Max Min

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT(max) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT(min) CỦA HÀM SỐ I.Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x ) D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = min f ( x ) D

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP. 1.Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị cùa hàm số y = f ( x ) liên tục trên một đoạn [ a; b ] Định lí : Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) liên tục trên

đoạn [ a; b ] + Qui tắc B1: Tìm các điểm xi ∈ ( a; b ) mà f ' ( xi ) = 0 hoặc f ' ( xi ) không xác định. B2: Tính f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) B3: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ a; b ] là :

max y = max { f ( a ) , f ( b ) , f ( xi )} [ a ;b ]

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a; b ] là : min y = min { f ( a ) , f ( b ) , f ( xi )} [ a ;b]

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x 4 − 3x 2 + 2 trên đoạn [ 2;5] Giải Ta có f ( x ) liên tục trên [ 2;5] f ' ( x ) = 4 x3 − 6 x = x ( 4 x 2 − 6 )

Võ Tiến Trình

1

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 ⎡ ⎢x = 0 ⎢ 6 f '( x) = 0 ⇔ ⎢ x = ⎢ 2 ⎢ ⎢x = − 6 ⎢⎣ 2 6 6 ,− ∉ ( 2,5 ) 2 2 Tính f ( 2 ) = 6, f ( 5 ) = 552

Ta có 0,

Tứ đó: max f ( x ) = 552 tại x = 5 , min f ( x ) = 6 tại x = 2 [ 2;5]

[ 2;5]

⎡ π⎤ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên ⎢ 0; ⎥ ⎣ 2⎦ sin x − 3cos x + 1 y= cos x + sin x + 1 Giải ⎧ x ≠ ( 2k + 1) π ⎪ Hàm số có nghĩa ⇔ sin x + cos x ≠ −1 ⇔ ⎨ (k ∈ Z) π π ≠ − + 2 x k ⎪ ⎩ 2 ⎡ π⎤ Vậy hàm số xác định trên ⎢ 0; ⎥ ⎣ 2⎦ sin x − 3cos x + 1 4 cos x y= = 1− cos x + sin x + 1 cos x + sin x + 1 4 (1 + sin x ) ⎡ π⎤ > 0 ∀x ∈ ⎢ 0; ⎥ y'= 2 ⎣ 2⎦ ( cos x + sin x + 1) ⎛π ⎞ Tính y ( 0 ) = −1, y ⎜ ⎟ = 1 ⎝2⎠

Vậy max y = 1 tại x = ⎡ π⎤ ⎢0; 2 ⎥ ⎣ ⎦

π

2

,

min y = −1 tại x = 0 ⎡ π⎤ ⎢ 0; 2 ⎥ ⎣ ⎦

Bài tập: Tìm giá trị lờn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1 a) f ( x ) = x3 − 5 x 2 + 9 x + 7 trên đoạn [ −2; 7 ] 3 trên đoạn [ 0;5] b) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 c ) f ( x ) = −3 x 2 + 4 x − 8

trên đoạn [ 0;1]

d ) f ( x ) = x 4 − 3x 2 + 2

trên đoạn [ 0;5]

Võ Tiến Trình

2

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 e) f ( x ) = x 6 + 4 (1 − x 2 )

trên đoạn [ −1;1]

3

ln 2 x f ) f ( x) = x

trên đoạn ⎡1; e 3 ⎤ ⎣ ⎦

h) f ( x ) = sin 2 x − x

⎡ π π⎤ trên đoạn ⎢ − ; ⎥ ⎣ 2 2⎦

x 2 − 3x + 1 g) f ( x) = x +1

trên đoạn [1; 4 ] ⎡ π π⎤ trên đoạn ⎢ − ; ⎥ ⎣ 4 4⎦

h) f ( x ) = 5cos x − cos 5 x

x +1

i) f ( x ) =

trên đoạn [ −1; 2 ]

x2 + 1 1 j) f ( x ) = sin x

⎡ π 5π ⎤ trên đoạn ⎢ ; ⎥ ⎣3 6 ⎦ ⎡ 3π ⎤ trên đoạn ⎢ 0; ⎥ ⎣ 2 ⎦

k ) f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x

2.Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một khoảng. Phương pháp + hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng ( a; b ) , ta xét hai trường hợp

TH 1:

x

y'

y

a

+

0

-

GTLN

TH 2:

Võ Tiến Trình

b

x0

3

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

x

a

y'

b

x0 -

0

+

y GTNN

(Trong đó f ' ( x0 ) bằng 0 hoặc f ' ( x0 ) không xác định tại x0 )

Ví dụ 3: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R , hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. Giải Gọi h là chiều cao của hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R. ( 0 < h < 2 R )

r là bán kính đáy của hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R . Thể tích hình trụ là: V = π r 2 h 2 ⎛ ⎛ h2 h2 ⎞ h3 ⎞ ⎛h⎞ nên V = π ⎜ R 2 − ⎟ h = π ⎜ R 2 h − ⎟ Ta có: r 2 = R 2 − ⎜ ⎟ = R 2 − 4 4⎠ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝ Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ⎛ h3 ⎞ V ( h ) = π ⎜ R 2 h − ⎟ , h ∈ ( 0; 2 R ) 4⎠ ⎝ Ta có hàm số liên tục trên [ 0; 2R ]

2R ⎡ ∈ ( 0; 2 R ) h= ⎢ ⎛ 2 3h ⎞ 3 V '(h) = π ⎜ R − ⎟ , V '(h) = 0 ⇔ ⎢ 2R 4 ⎠ ⎢ ⎝ ⎢ h = − 3 ∉ ( 0; 2 R ) ⎣ ⎛ 2 R ⎞ 4π R 3 Tính V ( 0 ) = 0, V ( 2 R ) = 0, V ⎜ ⎟= ⎝ 3⎠ 3 3 2

Võ Tiến Trình

4

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

h

2R 3

0

V'

+

2R

0

-

4π R 3 3 3

V

0

0

4π R 3 2R tại h = Ta có: max V ( h ) = o R ;2 ( ) 3 3 3 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng 2R 4π R 3 . Và thể tích lớn nhất là 3 3 3

Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1 ⎛ π 3π ⎞ trên khoảng ⎜ ; ⎟ a) y = cos x ⎝2 2 ⎠ 1 b) y = trên khoảng ( 0; π ) sin x cos x + 2sin x + 3 trên khoảng ( −π ; π ) c) y = 2 cos x − sin x + 4 Bài 2: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi a m , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Bài 3: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích a m 2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Bài 4: Cho số dương m hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. Bài 5: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a ( a > 0 ) .

Bài 6: Trong các tam giác nột tiếp đường tròn bán kính R . Tìm tam giác có diện tích lớn nhất. 3.Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định của nó. Phương pháp: + Tìm tập xác định, dựa vào tập xác định chuyển về bài toán 1 và bài toán 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Võ Tiến Trình

5

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

y = x − 6 + 10 − x Giải ⎧x − 6 ≥ 0 Hàm số có nghĩa ⇔ ⎨ ⇔ 6 ≤ x ≤ 10 ⎩10 − x ≥ 0

Tập xác định: D = [ 6;10] y'=

1 1 1 1 − =0 , y'= 0 ⇔ − 2 x − 6 2 10 − x 2 x − 6 2 10 − x ⇔ x − 6 = 10 − x ⇔ x = 8 ∈ ( 6;10 )

Tính y ( 6 ) = 2, y ( 8 ) = 2 2, y (10 ) = 2 Vậy max y = 2 2 tại x = 8 , min y = 2 tại x = 6 hoặc x = 10 [6;10]

[6;10]

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: x y= 4 + x2 Giải Tập xác định: D = \ ⎡x = 2 4 − x2 4 − x2 y ' 0 y'= , = ⇔ =0⇔⎢ 2 2 4+ x 4+ x ⎣ x = −2 lim y = 0, lim y = 0 x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên

x

−∞

y'

y

−2 0

-

0

−

Ta có: max y = \

0

+ 1 4

1 4

1 1 tại x = 2 , min y = − tại x = −2 \ 4 4

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) f ( x ) = x − 4 + 12 − x

b) f ( x ) = x + 4 − x 2 Võ Tiến Trình

+∞

2

6

-

0

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

c) f ( x ) = x + 16 − x 2 x2 x2 − 5x + 7 2x +1 e) y = 2 3x + 2 x + 1

d) y =

4.Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên

[ a; b] Phương pháp:

B1: Tìm các điểm xi ∈ ( a; b ) mà f ' ( xi ) = 0 hoặc f ' ( xi ) không xác định. B2: Tính f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) B3: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ a; b ] là :

{

max y = max f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) [ a ;b]

}

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a; b ] là :

{

min y = min f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) [ a ;b]

}

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 − 12 x + 10 trên

[ −3;3] Giải Ta có f ( x ) = 2 x − 3x − 12 x + 10 liên tục trên đoạn [ −3;3] 3

2

f ' ( x ) = 6 x 3 − 6 x − 12

⎡ x = −1 f ' ( x ) = 0 ⇔ 6 x 2 − 6 x − 12 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x = 2 x = −1, x = 2 ∈ ( −3;3) Tính

f ( −3) = −35 = 35,

f ( −1) = 17 = 17

f ( 2 ) = −10 = 10,

f ( 3) = 1 = 1

Vậy max y = 35 tại x = −3 , [ −3;3]

min y = 1 tại x = 3 [ −3;3]

Bài tập a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 2

trên đoạn [ −10;10]

b) f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x

trên đoạn [ −4;6]

c) f ( x ) =

1 3 x − 5x2 + 9 x + 7 3

Võ Tiến Trình

trên đoạn [ −2;7 ]

7

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

d) f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x + 35

trên đoạn [ 0;5]

e) f ( x ) = −3x 2 + 4 x − 8

trên đoạn [ 0;1]

f) f ( x ) = x 4 − 3 x 2 + 2

trên đoạn [ 0;5]

5.Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức T ( x, y ) , với

x, y thỏa điều kiện cho trước . Phương pháp: + Sử dụng điều kiện đề đưa T ( x, y ) về hàm số f ( x ) (hay f ( y ) ) + Dùng phương pháp giải của một trong các bài tóan trên để giải. Ví dụ 7: Cho hai số thực không âm x, y : x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất x y + của biểu thức sau: A = 1+ y 1+ x Giải Từ điều kiện của bài ta có: 0 ≤ x, y ≤ 1 Từ x + y = 1 ⇒ y = 1 − x thay vào biểu thức A ta được:

x 1 − x 2 x2 − 2 x + 2 + = 2 − x 1 + x − x2 + x + 2 Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x2 − 2x + 2 trên [ 0;1] f ( x) = − x2 + x + 2 Lúc này trở về bài toán 1. Hàm số xác định trên [ 0;1] A=

f '( x) =

6 ( 2 x − 1)

(−x

2

+ x + 2)

2

1 , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ∈ ( 0;1) 2

⎛1⎞ 2 Tính f ( 0 ) = 1, f ⎜ ⎟ = , f (1) = 1 ⎝2⎠ 3 2 1 tại x = [0;1] [0;1] 3 2 2 2 Ví dụ 8: Cho hai số thực x, y : x + y = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Vậy max A = max f ( x ) = 1 tại x = 0 hoặc x = 1 , min A = min f ( x ) =

biểu thức

B=

2 xy + y 2 2 x 2 + 2 xy + 1

Giải Nếu y = 0, B = 0

Võ Tiến Trình

8

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11 ⎡ ⎛ x⎞ ⎤ y 2 ⎢ 2 ⎜ ⎟ + 1⎥ ⎣ ⎝ y⎠ ⎦

⎛ x⎞ 2⎜ ⎟ +1 2 xy + y ⎝ y⎠ = = Xét y ≠ 0 , ta có B = 2 2 2 x + 2 xy + 1 ⎡ ⎛ x ⎞2 ⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎛ x⎞ ⎤ 2 y ⎢3 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ + 1⎥ 3 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ + 1 ⎝ y⎠ ⎝ y⎠ ⎝ y ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ y ⎠ x 2t + 1 Đặt t = ta có f ( t ) = 2 y 3t + 2t +1 2

f ' (t ) =

−6t 2 − 6t

( 3t

2

+ 2t + 1)

2

⎡t = 0 f ' (t ) = 0 ⇔ ⎢ ⎣ t = −1 lim f ( t ) = 0, lim f ( t ) = 0

t →−∞

t →+∞

Ta có bảng biến thiên.

t

−∞

f ' (t )

−1 -

0

+∞

0

+

0

-

1 f (t )

Vậy

0

−

1 2

0

max B = max f ( t ) = 1

⎧ x2 + y 2 = 1 ⎧x = 0 ⎧x = 0 ⎪ Giá trị lớn nhất đạt tại ⎨ x ⇔⎨ ∨⎨ = 0 y = 1 ⎩ ⎩ y = −1 ⎪y ⎩ 1 min B = min f ( t ) = − 2 1 1 ⎧ ⎧ = x − ⎧ x2 + y 2 = 1 ⎪ x = ⎪⎪ ⎪ ⎪ 2 2 Giá trị nhỏ nhất đạt tại ⎨ x ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −1 ⎪y = − 1 ⎪y = 1 ⎩ ⎪⎩ 2 ⎪⎩ 2 Bài tập 1. Cho hai số thực x, y : x 2 + y 2 = 1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau:

x 2 − xy + y 2 a) A = 2 2 x + xy + y 2 − 1

Võ Tiến Trình

9

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

b) P =

2 ( x 2 + 6 xy ) 1 + 2 xy + 2 y 2

( TSĐH B_2008)

2. Cho hai số thực không âm x, y : x + y = 1 . Tìm GTLN và GTNN a) B = 3x + 3 y b) C = x 4 + y 4 4 x

c) D = +

Võ Tiến Trình

1 4y

10