Aproximaciones Y Errores De Redondeo

Aproximaciones y errores de redondeo

Cifras significativas • Los métodos numéricos dan resultados aproximados. • Se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son. • Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

Fig 3.1

Cifras significativas • Las computadoras sólo retienen un número finito de cifras significativas, los números irracionales jamás se podrán representar con exactitud. • La omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo

Exactitud y precisión • Exactitud: se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. • Precisión: se refiere a qué tan cercano se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Fig 3.2 Precisión creciente

Exactitud creciente

Exactitud y precisión • Inexactitud: conocida como sesgo, se define como una desviación sistemática del valor verdadero. • Imprecisión: conocida como incertidumbre, se refiere a la magnitud en la dispersión de los datos.

Definiciones de error • De truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones. • De redondeo: se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Errores • La relación entre el resultado exacto y verdadero está dado por: Valor verdadero = valor aproximado + error • Et= valor verdadero – valor aproximado

Error error verdadero Error relativo fraccional verdadero = valor verdadero

error verdadero εt = 100% valor verdadero

Cálculo de errores • Se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm.

• Calcule el error verdadero • Calcule el error relativo porcentual

Error • En situaciones reales a veces es difícil o imposible contar con el valor verdadero.

• Cuando no se conoce a priori la respuesta verdadera, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor aproximación posible al valor verdadero.

Error error aproximado εa = 100% valor aproximado aproximacion actual - aproximacion anterior εa = 100% aproximacion actual el subindice a significa que el error esta normalizado a un valor aproximado

Error • Los signos de las ecuaciones anteriores pueden ser positivos o negativos. • A menudo, no importa mucho el signo del error, sino que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada ε s

Error

εa < εs Si se cumple esta relación, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente.

Error • Es posible demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad de que el resultado es correcto con al menos n cifras significativas.

ε s = (0.5*10

2− n

)%

Estimación del error con métodos iterativos • La función exponencial se calcula usando la siguiente Serie de Maclaurin:

2

3

n

x x x e = 1 + x + + +L + 2! 3! n! x

Errores de redondeo

Errores de redondeo • Se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. • Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10.

Errores de redondeo

• Se relacionan de manera directa con la forma en que se guardan los números en la memoria de la computadora.

Representación de números • La unidad fundamental se llama palabra (byte). • Una palabra es una cadena de dígitos binarios o bits. • Los números son guardados en una o más palabras.

Sistemas numéricos • Notación posicional • Bases

Fig 3.3

Representación entera • Método de magnitud con signo • Emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo. (0 positivo, 1 negativo). • Los otros bits se usan para guardar el número. • 1000000010101101=-173

Fig 3.4

Signo

Número

Complemento a 2

• Incorpora directamente el signo dentro de la magnitud del número.

Punto Flotante • Se utiliza para representar números fraccionarios. • Todo número se expresa como una parte fraccionaria llamada mantisa y una parte entera llamada exponente.

mb

e

Punto Flotante 156.78=0.15678x103 • En punto flotante, el primer bit se usa para el signo. • La siguiente serie de bits para el exponente con signo. • Los últimos bits para la mantisa.

Fig 3.5 Exponente signado

Mantisa Signo

Mantisa normalizada 1 = 0.029411765 34

• Si se guarda en una computadora que sólo permite cuatro lugares decimales, se guardaría como 0.0294x100 • El cero inútil a la derecha del punto decimal hacer perder el dígito 1.

Mantisa normalizada • El número se normaliza para eliminar el cero, multiplicando por 10 y disminuyendo el exponente en 1, quedando: 0.2941x10-1 • Así se conserva una cifra adicional.

Mantisa normalizada • La normalización consiste en limitar el valor absoluto de m a:

1 ≤ m <1 b

Punto Flotante • Permite representar tanto fracciones como números muy grandes. • Requieren más espacio y más tiempo de procesamiento. • Introducen un error de redondeo ya que la mantisa conserva un número finito de cifras significativas.

Problema • Determinar un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda la información usando palabras de 7 bits. • El primer bit para signo del número. • Los otros 3 para signo y magnitud del exponente. • Los últimos 3 para magnitud de la mantisa.

Problema • 0111100 número positivo más pequeño. 0111100=+0.5x10-3 • Los siguientes números más grandes son: 0111101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-3=0.078125 0111110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-3=0.093750 0111111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-3=0.109375

Fig 3.6

Signo de número

Signo de exponente Magnitud de exponente

Magnitud de mantisa

Problema • Las equivalencias en base 10 se esparcen de manera uniforme en un intervalo de 0.015625. • Para continuar el incremento se debe disminuir el exponente a 10, lo cual da 1x21+0x20 = 2

Problema • La mantisa vuelve a disminuir hasta su valor más pequeño: 100, por lo que el siguiente número es: 0110100=(1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-2=0.125000 • Lo cual sigue dando una brecha de 0.015625

Problema • Los siguientes números incrementando mantisa son: 0110101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-2=0.156250 0110110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-2=0.187500 0110111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-2=0.218750 La brecha es ahora de 0.03125

Problema • El número más grande es 0011111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x23=7

Cancelación

Redondeo

Fig 3.7

Rebose

“Hueco” de subrebose en cero

Errores de redondeo • El rango de cantidades que pueden representarse es limitado. • Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango limitado. • El intervalo entre los números aumenta conforme los números aumentan en magnitud.

Rangos limitado • Hay números grandes positivos y negativos que no pueden representarse. • Intentar emplear números fuera del rango da como resultado error de desbordamiento (overflow). • Números muy pequeños tampoco pueden representarse (underflow) debido al agujero entre el cero y el primer número positivo.

Número finito de cantidades • El grado de precisión es limitado. • Los números irracionales no pueden representarse de manera exacta. • Tampoco los racionales que no concuerdan pueden ser representados de manera precisa. • Errores de cuantificación.

Errores de cuantificación • La aproximación real se realiza de dos formas: cortando o redondeando. • Cortando: simplemente omitir o cortar a partir de un término. Todos los errores son positivos. • Redondeando: produce un error menor que el corte pero aumenta el trabajo computacional.

Intervalo entre números • Permite que la representación de punto flotante conserve los dígitos significativos. • También significa que los errores de cuantificación sean proporcionales a la magnitud del número representado.

Intervalo entre números • Para normalizar los números de punto flotante, esta proporcionalidad se expresa:

∆x Corte: ≤ε x

∆x

ε Redondeo: ≤ x 2

Intervalo entre números ε = epsilon de la maquina ε =b

1-t

• b es el número base • t es el número de dígitos significativos en la mantisa.

Fig 3.8

Error relativo más grande