Azevedo Filho (1997)_.pdf

ˆ Princ´ıpios de Inferencia Dedutiva e Indutiva ˜ ´ ´ Noc¸oes de Logica e Metodos de Prova

˜ Teoria, aplicac¸oes e exerc´ıcios resolvidos

Adriano Azevedo Filho

CreateSpace 2010

Princ´ıpios de Inferˆencia Dedutiva e Indutiva: Noc¸˜oes de L´ogica e M´etodos de Prova

c 2010 por Adriano J. B. V. Azevedo Filho Todos os direitos reservados.

ISBN 978-1-4421-5143-7 1a Edic¸˜ao - 2a tiragem (com revis˜ao) ´ proibida a reproduc¸˜ao total ou parcial E em qualquer meio ou forma.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Azevedo Filho, Adriano J. B. V. Princípios de Inferência Dedutiva e Indutiva: Noções de Lógica e Métodos de Prova / Adriano Azevedo Filho – 1a ed. – Scotts Valley: CreateSpace, 2010. xii, 137 f. : il.; 21,6cm ISBN 978-1-4421-5143-7

1.Lógica 2. Métodos de prova 3. Inferência I. Azevedo Filho, Adriano J. B. V. II. Título. CDD-160

e-mail do autor: [email protected] site do livro: www.LaplaceBooks.com/inferencia

Sum´ario Lista de Tabelas

ix

Lista de Figuras

x xi

´ Prefacio 1

1.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Inferˆencia informal × formal . . 1.3 Inferˆencia informal: dificuldades ˜es finais . . . . . . . . 1.4 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . .

1 1 2 7 18 19 20

. . . . . .

23 23 25 29 32 47 48

ˆ ˜ ´ Inferencia: Noc¸oes Basicas

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´ ˜ Logica e Silogismos: bases para a deduc¸ao

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜es e vari´aveis Conceitos b´asicos: declarac¸o ˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposic¸o ˜es l´ ˜es . . . . Operac¸o ogicas com proposic¸o ˜es . . . . . . . . . . . . Negac¸˜ao de proposic¸o ˜es . . . . . Operadores l´ ogicos como func¸o v

. . . . . .

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˜es l´ 2.7 Prioridades entre operac¸o ogicas . . . ˜es l´ 2.8 Equivalˆencias entre proposic¸o ogicas . 2.9 Inferˆencia dedutiva e silogismos . . . . . . ˜es e G¨ 2.10 Contradic¸o odel . . . . . . . . . . . . ˜es finais . . . . . . . . . . . . . 2.11 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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48 49 51 55 58 59 64

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65 65 69 72 75 78 79 81 83 86 87 88 95

. . . . . .

97 97 98 100 103 109 113

˜ a Metodos ´ Introduc¸ao de Prova

3.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Estrat´egias de prova v´alidas . . . . . . . . 3.3 Erros comuns em provas . . . . . . . . . 3.4 Prova por argumento geom´etrico . . . 3.5 Prova pelo m´etodo direto . . . . . . . . . 3.6 Prova pelo m´etodo contrapositivo . . . 3.7 Prova por contradic¸˜ao ou absurdo . . . 3.8 Prova por exemplo ou contra-exemplo 3.9 Prova por induc¸˜ao em n . . . . . . . . . ˜es finais . . . . . . . . . . . . 3.10 Considerac¸o Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

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Probabilidades e Estat´ıstica:

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bases para a in-

ˆ ferencia indutiva

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Todos os cisnes s˜ao brancos? . . . . . . . . . . Inferˆencia indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . Inferˆencia bayesiana na an´alise de hip´ oteses Inferˆencia bayesiana na estimac¸˜ao . . . . . . ˜es finais . . . . . . . . . . . . . . . Considerac¸o vi

. . . . . .

. . . . . .

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 ˜ de exerc´ıcios selecionados Resoluc¸ao

117

´Indice Remissivo

131

vii

Lista de Tabelas 1.1 1.2 1.3

Dados sobre uso de CQ e lucratividade . . . . . . 11 Dados agregados (paradoxo de Simpson) . . . . . 17 Dados desagregados (paradoxo de Simpson) . . . 17

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Operador de negac¸˜ao l´ ogica . . . . . . . . . . . Operac¸˜ao de conjunc¸˜ao (e l´ ogico) . . . . . . . Operac¸˜ao de disjunc¸˜ao (ou l´ ogico inclusivo) . Operac¸˜ao de ou l´ ogico exclusivo . . . . . . . . Operac¸˜ao de implicac¸˜ao l´ ogica . . . . . . . . . Operac¸˜ao de dupla implicac¸˜ao (equivalˆencia) Verificac¸˜ao da equivalˆencia pela tabela (I) . . Verificac¸˜ao da equivalˆencia pela tabela (II) . . Equivalˆencias l´ ogicas usuais . . . . . . . . . . .

ix

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

33 34 36 38 39 42 46 46 50

Lista de Figuras 1.1

Cartas sobre a mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4

Busto de Arist´ oteles (384–322 A.C.) . . . Conhecimento existente sobre o crime . Kurt G¨ odel (1906-1978) . . . . . . . . . . . Conhecimento existente sobre uma ave .

3.1 3.2 3.3

Estrat´egias v´alidas e inv´alidas de prova . . . . . . 70 Prova sobre os limites para π . . . . . . . . . . . . 76 Dica para a prova do teorema de Pit´agoras . . . . 88

4.1 4.2 4.3

Raz˜ao de chances a posteriori dado pA e n . . . . 107 Raz˜ao de chances a posteriori dado n (caso 2) . . 109 Distribuic¸˜ao a posteriori de p dado n . . . . . . . 112

x

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9 24 44 58 62

Pref´acio Este texto trata de princ´ıpios de inferˆencia usados para a construc¸˜ao de argumentos s´ olidos no contexto da metodologia cient´ıfica. A motivac¸˜ao para o desenvolvimento do material veio de minhas experiˆencias como aluno na Stanford University e, posteriormente, como professor em cursos de graduac¸˜ao e p´ osgraduac¸˜ao na Universidade de S˜ao Paulo, nas ´areas quantitativas da economia, administrac¸˜ao e engenharia. Tenho observado, ao longo dos anos, que muitos alunos que passam por esses cursos tˆem dificuldade em compreender ˜es forargumentos fundamentados em l´ ogica e demonstrac¸o mais. Ademais, tendem a n˜ao distinguir os campos e limites da aplicac¸˜ao da inferˆencia dedutiva e indutiva, dentro da atividade de pesquisa. Em cursos de estat´ıstica, em particular, acredito que h´a poucos alunos que realmente entendem a fundamentac¸˜ao l´ ogica dos testes de hip´ oteses. N˜ao ´e incomum esses procedimentos serem entendidos de forma mecˆanica, sem uma real ˜es. atenc¸˜ao para seu significado e limitac¸o A origem desses problemas, no meu entender, est´a na quase ausˆencia de uma exposic¸˜ao do aluno, durante sua formac¸˜ao, a certos princ´ıpios b´asicos que embasam os processos formais de inferˆencia dedutiva e indutiva. Isso acaba dificultando o acesso a textos mais avanc¸ados que se utilizam de argumentos formais, ˜es e provas. Al´em disso, muitos desconhecem a demonstrac¸o ´ltimas d´ecadas mostrando dificuldades volumosa pesquisa das u xi

s´erias observadas no processo informal de inferˆencia baseado na intuic¸˜ao, que s˜ao discutidas no primeiro cap´ıtulo. Neste texto, tento fazer uma introduc¸˜ao a esses princ´ıpios de inferˆencia, de forma produzir uma modesta contribuic¸˜ao did´atica visando a superac¸˜ao das dificuldades levantadas nos par´agrafos anteriores. Os desenvolvimentos apresentados evitam uma excessiva formalidade t´ecnica, com o objetivo de tornar a leitura mais acess´ıvel, a custa de um certo preju´ızo na precis˜ao de alguns conceitos.

Base necess´aria De um modo geral, o conte´ udo do texto ´e adequado a alunos ´ltimos anos da graduac¸˜ao ou o in´ıcio da p´ cursando os u osgraduac¸˜ao. A base necess´aria ´e a existente em cursos que envolvem disciplinas de metodologia cient´ıfica, matem´atica e estat´ıstica, no n´ıvel de graduac¸˜ao, na formac¸˜ao b´asica. Somente ˜es de estat´ıstica a segunda parte do cap´ıtulo 4, que envolve noc¸o bayesiana, pode exigir uma preparac¸˜ao apropriada, pela leitura dos textos sugeridos e/ou pela participac¸˜ao em cursos que cubram os fundamentos necess´arios.

Agradecimentos ´ltimos 10 Agradec¸o aos alunos de cursos ministrados nos u anos que tiveram acesso a vers˜ oes preliminares do texto e con˜es. tribu´ıram com muitas sugest˜ oes e correc¸o Como de praxe, assumo a responsabilidade pelos erros re˜es desmanescentes. Agradec¸o antecipadamente `as identificac¸o ses erros, coment´arios, cr´ıticas e sugest˜ oes para aperfeic¸oamen˜es. tos que possam ser incorporados em futuras edic¸o Prof. Adriano Azevedo-Filho, Ph.D. Universidade de S˜ao Paulo - ESALQ, 2010

xii

Cap´ıtulo 1 ˜ B´asicas Inferˆencia: Noc¸oes 1.1

Introduc¸a˜ o

Este texto examina, em n´ıvel introdut´ orio, alguns aspectos do processo de inferˆencia, entendido como o ato de se derivar conclus˜oes a partir do conhecimento e de evidˆencias dispon´ıveis. O foco principal da apresentac¸˜ao ´e direcionado `a inferˆencia de˜es e dutiva e `a l´ ogica formal, aplicadas `a prova de proposic¸o ´ltimo cap´ıtulo, alteoremas. S˜ao apresentadas, tamb´em, no u ˜es sobre o processo de inferˆencia indutiva, gumas considerac¸o cujo bom entendimento demandar´a do leitor algum conhecimento pr´evio de estat´ıstica e de teoria de probabilidades.

Estrutura do cap´ıtulo ˜es. A Sec¸˜ao 1.2 apresenta conEste cap´ıtulo tem mais 3 sec¸o ceitos b´asicos associados aos processos de inferˆencia formal e informal. Na Sec¸˜ao 1.3, s˜ao apresentados alguns exemplos que ilustram dificuldades associadas `a inferˆencia informal, baseada 1

2

ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

primariamente na intuic¸˜ao e em heur´ısticas, visando motivar outros desenvolvimentos apresentados no texto. Finalmente, ˜es finais, assim como na Sec¸˜ao 1.4, s˜ao apresentadas considerac¸o a estrutura dos pr´ oximos cap´ıtulos.

1.2 Inferˆencia informal × formal ˜es mais comuns, o processo de inferˆencia realizado Nas situac¸o pelas pessoas ´e informal, sendo guiado essencialmente pela intuic¸˜ao humana e por heur´ısticas. Nesse contexto a noc¸˜ao de heur´ıstica ´e entendida como sendo a de uma regra mental tipicamente utilizada no processo de inferˆencia ou na soluc¸˜ao de um problema. ´til e usualO processo informal de inferˆencia ´e muito u mente adequado, mas pode levar a conclus˜ oes claramente in˜es complexas de interesse pr´atico, como corretas em situac¸o mostram diversos experimentos e pesquisas cl´assicas1 em Psicologia Cognitiva, desenvolvidos por autores consagrados como A. Tversky, D. Kahneman, B. Fischhoff e outros. Alguns exemplos que ilustram dificuldades com a inferˆencia informal s˜ao examinados na Sec¸˜ao 1.3.

Inferˆencia formal dedutiva × indutiva Devido ao reconhecimento dessas potenciais dificuldades com a inferˆencia informal, m´etodos formais de inferˆencia dedutiva e indutiva tendem a ser freq¨ uentemente utilizados dentro da argumentac¸˜ao filos´ ofica, t´ecnica e cient´ıfica. 1 Veja por exemplo Hoghart (1991) e/ou Kahneman et al. (1992) para uma discuss˜ao compreensiva sobre os resultados cl´assicos.

ˆ ˜ ´ Cap´ıtulo 1 - Inferencia: Noc¸oes Basicas

3

Na inferˆencia dedutiva, que ´e fundamentada na l´ ogica formal, conclus˜ oes s˜ao derivadas de premissas, atrav´es do processo de deduc¸˜ao. Na inferˆencia indutiva, conclus˜ oes s˜ao derivadas da observac¸˜ao sistem´atica de fenˆ omenos emp´ıricos e de experimentos. Nesse caso, m´etodos probabil´ısticos e estat´ısticos s˜ao os fundamentos mais significativos para esse processo de inferˆencia. ˜es disPara melhor introduzir o assunto, as pr´ oximas sec¸o 2 ˜es ou hip´ cutem a validade das seguintes proposic¸o oteses: 1. Num triˆangulo retˆangulo qualquer a soma dos quadrados dos catetos ´e igual ao quadrado da hipotenusa (teorema de Pit´agoras). 2. Fumar causa cˆancer. 3. A probabilidade do nascimento de um menino em um nascimento qualquer ´e maior que 50%. 4. Deus existe.

Proposic¸a˜ o 1: Teorema de Pit´agoras A proposic¸˜ao conhecida como o teorema de Pit´agoras pode ter sua validade conclu´ıda atrav´es um processo de inferˆencia dedutiva embasado em uma prova formal. A inferˆencia dedutiva e as provas formais s˜ao discutidas em maior detalhe nos Cap´ıtulos 2 e 3. 2 Proposic¸˜ao ´e uma afirmac¸˜ao de interesse que pode ser falsa ou verdadeira, sendo um elemento essencial do processo de inferˆencia. A ˜es ou hip´ determinac¸˜ao da validade de proposic¸o oteses de interesse ´e um objetivo importante da investigac¸˜ao cient´ıfica.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

O teorema de Pit´agoras ´e v´alido por forc¸a de argumentos inquestion´aveis apoiados na l´ ogica formal, desenvolvidos a partir de premissas aceitas como v´alidas sobre um triˆangulo retˆangulo qualquer. Para esse teorema, h´a evidˆencias de provas realizadas h´a mais de 3000 anos, na China e da Babilˆ onia, que demonstram a validade da proposic¸˜ao (Maor, 2007).

Proposic¸a˜ o 2: Fumar causa cˆancer A validade desta proposic¸˜ao depende, j´a de in´ıcio, do entendimento expl´ıcito do que se entende por fumar: seria fumar um cigarro por dia ou 3 mac¸os e por quanto tempo? Uma vez solucionada essa quest˜ao surge outra quest˜ao ainda mais fundamental: o que significa causa cˆancer? E isso n˜ao ´e necessariamente uma quest˜ao de resposta f´acil. Se o entendimento de causar for no sentido de que fumar – definido por mais de 2 mac¸os de cigarro por dia por pelo menos 5 anos – levar´a necessariamente o indiv´ıduo a contrair cˆancer, facilmente encontraremos casos de indiv´ıduos que fumaram mas nunca tiveram cˆancer3 . Mesmo para um fumante com cˆancer, ser´a sempre dif´ıcil saber se foi o fumo a causa do cˆancer, dado que nunca poder´ıamos observar a evidˆencia contrafactual, ou seja, o que teria acontecido com ele se n˜ao tivesse fumado em sua vida. Se, por outro lado, entendermos a causalidade existente entre o fumo e o cˆancer com um significado mais restrito, 3 O entendimento de causalidade utilizado ´e bem limitado e pouco rigoroso. Para uma discuss˜ao compreensiva sobre causalidade, que ´e um assunto complexo e de grande atualidade, o leitor pode consultar, por exemplo, Pearl (2009), para um tratamento mais t´ecnico ou Morgan & Winship (2007) para uma discuss˜ao mais did´atica.

ˆ ˜ ´ Cap´ıtulo 1 - Inferencia: Noc¸oes Basicas

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como sendo um aumento, para o fumante, da chance dele ou dela contrair cˆancer, a aferic¸˜ao da verdade ou validade dessa afirmac¸˜ao seria fact´ıvel. A validade dessa afirmac¸˜ao, com esse entendimento mais limitado, pode ser verificada pela aplicac¸˜ao de m´etodos de inferˆencia indutiva aplicados `a an´alise de evidˆencias observacionais e experimentais envolvendo o uso do fumo e a ocorrˆencia de cˆancer. Esses m´etodos s˜ao fundamentados na teoria de probabilidades e na estat´ıstica.

Proposic¸a˜ o 3: Chances de menino s˜ao maiores Tal como no caso anterior, a validade da proposic¸˜ao que afirma que as chances de se observar um menino num nascimento ao acaso ´e maior que a chance de uma menina, pode ser examinada `a luz de milhares de observac¸o ˜es dispon´ıveis, nesse caso o sexo de crianc¸as ao nascimento. Curiosamente, ao contr´ario de que muitos pensam, a freq¨ uˆencia de meninos nas estat´ısticas do registro civil, h´a muitos s´eculos, tende a ser superior `a freq¨ uˆencia de meninas. J´a no s´ec. XIX, o grande matem´atico Laplace (1749-1827), analisando centenas de milhares de nascimentos na Franc¸a e Inglaterra, observou que a freq¨ uˆencia de meninos era pr´ oxima de 51%. Com o apoio de m´etodos estat´ısticos aplicados `a evidˆencia emp´ırica, Laplace argumentou que n˜ao seria razo´avel aceitar a validade da hip´ otese de chances iguais para meninos e me4 ninas . Laplace concluiu pela rejeic¸˜ao da hip´ otese de chances 4 ´bvio? N˜ao, experimente lanc¸ar O leitor pode pensar: n˜ao seria isso o uma moeda 10 vezes. N˜ao ´e nada improv´avel observar uma freq¨ uˆencia de

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

poss´ıvel para as evidˆencias observadas. Essa situac¸˜ao ilustra a natureza do processo de inferˆencia muito comum dentro do dia a dia das maioria das pessoas: inferˆencia baseada na intuic¸˜ao e em heur´ısticas. As evidˆencias existentes n˜ao “provam” ou delas n˜ao ´e poss´ıvel obter uma conclus˜ao definitiva da validade das hip´ oteses alternativas: “o marido aprontou” e o “carro do amigo quebrou”. O processo de inferˆencia informal utilizado pela esposa no caso descrito foi baseado primariamente na evidˆencia dispon´ıvel e sua experiˆencia pessoal (fatos, dados etc.) associada ˜es como a sua. A conclus˜ao a que chegou n˜ao foi dedusituac¸o zida mas informalmente conclu´ıda `a luz da evidˆencia e de sua experiˆencia pessoal. Esse tipo de inferˆencia (informal), que ´e parte integrante de ˜es pr´aticas em nosso racioc´ınio na grande maioria das situac¸o ˜es s´erias. Essas limitac¸o ˜es vivemos, pode apresentar limitac¸o s˜ao derivadas das dificuldades que o ser humano tem com respeito `a complexidade, incerteza e processamento de volumes grandes de informac¸˜ao, e s˜ao abundantemente evidenciadas em estudos e experimentos realizados em disciplinas como a Psicologia Cognitiva. Algumas dessas dificuldades s˜ao examinadas ˜es. nas pr´ oximas sec¸o

Exemplos de problemas com a intuic¸a˜ o informal ˜es e problemas em que a inferˆencia Alguns exemplos de situac¸o ˜es s˜ao descritos a seguir. Esses e informal apresenta limitac¸o muitos outros exemplos s˜ao discutidos em mais profundidade em textos como Hogarth (1991), Plous (1993) e Plessner et al. (2007) que revisam a literatura sobre o assunto.

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ˆ ˜ ´ Cap´ıtulo 1 - Inferencia: Noc¸oes Basicas

O leitor ´e convidado a oferecer sua soluc¸˜ao a cada um dos problemas contidos nos exemplos, antes de ler a soluc¸˜ao, de forma a testar a qualidade de sua intuic¸˜ao em cada um dos casos. ˜ e experimentac¸ao ˜ – H´a 4 Exemplo 1.1 – Deduc¸ao cartas sobre a mesa. Essas cartas tem 2 faces, uma delas com um n´ umero e a outra com uma letra. A disposic¸˜ao das cartas ´e a apresentada na Figura 1.1.

Suponha que uma pessoa diz a vocˆe que: —No verso das cartas que mostram uma letra vogal h´a um n´ umero par. Uma forma de vocˆe tentar saber se a pessoa est´a falando a verdade seria ver o verso das cartas que est˜ao sobre a mesa. Qual seria o n´ umero m´ınimo de cartas que vi´til sobre radas poderiam fornecer alguma informac¸˜ao u a validade da afirmac¸˜ao sobre as cartas sobre a mesa? qual(is) seria(m) essa(s) carta(s) que deveria(m) ser viradas?

E

K

4

7

Figura 1.1: Cartas sobre a mesa

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Um resultado t´ıpico nesse caso seria as pessoas afirmarem que “virariam” as cartas com o E e com o 4. O segundo resultado mais t´ıpico seria elas afirmarem que virariam somente a carta com a letra E. Mais raramente costumam afirmar que virariam as cartas com o E e o 7, as quais, de fato, podem prover evidˆencia suficiente para invalidar a afirmac¸˜ao da pessoa sobre as cartas. Se o verso da carta contendo o E mostrar algo que n˜ao seja um n´ umero par a afirmac¸˜ao seria falsa; da mesma forma, se o verso do 7 contiver uma vogal a afirmac¸˜ao tamb´em seria considerada falsa. Conhecer o verso da carta com o 4 n˜ao pode oferecer ne´til para contestar a afirmac¸˜ao. Se o verso nhuma informac¸˜ao u do 4 for uma vogal, a afirmac¸˜ao n˜ao seria contestada, por outro lado se o verso for uma consoante a afirmac¸˜ao tamb´em n˜ao pode ser contestada porque nada foi dito sobre o verso de cartas com letras consoantes. Se o leitor ainda n˜ao estiver convencido do resultado, algo que n˜ao ´e anormal, isso ´e um bom ind´ıcio de que a exposic¸˜ao a princ´ıpios de l´ ogica formal pode aprimorar seu racioc´ınio dedutivo em processos de inferˆencia. Mais detalhes sobre esse problema s˜ao apresentados por Plous (1993, p. 231) e em referˆencias por ele citadas. ˜ de resultados – Uma Exemplo 1.2 – Interpretac¸ao pesquisa foi realizada em 250 empresas para tentar indentificar a relac¸˜ao entre o uso de uma certa pr´atica, identificada como CQ e a lucratividade da empresa. A pesquisa de campo mostrou o n´ umero de empresas distribu´ıdas de acordo com o uso do CQ e sua lucratividade (alta e baixa) conforme a Tabela 1.1 Qual ´e sua conclus˜ao sobre relac¸˜ao entre o uso do CQ e lucrati-

11

ˆ ˜ ´ Cap´ıtulo 1 - Inferencia: Noc¸oes Basicas

Tabela 1.1: Dados sobre uso de CQ e lucratividade

Uso de CQ

Presente Ausente

Lucratividade Alta Baixa 160 40 40 10

vidade das empresas, tendo em vista os resultados da pesquisa?

˜es como a do exemplo s˜ao comuns em diversas ´areas Situac¸o ˜es do conhecimento e comumente pessoas inferem que relac¸o e efeitos que n˜ao podem ser inferidos. Nessa situac¸˜ao, experimentos sugerem que muitas pessoas expostas a esse teste inferem uma associac¸˜ao positiva entre o uso do controle de qualidade e a lucratividade das empresas. N˜ao h´a, de fato, nenhuma evidˆencia conclusiva a esse respeito nos dados apresentados na tabela. H´a evidˆencia de que 45 empresas usam o CQ e que 45 das empresas tem lucratividade alta. Contudo, a lucratividade alta ocorre em 4 de cada 5 empresas que usam o CQ e tamb´em em 4 de cada 5 empresas que n˜ao usam o CQ. Nesse caso a freq¨ uˆencia de ocorrˆencia da lucratividade alta em empresas que usam ou n˜ao o CQ ´e exatamente a mesma, o que torna dif´ıcil aceitar alguma evidˆencia de poss´ıveis “efeitos” dessa pr´atica CQ nessa situac¸˜ao. Esse exemplo ´e uma vers˜ao estilizada de um problema similar apresentado e discutido por Plous (1993, p. 162).

ˆ ˜ ´ Cap´ıtulo 1 - Inferencia: Noc¸oes Basicas

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Pearl, J. 2009. Causality: Models, Reasoning, and Inference. Cambdrige University Press, Cambdrige. Plous, S. 1993. The Psychology of Judgement and Decision Making. McGraw-Hill, p. 353. Plessner, H., Bletsch, C. & Bletsch, T. 2007. Intuition in Judgement and Decision Making. Lawrence Erlbaum Publisher, p. 360. Stigler, S. 1990. The History of Statistics: The measurement of uncertainty before the 1990s. Belknap Press. Krynski, T. R. and Tenenbaum, J. B. 2007. The role of causality in judgment under uncertainty. Journal of Experimental Psychology, 136(3):430-450. Stolyar, A. A. 1970. Introduction to Elementary Mathematical Logic. Dover Publications, Inc, New York. Tversky, A. & Kahneman, D. 1974. Judgement under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science 185(Sept 27):1124-1131. Wagner, C. H. (1982) Simpson’s Paradox in real life. The American Statistician, 36:46-48.

Cap´ıtulo 2 ´ Logica e Silogismos: bases para a deduc¸a˜ o 2.1

Introduc¸a˜ o

Este cap´ıtulo apresenta uma s´ıntese da terminologia e princ´ıpios b´asicos da l´ ogica formal, que ´e a base da inferˆencia dedutiva. A apresentac¸˜ao ´e relativamente acess´ıvel e introdut´ oria, sem a preocupac¸˜ao com um rigor ou formalismo ex˜es mais rigorosas e detalhadas, o leicessivo. Para apresentac¸o tor ´e referido a textos como Church (1959), Stolyar (1970), ou Crossley et al. (1972). Muito do material te´ orico apresentado neste cap´ıtulo ´e fundamentado nessas referˆencias, assim como em Solow (2004).

´ Breve retrospectiva historica ˜es ao desenvolAs primeiras e mais fundamentais contribuic¸o vimento de m´etodos formais de inferˆencia s˜ao usualmente 23

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Figura 2.1: Busto de Arist´ oteles (384–322 A.C.)

atribu´ıdas `a Arist´ oteles (384–322 A.C.), o grande fil´ osofo grego (Figura 2.1). Os conceitos de silogismos fortes e silogismos fracos, muito associados com Arist´ oteles, s˜ao consideradas ˜es fundamentais para os desenvolvimentos conteminspirac¸o porˆaneos formais associados a inferˆencia dedutiva e indutiva. Os desenvolvimentos mais recentes s˜ao representados pe˜es los conhecimentos contidos na l´ ogica formal e nas aplicac¸o desta `a teoria das provas matem´aticas. Esses desenvolvimentos s´ o progrediram mais substancialmente a partir do s´eculo XIX com a utilizac¸˜ao mais freq¨ uente de m´etodos matem´aticos, sendo fortemente associados a nomes como G. Leibnitz (16461716), G. Boole (1815–1864), A. de Morgan (1806–1878), W. S. Jevons (1835–1882), G. Frege (1848–1925), e, no s´eculo XX, a nomes como G. Peano, B. Russell, A. Whitehead, D. Hilbert e A. Turing, G¨ odel, entre outros.

27

´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

por Ω, seria poss´ıvel representar a declarac¸˜ao previamente descrita por • “todos os c˜aes s˜ao mam´ıferos” e “x ´e um c˜ao” ent˜ao “x ´e mam´ıfero”. ou ainda, em forma mais condensada, por Se A e B(x) ent˜ao C (x). ´ltimo caso, as declarac¸o ˜es B e C s˜ao “indexadas” pela Neste u vari´avel x que representa um poss´ıvel nome de c˜ao. ˜es incluem definic¸o ˜es sobre o escopo das Muitas declarac¸o ˜es usualmente consideram as vari´aveis utilizadas. Essas definic¸o ˜es b´asicas oriundas da teoria dos conjuntos. noc¸o

S´ımbolos uteis ´ para definic¸a˜ o de escopo ˜es Freq¨ uentemente, ´e necess´ario especificar que as declarac¸o s˜ao v´alidas para “todos os elementos de um determinado conjunto” ou “para pelo menos um elemento de um determinado ˜es1 . conjunto”. Os s´ımbolos ∀ e ∃ s˜ao utilizados nessas situac¸o A definic¸˜ao Ω ≡ {x : x ´e um c˜ao}, ˆmega ´e definido pelos elementos repreque se lˆe “o conjunto o sentados por x tal que x ´e um c˜ao” poderia ser utilizada dentro ˜es, para indicar o escopo da vari´avel x: das seguintes declarac¸o Se A e B(x) ent˜ao C (x), ∀x ∈ Ω ou (∀x ∈ Ω)

A ∧ B(x) ⇒ C (x).

1 O s´ımbolo ∀ representa “para todos” e o s´ımbolo ∃ indica “existe pelo menos um”. O s´ımbolo ∃! indica “existe um e somente um”.

´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

29

e considerarmos a declarac¸˜ao representada por A(x) ≡ “x nasceu no s´eculo XX”, ter´ıamos, no contexto de que x ∈ Ω, que A(x) seria verdadeira se x = “Albert Einstein”. A declarac¸˜ao A(x) seria tamb´em verdadeira se x ∈ {z : z ´e uma pessoa que nasceu entre 1950 e 1980}. Por outro lado, a declarac¸˜ao A(x) seria falsa se x = “Isaac Newton”.

2.3

˜ Proposic¸oes

A noc¸˜ao de proposic¸˜ao l´ ogica ´e fundamental para os desenvolvimentos da inferˆencia dedutiva e l´ ogica formal. Nesse contexto tem a seguinte definic¸˜ao: ˜ – ´ Proposic¸ao e toda a declarac¸˜ao cujo contexto de

uso comporta um e somente um dos valores l´ ogicos: falso (F) ou verdadeiro (T). Na metodologia cient´ıfica, hip´ oteses s˜ao freq¨ uentemente formuladas como proposic¸˜oes cuja determinac¸˜ao de seu valor l´ ogico ´e objeto de pesquisa. O processo de verificar se uma proposic¸˜ao de interesse tem valor l´ ogico verdadeiro (T) ´e tamb´em chamado de verificac¸˜ao da validade dessa proposic¸˜ao. Dizer que uma proposic¸˜ao ´e inv´alida ´e o mesmo que dizer que essa proposic¸˜ao tem valor l´ ogico falso (F).

33

´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

Operac¸a˜ o de negac¸a˜ o (¬) A operac¸˜ao l´ ogica de negac¸˜ao tem por objetivo inverter o valor l´ ogico de uma proposic¸˜ao. A negac¸˜ao de uma dada proposic¸˜ao A ´e indicada simbolicamente por ¬A ou A. O resultado da operac¸˜ao de negac¸˜ao para os poss´ıveis valores l´ ogicos de A s˜ao apresentados na seguinte tabela de valores l´ogicos apresentada na Tabela 2.1. Essa tabela, que ser´a utilizada outras vezes neste Tabela 2.1: Operador de negac¸˜ao l´ ogica A

¬A

T F

F T

cap´ıtulo, mostra o resultado da aplicac¸˜ao de um operador sobre o valor l´ ogico original da vari´avel, nos casos poss´ıveis. Dentro do contexto onde x ∈ {z : z ´e uma pessoa}, se temos A(x) representando a proposic¸˜ao “x ´e estudante”, a proposic¸˜ao ¬A seria equivalente `a proposic¸˜ao “x n˜ao ´e estudante”. Se x e y s˜ao n´ umeros reais e B representa a proposic¸˜ao x > y ent˜ao ¬B seria equivalente a x ≤ y, no contexto alg´ebrico. ˜es um pouco mais complexas envolvendo proAlgumas negac¸o ˜es compostas ser˜ao discutidas nos pr´ posic¸o oximos par´agrafos.

´ Operac¸a˜ o de conjunc¸a˜ o ou “e logico” (∧) A operac¸˜ao l´ ogica de conjunc¸˜ao ´e motivada pelo significado ling¨ u´ıstico do conectivo e utilizado para indicar que duas pro-

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

˜es devem ser T para que a conjunc¸˜ao das mesmas seja posic¸o T tamb´em. Essa operac¸˜ao representa a noc¸˜ao utilizada pela nossa linguagem comum para representar a situac¸˜ao em que ˜es devem ser verdadeiras queremos indicar que duas proposic¸o simultaneamente. ˜es ´e indicada pelo s´ımbolo A conjunc¸˜ao de duas proposic¸o ˜es, a conjunc¸˜ao delas ´e indicada ∧. Se A e B s˜ao duas proposic¸o por A ∧ B ou AB. Se, por exemplo, • F (x) ≡ “x ´e um n´ umero par” e • G(x) ≡ “x ´e um n´ umero divis´ıvel por 4”, poder´ıamos representar C (x), uma proposic¸˜ao composta definida por “x ´e um n´ umero par e divis´ıvel por 4”, por C (x) ≡ F (x) ∧ G(x). Essa proposic¸˜ao composta C (x) s´ o seria verdadeira se F (x) ˜es verdadeiras para um dado x. e G(x) forem proposic¸o Em geral, os valores l´ ogicos da proposic¸˜ao A ∧ B s˜ao definidos pelos valores l´ ogicos de A e B, indicados na Tabela 2.2.

Tabela 2.2: Operac¸˜ao de conjunc¸˜ao (e l´ ogico) A

B

A∧ B

T T F F

T F T F

T F F F

´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

35

´ Operac¸a˜ o de disjunc¸a˜ o ou “ou logico” inclusivo (∨) A operac¸˜ao l´ ogica de disjunc¸˜ao ´e derivada do significado do conectivo ou que algumas vezes ´e um pouco d´ ubio na linguagem corrente. H´a dois entendimentos poss´ıveis para o ou usado entre 2 ˜es. O primeiro ´e associado `a noc¸˜ao de ou exclusivo, e proposic¸o ˜es deve ser verdadeira, mas indica que uma das duas proposic¸o n˜ao as duas ao mesmo tempo. O segundo ´e associado `a noc¸˜ao de ou inclusivo e indica que uma das duas (ou as duas) propo˜es deve(m) ser verdadeira(s), para que a disjunc¸˜ao das duas sic¸o seja verdadeira. Caso n˜ao seja explicitado, o significado do ou l´ ogico ´e entendido como sendo o do ou inclusivo. Se, por exemplo, • F (x) ≡ “x ´e um n´ umero par”, • G(x) ≡ “x ´e um n´ umero divis´ıvel por 4”, e • C (x) ≡ F (x) ∨ G(x), ter´ıamos C (x) definida por “x ´e par ou x ´e divis´ıvel por 4 ou x ´e par e divis´ıvel por 4”. Bastaria que apenas uma dessas duas ˜es seja verdadeira para que C (x) seja verdadeira. Para condic¸o excluir a situac¸˜ao “x ´e par e divis´ıvel por 4” dessa proposic¸˜ao (como ocorre por vezes na linguagem comum) ter´ıamos que usar a operac¸˜ao l´ ogica associada `a noc¸˜ao de ou exclusivo que ser´a descrita na pr´ oxima sec¸˜ao. ˜es quaisquer, a Em geral, se A e B s˜ao duas proposic¸o disjunc¸˜ao delas ´e indicada por A ∨ B ou A + B. De acordo com os valores de A e B, os valores l´ ogicos de A∨ B s˜ao definidos na Tabela 2.3.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Tabela 2.3: Operac¸˜ao de disjunc¸˜ao (ou l´ ogico inclusivo) A T T F F

B T F T F

A∨ B T T T F

O pr´ oximo exemplo ilustra uma aplicac¸˜ao da disjunc¸˜ao ˜es. l´ ogica no contexto de muitas proposic¸o ´ Exemplo 2.2 – Disjuntorio – Considere a proposic¸˜ao indicada por n _ Xi n=1

que representa sinteticamente a proposic¸˜ao X1 ∨ X2 ∨ X3 ∨ . . . Xn . 1. Em que situac¸˜ao essa proposic¸˜ao teria valor l´ ogico T? ´nica situac¸˜ao que levaria essa ˜ Soluc¸ao: A u proposic¸˜ao a um valor F seria quando todos os Xi fossem F, em qualquer outra situac¸˜ao ela seria T. 2. Quantas linhas teria a “tabela de valores l´ ogicos” que define essa proposic¸˜ao? ˜ 2n . Soluc¸ao:

´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

37

3. Exemplifique uma situac¸˜ao que possa ser modelada pela proposic¸˜ao. ˜ Soluc¸ao: Considere uma sala contendo n pessoas e a proposic¸˜ao “h´a pelo menos um amazonense na sala” e assuma que Xi representa a proposic¸˜ao “a pessoa i ´e amazonense”.

˙) ´ Operac¸a˜ o de “ou logico” exclusivo (∨ A noc¸˜ao de ou exclusivo descrita na sec¸˜ao anterior ´e represen˙ ”. Se, por exemplo, tada com o aux´ılio do operador “∨ • F (x) ≡ “x ´e um n´ umero par”, • G(x) ≡ “x ´e um n´ umero divis´ıvel por 4”, e ˙ G(x), • C (x) ≡ F (x)∨ ter´ıamos que C (x) representa, em linguagem comum, que “x ´e par ou x ´e divis´ıvel por 4 e de forma alguma que x ´e par e divis´ıvel por 4”. ˙ B, a partir dos valoNesse caso, os valores l´ ogicos de A∨ res de A e de B seriam definidos pela tabela de valores l´ ogicos apresentada na Tabela 2.4.

´ Operac¸a˜ o de implicac¸a˜ o logica (⇒) A operac¸˜ao de implicac¸˜ao representa a noc¸˜ao associada a construc¸˜ao ling¨ u´ıstica “Se .... ent˜ao ...”. Essa operac¸˜ao ´e representada pelo s´ımbolo “⇒” que se lˆe “implica”. Em linguagem comum essa noc¸˜ao de implicac¸˜ao pode aparecer de v´arias formas. Ou seja, A ⇒ B pode aparecer como:

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Tabela 2.4: Operac¸˜ao de ou l´ ogico exclusivo A T T F F

B T F T F

˙B A∨ F T T F

• Se A ´e verdadeira ent˜ao B ´e verdadeira; • A ´e uma condic¸˜ao suficiente para B; • B ´e uma conseq¨ uˆencia de A; • B ´e uma condic¸˜ao necess´aria para A; • B decorre de A; • A implica B; e, • Nunca ocorrer´a uma situac¸˜ao em que A ´e verdadeira e B ´e falsa. Na Tabela 2.5 s˜ao apresentados os valores l´ ogicos da proposic¸˜ao A ⇒ B em func¸˜ao dos valores de A e de B. Freq¨ uentemente, no contexto da implicac¸˜ao, A ´e chamada de premissa e B de conseq¨ uˆencia. A operac¸˜ao de implicac¸˜ao ´e uma operac¸˜ao fundamental dentro do processo de inferˆencia dedutiva e por isso ´e importante que seu significado seja bem entendido. Inicialmente, ´e necess´ario dizer que o significado de implica no

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´ Cap´ıtulo 2 - Logica e Silogismos

Tabela 2.5: Operac¸˜ao de implicac¸˜ao l´ ogica A T T F F

B T F T F

A⇒ B T F T T

contexto l´ ogico n˜ao inclui a noc¸˜ao de causalidade (e isso ´e ilustrado no pr´ oximo exemplo) como as vezes ocorre no contexto da linguagem comum. Se afirmamos que a proposic¸˜ao “A ⇒ B” ´e verdadeira, estamos fazendo uma afirmac¸˜ao que indica que acreditamos que sempre que a proposic¸˜ao A ´e verdadeira temos que B ´e tamb´em verdadeira e nada mais que isso. A proposic¸˜ao A ⇒ B s´ o ser´a falsa se tivermos A verdadeira (T) e B falsa (F). Por outro lado, se A for F a proposic¸˜ao A ⇒ B ogico de ser´a sempre verdadeira, independentemente do valor l´ B e isso `as vezes ´e algo um pouco confuso para algumas pessoas. ˜ e causalidade – ConExemplo 2.3 – Implicac¸ao ˜es A ≡ “Est´a chovendo” e B ≡ sidere as proposic¸o “H´a n´ uvens no c´eu”. A maioria das pessoas usualmente concorda que a proposic¸˜ao A ⇒ B ´e verdadeira. Isso porque concordam que toda vez que A ´e T acreditam que B ´e T.

´nica forma de estabelecer que essa proposic¸˜ao ´e falsa Au seria a verificac¸˜ao de uma situac¸˜ao na qual A ´e T e B ´e F, que corresponderia ao fato de estar chovendo sem nuvens no c´eu.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

B

F

X estava na cidade no dia

X confessa o crime

C A Xéo assassino

X estava na casa entre 10 e 12h

D

G Sangue de X é o mesmo na vítima

X manuseou a arma do crime

E

X manuseou a arma do crime

Figura 2.2: Conhecimento existente sobre o crime assunto, para aux´ılio `a investigac¸˜ao. Esse diagrama est´a descrito na figura 2.2. ˜es No diagrama X representa um suspeito e proposic¸o que envolvem um potencial suspeito. As setas indicam “implicac¸˜ao l´ ogica”. ˜es suficientes para que X seja (a) Quais s˜ao as condic¸o o assassino? ˜ Soluc¸ao: Pelo diagrama somente se F =T. Ou seja, se o policial conseguir que o suspeito confesse o crime ele poderia estabelecer que o suspeito ´e o assassino.

˜es necess´arias para que um (b) Quais s˜ao as condic¸o suspeito X seja o assassino?

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Tabela 2.9: Equivalˆencias l´ ogicas usuais Equivalˆencia

Nome

A ∧ ¬A = F A ∨ ¬A = T ¬¬A = A A∧ A = A A∨ A = A A∧ B = B ∧ A A∨ B = B ∨ A A ∧ (B ∧ C ) = (A ∧ B) ∧ C A ∨ (B ∨ C ) = (A ∨ B) ∨ C A ∧ (B ∨ C ) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C ) A ∨ (B ∧ C ) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B A ⇒ B = ¬A ∨ B A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

Contradic¸a˜o Certeza Dupla negac¸˜ao Idempotˆencia I Idempotˆencia II Comutatividade I Comutatividade II Associatividade I Associatividade II Distributividade I Distributividade II Dualidade I (Morgan) Dualidade II (Morgan) Implicac¸˜ao Equivalˆencia

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

˜es aceitas como verdadeio numerador representa as proposic¸o ras (premissas) e o denominador representa a conclus˜ao l´ ogica obtida (conseq¨ uˆencia), como por exemplo: A ⇒ B, A B

.

Silogismos fortes: Modus ponens e modus tollens O primeiro silogismo forte reconhecido por Arist´ oteles ´e re´ltima express˜ao presentado exatamente pelo conte´ udo da u e corresponde ao processo de deduc¸˜ao que ´e caracterizado pelo modus ponens em l´ ogica. O famoso exemplo citado por Arist´ oteles seria representado, por “Todas as pessoas s˜ao mortais”, “Socrates ´e uma pessoa” “Socrates ´e mortal” ´ltimas ou ainda usando a notac¸˜ao que desenvolvemos nas u ˜es: se Ω ≡ {x : x ´e uma pessoa} e P (x) ≡ “x ´e mortal” sec¸o ter´ıamos que x ∈ Ω ⇒ P (x), “Socrates” ∈ Ω P (“Socrates”)

.

O segundo silogismo forte reconhecido por Arist´ oteles ´e representado pelas premissas ¬B e A ⇒ B, de forma que A ⇒ B, ¬B ¬A

.

Nesse caso, a conclus˜ao ¬A ´e deduzida das premissas. Em l´ ogica formal esse processo de deduc¸˜ao ´e chamado modus tol-

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Inst. Adv. Studies

Figura 2.3: Kurt G¨ odel (1906-1978) usados na Matem´atica, mas que ´e imposs´ıvel provar que essas ˜es n˜ao existem5 . Esses resultados tiveram um imcontradic¸o pacto muito grande sobre a agenda de pesquisa desenvolvida por muitos matem´aticos nas primeiras d´ecadas do s´eculo XX, para os quais um desafio importante era a prova de que as bases ˜es. G¨ da matem´atica seriam isentas de contradic¸o odel mostrou que isso seria imposs´ıvel.

˜ finais 2.11 Considerac¸oes Este cap´ıtulo apresentou uma introduc¸˜ao `a l´ ogica formal e sua utilizac¸˜ao no processo de inferˆencia dedutiva, atrav´es da noc¸˜ao de silogismos. O pr´ oximo cap´ıtulo apresentar´a uma aplicac¸˜ao 5 A prova desse resultado envolve argumentos que fogem do escopo desta discuss˜ao. O leitor interessado pode consultar, por exemplo, Nagel e Newman (1958) para uma introduc¸˜ao relativamente acess´ıvel aos resultados de G¨ odel e suas conseq¨ uˆencias.

Cap´ıtulo 3 Introduc¸a˜ o a M´etodos de Prova 3.1

Introduc¸a˜ o

Este cap´ıtulo explora de uma forma introdut´ oria algumas es˜es ou teotrat´egias cl´assicas utilizadas na prova de proposic¸o ˜es iniciais, uma discuss˜ao remas. Apresenta tamb´em, nas sec¸o sobre procedimentos errˆ oneos de prova freq¨ uentemente utili1 zados . Na matem´atica e nas ciˆencias que dependem de m´etodos quantitativos, o processo de comunicac¸˜ao de verdades se utiliza com freq¨ uˆencia de um procedimento que ´e conhecido por prova de proposic¸˜oes ou prova de teoremas. Esse procedimento ´e utilizado para claramente estabelecer uma verdade de uma ˜es e pressupostos proposic¸˜ao ou hip´ otese a partir de definic¸o 1 Para detalhes adicionais sobre o assunto o leitor pode consultar referˆencias como Franklin & Daoud (1990), Solow (2004) e Velleman (2006), que abordam o tema em mais profundidade. Parte do material apresentado nesse cap´ıtulo ´e inspirado nessas referˆencias.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

aceitos como verdadeiros, atrav´es de desenvolvimentos justificados pela l´ ogica formal. A verdade que se deseja comunicar ´e usualmente chamada de proposic¸˜ao ou teorema. Um teorema ´e, na realidade, uma proposic¸˜ao l´ ogica que pode ser provada v´alida ou verdadeira. O processo l´ ogico de deduc¸˜ao, ou seja, a colec¸˜ao de argumentos usados para demonstrar que essa proposic¸˜ao ´e verdadeira ´e chamada de prova. Obviamente, a validade da prova depende da validade do processo de demonstrac¸˜ao utilizado e da validade das premissas consideradas.

˜ t´ecnicas ou cient´ıficas Teoremas em publicac¸oes Em artigos cient´ıficos, as provas de teoremas s˜ao usualmente condensadas, sem muitos detalhes que possam facilitar o entendimento por pessoas pouco familiarizadas com o assunto. Isso pode tornar o acompanhamento do racioc´ınio utilizado um processo relativamente ´arduo para muitos. Em alguns casos os argumentos utilizados s˜ao bastante complexos e somente poucas pessoas altamente especializadas podem determinar sua validade. Teoremas contidos em artigos submetidos `a revistas de reputac¸˜ao s˜ao usualmente analisados por diversos revisores familiarizados com o assunto em quest˜ao. Uma vez que o referido artigo ´e aceito para publicac¸˜ao, os teoremas nele inclu´ıdos passam a ter mais credibilidade pois os argumentos usados nas provas foram aceitos pelos revisores especializados. Isso n˜ao garante, contudo, que esses teoremas sejam necessariamente v´alidos pois n˜ao s˜ao raros os casos em que provas de

´ Cap´ıtulo 3 - Metodos de Prova

67

teoremas tidas como v´alidas s˜ao demonstradas inv´alidas algum tempo depois2 . A aceitac¸˜ao de resultados dependentes de uma argumentac¸˜ao complexa n˜ao ´e usualmente imediata e depende de que os especialistas se sintam totalmente confort´aveis com sua validade.

˜ b´asicas utilizados em provas Noc¸oes O processo de se provar um teorema considera uso de algumas ˜es importantes que s˜ao apresentadas a seguir: noc¸o ˜ – Indica o significado preciso de termos Definic¸ao

˜es. e procedimentos utilizados em proposic¸o ˜ – Enunciado que cont´ Proposic¸ao em uma decla-

rac¸˜ao que se acredita ser verdadeira e que se deseja provar. ´ Conjectura ou Hipotese – Uma proposic ¸˜ao que se

desconfia ser verdadeira mas cuja prova n˜ao ´e ´ Um caso curioso ´e o relacionado ao famoso “Ultimo Teorema de Fermat”. Esse teorema enuncia que “n˜ao existem n´ umeros inteiros x,y e z, n˜ao nulos, capazes de solucionar a equac¸˜ao x n + y n = z n para n > 2”. Fermat (1601–1665) escreveu nas margens de um livro que “tinha descoberto uma prova not´avel para essa conjectura mas que a margem era muito estreita para contˆe-la”. At´e a d´ecada de 1990, a despeito de muitas tentativas, nunca ningu´em havia encontrado essa prova que Fermat disse conhecer. Historicamente, centenas de provas para essa proposic¸˜ao foram apresentadas mas, por alguma raz˜ao, todas foram consideradas inv´alidas. Em 1994, uma prova aparentemente v´alida foi apresentada pelo matem´atico Andrew Wiles, em um semin´ario que contava com a presenc¸a de alguns dos principais matem´aticos do momento. A prova foi aceita pelos matem´aticos presentes e o assunto ganhou notoriedade nas p´aginas dos grandes jornais do mundo. Alguns meses depois descobriu-se que a prova continha alguns “furos”. Com um pouco mais de esforc¸o, Andrew Wiles conseguiu eliminar os problemas existentes, conseguindo uma prova definitiva. 2

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Estratégia incorreta

Estratégias válidas

parte-se de algo válido

parte-se da negação da proposição

parte-se da validade da proposição

conclui-se uma contradição

conclui-se algo válido

passos válidos conclui-se a validade da proposição

Figura 3.1: Estrat´egias v´alidas e inv´alidas de prova

Um breve exemplo Vamos supor que se deseja provar que para qualquer inteiro n > 0, ´e verdade que 1 n

−

1 n +1

<

1 n2

.

O desenvolvimento da prova utilizar´a princ´ıpios discutidos nos par´agrafos anteriores. O leitor deve se policiar para n˜ao tentar desenvolver sua prova trabalhando essa express˜ao visando chegar num fato claramente verdadeiro, algo que n˜ao ´e v´alido de um modo geral. A express˜ao pode ser trabalhada para se observar qual seria um caminho alg´ebrico apropriado, a ser utilizado na prova, mas n˜ao mais que isso. Deve tamb´em se po-

´ Cap´ıtulo 3 - Metodos de Prova

3.4

75

Prova por argumento geom´etrico

A prova por argumento geom´etrico tem uma longa tradic¸˜ao hist´ orica que tem ra´ızes nos extensivos desenvolvimentos da geometria na Gr´ecia antiga5 . A obra mais not´avel nessa ´area desse per´ıodo, Elementos de Euclides (365–300 A.C.), ´e considerada por muitos como o mais influente texto de matem´atica de todos os tempos. A obra ´e organizada em 13 livros que englobam aproximadamente 460 ˜es que s˜ao deduzidas por argumentos geom´etricos, proposic¸o ˜es (ponto, reta, c´ırculo, ˆangulo, etc.) e 5 a partir de definic¸o axiomas ou postulados: 1. Uma reta pode ser desenhada entre 2 pontos. 2. Qualquer reta pode ser estendida indefinidamente. 3. Um c´ırculo com um dado raio qualquer pode ser desenhado a partir de qualquer ponto. 4. Todos os ˆangulos retos s˜ao idˆenticos. 5. Para uma reta e um ponto situado no mesmo plano que n˜ao pertenc¸a a essa reta existir´a uma outra reta que passa por esse ponto que n˜ao corta a reta original6 . 5

Os gregos avanc¸aram de forma extraordin´aria a geometria, mas, por ˜es para o desenvolvimento de outro lado, apresentaram poucas contribuic¸o ˜ uma notac¸ao simb´ olica adequada para o progresso da ´algebra e c´alculo; isso s´ o ocorreria mais tarde com os ´arabes – ao redor do ano 700 D.C. – e s´eculos depois durante na Renascenc¸a. 6 A formulac¸˜ao original deste postulado ´e um pouco diferente da apresentada.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

A estrutura l´ ogica e estrat´egia de exposic¸˜ao utilizada por Euclides, ainda que n˜ao seja totalmente isenta de falhas aos olhos da matem´atica contemporˆanea, ´e basicamente a mesma utilizada nos dias de hoje nas provas de teoremas. ´ Exemplo 3.1 – Prova por argumento geometrico ˜ de π – O n´ Definic¸ao umero π ´e definido como a raz˜ao entre o per´ımetro de uma circunferˆencia e seu diˆametro. Teorema – Limites para π – Os n´ umeros 4 e 3 s˜ao, respectivamente, limite superior e limite inferior para π, ou 3 < π < 4. Prova: Considere a Figura 3.2 e assuma, sem perda de

Figura 3.2: Prova sobre os limites para π generalidade, que a circunferˆencia tem diˆametro igual a 1. E´ ´obvio, pela figura, que o per´ımetro do hex´agono inscrito na circunferˆencia ´e menor que o per´ımetro da circunferˆencia, se aceitarmos que a menor distˆancia entre 2 pontos ´e uma reta. Atrav´es de trigonometria elementar, o per´ımetro desse hex´agono pode ser calculado facilmente,

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

1 < 0, ou algo similar. Isso indica que a pressuposic¸˜ao de que A ´e F n˜ao pode ser v´alida e, por exclus˜ao, A deve ser necessariamente T. Esse m´etodo ´e ilustrado pelo pr´ oximo exemplo, p que apresenta uma prova cl´assica para a proposic¸˜ao “ 2 ´e um n´ umero irracional”. ´ ˜ Exemplo 3.4 – Prova pelo metodo da contradic¸ao ˜ 4 – Um n´ Definic¸ao umero racional ´e um n´ umero que pode ser colocado na forma m , onde m ∈ I e n ∈ I, onde n m e n n˜ao tˆem divisor comum. Um n´ umero irracional ´e um n´ umero que n˜ao pode ser definido atrav´es desse quociente de 2 inteiros sem divisor comum. Teorema 3 –

p 2 ´e um n´ umero irracional.

Prova: A prova se desenvolver´ a pelo m´etodo da contrap dic¸˜ao. Assuma que 2 ´e um n´ umero racional, ou seja, usando a Definic¸˜ao 4, ∃m ∈ I e ∃n ∈ I, com m e n sem divisor comum, de tal forma que

p m 2= . n Assim, elevando-se ao quadrado os dois lados, temos que 2=

m2 n2

ou m 2 = 2n 2 . Disso decorre, pela Definic¸˜ao 1, que m 2 ´e par e, pelo Teorema 2, que m ´e par, podendo assim ser representado por 2k, onde k ∈ I. Com a substituic¸˜ao de m por 2k na u´ltima express˜ao, temos que (2k)2 = 2n 2

´ Cap´ıtulo 3 - Metodos de Prova

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O uso de contra-exemplos, por outro lado, possibilita desprovar hip´ oteses ou conjecturas. Uma conjectura do tipo “para todos os elementos x de um certo dom´ınio a propriedade P (x) ´e v´alida” pode ser facilmente desprovada na medida em que se apresente um elemento x para o qual a propriedade P (x) ´e F. Uma proposic¸˜ao que indique que todos os n´ umeros pares s˜ao divis´ıveis por 3 pode ser facilmente desprovada pela apresentac¸˜ao de um n´ umero par que n˜ao seja divis´ıvel por 3. O n´ umero 4 seria um poss´ıvel contra-exemplo para desprovar essa proposic¸˜ao, dado que ´e par mas n˜ao ´e divis´ıvel por 3. Exemplo 3.6 – Desprovando por contra-exemplo

Pela chamada Conjectura Chinesa, um n´ umero x seria x primo se e somente se 2 − 2 for divis´ıvel por x. O interesse dessa conjectura era oferecer um m´etodo simples para determinar se um n´ umero de interesse seria primo ou n˜ao (algo que n˜ao ´e necessariamente trivial para n´ umeros grandes). De fato, alguns matem´aticos do passado acreditavam que essa conjectura era verdadeira pois o resultado se verificava com muitos n´ umeros primos e n˜ao-primos. Ela foi definitivamente desprovada quando foi encontrado um contra-exemplo: para o n´ umero 341, que claramente n˜ao ´e primo, pois pode ser obtido por 11 × 31, verifica-se que 2341 − 2 ´e divis´ıvel exatamente por 341. O que ´e poss´ıvel provar, num caso particular7 de um resultado v´alido conhecido por Pequeno Teorema de Fermat, ´e que se x ´e primo, ´e verdade que 2 x − 2 ser´a divis´ıvel por x. 7 No Pequeno Teorema de Fermat, o resultado ´e mais geral: se x ´e um n´ umero primo qualquer e n ´e um n´ umero inteiro qualquer, tem-se que n x − n ser´a divis´ıvel por x.

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

3.9 Prova por induc¸a˜ o em n Esse m´etodo de prova ´e utilizado para uma situac¸˜ao em que queremos provar que uma proposic¸˜ao P (n) ´e v´alida com n podendo ser qualquer inteiro positivo. Essa situac¸˜ao difere ˜es usuais de inferˆencia indutiva tratada por m´etodos das situac¸o probabil´ısticos. Comumente n assume valores inteiros compreendidos entre 0 ou 1 e ∞. Para ilustrar a aplicac¸˜ao do m´etodo, vamos supor que desejamos provar uma proposic¸˜ao (∀n ∈ {1, 2, 3, ...})

P (n).

Nesse tipo de prova, o procedimento aceito como v´alido inclui trˆes passos: 1. Verifica-se que P (n) ´e T para n = 1. 2. Assume-se que P (n − 1) ´e T. 3. Deduz-se que P (n) ´e T a partir da pressuposic¸˜ao de que P (n − 1) ´e Te de outros fatos verdadeiros. O exemplo seguinte mostra o procedimento de prova por induc¸˜ao em n para a express˜ao que representa a soma de uma s´erie. ˜ em Exemplo 3.7 – Prova por induc¸ao

n

Teorema 5 – A soma dos primeiros n ´ımpares positivos, representada por S(n), ´e igual a n 2 ou

S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) {z } | n

= n2.

94

ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Pela simplificac¸˜ao dessa express˜ao, tem-se que n + 1 − (2n + 1)/2 = n − (2n + 1)/2. ´ltima Eliminando (2n + 1)/2 dos dois lados da u express˜ao chega-se a n +1= n

e 1 = 0,

ap´ os a subtrac¸˜ao de n dos 2 lados. Qual ´e o problema dessa “demonstrac¸˜ao” de que 1 = 0, dado que a premissa inicial ´e de fato verdadeira? Exerc´ıcio 3.27 – Mostre que para x, y ∈ (0, ∞),

a m´edia aritm´etica ser´a maior ou igual `a m´edia geom´etrica, ou seja, x+y 2

≥

p

x y.

Dica: parta de (x − y)2 ≥ 0. Exerc´ıcio 3.28 – Prove por induc ¸˜ao em n, que

para n ≥ 6 ´e verdade que nn 3n Exerc´ıcio 3.29 –

< n! <

nn 2n

.

Prove por induc¸˜ao em n que

para n ≥ 1 n < 2n .

Cap´ıtulo 4 Probabilidades e Estat´ıstica: bases para a inferˆencia indutiva 4.1

Introduc¸a˜ o

Este cap´ıtulo apresenta uma introduc¸˜ao ao processo de inferˆencia indutiva, entendido como o ato de se derivar con˜es de fenˆ clus˜ oes a partir de observac¸o omenos no mundo real. Essa introduc¸˜ao visa contrastar as estrat´egias utilizadas por esse tipo de inferˆencia, com aquela utilizada na inferˆencia dedutiva, examinada nos cap´ıtulos anteriores. Esses m´etodos possibili˜es envolvendo silogismos fracos, examinatam analisar situac¸o dos no Cap´ıtulo 2, dentro dos quais a l´ ogica formal n˜ao oferece conclus˜ oes definitivas. Os fundamentos utilizados na inferˆencia indutiva incluem, em grande medida, a utilizac¸˜ao de m´etodos probabil´ısticos e estat´ısticos, os quais s˜ao tratados em profundidade em outros textos especializados, n˜ao sendo cobertos neste cap´ıtulo. 97

98

ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

A discuss˜ao apresentada inclui algumas diferenc¸as nos conceitos utilizados pelas duas principais escolas de pensamento em estat´ıstica: a escola cl´assica e a escola bayesiana. Esse contraste entre escolas ´e um pouco superficial, sendo o leitor ´e referido a Lindley (1980), Howie (2002) e Jaynes (2003) e para ˜es mais profundas sobre assunto. apresentac¸o

4.2 Todos os cisnes s˜ao brancos? Suponha que estamos interessados em saber se ´e verdadeira a hip´ otese H0 ≡ “Todos os cisnes s˜ao brancos”, a partir da observac¸˜ao sistem´atica dos cisnes existentes na natureza. Por raz˜ oes pr´aticas, a observac¸˜ao de todos os cisnes do mundo n˜ao ´e algo poss´ıvel, a despeito da tecnologia existente. Como procedimento alternativo, vamos supor que podemos realizar uma amostra de 1000 cisnes, a partir de procedimentos que garantem uma grande aderˆencia `a noc¸˜ao de uma amostragem aleat´ oria da populac¸˜ao de cisnes existente. Essa amostragem poder´a resultar nas seguintes evidˆencias, carac˜es complementares, com seu valor terizadas como proposic¸o l´ ogico estabelecido pelo resultado da amostragem: E0 ≡ Todos os 1000 cisnes amostrados s˜ao brancos; e E1 ≡ H´a pelo menos 1 cisne n˜ao-branco nos 1000 cisnes. No caso, ´e evidente que E1 = ¬E0 , usando a notac¸˜ao de l´ ogica formal introduzida no Cap´ıtulo 2.

99

ˆ Cap´ıtulo 4 - Inferencia Indutiva

A l´ ogica formal indicaria a validade da proposic¸˜ao H0 ⇒ E0 . Vamos examinar agora a conclus˜ao que poderia ser estabelecida a partir da observac¸˜ao de cada uma dessas evidˆencias. Se observarmos E1 , que ´e logicamente equivalente a ¬E0 , podemos concluir definitivamente que a hip´ otese H0 ´e falsa, ˜es existentes nos silogismos fortes, examinados atrav´es das noc¸o no Cap´ıtulo 2. Nesse caso, a conclus˜ao seria obtida atrav´es do silogismo modus tollens por H0 ⇒ E0 , ¬E0 ¬H0

.

Por outro lado, se a evidˆencia observada fosse E0 , n˜ao seria poss´ıvel obter uma conclus˜ao definitiva sobre a verdade de H0 . Do ponto de vista da l´ ogica formal, esse caso ´e tratado como um silogismo fraco , do tipo: H 0 ⇒ E0 , E 0 ?

,

sem conclus˜ao definitiva.

N˜ao rejeic¸a˜ o de H0 e´ diferente de aceitar H0 A hip´ otese H0 n˜ao seria rejeitada pela observac¸˜ao de E0 . Ou ´ inteseja, ´e ainda plaus´ıvel que H0 seja verdadeira ou v´alida. E ressante observar que a n˜ao rejeic¸˜ao de H0 n˜ao implica que ela seja aceita como v´alida do ponto de vista l´ ogico. A hip´ otese,

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

nesse caso, teria passado por um teste, n˜ao sendo rejeitada por esse teste, apenas isso. Em muitas ´areas da ciˆencia as teorias passam por in´ umeros testes como o descrito e, na medida que n˜ao s˜ao rejeitados, a credibilidade da teoria tende a aumentar, ainda que n˜ao possa ser definitivamente provada.

4.3 Inferˆencia indutiva Numa situac¸˜ao como a descrita nos par´agrafos anteriores, o ´til mas n˜ao propiciou um aprouso da inferˆencia dedutiva foi u veitamento completo da evidˆencia observacional obtida. O uso de m´etodos probabil´ısticos e estat´ısticos pode proporci˜es onar um refinamento no processo de inferˆencia em situac¸o ˜es emp´ıricas. que envolvem observac¸o A natureza das quest˜ oes respondidas pelos m´etodos probabil´ısticos e estat´ısticos se aplica a problemas mais dificilmente tratados pela l´ ogica formal. No caso da hip´ otese sobre os cisnes brancos, examinada no t´ opico anterior, esses m´etodos seriam ´teis para quantificar, atrav´es de probabilidades, a validade da u hip´ otese considerada, ou as chances dessa hip´ otese ser v´alida, a ´til, tamb´em, partir da evidˆencia observada. Al´em disso, seria u para oferecer respostas convincentes para perguntas como: • Qual seria a freq¨ uˆencia de cisnes brancos na populac¸˜ao? • Seria essa freq¨ uˆencia de cisnes brancos superior a 99%? • Seria a freq¨ uˆencia de cisnes brancos superior `a de n˜aobrancos?

ˆ Cap´ıtulo 4 - Inferencia Indutiva

101

Vis˜ao cl´assica × vis˜ao bayesiana Os princ´ıpios utilizados para resposta `as quest˜ oes colocadas na sec¸˜ao anterior podem diferir entre as duas principais escolas de pensamento existentes na estat´ıstica: a escola cl´assica e a escola ˜es disbayesiana. Essas diferenc¸as podem levar a interpretac¸o tintas para a mesma evidˆencia, devido `a forma com cada escola entende o conceito de probabilidade e implementa testes de hip´ oteses, entre outros aspectos. Em cursos e textos b´asicos de estat´ıstica predominam os princ´ıpios da escola cl´assica. Somente em cursos ou textos mais avanc¸ados os princ´ıpios bayesianos tendem a ser explorados. ˜es envolvendo inferˆencia indutiva as noc¸o ˜es bayeNas aplicac¸o ˜es sianas oferecem uma extens˜ao natural da l´ ogica para situac¸o envolvendo silogismos fracos e incerteza em geral, como discutem Jaynes (2003) ou Cox (2001).

Probabilidades: vis˜ao frequentista ¨ × subjetiva Na estat´ıstica cl´assica, a noc¸˜ao de probabilidade ´e interpretada como o limite para a freq¨ uˆencia de um determinado evento, na ˜es do experimento associado medida que o n´ umero de repetic¸o a esse evento tende ao infinito. Tamb´em ´e conhecida como noc¸˜ao freq¨ uentista de probabilidade. No caso do lanc¸amento de uma moeda, a probabilidade p de se obter “cara” seria definida como c p = lim , n→∞ n onde c ´e o n´ umero de caras observado e n ´e o n´ umero de jogadas. Ou seja, a freq¨ uˆencia relativa de caras, na medida que n tende ao infinito.

´Indice Remissivo ƒ (final de prova), 77 I (conjunto dos inteiros), 78 ⇔ (dupla implicac¸˜ao), 41 R (conjunto dos reais), 28 ⇒ (implicac¸˜ao l´ ogica), 37 ˙ (ou exclusivo), 37 ∨ ≡ (´e definido por), 25 ∃! (existe somente um), 27 ∃ (existe um elemento), 27 ∀ (para todos os elementos), 27 ¬ (negac¸˜ao l´ ogica), 33 ∨ (ou inclusivo), 35 ∧ (e l´ ogico), 33 = (igual), 49 absurdo, 81 ´algebra elementar, 28 amostragem, 98 anivers´arios problema dos, 12 Arist´ oteles, 24, 53 busto de, 24 axioma, 68 Binˆ omio de Newton, 92 Boole, G., 24 c.q.d., 78

cˆancer, 4 causalidade e implicac¸˜ao l´ ogica, 39 exemplo, 39 noc¸˜ao de, 4 Church, A., 23 cisnes brancos, 98 com´ercio eletrˆ onico, 90 contradic¸˜ao, 55, 81 condic¸˜ao necess´aria, 38, 60 condic¸˜ao suficiente, 38, 60 conectivos, 25 conjectura, 68 Conjectura Chinesa, 85, 90 Conjectura de Fermat, 67 conjunc¸˜ao l´ ogica, 33 contrafactual, 4 crianc¸a chances do sexo da, 5 criptografia, 90 declarac¸˜ao, 25, 29 composta, 25 exemplos, 31 representac¸˜ao compacta, 26 ˜es declarac¸o na ´algebra elementar, 28 definic¸˜ao, 67

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132

ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

Deus existˆencia de, 6 disjunc¸˜ao l´ ogica, 35 disjunt´ orio, 36 distribuic¸˜ao a priori, 111 divis˜ao por zero, 73 dupla implicac¸˜ao (⇔), 41 e l´ ogico (∧), 33 equivalˆencias l´ ogicas, 49 erros em provas, 72 estat´ıstica, 5 teste, 6 estat´ıstica bayesiana, 101 an´alise de hip´ oteses, 103 estat´ıstica cl´assica, 101 Euclides, 75 evidˆencia emp´ırica, 5 exemplo ˜es, 11 an´alise de informac¸o cartas, 9 classificac¸˜ao de empresas, 10 implicac¸˜ao e causalidade, 39 interpretac¸˜ao de testes, 14 marido e esposa, 7 nuvens e chuva, 39 paradoxo de Simpson, 16 pol´ıtica de sa´ ude, 15 problema dos anivers´arios, 12 proposic¸˜ao e declarac¸˜ao, 31 seq¨ uˆencias aleat´ orias, 13, 14 solucionando o crime, 43 experiˆencia pessoal, 8 Fermat, 67, 85, 90

Fischhoff, B., 2 Franklin, J., 65 Frege, G., 24 fumar e cˆancer, 4 func¸˜ao de densidade, 110 G¨ odel, K., 55 foto, 57 heur´ıstica definic¸˜ao, 2 Hilbert, D., 24 hip´ otese, veja proposic¸˜ao, 29, 68 n˜ao rejeic¸˜ao e aceitac¸˜ao, 99 rejeic¸˜ao da, 5, 6 Hogarth, R., 8 Howie, D., 98 implicac¸˜ao l´ ogica e causalidade, 39 implicac¸˜ao l´ ogica (⇒), 37 inferˆencia dedutiva, 3, 23 definic¸˜ao, 1 indutiva, 3, 24 informal, 1, 2, 8 exemplo, 7 problemas, 8 m´etodos formais, 2 inferˆencia indutiva, 97 internet, 90 intuic¸˜ao, 2 intuic¸˜ao do leitor qualidade da, 9 Jaynes, E. T., 98 Jevons, W. S., 24

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´Indice Remissivo

Kahneman, D., 2

modus tollens, 53, 99

l´ ogica formal, 3, 23 Laplace, 5 Lei de Morgan, 51 Leibnitz, G., 24 lema, 68 Lema de Farkas, 68 Lema de Neyman-Pearson, 68 Lindley, D., 98 Linguagem usada para descrever uma linguagem de interesse, usualmente chamada de linguagem objeto., 49

n´ umeros primos, 85 negac¸˜ao (¬), 33 ˜es, 47 negac¸˜ao de proposic¸o

m´etodo contrapositivo, 79 m´etodo da contradic¸˜ao ou absurdo, 81 m´etodo da induc¸˜ao, 86, 92 m´etodo de prova sem perda de generalidade, 77 m´etodo direto, 78 m´etodo do contra-exemplo, 83 m´etodo do exemplo, 83 m´etodo geom´etrico, 75 m´etodos de prova, 65 erros comuns, 72 m´etodos probabil´ısticos, 3 menino chance maior de, 5 freq¨ uˆencia no registro civil, 5 metalinguagem, 49 modus ponens, 52

operac¸˜ao l´ ogica, 32 dupla implicac¸˜ao (⇔), 41 e (∧), 33 equivalˆencia, veja dupla implicac¸˜ao implicac¸˜ao (⇒), 37 negac¸˜ao (¬), 33 ˙ ), 37 ou exclusivo (∨ ou inclusivo (∨), 35 prioridades, 48 ou l´ ogico, 35 paradoxo de Simpson, 16 Peano, G., 24 Pequeno Teorema de Fermat, 85, 90 Pit´agoras, veja teorema de Pit´agoras Plessner, H., 8 Plous, S., 8 pol´ıtica de sa´ ude decis˜ao sobre, 15 postulado, veja axioma ˜es prioridades entre operac¸o l´ ogicas, 48 ˜es proposic¸o equivalˆencia de, 45 ˜es l´ operac¸o ogicas com, 32 ˜es equivalentes, 49 proposic¸o probabilidade interpretac¸˜ao bayesiana, 101

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ˆ Inferencia Dedutiva e Indutiva – A. Azevedo Filho

interpretac¸˜ao freq¨ uentista, 101 interpretac¸˜ao subjetiva, 101 teoria de, 5 probabilidade a posteriori, 104, 110 probabilidade a priori, 105 proposic¸˜ao, 3, 66, 67 como func¸˜ao, 30 composta, 30 definic¸˜ao, 29 elementar, 30 exemplos, 31 inv´alida, 29 negac¸˜ao da, 47 validade da, 29 valor l´ ogico da, 29 proposic¸˜ao inv´alida, 29 prova m´etodo contrapositivo, 79 m´etodo da contradic¸˜ao ou absurdo, 81 m´etodo da induc¸˜ao, 86 m´etodo direto, 78 m´etodo do exemplo e contra-exemplo, 83 m´etodo geom´etrico, 75 prova de teoremas, 65 prova do valor de π, 76 psicologia cognitiva, 2 q.e.d., 78 raz˜ao de chances, 104 raz˜ao de verossimilhanc¸a, 105 Russell, B., 24

s´ımbolo ´e definido por (≡), 25 ´e um elemento de (∈), 27 dupla implicac¸˜ao (⇔), 41 e l´ ogico (∧), 33 existe (∃), 27 existe somente um (∃!), 27 igual (=) (igual), 49 implicac¸˜ao l´ ogica (⇒), 37 negac¸˜ao (¬), 33 ˙ ), 37 ou exclusivo (∨ ou inclusivo(∨), 35 para todos elementos (∀), 27 silogismo, 24, 51 forte, 52 fraco, 54, 97, 99 Solow, D., 23, 65 Stolyar, A., 23 tabela de valores l´ ogicos, 33 teorema, 68 teorema de Bayes, 103 teorema de G¨ odel (incompletude), 57 teorema de Pit´agoras, 3, 6, 88 teoremas em artigos cient´ıficos, 66 teoria de probabilidades, 100 teste estat´ıstico, 5 testes interpretac¸˜ao de, 14 Turing, A., 24 Tversky, A., 2 valor l´ ogico, 28 falso (F), 30

´Indice Remissivo

s´ımbolos usados, 30 verdadeiro (T), 30 vari´aveis ˜es, 27 em declarac¸o vari´avel, 26 Velleman, J., 65 Whitehead, A., 24

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