Bai Toan Min Max

Môn Toán

www.truongthi.com.vn

BÀI TOÁN MAX, MIN Cho mặt phẳng P: Ax + By, Cz + D = 0 và hai điểm A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Tìm điểm NM trên mặt phẳng P sao cho. a) NA + NB min b) MA − MB max Phương pháp chung: a) Nếu A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P), thì N cần tìm chính là giao của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Nếu A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P), thì lấy A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), và điểm N cần tìm là giao của A’B với mặt phẳng (P). b) Nếu A, B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P), thì điểm M cần tìm (nếu có) là giao của AB với mặt phẳng (P). Nếu A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P), thì lấy A’ đối xứng với A qua (P), và M cần tìm chính là giao của A’B với mặt phẳng (P). Nhận xét: +) Nếu khoảng cách từ A và từ B đến mặt phẳng (P) khác nhau, thì có duy nhất một điểm M thỏa mãn điều kiện bài toán. +) Nếu khoảng cách từ A và từ B đến (P) bằng nhau và khác không, thì bài toán vô nghiệm. +) Nếu A, B nằm trong mặt phẳng (P) thì vô số nghiệm. áp dụng (Đại học Quốc gia Hà Nội  Khối B  2000). Cho mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và hai điểm A(1, -3, 0), B(5, -1, -2). a) Chứng tỏ rằng đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I thuộc đoạn AB. Tìm tọa độ điểm I. b) Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho MA − MB max. Lời giải. a) Thay tọa độ điểm A, B vào vế trái phương trình của (P), ta có: f(A) = 1 – 3 – 1 = - 3 < 0 f(B) = 5 – 1 – 2 – 1 = 1 > 0 Chứng tỏ A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P). Như vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I nằm trên đoạn AB. Có thể làm cách khác như sau: AB (4, 2, -2)

 x = 1 + 4t  Xét phương trình đường thẳng AB:  y = −3 + 2t  z = −2t  Ta có (AB) ∩ (P) = I, I có tọa độ thỏa mãn:

2

1

Môn Toán

www.truongthi.com.vn (1 + 4t) + (-3 + 2t) - 2t - 1 = 0 ⇒ 4t - 3 = 0 ⇒t=

3 , tọa độ I 4

 

Ta có IA  − 3;−

3 3   4, − 2 , − 2  .  

3 3  1 1 ;  ; IB 1; ;−  2 2  2 2

Do đó IA = -3 . IB và I nằm trên đoạn AB. b) Gọi A là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P). Ta tìm tọa độ của A’. Xét đường thẳng (d) qua A và (d) vuông góc với (P), Phương trình (d) có dạng:

x = 1 + t   y = −3 + t z = t  (d) × (P) tại H, thì H là trung điểm của AA’. Tìm tọa độ H: 3t - 3 = 0 ⇒ t = 1 H (2, - 2, 1). Gọi A’ (x, y, z) thì x+1=4⇒x=3 y-3=-4⇒y=-1 z = 2, A’ (3, -1, 2). Điểm M cần tìm là giao của A’B với mặt phẳng (P). Ta có A’B (2, 0, -4) // U (1, 0, -2). Phương trình A’B có dạng

x = 3 + s   y = −1  z = 2 − 2s  M = (A’B) × (P); Điểm M ứng với tham số s thỏa mãn phương trình: (3 + s) - 1 + (2 – 2s) - 1= 0 ⇒ s = 3 và M (6, -1, -4).

4

2