Bai 3 Cua Ban Giaythuytinh176

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

( ) • Hàm số f ( x ) xác ñịnh và có liên tục khoảng (a;b ) . •

( )

( )

Hàm số f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn a;b  thì f ' x xác ñịnh trên khoảng a;b .

)

(

( )

trên nửa ñoạn a;b hay a;b  thì f ' x xác ñịnh trên

• Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước .

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} ( )

• max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b 

•

x ∈a ;b 

x ∈a ;b 

1

x ∈a ;b 

2

i

( ) ( ) ( ) ( )

∀x ∈ D, f x ≤ M • M = max f x ⇔  x ∈D ∃x 0 ∈ D, f x 0 = M ∀x ∈ D, f x ≥ m • m = min f x ⇔  x ∈D ∃x 0 ∈ D, f x 0 = m

( )

( )

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Chứng minh rằng :

1 3(1 + 2)

+

1 5( 2 + 3)

+

1 7( 3 + 4)

1

+ ... +

4003( 2001 + 2002)

Giải : Xét :

1 (2n + 1)( n + n + 1)

=

( n + 1 − n) 4n 2 + 4n + 1

<

n +1 − n 2 n(n + 1)

=

1 1 1  −   2 n n +1

1 1 1 1 1 1  1 1  + − + ... + − 1 −  = 1 −  2 3 3 5 n n  2 n +1 2 2 2 n 2Sn < 1 − <1− =1− ⇒ Sn < 2 2(n + 2) n +2 4n + 4 n + 4n + 4

Vậy : Sn <

n = 2001 ⇒ 2S 2001 < 1 −

2 2001 2001 = ⇒ S 2001 < 2003 2003 4006

77

<

2001 4006

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Ví dụ 2: Cho x 1, x 2, x 3, x 4 ..., x 2008 thoả mãn x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 Giải : Vận dụng bất ñẳng thức a − b ≥ a − b . Dấu " = " xảy ra khi ab ≥ 0

 x1 − 1 ≥ x1 − 1   x2 − 1 ≥ x2 − 1  ....................... x − 1 ≥ x 2008 − 1  2008 ⇒ E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 ≥ x 1 + x 2 + ... + x 2008 − 1
 + 1  + ... +1 2008 so 1

Hay E ≥ 2009 − 2008 = 1 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0 Dấu " = " xảy ra khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0 Vậy min E = 1 khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P (x , y ) = x + y − 2x + 2y + 7 . 2

2

Giải : Ta có P (x , y ) = (x − 1) + (y + 1) + 5 ≥ 5 ∀x , y ∈ ℝ 2

2

x = 1

Dấu " = " xảy ra khi 

y = 1

( ) ( )

Vậy min P (x , y ) = 5 khi x , y = 1;1 Ví dụ 4:

Cho 2x + 2y − z − 9 = 0 . Tìm GTNN của biểu thức P = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) . 2

78

2

2

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Giải :

(

)

Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm A 1;2; 3 và mặt phẳng

(

) (α ) thì

Nếu M x ; y; z ∈

Mà AM ≥ d (A; α ) =

(α ) : 2x + 2y − z − 9 = 0

AM 2 = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2

2+4−3−9

= 2 nên P = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2 ≥ 4 .

4 + 4 +1 Dấu " = " xảy ra khi M x ; y; z là chân ñường vuông góc hạ từ A 1;2; 3 lên mặt phẳng α .

(

)

(

Vậy min P = 4 . Ví dụ 5: Tìm GTNNcủa biểu thức x 2 + 3x + 5 A= ,x ≠ 1 (x − 1)2

B=

3x 2 − 8x + 6 (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1

N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ

Giải :

x 2 + 3x + 5 ,x ≠ 1 A= (x − 1)2 A=

(x 2 − 2x + 1) + 5.(x − 1) + 9 5 9 =1+ + 2 x − 1 (x − 1)2 (x − 1)

ðặt t =

1 ,t ≠ 0 x −1 2

 5  11 11 A = 1 + t + 9t =  3t +  + ≥ 6 6 6  5 1 5 13 =− ⇔x =− Dấu " = " xảy ra khi t = − ⇔ 8 x −1 8 5 2

3x 2 − 8x + 6 (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1 3(x 2 − 2x + 1) − 2(x − 1) + 1 2 1 B= =3− + 2 x − 1 (x − 1)2 (x − 1)

B=

79

)

( )

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ ðặt t =

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

1 ,t ≠ 0 x −1

(

)

2

B = 3 − 2t + t 2 = t − 1 + 2 ≥ 2

Dấu " = " xảy ra khi t = 1 ⇔ Vậy min B = 2 khi x = 2

1 =1⇔x =2 x −1

N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . Cách 1 : 2 2 2   1  3  1  3  N = x +  +   + x −  +   2   2  2   2   

2

2

2 2   1   3 1  3 N =  x − (− )  +  0 − (−  + x −  +  0 −  2   2  2   2   

2

 1 − 3  1 3  ,B  ,  ,C x , 0 Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm A  − ,  2 2  2 2      Dựa vào hình vẽ ta có N = AC + CB ≥ AB

( )

AC = x 2 + x + 1 , BC = x 2 − x + 1 Mà 2

2 1 1  3 3 AB =  +  +  +  = 2 ⇒ AB = 2 2   2 2   2

Dấu " = " xảy ra khi A, B,C thẳng hàng , hay x = 0 , nghĩa là C ≡ O Vậy min N = 2 khi x = 0

Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ :       a + b ≥ a +b ⇒ N ≥ a +b

80

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

  Chọn : a =  −x +     a + b = (1; 3) ⇒

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

    1 3 1 3  ⇒ a = x 2 − x + 1, b =  x + ;  ⇒ b = x2 + x + 1 ;  2 2  2 2     2 a + b = 12 + 3 = 2 ⇒ N ≥ 2

( )

  Dấu " = " xảy ra khi a = b ⇔ x = 0 Vậy min N = 2 khi x = 0

Cách 3: Do N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân .

(

)(

)

Ta có : N ≥ 2 4 x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 = 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2, x ∈ ℝ

x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1 Dấu " = " xảy ra khi  4 ⇔x =0 2 x x 1 1 + + =  Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 4: x 2 − x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vì  2 ⇒ N ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ N 2 = 2 x 2 + 1 + 2 x 4 + x 2 + 1 x + x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ x 2 + 1 ≥ 1 . ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi x = 0 , nên N 2 ≥ 4 ⇒ N ≥ 2 Do  4 2 x + x + 1 ≥ 1 Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 5:

(

)

( )

Dễ thấy N = f x = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ .

( )

( )

( )

( )

Với ∀x 1 > x 2 > 0 , ta có f x 1 > 0, f x 2 > 0 nên dấu của f x 1 − f x 2 cũng là dấu của

( ) ( ) (x ) − f (x ) == 2 (x

f 2 x1 − f 2 x 2 f2

2

1

2

2 1

)

− x 22 + 2

(

)

x 14 + x 12 + 1 − x 24 + x 22 + 1 .

x 12 > x 22 > 0 nên f 2 x 1 − f 2 x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0 Vì x 1 > x 2 > 0 ⇒  4 2 4 2  x 1 + x 1 + 1 ≥ x 2 + x 2 + 1

( )

( )

( )

( )

Suy ra f x 1 − f x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0

( )

( )

()

Với x > 0 thì hàm số f x luôn ñồng biến và x < 0 thì hàm số f x luôn nghịch biến và f 0 = 2

( )

Vậy f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại x = 0 . Do ñó min N = 2 khi x = 0 .

81

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Ví dụ 6: Tìm GTLN và NN của biểu thức

Giải :

Ví dụ 7: Tìm GTLNcủa biểu thức

3x 2 + 6x + 10 x 2 + 2x + 2 x M = ,x > 0 (x + 2000)2 A=

Giải :

3x 2 + 6x + 10 4 4 A= 2 =3+ 2 = 3+ ≤7 x + 2x + 2 x + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 Dấu " = " xảy ra khi (x + 1) = 0 ⇔ x = −1 2

Vậy max A = 7 khi x = −1

M =

x ,x > 0 (x + 2000)2

1 → min M 1 x 2 + 2x .2000 + 20002 x 2 − 2.2000x + 20002 + 4.2000x 2 1 = (x + 2000) . = = M x x x

Vì x > 0 nên M > 0 .Do ñó M → max ⇔

1 (x − 2000)2 = + 8000 ≥ 8000 M x 82

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Dấu " = " xảy ra khi x = 2000

1 1 = 8000 → max M = M 8000 1 khi x = 2000 Vậy max M = 8000 min

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2x 2 + 10x + 3 A= ,x ∈ ℝ 3x 2 + 2x + 1 12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 Giải :

2x 2 + 10x + 3 , ∀x ∈ ℝ ⇔ 3A − 2 x 2 + A − 5 x + A − 3 = 0, ∀x ∈ ℝ * 2 3x + 2x + 1 2 • 3A − 2 = 0 ⇔ A = , ∀x ∈ ℝ 3 2 • 3A − 2 ≠ 0 ⇔ A ≠ , ∀x ∈ ℝ phương trình * là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương 3 2 5 trình * có nghiệm nếu ∆ = A − 5 − 4 3A − 2 A − 3 ≥ 0 ⇔ ≤ A ≤ 7 2 5 Vậy max A = 7, min A = 2

(

A=

)

(

)

()

()

()

(

)

(

)(

)

12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 −π π <x < 2 2 4 2 3 tan u + 4 tan u + 3

ðặt tan u = x 2,

A = g (u ) =

(1 + tan2 u )2

Vì 0 ≤ sin2 2u ≤ 1 ⇒

=

3 cos4 u + 4 sin2 u cos2 u + 3 sin 4 u sin2 2u = − 3 2 (sin2 u + cos2 u )2

 5 5 min g(u ) = ≤ g (u ) ≤ 3 ⇒  2 ⇒ 2 max g(u ) = 3 

 5 min B = 2  max B = 3 

Ví dụ 9: Cho x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T = xy + yz + zx . 2

2

2

Giải : 83

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Ta có (x + y + z ) ≥ 0 ⇒ x + y + z + 2(xy + yz + zx ) ≥ 0 hay 1 + 2T ≥ 0 ⇔ T ≥ − 2

2

2

2

Dấu " = " xảy ra chẳng hạn khi x = 0; y = Vậy minT = −

1 chẳng hạn khi x = 0; y = 2

1

;z = −

2 1

2

1 2

1

;z = −

2 1 2

(x − y )2 ≥ 0  2 2 2 2 Mặt khác (y − z ) ≥ 0 ⇒ 2(x + y + z ) ≥ 2(xy + yz + zx ) hay 2 ≥ 2T ⇔ T ≤ 1 (z − x )2 ≥ 0  3 3 3 Vậy max T = 1 khi x = y = z = ± 3 Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = ±

Ví dụ 10:

(

Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 , ta luôn có (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy

). 2

Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. x y + ≥ 1+x 1+y

2 xy (1 + x )(1 + y )

1 1 1 + ≥2 1+x 1+y (1 + x )(1 + y ) Cộng vế theo vế , ta ñược: 2≥

2 xy + 1 (1 + x )(1 + y )

⇔

xy + 1 (1 + x )(1 + y )

(

≤ 1 ⇔ (1 + xy ≤ (1 + x )(1 + y ) ⇔ (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy

Dấu " = " xảy ra khi x = y > 0 Ví dụ 11: Cho a ≥ 4 , chứng minh rằng : a +

1 17 ≥ a 4

. Giải :

84

)

2

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Ta có : a +

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

1 a 1 15a = + + a 16 a 16

Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương

a 1 và . 16 a

a 1 a 1 1 1 + ≥2 . =2 = 16 a 16 a 16 2 15a 15 15 Mà a ≥ 4 ⇒ ≥ .4 = 16 16 4 1 a 1 15a 17 + + ≥ Vậy : a + = a 16 a 16 4 Dấu " = " xảy ra khi a = 4 .

Ví dụ 12:

 1  1  1  729 Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 6 . Chứng minh rằng :  1 + 3   1 + 3   a + 3  ≥ . a  b  c  512  Giải :

  1 1  1  1 1 1  1 1 1  1 ðặt A =  1 + 3   1 + 3   1 + 3  = 1 +  3 + 3 + 3  +  3 3 + 3 3 + 3 3  + 3 3 3 a  b  c  b c  a b bc ac  abc  a Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược:  3 3 1 1  A ≥1+ + 2 2 2 + 3 3 3 = 1 +  abc a b c abc  abc 

3

3

1 1  a+b+c  ≥ Và abc ≤   = 8 ⇒ abc ≤ 8 ⇒ abc 8 3   3

 1 729 . Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 2 . Vậy : A ≥  1 +  = 8 512  4 Cho x > y ≥ 0 . Chứng minh rằng : x + ≥3 (x − y )(y + 1)2 Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 8 2x − 2y, y + 1, y + 1, (x − y )(y + 1)2

⇒ 2x − 2y + 2(y + 1) + ⇔ x +1+

8 8 ≥ 4 4 2(x − y )(y + 1)2 2 (x − y )(y + 1) (x − y )(y + 1)2

4 4 ≥4⇔x+ ≥3 2 (x − y )(y + 1) (x − y )(y + 1)2

85

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Dấu " = " xảy ra khi 2x − 2y = 2(y + 1) =

8 ⇔ x = 2; y = 1 (x − y )(y + 1)2

Ví dụ 13:

x − 2007 x − 2008 . + x +2 x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = Giải :

ðiều kiện : x ≥ 2008 . 2 a = x − 2007 ≥ 0  x + 2 = a + 2009 ⇒ , ta có : ðặt  x = b 2 + 2008 b = x − 2008 ≥ 0  a b 1 1 A= 2 + 2 = + 2009 2008 a + 2009 b + 2008 a+ b+ a b Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân 2009 2008 a+ ≥ 2 2009, b + ≥ 2 2008 a b 1 1 Do ñó A ≤ + 2 2009 2 2008  2009 2 2 a=  a = 2009 x = a + 2007 a Dấu " = " xảy ra khi  ⇔ 2 ⇒ ⇒ x = 4006 2 b = 2008 b = 2008 x = b + 2008  b 1 1 Vậy max A = + khi x = 4006 2 2009 2 2008 Ví dụ 14: Cho x , y > 0 thoả mãn x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức A =

1 1 + . 2 x +y xy 2

Giải :

1 1 4 + ≥ x y x +y 1 1 1 1 1 4 1 4 A= 2 + = 2 + + ≥ 2 + hay A ≥ 2 2 2 x +y xy x + y 2xy 2xy x + y + 2xy 2xy x +y

Với x , y > 0 ta luôn có

(

(x + y ) xy ⇒ xy ≤

2

Mặt khác x + y ≥ 2

4

=

1 4 86

)

2

+

1 xy

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Do ñó A ≥ 4 +

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

1 =6 1 2. 4

Vậy min A = 6 khi x = y =

1 2

Ví dụ 15: Cho x , y, z > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =

xyz . (x + y )(y + z )(z + x )

Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân

x + y ≥ 2 xy , y + z ≥ 2 yz , z + x ≥ 2 zx

(

)(

)(

)

⇒ x +y y +z z +x ≥ 8 ⇒M =

(xyz )

2

= 8xyz

xyz xyz 1 ≤ = (x + y )(y + z )(z + x ) 8xyz 8

Vậy max M =

1 khi x = y = z > 0 8

Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức A =

ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4 , a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ 2 abc

Giải :

c −2 a −3 b−4 + + c a b (c − 2).2 1 1 (c − 2) + 2 c c −2 1 (c − 2).2 ≤ c −2 = = = ⇒ ≤ 2 2 c 2 2 2 2 2 2 Dấu " = " xảy ra khi c − 2 = 2 ⇔ c = 4 . A=

Tương tự :

a −3 1 ≤ .Dấu " = " xảy ra khi a = 6 . a 2 3 b−4 1 1 ≤ = . Dấu " = " xảy ra khi b = 8 . b 2 4 4 87

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

1

Vậy min A =

1

+

2 2

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

+

2 3

1 khi a = 6, b = 8, c = 4 . 4

Ví dụ 17: Cho x , y, z > 0 thoả ñiều kiện x + y + z = 1 . Tìm GTLN của biểu thức Q =

x y z + + x +1 y +1 z +1

Giải :

1 1 1 9 + + ≥ x y z x +y +z x y z x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 1 1 Q= ) + + = + + = 3 −( + + x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 9 9 3 Q ≤ 3− =3− = x +1+y +1+z +1 4 4 1 Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 3 1 Vậy max Q = khi x = y = z = 4 3 x , y, z > 0 ⇒

Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3x − 1 a) f x = trên ñoạn 0;2  x −3 b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3 trên ñoạn  −3;2 

c)

( ) ( ) f (x ) = x ( )

d) f x =

6

(

+ 4 1 − x2

)

3

trên ñoạn  −1;1

3x 2 + 10x + 20 x 2 + 2x + 3

Giải :

3x − 1 , x ∈ 0;2  x −3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 0;2  . −8 < 0, ∀x ∈ 0;2  Ta có f ' x = 2 x −3

( )

a) f x =

( )

(

)

88

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Bảng biến thiên x f' x

0

( )

1 3

( )

f x

2

−

−5

( )

Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 0;2

1 khi x = 0 3

( )

min f x = −5 khi x = 2  0;2 

( )

b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3, x ∈  −3;2  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −3;2  .

( ) () ( )

x = −1, f −1 = 2  Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 0, f 0 = 3 x = 1, f −1 = 2 

( )

( )

( )

()

f −3 = 66, f 2 = 11

Bảng biến thiên x −3 −1 f' x − 0

( ) f (x )

+

66

0 0

1 − 0+

2

3

11

2 2 Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 66 khi x = −3  −3;2

(

( )

)

( )

( )

min f x = 2 khi x = −1, x = 1  −3;2 

3

c) f x = x 6 + 4 1 − x 2 , x ∈  −1;1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −1;1 .

ðặt t = x 2 , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1

()

(

)

()

3

(

Hàm số ñã cho viết lại f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 và f ' t = 3t 2 − 12 1 − t

 2 2 4 t = , f   = f' t =0⇔ 3 3 9 t = 2 

()

()

()

f 0 = 4, f 1 = 1 Bảng biến thiên

89

)

2

(

= 3 −3t 2 + 8t − 4

)

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ 2 3

0

x

( ) f (x )

−

f' x

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 1

+

0

4

1 4 9

( )

Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 4 khi x = 0  −1;1

( )

min f x =  −1;1

4 2 khi x = ± 9 3

3x 2 + 10x + 20 x 2 + 2x + 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . lim f x = lim f x = 3

( )

d) f x =

( )

x →−∞

( )

x →+∞

 5 x = − 5 ⇒ y =  −4x − 22x − 10 2 Ta có : f ' x = ⇒f' x =0⇔ 2 1 2 x = − ⇒ y = 7 x + 2x + 3  2 Bảng biến thiên 1 x −∞ −5 − +∞ 2 f' x − 0 + 0 −

( )

( ) f (x )

2

(

3

( )

)

7 5 2

3

( )

Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 7 khi x = − Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

a ) f (x ) =

x 2 − 4x + 5 trên ñoạn [−2; 3] .

9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ñoạn [−1; 1] . 4 4 2 c) f (x ) = −x + 5x + 6 .

( )

2 d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ñoạn  0; 3  .

90

1 2

( )

min f x =

5 khi x = −5 2

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Giải :

a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên ñoạn [−2; 3] . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên [−2; 3] . x −2

f '(x ) =

x 2 − 4x + 5 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈  −2; 3  f (−2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = Vậy : min f (x ) = 1 khi x = 2 .

2.

x ∈  −2;3 

max f (x ) =

17 khi x = −2 .

x ∈  −2;3 

9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ñoạn [−1; 1] 4 4 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên [−1; 1] .

ðặt t

x2

t

[0; 1] , x

1; 1 , ta có:

9 1 f ( t ) = t 3 − 3t 2 + t + liên tục trên ñoạn [0; 1] 4 4  1 t = 9 2 ⇒ f / ( t ) = 3t 2 − 6t + = 0 ⇔  3   4   t = 2 ∉  0;1  1 1 3 1 f (0) = , f   = , f (1) = . 4  2  4 2 Vậy : 1 1 min f ( t ) = khi t = 0 hay min f ( x ) = khi x = 0 4 4 t ∈  0;1  x ∈  −1;1 

3 1 2 khi t = hay max f ( x ) khi x = ± .   x ∈  −1;1  4 2 2 −x 2 + 5x + 6 .

max f (t ) =   t ∈  0;1 

c) f (x ) =

D = [−1; 6] Hàm số f (x ) =

f '(x ) =

−x 2 + 5x + 6 liên tục trên ñoạn [ 1; 6] .

−2x + 5

2 −x 2 + 5x + 6 5 f' x 0 x [ 1; 6] 2 5 7 f (−1) = f ( 6 ) = 0, f   = .  2  2 Vậy :

91

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

min f ( x ) = 0 khi x = −1, x = 6

x ∈  −1;6 

max f ( x ) =

x ∈  −1;6 

7 5 khi x = . 2 2

( )

2 d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ñoạn  0; 3  . 2 Hàm số y = (x − 6) x + 4 liên tục trên ñoạn  0; 3  .

2x 2 − 6x + 4

y' =

x2 + 4 x = 1 ∈ 0; 3    y' = 0 ⇔  x = 2 ∈ 0; 3   y(1) = −5 5    max y = −3 13 y(0) = −12  x ∈0;3 ⇒ y(2) = −8 2  y = −12 xmin ∈ 0;3   y(3) = −3 13   Vậy max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 x ∈ 0;3 

x ∈ 0;3 

Ví dụ 20:

( )

a ) Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên ñoạn  −5;5  . b ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ñoạn  –3; 2  .

( )

3 2 c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x = x − 3x + 1 trên ñoạn  −2;1 .

( )





d ) Tìm a ñể giá trị lớn nhất của hàm số f x = x + 2x + a − 4 trên ñoạn  −2;1 ñạt giá trị nhỏ nhất 2

Giải :

( )

a ) f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 , x ∈  −5; 5  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −5;5  .

( )

ðặt g x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90, x ∈  −5;5 

( )

Ta có : g ' x = 3x 2 + 6x − 72

92

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

x = −6 ∉  −5;5    g' x = 0 ⇔  x = 4 ∈  −5; 5  

( )

()

( ) () ⇒ −86 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 400 Vậy : max f ( x ) = 400 khi x = −5 . g 4 = −86, g −5 = 400, g 5 = −70

x ∈ −5;5

b ) f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ñoạn  –3; 2  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  –3; 2  . x3

ðặt g x g / (x )

3x 2

g' x g ( 3)

0

16

0

3x

2, x

–3; 2

3

x 1 [ 3; 2] 16, g ( 1) 4, g(1) 0, g (2) g(x )

4, x

16 , x

f x

0

[ 3; 2]

4

g (x )

16 , x

[ 3; 2]

[ 3; 2] .

Vậy max f ( x ) = 16, min f ( x ) = 0 x ∈  –3; 2 

x ∈  –3; 2 

( )

3 2 c) f x = x − 3x + 1 trên ñoạn  −2;1 .





Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −2;1 .

( )

ðặt g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1 3

2

( )

g ' x = 3x 2 − 6x .

x = 0 g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1  g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 .

( )

( )

()

()

 −2;1  

( )

( )

( )

( )

 −2;1  

x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .    

( )

() ()

( )

g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0.

( )

( )

Vậy max f x = 19, min f x = 0.  −2;1  

 −2;1  

( )

d ) f x = x 2 + 2x + a − 4

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −2;1 .

( )

(

)

2

f x = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5

93

( )

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

( ) Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4  max f ( x ) ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 2

ðặt t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4 

x ∈ −2;1

t ∈ 0;4 

t ∈ 0;4 

t∈ 0;4 

t∈ 0;4 

t ∈ 0;4 

5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3 ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ ℝ Mặt khác  t∈ 0;4  a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3

()

()

Vậy giá trị nhỏ nhất của max f t = 2 khi a = 3 t∈ 0;4 

Ví dụ 21: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:

( )

a) f x = x + 4 − x 2 .

( )

b) f x =

x +1

trên ñoạn x ∈  −1;2  .

x +1 2

Giải :

( )

a) f x = x + 4 − x 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −2;2  .

( )

x

Ta có f ' x = 1 −

(

(

)

)

, x ∈ −2;2 4 − x2  4 − x 2 − x = 0  4 − x 2 = x 0 < x < 2 0 < x < 2 ⇔ ⇔ ⇔x = 2 f' x =0⇔ 2 2 ⇔  2 − = = 4 2 x x x ∈ − ∈ − 2;2 2;2 x x     Bảng biến thiên

( )

x

( ) f (x )

4 − x2

(

−2

)

2

−

f' x

=

4 − x2 − x

0

2

+

−2

2 2 2

( )

Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 2 khi x = 2 x ∈ −2;2 

94

( )

min f x = −2 khi x = −2

x ∈ −2;2

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

x +1

( )

b) f x =

x2 + 1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −1;2  . −x + 1 ⇒ f' x =0⇔x =1 Ta có f ' x = 3 2 x +1

( )

(

( )

)

Bảng biến thiên .

x f' x

( ) f (x )

−1

1 0

+

2

− 2 3 5 5

0

( )

Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 khi x = 1 x ∈ −1;2 

( )

min f x = 0 khi x = −1

x ∈ −1;2

Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: y =

1 sin x + cos x

Giải :

 π sin x + cos x liên tục trên ñoạn 0;   2

Xét hàm số g (x ) =

g '(x ) =

cos x

−

2 sin x

sin x

=

cos x cos x − sin x sin x

2 cos x

2 sin x .cos x

g '(x ) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇒ x =

π

π 4

π

g(0) = 1; g( ) = 4 8; g( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g(x ) ≤ 4 8 ⇒ 4 2 Vậy min y =

1 4

8

1 4

8

≤y ≤1

, max y = 1

Ví dụ 23:

( )

Tìm các giá trị a, b sao cho hàm số f x = bằng −1

ax + b có95 giá trị lớn nhất bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất x2 + 1

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . • Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi ax + b 4x 2 − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ≤ 4, ∀x ∈ ℝ  2 x + 1  ∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0 ⇔   2 ax 0 + b 4 4 0 : co ù nghieä m x − + − = ⇔ x ax b  0 ∃x 0 ∈ ℝ : 2  0 0 2 =4 ∆ = a − 16 4 − b ≥ 0 x0 + 1  

( (

) )

()

⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 *

• Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi ax + b ≥ −1, ∀x ∈ ℝ 2  2 ∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0 x + 1 x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ⇔ 2 ⇔ ax + b ∆ = a2 − 4 b + 1 ≥ 0 ∃x 0 ∈ ℝ : 20 x 0 + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieäm x 0 = −1  x0 + 1 

( (

⇔ a 2 − 4b − 4 = 0

(* *)

()

2 a 2 + 16b − 64 = 0 * a = 16 a = −4 a = 4 ⇔⇔  ⇔ ∨ Từ * và * * ta có hệ  2 b = 3 b = 3 a − 4 b − 4 = 0 * *  b = 3     a = −4 a = 4 ∨ Vậy giá trị a, b cần tìm là :  b = 3 b = 3

()

( )

( )

Ví dụ 24: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3 sin x a) f x = 1 + 2 + cos x 4 b ) f x = sin x + cos 4 x c)

( ) ( ) f ( x ) = sin

4

x + cos2 x + 2

Giải : 3 sin x 2 + cos x Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 3 sin x 3 sin x Ta có y = f x = 1 + ⇔ y −1 = ⇔ y − 1 2 + cos x = 3 sin x 2 + cos x 2 + cos x

( )

a) f x = 1 +

( )

(

96

)(

)

) )

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

(

)

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

(

)

()

⇔ y − 1 cos x − 3 sin x + 2 y − 1 = 0 *

()

(

)

(

2

Phương trình * có nghiệm khi y − 1 + 9 ≥ 4 y − 1

)

2

⇔ y 2 − 2y − 2 ≤ 0 ⇔ 1 − 3 ≤ y ≤ 1 + 3

Vậy : maxy = 1 + 3, miny = 1 − 3

( )

b ) f x = sin 4 x + cos 4 x

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có

( )

(

f x = sin x + cos x = sin x + cos x 4

4

2

2

)

2

2

 1  1 − 2 sin x .cos x = 1 − 2  2. sin x .cos x  = 1 − sin2 2x 2  2  2

2

Với mọi x ∈ ℝ , ta có 1 1 1 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 ⇒ 0 ≥ − sin2 2x ≥ − ⇒ 1 ≥ 1 − sin2 2x ≥ 2 2 2  1  1 min f x = khi  f x khi x min s in2 1 = =   2 hay  ⇒ 2 max f x = 1 khi s in2x = 0 max f x = 1 khi   Ví dụ 25:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 hay ≤ f x ≤1 2 2

( )

x =

π 4

x =k

+k

π

π 2

2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:  π  a ) f x = x − sin 2x trên ñoạn  − ; π   2  sin x + 1 b) f x = 2 sin x + sin x + 1

( )

( )

Giải :

( )

a ) f x = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3

Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ðặt t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1

()

()

Xét hàm số f t = t 2 − t + 3, t ∈ 0;1

 1  11 f 0 =f 1 =3 , f = 2 4 11 3 min f x = min f t = =2 t ∈0;1 4 4

()

( )

f ' t = 2t − 1, t ∈ 0;1

()

( )

()

( )

()

m ax f x = max f t = 3 t ∈0;1

 π  b ) f x = x − sin 2x trên ñoạn  − ; π   2 

( )

97

()

f' t =0⇔t =

1 2

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

 π  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  − ; π   2 

( )

Ta có : f ' x = 1 − 2 cos 2x , −

π 2

( )

<x <π ⇒ f' x =0⇔x =−

 π π 3 π  π 3  5π  5π 3 ;f   = − ;f  ;f f −  = − + + = 6 2 2 6 2  6 6 6  6 

( )

Vậy max f x =  π  x ∈ − ;π   2 

( )

e) f x =

π π 5π , , 6 6 6

 π π −  = − ;f π = π 2  2

( )

5π 3 5π π π ; min f x = − khi x = − + khi x = 6 2 6 x∈− π ;π  2 2

( )

 2



sin x + 1 sin x + sin x + 1 2

ðặt t = sin x ⇒ f ( t ) =

t +1 , t ∈ [−1; 1] t +t +1 2

t +1 liên tục trên ñoạn [−1; 1] t +t +1 −t 2 − 2t / f (t ) = 2 (t + t + 1)2 / f ( t ) = 0 ⇔ t = 0 ∈ [−1; 1]

f (t ) =

2

f (−1) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) =

2 . 3

Vậy: π + k 2π, k ∈ Z 2 max f ( x ) = max f ( t ) = 1 khi sin x = 0 ⇔ x = k π, k ∈ Z . min f ( x ) = min f ( t ) = 0 khi sin x = −1 ⇔ x = − t ∈  −1;1 

t ∈  −1;1 

Ví dụ 26:

( )

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: f x = 1 + sin x + 1 + cos x Giải : 1 + sin x ≥ 0 Hàm số ñã cho xác ñịnh khi  1 + cos x ≥ 0

()

y > 0 ⇒ y 2 = sin x + cos x + 2 + 2 sin x + cos x + sin x cos x + 1 *

 π t2 − 1 ðặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒⇒ sin x cos x = 4 2 

()

()

Khi ñó * viết lại f t = t + 2 + 2

(

)

1 2 t + 2t + 1 = t + 2 + 2 t + 1 2

98

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

( (

 1−  f t =  1+   1 − f' t = 1 +

()

()

) 2 )t + 2 +

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

2 t + 2 − 2, neáu − 2 ≤ t ≤ −1 2, neáu − 1 ≤ t ≤ 2

2 < 0, neáu − 2 ≤ t < −1 2 > 0, neáu − 1 < t ≤ 2

()

Hàm số f t không có ñạo hàm tại ñiểm t = −1 Bảng biến thiên x

() f (t ) f' t

− 2

−1

−

2

+

4−2 2

4+2 2 1

( )

Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 4 + 2 2 x ∈ℝ

( )

min f x = 1 x ∈ℝ

Ví dụ 27: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + c = b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

2 2 3 − 2 + 2 . a +1 b +1 c +1 2

Giải :

(

)

Ta có : a + c = b 1 − ac > 0 . Dễ thấy ac ≠ 1 ⇒ 0 < a <

a +c 1 nên b = c 1 − ac

2 2(1 − ac)2 3 2 2(a + c )2 3 2 ⇒ P= 2 − + = + − + a + 1 (a + c)2 + (1 − ac )2 c 2 + 1 a 2 + 1 (a 2 + 1)(c 2 + 1) c2 + 1 Xét

2 2(x + c )2 3 2(x 2 + 2cx + 2c 2 + 1) 3 1 + 2 + 2 −2 = + 2 − 2, 0 < x < f x = 2 2 2 2 c x + 1 (x + 1)(c + 1) c + 1 (x + 1)(c + 1) c +1

( )

⇒ f ' (x ) =

−4c(x 2 + 2cx − 1) 1 , 0 < < x c (x 2 + 1)2 (c 2 + 1)  1  c

( )

( ) ñổi dấu từ dương sang

Trên khoảng  0;  : f ' x = 0 có nghiệm x 0 = −c + c + 1 và f ' x 2

( )

âm khi x qua x 0 , suy ra f x ñạt cực ñại tại x = x 0

 1 2 3 2c 3 ⇒ ∀x ∈  0;  : f x ≤ + 2 −2 = + 2  c c2 + 1 − c c2 + 1 c + 1 c2 + 1 c + 1

( )

99

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Xét

()

g c =

g ' (c ) =

2c

+

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

3 ,c>0 c +1

c2 + 1 2(1 − 8c 2 )

2

(c 2 + 1)2 ( c 2 + 1 + 3c )

c > 0 1 g' (c) = 0 ⇔  ⇔c = 2 2 2 1 − 8c = 0 1 2 24 10 ⇒ ∀c>0:g c ≤ g( )= + = 3 9 3 2 2  1 a = 2  10 ⇒P ≤ . Dấu "=" xảy ra khi b = 2 3  1 c =  2 2 10 Vậy giá trị lớn nhất của P là . 3

()

Ví dụ 28: Tìm tham số m ñể phương trình : a ) x − m x 2 + 1 + 1 = 0 có nghiệm thực. b ) m x 2 + 2 = x + m có nghiệm thực. c) x + 2x 2 + 1 = m có nghiệm thực.

Giải : a ) x − m x 2 + 1 + 1 = 0 có nghiệm thực. x − m x2 + 1 + 1 = 0 ⇔ m =

Hàm số f ( x ) =

f / (x ) =

x +1

x2 + 1 1−x

x +1 x2 + 1

= f (x )

liên tục trên ℝ . Ta có:

(x 2 + 1) x 2 + 1

f / (x ) = 0 ⇔ x = 1 Giới hạn :

100

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

lim f (x ) = lim

x →∞

 1 x  1 +   x

x →∞

x −∞ f' x

⇒ lim f (x ) = 1, lim f (x ) = −1 x →+∞

1 1+ 2 x

x

x →−∞

+∞

1 + 0 −

( ) f (x )

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

2

1 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −1 < m ≤

2 là giá trị m cần tìm.

b ) m x 2 + 2 = x + m có nghiệm thực. m x2 + 2 = x + m ⇔ m =

x + 2 −1

= f (x )

x

f (x ) =

Ta có

x 2

2

x + 2 −1 x2 + 2 ≥

2>1⇒

x2 + 2 − 1 − f / (x ) =

(

f / (x ) = 0 ⇔

x2 + 2 − 1 > 0 ⇒ D = ℝ .

x2

2 − x2 + 2

x2 + 2 = 2 x2 + 2 − 1

)

x2 + 2

(

x2 + 2 − 1

(

)

2

)

x 2 + 2 = 2 ⇔ x = ± 2 ⇒ f − 2 = − 2, f

( 2) =

2

Giới hạn : lim f ( x ) = lim

x →∞

x →∞

Vậy f ( x )max =

x  2 1  x  1 + −   x  x2

⇒ lim f ( x ) = −1, lim f ( x ) = +1 . x →−∞

x →+∞

2, f ( x )min = − 2 ⇒ − 2 ≤ m ≤

c) x + 2x 2 + 1 = m có nghiệm thực.

Xét hàm số f ( x ) = x + 2x 2 + 1 liên tục trên ℝ . Ta có:

101

2.

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

2x

f / (x ) = 1 +

2x 2 + 1  −2x ≥ 0 2 ⇔x =− 2x 2 + 1 = −2x ⇔  2 2  2x + 1 = 4x 2  .

f / (x ) = 0 ⇔

 2  2  = f  −  2  2 

Giới hạn : lim f ( x ) = +∞ x →+∞

lim f ( x ) =

x →−∞

( lim

x →−∞

⇒ min f (x ) =

Vậy với m ≥

)(

2x 2 + 1 − x

2x 2 + 1 − x

x →−∞

lim f ( x ) = lim

x →−∞

2x 2 + 1 + x

)=

lim

x →−∞

x2 + 1   1 −x  2 + 2 + 1    x

1 x = +∞  1 2 + 2 + 1  x  x+

 −  

2 2 ⇒ f (x ) ≥ , ∀x ∈ ℝ . 2 2

2 thì phương trình có nghiệm thực. 2

Ví dụ 29:  π 7π  . a ) Tìm m ñể phương trình sin2 x − sin x + m = 0 1 có nghiệm thuộc ñoạn  ;  6 6  b ) Tìm m ñể phương trình tan x − mcotx = 2 2 có nghiệm.

()

()

Giải :  π 7π  . a ) Tìm m ñể phương trình sin2 x − sin x + m = 0 1 có nghiệm thuộc ñoạn  ;  6 6   π 7π  1  ⇒ − ≤ sin x ≤ 1 . Với x ∈  ;  6 6  2

()

1 ðặt t = sin x , − ≤ t ≤ 1 . 2 1 ≤t ≤1 2  1  Xét hàm số f ( t ) = −t 2 + t liên tục trên ñoạn  − ;1  , ta có :  2 

Khi ñó phương trình ( 1 ) ⇔ m = −t 2 + t, −

f ' ( t ) = −2t + 1 102

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

1  1  ∈  − ;1  2  2   1 1 f ' ( t ) > 0, t ∈  − ;  ⇒ f ( t ) ñồng biến trên ñoạn  2 2 

 1 1 − ;   2 2 

1  f ' ( t ) < 0, t ∈  ;1  ⇒ f ( t ) nghịch biến trên ñoạn  2 

1   ;1   2 

f ' (t ) = 0 ⇔ t =

−

t

()

1 2

1 2 0

+

f' t

()

−

f t

1

−

3 4

0

1 4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1   1  3 1 3 1 − ≤ f t ≤ ⇒ t ∈  − ;1 : m = f t ⇒ t ∈  − ;1 : − ≤ m ≤ 4 4 4 4  2   2   π 7π  3 1  ⇔− ≤m ≤ . Suy ra 1 có nghiệm x ∈  ;  6 6  4 4 Cách khác: 2  1 1  2  1 ⇔ t − t = − m ⇔ − m = t − . ( )  4 2  

()

()

()

2

 1 1 1 1 1 3 1 Do − ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t − ≤ ⇔ 0 ≤  t −  ≤ 1 nên: 0 ≤ − m ≤ 1 ⇔ − ≤ m ≤ .  2 2 2 2 4 4 4

()

b ) Tìm m ñể phương trình tan x − mcotx = 2 2 có nghiệm.

ðặt t = tan x ⇒ t ≠ 0

()

Phương trình 2 ⇔ t −

m = 2 ⇔ m = t 2 − 2t, t ≠ 0 . t

Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t, t ≠ 0

f ' ( t ) = 2t − 2 f ' (t ) = 0 ⇔ t = 1 f ' ( t ) < 0, t ∈ ( −∞; 0 ), ( 0;1 ) ⇒ f ( t ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0;1 ) . f ' ( t ) > 0, t ∈ ( 1; +∞ ) ⇒ f ( t ) ñồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) . t −∞ f' t

()

0

−

−

1 0

+∞ +

103

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

()

f t

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

+∞

+∞ 0

−1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t ≥ −1, ∀t ≠ 0 ⇒ m ≥ −1 thì phương trình 2 có nghiệm.

()

()

Bình luận : cách giải dưới ñây sai . ðặt t = tan x ⇒ t ≠ 0 2 m Phương trình (2) ⇔ t − = 2 ⇔ m = t 2 − 2t ⇔ m = ( t − 1 ) − 1 ≥ −1 hay m ≥ −1 ( a ) t Mặt khác: t ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 (b )

()

Từ ( a ) (a) và (b ) ta suy ra 2 có nghiệm ⇔ −1 ≤ m ≠ 0 (sai) !!!. Ví dụ 30: π  a ) Tìm m ñể phương trình m(cos x − sin x ) + sin 2x = 0 3 có nghiệm thuộc khoảng  ; π  .  4 

()

 π .  2

2

b ) Tìm a ñể phương trình: ax + 1 = cos x có ñúng một nghiệm x ∈  0;

Giải : π  a ) Tìm m ñể phương trình m(cos x − sin x ) + sin 2x = 0 3 có nghiệm thuộc khoảng  ; π  .  4   π ðặt t = cos x − sin x = 2 cos  x +  ⇒ sin 2x = 1 − t 2 .  4

()

π   π π 5π π ⇒ −1 ≤ cos  x +  < 0 Ta có: x ∈  ; π  ⇒ < x + < 2 4 4 4  4    π ⇒ − 2 ≤ 2 cos  x +  < 0 ⇒ − 2 ≤ t < 0 .  4

()

Phương trình 3 ⇔ mt + 1 − t 2 = 0 ⇔ mt = t 2 − 1 ⇔ m = t − Xét hàm số f (t ) = t −

1 liên tục trên nửa khoảng t ∈  − 2; 0  t

1 > 0 ,∀t ∈  − 2; 0  t2 2 f (− 2) = − , lim f (t ) = +∞ . 2 t → 0− f / (t ) = 1 +

)

104

)

1 = f ( t ), − 2 ≤ t < 0 t

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

()

Vậy 3 có nghiệm ⇔ m ≥ −

2 . 2

Chú ý: Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f (t ) : t f' t

() f (t )

− 2

0

+ +∞

−

2 2

 π .  2

2

b ) Tìm a ñể phương trình: ax + 1 = cos x có ñúng một nghiệm x ∈  0;

Dễ thấy ñể phương trình có nghiệm thì a ≤ 0 Khi ñó phương trình ⇔

cos x − 1 x

Xét hàm số : f (t ) =

f '(t ) =

2

=a ⇔

 π sin t , t ∈  0;  t  4

t.cos t − sin t t2

=

(

cos t t - tan t t2

sin2

x 2 = -2a

2

x    2

) < 0 , ∀t ∈  0; π  ⇒ f (t ) nghịch biến trên khoảng  

 4

 π  0;  .  4 x 2 2 2 2 8 π 2 < 1 ,∀x ∈ (0; π ) , lim f (t ) = 1 ⇒ < f (t ) < 1 ⇒ < Mà f ( )= t →0 4 π π 2 π 2  x 2   2 π 8 1 4 < −2a < 1 ⇔ − < a < − Vậy phương trình có ñúng một nghiệm x ∈ (0; ) ⇔ 2 2 π2 π2 sin2

Ví dụ 31:

a ) Tìm m ñể pt sau có nghiệm: 6

5

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m 4

3

2

b ) Cho phương trình x + 3x − 6x − ax − 6x + 3x + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số a , ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt.

105

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Giải :

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m

a ) Tìm m ñể pt sau có nghiệm:

Xét hàm số f (x ) =

x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có tập xác ñịnh là D = ℝ .

2x + 1

f '(x ) =

2x − 1

−

2

2 x +x +1

> 0, ∀x ∈ ℝ

2

2 x −x +1

( )

(

2

Vì f ' x = 0 ⇔ (2x + 1) x − x + 1 = 2x − 1 2

)

x 2 + x + 1 (1)

2

 1 1 3  1 1 3 ⇒  x +  [(x - )2 + ] =  x −  [(x + )2 + ] ⇔ x = 0 2 2 4  2 2 4  Với x = 0 , phương trình (1) không thoả mãn . Nghĩa là f ' x = 0 vô nghiệm và

()

( )

( )

f ' 0 = 1 > 0 ⇒ f ' x > 0, ∀x ∈ ℝ . 2x

Mặt khác : limf (x ) = lim

x →+ ∞

x → +∞

x f' x

( ) f (x )

2

2

= 1, limf (x ) = −1

x +x +1 + x −x +1

x →−∞

+∞

−∞

+ 1

−1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy −1 < m < 1 là giá trị m cần tìm. 6

5

4

3

2

b ) Cho phương trình x + 3x − 6x − ax − 6x + 3x + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số a , ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt. 3

Vì x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho x ta ñược

(x 3 +

1 x3

) + 3(x 2 +

1

1 ) − 6(x + ) − a =0 (1). x x2

1 ⇔ x 2 − tx + 1 = 0 . Phương trình có nghiệm khi ∆=t 2 - 4 ≥ 0 ⇔ t ≥ 2 . x 2 2 3 2 Phương trình (1) ⇔ t (t − 3) + 3(t − 2) − 6t = a ⇔ t + 3t − 9t = a + 6 (2) • Với t = ±2 thì phương trình cho có một nghiệm. • Với t > 2 thì với mỗi giá trị của t thì có 2 giá trị x .Do ñó phương trình (1) có ñúng hai nghiệm ðặt : t=x +

phân biệt thì phương trình (2) có ñúng 2 nghiệm t = ±2 hoặc có ñúng 1 nghiệm t > 2

106

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

2 = a + 6

Nếu phương trình (2) có ñúng 2 nghiệm t = ±2 ⇒ 

22 = a + 6

vô nghiệm

Nếu phương trình (2) có ñúng 1 nghiệm t > 2 . 3

2

Xét hàm số f (t ) = t + 3t − 9t, t > 2

f '(t ) = 3t 2 + 6t − 9 = 3(t − 1)(t + 3)

(

) ( ) ) ( )

t = −3 ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ f '(t ) = 0 ⇔  t = 1 ∉ −∞; −2 ∪ 2; +∞

(

x f' x

( ) f (x )

−∞

−3 + 0

−2

1 +

−

+∞

2

+∞

27

−∞

22

2

Dựa vào bảng biến thiên ñể phương trình (2) có ñúng một nghiệm t > 2 khi và chỉ khi

2 < a + 6 < 22 ⇔ −4 < a < 16 Ví dụ 32:   Tìm m ñể phương trình: m  x 2 − 2x + 2 + 1  + x (2 − x ) ≤ 0 2 có nghiệm x ∈ 0,1 + 3  .    

()

Giải : ðặt t = x 2 − 2x + 2 ⇔ t 2 − 2 = x 2 − 2x , x ∈ 0;1 + 3  ⇒ 1 ≤ t ≤ 2  

()

Bất phương trình 2

⇔m≤

t2 − 2 ,1 ≤ t ≤ 2 * t +1

()

()

()

ðể phương trình 2 có nghiệm x ∈ 0,1 + 3  khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm trong ñoạn   1;2  khi ñó m ≤ max g(t ) * * .   t∈1;2 

( )

t2 − 2 Xét hàm số g (t ) = liên tục trên ñoạn 1 ≤ t ≤ 2 ,ta có t +1

()

g t =

t 2 + 2t + 2 2

(t + 1)

()

> 0, ∀t ∈ 1;2  ⇒ g t ñồng biến trên ñoạn 1;2 

107

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

(* *) ⇔ m ≤ max g(t ) = g(2) = 23 t∈1;2

Ví dụ 33:

 π π Tìm m ñể phương trình: sin4 x + cos4 x + cos2 4x = m 3 có nghiệm x ∈  − ;  .  4 4

()

Giải : 3 + cos 4x + cos 2 4x = m ⇔ 4cos 2 4x + cos 4x = 4m − 3 a 4  π π ðặt t = cos 4x, x ∈  − ;  ⇒ t ∈  −1;1  4 4 Phương trình a ⇔ 4t 2 + t = 4m − 3, t ∈  −1;1 b

()

()

Phương trình 3 ⇔

()

()

 π π Phương trình 3 có nghiệm x ∈  − ;  khi phương trình b có nghiệm t ∈  −1;1 .  4 4 Xét f t = 4t 2 + t liên tục trên ñoạn  −1;1 , ta có f ' t = 8t + 1

()

()

()

()

()

f' t =0⇔t =− −1

t

() f (t )

+

f' t

1 ∈  −1;1 . 8  1 − 8 0 −

1

3

5 −

1 16

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : −

1 47 ≤ 4m − 3 ≤ 5 ⇔ ≤m ≤2 16 64

Ví dụ 34:

( )

(

)

( )

Cho parabol P : y = x 2 và ñiểm A −3; 0 . Xác ñịnh ñiểm M thuộc P sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất ; tìm khoảng cách ngắn nhất ñó.

Giải :

(

(

) ( )

Gọi M x 0 ; y 0 ∈ P ⇒ M x 0 ; x 02

( )

d x 0 = AM =

(x

0

+3

) + (x ) 2

2

0

)

2

= x 0 4 + x 02 + 6x 0 + 9

108

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

2x 0 3 + x 0 + 3

( )

d ' x0 =

( )

d ' x 0 ⇔ x 0 = −1

x 0 4 + x 02 + 6x 0 + 9

( ) d ( −1 ) = 5 .

( )

d ' x 0 ñổi dấu từ âm sang dương khi x 0 ñi qua x 0 = −1 . Hàm số d x 0 ñạt cực tiểu tại x 0 = −1,

(

) ( )

ðiểm M −1;1 ∈ P là ñiểm ñể khoảng cách AM = 5 là ngắn nhất. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Ví dụ 1: Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước . Tìm bán kính ñáy r và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất . Giải : Gọi x là bán kính ñáy . ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích V = π x 2h thì hiều cao của hộp là h =

( )

Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : S x = 2π x 2 + 2π x .  V  S ' x = 2  2π x − 2  , S ' x = 0 ⇔ x = x  

( )

( )

Sự biến thiên của S x

( )

( )

( )

S ' x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số S x ñạt ñiểm cực tiểu tại x =

Vậy : r =

3

V ,h = 2π

3

3

V . πx2

V ,x > 0 πx2

V 2π 3

V . 2π

4V

π

Ví dụ 2:

( )

( )

Chu vi của một tam giác là 16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là 6 cm . Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất .

Giải : Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có x + y + 6 = 16 ⇒ y = 10 − x Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông).

( )

S x =

( )

S' x =4

( )

(

)(

p p −6 p −x

)( p − y ) = 4 ( 8 − x )( 8 − y ) = 4

5−x

−x 2 + 10x − 16, 0 < x < 10

( )

S' x =0⇔x =5

−x 2 + 10x − 16

( )

S ' x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số S x ñạt ñiểm cực ñại tại x = 5 . Diện tích tam giác lớn

( )

( )

nhất khi mỗi cạnh còn lại dài 5 cm .Khi ñó diện tích lớn nhất : S x = 12 109

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

Ví dụ 2:

( )

Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông . Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh x cm ,

( ) x (cm ) sao cho S ( x ) nhỏ nhất .

( )

ñường cao là h cm và có thể tích là 500cm 3 . Gọi S x là diện tích của mảnh cáctông. Tìm

Giải:

(

)

Thể tích hình hộp là V = x 2h = 500 cm 3 ⇒ h =

500 ,x > 0 x2

( )

Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : S x = x 2 + 4xh = x 2 +

( )

2000 ,x > 0 x

Bài toán trở thành tìm x > 0 sao cho tại ñó S x ñạt giá trị nhỏ nhất .

(

)

3 2000 2 x − 1000 ,x > 0 Ta có S ' x = 2x − 2 = x x2 S ' x = 0 ⇔ x = 10

( )

( )

( )

(

Bảng biến thiên của S x trên khoảng 0; +∞ x S' x

( ) S (x )

0

−

10 0

)

+∞ +

300 Vậy x = 10 cm thì min S x = 300 .

( )

( )

Ví dụ 3: Cho một tam giác ñều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác ñịnh vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó. Giải : a ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x 2  = QM ⇒ QM = BM . tan QBM  =x 3 Trong tam giác vuông BMQ có tan QBM BM

ðặt BM = x , 0 < x <

110

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

( )

(

)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là S x = MN .QM = a − 2x x 3

 a Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của S x = a − 2x x 3, x ∈  0;   2  a a S ' x = −4 3x + a 3, x ∈  0;  S' x =0⇔x = 4  2

( ) (

( )

)

( )

 a Bảng biến thiên của S x trên khoảng  0;   2 a a x 0 4 2 S' x + 0 −

( )

( )

a2 3 8

( )

S x

0

0

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là

a2 3 a khi x = 8 4

Ví dụ 4: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng P n = 480 − 20n gam . Hỏi phải thả

( )

(

)

bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?. Giải : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng : f n = n.P n = n 480 − 20n , n ∈ N *

( ) ( ) ( f ' (n ) = 0 ⇔ n = 12

( )

f ' n = 480 − 40n

)

Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là n = 12 con cá. Ví dụ 16:

( )

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Giải : Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là 20 cm . Chiều

( )

( )

( )

( )

(

)

dài cạnh kia là 20 − x cm . Diện tích hình chữ nhật là : S x = x 20 − x , 0 ≤ x ≤ 20

( )

S ' x = 20 − 2x , 0 < x < 20

( )

S ' x = 0 ⇔ x = 10

111

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

( )

Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi x = 10 . Trong các hình chữ nhật chu vi 40 cm , hình vuông cạnh

(

( )

10 cm có diện tích lớn nhất bằng 100 cm 2

)

Ví dụ 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi gập tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .

Giải :

 a Gọi x  0 < x <  là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt . 2  2 a a Thể tích của khối hộp là V = x a − 2x , 0 < x < ⇒ V ' = a − 2x a − 6x , 0 < x < 2 2  a − 2x a − 6x = 0  a  a  2a 3  x = ⇒V ' = 0 ⇔  ⇔ ⇒ maxV = V   = 6 a a 0<x <  6  27 0 < x < a − 2x > 0 2  2  Ví dụ 6:

(

)(

( )

)

(

)(

)

1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất . 2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m 2 , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất .

Giải :

x , y > 0 0 < x , y < 8 1) Gọi x , y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có :  ⇔ y = 8 − x 2 x + y = 16

(

(

)

)

Diện tích hình chữ nhật là S = xy = x 8 − x = 8x − x 2 , 0 < x < 8 ⇒ max S = 16 khi x = y = 4 0<x < 8

x , y > 0 x , y > 0  2) Gọi x , y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có :  ⇔ 48 48 xy = y =  x   48  p = p 4 3 = 16 3 Chu vi của hình chữ nhật là p = 2 x + y = 2  x +  , x > 0 ⇒ min x >0 x  

(

( )

)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : a ) f x = x 2 + 2x − 5 trên ñoạn  −2; 3 

( )

112

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

x3 + 2x 2 + 3x − 4 trên ñoạn  −4; 0  3 1 c) f x = x + trên khoảng 0; +∞ x 2 d ) f x = −x + 2x + 4 trên ñoạn 2; 4 

( )

b) f x =

( ) ( )

(

2x 2 + 5x + 4 trên ñoạn e) f x = x +1 1 f ) f x = x − trên nửa khoảng x

)

( )

0 : 1

( )

( 0 : 2

(

( )

g) f x = x 6 + 4 1 − x 2

)

3

 2 trên ñoạn  −1;   3

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : a ) f x = x 3 + 3x 2 − 9x + 1 trên ñoạn  −4; 4  b)

( ) f (x ) = x f (x ) = x

3

+ 5x − 4 trên ñoạn  −3;1

− 8x 2 + 16 trên ñoạn  −1; 3   3 d ) f x = x 3 − 3x + 3 trên ñoạn  −3;   2 x e) f x = trên nửa khoảng −2; 4  x +2 1 f) f x = x + 2 + trên khoảng 1; +∞ x −1 c)

4

( )

( )

(

( ) f (x ) = x

(

)

1 − x 2 trên ñoạn  −1;1  π  h ) f x = x − sin 2x trên ñoạn  − ; π   2  g)

( )

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây :

( ) b ) f ( x ) = cos c) f ( x ) = cos d ) f ( x ) = sin

a ) f x = 2 sin2 x + sin x − 1 2

2x − sin x . cos x + 4

3

x − 6 cos2 x + 9 cos x + 5

3

x − cos 2x + sin x + 2

() f ) f (x ) = sin

e ) f x = 1 + 2 sin x + 1 + 2 cos x 5

x + 3 cos x

4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 113

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

y = x 4 − 6mx 2 + m 2 trên ñoạn  −2;1 . y=

x 2 x + −2 x + 4x + 4 x + 2 2

 5 y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 trên ñoạn  −2;   2  π y = x + cos2 x trên ñoạn 0;   2  π y = 2 cos 2x + 4 sin x trên ñoạn 0;   2 y = x 2 .ln x trên ñoạn 1;e 

( )

(

)

5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức G x = 0, 025x 2 30 − x trong ñó

( )

x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân

ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó . Hướng dẫn

( ) ( ) 20 (mg ) . ðộ giảm huyết áp là G ( 20 ) = 100 .

G ' x = 0 ⇔ x = 0, x = 20 , G '' 20 < 0 . Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là

6. Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6km / h . Nếu

(

)

vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là v km / h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho

()

( )

bởi công thức E v = cv 3t, trong ñó c là một hằng số , E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất. Hướng dẫn :

(

)

Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là v km / h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là

(

v − 6 km / h

)

Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách s = 300km là t =

300 v −6

Năng lượng tiêu hao của cá 300 2v 3 − 18v 2 E v = cv 3t = cv 3 J , v > 6 ⇒ E ' v = 300c ⇒ min E v khi v = 9 2 v −6 v −6

()

( )

()

(

)

()

7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là f t = 45t 2 − t 3 , t ∈ 0;25  . Nếu coi f t là hàm số xác

()

()

()

ñịnh trên ñoạn 0;25  thì ñạo hàm f ' t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểm t . a ) Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm . b ) Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó. c) Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600 .

114

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ

Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12

()

d ) Xét chiều biến thiên của hàm số f t trên ñoạn 0;25  . Hướng dẫn : f t = 45t 2 − t 3 , t ∈ 0;25 

()

() ( ) () f '' (t ) = 90 − 6t ⇒ max f ' (t ) = f ' (15 ) = 675 f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 600 ⇔ 10 < t < 20 f ' (t ) = 3t ( 30 − t ) > 0, 0 < t < 25 ⇒ Hàm số f (t ) ñồng biến trên ñoạn 0;25  .

a ) f ' t = 3t 30 − t ⇒ f ' 5 = 375 b) c) d)

 = CBA  sao 8. Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m . Tính góc α = DAB  = x, 0 < x < π cho hình thang có diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử ADC 2 Hướng dẫn : AB + CD π AH ⊥ CD, AH = sin x ; DH = cos x ; DC = 1 + 2 cos x ⇒ S = AH = 1 + cos x sin x , 0 < x < 2 2 9. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện tích lớn nhất . Hướng dẫn : Gọi x , y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , 0 < x < 10,

(

(

)

(

)

)

2 1 1 1 xy cm 2 ⇒ S 2 = xy = x 2 100 − x 2 , 0 < x < 100 với x 2 + y 2 = 100 2 4 4 10. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng . Hai mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' là

0 < y < 10 và S =

( )

( )

( )

( )

hai tấm kính hình chữ nhật AA ' = 20 m , A ' B ' = 5 m , BC = x m . a ) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x b ) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó . Hướng dẫn :

( )

V = 5x 100 − x 2 , 0 < x < 10 ⇒ max V = V 5 2 = 250 . x ∈( 0;10 )

Giải hệ phương trình :

 sinx e x −y = sin y  sin 2y − cos 2y = sin x + cos x − 1   π x , y ∈  0;    4

115