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Nociones básicas de lógica elemental 1. Los razonamientos como tema de la lógica. Componentes de los razonamientos: premisas y conclusión La lógica estudia los razonamientos, pero no los razonamientos como procesos mentales -que son tema de la psicología- sino los productos de tales procesos. Entendido de esta manera, un razonamiento es un conjunto de enunciados (o de oraciones, o de proposiciones: de los "portadores de verdad" que fueren) formulado por alguien que pretende que uno de esos enunciados -la "conclusión" del razonamiento- se sigue (se desprende, se deriva) de los demás -las "premisas" del razonamiento-. Esa pretensión -la pretensión de que las premisas dan apoyo o fundamento a la conclusión- es lo que distingue a los razonamientos de otros conjuntos de enunciados como las descripciones y los relatos. Es bastante común el uso de la palabra "argumento" como sinónima de "razonamiento", uso que seguramente constituye un anglicismo ("argument" significa, en una de sus acepciones, lo mismo que "razonamiento") pero tiene la ventaja de que permite decir cosas como "función argumentativa del lenguaje", que suena mejor que "función razonativa…". También "inferencia" significa lo mismo que "razonamiento", aunque algunos autores prefieren reservar "inferencia" para el proceso y "razonamiento" para el producto. La relación entre "inferir" y "razonar" es análoga a la que existe entre "saber" y "conocer"; son verbos que significan lo mismo pero cuyo comportamiento gramatical es distinto: está bien decir "Infirió que…" y en cambio es incorrecto decir "Razonó que…" (aunque Borges a veces lo dice). Hemos dicho que la lógica no se ocupa de los razonamientos como procesos mentales sino de los razonamientos como conjuntos de enunciados. Sin embargo, a continuación hemos definido "razonamiento" haciendo intervenir en la definición un ingrediente psicológico, a saber, la intención del hablante; hemos dicho, en efecto, que un conjunto de enunciados es un razonamiento, en vez de ser una descripción o un relato, si el que formula esos enunciados pretende que uno de ellos se sigue de los demás. Pudimos haber procedido de otro modo; pudimos haber dicho que un razonamiento es un conjunto de enunciados tal que uno de esos enunciados se sigue de los demás. Si hubiéramos hecho esto último, habríamos preferido emplear

"razonamiento" como palabra "de logro", en vez de usarla como palabra "de intento", que es lo que de hecho hemos preferido. Tal vez se pueda aclarar un poco más en qué consisten estas dos maneras de emplear una palabra mostrando que la misma situación se presenta respecto de otras palabras, por ejemplo respecto de la palabra "suma". Si alguien dice que dos más dos son cinco, ¿está sumando mal o no está sumando? En el lenguaje común la palabra "suma" se usa como palabra de intento, de modo que el que dice que dos más dos son cinco está sumando, aunque mal. En algunos sistemas de aritmética, en cambio, la suma se define de modo tal que no puede haber sumas mal hechas; "suma" se emplea en este caso como palabra de logro y en consecuencia el que dice que dos más dos son cinco no está sumando. ¿Y por qué preferimos usar "razonamiento" como palabra de intento? Porque queremos que se aplique también a los razonamientos muy malos, cuya conclusión no se sigue en modo alguno de sus premisas. Si empleáramos "razonamiento" como palabra de logro, no podríamos clasificar como razonamientos a esos razonamientos muy malos, y nos parece que esto podría limitar de manera indeseable las aplicaciones de la lógica. Además, algunos conjuntos de enunciados pueden corresponder a varios razonamientos distintos, en cuyo caso se necesita tener en cuenta la intención del hablante para identificar un razonamiento. Es lo que ocurre con el siguiente conjunto de enunciados: Sobre un terreno llano hay un mástil de 3 metros de altura. El sol brilla en el cielo con una elevación de 53.13º. El mástil proyecta una sombra de 2,25 metros de longitud. Cualquiera de esos tres enunciados se sigue de los otros dos (en el sentido más fuerte posible: se deduce válidamente -concepto que enseguida explicaremos- de los otros dos). Por otra parte, premisas y conclusión pueden aparecer -y de hecho aparecen- en cualquier orden en los razonamientos formulados en lenguaje común; no es en modo alguno obligatorio que la conclusión vaya al final. De modo que, como ya se dijo, no podemos identificar un razonamiento sin saber, o al menos conjeturar, qué quiso decir el hablante. Si queremos aplicar la lógica a los lenguajes comunes -y hay razones para querer hacerlo-, tenemos que ser capaces de identificar argumentos formulados en uno de esos lenguajes, y en muchos casos no podremos hacerlo sin tener en cuenta la intención del hablante.

2. Reconocimiento de razonamientos ¿Cómo podemos saber que un conjunto de enunciados es un razonamiento, y no una descripción o un relato? Dicho de otro modo, ¿cómo se reconocen los razonamientos? En los casos más favorables se los reconoce gracias a ciertas expresiones que acompañan a los enunciados y que indican que estamos en presencia de un razonamiento. Estos "indicadores de razonamiento" son de dos clases: indicadores de premisa, como "puesto que", e indicadores de conclusión, como "por lo tanto". En los casos menos favorables, es decir, cuando los enunciados no están acompañados por indicadores de razonamiento, tenemos que conjeturar la intención del hablante, en lo cual podemos, por supuesto, equivocarnos -pero lo más frecuente es que acertemos-. La caracterización que hemos hecho de los razonamientos implica que un razonamiento consta de al menos dos enunciados: la conclusión y por lo menos una premisa. (Se dice a veces que ciertos enunciados se derivan de ninguna premisa, o del conjunto vacío de premisas; se trata de un tecnicismo cuyo tratamiento parece razonable omitir en el presente contexto.) Los silogismos son razonamientos de un tipo especial y tienen por definición dos premisas; pero esto no vale para los razonamientos no silogísticos, que pueden tener un número cualquiera de premisas. Desde su creación por Aristóteles, la lógica fue durante más de veinte siglos casi exclusivamente una teoría del silogismo, y esto ha seguido influyendo hasta no hace mucho en la enseñanza de la lógica en el colegio secundario, generando en los estudiantes la tendencia a pensar que todos los razonamientos tienen dos premisas, por lo cual tiene cierta importancia la aclaración de que los razonamientos en general -aunque no los silogismos en particular- pueden tener un número cualquiera de premisas.

3. El concepto de razonamiento válido Si el razonador pretende que el apoyo que las premisas dan a la conclusión es un apoyo concluyente -esto es, un apoyo tal que es imposible que la conclusión sea falsa si las premisas son todas verdaderas-, el razonamiento es deductivo; si pretende, en cambio, que las premisas dan algún apoyo a la conclusión, pero no un apoyo

concluyente, el razonamiento es inductivo. Si las premisas realmente dan a la conclusión un apoyo concluyente, el razonamiento es un razonamiento deductivo válido; en caso contrario, es decir, si es concluyente el apoyo pretendido pero no el real, se trata de un razonamiento deductivo inválido. Dicho de otro modo, un razonamiento es deductivo si el hablante pretende que es válido; si no existe tal pretensión -es decir, si el que formula el razonamiento lo considera, por decirlo así, plausible, pero no válido-, el razonamiento es inductivo. Hemos hecho con "deducción" lo mismo que antes hicimos con "razonamiento", esto es, la hemos empleado como palabra de intento. Si la hubiéramos usado como palabra de logro, no podríamos hablar, como lo hemos hecho, de razonamientos deductivos inválidos, ya que éstos se diferencian de los razonamientos inductivos sólo por la intención del hablante.

4. Deducción e inducción Tradicionalmente se decía que los razonamientos deductivos van de lo general a lo particular y que los inductivos recorren el camino inverso, esto es, van de lo particular a lo general. Lo que se quería decir con esto es que en los razonamientos deductivos al menos una de las premisas es más general que la conclusión y que en los inductivos, por el contrario, la conclusión es más general que cualquiera de las premisas. Se estaba pensando en razonamientos deductivos como el más citado de los silogismos: "Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal", y en razonamientos inductivos como: "Este cuervo es negro, aquél también, etc.; por lo tanto, todos lo cuervos son negros". El criterio que se aplicaba para clasificar los razonamientos en deductivos e inductivos era entonces el grado de generalidad de premisas y conclusión. Según esto, los razonamientos se dividían primero en deductivos y no-deductivos, y estos últimos se subdividían en razonamientos inductivos y razonamientos por analogía (en estos últimos premisas y conclusión tienen el mismo grado de generalidad); o bien se distinguía de entrada entre razonamientos deductivos, inductivos y por analogía. Tal criterio obliga a clasificar como inductivos a razonamientos que conservan necesariamente la verdad, como por ejemplo el siguiente: "Esto es un plato volador; por lo tanto, hay platos voladores", cuya única premisa es menos general que la conclusión. En nuestros días se ha considerado conveniente

mantener los términos "deducción" e "inducción" pero evitando semejante consecuencia mediante un cambio en el criterio de clasificación; ahora se clasifican como deductivos todos los razonamientos formulados con la pretensión de que la verdad de sus premisas es incompatible con la falsedad de su conclusión, y a todos los demás se los clasifica como inductivos. 5. El problema de la inducción De acuerdo con todo lo dicho, los razonamientos inductivos nunca son válidos, es decir, nunca conservan la verdad; siempre pueden llevarnos, aunque estén bien hechos, de premisas verdaderas a conclusiones falsas. Por otra parte, no podemos prescindir de ellos; estamos obligados a razonar también inductivamente, y no sólo deductivamente. La conjunción de estas dos cosas -los razonamientos inductivos son inválidos y estamos obligados a razonar inductivamente- da lugar a lo que se ha llamado "el problema de la inducción". 6. La validez como conservación de la verdad De todas las nociones mencionadas hasta ahora, la única que puede definirse en términos exclusivamente lógicos -o sea, sin hacer intervenir ese factor psicológico que es la intención del hablante- es, por suerte, la que más nos interesa: la noción de razonamiento válido. La definición de razonamiento válido que Copi da en el capítulo 1 de su Introducción a la lógica dice más o menos lo siguiente: un razonamiento es válido si, en caso de que sus premisas sean todas verdaderas, es necesario que la conclusión también sea verdadera. Otra definición equivalente a ésa dice que un razonamiento es válido si no puede tener premisas verdaderas (todas, se sobreentiende) y conclusión falsa. Estas definiciones mencionan la característica que más nos interesa de los razonamientos válidos, a saber, que en ningún caso nos llevan de premisas verdaderas a conclusiones falsas. A veces esto se expresa diciendo que los razonamientos válidos conservan (necesariamente) la verdad. Las definiciones que hemos dado de "razonamiento", "razonamiento deductivo" y "razonamiento válido" tropiezan con un inconveniente bastante grave, a saber, permiten la existencia de razonamientos que conserven la verdad, o sea, razonamientos

cuyas premisas dan a su conclusión un apoyo concluyente, y que no son deductivos debido a que, por error, el razonador los considera plausibles pero no válidos. ¿Cómo se puede arreglar esto? Tal vez se pueda decir que un razonamiento es inductivo si el hablante pretende tal y cual cosa, salvo que se trate de un razonamiento válido, en cuyo caso es deductivo. Estamos interesados en los razonamientos que conservan la verdad porque estamos interesados en el razonamiento como fuente indirecta de conocimiento, y en principio no hay conocimiento falso. Para que un razonamiento sirva en efecto como fuente de conocimiento, debe tener dos virtudes: ser válido y tener premisas verdaderas. Cuando un razonamiento las tiene, se dice que es un razonamiento "sólido". Esas dos virtudes son independientes una de otra: un razonamiento válido puede constar exclusivamente de enunciados falsos, como ocurre con el siguiente: "Todos los catamarqueños son franceses; por lo tanto, algunos franceses son catamarqueños"; y uno inválido puede constar exclusivamente de enunciados verdaderos, como ocurre con éste: "Si yo fuera Presidente, sería famoso. Yo no soy Presidente. Por lo tanto, yo no soy famoso". ¿Por qué digo que es inválido este último razonamiento, si no me ha llevado de premisas verdaderas a conclusión falsa? Porque podría haberlo hecho: es obvio que cualquiera -hasta yo- podría ser famoso por otro motivo. Si hablamos de situaciones posibles (los filósofos hacen algo peor: hablan de mundos posibles), podemos decirlo en indicativo: hay situaciones (mundos) posibles respecto de las cuales ese razonamiento tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. ¿Y cómo se averigua si las hay? Tratando de imaginarlas; si logro imaginar una situación respecto de la cual un razonamiento dado tiene premisas verdaderas y conclusión falsa, el razonamiento es inválido. Una variante de este "método" consiste en encontrar otro razonamiento lógicamente análogo al razonamiento dado y que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Sin haber estudiado lógica, se advierte intuitivamente que un razonamiento como "Si Maradona fuera Presidente, sería famoso. Maradona no es Presidente. Por lo tanto, Maradona no es famoso", además de tener premisas verdaderas y conclusión falsa, es lo suficientemente parecido al que aparece al final del párrafo anterior como para probar la invalidez de este último. Algo que a veces llama la atención es que la deducción (válida) conserva la verdad pero no la falsedad. Mediante la deducción es posible pasar de premisas falsas a conclusiones verdaderas. ¿Cómo se explica esto? Las premisas de un razonamiento,

consideradas en su conjunto, se clasifican como falsas si al menos una de ellas es falsa, y se clasifican como verdaderas sólo si todas ellas lo son. Puede ocurrir, como consecuencia de esto, que un razonamiento válido tenga como conclusión un enunciado que se deduzca de la parte verdadera de sus premisas (que consideradas en su conjunto son falsas). Incluso un solo enunciado falso puede ser verdadero en parte, puede tener cierto contenido de verdad; es lo que ocurre, por ejemplo, con el enunciado falso "Todos los domingos llueve en Mar del Plata", del cual se deduce válidamente el enunciado verdadero "El domingo 30 de enero de 2000 llovió en Mar del Plata". Esta propiedad de la deducción -la de conservar la verdad pero no la falsedad- tiene consecuencias importantes para el llamado método hipotético-deductivo. 7. Los métodos de la lógica Nuestra capacidad de imaginar situaciones posibles no es ilimitada; puede ocurrir que haya situaciones posibles respecto de las cuales un razonamiento tenga premisas verdaderas y conclusión falsa sin que seamos capaces de imaginarlas. En consecuencia, este "método" para determinar la validez no es muy bueno. Pero, lamentablemente, el concepto de validez que hemos considerado hasta ahora -aunque en cierto sentido es, como dijimos, el más importante, porque lo que nos interesa de los razonamientos es que conserven la verdad- no sirve como base para aplicar los métodos que ha desarrollado la lógica para determinar si un razonamiento deductivo es válido o inválido -métodos como el método de las tablas de verdad y el método de la deducción-. Por eso los lógicos dan otra definición de validez en la que las nociones modales -así se las llama- de posibilidad y necesidad son reemplazadas por la noción de forma lógica. 8. Validez formal Para presentar esta segunda definición de validez, hay que introducir en primer lugar la noción de término lógico. Lamentablemente, no hay ninguna definición de término lógico aceptada en forma unánime por los especialistas. En lo que sí están de acuerdo es en cuáles son los términos lógicos. Para un lenguaje "natural" como nuestro idioma, los términos lógicos son: a) los conectivos, esto es, expresiones como "y", "o", "no", "si-entonces"; b) los cuantificadores, palabras como "todos" y "algunos", y c) el verbo "ser" en cualquiera de sus formas personales.

Todos los demás términos se llaman términos no lógicos o también términos descriptivos. Desde cierto punto de vista, los términos descriptivos se clasifican en términos de individuo, como "Sócrates" o "El maestro de Platón", y términos de clase, como "hombre" o "mortal" (carece de importancia para la lógica la distinción gramatical entre sustantivos y adjetivos). Se dice que los términos de individuo y los términos de clase son términos de distinta categoría. Ahora estamos en condiciones de dar una definición -aunque no una definición explícita, esto es, no una como las que aparecen en los diccionarios comunes- de "forma lógica": La forma lógica de un enunciado está determinada por (depende exclusivamente de) los términos lógicos que ese enunciado contiene y la categoría de sus términos descriptivos. De acuerdo con esto, y estipulando que las letras mayúsculas indican el lugar donde pueden ir términos de clase, la forma lógica del enunciado "Todos los hombres son mortales" (y de un número potencialmente infinito de enunciados; de todos los que se llaman enunciados universales) es "Todos los A son B". "Todos los A son B" no es un enunciado; no tiene la característica definitoria de los enunciados, que es la de ser verdaderos o falsos, y no la tiene debido a que "A" y "B" son letras carentes de significado. Como tampoco puede decirse que sea una fórmula porque tiene mucho lenguaje natural, diremos que es una "forma de enunciado". Y de los enunciados de esa forma diremos que son sus "ejemplos de sustitución". Si lo que hicimos con "Todos los hombres son mortales" lo hacemos también con los otros dos componentes del silogismo -usando por ejemplo letras minúsculas para términos de individuo, y respetando la exigencia de que la sustitución sea uniforme, esto es, reemplazando cada término que aparezca más de una vez por la misma letra en todas sus apariciones-, lo que nos queda es un conjunto de tres formas de enunciado. A ese conjunto lo llamaremos una "forma de razonamiento", y sus ejemplos de sustitución serán por supuesto razonamientos. Esa forma de razonamiento que hemos obtenido tiene una particularidad: ninguno de sus infinitos ejemplos de sustitución tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. Esto se puede probar aplicando métodos como los que antes mencionamos. De una forma de razonamiento que tiene esa característica se dice que es una forma de razonamiento válida, y de sus ejemplos, que son razonamientos válidos. Podemos reformular esto como la segunda definición de validez: Un razonamiento es válido si es un ejemplo de sustitución de una forma de razonamiento válida; y una forma de razonamiento es válida si no tiene ningún ejemplo de sustitución

con premisas verdaderas y conclusión falsa. Esta definición sí permite aplicar los métodos de la lógica para la determinación de la validez. Primero definimos validez como conservación de la verdad; ahora la hemos definido como la posesión de una forma lógica tal que ningún razonamiento de esa forma tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. Es obvio que las dos definiciones no dicen lo mismo. Más aún: ni siquiera tienen la misma extensión. Hay razonamientos que conservan la verdad, no en virtud de su forma, sino en virtud del significado de ciertos términos descriptivos, como por ejemplo el siguiente: "Juan es soltero; por lo tanto, Juan no es casado". 9. ¿Qué lógica es ésta? La lógica "estándar" se ocupa exclusivamente de la validez formal, y por eso se la ha llamado a veces lógica formal (también se la ha llamado lógica simbólica y lógica matemática, debido al uso abundante de símbolos especiales y fórmulas). A lo largo de la historia la palabra "lógica" (y su traducción a otros idiomas) ha sido empleada en distintos sentidos. Así, por ejemplo, lo que Hegel entiende por "lógica" tiene poco que ver con el análisis lógico de los razonamientos tal como se lo ha venido practicando desde Aristóteles hasta ahora. Por otra parte, en nuestros días se habla de muchas lógicas distintas: lógica modal, lógica deóntica, lógica cuántica, lógica paraconsistente, lógica borrosa, etc., y desde hace unos cuantos años se le hace bastante propaganda a la lógica informal. La lógica deductiva estándar técnicamente se denomina lógica de predicados de primer orden o lógica elemental.