Azevedo Filho (2009) Vol I_.pdf

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˜ a` Estat´ıstica Introduc¸ao ´ Matematica Aplicada Volume I – Fundamentos

´ Para engenharia, economia, financ¸as e atuaria Problemas e exerc´ıcios resolvidos

Adriano Azevedo-Filho

CreateSpace

2009

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Introduc¸˜ao `a Estat´ıstica Matem´atica Aplicada Volume I – Fundamentos

c 2009 por Adriano J. B. V. Azevedo-Filho Todos os direitos reservados.

ISBN 978-1-4421-7220-3 1a Edic¸˜ao (1a impress˜ao) ´ proibida a reproduc¸˜ao total ou parcial E em qualquer meio ou forma.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Azevedo-Filho, Adriano J. B. V. Introdução à Estatística Matemática Aplicada: Volume I – Fundamentos/Adriano Azevedo Filho – 1a. ed. – Scotts Valley:CreateSpace, 2009. Bibliografia. ISBN 978-1-4421-7220-3

1. estatística matemática I. Azevedo Filho, Adriano J. B. V. II. Título. CDD 519.5

e-mail do autor: [email protected] site do livro: www.LaplaceBooks.com/estatistica

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´ Sumario x

Lista de Figuras

xi

´ Prefacio 1

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. . . . . . . . .

1 1 2 2 3 5 5 6 7 13

1.6 . ˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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15 17 18 21

. . . .

23 23 23 25 26

´ Probabilidade: Conceitos Basicos

1.1 1.2

1.3

1.4 1.5

2

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Significados de probabilidade . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vis˜ao cl´assica × vis˜ao bayesiana . . . . 1.2.2 Interpretac¸˜ao freq¨ uentista × subjetiva ˜es b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noc¸o 1.3.1 Experimento e incerteza . . . . . . . . . 1.3.2 Espac¸os: amostral (Ω) e de eventos (E) ˜es entre eventos . . . . . . . . . . . . . . Operac¸o Eventos: alguns qualificadores . . . . . . . . . . . ´ Algebra de eventos: propriedades . . . . . . . .

Probabilidade: Fundamentos da Teoria

2.1 2.2 2.3 2.4

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . Func¸˜ao probabilidade e axiomas Teoremas fundamentais - I . . . . Medida de probabilidade . . . . . v

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2.5

Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6

Teoremas fundamentais II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.7

Noc¸˜ao de Independˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7.1 Independˆencia condicional . . . . . . . . . . . . 55 2.7.2 Independˆencia e causalidade . . . . . . . . . . . . 59

2.8

˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Considerac¸o

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3

´ ´ ˜ Variaveis Aleatorias e Distribuic¸oes Univariadas

89

3.1

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2

Vari´avel aleat´ oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3

Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4

Func¸˜ao cumulativa de probabilidade - F (·) . . . . . . . . 93

3.5

Distribuic¸˜ao de probabilidade - caso discreto . . . . . . 96

3.6

Distribuic¸˜ao de probabilidade - caso cont´ınuo . . . . . 100

3.7

˜es mistas . . . . . . . . 104 Vari´aveis aleat´ orias e distribuic¸o

3.8

˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Considerac¸o

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4

´ ´ ˜ Variaveis Aleatorias e Distribuic¸oes Multivariadas

113

4.1

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2

Func¸˜ao cumulativa no caso multivariado . . . . . . . . 116

4.3

Func¸˜ao de massa no caso multivariado . . . . . . . . . . 118

4.4

Func¸˜ao de densidade multivariada . . . . . . . . . . . . . 121

4.5

Distribuic¸˜ao de probabilidade condicional . . . . . . . . 124

4.6

Independˆencia de vari´aveis aleat´ orias . . . . . . . . . . . 126

4.7

˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Considerac¸o

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 vi

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5

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133 133 133 140 142 144 145 152 158 161 167 171 172 189

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desigualdade de Markov . . . . . . . . . . . . Desigualdade de Chebyshev . . . . . . . . . . Lei dos grandes n´ umeros . . . . . . . . . . . . Formas de Convergˆencia . . . . . . . . . . . . Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . Outras desigualdades . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Desigualdade de Cauchy-Schwartz . 6.7.2 Desigualdade de Jensen . . . . . . . . ˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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191 191 192 193 196 200 205 209 209 211 216 217 219

´ Esperanc¸a Matematica e Conceitos Relacionados

5.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Esperanc¸a matem´atica - E(·) . . . . . . . . 5.3 Propriedades da esperanc¸a . . . . . . . . . 5.4 Variˆancia e conceitos associados . . . . . 5.5 Covariˆancia e correlac¸˜ao . . . . . . . . . . 5.6 Propriedades da variˆancia e covariˆancia . 5.7 Esperanc¸a e variˆancia condicionais . . . . 5.8 Resultados associados `a independˆencia . 5.9 Momentos, cumulantes e geradoras . . . ´teis . . . . . . . . . . . . 5.10 Outras medidas u ˜es finais . . . . . . . . . . . . . 5.11 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . .

ˆ Leis, Convergencias e Desigualdades

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

ˆ Apendice

220

´ ´ A Contagem de Eventos e Analise Combinatoria

223

vii

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A.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Conceitos b´asicos de amostragem . . . . . . . . . A.3 Elementos de an´alise combinat´ oria . . . . . . . . A.3.1 Permutac¸˜ao (caso particular de arranjo) A.3.2 Arranjo (ordem importa) . . . . . . . . . ˜es (ordem n˜ao importa) . . . A.3.3 Combinac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

223 226 232 232 235 238 242

245 B.1 C´ odigo do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 B.1.1 Convergˆencia da m´edia para a esperanc¸a . . . . 245

´ B Codigo fonte

´Indice Remissivo

247

viii

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Lista de Figuras 1.1

˜es . . . . . . . . . . 11 Diagrama de Venn: algumas operac¸o

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

Problema da roleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustrac¸˜ao do problema do exemplo com k = 2 . . ´ Arvore de probabilidade: lanc¸amento de 1 moeda ´ Arvore de probabilidade: moeda e dado . . . . . . ´ Arvore do problema das moedas m5 e m8 . . . . . ´ Arvore: crime e evidˆencia . . . . . . . . . . . . . . . Teste dos barbantes para casamento (R´ ussia) . . . Possibilidades quanto `a independˆencia . . . . . . . ´ Arvore do problema do afogamento (parcial) . . . ´ Arvore do problema do afogamento (completa) .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

29 31 38 39 45 47 52 57 60 61

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Func¸˜ao cumulativa para o exemplo das bolas . Func¸˜ao cumulativa para o exemplo da roleta . Func¸˜ao de massa para o exemplo das bolas . . . Func¸˜ao de massa e func¸˜ao cumulativa: 2 dados Func¸˜ao de densidade do exemplo da roleta . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

95 96 100 101 104

4.1 4.2 4.3 4.4

Exemplo de distribuic¸˜ao bivariada (Normal) . . . . Distribuic¸˜ao bivariada - duas moedas . . . . . . . . . Func¸˜ao de massa bivariada: duas moedas . . . . . . . Func¸˜ao de densidade multivariado - caso cont´ınuo

. . . .

. . . .

114 115 120 122

5.1 5.2

Esperanc¸a: centro de gravidade da distribuic¸˜ao . . . . . 135 ˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Assimetria em distribuic¸o ix

. . . . .

. . . . .

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5.3 5.4

Coeficiente nulo n˜ao garante simetria . . . . . . . . . . . 171 ˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Curtose em distribuic¸o

6.1 6.2 6.3

Convergˆencia de X n em 5000 lanc¸amentos . . . . . . . 198 Relac¸˜ao entre modos de convergˆencia . . . . . . . . . . . 204 Func¸˜ao convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

A.1 Tipos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

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´ Prefacio Este texto ´e o volume 1 de uma s´erie de 3 volumes que no conjunto oferecem uma introduc¸˜ao `a estat´ıstica matem´atica e suas ˜es. A apresentac¸˜ao ´e direcionada ao p´ aplicac¸o ublico de leitores da graduac¸˜ao e in´ıcio da p´ os-graduac¸˜ao em cursos de engenharia, economia, financ¸as, atu´aria e ´areas afins. O material apresenta os funda˜es na estimac¸˜ao, an´alise mentos utilizados pela estat´ıstica em aplicac¸o de evidˆencias emp´ıricas e na modelagem de riscos. Os 3 volumes apesar de complementares, abordam aspectos distintos da estat´ıstica, podendo ser utilizados de forma isolada como material de apoio em cursos ou partes de cursos. ˜es b´asicas, incluindo a teoria de probabiliO volume 1 cobre noc¸o ˜es de probabilidade, esperanc¸a dades, vari´aveis aleat´ orias, distribuic¸o matem´atica e conceitos associados. Tamb´em caracteriza os principais modos de convergˆencia e seus usos em dois dos mais importantes resultados da estat´ıstica: a Lei dos grandes n´ umeros e o Teorema do limite central. ˜es param´etricas e O volume 2 discute as principais distribuic¸o ˜es na inferˆencia e na modelagem de muitas de suas principais aplicac¸o ˜es envolvem o uso de planilhas eletrˆ riscos. Muitas das aplicac¸o onicas (Excel) e do software estat´ıstico R. O volume 3 apresenta o conte´ udo espec´ıfico de inferˆencia, envolvendo estimac¸˜ao, testes, e outros assuntos. A apresentac¸˜ao, em todos os volumes, cobre princ´ıpios de estat´ıstica cl´assica e bayesiana de modo a dar uma vis˜ao compreensiva e integrada, mas em n´ıvel introdut´ orio, das principais id´eias existentes na estat´ıstica. O material que deu origem a esses 3 textos vem sendo desenvolvido h´a cerca de 12 anos, durante o lecionamento de disciplinas de estat´ıstica na graduac¸˜ao, p´ os-graduac¸˜ao e cursos latu-sensu na Unixi

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versidade de S˜ao Paulo e outras escolas, nas ´areas quantitativas da economia, administrac¸˜ao, engenharia e atu´aria. Os livros dessa s´erie s˜ao caracterizados como uma contribuic¸˜ao de natureza did´atica, que tenta organizar muitos dos conceitos fundamentais de estat´ıstica matem´atica de uma forma relativamente coesa. De um modo geral, os textos da s´erie tentam cobrir uma lacuna existente nos livros sobre esse assunto em portuguˆes, tentando encontrar seu espac¸o num n´ıvel intermedi´ario, entre textos b´asicos e textos mais avanc¸ados. O modo de apresentac¸˜ao, em todos os volumes, ´e relativamente formal, mas sem ser excessivamente formal. A apresentac¸˜ao segue em muitas partes a notac¸˜ao e estilo utilizados por Mood et al. (1989), um livro cl´assico sobre o assunto. Muitos problemas resolvidos e problemas propostos facilitam o processo de aprendizado. ´ Base necessaria

´ltimos anos O conte´ udo dos textos ´e adequado a alunos cursando os u da graduac¸˜ao ou o in´ıcio da p´ os-graduac¸˜ao. A base necess´aria ´e a existente em cursos que envolvem algumas disciplinas de matem´atica e estat´ıstica, no n´ıvel de graduac¸˜ao. Agradecimentos

´ltimos 12 anos que Agradec¸o aos alunos de cursos ministrados nos u tiveram acesso a vers˜ oes preliminares dos textos e contribu´ıram com muitas sugest˜ oes. Como de praxe, assumo a responsabilidade pelos erros remanes˜es desses erros, cocentes. Agradec¸o antecipadamente `as identificac¸o ment´arios, cr´ıticas e sugest˜ oes para aperfeic¸oamentos que possam ser ˜es. incorporados em futuras edic¸o Prof. Adriano Azevedo-Filho, Ph.D. Universidade de S˜ao Paulo - ESALQ, 2009

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Cap´ıtulo 1

Probabilidade: Conceitos ´ Basicos ˜ 1.1 Introduc¸ao O desenvolvimento da teoria de probabilidades teve a sua origem no interesse pelos estudos dos jogos de azar, j´a encontrados em obras do s´ec. XVI como Liber de ludo aleae do matem´atico G. Cardano (1501-1576). Essa obra continha n˜ao s´ o uma formalizac¸˜ao primitiva ˜es de probabilidade aplicadas a jogos de azar como tamb´em das noc¸o uma sec¸˜ao inteira sobre m´etodos efetivos de trapac¸a! Em grande medida, os prim´ ordios da teoria de probabilidades foram desenvolvidos pela grande motivac¸˜ao de alguns matem´aticos do passado em desenvolver estrat´egias vitoriosas para jogos de azar, um passatempo favorito da ´epoca. Relatos detalhados da evoluc¸˜ao das id´eias relativas a probabilidades s˜ao apresentados por Stigler (1990) e Bernstein (1996). As bases da teoria de probabilidades, contudo, s´ o foram assentadas definitivamente a partir do s´ec. XIX e, principalmente, durante as primeiras d´ecadas do s´ec. XX. Laplace (1749-1827), A. Kolmogorov (1903-1987), De Finneti (1906-1995), R. T. Cox (1898-1991), entre outros, realizaram a sistematizac¸˜ao da teoria de probabilidades sobre uma fundamentac¸˜ao s´ olida. 1

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Apesar das divergˆencias que existem sobre a interpretac¸˜ao exata do significado da noc¸˜ao de probabilidade dentro da Estat´ıstica, algo discutido brevemente neste cap´ıtulo, os resultados dessa teoria s˜ao fortes e n˜ao questionados, em func¸˜ao de sua s´ olida fundamentac¸˜ao axiom´atica. Nesse contexto, ´e comum partir-se da aceitac¸˜ao de trˆes axiomas1 que ser˜ao examinados no pr´ oximo cap´ıtulo, e deles de˜es que no todo comp˜ duzir outras proposic¸o oem o corpo da teoria ˜es, contudo, s˜ao apresentadas ap´ de probabilidades. Essas noc¸o os a formalizac¸˜ao de certos conceitos como evento, espac¸o amostral e espac¸o de eventos, introduzidos neste cap´ıtulo. O modo de apresentac¸˜ao usado na exposic¸˜ao dos elementos b´asicos da teoria de probabilidades, neste e nos pr´ oximos cap´ıtulos, ainda que relativamente formal, n˜ao perseguir´a o rigor utilizados por textos mais avanc¸ados. Estrutura do cap´ıtulo

Este cap´ıtulo inicia discutindo o conceito de probabilidade segundo as vis˜ oes de 2 escolas de pensamento na Estat´ıstica, respectivamente, a escola cl´assica e a escola bayesiana. ˜es fundaA seguir, no restante do cap´ıtulo, s˜ao introduzidas noc¸o mentais necess´arias para a caracterizac¸˜ao dos elementos da teoria de ˜es s˜ao: probabilidades examinados no pr´ oximo cap´ıtulo. Essas noc¸o evento, espac¸o amostral, e espac¸o de eventos. Adicionalmente, s˜ao ˜es que caracterizam a ´algebra apresentadas e exemplificadas as operac¸o de eventos, cujo papel ´e essencial na operacionalizac¸˜ao da teoria de probabilidades.

1.2 Significados de probabilidade ˜ classica ´ ˜ bayesiana 1.2.1 Visao × visao A interpretac¸˜ao do significado da noc¸˜ao de probabilidade difere dentro das duas principais escolas de pensamento existentes na es1 ˜es assumidas como verdadeiras, justificadas em muitos Axiomas s˜ao proposic¸o casos por argumentos intuitivos.

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

• A ≡ “Pelo menos uma cara ser´a observada”. O evento A ocorrer´a, se e somente se, um dos eventos E1 , E2 ou E3 ocorrer. Ou seja, o evento A pode ser representado por A ≡ E1 ∪ E2 ∪ E3 . Com relac¸˜ao ao mesmo experimento, o interesse poderia estar no evento • B ≡ “resultados diferentes nas duas moedas”. Nesse caso, o evento B ocorrer´a se e somente se ocorrerem os eventos E2 ou E3 , que corresponde a B ≡ E2 ∪ E3 . O evento C , definido por • C ≡ “pelo menos uma cara ser´a observada” e “resultados diferentes nas duas moedas”, poderia ser representado por C ≡ A ∩ B, ou seja, os eventos A e B devem ocorrer para que o evento C ocorra. Assim, para que C ocorra, E2 ou E3 devem ocorrer. Mas E2 e E3 s˜ao exatamente os eventos que constituem a intersecc¸˜ao dos eventos elementares que caracterizam A e os eventos elementares que caracterizam B. Consequentemente, o evento C poderia ent˜ao ser representado de v´arias maneiras alternativas: • C ≡ A ∩ B; • C ≡ E2 ∪E3 , em termos da intersecc¸˜ao de eventos elementares; e • C ≡ {E2 , E3 }, que ´e um subcolec¸˜ao de eventos elementares do espac¸o amostral Ω.

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´ Cap´ıtulo 1 - Probabilidade: Conceitos Basicos

Nesse contexto, o pr´ oprio espac¸o amostral do evento associado ao lanc¸amento das duas moedas poderia ser representado por Ω ≡ E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 . Eventos e o Diagrama de Venn

´ usual a utilizac¸˜ao do diagrama de Venn para facilitar o entendiE ˜es entre eventos. A Figura 1.1 ilustra um espac¸o mento de operac¸o amostral Ω dentro do qual est˜ao definidos os eventos A e B. Para entender esse diagrama no contexto de eventos ´e necess´ario dar uma interpretac¸˜ao apropriada `a geometria do diagrama.

Diagrama de Venn

B

B

A

A

A


B B

B

A

A AU B

A/ B

˜es Figura 1.1: Diagrama de Venn: algumas operac¸o O leitor pode entender o retˆangulo que define Ω como se fosse um alvo onde um indiv´ıduo vai lanc¸ar um dardo. Se o dardo n˜ao cair no alvo ele jogar´a novamente at´e atingi-lo. Esse seria o experimento. O resultado desse experimento seria um ponto qualquer dentro do retˆangulo. O conjunto desses pontos define o espac¸o amostral Ω. O

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

evento A seria equivalente ao resultado onde o dardo cai num ponto da regi˜ao definida por A. O evento B seria definido de forma equivalente. ˜es s˜ao representadas graficamente na Figura 1.1. Algumas operac¸o ´ E importante observar, contudo, que o diagrama representa uma situac¸˜ao geom´etrica bem particular, que ´e boa para desenvolvimento da intuic¸˜ao mas n˜ao possibilita uma demonstrac¸˜ao rigorosa de re˜es gerais, onde somente as sultados envolvendo eventos em situac¸o ˜es alg´ebricas s˜ao totalmente convincentes. demonstrac¸o ˆ ˜ da logica ´ Equivalencia com a notac¸ao formal (opcional)

Como a definic¸˜ao de um evento ´e equivalente `a de uma proposic¸˜ao l´ ogica, o evento A do t´ opico anterior poderia ser definido como: A ≡ E1 ∨ E2 ∨ E3 , onde ∨ ´e o operador que define o “ou” l´ ogico ou a disjunc¸˜ao em termos da linguagem utilizada pela l´ ogica formal. O uso da notac¸˜ao ∪ em lugar do ∨ ´e mais comum no contexto da ´algebra de eventos. De forma an´aloga, o evento C poderia ser representado por C ≡ A ∧ B, ou seja, o s´ımbolo ∧ ´e equivalente a s´ımbolo ∩, em termos da ´algebra de eventos. Considerando os elementares E1 , E2 , E3 e E4 , seria poss´ıvel definir, em termos da linguagem usada pela l´ ogica, C ≡ (E1 ∨ E2 ∨ E3 ) ∧ (E2 ∨ E3 ), de onde decorre, por equivalˆencia l´ ogica, que C poderia ser representado simplesmente por: C ≡ E2 ∨ E3 . Apesar de sua equivalˆencia com a notac¸˜ao utilizada na l´ ogica de ˜es, a ´algebra de eventos utiliza mais comumente a notac¸˜ao proposic¸o utilizada em teoria dos conjuntos, ainda que a interpretac¸˜ao das

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˜es realizadas seja mais facilmente deriv´avel a partir dos reoperac¸o sultados da l´ ogica formal.

1.5 Eventos: alguns qualificadores Evento complementar

Para um evento A qualquer, seu evento complementar ´e representado por A na ´algebra de eventos, correspondendo `a uni˜ao dos eventos elementares que restam em Ω quando os eventos elementares que caracterizam A s˜ao exclu´ıdos de Ω. O complementar pode ser obtido pelo uso do operador \, que em teoria dos conjuntos indica diferenc¸a entre sub-conjuntos, por: A = Ω \ A. Para o evento A, definido no t´ opico anterior, seu complementar, A, seria A = Ω \ {E1 , E2 , E3 } = E4 , dado que Ω, nesse caso, ´e definido por Ω ≡ {E1 , E2 , E3 , E4 }. Eventos mutuamente exclusivos

Se os eventos A1 , A2 , . . . , An ∈ E s˜ao mutuamente exclusivos isso significa que a ocorrˆencia de um dos eventos da colec¸˜ao implica na n˜ao-ocorrˆencia dos outros eventos da colec¸˜ao (apenas um deles pode ocorrer). Mais formalmente, para 2 eventos, essa noc¸˜ao poderia ser formalizada na seguinte definic¸˜ao: Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos -

Os eventos A1 e A2 s˜ao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando A1 ∩ A2 = ∅.

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Em geral, n eventos A1 , . . . , An ser˜ao mutuamente exclusivos se \ Ai ∩ A j = ∅, ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}. i 6= j

Eventos coletivamente exaustivos

Se os eventos A1 , A2 , . . . , An ∈ E s˜ao coletivamente exaustivos isso significa que pelo menos um dos eventos ocorrer´a. Mais formalmente, essa noc¸˜ao pode ser formalizada na seguinte definic¸˜ao: Os eventos A1 , A2 , . . . , An s˜ao coletivamente exaustivos se

Eventos coletivamente exaustivos -

n [

Ai = Ω.

i =1

Eventos podem ser ou n˜ao ser (simultaneamente) mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos. No caso em que n eventos aten˜es (mutuamente exclusivos e coletivamente exausdem `as 2 condic¸o tivos), pode concluir-se que somente um dos eventos ocorrer´a (os outros n˜ao) com certeza, no contexto do espac¸o de eventos. ´ltimas definic¸o ˜es: O seguinte exemplo ilustra essas u 1.4 – Experimento: Sorteio de 2 bolas, com reposic¸˜ao, de uma urna com 2 bolas brancas (b ) e 2 bolas vermelhas (v) de iguais dimens˜ oes, em que Ω ≡ {b b , b v, v b , v v}. Considere os seguintes eventos relacionados a esse experimento: Exemplo

• Evento E1 ≡ “duas bolas da mesma cor”. • Evento E2 ≡ “pelo menos uma bola branca”. • Evento E3 ≡ “resultados diferentes”. • Evento E4 ≡ “duas bolas vermelhas”.

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15

Nesse caso tem-se que: (a) E1 e E3 s˜ao mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos; (b) E1 e E2 s˜ao coletivamente exaustivos mas n˜ao s˜ao mutuamente exclusivos; (c) E3 e E4 s˜ao mutuamente exclusivos mas n˜ao s˜ao coletivamente exaustivos; (d) E1 e E4 n˜ao s˜ao mutuamente exclusivos nem mesmo coletivamente exaustivos.

1.6

´ Algebra de eventos: propriedades

˜es Nos desenvolvimentos considerados ao longo das pr´ oximas sec¸o ser˜ao assumidas como verdadeiras as seguintes 7 propriedades cuja justificativa vem da teoria de conjuntos e da l´ ogica formal. Nesses desenvolvimentos, os s´ımbolos A, B e C representam eventos definidos no contexto de um dado espac¸o amostral Ω: 1. A ∪ B = B ∪ A (prop. 1). 2. A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C (prop. 2). 3. A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (prop. 3). 4. A = A (prop. 4). 5. (A ∩ B) = A ∪ B (prop. 5). 6. A ∩ A = ∅ (prop. 6). 7. A ∩ Ω = A (prop. 7). A partir dessas propriedades ´e poss´ıvel provar muitos outros resultados importantes, descritos a seguir. Para facilitar a demonstrac¸˜ao desses resultados, ser˜ao indicadas na demonstrac¸˜ao ˜es ou propriedades aceitas que est˜ao sint´etica as principais proposic¸o sendo utilizadas atrav´es da notac¸˜ao (prop. n), onde n ´e o n´ umero da proposic¸˜ao ou resultado utilizado. Os passos que exigem o uso da prop. 1 foram omitidos nas provas.

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

• Ω = ∅. (prop. 8) ¯ ∩Ω=Ω ¯ (prop. 7), logo Prova: Ω ∩ Ω = ∅ (prop. 6), mas Ω Ω = ∅. ƒ • ∅ = Ω (prop. 9) Prova: Ω = ∅ (prop. 8), logo Ω = ∅, mas Ω = Ω (prop. 4), logo ∅ = Ω. ƒ • A ∪ A = Ω (prop. 10) Prova: A∩A = ∅ (prop. 6) logo A ∩ A = ∅, mas A ∩ A = A∪A (prop. 5) e ∅ = Ω (prop. 9), logo A ∪ A = Ω. ƒ • B ∪ ∅ = B (prop. 11) Prova: B ∩ Ω = B (prop. 7 onde A ≡ B), mas B ∩ Ω = B logo B ∪ ∅ = B (prop. 5 e prop. 8). ƒ • A ∩ A = A (prop. 12) Prova: A ∩ Ω = A (prop. 7), logo A ∩ (A ∪ A) = A (prop. 10); pela (prop. 3) tem-se que (A ∩ A) ∪ (A ∩ A) = A e substituindo A ∩ A = ∅ (prop. 6), e pela prop. 11, chega-se a A ∩ A = A. ƒ • A ∪ A = A (prop. 13) Prova: Ver exerc´ıcio. • A ∪ Ω = Ω (prop. 14) Prova: A ∪ A = Ω (prop. 10) logo, fazendo a uni˜ao com A nos dois lados e usando (prop. 13), tem-se que A ∪ A = A ∪ Ω, usando novamente (prop. 10) chega-se a Ω = A ∪ Ω. ƒ • A ∪ (A ∩ B) = A (prop. 15) Prova: B ∪ Ω = Ω (prop. 14), logo A ∪ A ∪ B = Ω (prop. 10 e 1), interseccionando A nos dois lados da express˜ao e usando (prop. 3) tem-se que (A ∩ A) ∪ (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = A ∩ Ω, mas usando (prop. 12, 6 e 7), A ∪ ∅ ∪ (A ∩ B) = A, e, finalmente, A ∪ (A ∩ B) = A (prop. 11). ƒ

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17

• A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B (prop. 16) Prova: Ver exerc´ıcio. • A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (prop. 17) Prova: Desenvolvendo-se o lado direito da express˜ao chegase a ((A ∩ B) ∪ A) ∩ ((A ∩ B) ∪ B) substituindo agora o lado esquerdo da nova express˜ao por A (prop. 15 e prop. 2) e o lado direito por A ∪ B (prop. 16 e prop. 2) chega-se a A ∩ (A ∪ B), expandindo essa express˜ao com o uso de (prop. 3 e prop. 12) chega-se a A ∪ (A ∩ B), finalmente, A ∪ (A ∩ B) = A (prop. 15). ƒ • A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C (prop. 18) Prova: Ver exerc´ıcio. • A ∩ B = B ∩ A (prop. 19) Prova: Ver exerc´ıcio. • A ∩ ∅ = ∅ (prop. 20) Prova: Ver exerc´ıcio. • (A ∩ B) ∩ (A ∩ B) = ∅ (prop. 21) Prova: Usando (prop. 18 e prop. 19) tem-se que (A ∩ B) ∩ (A∩ B) = A∩ A∩ B ∩ B, desenvolvendo o lado direito e usando (prop. 13 e prop. 6) chega-se a A ∩ ∅, por (prop. 20) tem-se que A ∩ ∅ = ∅, o que completa a prova. ƒ

˜ 1.7 Considerac¸oes finais ˜es b´asicas neEste cap´ıtulo apresentou uma introduc¸˜ao `as noc¸o ˜ cess´arias para uma adequada caracterizac¸ao da teoria de probabilidades, discutida no pr´ oximo cap´ıtulo. Conceitos como experimento, espac¸o amostral, eventos, espac¸o de eventos, assim como resultados fundamentais relacionados `a ´algebra de eventos, foram definidos e discutidos, `a luz de alguns exemplos ilustrativos. Algum esforc¸o foi empreendido na especificac¸˜ao da notac¸˜ao utilizada na ´algebra de

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

eventos, fazendo-se um paralelo desta com a notac¸˜ao utilizada na l´ ogica formal. O pr´ oximo cap´ıtulo introduz os axiomas da teoria de probabilidades, teoremas decorrentes desses axiomas e resultados auxiliares, que visam fornecer ao leitor o arcabouc¸o te´ orico para desenvolvimentos mais avanc¸ados.

Exerc´ıcios 1.1 – Um experimento ´e definido pelo lanc¸amento de uma moeda e o sorteio de uma bola de uma urna contendo 2 bolas de mesmas dimens˜ oes, numeradas de 1 a 2. Caracterize o espac¸o amostral (Ω) e o espac¸o de eventos (E) desse experimento. Exerc´ıcio

1.2 – Considere o espac¸o amostral Ω indicado pelo quadrado definido num sistema de eixos cartesianos de tal forma que 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10. Exerc´ıcio

(a) Defina um experimento que poderia levar a esse espac¸o amostral. (b) Ilustre graficamente a representac¸˜ao dos seguintes eventos: • • • •

x ≤ y. max(x, y) ≤ 3. min(x, y) ≥ 3. x−y ≤3

1.3 – Dados – Considere o experimento definido pelo lanc¸amento de dois dados, cada qual com face numerada de 1 a 6. Com relac¸˜ao a esse experimento: Exerc´ıcio

(a) Caracterize o espac¸o amostral desse experimento. (b) Defina 2 eventos que sejam mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos.

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(c) Defina 2 eventos que n˜ao sejam mutuamente exclusivos nem coletivamente exaustivos. (d) Defina 2 eventos que sejam mutuamente exclusivos mas n˜ao sejam coletivamente exaustivos. (e) Defina 2 eventos que n˜ao sejam mutuamente exclusivos mas sejam coletivamente exaustivos. 1.4 – Utilizando o mesmo experimento definido no exerc´ıcio anterior, e os eventos Exerc´ıcio

• E1 ≡ “soma dos resultados nos dados ´e par”; • E2 ≡ “valor absoluto da diferenc¸a ´e 4”; e, • A ≡ E1 ∩ E2 , mostre a definic¸˜ao do evento A em termos dos eventos elementares do experimento. Mostre que a notac¸˜ao utilizada na ´algebra de eventos ´e equivalente `a notac¸˜ao utilizada na l´ ogica formal, quando os eventos s˜ao interpre˜es l´ tados como proposic¸o ogicas. Exerc´ıcio

˜es: 1.5 – Prove as proposic¸o

(a) ∅ ∩ ∅ = ∅. (b) A ∪ A = A (prop. 13) (c) (d) (e) (f)

A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B (prop. 16) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C (prop. 18) A ∩ B = B ∩ A (prop. 19) A ∩ ∅ = ∅ (prop. 20)

1.6 – Em alguns desenvolvimentos envolvendo conjuntos ´e conveniente definir-se a operac¸˜ao diferenc¸a entre dois conjuntos, que seria representada alternativamente pelos sinais - ou r de tal forma que para dois conjuntos A e B teriamos A r B = A ∩ B. Use um diagrama de Venn para ganhar um pouco de intuic¸˜ao sobre o significado da operac¸˜ao e verifique, usando as ˜es do texto, que (ArC )∩(BrC ) = (A∩B)rC . proposic¸o Exerc´ıcio

19

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

˜ indicadora – A func 1.7 – Func¸ao ¸˜ao “Indicadora”, representada por IA(x), onde A ´e um conjunto, ´e uma func¸˜ao que assume valor 1 quando x ∈ A e va´ usada no contexto da eslor zero nos outros casos. E tat´ıstica e da matem´atica para tornar mais compacta a ˜es. representac¸˜ao de algumas func¸o Exerc´ıcio

(a) Represente de forma compacta, usando a func¸˜ao indicadora, a func¸˜ao:  se x ≤ 0  0 f (x) = 3x 2 se x ∈ (0, 5]  x se x > 5 (b) Assumindo que A1 , A2 , . . . , An ∈ E verifique que • IA1 ∩A2 ...∩An (x) = IA1 (x)IA2 (x) . . . IAn (x). • IA1 ∪A2 ...∪An (x) = max[IA1 (x), . . . , IAn (x)]. • IA2 (x) = IA(x) para A ∈ E 1.8 – Notas – Um curso exigir´a 2 provas para aferir o conhecimento do aluno, cuja nota pode variar de 0 a 10. As provas tˆem peso P1 e P2 e para passar o aluno deve receber nota igual ou superior a 6. Mostre graficamente o espac¸o amostral de resultados que o aluno pode receber no curso e indique o evento “aluno passou no curso” dentro do espac¸o amostral, considerando 2 casos: Exerc´ıcio

(a) P1 = 1 e P2 = 1. (b) P1 = 1 e P2 = 2. 1.9 – Mostre que num experimento com um espac¸o amostral com n eventos elementares distintos haver˜ao 2n elementos no espac¸o de eventos (E)? Dica: seria o mesmo que obter o n´ umero de subconjuntos distintos obtidos de n elementos, n˜ao esquecendo Exerc´ıcio

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Cap´ıtulo 2

Probabilidade: Fundamentos da Teoria ˜ 2.1 Introduc¸ao Este cap´ıtulo introduz os resultados fundamentais da teoria de probabilidades, decorrentes dos pressupostos utilizados em seu desenvolvimento axiom´atico. A apresentac¸˜ao se utiliza da notac¸˜ao e resultados descritos no cap´ıtulo anterior, associados `a ´algebra de eventos. Os resultados da teoria est˜ao sintetizados em alguns poucos te˜es, que n˜ao s˜ao dif´ıceis de entender. A dificuldade oremas e definic¸o principal da teoria de probabilidades est´a na operacionalizac¸˜ao desses ˜es da ´algebra de eventos, resultados te´ oricos, juntamente com as noc¸o no contexto da soluc¸˜ao problemas de interesse. O leitor s´ o ir´a adquirir essa capacitac¸˜ao solucionando exerc´ıcios que demandem o uso desse instrumental te´ orico. Para isso, uma extensa lista de exerc´ıcios ´e proposta ao fim deste cap´ıtulo para facilitar a capacitac¸˜ao do leitor nesses conceitos.

˜ probabilidade e axiomas 2.2 Func¸ao A func¸˜ao probabilidade, aqui representada por Pr(·), ´e definida no ˜es introduzidas no cap´ıtulo anterior. O argumento contexto das noc¸o 23

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

dessa func¸˜ao Pr(·) ser´a sempre um evento de um espac¸o de eventos e o resultado obtido ser´a sempre um n´ umero entre 0 e 1, que ´e o valor da probabilidade desse evento de interesse. Do ponto de vista formal, Pr(·) ´e uma func¸˜ao cujo dom´ınio ´e E, com contra-dom´ınio no intervalo [0, 1] do eixo dos n´ umeros reais. Espac¸o de probabilidades

Os desenvolvimentos usuais em teoria de probabilidades s˜ao realizados sempre dentro do contexto de um espac¸o de probabilidades, ainda que em alguns casos isso n˜ao seja claramente explicitado. A definic¸˜ao dessa noc¸˜ao ´e apresentada a seguir. Espac¸o de Probabilidades -

´ definido como a colec¸˜ao E

formada por {Ω, E, Pr(·)}, onde Ω ´e o espac¸o amostral, E ´e o espac¸o de eventos e Pr(·) ´e a func¸˜ao probabilidade, definidas dentro de um certo contexto. Axiomas da teoria de probabilidades

Essa func¸˜ao de probabilidade Pr(·) satisfaz os seguintes axiomas (Axiomas de Probabilidade de Kolmogorov), onde A ´e um evento qualquer definido no contexto de um espac¸o de probabilidades {Ω, E, Pr(·)}: Axioma 1 -

Pr(A) ≥ 0 para qualquer evento A ∈ E.

Axioma 2 -

Pr(Ω) = 1, onde Ω ´e o espac¸o amostral.

Se A1 , A2 . . . , An ∈ E s˜ao eventos mutuamente exclusivos tem-se que Pr(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = Pn Pr(A i ). i =1

Axioma 3 -

˜ para Pr(·) e axiomas Motivac¸ao

Intuitivamente, a func¸˜ao probabilidade Pr(·) pode ser entendida como uma medida do “grau de certeza” associado a um evento antes da

Páginas Selecionadas do Livro -- www.LaplaceBooks.com/estatistica ˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

25

realizac¸˜ao de uma repetic¸˜ao do experimento ou observac¸˜ao da incerteza que define o evento. O valor 1 indicaria certeza absoluta da ocorrˆencia do evento e 0, por outro lado, a menor valor de certeza poss´ıvel associada a ocorrˆencia desse evento. Esse entendimento, que ´e comum em estat´ıstica, tende a ser mais compat´ıvel com noc¸˜ao bayesiana do conceito de probabilidade discutida no cap´ıtulo anterior (ainda que isso n˜ao seja necessariamente expl´ıcito em muitos desenvolvimentos). A outra interpretac¸˜ao seria a freq¨ uentista, como o limite da freq¨ uˆencia de ocorrˆencia do evento na medida que a situac¸˜ao que est´a produzindo esse evento ´e repetida ˜es ideais. As duas interpretac¸o ˜es foram infinitas vezes em condic¸o brevemente discutidas no cap´ıtulo anterior. Com respeito aos axiomas, pode ser estranho ter que aceitar sua validade sem argumentos mais intuitivos. Esses axiomas podem ser justificados de uma forma rigorosa como uma conseq¨ uˆencia l´ ogica ˜es de requisitos desej´aveis para um processo de inferˆencia em condic¸o de incerteza como foi demonstrado por R. T. Cox (1946, 2001). Uma discuss˜ao interessante sobre o assunto ´e apresentada em Jaynes (2003).

2.3 Teoremas fundamentais - I Alguns resultados importantes decorrem dos axiomas de probabilidade e propriedades associadas ao espac¸o de probabilidades. Esses resultados s˜ao apresentados a seguir na forma de teoremas. 2.1 – Pr(∅) = 0. Se A1 = ∅, . . . , An = ∅ tem-se que Ai ∈ E (uma sigma-´algebra noS caso). DestaPforma usando o Axioma ∞ Pr(Ai ). Mas, por si3 tem-se que Pr( i=1 Ai ) = ∞ i =1 metria, Pr(Ai ) = Pr(A j ) = ε para quaisquer i e j dos S∞ eventos definidos. P∞ P∞ Mas i =1 Ai = ∅ logo Pr(∅) = ´nica forma dessa equac¸˜ao ser Pr(Ai ) = i =1 ε; a u i=1 verdadeira seria no caso em que ε = 0, logo Pr(∅) = 0. ƒ Teorema

Prova:

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

ra´ızes reais atrav´es de Pr(Ra´ızes reais) =

N (A) N (Ω)

onde A ´e a regi˜ao em que b 2 − c ≥ 0, N (A) ´e a ´area dessa regi˜ao e N (Ω) ´e a ´area do espac¸o amostral. Resolvendo essas ´areas em termos de k, chega-se a 3

N (A) =

12k 2 − 4k 2 3

e N (Ω) = 4k 2 .

Logo, 1 Pr(Ra´ızes reais) = 1− p e lim Pr(Ra´ızes reais) = 1. k→∞ 3 k ˜ de probabilidades Dificuldades para a atribuic¸ao

Eventos elementares n˜ao necessariamente tˆem a mesma chance de ocorrˆencia mas, em alguns casos, por argumentos de simetria e bom senso ´e poss´ıvel se estabelecer as probabilidades desses eventos. Em outros casos essa tarefa pode ser mais complexa. Muito do trabalho que faz a estat´ıstica ´e relacionado `a esti˜es relacionadas, a partir de mativa dessas probabilidades, ou noc¸o ˜es emp´ıricas e outros conhecimentos existentes. Nesse observac¸o contexto, a escola cl´assica e a escola bayesiana podem sugerir estrat´egias diferentes. Seja qual for a situac¸˜ao, essa atribuic¸˜ao de probabilidades deve ser realizada de uma forma compat´ıvel com a teoria de probabilidades. ´ ´ Probabilidades e analise combinatoria

Um problema que freq¨ uentemente dificulta a atribuic¸˜ao de probabilidades ´e a descric¸˜ao adequada do espac¸o amostral. Muitos conceitos relacionados `a an´alise combinat´ oria auxiliam a descric¸˜ao dos espac¸os e atribuic¸˜ao de probabilidades aos eventos elementares, devendo ser utilizados quando necess´ario. O Apˆendice A apresenta breve revis˜ao

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˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

de alguns conceitos de an´alise combinat´ oria que s˜ao freq¨ uentemente utilizados para caracterizac¸˜ao e contagem de eventos. Dois exemplos s˜ao apresentados a seguir para ilustrar a natureza ˜es. das dificuldades que ocorrem nessas situac¸o 2.4 – Flush no poker – Considere um baralho comum de 52 cartas (com 4 naipes de 13 cartas de 2 ao ´as, sem coringas). Suponha que s˜ao tiradas ao acaso 5 cartas desse baralho (sem reposic¸˜ao). Qual seria a probabilidade de que essas cartas sejam todas do mesmo naipe, caracterizando uma jogada chamada flush no poker? Exemplo

inicialmente deve-se obter o n´ umero de poss´ıveis amostras de 5 cartas de uma baralho com 52 cartas (ou seja, o n´ umero de m˜aos poss´ıveis), que ser´a representado por N (Ω). Como cada poss´ıvel m˜ao tem igual chance de ocorrer, dai sai o argumento para cˆ omputo da probabilidade. Por aplicac¸˜ao de princ´ıpios de an´alise combinat´ oria chega-se a   52 N (Ω) = . 5 ˜ Soluc¸ao:

A pr´ oxima quest˜ao ´e saber quantas dessas N (Ω) ˜es de 5 cartas atendem `a condic¸˜ao poss´ıveis combinac¸o estabelecida (todas do mesmo naipe). Para um naipe definido, haver˜ao   13 5 maneiras de se retirar 5 cartas. Representando por N (A) o n´ umero de amostras que atendem ao flush e considerando que existem 4 naipes diferentes, conclui-se que
  4 13 13 5 N (A) = 4 e Pr(flush) = 52
. 5 5

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Quem entende um pouco de poker, saber´a que esse resultado inclui tamb´em o chamado straight flush, ou seja, m˜aos que cont´em as seguidas do mesmo naipe, que s˜ao as jogadas com um valor maior que um flush simples sem cartas em seq¨ uˆencia. Assim, essas m˜aos com uma seq¨ uˆencia precisariam ser descontadas para obtenc¸˜ao da probabilidade do flush simples. Como haver˜ao 9 seq¨ uˆencias poss´ıveis, desconsiderando a possibilidade do ´as iniciar a seq¨ uˆencia (poss´ıvel em algumas regras), definidas por: {2, 3, 4, 5, 6}, . . . , {10,V , D, R, A}, em cada um dos 4 naipes. Descontando essas possibilidades, chega-se a Pr(flush simples) =

4×

13
−4×9 5 . 52
5

2.5 – Unidades de capital – Suponha que vocˆe tem n unidades de capital que podem ser empregadas em k investimentos alternativos. Os investimentos dispon´ıveis somente aceitam valores inteiros de capital para ˜es. De quantas maneiras diferentes pode o caas aplicac¸o pital existente ser aplicado nos k investimentos ? Se as ˜es para os investimentos fossem aleat´ alocac¸o orias, qual seria a probabilidade de observarmos todos os investimentos com pelo menos uma unidade de capital investido ? ˜ Essa situac Soluc¸ao: ¸˜ao ´e equivalente ao problema que envolve a alocac¸˜ao de n bolas idˆenticas em k urnas distintas. Essa situac¸˜ao pode ser representada simbolicamente pela met´afora das “bolas e paredinhas”. Por exemplo,

Exemplo

|oo||o|ooo|o||

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˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

por Pr(R = c ∩ P = 2) = Pr(P = 2|R = c) Pr(R = c) 1 1 · , = 6 2 pelo resultado associado `a probabilidade da intersecc¸˜ao visto anteriormente. Essa operac¸˜ao corresponde ao produto das probabilidades nos v´arios n´ıveis da ´arvore, para um evento final (elementar) espec´ıfico.

Evento final R=c (cara) Pr(R=c)=1/2

P

R

R=k (coroa)

P Pr(R=k)=1/2

P=5

Probabilidade

R=c

P=5

1/2

P=1 Pr(P=1|R=k)=1/6 R=k

P=1

1/12

P=2 Pr(P=2|R=k)=1/6 R=k

P=2

1/12

P=3 Pr(P=3|R=k)=1/6 R=k

P=3

1/12

P=4 Pr(P=4|R=k)=1/6 R=k

P=4

1/12

P=5 Pr(P=5|R=k)=1/6 R=k

P=5

1/12

P=6

1/12

Pr(P=5|R=c)=1

P=6 Pr(P=6|R=k)=1/6

R=k

´ Figura 2.4: Arvore de probabilidade: moeda e dado

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

2.6 Teoremas fundamentais II S˜ao apresentados a seguir alguns teoremas que se utilizam da noc¸˜ao de condicionamento detalhada na sec¸˜ao anterior. Alguns desses teoremas s˜ao vers˜ oes generalizadas de teoremas j´a apresentados anteriormente. Probabilidades Totais

O pr´ oximo teorema apresenta um resultado que possibilita a decomposic¸˜ao da probabilidade de um dado evento em termos de uma combinac¸˜ao linear de probabilidades condicionais, definidas a partir de eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos. 2.5 – Probabilidades totais – Se B1 , . . . , Bn s˜ao eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos, e A ´e um evento qualquer, dentro do contexto de um espac¸o de probabilidades, ´e verdade que:

Teorema

Pr(A) =

n X

Pr(A|Bi ) Pr(Bi ).

i =1

Estendendo a prop. 17 do cap´ıtulo anterior, temSn se que A = i=1 (A ∩ Bi ) mas, usando extens˜ao de prop. 21, tem-se que (A∩Bi )∩(A∩B j ) = ∅ para quaisquer i , j ∈ {1, . . . , n}, logo pelo Axioma 3 e usando a definic¸˜ao de probabilidade condicional, chega-se a:

Prova:

Pr(A) =

n X i=1

Pr(A ∩ Bi ) =

n X

Pr(A|Bi ) Pr(Bi ). ƒ

i=1

Em particular, se C e C s˜ao eventos complementares tem-se que Pr(A) = Pr(A|C ) Pr(C ) + Pr(A|C ) Pr(C ), num caso particular da aplicac¸˜ao do teorema. Os pr´ oximos dois ˜es desse resultado. exemplos apresentam aplicac¸o

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

˜ Exemplos de aplicac¸oes do teorema de Bayes

˜es elementares Os pr´ oximos exemplos apresentam algumas aplicac¸o do teorema de Bayes e de outros resultados vistos at´e o momento neste cap´ıtulo. 2.9 – Jogo de moeda e dado III – Considere a situac¸˜ao anterior do Exemplo 2.6, ilustrada na Figura 2.4. Suponha que se sabe que o jogador recebeu $ 5 em uma dada jogada. Qual ´e a probabilidade de que nessa jogada o resultado obtido no lanc¸amento da moeda tenha sido coroa? Exemplo

˜ Soluc¸ao:

O que o problema est´a demandando ´e o valor

de Pr(R = k|P = 5), ou simplesmente Pr(k|5), usando uma notac¸˜ao condensada. Mas, pelo teorema de Bayes, tem-se que Pr(k | 5) =

Pr(5 | k) Pr(k) Pr(5 | c) Pr(c) + Pr(5 | k) Pr(k)

ou Pr(k | 5) =

1·

1 1 · 6 2 1 + 61 2

·

1 2

=

.

1 7

Se, por outro lado, a pergunta tivesse sido a probabilidade de se ter obtido cara, numa situac¸˜ao em que o pagamento foi de $ 6, ou seja Pr(c | 6), o resultado seria Pr(c | 6) = 0, por aplicac¸˜ao do teorema de Bayes, dado que Pr(6 | c) = 0 nesse caso. Exemplo 2.10 – Moedas m5 e m8 – Duas moedas s˜ ao utilizadas em um experimento. Uma delas (m5 ), ´e uma moeda comum que se lanc¸ada, apresenta uma probabilidade de 0,5 para o resultado cara (c). A outra (m8 ) ´e uma moeda diferente das usuais, que apresenta probabilidade 0,8 para o resultado cara.

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˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

Uma das moedas foi selecionada aleatoriamente e lanc¸ada, sendo o resultado observado uma cara. Qual a probabilidade de que foi m5 a moeda selecionada para o lanc¸amento? ˜ Soluc¸ao: O espac¸o amostral Ω dessa desse experimento ´e definido por:

Ω ≡ {m5 ∩ c, m5 ∩ k, m8 ∩ c, m8 ∩ k}, e Figura 2.5 mostra a ´arvore de probabilidades que caracteriza a situac¸˜ao. As incertezas M e R na ´arvore caracterizam, respectivamente, a moeda sorteada e o resultado observado ap´ os o lanc¸amento (cara-c ou coroa-k). O que se deseja ´e conhePr

R=c

m5

c

0,25

m5

k

0,25

Pr( c | m5 ) = 1/2

m5 Pr(m5)=1/2

R

R=k Pr( k | m5 ) = 1/2 M

R=c

m8

c

0,40

m8

k

0,10

Pr( c | m8 ) = 4/5

m8

R

Pr(m8)=1/2

R=k Pr( k | m8 ) = 1/5

Problema das moedas m5 e m8

´ Figura 2.5: Arvore do problema das moedas m5 e m8 cer Pr(m5 |c). Mas, pelos resultados dos teoremas vistos,

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

tem-se que Pr(m5 |c) = = =

Pr(m5 ∩ c) Pr(c) Pr(c|m5 ) Pr(m5 ) Pr(c|m5 ) Pr(m5 ) + Pr(c|m8 ) Pr(m8 ) 5 0,25 = . 0,25 + 0,40 13

Logo, a probabilidade de ter sido a moeda m5 a sorteada inicialmente ´e 5/13, frente a evidˆencia do resultado cara observado. 2.11 – Culpa do Suspeito – Um assassino deixou, no local do crime, manchas de sangue de um tipo que ocorre em 25% das pessoas da populac¸˜ao. Um indiv´ıduo X ´e suspeito de ser esse assassino e um dos argumentos utilizados pela pol´ıcia para prendˆe-lo ´e que o tipo sangu´ıneo dele ´e idˆentico ao do assassino. Exemplo

(a) Avalie a importˆancia dessa evidˆencia apresentada pelo tipo sangu´ıneo, assumindo que antes de conhecer o resultado do exame de sangue do suspeito a pol´ıcia acreditava que o indiv´ıduo X era o assassino com 50% de probabilidade. (b) Suponha que ´e p a probabilidade de se encontrar o tipo sang¨ uineo observado no local do crime. Ache a soluc¸˜ao alg´ebrica e resolva para p = 1/10000 uma situac¸˜ao de tipo sang¨ uineo mais rara na populac¸˜ao. considere o evento A como caracterizando a situac¸˜ao em que o indiv´ıduo X ´e o assassino, e A seu complementar e o evento T + caracterizando o teste positivo para o tipo sang¨ uineo encontrado na cena do crime, com T − sendo o evento complementar. ˜ Soluc¸ao:

A situac¸˜ao do problema ´e ilustrada pela ´arvore da Figura 2.6. Nessa ´arvore, o primeiro n´ıvel representa a

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Se definirmos genericamente Pr(T + |A) = p, a soluc¸˜ao geral seria definida por Pr(A|T +) =

1 1+ p

.

Se p = 1/10000 a probabilidade desejada ser´a dada por Pr(A|T +) =

10000 10001

,

ou seja, a probabilidade do indiv´ıduo ser o criminoso ´e pr´ oxima de 1 nesse caso, condicionamente `a evidˆencia observada. ˆ 2.12 – Cancer e cigarro – Comumente as pessoas precisam realizar inferˆencias que requerem processamento da evidˆencia dispon´ıvel de uma forma contr´aria `aquela que ´e observada. Suponha, por exemplo, um m´edico que trabalha em um hospital que trata pacientes com cˆancer no pulm˜ao. Pelos dados e sua experiˆencia tˆem uma id´eia aproximada da freq¨ uˆencia de fumantes nesses pacientes que morreram desse tipo de cˆancer. Suponha que ele deseja inferir algo sobre uma poss´ıvel associac¸˜ao do fumo com a morte por cˆancer no pulm˜ao em pessoas. Seria essa evidˆencia derivada de sua experiˆencia suficiente para alguma conclus˜ao? Exemplo

˜es para os evenConsidere as seguintes definic¸o tos de interesse relativos a uma pessoa X tirada ao acaso da populac¸˜ao de pessoas falecidas no ano passado, com uma certa idade definida: C ≡ “X morreu de cˆancer no pulm˜ao” e F ≡ “pessoa X fumou durante sua vida”, e seus complementares. ˜ Soluc¸ao:

Para inferir algo sobre uma poss´ıvel associac¸˜ao do fumo com a morte pelo cˆancer, seria interessante obter estimativas para Pr(C |F ) e Pr(C |F ). A raz˜ao dessas duas pro-

Páginas Selecionadas do Livro -- www.LaplaceBooks.com/estatistica ˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

51

´ 2.8 – Formula de Poincare´ – Se B1 , . . . , Bn ∈ E tem-se que Teorema

Pr(

n [

Bi ) =

i=1

n X

Pr(Bi ) −

i =1

+

X

X

Pr(Bi ∩ B j )

i6= j

Pr(Bi ∩ B j ∩ Bk )

i 6= j 6=k

+ . . . + (−1)n−1 Pr(B1 ∩ . . . ∩ Bn ). Nota: Para o caso em que n = 3 o teorema indica que Pr(B1 ∪ B2 ∪ B3 ) = Pr(B1 ) + Pr(B2 ) + Pr(B3 ) − Pr(B1 ∩ B2 ) − Pr(B1 ∩ B3 ) − Pr(B2 ∩ B3 ) + Pr(B1 ∩ B2 ∩ B3 ). Prova:

Veja Feller (1968).

O pr´ oximo exemplo descreve uma aplicac¸˜ao interessante desse ´ltimo teorema. u 2.13 – Casamento na Russia ´ – Na R´ ussia h´a um procedimento tradicionalmente utilizado para verificar se uma determinada garota ir´a casar no futuro pr´ oximo2 . A garota deve segurar em sua m˜ao, fechada, 6 pedac¸os de barbante, de forma que as pontas saiam dos 2 lados da m˜ao e permitam que sejam amarradas. Uma amiga ´e ent˜ao solicitada a amarrar as pontas de um lado e de outro da m˜ao (uma a uma). A Figura 2.7 ilustra essa situac¸˜ao. A m˜ao ´e ent˜ao aberta, verificando-se quantos aneis de barbante foram formados. Segundo a tradic¸˜ao, se pelo menos 1 anel for formado isso significa que a garota ir´a casar proximamente. Qual ´e a probabilidade do teste indicar que a garota n˜ao ir´a casar no futuro pr´ oximo?

Exemplo

2

Veja Feller (1968, p.99).

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Esse problema pode ser melhor visualizado considerando seis bolas numeradas de 1 a 6, e seis caixas numeradas de 1 a 6. Se as bolas s˜ao sorteadas 1 a 1, sem reposic¸˜ao, para serem colocadas em cada uma das caixas, a probabilidade de n˜ao coincidir nenhuma bola com a caixa de numerac¸˜ao correspondente ´e a mesma probabilidade de n˜ao se observar um ou mais an´eis nos barbantes amarrados (pense cada barbante com uma ponta representando a bola e a outra ponta representando a caixa).

˜ Soluc¸ao:

Figura 2.7: Teste dos barbantes para casamento (R´ ussia) Como resultado preliminar `a soluc¸˜ao, pode-se observar que ser´a 6! o n´ umero total de maneiras diferentes com que as bolas podem ser colocadas nas caixas (ou maneiras diferentes com que os barbantes s˜ao amarrados). Ademais, se Ei ´e o evento em que a bola i est´a na caixa i , para um i definido entre 1 e 6, ser˜ao observa˜es de bolas em que o evento Bi ocordas 5! configurac¸o rer´a (obtido pela fixac¸˜ao da bola i na caixa i ). Nessas

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Para 3 eventos A, B e C A

Notação

B C

A

B C

A

B

Possível

Possível

A

B

Possível

Possível

A

B

A e B são independentes

A

B

A e B não são independentes

A

B C

A e B não são independentes dado C

A

B C

A e B são independentes dado C

Figura 2.8: Possibilidades quanto `a independˆencia onde Bi indica o evento elementar que consiste na retirada da bola i da urna. Se definirmos os eventos: • X ≡ B3 ∪ B4 • Y ≡ B2 ∪ B4 • Z ≡ B2 ∪ B3 mostre que X e Y s˜ao independentes (incondicionalmente), mas que n˜ao ser˜ao condicionalmente independentes dado a ocorrˆencia do evento Z. Como Pr(X ) = 1/2 e Pr(X |Y ) = 1/2 pode-se concluir que X e Y s˜ao independentes, ou usando uma notac¸˜ao simb´ olica, X ⊥⊥ Y. ˜ Soluc¸ao:

57

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˜ Axiomas e Espac¸o Cap´ıtulo 2 - Probabilidade: Func¸ao,

independentes dado que Pr(A = alto) = 0,58 e Pr(A = alto|C = alto) = 0,845. A probabilidade de se observar um dia com um n´ıvel alto de afogamento ´e maior num dia em que o consumo de refrigerante ´e alto. Essa evidˆencia faz o pesquisador acreditar que pode existir alguma relac¸˜ao causal entre esses dois fenˆ omenos. Ao mostrar suas evidˆencias para um pesquisador mais experiente, incr´edulo quanto `a conclus˜ao de causalidade, este perguntou se os dados di´arios de temperatura estariam ˜es realizadas. Sugeriu que dispon´ıveis para as observac¸o fosse analisada uma poss´ıvel relac¸˜ao entre a temperatura (T ) e essas outras vari´aveis de interesse. O pesquisador realizou ent˜ao a an´alise dos mesmos dados, produzindo a ´arvore descrita na Figura 2.10. A A=alto T – temperatura C – consumo de refrigerante A – afogamentos T=alta

C=alto

0,9 A

A=baixo

0,9

0,1

C

A=alto

0,6 C=baixo

A

0,1

0,9 A=baixo 0,1

T

A=alto C=alto

0,1 A

A=baixo

0,1

0,9

T=baixa C

A=alto 0,1

0,4 C=baixo 0,9

A

A=baixo 0,9

´ Figura 2.10: Arvore do problema do afogamento (completa)

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

nova ´arvore inclui tamb´em a temperatura (T), definida nos n´ıveis alta e baixa, na raiz da nova ´arvore. O leitor, como exerc´ıcio, deve construir as ´arvores da Figura 2.9 a partir dessa ´arvore completa, para se certificar ˜es nas 3 ´arvores, usando da consistˆencia das informac¸o os resultados te´ oricos sobre probabilidades vistos neste cap´ıtulo. Essa nova ´arvore d´a uma nova dimens˜ao `a informac¸˜ao anterior, mostrando independˆencia condicional, representada por (A = alto) ⊥⊥ (C = alto) | T = alta, dado que Pr(A = alto|T = alta ∩ C = alto) = 0,90 e Pr(A = alto|T = alta ∩ C = alto) = 0,90. Outras independˆencias condicionais entre eventos podem ser verificadas. Um exame cuidadoso desta ´arvore completa mostra que o consumo de refrigerantes n˜ao oferece nenhuma informac¸˜ao relevante para caracterizac¸˜ao da probabilidade de um n´ıvel alto de afogamentos, uma vez que se sabe a temperatura. No fundo a temperatura do dia parece se o fator mais relevante. A explicac¸˜ao mais plaus´ıvel parece ser que num dia quente mais gente entrar´a no mar e tomar´a mais refrigerante! O exemplo mostra uma situac¸˜ao estilizada que sintetiza um dos grandes problemas existentes na an´alise de evidˆencias observacionais. No caso, a aparente relac¸˜ao existente entre os afogamentos e consumo de refrigerantes foi descaracterizada com a introduc¸˜ao da temperatura na an´alise. Esse ´e o chamado efeito da terceira vari´avel (em geral oculta). Nos problemas de estimac¸˜ao e testes, esse problema pode trazer fortes desafios ao pesquisador. Em econometria

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63

esse efeito ´e caracterizado pelo termo vi´es de selec¸˜ao ou selection bias em inglˆes.

˜ 2.8 Considerac¸oes finais Esse cap´ıtulo apresentou os fundamentos da teoria de probabilidades, incluindo todos os teoremas principais. Diversos exemplos re˜es da teoria, facilitando seu entendimento. solvidos mostram aplicac¸o A grande dificuldade para o iniciante na fixac¸˜ao dos conceitos depende do desenvolvimento da sua capacidade de utilizar esses conceitos na soluc¸˜ao de problemas, algo que pode exigir um certo esforc¸o. Uma lista extensa de problemas ´e proposta ao leitor visando apoiar seu aprendizado. A apresentac¸˜ao tamb´em introduziu as principais id´eias relacionadas com a independˆencia probabil´ıstica, nas vers˜ao incondicional e condicional. Finalmente, foi brevemente discutida a relac¸˜ao entre independˆencia e causalidade. O pr´ oximo cap´ıtulo introduz a noc¸˜ao de vari´avel aleat´ oria e sua descric¸˜ao por uma distribuic¸˜ao de probabilidade, nas vers˜ oes discreta e cont´ınua.

Exerc´ıcios 2.1 – Bonferroni – Prove o seguinte teorema que ´e conhecido por “Desigualdade de Bonferroni”: Exerc´ıcio

Pr(A ∩ B) ≥ Pr(A) + Pr(B) − 1. (dica: use o fato de que A ∩ B = (A ∪ B)) 2.2 – Se A ⊂ B mostre que Pr(B) ≥ Pr(A) [Dica: B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A) (prop. 17 do cap´ıtulo anterior)]

Exerc´ıcio

Exerc´ıcio 2.3 – Para A1 , . . . , An ∈ E mostre que Pr(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) ≤ Pr(A1 ) + Pr(A2 ) + . . . + Pr(An ).

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Cap´ıtulo 3

´ ´ Variaveis Aleatorias e ˜ Distribuic¸oes Univariadas

˜ 3.1 Introduc¸ao ˜es de vari´avel aleat´ Este cap´ıtulo introduz as noc¸o oria, distribuic¸˜ao de probabilidade e conceitos associados, focando no caso univari˜es para o caso ado. O pr´ oximo cap´ıtulo cobre essas mesmas noc¸o multivariado, ou seja, considerando vari´aveis aleat´ orias de m´ ultiplas dimens˜ oes. O conte´ udo deste e do pr´ oximo cap´ıtulo segue Mood et al.(1989) em grande medida. A apresentac¸˜ao segue uma ordem de exposic¸˜ao que inicialmente introduz a noc¸˜ao de vari´avel aleat´ oria, considerando o caso discreto e o caso cont´ınuo. A seguir, apresenta a func¸˜ao cumulativa de probabilidade ou func¸˜ao de distribuic¸˜ao, cujo significado ´e idˆentico para vari´aveis aleat´ orias discretas e para cont´ınuas. Finalmente, s˜ao apre˜es relacionadas `a distribuic¸˜ao de probabilidade de sentadas as noc¸o uma vari´avel aleat´ oria, as quais diferem quanto ao tipo de contradom´ınio da vari´avel. Para o caso discreto essa distribuic¸˜ao ´e usualmente chamada de func¸˜ao de massa enquanto que para o caso cont´ınuo ela ´e chamada de func¸˜ao de densidade. 89

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

´ ´ 3.2 Variavel aleatoria A noc¸˜ao de vari´avel aleat´oria ´e essencial em estat´ıstica e m´etodos quantitativos em geral para a representac¸˜ao compacta de fenˆ omenos incertos, de uma forma consistente com os resultados fundamentais da teoria de probabilidades. Uma vari´avel aleat´oria ´e um tipo de vari´avel que pode assumir diferentes valores num´ericos, definidos para cada evento elementar de um espac¸o amostral Ω, cada qual com uma probabilidade associada. Usualmente uma vari´avel aleat´ oria ´e representada por uma letra mai´ uscula (ex. X ), ou uma letra com um acento til (ex. x˜), nos desenvolvimentos que a utilizam. Constantes ou valores determinados s˜ao em geral representadas por letras min´ usculas nos desenvolvimentos. Deve-se destacar, contudo, que uma constante ´e tamb´em uma vari´avel aleat´ oria que assume um valor fixo com probabilidade 1. Por exemplo, num lanc¸amento de 2 moedas, seria poss´ıvel definir uma vari´avel aleat´ oria X para representar o n´ umero de caras observadas. O dom´ınio de X seria ΩX ≡ {0, 1, 2}, com as probabilidades de cada um desses poss´ıveis valores sendo 41 , 21 e 41 , respectivamente. ´ ´ ˜ formal Variavel aleatoria: definic¸ao

Uma definic¸˜ao formal de vari´avel aleat´ oria ´e apresentada a seguir. Essa definic¸˜ao deixa claro o contexto de sua definic¸˜ao, que ´e o de um espac¸o de probabilidades (definido no cap´ıtulo anterior). Alguns exemplos s˜ao apresentados ap´ os a definic¸˜ao com o objetivo de facilitar seu entendimento. – uma vari´avel aleat´ oria X qualquer, definida no contexto de um espac¸o de probabilidades {Ω, E, Pr(·)}, ´e uma vari´avel que pode assumir valores reais ou inteiros, sendo poss´ıvel para qualquer x ∈ R se obter Pr(X ≤ x). Mais formalmente, se considerarmos um espac¸o de probabilidades

´ ´ Variavel Aleatoria

{Ω, E, Pr(·)},

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Cap´ıtulo 4

´ ´ Variaveis Aleatorias e ˜ Distribuic¸oes Multivariadas ˜ 4.1 Introduc¸ao ˜es apresentadas no cap´ıtulo anterior s˜ao esNeste cap´ıtulo as noc¸o tendidas ao caso multidimensional ou multivariado. No caso, o ar´nico elemento mas um vetor de elementos. gumento n˜ao ´e mais um u Qualquer desenvolvimento um pouco mais avanc¸ado, envolvendo 2 ou mais vari´aveis aleat´ orias, requer um bom dom´ınio das ˜es associadas a distribuic¸o ˜es multivariadas. A Figura 4.1 exemnoc¸o plifica o caso de uma func¸˜ao de densidade de uma Normal bivariada, definida num espac¸o tridimensional. Casos gerais, envolvendo mais de 2 vari´aveis aleat´ orias, s˜ao facilmente trat´aveis do ponto de vista anal´ıtico mas de dif´ıcil visualizac¸˜ao, dado que s˜ao representados num espac¸o n-dimensional, com n > 3.

´ ´ Exemplo com 2 variaveis aleatorias - caso discreto

Um caso simples bivariado, envolvendo 2 vari´aveis aleat´ orias discretas, ´e ilustrado pelo seguinte exemplo: 113

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

Distribuição Normal Bivariada (função de densidade)

f(x,y)

Figura 4.1: Exemplo de distribuic¸˜ao bivariada (Normal)

4.1 – Duas Moedas - Considere o lanc¸amento de 2 moedas identificadas como m1 e m2 e atribua valor 1 ao resultado cara e 0 ao resultado coroa. O espac¸o amostral desse experimento ´e definido por Exemplo

Ω m1 m2 ≡ {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. O primeiro elemento de cada par representa o resultado de m1 e o segundo o de m2 . Defina ent˜ao duas vari´aveis aleat´ orias X1 e X2 como, respectivamente, o resultado de m1 e produto dos resultados de m1 e m2 . A func¸˜ao cumulativa e a distribuic¸˜ao de probabilidade, agora multidimensionais, seriam definidas por FX1 X2 (x1 , x2 ) = Pr(X1 ≤ x1 ∩ X2 ≤ x2 ) e fX1 X2 (x1 , x2 ) = Pr(X1 = x1 ∩ X2 = X2 ).

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˜ (caso multivariado) Cap´ıtulo 4 - Distribuic¸oes

(0,0) (0,0) (1,0)

(0,1)

(1,1)

(1,0) (1,1)

X1 e X2

M1 e M2

Figura 4.2: Distribuic¸˜ao bivariada - duas moedas

´ poss´ıvel achar os valores de E FX1 X2 (x1 , x2 ) e fX1 X2 (x1 , x2 ) para valores de x1 e x2 , atrav´es da correspondˆencia entre os eventos definidos no espac¸o amostral de X1 e X2 e os eventos definidos no espac¸o amostral de m1 e m2 . ˜es multivaQuando necess´ario, os argumentos das func¸o riadas ser˜ao separados por ponto e v´ırgula (;) para evitar confus˜ao com uma v´ırgula utilizada para separac¸˜ao de decimais. A representac¸˜ao gr´afica dessa distribuic¸˜ao de probabilidade (func¸˜ao de massa) ´e apresentada na Figura 4.2. Para saber, por exemplo, o valor de FX1 X2 (0,9; 1), que corresponde a Pr(X1 ≤ 0,9 ∩ X2 ≤ 1), isso seria equivalente obter a probabilidade do evento {(0, 0) ∪ (0, 1)} em termos do experimento definido por m1 e m2 . Essa probabilidade ´e igual a 0,50.

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

De forma similar, seria poss´ıvel conhecer o valor de fX1 X2 (1, 1), que corresponde a Pr(X1 = 1 ∩ X2 = 1), ou seja, a probabilidade do evento {(1, 1)} em termos de m1 e m2 . O valor de fX1 X2 (3, 5) seria obviamente zero.

˜ cumulativa no caso multivariado 4.2 Func¸ao Num caso bivariado, a func¸˜ao cumulativa pode ser definida, em termos de probabilidades, por FX Y (x, y) = Pr(X ≤ x ∩ Y ≤ y), envolvendo as vari´aveis aleat´ orias X e Y . Num caso geral multivariado, a func¸˜ao cumulativa seria representada por FX1 X2 ...Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = Pr(X1 ≤ x1 ∩ X2 ≤ x2 ∩ . . . ∩ Xn ≤ xn ). Uma notac¸˜ao mais compacta pode utilizar a notac¸˜ao vetorial, ~ . Nessa situac¸˜ao a pela representac¸˜ao das vari´aveis aleat´ orias por X func¸˜ao cumulativa seria definida por: • FX~ (~x ). onde

   ~ X =  

X1 X2 .. .

   .  

Xn ˜ cumulativa multivariada Propriedades gerais da func¸ao

1. FX1 X2 ...Xn (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 quando um ou mais xi → −∞, i = 1, . . . , n.

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Cap´ıtulo 5

´ Esperanc¸a Matematica e Conceitos Relacionados ˜ 5.1 Introduc¸ao Este cap´ıtulo apresenta os conceitos de esperanc¸a matem´atica, ˜es relacionadas, definidos a parvariˆancia, momentos e outras noc¸o tir do material discutido nos 2 cap´ıtulos anteriores. A apresentac¸˜ao tamb´em inclui os conceitos de momentos e cumulantes, assim como ˜es geradoras, que facilitam a obtenc¸˜ao de muitos rede suas func¸o ˜es de probabilidade e sultados importantes associados a distribuic¸o vari´aveis aleat´ orias.

´ 5.2 Esperanc¸a matematica -

E(·)

A noc¸˜ao de esperanc¸a matem´atica, ou m´edia te´orica, de uma vari´avel aleat´ oria X , representada usualmente por E(X ), E[X ], µ x , ou < X > ´e um dos conceitos mais importantes da estat´ıstica, sendo utilizado amplamente em desenvolvimentos te´ oricos e aplicados. O texto ˜es. utilizar´a as primeiras trˆes representac¸o 133

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

O leitor deve ter cuidado em entender que o significado da palavra esperanc¸a em estat´ıstica ´e t´ecnico, diferindo substancialmente do utilizado em nossa linguagem comum, o qual freq¨ uentemente est´a associado ao desejo de que algo acontec¸a. A esperanc¸a matem´atica pode, at´e mesmo, representar um valor que nunca ocorrer´a. Esse significado tamb´em n˜ao indica que a esperanc¸a ´e sempre o valor mais prov´avel, a n˜ao ser em casos particulares. Parte dos resultados importantes da estat´ıstica est˜ao associados exatamente `a relac¸˜ao que tˆem os estimadores obtidos a partir de amostras apropriadas e a esperanc¸a matem´atica. O exemplo mais simples ´e o caso do estimador definido pela “m´edia aritm´etica” de n valores amostrados de forma apropriada, computado por Pn Xi X n = i =1 . n Esse estimador (m´edia) converge (no contexto probabil´ıstico) para a esperanc¸a matem´atica (ou m´edia te´ orica), na medida que n → ∞. Esse resultado, em particular, decorre de um importante teorema dentro da estat´ıstica chamado de Lei dos grandes n´ umeros, que ˜es de convergˆencia ser´a visto no Cap´ıtulo 6, juntamente com noc¸o utilizadas em estat´ıstica.

Esperanc¸a e centro de gravidade

˜es utilizadas pela f´ısica, a Fazendo uma analogia com noc¸o esperanc¸a matem´atica indicaria o centro de gravidade ou centr´oide da distribuic¸˜ao de probabilidade. Seria poss´ıvel equilibrar a distribuc¸˜ao sobre um cursor posicionado no valor da esperanc¸a, da maneira ilustrada na Figura 5.1, para uma func¸˜ao de densidade. Para ˜es sim´etricas, a esperanc¸a ´e simplesmente o ponto que didistribuic¸o vide a distribuic¸˜ao nas suas 2 partes sim´etricas, podendo ser visualmente reconhecida.

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Cap´ıtulo 5 - Esperanc¸a e outros conceitos

f (x)

E(X )

x

centro de gravidade

Figura 5.1: Esperanc¸a: centro de gravidade da distribuic¸˜ao ˜ de esperanc¸a matematica ´ Definic¸ao

Em seguida, ser´a definida formalmente a noc¸˜ao de esperanc¸a matem´atica, nos casos discreto e cont´ınuo. – para uma vari´avel aleat´ oria discreta X define-se esperanc¸a matem´atica por:

´ Esperanc¸a matematica

E(X ) =

n X

xi fX (xi ),

i =1

se X ´e uma vari´avel aleat´ oria discreta assumindo os valores {x1 , x2 , . . . , xn }. Se X ´e uma vari´avel aleat´ oria cont´ınua, Z∞ E(X ) = x fX (x) d x. −∞

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Cap´ıtulo 6

ˆ Leis, Convergencias e Desigualdades ˜ 6.1 Introduc¸ao Este cap´ıtulo introduz o leitor a dois dos principais resultados da estat´ıstica, assim como crit´erios de convergˆencia e algumas desigualdades freq¨ uentemente utilizadas. O primeiro resultado importante ´e a Lei dos grandes n´ umeros. Esse resultado, nas suas formas fraca e forte, exemplificam modos importantes de convergˆencia no contexto de vari´aveis aleat´ orias. O segundo resultado importante ´e o Teorema do limite central, que mostra a convergˆencia da distribuic¸˜ao da m´edia amostral para uma distribuic¸˜ao Normal, na medida que cresce o tamanho da amostra. A apresentac¸˜ao ´e introdut´ oria ao assunto. Para detalhes adicionais o leitor pode consultar Billingsley (1999), Grimmett & Stirzaker (2001) e Feller (1969). Para uma boa caracterizac¸˜ao desses resultados, o cap´ıtulo discute 3 modos de convergˆencia muito utilizados em estat´ıstica. O leitor ˜es de convergˆencia usadas em estat´ıstica deve ficar atento pois as noc¸o ˜es de convergˆencia utilizadas em teoria da medida, diferem das noc¸o no c´alculo diferencial e integral, por exemplo. A seq¨ uˆencia de apresentac¸˜ao inicia pelas desigualdades de Markov e Chebyshev, que possibilitam demonstrar a forma fraca da Lei 191

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

dos grandes n´ umeros. Em seguida, ´e examinada a forma forte dessa lei e 3 modos de convergˆencia: em distribuic¸˜ao; em probabilidade; e, quase certa. A noc¸˜ao de convergˆencia em distribuic¸˜ao ´e ent˜ao utilizada para a caracterizac¸˜ao do Teorema do limite central. Finalmente, ´ltima sec¸˜ao do cap´ıtulo apresenta as desigualdades de Cauchya u ˜es. Schwartz e Jensen, assim como algumas de suas aplicac¸o

6.2 Desigualdade de Markov A desigualdade de Markov estabelece um resultado geral de importˆancia te´ orica que tamb´em permite inferˆencias probabil´ısticas a respeito de uma vari´avel aleat´ oria X . Essas inferˆencias produzem limites conservadores, mas n˜ao exigem o conhecimento da distribuic¸˜ao de probabilidade de X , mas somente E(X ), como mostram os exemplos ap´ os o detalhamento do teorema. 6.1 – Desigualdade de Markov – Se Y ´e uma vari´avel aleat´ oria que s´ o assume valores estritamente positivos (Y > 0) com esperanc¸a finita e a ´e um valor real qualquer (positivo), ´e verdade que

Teorema

Pr(Y ≥ a) ≤

E(Y ) a

.

Se Z ´e uma vari´avel aleat´ oria de forma que Z = 0, quando Y < a, e Z = a, quando Y ≥ a, tem-se

Prova:

E(Z) = 0 · Pr(Z = 0) + a · Pr(Z = a). Mas, Pr(Z = a) = Pr(Y ≥ a), dado que “Z = a” e “Y ≥ a” representam o mesmo evento, por definic¸˜ao. Logo E(Z) = a · Pr(Y ≥ a).

Páginas Selecionadas do Livro -- www.LaplaceBooks.com/estatistica ˆ e Desigualdades Cap´ıtulo 6 - Leis, Convergencias

193

Dado que, pela definic¸˜ao de Z, Y ≥ Z para todo poss´ıvel valor de Y , conclui-se que E(Y ) ≥ E(Z) ou, usando a definic¸˜ao de E(Z) j´a obtida, chega-se a E(Y ) ≥ E(Z) = a · Pr(Y ≥ a). ´ltima express˜ao, chega-se ao Rearranjando os termos da u resultado desejado: Pr(Y ≥ a) ≤

E(Y ) a

.ƒ

˜ 6.1 –Aplicac¸oes da desigualdade de Markov – Se X ´e uma vari´avel aleat´ oria positiva, o que poderia ser inferido sobre probabilidade de X ser superior a 20, se E(X ) = 5? ˜ Soluc¸ao: Usando a desigualdade de Markov seria poss´ıvel inferir que

Exemplo

Pr(X ≥ 20) ≤

5 20

,

ou seja a probabilidade de X ser maior que 20 ´e no m´aximo 41 . O melhor exemplo da aplicac¸˜ao da desigualdade de Markov ´e realizado por um corol´ario desse resultado, que ´e a desigualdade de Chebyshev, vista a seguir.

6.3 Desigualdade de Chebyshev A desigualdade de Chebyshev ´e um caso particular da desigualdade de Markov que possibilita inferˆencias probabil´ısticas `a respeito da

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

distˆancia entre uma vari´avel aleat´ oria X e sua esperanc¸a matem´atica, a partir do conhecimento de V (X ), sua variˆancia. 6.2 – Desigualdade de Chebyshev – Se X ´e uma vari´avel aleat´ oria com esperanc¸a e variˆancia finitas, representadas respectivamente por µ e σ 2 , e b ´e um valor real qualquer, ´e verdade que

Teorema

Pr(|X −µ| ≥ b ) ≤

σ2 b2

ou

Pr(|X −µ| < b ) ≥ 1−

σ2 b2

.

Usando o resultado da desigualdade de Markov, com Y = (X − µ)2 (que ´e um valor n˜ao negativo, atendendo a Markov) e a = b 2 , chega-se a

Prova:

Pr((X − µ)2 ≥ b 2 ) ≤

E[(X − µ)2 ] b2

.

Como E[(X − µ)2 ] = σ 2 e os eventos “|X − µ| ≥ b ” e “(X − µ)2 ≥ b 2 ” s˜ao equivalentes, correspondentes ao evento −b ≤ X − µ ≤ b , conclui-se o resultado desejado Pr(|X − µ| ≥ b ) ≤

σ2 b2

.

´ltima express˜ao Representando o termo da esquerda da u em termos da probabilidade do evento complementar e rearranjando a express˜ao, chega-se ao resultado alternativo σ2 Pr(|X − µ| < b ) ≥ 1 − 2 . ƒ b ˜ de Chebychev – Se X ´ e uma 6.2 –Aplicac¸ao vari´avel aleat´ oria, o que poderia ser inferido sobre probabilidade de X estar compreendido no intervalo entre

Exemplo

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´Indice Remissivo = (igualdade), 8 E (espac¸o de eventos), 6 E(X ) (esperanc¸a), 133 IA(x) (func¸˜ao indicadora), 20 Ω (espac¸o amostral), 6 V (X ) (variˆancia), 142 σ 2 (variˆancia), 142 ∩ (intersecc¸˜ao), 8 ∪ (uni˜ao), 8 >> (n˜ao-independˆencia), 56 ≡ (´e definido por), 8 ⊥⊥ (independˆencia), 56 µ (esperanc¸a), 133 \ (diferenc¸a sub-conjuntos), 13 ϕ(·) (func¸˜ao caracter´ıstica), 167

Bonferroni, 63

Cardano, G., 1 casamento na R´ ussia, 51 Cauchy-Schwartz, 209 aplicac¸˜ao, 144 causalidade, 59 centro de gravidade, veja esperanc¸a coeficiente de correlac¸˜ao, 144 e Cauchy-Schwartz, 210 coeficiente de variac¸˜ao, 143 coletivamente exaustivos, 14 combinac¸˜ao, 238 complementar, 13 constante e vari´avel aleat´ oria, 90 representac¸˜ao, 90 ´algebra de eventos, 7, 15 almost surely, veja convergˆencia convergˆencia, veja formas de convergˆencia quase certa em probabilidade, 197 amostra convergˆencia em distribuic¸˜ao, 200 composta, 226 convergˆencia em probabilidade, 202 simples, 226 convergˆencia quase certa, 203 amostragem correlac¸˜ao, veja coeficiente de ordem na, 230 correlac¸˜ao an´alise combinat´ oria, 223 ˜ correlac¸ao e independˆencia, 159 arranjo, 235 covariˆancia, 144 ´arvore de probabilidades, 37 propriedades, 145 assimetria, 169 Cox, R. T., 1, 5 coeficiente de, 170 cumulante, 165 Berger, J., 4 cumulantes e momentos, 166 Binˆ omio de Newton, 21 curtose, 169

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

coeficiente de, 171 dados observacionais, 62 De Finetti, 5 decis˜ao e risco, 214 densidade, veja func¸˜ao de densidade desigualdade de Cauchy-Schwartz, 209, 219 desigualdade de Chebyshev, 193 desigualdade de H¨ older, 209, 219 desigualdade de Jensen, 213, 219 desigualdade de Markov, 192 desvio m´edio absoluto, 180 desvio padr˜ao, 142 diagrama de Venn, 11, 67 distribuic¸˜ao bivariada, 113 distribuic¸˜ao de Irwin-Hall, 207 distribuic¸˜ao de probabilidade caso cont´ınuo, 100 caso discreto, 96 distribuic¸˜ao de probabilidade condicional, 124 distribuic¸˜ao multivariada, 113 distribuic¸˜ao Uniforme, 207 espac¸o amostral (Ω), 6 espac¸o de eventos (E), 6 espac¸o de probabilidades, 24 esperanc¸a de func¸˜ao de vari´avel, 136 e centro de gravidade, 134 indefinida, 139 esperanc¸a condicional, 152 esperanc¸a da m´edia, 150 esperanc¸a matem´atica, 133 propriedades, 140 estabilizac¸˜ao de prec¸os, 215 estat´ıstica bayesiana, 2 estat´ıstica cl´assica, 2 evento, 6, 223 complementar, 13

evento elementar, 6 eventos coletivamente exaustivos, 14 intersecc¸˜ao, 8 mutuamente exclusivos, 13 uni˜ao, 8 evidˆencia experimental, 59 evidˆencia observacional, 59 experimento, 5, 223 f´ ormula de Stirling, 243 fatorial c´alculo, 243 fmg, veja func¸˜ao geradora de momentos formas de convergˆencia, 196 F´ ormula de Poincar´e, 51 func¸˜ao cˆ oncava, 212 func¸˜ao caracter´ıstica, 206 func¸˜ao caracter´ıstica (ϕ(·)), 167 func¸˜ao convexa, 212 func¸˜ao cumulativa, 93 caso multivariado, 116 func¸˜ao cumulativa conjunta, 117 func¸˜ao cumulativa marginal, 117 func¸˜ao cumulativa multivariada propriedades, 116 func¸˜ao de densidade, 100 caso multivariado, 121 func¸˜ao de densidade marginal, 123 func¸˜ao de distribuic¸˜ao, veja func¸˜ao cumulativa func¸˜ao de massa, 96 bivariada, 113 caso multivariado, 118 func¸˜ao de massa marginal, 119 func¸˜ao geradora de cumulantes, 165 e func¸˜ao caracter´ıstica, 167 func¸˜ao geradora de momentos, 206 independˆencia, 164

Páginas Selecionadas do Livro -- www.LaplaceBooks.com/estatistica ´Indice Remissivo

func¸˜ao

geradora de (fgm), 161 func¸˜ao indicadora, 20

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momentos m´edia te´ orica, veja esperanc¸a matem´atica marginalizac¸˜ao, 119 Markov, veja desigualdade de MarH´ajek, A., 5 kov Howie, D., 3, 5 m´edia aritm´etica, 219 m´edia geom´etrica, 219 i.i.d, veja independente e identica- mediana, 168 mente distribuida (i.i.d) moda, 168 incerteza, 5 momento absoluto, 161 independˆencia, 54, 59 momento central, 161 ˜es, 158 de func¸o mutuamente exclusivos, 13 e esperanc¸a, 159 vari´aveis aleat´ orias, 126 Normal, 205 Normal bivariada, 113 independˆencia condicional, 55 vari´aveis aleat´ orias, 126 overbooking, 75 independˆencia e correlac¸˜ao, 159 independˆencia e covariˆancia, 159 independente e identicamente dis- Padronizac¸˜ao de vari´avel, 147 percentil, veja quantil tribuida (i.i.d.), 150 permutac¸˜ao, 232 integral poker, 241 de Lesbegue, 136 probabilidade, 2 de Lesbegue-Stieltjes, 136 interpretac¸˜ao bayesiana, 3 de Riemann, 136 interpretac¸˜ao freq¨ uentista, 3 ˜ interpretac ¸ a o subjetiva, 3 Jensen, 213 probabilidade condicional, 36 jogo de azar, 1 probabilidade da intersecc¸˜ao, 36 probabilidade epistˆemica, 3 Kolmogorov, A., 1 probabilidades obtenc¸˜ao, 226 ˜ l´ ogica de proposic¸oes, 12 problema Laplace, 1 3 envelopes, 76 lei da esperanc¸a total, veja teorema 3 prisioneiros, 79 da esperanc¸a da esperanc¸a acerto do chutador, 70 lei da variˆancia total, 156 agulha de Buffon, 82 lei dos grandes n´ umeros, 134, 196 amostragem por Chebyshev, forte, 199 217 fraca, 198 an´ a lise de solo, 70 Lindley, D., 3, 5 anivers´arios, 67 ´arvore de probabilidade, 73 m´edia aritm´etica, 150

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´ Aplicada I – A. Azevedo-Filho Estat´ıstica Matematica

atraso no trabalho, 55 avi˜ao, 67 bˆebado e princip´ıcio, 72 bandeiras, 236 cˆancer e cigarro, 48 caixas de mac¸˜a, 69 cara ou coroa, 110 casais, 237 casamento na R´ ussia, 51 cassino, 77 cerveja, 85 comiss˜ao, 240 constante, 105 controle da natalidade, 75 craps, 79, 176 culpa do suspeito, 46 dados, 18, 73, 99, 106, 172 dados com uma face, 65, 172 dardos, 106, 173 decis˜ao e risco, 214 defeitos, 65 diagrama de Venn, 67 elaborac¸˜ao de prova, 71 encontro, 68, 182 esperanc¸a do lucro, 141 estabilizac¸˜ao de prec¸os, 215 estimador n˜ao-tendencioso, 183 fios telefˆ onicos, 85 fiscalizac¸˜ao, 69 fixac¸˜ao do prec¸o, 178 func¸˜ao indicadora, 20 gatos e moedas, 71 gavetas e moedas, 76 gravidez, 180 homens e mulheres, 72 intervalo de confianc¸a, 217 ladr˜ao, 68, 181 m´aquinas, 111

m´edia e variˆancia do retorno, 177 moeda e dardo, 107 moedas, 71 moedas m5 e m8 , 44 n barbantes, 77 Normal multivariada, 130, 188 notas, 20 notas do aluno, 107 notas dos alunos, 80 opc¸˜ao de venda, 175 overbooking, 75 papel-tesoura-pedra, 111, 174 par ou ´ımpar, 110, 130 pessoas na sala, 72 poker, 84, 241 prˆemios em cereais, 83 prec¸os no mercado, 185 quantil, 186 resultado do juri, 78 ru´ına do jogador, 78 safra agr´ıcola, 73 seguro de vida, 67 seletividade e sensitividade, 81 sorveteiro, 179 sult˜ao e mulheres, 174 supersena, 74 teste de velas, 66 testes m´edicos, 81 trivariada, 187 variˆancia m´ınima do retorno, 148 variˆancia matricial, 178 verdade, 74 produto cartesiano, 224 quantil, 167 rec´em casados, 66 regra da multiplicac¸˜ao, 50 regress˜ao (te´ orica), 154

Páginas Selecionadas do Livro -- www.LaplaceBooks.com/estatistica ´Indice Remissivo

sigma-´algebra de eventos, 7 Stigler, S., 3 Stirling f´ ormula de, 243 teorema da esperanc¸a da esperanc¸a, 153 teorema das probabilidades totais, 40 teorema de Bayes, 43 teorema de Slutsky, 201 teorema do limite central, 201, 205 teoria dos conjuntos, 12 vari´aveis aleat´ orias independˆencia, 126 independˆencia condicional, 126 vari´avel aleat´ oria, 90 representac¸˜ao, 90 vari´avel aleatoria e constante, 90 variˆancia da soma, 146 da soma (geral), 146 do produto, 146 propriedades, 145 variˆancia amostral, 142 variˆancia condicional, 156 variˆancia da m´edia, 150 variˆancia te´ orica, 142

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