At ) a = Fy  a = Fy Z 2

dimana : • A = luas penampang • a = jarak antara titik pusat dua setengah area • Z =  A a = modulus penampang plastis 2

Contoh 1 Hitung momen plastis untuk W10 x 60 dengan mutu A36 Dari tabel properti dan dimensi : A = 17.6 in 2 A 17.6 = = 8.8 in 2 2 2

• Titik pusat dari setengah penampang didapat dari tabel bentuk WT, dimana dipotong dari bentuk-W. Bentuk yang relevan disini adalah WT5×30, dan jarak dari serat terluar sayap ke titik pusat adalah 0,884 inci a = d − 2(0.884) = 10.22 − 2(0.844) = 8.452 in A Z =  a = 8.8(8.452) = 74.38 in 3 2

Hal ini cocok dengan harga 74.6 dari tabel dimensi dan properti (perbedaan harga adalah akibat kesalahan pembulatan). Mp = fy Z = 36(74.38) =2678 in-kips = 223 ft-kips

Kontrol Penampang

KONTROL PENAMPANG Momen nominal untuk ketahanan desain di dapat berdasar SNI 03-1729-2002. Balok dapat runtuh bila mencapai Mp atau mengalami kegagalan tekuk dari salah satu yang berikut : • Tekuk Lokal Sayap (Flange Local Buckling) • Tekuk Lokal Badan (Web Local Buckling) • Tekuk Torsi Lateral (Lateral Torsional Buckling – LTB) Momen nominal diambil yang paling kecil, sesuai kondisi paling kritis yang terjadi. Ingat : gambar tekuk pd balok

Klasifikasi Bentuk AISC mengklasifikasikan bentuk penampang sebagai kompak, non-kompak, dan langsing tergantung rasio harga lebar-tebal. Element Sayap Badan

λ bf 2t f

λp 65 Fy

λr 141 Fy − 10

h tw

640 Fy

970 Fy

• Jika λ ≤ λp, penampang adalah kompak • Jika λp < λ ≤ λr , penampang adalah nonkompak ; dan • Jika λ > λr , penampang adalah langsing Kategori didasarkan pada rasio lebar-tebal terburuk dari penampang. Misal jika badan adalah kompak, dan sayap tidak kompak, maka penampang diklasifikasikan sebagai non-kompak.

Kontrol Tekuk Balok Mn = fy.Z Mp

 λ − λp  Mn = M p − M p − M r  λ r − λ p 

(

)

Mn = fy.Z

   

 λ − λp    − λ λ p  r

Mn = M p − (M p − M r )

Mp

Mn = S(20,000)/λ2 Mr

Mr Tidak Kompak

Kompak

Langsing

λp Plastis

Kompak

λr Inelastis

λp Elastis

Plastis

Flange Local Buckling

Plate girder

λr Inelastis

Web Local Buckling

Mn = fy.Z

Mn =

 Cb M p − M p − M r 

(

Mp

 L − L p   ≤ M p   r − L p 

) L

π

2

 πE  Mn =C b L EI y GJ +  L  I y I w

Mr

Plastis,

Tdk aplikabel

Tidak Kompak

Lr

Lp

Tidak ada instabilitas

Inelastis LTB

Elastis LTB

Lateral Torsional Buckling

Flange Local Buckling (Tekuk Lokal Sayap) Mn = fy.Z

 λ − λp    λ − p   r

(

) λ

Mn = M p − M p − M r  Mp

Mn = S(20,000)/λ2

Mr Kompak

Tidak Kompak Lp

Plastis

Langsing Lr

Inelastis

Elastis

Kelangsingan dari sayap untuk penampang I adalah : bf b = tf 2t f

λ= Terlihat pada gambar diatas, terdapat 3 zona dengan 3 tipe penampang yang terkait) : plastis (penampang kompak), inelastis (penampang tidak kompak) dan elastis (penampang langsing).

Untuk penampang I,batas antara kompak dan nonkompak adalah: λp =

170 fy

λp =

65 fy

⇒ fy = Mpa

(SNI 03-1729-2002 tabel 7.5-1)

⇒ fy = ksi

dan batas antara non kompak dan balok langsing adalah :

λr = λr =

370 fy − fr 141 fy − fr

⇒ fy = Mpa

(SNI 03-1729-2002 tabel 7.5-1)

⇒ fy = ksi

dimana : fr = tegangan tekan residual rata-rata pada pelat sayap = 70 Mpa ( 10 ksi) untuk penampang di rol = 115 Mpa (16.5 ksi) untuk penampang di las Untuk memberikan kontrol tambahan pada penampang nonkompak di daerah gempa, direkomendasikan untuk λp 52 direduksi menjadi λp = fy

• Didalam zona plastis, momen nominal adalah : Mn = Mp = fy Z • Di batas antara zona nonkompak dan lansing, momen adalah Mr = S (fy – fr)

Web Local Buckling (Tekuk Lokal Badan ) Mn = fy.Z

(

 λ − λp     r − λp 

) λ

Mn = M p − M p − M r 

Mp

Mr Tdk aplikabel Kompak

Tidak Kompak Lp

Plastis

Plate girder Lr

Inelastis

• Jika pelat badan profil adalah langsing dan berperilaku elastis, maka elemen batang didesain sesuai aturan plate girder.

Untuk penampang I,batas dari plastis (penampang kompak) : λp = λp =

1680 fy 640 fy

⇒ fy = Mpa

(SNI 03-1729-2002 tabel 7.5-1)

⇒ fy = ksi

dan batas untuk daerah inelastis (penampang non kompak) :

λr = λr =

2550 fy 970 fy

⇒ fy = Mpa

(SNI 03-1729-2002 tabel 7.5-1)

⇒ fy = ksi

Di batas antara inelastis dan perilaku elastis, momen nominal adalah : Mn = Mr = S.fy Baik untuk tekuk sayap maupun tekuk badan, hubungan antara λ dan Mn dalam daerah inelastis adalah linear, sehingga Mn dapat secara mudah dikalkulasi sebagai berikut : λp < λ ≤ λ r  λ − λp   Mn = M p − (M p − M r )   λr − λ p 

Lateral Torsional Buckling (Tekuk Torsi Lateral )

Mn = fy.Z



 L − L p   ≤ M p   r − L p 

(

) L

Mn = C b  M p − M p − M r 



Mp

π

2

 πE  Mn = C b EI y GJ +   I yIw L  L 

Mr

Lp Plastis, Tidak ada

Lr Inelastis

instabilitas

LTB

Elastis LTB

Balok pendek kompak tertopang lateral : L < Lp • Saat panjang tak tersupport (unbraced length) L dari sayap terkompresi adalah kurang dari Lp maka momen nominal diambil sebesar Mp dan analisis plastis diperbolehkan. Mn = Mp (SNI 03-1729-2002 pers. 8.3-2a) dimana : Z ≤ 1. 5 Mp = fy Z ≤ 1.5 My ⇒ fy Z ≤ 1.5 fy S atau S Daerah plastis dibatasi dari kondisi balok dengan pengaku penuh terhadap tekuk lateral torsi , L = 0, sampai dengan pengaku yang didefinisikan dengan Lp. Balok bentang menengah : Lp ≤ L ≤ Lr • Pada masa inelastis ini, hubungan antara kekuatan nominal Mn dengan panjang tak berpengaku (unbraced length) L adalah linier seperti pada gambar.  (L − L )  M n = C b  M r + (M p − M r ) r ≤Mp ( ) L L −  r p  

(SNI 03-1729-2002 pers. 8.3-2b)

Balok bentang panjang : Lr ≤ L • Dalam kondisi ini (Lr ≤ L ) perilaku yang terjadi adalah elastis. • Jika momen adalah lebih besar dari titik leleh pertama (M > My ⇒ Lp ≤ L ≤ Lr), maka kekuatan adalah berdasar perilaku inelastis. Momen pada titik leleh pertama, Mr adalah : Mr = (fyf – fr ) Sx fyf = tegangan leleh pda sayap fr = tegangan residu • Dalam kasus profil nonhibrid, maka tegangan leleh pada sayap sama dengan tegangan leleh pada badan , fyf = fyw = fy , sehingga : Mr = (fy – fr ) Sx • Kekuatan nominal desain Mn pada fase elastis ini adalah :

M n = M cr ≤ M p

(SNI 03-1729-2002 pers. 8.3-2c)

Momen kritis untuk tekuk lateral : • Mcr =

2

π

 πE  Cb EI y GJ +   I yIw L L  

• Mcr = Cb E JA

L / ry

⇒ profil I dan kanal ganda ⇒ profil kotak pejal / berongga

Besar koefisien Cb , Lp , Lr dan Mcr dapat dilihat pada pasal 8.3 SNI 03-1729-2002 Bentang untuk pengekangan lateral untuk profil I : • Panjang tak berpengaku batas antara plastis dan inelastis

L p = 300ry

; E dan fy dalam Mpa

E fy

L p = 1,76ry

; E dan fy dalam ksi

E fy

Iy

dimana ry =

(SNI 03-1729-2002 pers. 8.3-2b) (AISC)

= jari-jari girasi terhadap sumbu lemah. • Panjang tak berpengaku batas antara inelastis dan elastis A

X  Lr = ry  1  1 + 1 + X 2 f L2  fL 

dengan : fL = fy – fr X1 = X2 =

π S

EGJA 2 2

 S  Iw 4   GJ  I y

• Panjang bentang L (dalam referensi lain diberi notasi Lb untuk membedakan dengan panjang sesungguhnya bentang L) yang dibandingkan dengan Lp dan Lr , haruslah panjang elemen yang tidak diberi pengaku (unbraced length).

Faktor distribusi momen : C b =

2.5M max

dimana : • Mmax = nilai absolut dari momen maksimum sepanjang bentang (unbraced length) termasuk titik ujung. • Ma = nilai absolut dari momen di ¼ bentang (unbraced length) • Mb = nilai absolut dari momen di ½ bentang (unbraced length) • Mc = nilai absolut dari momen di ¾ bentang (unbraced length)

12.5M max + 3M A + 4 M B + 3M C

Jika momen lentur adalah seragam, maka harga Cb adalah Cb =

12.5M = 1.0 2.5 M + 3M + 4 M + 3M

Gambar disamping menunjukkan harga Cb untuk beberapa kasus umum dan penumpu lateral.

Untuk balok kantilever tak terkekang, AISC mengatur harga Cb sebesar 1.0. Harga 1.0 selalu konservatif , terlepas dari konfigurasi beban pada balok, tapi dalam beberapa kasus bisa menjadi terlalu konservatif.

Contoh Kasus Lentur

Contoh Soal Sebuah balok yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini adalah baja A36 W16X31. Balok tersebut mendukung suatu pelat lantai beton bertulang yang mendukung beban lateral pada sayap profil yang tertekan. Beban mati, yang mencakup berat sendiri balok, adalah 500 lb/ft. beban hidup adalah 550 lb/ft. Hitunglah momen yang cukup untuk menahan beban pada balok tersebut.

Jawab : Untuk gelagar sederhana, dengan beban merata, momen maksimum yang terjadi adalah :

M

maks

1 = wL 8

2

dimana w adalah beban merata setiap satuan panjang, dan L adalah panjang bentang.

Sehingga :

M M

D

L

1 1 2 = w D L = (0 . 500 8 8 =

1 1 (0 . 550 w l L2 = 8 8

) 30 2 ) 30

2

= 56 . 25 ft − kips = 61 . 88 ft − kips

karena beban mati lebih kecil dari 8 kali beban hidup, maka control kombinasi beban A4-2 :

M u = 1 .2 M L + 1 .6 M D = 1 .2 (56 .25 ) + 1 .6 (61 .88 ) = 166 ft − kips kemungkinannya beban dapat difaktorkan sebagai berikut :

wu = 1 .2 w L + 1 .6 w D = 1 .2 (0 .500 ) + 1 .6 (0 .550 ) = 166 ft − kips 1 1 2 2 M u = wu L = 1 .480 (30 ) = 166 ft − kips 8 8

cek :

bf 2t f

= 6 .3

65 = Fy

65 = 10 . 8 > 6 . 3 ……batang tersebut dapat digunakan 36

h 640 < tw Fy W16 x 31 adalah yang sesuai dari mutu baja A36 Karena balok mampu menahan beban lateral,maka :

M n = M p = Fy Z x = 36(54.0) = 1944 in − kips = 162.0 ft − kips

Cek Mp < 1.5My :

Z x 54.0 = = 1.14 < 1.5 S x 47.2

φb M n = 0.90(162.0) = 146 ft − kips < 166 ft − kips Karena nilai momen lebih kecil daripada momen terfaktor, maka . profil W16 x 31 tidak dapat digunakan

Kontrol Geser

Tegangan Geser Syarat gaya geser pada balok, dapat dinyatakan sebagai berikut : Vu < φv. . Vn Dimana : Vu = gaya geser max. akibat pembebanan terfaktor φv = faktor resistensi geser = 0.90 Vn = gaya geser nominal Berdasarkan ilmu kekuatan bahan, tegangan geser pada balok dapat ditentukan dari rumus : V .Q fv = I .t dimana : fv = tegangan geser (ksi) V = gaya geser (kips) Q = statis momen (in3) I = momen inersia (in4) t = jarak (in)

Gambar 4.5

Vn = 0.60 Fy Aw

Jika :

fv =

Maka :

Vn = 0.60 Fy Aw

Dengan : Aw = luas badan

Jika :

fv =

Vn = 0.60 Fy Aw

Maka : Jika :

523 Fy

Maka :

Vn = 0.60 . Fy . Aw Dengan : Aw = luas badan <

h ≤ 260 tw

Vn =

132000  h    t  w 

Aw 2

Elastic web buckling

Daerah Geser

Untuk menganalisa keruntuhan akibat adanya daerah geser, AISC memberikan formula sebagai berikut: φ . Rn = φ [ 0,6 . Fy . Agv + Fu . Ant ] dimana :

φ . Rn = φ [ 0,6 . Fu . Anv + Fy . Agt ] φ = 0,75 Agv = luas kotor penampang geser (panjang AB) Anv = luas bersih penampang geser Agt = luas kotor penampang tarik Ant = luas bersih penampang tarik

Lendutan (Defleksi) Apabila suatu beban menyebabkan timbulnya lentur, maka balok pasti akan mengalami defleksi atau lendutan seperti pada gambar 4.7 berikut.

Defleksi vertikal max yang terjadi

5 WL ∆ = 384 EI

4

Pembatasan defleksi didasarkan atas peraturan maupun spesifikasi yang dinyatakan secara garis besar.

Kriteria defleksi didasarkan atas limit max tertentu yang tidak boleh dilampaui. Ini biasanya dinyatakan dalam fraksi dari panjang bentang balok.

L 360 L 240 L 180

untuk balok yang memikul plafon plesteran

untuk lantai yang memikul plafon plesteran

untuk atap yang tidak memikul plafon plesteran